Equações do Plano e o Produto Misto

5 Planos 51 Equações do plano Equação geral do plano 0 d cz by ax onde a b e c são as componentes do vetor normal n 0 0 0 cz by ax d e 0 n AP AP Equação vetorial do plano t v t u A P 1 2 onde u e v são paralelos a AP e R t t 1 2 Equações paramétricas do plano 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 t c t c z z t b t b y y t a t a x x Produto misto 1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x y z x y z x y z x y z x y z y z x z y x z y x z y x w u v onde 1 1 1 z y u x 2 2 2 z y v x e 3 3 3 z y w x Ângulo entre dois planos 2 1 2 1 cos n n n n com 90 0 1 Determine uma equação geral cartesiana do plano Considere o vetor n normal a e o ponto A pertencente a onde 2 5 3 n e 4 2 1 A Resolução Para escrevermos uma equação geral do plano vamos considerar a expressão 0 n AP Sabemos que o vetor AP pode ser escrito como OP OA Sabemos também que 2 5 3 n Logo 0 2 5 3 OP OA Como P é um ponto qualquer de OP x y z e como 4 2 1 OA 4 2 1 A Substituindo OP por x y z e OA por 4 2 1 temos 0 4 2 1 2 5 3 x y z Vamos agora subtrair as componentes x1 y2 e z4 0 4 2 1 2 5 3 z y x Agora precisamos multiplicar os vetores 2 5 3 e 4 2 1 z y x 0 4 2 2 5 1 3 z y x Aplicando a propriedade distributiva temos 0 8 2 10 5 3 3 z y x Finalmente vamos somar os termos semelhantes Nesse caso 3108 0 21 2 5 3 z y x Portanto uma equação geral do plano é 0 21 2 5 3 z y x 2 Considere o Exercício 1 Encontre uma equação geral para substituindo a b e c pelas componentes do vetor normal n e calculando o valor de d a partir da relação 0 0 0 cz by ax d Resolução Como 2 5 3 n temos a3 b5 e c2 Substituindo esses valores na expressão 0 d cz by ax temos 0 2 5 3 d z y x Para que possamos encontrar o valor de d vamos utilizar a relação 0 0 0 cz by ax d Já sabemos quais são os valores de a b e c Quanto aos valores de x0 y0 e z0 vamos substituílos pelas coordenadas do ponto 4 2 1 A ou seja x01 y02 e z04 Portanto 42 25 13 d Efetuando as respectivas multiplicações temos 8 3 10 d que resulta em d 21 Logo a equação geral do plano é dada por 0 21 2 5 3 z y x 3 Considere os pontos 2 6 2 A 4 1 3 B e 3 2 5 C Determine uma equação geral do plano que contém os pontos A B e C Resolução Precisamos inicialmente de um vetor n normal ao plano Podemos fazer u AB e v AC Como u e v são paralelos ao plano o vetor v u n é normal a Logo vamos calcular o produto vetorial v u para que possamos encontrar o vetor n O vetor u é dado por u AB Logo A B u Substituindo B por 4 1 3 e A por 2 6 2 temos 2 6 2 4 1 3 u que resulta em 2 4 6 1 2 3 u donde 2 5 1 u Para encontrarmos o vetor v vamos fazer v AC ou equivalentemente A C v Como 3 2 5 C e 2 6 2 A temos 2 6 2 3 2 5 v Vamos subtrair as respectivas componentes 2 3 6 2 2 5 v Logo 1 4 3 v Já temos os vetores 2 5 1 u e 1 4 3 v O produto vetorial v u é dado por u v k u v j u v u v u v i v u v v v u u u k j i v u 1 2 2 1 3 1 3 1 2 3 3 2 3 2 1 3 2 1 Substituindo as respectivas componentes de u e v temos k j i k j i v u 53 1 4 1 1 23 2 4 5 1 1 4 3 2 5 1 Pre cisamos efetuar as multiplicações indicadas acima k j i v u 15 4 1 6 8 5 Vamos agora somar os termos que estão entre parênteses k j i v u 11 5 3 Logo o vetor n normal ao plano é dado por 1 1 5 3 n Podemos agora utilizar a expressão 0 n AP para encontrarmos uma equação geral para o plano pois 1 1 5 3 n 2 6 2 A e P x y z Sabemos que 0 n AP é equivalente a 0 n OP OA Logo 0 2 6 2 1 1 5 3 x y z Subtraindo as respectivas componentes temos 0 2 6 2 1 1 5 3 z y x Multiplicando 1 1 5 3 por 2 6 2 z y x temos 0 2 11 6 5 2 3 z y x Que resulta em 0 22 11 30 5 6 3 z y x Somando os termos semelhantes temos 0 58 11 5 3 z y x que é a equação geral do plano 4 Resolva o Exercício 3 substituindo a b e c pelas componentes do vetor normal n e calculando o valor de d a partir da relação 0 0 0 cz by ax d Resolução Sabemos que a3 b5 e c11 pois 1 1 5 3 n Vamos substituindo esses valores na expressão 0 d cz by ax 0 11 5 3 d z y x O próximo passo é encontrarmos o valor de d utilizando a relação 0 0 0 cz by ax d Nese caso a3 b5 e c11 e x02 y06 e z02 pois 2 6 2 A Logo 11 2 65 23 d Efetuando as respectivas multiplicações temos 22 30 6 d que resulta em d 58 Logo a equação geral do plano é dada por 0 58 11 5 3 z y x 5 Encontre uma equação vetorial do plano que passa pelos pontos 2 6 2 A 4 1 3 B e 3 2 5 C dado no Exercício 3 Resolução Considere u AB Como A B u temos 2 6 2 4 1 3 u que resulta em 2 4 6 1 2 3 u donde 2 5 1 u Vamos considerar v AC Sabemos que A C v Logo 2 6 2 3 2 5 v donde 2 3 6 2 2 5 v Portanto 1 4 3 v Como já temos os vetores u e v e o ponto 2 6 2 A a equação vetorial do plano pode ser facilmente obtida Vamos substituir A u e v na expressão t v t u A P 1 2 o que resulta em 1 4 3 2 5 1 2 6 2 2 1 t t x y z Multiplicando t1 por 2 5 1 e t2 por 1 4 3 temos 1 4 3 2 5 1 2 6 2 2 2 2 1 1 1 t t t t t t x y z Vamos agora somar as respectivas componentes 2 2 4 5 6 3 2 2 1 2 1 2 1 t t t t t t x y z que é a equação vetorial de 6 Utilize o produto misto para encontrar uma equação geral do plano que passa pelos pontos 2 6 2 A 4 1 3 B e 3 2 5 C apresentados no Exercício 3 Resolução Sabemos que o produto misto w u v é calculado a partir do determinante da matriz formada pelas componentes dos vetores u v e w 1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x y z x y z x y z x y z x y z y z x z y x z y x z y x w u v Precisamos então definir a partir dos pontos A B C e P os vetores u v e w É importante ressaltar que P é um ponto pertencente a tal que P x y z Vamos fazer u AP v AB e w AC O vetor u AP é obtido como segue A P u 2 6 2 x y z u 2 6 2 z y x u Para encontrarmos o vetor v AB basta fazer A B v 2 6 2 4 1 3 v 2 4 6 1 2 3 v 2 5 1 v O vetor w AC também pode ser facilmente obtido A C w 2 6 2 3 2 5 w 2 3 6 2 2 5 w 1 4 3 w Como já temos os vetores u v e w podemos calcular o produto misto w u v e para obtermos a equação geral do plano igualar esse produto misto a zero 0 1 4 3 2 5 1 2 6 2 z y x w u v Que corresponde a 0 2 53 61 1 22 4 21 4 623 2 5 1 z y x z y x w u v Vamos agora efetuar as multiplicações indicadas 0 30 15 6 16 8 8 4 36 6 10 5 z y x z y x Somando os termos semelhantes temos 0 58 11 5 3 z y x que é a equação geral do plano 7 Considere o plano definido por 0 20 2 5 4 z y x Determine os pontos A B e C de intersecção do plano com os eixos coordenados x y e z respectivamente Resolução O ponto de intersecção do plano com o eixo x ocorre quando y0 e z0 Logo vamos substituir esses valores na equação 0 20 2 5 4 z y x o que resulta em 0 20 20 50 4 x Multiplicando 5 por 0 e 2 por 0 temos 0 20 0 0 4 x Logo 0 20 4 x Somando 20 nos dois membros da equação 20 0 20 20 4 x Donde 4 20 x Dividindo ambos os membros por 4 temos 4 20 4 4 x Portanto x 5 Logo o ponto A de intersecção do plano com o eixo x é igual a 0 0 5 A Para encontrarmos o ponto de intersecção do plano com o eixo y vamos considerar agora x0 e z0 Substituindo esses valores na equação 0 20 2 5 4 z y x temos 0 20 20 5 40 y Os cálculos para encontrarmos o valor de y são análogos aos realizados anteriormente 0 20 0 5 0 y 0 20 5 y 20 5 y 5 y 20 y 4 Portanto o ponto B de intersecção do plano com o eixo y é igual a 0 4 0 B O ponto de intersecção do plano com o eixo z ocorre quando x0 e y0 Logo 0 20 2 50 40 z 0 20 2 0 0 z 0 20 2 z 2 20 z 2 z 20 z 10 Assim o ponto C de intersecção do plano com o eixo z é igual a 0 1 0 0 C A figura a seguir apresenta os pontos A B e C onde o plano intercepta os eixos coordenados x y e z respectivamente 8 Seja o plano definido por 0 20 2 5 4 z y x conforme o Exercício 7 Determine as intersecções do plano com os planos xy yz e xz Resolução O plano intercepta o plano xy quando z0 0 20 2 5 4 z y x Logo 0 20 20 5 4 x y 0 20 0 5 4 x y 0 20 5 4 x y 20 5 4 x y O plano intercepta o plano yz quando x0 0 20 2 5 4 z y x Logo 0 20 2 5 40 z y 0 20 2 5 0 z y 0 20 2 5 y z 20 2 5 y z O plano intercepta o plano xz quando y0 0 20 2 5 4 z y x Logo 0 20 2 50 4 z x 0 20 2 0 4 z x 0 20 2 4 x z 20 2 4 x z 9 Encontre um sistema de equações paramétricas do plano que passa pelos pontos 2 6 2 A 4 1 3 B e 3 2 5 C dados no Exercício 3 Resolução A partir dos pontos A B e C precisamos definir os vetores diretores do plano O primeiro vetor pode ser u AB A B AB 2 6 2 4 1 3 AB 2 5 1 AB O segundo vetor diretor pode ser v AC A C AC 2 6 2 3 2 5 AC 1 4 3 AC Como as equações paramétricas são dadas por 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 t c t c z z t b t b y y t a t a x x basta substituirmos x0 y0 e z0 pelas respectivas coordenadas do ponto A a1 b1 e c1 pelas respectivas coordenadas do vetor u e a2 b2 e c2 pelas respectivas coordenadas do vetor v 1 2 2 4 5 6 3 1 2 2 1 2 1 2 1 t t z t t y t t x Logo as equações paramétricas de são 2 1 2 1 2 1 2 2 4 5 6 3 2 t t z t t y t t x 10 Seja r a reta dada pelas equações t z t y t x 2 1 5 3 2 Verifique se r é paralela ao plano dado por 2 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t x y z Resolução 2 1 3 5 2 t t t x y z r Vetor diretor 2 1 3 b Plano 2 1 2 3 1 1 3 3 1 2 1 t t x y z Donde 3 1 1 u 2 1 2 v 2 1 2 3 1 1 k j i v u n 1 2 2 1 2 1 1 3 1 1 j i k j i v u n k i j k j i j i k j i v u n 2 3 2 6 2 1 2 2 1 2 1 1 3 1 1 k j i j i k j i v u n 4 1 2 2 1 2 1 1 3 1 1 1 4 1 n Ortogonalidade 2 1 3 b 1 4 1 n 1 4 1 2 1 3 n b 1 2 1 4 1 3 n b 2 4 3 n b 1 n b não são ortogonais 11 Considerando o Exercício 10 verifique se r está contida no plano Resolução Para que uma reta esteja contida no plano essa reta deve ser paralela ao plano e é preciso ainda mostrar que dois pontos quaisquer da reta pertencem ao plano Como r e não são paralelos a reta r não está contida no plano 12 Verifique se o ponto 3 2 4 A pertence ao plano 2 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t x y z definido no Exercício 10 Resolução Para sabermos se um ponto pertence ou não a um plano basta substituirmos as coordenadas x y e z desse ponto na equação do plano e verificarmos se os parâmetros t1 e t2 satisfazem a equação do plano Nesse caso temos 2 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t x y z Sendo assim 2 3 3 3 2 1 3 2 4 2 1 2 1 2 1 t t t t t t donde 3 2 3 3 2 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t Agrupando os termos semelhantes temos 3 3 2 3 3 2 1 4 2 2 1 2 1 2 1 t t t t t t Ou equivalentemente 0 2 3 1 3 2 2 1 2 1 2 1 t t t t t t Precisamos agora resolver o sistema de três equações e duas incógnitas para encontrarmos caso existam os parâmetros t1 e t2 que satisfazem o sistema de equações Podemos resolver inicialmente o sistema formado pelas duas primeiras equações Caso exista solução devemos substituir t1 e t2 na terceira equação para enfim sabermos se o sistema possui solução e consequentemente se o ponto 3 2 4 A pertence ao plano Logo 1 3 2 2 1 2 1 t t t t Multiplicado a segunda equação por 1 temos 1 3 2 2 1 2 1 t t t t Vamos agora somar os termos semelhantes 4 0 1 3 2 2 2 1 2 1 t t t t t Logo t2 4 Podemos substituir esse valor na equação 1 2 1 t t o que resulta em 1 2 1 t t 1 4 1 t 4 1 1 t 5 1 t Finalmente para sabermos se o ponto A pertence ao plano vamos substituir 5 1 t e t2 4 na equação 0 2 3 2 1 t t 0 2 3 2 1 t t 0 24 3 5 0 8 15 7 0 Como 7 0 podemos concluir que o ponto 3 2 4 A não pertence ao plano 2 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t x y z 13 Encontre o ângulo formado entre os planos 0 5 z y x e 0 12 3 2 z y x Resolução O ângulo entre dois planos é dado pelo menor ângulo entre os vetores normais desses dois planos A fórmula a ser utilizada é a seguinte 2 1 2 1 cos n n n n O vetor normal ao plano é 1 1 1 1 n e o vetor normal ao plano é 1 3 2 2 n Substituindo esses vetores na expressão 2 1 2 1 cos n n n n temos 1 3 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 cos 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 cos 1 9 4 1 1 1 1 3 2 cos 14 3 6 cos 4807 6 6 cos 0 9258 cos arccos 0 9258 2221 Nesse caso o ângulo entre os planos 0 5 z y x e 0 12 3 2 z y x é igual a 2221