Estudo sobre Vetores no Plano e Espaço Tridimensional

3 Vetores no plano cartesiano ortogonal R2 e no espaço tridimensional R3 31 Vetores no plano ortogonal R2 Vetor jy ix v ou v x y Módulo e direção do vetor AB com A xA yA e B xB yB Módulo 2 2 A B A B y y x x AB Direção A B A B x x y y tg Componentes de um vetor AB OA OB AB Produto de um vetor por um escalar 2 1 k v k v k v onde v v1 v2 e k R Produto escalar 2 1 1 2 y y x x u v onde y j x i u 1 1 e y j x i v 2 2 Produto escalar cos v u u v com 180 0 32 Vetores no espaço tridimensional R3 Vetor zk jy ix v ou v x y z Módulo 2 2 2 z y x v Módulo do vetor AB 2 2 2 A B A B A B z z y y x x AB com A A A z y A x e B B B z y B x Produto de um vetor por um escalar 3 2 1 k v k v k v k v onde 3 2 1 v v v v e k R Produto escalar 2 1 2 1 1 2 z z y y x x u v onde z k y j x i u 1 1 1 e z k y j x i v 2 2 2 Produto escalar cos v u u v onde é o ângulo entre os vetores u e v e 180 0 Produto vetorial Dados 3 2 1 a a a a e 3 2 1 b b b b a b k a b j a b a b a b i b a b b b a a a k j i b a 1 2 2 1 3 1 3 1 2 3 3 2 3 2 1 3 2 1 33 Vetores no Rn Adição de vetores 2 2 1 1 n n v u v v u u v u onde 2 1 un u u u e 2 1 nv v v v Subtração de vetores 2 2 1 1 n n v u v v u u v u onde 2 1 un u u u e 2 1 nv v v v Produto de um vetor por um escalar k nv k v k v k v 2 1 onde 2 1 nv v v v e k R Produto escalar un vn u v u v u v 2 2 1 1 onde 2 1 un u u u e 2 1 nv v v v 1 Dado o vetor AB onde A3 7 e B5 11 determine AB Resolução O vetor AB tem origem no ponto A e extremidade no ponto B Portanto xA3 yA7 xB5 yB11 Como queremos calcular o módulo de AB vamos utilizar a fórmula 2 2 A B A B y y x x AB O primeiro passo é substituirmos xA xB yA e yB pelos respectivos valores 2 2 7 11 3 5 AB Vamos subtrair os valores que estão entre parênteses 2 2 4 2 AB Elevando 2 ao quadrado e 4 ao quadrado temos 16 4 AB O próximo passo é somarmos 4 e 16 20 AB Finalmente vamos calcular a raiz quadrada de 20 4 47 AB Podemos concluir então que o módulo de AB é igual a 447 2 Determine o módulo de um vetor v cuja origem está no ponto 2 3 e cuja extremidade está no ponto 1 1 Resolução Inicialmente iremos representar os pontos 2 3 e 1 1 em um sistema de eixos coordenados também conhecido como plano cartesiano Para representarmos o ponto 2 3 vamos considerar a partir da origem do plano cartesiano duas unidades sobre o eixox da esquerda para a direita e a partir desse ponto três unidades na direção do eixoy de baixo para cima Em relação ao ponto 1 1 vamos considerar a partir da origem uma unidade da direita para a esquerda pois a componente em relação a x é negativa e a partir desse ponto uma unidade para cima na direção do eixoy Agora é só representar o vetor com origem em 2 3 e extremidade em 1 1 O próximo passo é determinarmos as componentes a e b do vetor Como a origem de v está no ponto 2 3 e a extremidade no ponto 1 1 basta calcularmos 1 1 2 3 1 1 2 3 Vamos subtrair as respectivas componentes de cada ponto ou seja 12 e 13 12 13 o que resulta em 3 2 Logo as componentes do vetor v são 3 e 2 Para calcularmos o módulo de v vamos utilizar a fórmula 2 2 b a v Substituindo a e b por 3 e 2 temos 2 2 2 3 v Elevando 3 e 2 ao quadrado 4 9 v Somando 9 e 4 13 v Calculando a raiz quadrada de 13 3 61 v Portanto o módulo de v é igual a 361 3 Dado o vetor AB onde A3 7 e B5 11 determine a sua direção Resolução Para determinarmos a direção do vetor AB basta encontrarmos o valor de Vamos utilizar a fórmula A B A B x x y y tg Sabemos que xA3 yA7 xB5 yB11 Substituindo esses valores na fórmula acima temos 3 5 7 11 tg Calculando 117 e 53 temos 2 4 tg Dividindo 4 por 2 temos 2 tg Como queremos encontrar o valor de precisamos calcular o arco cuja tangente é igual a 2 ou seja vamos utilizar a função arctg arctg2 Com o auxílio de uma calculadora científica temos que 6343 Sendo assim a direção do vetor AB é de 6343 Observe que como conhecemos o módulo de AB podemos obter o valor de utilizando seno ou cosseno 4 Sejam os vetores k j i u 4 7 2 e k j i v 3 6 5 Determine v u Resolução O produto escalar v u é obtido a partir da soma dos produtos das componentes dos vetores u e v ou seja 4x3 7x6 2x5 v u Fazendo as devidas multiplicações temos 12 42 10 v u que resulta em 64 v u 5 O que são vetores equipolentes Resolução São vetores que mesmo em diferentes locais de um sistema de eixos coordenados possuem mesmo módulo direção e sentido Os vetores AB e CD por exemplo apresentados na figura abaixo são equipolentes 6 Considere os vetores 3 2 u e 7 5 v Determine a v u b v u 5 2 c v u d v u e v u 2 3 Resolução a Para calcularmos o valor de v u vamos somar as respectivas componentes de 2 3 e 5 7 ou seja vamos somar 25 e 37 2 3 5 7 25 37 25 37 3 10 Portanto u v 3 10 b Inicialmente precisamos obter os valores de u 5 e de v 2 10 1 5 5 3 2 5 5 u u e 10 1 4 2 7 5 2 2 v v A soma v u 5 2 corresponde à soma de 10 15 e 10 14 10 15 10 14 1010 1514 1010 1514 0 29 Logo 0 29 2 5 u v c A soma v u é dada por 2 3 5 7 2 3 5 7 25 37 25 37 7 4 Podemos concluir que 4 7 v u d Vamos agora calcular a diferença entre u e v representada por v u Podemos fazer v u 2 3 5 7 2 3 5 7 2 3 5 7 25 37 25 37 7 4 Logo 4 7 u v e Para calcularmos o valor de v u 2 3 vamos calcular 2u e v 3 e em seguida somar as respectivas componentes 22 3 35 7 22 23 35 37 4 6 15 21 415 621 415 621 19 15 Donde 19 15 3 2 v u 7 Sendo 3 2 A e 5 8 B determine as componentes de AB Resolução Sabemos que OA OB AB Logo para encontrarmos as componentes de AB basta subtrairmos as componentes dos vetores OB e OA Os vetores OA e OB são os vetores com origem no ponto O e extremidades nos pontos A e B respectivamente Sendo assim OA OB AB corresponde a 3 2 5 8 AB Subtraindo as respectivas componentes temos 3 5 2 8 AB o que resulta em 2 6 AB Portanto as componentes do vetor AB são 2 6 A figura abaixo apresenta os vetores OA OB e AB e o vetor OP que é equipolente ao vetor AB e que tem ponto inicial na origem 8 Calcule o módulo do vetor k j i v 5 7 2 Resolução A seguir temos a representação gráfica do vetor v Para calcularmos o módulo de v vamos utilizar a fórmula 2 2 2 z y x v Vamos agora substituir as componentes x y e z por 2 7 e 5 2 2 2 5 7 2 v Elevando esses termos ao quadrado temos 25 49 4 v O próximo passo é somarmos os termos que estão sob o radical 78 v Calculando a raiz quadrada de 78 temos 8 83 v que é o módulo de v 9 Sejam 3 1 1 M e 1 2 3 N determine o módulo de MN Resolução Graficamente temos abaixo o vetor MN Estamos trabalhando com vetores do R3 Por isso podemos encontrar MN utilizando a fórmula 2 2 2 A B A B A B z z y y x x AB Como as extremidades do vetor estão sendo chamadas de M e de N podemos reescrever a fórmula acima como 2 2 2 M N M N M N z z y y x x MN Substituindo respectivamente xM yM e zM por 1 1 e 3 e xN yN e zN por 3 2 e 1 temos 2 2 2 3 1 1 2 1 3 MN Vamos agora subtrair os termos que estão entre parênteses 2 2 2 2 1 2 MN Agora iremos elevar 2 1 e 2 ao quadrado 4 1 4 MN Fazendo 414 temos 9 MN Finalmente calculando a raiz quadrada de 9 temos 3 MN Sendo assim o módulo de MN é igual a 3 10 Qual é o vetor resultante da multiplicação do escalar 3 pelo vetor 6 3 4 v Resolução O resultado da multiplicação de 3 pelo vetor 6 3 4 v é simples de ser obtido Basta multiplicarmos 3 pelas componentes de v 6 3 3 4 3 v x 3 3 x6 3 4 3x 3 v 8 1 9 12 3 v Logo v 3 é igual a 8 1 9 12 11 Calcule w 5 onde w é igual a 2 4 0 7 1 Resolução Vamos multiplicar cada componente de w por 5 para encontrarmos o vetor w 5 2 4 0 7 1 w 2 4 0 7 1 5 5 w x2 5 4 x 5 0 x 5 7 5x 1 5 x 5 w 0 1 0 2 0 5 3 5 5 w Logo w 5 é igual a 0 1 0 2 0 5 3 5 12 Sejam P 6 10 4 e 2 5 2 Q calcule v 2 onde v PQ Resolução Inicialmente precisamos calcular o valor das componentes de v Como v PQ e OP OQ PQ podemos fazer OP OQ v É fácil perceber que 2 5 2 OQ e que OP 6 10 4 Portanto 6 10 4 2 5 2 v Vamos subtrair as respectivas componentes 4 10 2 5 6 2 v Logo 2 5 4 v Agora que temos as componentes de v podemos calcular v 2 multiplicando cada componente de v por 2 2 5 4 2 2 v 2x 4 2 x 5 2 x 2 2 v 4 10 8 2 v Enfim o valor de v 2 é 4 10 8 13 Considere os vetores 4 1 5 3 u e 6 2 0 4 v Calcule v u 4 3 Resolução O valor de v u 4 3 pode ser facilmente calculado Primeiro vamos substituir u e v por 4 1 5 3 e 6 2 0 4 respectivamente 6 2 0 4 3 4 1 5 3 4 3 4 u v O próximo passo é multiplicarmos cada componente de 4 1 5 3 u por 4 e cada componente de 6 2 0 4 v por 3 x6 3 2 x 3 0 x 3 4 3x x4 x 4 1 4 5 x 4 3 4x 3 4 u v Que resulta em 8 1 6 0 12 6 1 4 0 12 2 3 4 u v Vamos agora somar as respectivas componentes de cada vetor 18 1 6 6 4 0 12 2 0 12 3 4 u v Logo 4 3 0 1 0 24 2 3 4 u v Portanto a soma v u 4 3 é igual a 4 3 0 1 0 24 2 14 Determine o produto escalar v u onde 7 3 5 1 2 u e 1 3 8 2 5 v Resolução O produto escalar v u pode ser calculado como segue un vn u v u v u v 2 2 1 1 Em particular o produto v u com 7 3 5 1 2 u e 1 3 8 2 5 v é igual a 7x1 3x3 5x8 2x5 1x2 v u Efetuando as multiplicações temos 7 9 40 2 10 v u Somando os termos temos 68 v u Logo o produto escalar v u é igual a 68 15 Calcule o produto escalar entre os vetores 0 5 u e 6 0 v utilizando a expressão cos v u u v Resolução A figura abaixo ilustra os vetores u e v Como o ângulo entre esses vetores é igual a 90 pois cada um desses vetores está sobre cada um dos eixos coordenados temos 6 cos90 0 0 5 2 2 2 2 v u Vamos calcular as potências e o valor de cos 90 36 0 0 0 25 v u Efetuando as somas temos 25 36 0 v u Calculando as raízes temos 065 v u Finalmente vamos efetuar as devidas multiplicações 0 v u Ou seja o produto escalar v u é igual a 0 Observação O produto escalar entre dois vetores ortogonais é sempre igual a 0 16 Dados os vetores 2 1 4 a e 1 4 3 b calcule o produto vetorial b a Resolução Sabemos que 3 2 1 3 2 1 b b b a a a k j i b a Por isso vamos substituir os valores de a1 a2 e a3 por 4 1 e 2 e os valores de b1 b2 e b3 por 3 4 e 1 o que resulta em 1 4 3 2 1 4 k j i b a ou equivalentemente k j i b a 4x4 1x 3 1 4x 2x3 2x4 1 1 x Efetuando as multiplicações indicadas temos k j i b a 3 16 4 6 1 8 Vamos agora efetuar as somas e subtrações Logo teremos k j i b a 13 10 9 Sendo assim o produto vetorial b a é igual a k j i 13 10 9 Podemos também escrever esse produto como b 9 10 13 a 17 Dados os vetores 2 1 4 a e 1 4 3 b calcule o produto vetorial a b Resolução Substituindo os valores de a1 a2 e a3 por 4 1 e 2 e os valores de b1 b2 e b3 por 3 4 e 1 na expressão a b k a b j a b a b a b i b a b b b a a a k j i b a 1 2 2 1 3 1 3 1 2 3 3 2 3 2 1 3 2 1 temos 2 1 4 1 4 3 k j i a b donde k j i a b 4x4 3x1 3x2 1 x4 1 x 1 4x2 O próximo passo é calcular as multiplicações necessárias k j i a b 3 16 6 4 1 8 Somando e subtraindo os termos necessários temos k j i b a 13 10 9 Logo o produto vetorial a b é igual a k j i 13 10 9 Podemos também escrever esse produto como 9 10 13 b a Observação Note que o vetor a b tem o mesmo módulo e direção mas sentido contrário ao vetor b a