Maquinas Eletricas Cap 13

TREZE transformadores 13-1. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS O transformador opera segundo o princípio da indução mútua entre duas (ou mais) bobinas ou circuitos indutivamente acoplados. Um transformador teórico de núcleo a ar, no qual dois circuitos são acoplados por indução magnética, é visto na Fig. 13-1. Note-se que os circuitos não são ligados fisicamente (não há conexão condutiva entre eles). O circuito ligado à fonte de tensão alternativa, V1, é chamado de primário (circuito 1). O primário recebe sua energia de uma fonte alternativa. Dependendo do grau de acoplamento magnético entre os dois circuitos (Eq. 13-1), esta energia é transferida do circuito 1 ao circuito 2. Se os dois circuitos são frouxamente acoplados, como no caso do transformador a núcleo de ar, mostrado na Fig. 13-1, somente uma pequena quantidade de energia é transferida do primário (circuito 1) para o secundário (circuito 2). Se as duas bobinas ou circuitos estão enrolados sobre um núcleo comum de ferro, eles estão fortemente acoplados. Neste caso, quase toda a energia recebida da fonte, pelo primário, é transferida por ação transformadora ao secundário. 512 MÁQUINAS ELÉTRICAS E TRANSFORMADORES rr I! M r, r !, (1). Carga JJn, n, Circuito 1 Circuito 2 Fig. 13-1 Transformador de núcleo de ar, indutivamente acoplado, com os símbolos definidores. As seguintes definições aplicam-se ao transformador, como mostra a Fig. 13-1, e são usadas no texto deste capítulo: V1 é a tensão de suprimento aplicada ao primário, circuito 1, em volts r1 resistência do circuito primário, em ohms L1 indutância do circuito primário, em henries XL1 reatância indutiva do circuito primário, em ohms Z1 impedância do circuito primário, em ohms I1 valor médio quadrático da corrente drenada da fonte pelo primário, em ampères E1 tensão induzida no enrolamento primário (ou circuito) por todo o fluxo que concatena a bobina 1, em volts E2 tensão induzida no enrolamento secundário (ou circuito) por todo o fluxo que concatena a bobina 2, em volts I2 valor médio quadrático da corrente entregue pelo circuito secundário à carga ligada a seus terminais r2 resistência do circuito secundário (excluída a carga), em ohms V2 tensão que aparece nos terminais do enrolamento secundário, em volts L2 indutância do circuito secundário, em henries XL2 reatância indutiva do circuito secundário, em ohms Z2 impedância do circuito secundário (excluída a carga), em ohms Φ1 componente de dispersão do fluxo que concatena apenas com a bobina 1 Φ2 componente de dispersão do fluxo que concatena apenas com a bobina 2 Φm fluxo mútuo, compartilhado por ambos os circuitos, concatenando às bobinas 1 e 2 M indutância mútua (uma medida do acoplamento magnético) entre as duas bobinas (ou circuitos) produzida pelo fluxo mútuo (Φm) em henries. 513 TRANSFORMADORES Note-se o significado da convenção dos pontos, usada na Fig. 13-1 para mostrar a polaridade instantânea positiva da tensão alternativa induzida em ambos os enrolamentos, primário e secundário, como resultado da ação de transformação. Assim, quando V1 é instantaneamente positivo, uma tensão E1 é induzida no enrolamento primário, de uma polaridade tal que se opõe a V1, de acordo com a lei de Lenz, como mostra a Fig. 13-1. Também, deve-se notar (na Fig. 13-1) que a corrente I2 está em oposição em relação a I1. Isto está também de acordo com a lei de Lenz, uma vez que I1 produz Φm, e I2 deve circular uma direção tal que se oponha a I1, e (ao mesmo tempo) que esteja conforme com a polaridade instantânea de E2, como se vê na Fig. 13-1. A polaridade instantânea de E2 e I2 establece a polaridade instantânea de V2 (terminal superior positivo) e a direção da corrente na carga. O coeficiente de acoplamento, k, entre duas bobinas é a relação do fluxo mútuo para o fluxo total, definido como 1 k = Φm = M (13-1) Φm + Φ1 √L1 x L2 onde todos os termos foram definidos acima. Se as duas bobinas estão frouxamente acopladas, como no transformador de núcleo de ar da Fig. 13-1, os termos Φ1 e Φ2 são pequenos em comparação a Φm. Como consequência, os termos L1 e M são pequenos em comparação a L2. A substituição na Eq. (13-1) leva a um valor pequeno do coeficiente de acoplamento, k. Isto, por sua vez, leva a um valor pequeno de E2 e V2 (em comparação a E1 e V1). Para qualquer carga dada, assim, um pequeno valor de V2 leva a um pequeno valor da corrente de carga, I2. Estabelece-se simplesmente, então, que, para um acoplamento frouxo, a potência transferida ao circuito secundário, E2 I2, é relativamente pequena. Transformadores que têm acoplamento frouxo são usados principalmente em comunicação em alta frequência (RF) e em circuitos eletrônicos. Praticamente, todos os transformadores usados em aplicações relativas a máquinas e potência, entretanto, são transformadores de núcleo de ferro, fortemente acoplados. Se as bobinas ou circuitos são estreitamente acoplados, e os fluxos dispersos Φ1 e Φ2 são relativamente pequenos em comparação a Φm, a indutância mútua M entre as duas bobinas é grande como o são os termos E2, I2 e V2. Neste caso, a 514 MÁQUINAS ELÉTRICAS E TRANSFORMADORES energia transformadora E 2 I 2 é praticamente igual a E 1 I 1 . Tanto quanto pos- sível, o projeto dos transformadores de potência, de núcleo de ferro, tenta fazê-los atingir um coeficiente de acoplamento unitário ( k = 1) tal que na Eq. (13-1) M = √ L 1 L 2 , como no caso de um transformador ideal. O acoplamento entre os dois circuitos é aumentado se porções de ambas as bobinas são enroladas no mesmo formato e se são colocadas sobre um núcleo magnético de baixa relutância. Tais considerações tendem a reduzir φ 1 e φ 2 . Mas, mesmo com ótimos projetos, é impossível atingir as condições de transfor- mador ideal — um que não tenha fluxos dispersos no primário ou no secundário, e tenha acoplamento unitário. Apesar disto, a discussão subsequente começa com um transformador ideal, com a finalidade de simplificar a compreensão das relações do transformador que se seguem. Após, será abordado o transformador prático de potência. 13-2. RELAÇÕES NO TRANSFORMADOR IDEAL Consideremos um transformador ideal, de núcleo de ferro, conforme mostra a Fig. 13-2, onde os fluxos dispersos φ 1 e φ 2 = 0 e k = 1. Tal transformador possui apenas fluxo mútuo φ m , comum a ambas as bobinas, primária e secundária. Quando V 1 é instantaneamente positivo, como se vê na Fig. 13-2, a direção da corrente primária I 1 produz a direção do fluxo mútuo φ m , como se vê. A força Fig. 13-2 — Transformador de núcleo de ferro, caso ideal. eletromotriz induzida primária, E r , de acordo com a convenção dos pontos e com a lei de Lenz, produz uma polaridade positiva na parte superior da bobina primária, que se opõe instantaneamente à tensão aplicada V 1 . Semelhantemente, no secundário, para a direção de φ m mostrada, a polaridade positiva de E 2 deve ser tal que crie um fluxo desmagnetizante oposto φ r (lei de Lenz). Uma carga ligada aos terminais do secundário produz uma corrente secundária I 2 , que circula em resposta à polaridade de E 2 , e produz um fluxo desmagnetizante. Estamos agora em condições de compreender qualitativamente como um transformador desenvolve potência secundária e transfere potência do primário para o secundário, na forma seguinte: 515 TRANSFORMADORES 1. Imagine um circuito aberto, impedância infinita ou carga zero no secundário, e I 2 = 0. 2. Como resultado do fluxo alternativo mútuo φ m (criado pela tensão aplicada), são produ- zidas forças eletromotrizes E 1 e E 2 , tendo a polaridade instantânea mostrada com res- peito a φ m (Fig. 13-2). 3. Uma pequena corrente primária, I m , conhecida como corrente de magnetização, deve circular mesmo quando o transformador está descarregado. A corrente é pequena, porque a fem induzida primária, E 1 , se opõe à tensão aplicada, V 1 , a cada instante. O valor de I m é uma função primariamente da relutância do circuito magnético, R m , e do valor de pico do fluxo mútuo magnetizante, φ m (não é mostrado para um dado número de espiras primárias. 2 4. Como mostra a Fig. 13-3a, o valor pequeno de I m se atrasa, em relação à tensão pri- mária, de 90° produzindo φ m . (a) Relações primárias a vazio. (b) Relações secundárias, transformador carregado. (c) Relações primárias, transformador carregado. Fig. 13-3 — Relações fasoriais no transformador ideal. 5. φ m por sua vez, requer 90° para produzir as tensões induzidas primária e secundária, E 1 e E 2 . Estas tensões induzidas estão em fase uma com a outra, por serem ambas pro- duzidas por φ m . Note-se que E 1 na Fig. 13-3a opõe-se a V 1 (lei de Lenz). Sem carga, a Fig. 13-3a representa todas as relações de corrente e tensão num transformador ideal. 6. Imagine uma carga em atraso (indutiva) ligada aos terminais do secundário do trans- formador ideal da Fig. 13-2. Tal carga produz uma corrente I 2 atrasada em relação a E 2 de um ângulo θ 2 , como se vê na Fig. 13-3b. 7. Os ampére-espiras secundários, N 2 I 2 , como mostra a Fig. 13-2, tendem a produzir um fluxo desmagnetizante que reduz o fluxo mútuo φ m e as tensões induzidas, E 2 e E 1 , instantaneamente. 8. A redução de E 1 produz uma componente primária da corrente de carga, I 1 ' que circula no primário, tal que I 1 ' N 1 = I 2 N 2 , restabelecendo φ m com seu valor original. Note-se que, na Fig. 13-3b, I 1 se atrasa em relação a V 1 de θ 1 , enquanto I 2 se atrasa em relação 2 Pode-se mostrar que o valor de pico da corrente de magnetização, I m = φ m π / (R m N 1 ) onde R m é a relutância do circuito magnético, φ m é o valor de pico do fluxo mútuo magnetizante e N 1 é o número de espiras do primário, conforme JACKSON, Introduction to Electric Circuits, 3. ed. Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, 1970, p. 585. 516 MÁQUINAS ELÉTRICAS E TRANSFORMADORES à E 2 de θ 2 , tais que θ 1 = θ 2 . Esta última igualdade é necessária a fim de que os ampére- espiras primários restaurados, N 1 I 1 ' sejam iguais e opostos aos ampére-espiras secun- dários desmagnetizantes N 2 I 2 . 9. O efeito da componente primária da corrente de carga I 1 ' é visto na Fig. 13-3c, onde a corrente primária I 1 é a soma fasorial de I e e I 1 ' . Dois pontos devem ser notados no que diz respeito às relações do fator de potência no circuito primário da figura: a. o ângulo de fase do primário diminui de seu valor original sem carga de 90° a seu valor θ 1 com carga, e b. o ângulo de fase do circuito primário não é exatamente o mesmo do circuito secun- dário. (Para uma carga em atraso, θ 1 > θ 2 ). Os passos acima revelam a maneira pela qual o circuito primário responde à carga no circuito secundário. Num certo sentido, a operação de um transfor- mador carregado pode ser considerada semelhante ao carregamento de um motor- derivação de corrente contínua 3 (Sec. 4-4). A igualdade entre a fmm desmagnetizante do secundário N 2 I 2 e a componente primária da fmm N 1 I 1 ' , que circula devido à carga para equilibrar sua ação des- magentizante, como se descreveu no item 8 acima, pode ser sumarizada e rearran- jada como I 1 ' N 1 = I 2 N 2 ou I1 I2 N1 N2 = = = α (13-2a) (13-2b) onde α é a relação das espiras primárias para as secundárias ou a relação de transformação I 1 ' é a componente de carga da corrente primária. I 2 é a corrente secundária ou de carga N 1 e N 2 são os números de espiras do primário e secun- dário, respectivamente. O significado da relação de transformação, α, na Eq. (13-2b), é que ela é fixa (não constante) para qualquer transformador dado (já construído) dependendo de sua aplicação. Consequentemente, a componente de carga da corrente pri- mária pode ser calculada para qualquer valor da corrente secundária de carga, como mostra o Exemplo 13-1. 3 Con forme cresca a carga de um motor-derivação CC, há um decréscimo instantâneo da velo- cidade e da força contra-eletromotriz, acompanhado por um aumento na corrente da armadura a partir da fonte, para produzir o necessário torque eletromagnético a fim de contrabalançar a carga aplicada. A redução da fcem no motor CC, em resposta ao aumento de carga, é semelhante à redução na fcem gerada no primário E 1 de um transformador em resposta ao aumento de carga. TRANSFORMADORES EXEMPLO O lado de alta tensão de um transformador tem 500 espiras, enquanto o de baixa 13-1: tensão tem 100 espiras. Quando ligado como abaixador, a corrente de carga é 12 A. Calcule: a. a relação de transformação, α b. a componente de carga da corrente primária. Solução: a. Como um transformador abaixador, o lado de alta tensão é o primário e o de baixa o secundário. A relação de transformação, α, é α = N_1 / N_2 = 500 espiras / 100 espiras = 5 (13-2b) b. Da Eq. (13-2b), I'_1 = I_2/α = 12 A/5 = 2,4 A A maneira de escrever do Exemplo 13-1 implica em que tanto o lado de baixa tensão como o de alta, de um transformador, podem ser usados como primário (o lado que é ligado à fonte de energia). Assim, a relação de transformação, para um transformador dado (construído), depende de sua aplicação, como mostra o Exemplo 13-2. EXEMPLO Calcule a relação de transformação do transformador do exemplo 13-1, quando 13-2: usado como transformador elevador. Solução: Como transformador elevador, o lado de baixa tensão é ligado como primário. A relação de transformação, α = N_1 / N_2 = 100 espiras / 500 espiras = 0,2 (13-2b) Os Exemplos 13-1 e 13-2 mostram que a relação de transformação, α, é fixa para uma dada aplicação, mas não constante. Quando usado como transformador abaixador, α = 5, mas, quando usado como transformador elevador, α = 0,2 (que é o recíproco de 5). Desde que os termos elevador e abaixador referem-se às tensões, bem como aos lados de alta tensão e baixa tensão, a relação de trans- formação pode ser estabelecida em função das tensões, usando a quantificação de Neumann da lei de Faraday (Eq. 1-1): E_1 = N_1 (dφ_m / dt) (13-3) e E_2 = N_2 (dφ_m / dt) (13-4) 518 MÁQUINAS ELÉTRICAS E TRANSFORMADORES Uma vez que a relação de variação do fluxo mútuo que conecta primário e secundário é a mesma, (dφ_m/dt), dividindo a Eq. (13-3) pela Eq. (13-4) temos α em função das tensões ou α = N_1 / N_2 = E_1 / E_2 = V_1 / V_2 (13-5) A equação (13-5) estabelece' que as relações das tensões primárias para as secundárias são proporcionais às relações dos números de espiras primárias para secundárias. Também se verifica que a relação de transformação, α, é maior que a unidade para um transformador abaixador, mas é menor que a unidade para um transformador elevador (V. Exemplo 13-1 e 13-2). Considerando as Eqs. (13-2b) e (13-5), teremos α = N_1 / N_2 = I_2 / I'_1 = E_1 / E_2 = V_1 / V_2 (13-6) que pode ser transposta para conduzir à relação fundamental de potência entre o primário e o secundário E_1 I'_1 = E_2 I_2 (13-7) e, se a componente de carga da corrente primária, I'_1, é muito maior que a corrente de magnetização, I_m, podemos escrever E_1 I_1 = E_2 I_2 (onde I_m é desprezível) (13-8) Para um transformador ideal, sem perdas, não tendo fluxos dispersos primários nem secundários (reatâncias de dispersão nulas), podemos dizer que V_1 I_1 = V_2 I_2 (para um transformador ideal) (13-9) A Eq. (13-9) verifica a definição fundamental de um transformador como dispositivo que transfere energia de um circuito para outro. Para um transformador ideal, os volt-amperes drenados da fonte alternativa, V_1 I_1, são iguais aos volt- amperes transferidos ao secundário e entregues à carga, V_2 I_2, onde todos os termos foram definidos na Sec. 13-1.4 . A Equação (13-9) também estabelece um mejo de especificar um transformador em volt-amperes (VA) ou quilovolt-amperes (kVA), onde V_1 e I_1 são os valores nominais da tensão e da corrente primária, respectivamente, e V_2 e I_2 os valores nominais secundários da tensão e da corrente, respectivamente. EXEMPLO Um transformador de 4,6 kVA, 2.300/115 V, 60 Hz foi projetado para ter uma 13-3: fem induzida de 2,5 volts/espira. Imaginando-o um transformador ideal, calcule a. O número de espiras do enrolamento de alta, N_a. b. O número de espiras do enrolamento de baixa, N_b. c. A corrente nominal para o enrolamento de alta, I_a. d. A corrente nominal para o enrolamento de baixa, I_b. e. A relação de transformação funcionando como elevador. f. A relação de transformação funcionando como abaixador. Solução: a. N_a = F_a / V/esp = 2.300 / 2,5 V/esp = 920 espiras b. N_b = 1 espiras / 1 esp x 115 V / esp = 46 espiras c. I_a = kVA x 1.000 / 4,6 x 1.000 VA = 2 A (13-9) d. I_b = kVA x 10^3 / 4,6 x 10^3 VA = 40 A (13-9) e. α = N_a / N_b = 46 / 1 = 0,005, como elevador f. N_a / N_b = 920 / 46 = 20, como abaixador (13-26) No Exemplo 13-3, a relação volts/espira foi dada como 2,5 V/esp, para ambos os enrolamentos, de alta e baixa tensões. Pode-se mostrar que este valor é direc- tamente proporcional ao valor de pico do fluxo mútuo, φ'_m, e à frequência, con- forme expressa a relação volts/espira ou 5 A quantificação da Neumann, da lei de Faraday, estabelece que a fem média induzida numa bobina de N espiras é E_med = N / τ * φ'_m * 10^-8 * v onde τ é o tempo que o fluxo mútuo leva para elevar-se de zero ao valor de pico, sendo o fluxo expresso em maxwells. Imaginando um sinal de entrada sinusoidal, tendo uma frequência de f ciclos por segundo, o fluxo eleva-se ao máximo num quarto de ciclo (τ = 1/4f) e E_med = Nφ'_m / 1/4f * 10^-8 = 4/ffNφ'_m * 10^-8 * v Mas, desde que o fator de forma de uma onda sinusoidal é a relação do seu valor efetivo para seu valor médio (0,707/0,636 = 1,11), o valor efetivo da fem induzida = 1,11 E_med ou E = 1,11 E_med = 4,44ffNφ'_m * 10^-8 v Donda, a relação volts/espira é E/N = 4,44 f φ'_m × 10^-8 v Note-se que a Eq. (13-10) para o transformador é idêntica à Eq. (2-14) para o alternador. (13-10) 520 MÁQUINAS ELÉTRICAS E TRANSFORMADORES E_2 \ \frac{E_a}{N_2} \ = \ 4,44/\phi_{pm} \times 10^8; volts \ esp \ = \ k{\phi_{pm} \ = \ k{B_m A}} \qquad\qquad (13-10) onde \ B_m \ é a máxima densidade de fluxo permissível e \ A \ é a área do núcleo do transformador (\phi_{pm} = B_m A). O significado da Eq. (13-10) não pode ser desconsiderado, porque estabelece o máximo fluxo mútuo permissível ou a máxima densidade de fluxo permissível a uma dada frequência e a uma dada tensão. Assim, os transformadores projetados para operação a uma dada \emph{frequência} não podem ser operados a outra frequência sem as correspondentes alterações na tensão aplicada, como se mostra na Eq. 13-4. EXEMPLO \ Um transformador de 1 kVA, 220/110 V, 400 Hz deve ser usado em 60 Hz. (13-4) Calcule: a. o máximo valor médio quadrático da tensão que pode ser aplicada ao lado de alta tensão, e a máxima tensão de saída do lado de baixa tensão b. os kVA nominais do transformador sob as condições de frequência reduzida. Solução: a. para manter a mesma densidade de fluxo permissível na Eq. (13-10), ambas as tensões dos lados de alta e baixa devem alterar-se, na mesma proporção da redução da frequência \qquad E_a \ = \ 220 \ V \ \cdot \ \frac{60\ Hz}{400\ Hz} \ = \ 33\ V e \qquad E_b \ = \ \frac{E_a}{\alpha} \ = \ \frac{E_a}{2} \ = \ \frac{33\ V}{2} \ = \ 16,5\ V e \qquad (13-6) b. os valores nominais de corrente do transformador são inalterados, já que os condutores ainda têm a \,mesma capacidade de condução de corrente. Assim, \qquad I_s \ = \frac{kVA}{V_s}\ \frac{\times\ 1 \times 10^3\ VA}{220\ V} \ = \ 4,545\ A \qquad (13-9) e os novos kVA nominais são \qquad V_s I_s \ = \ V_s \ I_s \ = \ 33\ V \ \times \ 4,545\ A \ = \ 150\ VA \qquad (13-9) O significado do Exemplo 13-4 é que é possível fazer alterações de frequência na operação de um transformador, mas somente com as correspondentes alterações da tensão. Se a frequência e a tensão são \emph{ambas} reduzidas, a capacidade em kVA do transformador é correspondentemente reduzida. Se a frequência e a tensão forem ambas aumentadas, a capacidade em kVA é aumentada correspondentemente (contanto que as tensões máximas permissíveis em relação aos enrolamentos do transformador não sejam excedidas). Note-se que, em qualquer