Transformada de Laplace: Estudo e Aplicações na Engenharia

Unidade de Ensino 4 Transformada de Laplace Competéncia da Unidade Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia ena area de exatas os calculos referentes a transformada de Laplace Z Ca Icu lo Diferencial Resumo Nesta aula serao estudadas as Transformadas de Laplace as Transformadas Inversas Suas propriedades e o emprego destas na resolucdo de problemas de valor e Integral III prop preg seoeeP inicial Transformada de Laplace Palavraschave Transformada de Laplace Transformada Inversa Fragées Parciais Problemas de Valor Inicial Profa Dra Daiany Cristiny Ramos Titulo da Teleaula Transformada de Laplace Teleaula n 04 1 2 Que tipo de situac6es E preciso relembranr podemos analisar por meio das equacdes Integrais Imprdprias diferenciais 4g prep A Quais so os fdx jim fx ax conhecimentos prévios gA necessarios para essa aula Canvacom 3 4 Funcao de ordem exponencial ft de ordem exponencial se existem al tne cMtjR tais que M0ty0 com Definicao da If Me para todo t to transformada de La p lace Contraexemplo gt e Exemplo gt 3t 5 6 Fungdo continua por partes Transformada de Laplace Também chamada de seccionalmente continua Quando for possivel Seja ft uma funcSo definida para t 0 continua por partes em 0 dividir 0 intervalo em um n finito de intervalos de modo que a funcao t A A 0 ede ordem exponencial seja continua em cada subintervalo com limites finitos A transformada de Laplace de f denotada por ft ou Fs Lg FO esa 0 Jom sempre que a integral impropria convergir com s c Fonte CENGEL PALM Ill 2014 p446 sion 7 8 Linearidade da transformada de Laplace Sejam a e constantes reais bem como ft e gt fungdes de Determinacao de ordem exponencial e continuas por partes tra nsformadas de A transformada de Laplace é linear visto que Laplace Llaft Bg alFO ALGO 9 10 Como determinar uma transformada de Laplace Exemplo 2 transformada de Laplace da funcdo ft t t 0 Exemplo 1 transformada de Laplace da funcdo ft 1t 0 4a integrase Mudanga de variavel u st Lt I eS Ftdt ii f I te dt por partes eo A sty4 0 mo Li I ew 1 dt i I et dt lim 9 WX els dy t 1 Jy4 A 1 1 01 jy ters Ber Se era 4 ens4 i 1 1 Ss s 0 Ss s Ss Ss lim lim ygt A00 Ss Ss A00 se Ss Ss 1 Portanto Fs Lt yr 5 0 Portanto Fs 1 s 0 11 12 f Fs 1 1 s0 Ss 1 t ps 0 Cc c meee gers 9 Transformada inversa 1 et sasre de Laplace cosat Fa 0 senat e 0 aft Bg apeER aLf t BLgO 13 14 Transformada inversa de Laplace Linearidade da transformada inversa Seja Fs a transformada de Laplace de uma fungao f t ou seja Sejam a fh ER Af O FS Se Fs e Gs sdo as Transformadas de Laplace das fung6es ft e gt f éa transformada inversa de Laplace de Fs respectivamente ent3o Notacao ft Fs LaF s BGs aL 4Fs BLNGs af BGO L Fs gt 15 16 Expansdo em fracdes parciais Decompor a razdo Ps Aplicacao da Qs transformada inversa com P e Q polindmios onde o grau de P 6 menor que o de Q de modo a de Laplace representala por exemplo na forma Ar Ae Ak SQ SQ S Ax 17 18 Para agilizar o trabalho de todos no escritdrio sua tarefa é aplicar a técnica A empresa na qual vocé trabalha esta expandindo sua atuacdéo para novas B q Bi a0 de fracdes parciais para determinar a transformada inversa de Laplace para areas por isso sera necessario desenvolver as equipes internas na resolucdo de funcSo do ti uma fungao do tipo equac6es diferenciais do tipo 2 axt bx t xt Foxe Fs 3 StS ss1s 2 em que Fxt uma forga que pode ser periddica do tipo impulso degrau ou seccionalmente continua Essas equacdes podem ser originarias 20 de sistemas mecAnicos elétricos ou de vigas Como resolver esse problema 19 20 Determinar a transformada Inversa de Laplace de Ay B cL s4s5 s st1 s2 ss1s2 Fs s455 wis Qs ss1s2 As 1s 2 Bss2Csst1 s455 Ss1s 2 Ss1s2 por expansdo em frag6es parciais Raizes do polinédmio Qs ABCs3A2BCs2A s4s45 ss 1s 2 ss1s2 s0 s1 s2 Determinar A Be Ctais que ABC1 A52 A B C 524545 43A2BC4 B10 O47 47 SS 2A5 C 172 s st1 s2 ss1s2 21 22 Fs s4s5 5 1 102 4271 WS Sst lst2 25 st1 2 st2 Pela linearidade da Transformada Inversa segue que 1 co 3 1 CARS of 1451471 Estudo da s 2549 4 2 12 s2 1 get ss s va fife transformada inversa Saf ype f 117 a 4 de Laplace 2 Ss s1 2 s2 Portanto 5 17 LUFs 10e e 2 2 23 24 Sabese que a transformada de Laplace de uma fungao ft é dada por kl 1 Lt jen Para k 0 es 0 Pela linearidade da transformada Fi4 s 1 1 3 26 FQa gn SIF Sar oO Qual a transformada inversa 149 p1f 3 os der 2 caro 0 Sa e Z3ILFs 03 t3 1 LF s 3r 25 26 Exemplo vamos determinar a transformada inversa de Fracodes parciais e as PO aap Ss Ss transformadas de Determinar A Be Ctais que Laplace s A Bs 46 GtD sti st1 27 28 A BsC Assim devemos ter ay st1 s41 s ABsBCs A As 1 Bs 05 1 s1s2D s 1s 1 T s 1s 1 Logo As A4BsBsCsC s 1s 1 AB0 A12 B12 ABsBCs A atest nah s 1s 1 29 30 Sendo assim ct 1 4 s1f 1 1 Ss s 11 asta Lj cost FO Gyp4D 72 s1 41 fi my w Propriedades das tt t ta 4d say transformadas 2 s412 s412 Ss 41 Logo LMNFs 5et Fost ssent 31 32 Primeiro teorema da translacdo Segundo teorema da translacao Seja a R e sabendo que Lft Fs entaéo Seja Fs Lfie Le ft Fs a Sfitata h f ta entdo para todo a 0 temse E lo xemplo 1 Lfot eSFs Lt Zz Lte Gp 33 34 Propriedade da mudanca de escala homotetia Propriedade das funcgdes periddicas Se Lf Fs entao Se f é de ordem exponencial e tem periodo p entéo 1 crow te0 op st parak 0 FO cel ew hO de Exemplo 1 1 1 Lt Zz L2t 2 Gap 35 36 Transformada de Laplace e derivadas Suponha f continua e f seccionalmente continua em qualquer intervalo Estudo de PVIs e Ots as transformadas de Se existem KaM constantes tais que ft Ke para todo Laplace t M entdo existe a transformada de Laplace Lft paras ae LfO sLfO f0 37 38 ex Transformada de Laplace e PVIs Consequentemente sendo as hipoteses satisfeitas para f e f entaéo LEf O sLEF O sf FO Passo 1 Aplicacado da Transformada de Laplace na EDO De modo geral Passo 2 Emprego da linearidade da Transformada de Laplace LF OY sPLEf OF s FF sf 0 FOO Passo 3 Emprego das informac6es do teorema sobre derivadas e transformadas Passo 4 Determinar a Transformada Inversa de Laplace empregando se necessario expansdo em fracgdes parciais 39 40 Resolva o seguinte problema de valor inicial empregando as transformadas de Laplace Resolucao de PVI por ay cet y3y e meio de transformada y0 1 de Laplace 41 42 1 Aplicando as propriedades da transformada de Laplace na resolugdo da EDO Ly 3y s22 teremos 1 Ly 3Lfy yn2 Ly 3y Lfe 1 sLfy y0 3Ly Sabemos que Le s2 1 Entao s3Ly1 322 a6 1 1 1 4S sal Ly 3y Gb MO at s2s2 s2 s2 tyasct 1 2 sot W 3 53 7 GDGD 43 44 Podemos aplicar fragdes parciais na fatoracdo da Ultima expressao obtida Logo da seguinte forma 1 2 1 1 MO Sa9 ag yaa tg s1 A B ABs 3A 2B s2s3 s2 s3 s 2s 3 Como Le e Lfe obtemos SH se de onde segue que A 1 B 2 e portanto Ly Lle2 2e3 Le 23 s1 1 2 Portanto a solucdo do PVI sera dada por GDG3 s2s3 yt e 2e3 45 46 Considere o problema de valor inicial dado a seguir P 3y 13 sen2t Estudando um PVI de y0 6 1 ordem Qual é a transformada de Laplace da solucgao desse PVI 47 48 Pela linearidade da transformada de Laplace obtemos 26 26 6s7 4 Ly 3y L13 sen2t s 3Lfyt aw 6 zoree Ly 3Ly L13 sen2t 2 26 6s 50 Lyt y0 3Ly 113 i syO y0 3y 13 sen20 13 SG 35g 300 355 26 sLyt yO 3L yO yO 3L0 STG 6s 50 Como 0 6 DOl Gy pGd 26 Lyt 6 3Lyt sLy0 6 3L0 3G 26 26 6s 4 9000 aah oa 49 50 Recapitulando C 0 sLft s tf 2 et Ft dt 0 LaF s BGs al Fs BLMGs Laf t Bg t af t Bgt aLff t BLg 51 52 1 5 0 VN Propriedade das 1 Primeiro teorema fungdes periddicas 32 translacao Propriedade da cl mudanga de escala LEFO P tc0 sar 0 LEFO Fs ento 1 a era 1 LeFt Fs a 1e Jy ect sc a Seja Fs LfOe cosat wags flt a otra LFO Fs entéo a entdo para todo a 0 temse LO EF senat aes 0 Lf2t e Fs aft Bg apeR aLff t BLgt 53 54