Exercicios Resolvidos Metodos de Dedução e Provas de Argumentos Logicos

2 Utilizando o Método Dedutivo demonstre a seguinte equivalência p q p r p q r 3 Prove por dedução prova direta que o argumento a seguir é válido p q p r q s r q s r 4 Prove por redução ao absurdo contradição a validade do argumento a seguir p q r s p t q s t u r 5 Prove por contradição com RESOLUÇÃO a validade do seguinte argumento p q r s q s t t p r 2 Usando o método dedutivo demonstre a seguinte equivalência pq pr pq r L1 pq pr premissa 1 L2 pq premissa 2 L3 VLp V L2 Regra da Simplificação L4 VLq V L2 Regra da Simplificação L5 pr L1 L3 e L4 V L6 r L5 Regra da Simplificação V Portanto a partir da suposição de pq pr é verdadeira mostramos que pq r também é verdadeira 3 Prove por dedução prova direta que o argumento a seguir é válido p q p r q s r q s r L1 p q premissa 1 L2 p r q premissa 2 L3 s r q premissa 3 L4 s premissa para a eliminação do modus tollens L5 p negando a implicação de L1 usando a q dada em L4 Modus Tollens L6 r q L2 usando p Modus Ponens L7 q eliminação de L3 e L4 L8 r Assumindo r para obter uma contradição com q usando L6 e L7 Reductio ad Absurdum Portanto a partir das premissas dadas é possível deduzir r 4 Prove por redução ao absurdo contradição a validade do argumento a seguir p q r s p t q s t u r Forma Normal Conjuntiva FNC das premissas 1 p q r p q r Implicação p q r De Morgan 2 s p s p Implicação 3 t q t q Implicação 4 s t Já está na FNC Assumindo a negação da conclusão e usando as premissas acima para chegar a uma contradição u r r r De Morgan Usando as premissas em FNC De s p temos s p s t sabemos s ou t Então temos que considerar dois casos Caso 1 s Usando s p temos p Usando t q temos t q Como temos q a partir de p e t q podemos concluir t Agora com t e s temos t s Caso 2 t Usando t q temos q Usando p q r sabemos r porque p q é verdadeiro e leva a r Agora com r e t temos r t Em ambos os casos r s t é verdadeiro Isso entra em contradição com a premissa 1 Portanto como a negação da conclusão levou a uma contradição com as premissas o argumento é válido por redução ao absurdo 5 Prove por contradição com resolução a validade do seguinte argumento p q r s q s t t pr Forma Normal Conjuntiva FNC das premissas 1 p q p q 2 r s r s 3 q s t q s t q s q s De Morgan q s t 4 t Assumindo a negação da conclusão vamos verificar se isso leva a uma contradição com as premissas A negação da conclusão é p r que é equivalente a p r Agora usando as premissas originais e a negação da conclusão vamos inferir uma contradição Negando a conclusão p r Silogismo disjuntivo para p r De p r e p q inferimos q De p r e r s inferimos s Agora temos premissa q Usando vq s t e as informações que temos sobre q e s vemos que isso implica t No entanto temos t como premissa Chegamos a uma contradição pois derivamos tanto t quanto t Portanto a suposição inicial de p r leva a uma contradição com as premissas originais Consequentemente a negação da conclusão não pode ser verdadeira Assim a conclusão p r é válida a partir das premissas dadas 2 Usando o método dedutivo demonstre a seguinte equivalência pq pr pq r L1 pq pr premissa 1 L2 pq premissa 2 L3 VLp V L2 Regra da Simplificação L4 VLq V L2 Regra da Simplificação L5 pr L1 L3 e L4 V L6 r L5 Regra da Simplificação V Portanto a partir da suposição de pq pr é verdadeira mostramos que pq r também é verdadeira 3 Prove por dedução prova direta que o argumento a seguir é válido pq prq srq s r L1 pq premissa 1 L2 prq premissa 2 L3 srq premissa 3 L4 s premissa para a eliminação do modus tollens L5 p negando a implicação de L1 usando a q dada em L4 Modus Tollens L6 rq L2 usando p Modus Ponens L7 q eliminação de L3 e L4 L8 r Assumindo r para obter uma contradição com q usando L6 e L7 Reductio ad Absurdum Portanto a partir das premissas dadas é possível deduzir r 4 Prove por redução ao absurdo contradição a validade do argumento a seguir pqr sp tq st ur Forma Normal Conjuntiva FNC das premissas 1 pq r p q r Implicação p q r De Morgan 2 s p s p Implicação 3 t q t q Implicação 4 s t Já está na FNC Assumindo a negação da conclusão e usando as premissas acima para chegar a uma contradição u r r r De Morgan Usando as premissas em FNC De s p temos s p s t sabemos s ou t Então temos que considerar dois casos Caso 1 s Usando s p temos p Usando t q temos t q Como temos q a partir de p e t q podemos concluir t Agora com t e s temos t s Caso 2 t Usando t q temos q Usando p q r sabemos r porque p q é verdadeiro e leva a r Agora com r e t temos r t Em ambos os casos r s t é verdadeiro Isso entra em contradição com a premissa 1 Portanto como a negação da conclusão levou a uma contradição com as premissas o argumento é válido por redução ao absurdo 5 Prove por contradição com resolução a validade do seguinte argumento pq rs qst t pr Forma Normal Conjuntiva FNC das premissas 1 p q p q 2 r s r s 3 q s t q s t q s q s De Morgan q s t 4 t Assumindo a negação da conclusão vamos verificar se isso leva a uma contradição com as premissas A negação da conclusão é p r que é equivalente a p r Agora usando as premissas originais e a negação da conclusão vamos inferir uma contradição Negando a conclusão p r Silogismo disjuntivo para p r De p r e p q inferimos q De p r e r s inferimos s Agora temos premissa q Usando vq s t e as informações que temos sobre q e s vemos que isso implica t No entanto temos t como premissa Chegamos a uma contradição pois derivamos tanto t quanto t Portanto a suposição inicial de p r leva a uma contradição com as premissas originais Consequentemente a negação da conclusão não pode ser verdadeira Assim a conclusão p r é válida a partir das premissas dadas