Caderno de Questões de Matemática Aplicada - Aula Teórica 05

CADERNO DE QUESTÕES MATEMÁTICA APLICADA AULA TEÓRICA 05 1 Utilize as propriedades dos limites para calcular o limite de lim 𝑥4 𝑥25𝑥 2𝑥 Resolução Veja que precisamos realizar uma decomposição do limite original para aplicar as propriedades Assim temos que lim 𝑥4 𝑥2 5𝑥 2 𝑥 lim 𝑥4𝑥2 lim 𝑥45𝑥 lim 𝑥42 lim 𝑥4𝑥 lim 𝑥4𝑥 2 5 lim 𝑥4𝑥 2 lim 𝑥4𝑥 42 54 2 4 16 20 6 36 6 6 2 Calcule o limite de lim 𝑥2 𝑥22𝑥 2𝑥28 Resolução Nesse caso precisamos realizar uma simplificação para que a indeterminação do limite seja retirada Assim podemos fazer lim 𝑥2 𝑥2 2𝑥 2𝑥2 8 lim 𝑥2 𝑥𝑥 2 2𝑥2 4 Lembrese que 𝑎2 𝑏2 𝑎 𝑏𝑎 𝑏 lim 𝑥2 𝑥𝑥 2 2𝑥 2𝑥 2 lim 𝑥2 𝑥 2𝑥 2 lim 𝑥2𝑥 lim 𝑥22 lim 𝑥2𝑥 2 2 24 1 4 3 Calcule a derivada de 𝑓𝑥 3𝑥4 2𝑥 𝑥2 1 Resolução Da tabela de derivadas temos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 𝑛𝑥𝑛1 Assim para derivar 𝑓𝑥 3𝑥4 2𝑥 𝑥 1 utilizamos a informação acima e as propriedades da derivada 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥4 2𝑥 𝑥2 1 𝑓𝑥 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥4 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑 𝑑𝑥 1 𝑓𝑥 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥4 2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 0 𝑓𝑥 3 4𝑥3 2 1𝑥0 2𝑥 𝑓𝑥 12𝑥3 2 2𝑥 4 Calcule a derivada de terceira ordem de 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 Resolução Da tabela de derivadas temos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos𝑥 Portanto a derivada de primeira ordem da função é 𝑓𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Como queremos a derivada de terceira ordem de 𝑓 precisamos derivar o resultado de 𝑓𝑥 para obtermos 𝑓𝑥 Da tabela de derivadas temos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 Portanto a derivada de segunda ordem da função é 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 Como queremos a derivada de terceira ordem de 𝑓 precisamos derivar o resultado de 𝑓𝑥 para obtermos 𝑓𝑥 Da tabela de derivadas temos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Portanto a derivada de terceira ordem da função é 𝑓𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos𝑥 5 Calcule a derivada de 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥2 Resolução Da tabela de derivadas temos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos𝑥 Repare que 𝑓𝑥 é uma composição de função do tipo 𝑢𝑣𝑥 onde 𝑢𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 e 𝑣𝑥 𝑥2 Logo 𝑢𝑣𝑥 𝑢𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝑥2 𝑓𝑥 Dessa forma devemos utilizar a regra da cadeira para derivar essa função A fórmula para esse tipo derivada é dada por 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 No nosso caso a fórmula fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑥 portanto temos 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑 𝑑𝑣 𝑠𝑒𝑛𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑣 cos𝑣 Como 𝑣𝑥 𝑥2 podemos fazer essa substituição e obter 𝑑𝑢 𝑑𝑣 cos𝑥2 Portanto a derivada 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 cos𝑥2 2𝑥 6 Calcule a derivada da função 𝑓𝑥 𝑥2𝑒𝑥 Resolução Veja que precisamos utilizar a regra do produto para derivar a função dada 𝑢 𝑣 𝑢𝑣 𝑣𝑢 Nesse caso temos que 𝑢 𝑥2 e 𝑣 𝑒𝑥 Logo 𝑢 2𝑥 e 𝑣 𝑒𝑥 Portanto temos que 𝑥2𝑒𝑥 2𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥𝑥2 escrevendo os termos de forma mais organizada temos que 𝑓𝑥 𝑥𝑒𝑥2 𝑥 7 Calcule a derivada da função 𝑓𝑥 𝑥2 𝑒𝑥 Resolução Veja que precisamos utilizar a regra do quociente para derivar a função dada 𝑢 𝑣 𝑢𝑣 𝑣𝑢 𝑣2 Nesse caso temos que 𝑢 𝑥2 e 𝑣 𝑒𝑥 Logo 𝑢 2𝑥 e 𝑣 𝑒𝑥 Portanto temos que 𝑥2 𝑒𝑥 2𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥𝑥2 𝑒𝑥2 escrevendo os termos de forma mais organizada temos que 𝑓𝑥 𝑥2 𝑥 𝑒𝑥 8 Calcule a derivada implícita 𝑑𝑦 𝑑𝑥 de 𝑥31 𝑦 𝑥 2𝑦3 Resolução Da tabela de derivadas temos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑥31 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2𝑦3 Em ambos os lados devemos utilizar a regra do produto para derivar a expressão 3𝑥21 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥3 1𝑦3 𝑥 2 3𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Como estamos buscando a solução de 𝑑𝑦 𝑑𝑥 devemos escrever a função acima em função de 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥3 𝑥 2 3𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦3 3𝑥21 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥3 3𝑦2𝑥 6𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦3 3𝑥2 3𝑥2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥3 3𝑦2𝑥 6𝑦2 𝑦3 3𝑥2 3𝑥2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦3 3𝑥2 3𝑥2𝑦 𝑥3 3𝑦2𝑥 6𝑦2 9 Calcule a reta tangente e a reta normal à função 𝑦 𝑥3 2𝑥2 no ponto 𝑥0 4 Resolução Repare que um ponto P é representado por 𝑃 𝑥0 𝑦0 Como temos apenas a informação de 𝑥0 podemos calcular 𝑦0 fazendo a substituição de 𝑥0 na função 𝑦 𝑦0 𝑥0 3 2𝑥0 2 𝑦0 43 242 𝑦0 96 Portanto o ponto que estamos observando é 𝑃 4 96 Derivando a função 𝑦 𝑥3 2𝑥2 temos 𝑦 3𝑥2 4𝑥 Substituímos o valor de 𝑥0 em 𝑦 para obter o coeficiente angular da reta tangente a P 𝑦 3 42 44 𝑦 64 Para encontrar a equação da reta sabendo o coeficiente angular 𝑚 e um ponto 𝑃 que passa por ela utilizamos a fórmula 𝑦 𝑦0 𝑚𝑥 𝑥0 𝑦 96 64𝑥 4 𝑦 96 64𝑥 256 𝑦 64𝑥 160 É a reta tangente ao ponto P A reta normal ao ponto é perpendicular à reta tangente Portanto o coeficiente angular da reta normal se relaciona com o coeficiente da reta tangente por meio da expressão 𝑚𝑁 1 𝑚 Logo para obter a reta normal ao ponto P sabendo seu coeficiente angular 𝑦 𝑦0 𝑚𝑥 𝑥0 𝑦 96 1 64 𝑥 4 𝑦 96 4 𝑥 64 𝑦 1537 16 𝑥 64 10 Calcule a derivada de 𝑓𝑥 2 𝑥 55 Resolução Da tabela de derivadas temos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 1 2𝑥 Repare que 𝑓𝑥 é uma composição de função do tipo 𝑢𝑣𝑥 onde 𝑢𝑡 𝑡55 e 𝑣𝑥 2 𝑥 Logo 𝑢𝑣𝑥 𝑢2 𝑥 2 𝑥 55 𝑓𝑥 Dessa forma devemos utilizar a regra da cadeira para derivar essa função A fórmula para esse tipo derivada é dada por 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 No nosso caso a fórmula fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑥 portanto temos 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 0 1 2𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑 𝑑𝑣 𝑣55 𝑑𝑢 𝑑𝑣 55𝑣54 Como 𝑣𝑥 2 𝑥 podemos fazer essa substituição e obter 𝑑𝑢 𝑑𝑣 552 𝑥 54 Portanto a derivada 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 552 𝑥 54 1 2𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 55 2𝑥 2 𝑥 54 11 Um silo em forma de cone com 16m de altura e 8m de diâmetro está recebendo uma carga de soja cuja vazão de enchimento é de 3m³min Obtenha a taxa de crescimento do nível da soja até que se obtenha 2m de profundidade Resolução Lembrese que o diâmetro é o dobro do valor do raio Portanto o raio do cone é de 4m Precisamos calcular o volume do cone quando a altura ℎ 2 O volume do cone é calculado através da fórmula 𝑉 1 3 𝜋𝑟2ℎ Porém como estamos procurando a taxa em que a altura do nível da soja aumenta iremos substituir o raio pela sua relação com a altura 𝑟 ℎ 4 16 𝑟 ℎ 4 Assim o volume irá variar de acordo com a altura ou seja 𝑉 1 3 𝜋 ℎ 4 2 ℎ 𝑉 1 3 𝜋 ℎ2 16 ℎ 𝑉 𝜋 48 ℎ3 Agora que temos a fórmula do volume em relação à altura podemos derivála em relação ao tempo e obter 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝜋 48 𝑑ℎ3 𝑑𝑡 Derivando implicitamente ℎ3 temos 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝜋 48 3ℎ2 𝑑ℎ 𝑑𝑡 Substituindo a taxa de vazão e h 3 𝜋 16 22 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝑑ℎ 𝑑𝑡 12 𝜋 382𝑚𝑚𝑖𝑛 12 Obtenha os extremos absolutos de 𝑓𝑥 𝑥3 2𝑥2 𝑥 2 Resolução Lembrese que para obtermos os valores extremos de uma função devemos encontrar as raízes da derivada de primeira ordem da função Portanto 𝑓𝑥 3𝑥2 4𝑥 1 3𝑥2 4𝑥 1 0 Cujas raízes são 𝑥1 2 3 7 3 e 𝑥2 2 3 7 3 ou seja 𝑥1 021 e 𝑥2 155 13 Obtenha os pontos críticos de𝑓𝑥 𝑥3 12𝑥 Resolução Lembrese que para obtermos os valores extremos de uma função devemos encontrar as raízes da derivada de primeira ordem da função Portanto 𝑓𝑥 3𝑥2 12 3𝑥2 12 0 𝑥 2 Quando 𝑥 2 temos que 𝑓2 23 12 2 16 Portanto o ponto crítico é 𝑃2 16 Quando 𝑥 2 temos que 𝑓2 23 12 2 16 Portanto o ponto crítico é 𝑄2 16 14 Obtenha e classifique os pontos críticos de𝑓𝑥 𝑥3 27 2 𝑥2 Resolução Lembrese que para obtermos os valores extremos de uma função devemos encontrar as raízes da derivada de primeira ordem da função Portanto 𝑓𝑥 3𝑥2 27𝑥 3𝑥2 27𝑥 0 𝑥3𝑥 27 0 𝑥 0 ou 𝑥 9 Quando 𝑥 0 temos que 𝑓0 0 Portanto o ponto crítico é 𝑃0 0 Quando 𝑥 9 temos que 𝑓9 93 27 2 92 729 2 Portanto o ponto crítico é 𝑄 9 729 2 Para classificar os pontos precisamos calcular a derivada de segunda ordem da função Portanto 𝑓𝑥 6𝑥 27 Agora avaliaremos o sinal de 𝑓 nos pontos críticos 𝑓0 6 0 27 𝑓0 0 Portanto 𝑃0 0 é máximo 𝑓9 6 9 27 𝑓0 0 Portanto 𝑄9 3645 é mínimo 15 Com o objetivo de minimizar a quantidade de alumínio utilizado na produção de latas de refrigerante uma equipe calculou a fórmula da área de alumínio utilizado em relação ao raio da lata como sendo 𝐴𝑟 2𝜋𝑟2 700 𝑟 Obtenha os valores do raio e da altura da lata de forma que seu volume seja de 350ml Resolução Lembrese que latas de refrigerante possuem um formato cilíndrico e que o volume do cilindro é calculado pela fórmula 𝑉 𝜋𝑟2ℎ O volume da lata que queremos é 350 então 350 𝜋𝑟2ℎ Derivando a função 𝐴𝑟 2𝜋𝑟2 700 𝑟 em relação à r e calculando suas raízes iremos obter os valores extremos da função 𝐴𝑟 4𝜋𝑟 700 𝑟2 4𝜋𝑟 700 𝑟2 0 4𝜋𝑟3 700 𝑟2 0 𝑟 0 4𝜋𝑟3 700 0 4𝜋𝑟3 700 𝑟3 700 4𝜋 𝑟 175 𝜋 3 É o raio que minimiza a quantidade de alumínio Utilizando essa informação na fórmula do volume 350 𝜋 175 𝜋 3 2 ℎ 350 𝜋 17523 𝜋23 ℎ 350 𝜋 𝜋 2 3 175 2 3 ℎ ℎ 350 175 2 3 𝜋13 764 é a altura que minimiza a quantidade de alumínio