Definições sobre Erros em Testes de Hipótese e Exercícios Práticos

Algumas definições 1 Um erro tipo I ocorre se a hipótese nula for rejeitada quando é verdadeira 2 Um erro tipo II ocorre se a hipótese nula não for rejeitada quando é falsa 3 Em um teste de hipótese o nível de significância é a probabilidade máxima permissível para cometer um erro tipo I e é denotado por α 4 A probabilidade de um erro tipo II é denotado por β 5 Se a hipótese nula for verdadeira um valor P ou valor de probabilidade de um teste de hipótese é a probabilidade de se obter uma estatística amostral com valores tão extremos ou mais extremos do que aquela determinada a partir dos dados da amostra 6 Se a hipótese alternativa contém o símbolo de menos que o teste de hipótese será um teste monocaudal à esquerda 7 Se a hipótese alternativa contém o símbolo de maior que o teste de hipótese será um teste monocaudal à direita 8 Se a hipótese alternativa contém o símbolo de não igualdade o teste de hipótese será um teste bicaudal 9 Para usar um valor P para chegar a uma conclusão em um teste de hipótese compare o valor P com α a Se P Sig α então rejeite a hipótese nula b Se P Sig α então não rejeite hipótese nula Observação Quando você decresce α você provavelmente aumentará β O valor 1β é o poder de teste e representa a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa for verdadeira Lista de Exercícios 1 Um restaurador de computadores acredita que a média do custo para conserto de computadores com problemas é maior que 95 Para testar a afirmação você determina os custos do conserto de 7 computadores escolhidos aleatoriamente Para α001 você tem evidências para dar suporte à afirmação do restaurador Resolvido em Sala 𝐻0 𝐻𝑎 2 Uma afirmação do serviço de informações de empregabilidade diz que a média de pagamento anual para um homem trabalhador de período integral maior de 25 anos e sem diploma no ensino médio é de 2500000 É selecionado o pagamento anual de uma amostra aleatória de 10 trabalhadores Com α005 teste a afirmação de que a média salarial seja 2500000 Resolvido em Sala 𝐻0 𝐻𝑎 3 Você recebe uma revista de uma grande universidade A revista indica que a média do tamanho das salas para cursos integrais é menor que 32 alunos Você quer testar essa afirmação e seleciona 18 salas aleatoriamente e determina o tamanho de cada uma Com α010 você pode dar suporte a afirmação da revista 𝐻0 𝜇 32 𝐻𝑎 𝜇 32 Resposta Como o tamanho da amostra n18 é menor do que 50 utilizase o teste SW Como o Sig 0185 é maior do que 010 alfa a variável Tamanho segue uma distribuição Normal Como temos apenas uma amostra e queremos verificar se a média da amostra é igual a uma média suposta usase o teste t Simples Como o Sig do teste t Simples dividido por 2 é menos do que o alfa 00345010 rejeitase a hipótese nula Sendo assim há evidências de que o tamanho da classe dos cursos integrais é menor que 32 alunos Assimetria Curtose 4 Ao verificar a eficiência dos funcionários de uma fábrica de sapatos uma amostra de 7 funcionários da Ala C foi selecionada Verificando outra amostra com 10 funcionários da Ala B observouse a produtividade e foram obtidas as tabelas abaixo Podese dizer que os funcionários da Ala C são mais eficientes Assuma um nível de confiança de 95 Resolvido em Sala 𝐻0 𝐻𝑎 5 Em um teste recente sobre a eficácia de Treinamentos Baseados em Computador TBC na aprendizagem de matemática financeira foram estudados os resultados de dois grupos distintos formados por alunos escolhidos aleatoriamente de uma instituição de ensino a Grupo de Ensino em Micro recebeu o treinamento exclusivamente em microcomputadores com software apropriado e sem auxílio de professores ou monitores b Grupo de Ensino em Sala realizou curso convencional em sala de aula A um nível de significância de 10 podese afirmar que o treinamento em computador é eficaz 𝐻0𝜇𝑀𝑖𝑐𝑟𝑜 𝜇𝑆𝑎𝑙𝑎 𝐻𝑎𝜇𝑀𝑖𝑐𝑟𝑜 𝜇𝑆𝑎𝑙𝑎 Assimetria Curtose X X X X Resposta Como o tamanho das amostras é menor que 50 9 e 15 analisase o teste SW Os Sigs são maiores do que 010 0413 e 0304 sendo assim ambos seguem uma distribuição Normal Como temos dois grupos com tamanhos de amostras diferentes utilizase o teste t para amostras independentes No teste de Levene como o Sig 0595 é maior do que 010 alfa é possível assumir que as variâncias são iguais Analisando a primeira linha do teste t para igualdade de médias o Sig 0067 é menor do que 010 alfa rejeitase a hipótese nula e há diferenças significativas entre as notas Analisando as médias nas estatísticas descritivas percebese que as notas em Micro são em média maiores do que as notas em sala 6 Uma indústria de ração para frangos alega que a adição de um novo composto químico consegue elevar o ganho de peso por ave no ciclo de engorda de 45 dias Duas amostras de aves foram examinadas sendo os pesos das aves medidos em kg Faça a análise para um nível de significância de 1 e 5 É possível concordar com o fabricante Resolvido em Sala 𝐻0 𝐻𝑎 Assimetria Curtose 7 Uma agência de publicidade alega que a veiculação de determinada propaganda nos outdoors da cidade permitiria elevar as vendas mensais por loja de uma determinada rede de lanchonetes Dois períodos foram analisados sendo que no primeiro nenhuma propaganda foi veiculada Assumindo um nível de confiança de 95 é possível concordar com a agência 𝐻0𝜇𝑠𝑒𝑚 𝜇𝐶𝑜𝑚 𝐻𝑎𝜇𝑠𝑒𝑚 𝜇𝐶𝑜𝑚 Resposta Como o tamanho das duas amostras é menor do que 50 25 e 17 utilizase o teste SW Analisando os Sig 0101 e 0677 verificase que ambos são maiores do que 005 alfa Sendo assim podese afirmar que as duas amostras grupos seguem uma distribuição Normal Como os tamanhos das amostras são diferentes podemos afirmar que elas não são dependentes Como seguem uma distribuição Normal e são independentes utilizase o teste t para amostras independentes No teste de Levene como o Sig 0258 é maior do que 005 alfa podemos assumir igualdade de variâncias Analisando a primeira linha do teste t para igualdade de médias temos que o Sig 0000 é menor do que 005 alfa e podemos afirmar que há diferenças significativas entre as vendas mensais com e sem propaganda Analisando as estatísticas descritivas observamos que a maior média de vendas ocorre quando há propaganda 8 A rede de postos A alega que suas unidades vendem mensalmente em média mais que os postos da rede rival B Duas amostras foram analisadas sendo uma do posto A e outra do posto B Assumindo um nível de significância de 1 podese afirmar que a rede B vende menos que a rede A 𝐻0𝜇𝐴 𝜇𝐵 𝐻𝑎𝜇𝐴 𝜇𝐵 Resposta Como o tamanho das duas amostras é menor do que 50 15 e 22 utilizase o teste SW Analisando os Sig 0387 e 0372 verificase que ambos são maiores do que 001 alfa Sendo assim podese afirmar que as duas amostras grupos seguem uma distribuição Normal Como os tamanhos das amostras são diferentes podemos afirmar que elas não são dependentes Como seguem uma distribuição Normal e são independentes utilizase o teste t para amostras independentes No teste de Levene como o Sig 0947 é maior do que 001 alfa podemos assumir igualdade de variâncias Analisando a primeira linha do teste t para igualdade de médias temos que o Sig2 00005 é menor do que 001 alfa e podemos afirmar que há diferenças significativas entre as vendas dos postos Analisando as estatísticas descritivas observamos que o posto B vende menos do que o posto A 9 Uma empresa gostaria de analisar o impacto da introdução de um novo filme comercial de propaganda e sua relação com as vendas diárias de uma amostra de 16 lanchonetes de uma grande rede internacional A intenção é analisar se a exposição do filme havia contribuído de fato para o aumento das vendas médias das lanchonetes Houve uma melhora nas vendas após a exposição do filme Faça uma análise ao nível de 1 𝐻0𝜇𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 𝜇𝐷𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝐻𝑎𝜇𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 𝜇𝐷𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 Resposta Como as amostras tem tamanho igual a 16 que é menor do que 50 utilizase o teste SW e verificase que ambos têm Sig 0451 e 0234 maior do que 001 alfa Sendo assim podemos assumir que os grupos Antes e Depois seguem uma distribuição Normal Como temos o mesmo de tamanho de amostra é necessário analisar o teste de correlação Como o Sig do teste é igual a 0004 que é menor do que 001 alfa rejeitase a hipótese nula Elevando a correlação ao quadrado temos que 067920461 e como está próxima de 05 podemos afirmar que há correlação entre os grupos Portanto as amostras são pareadas Analisandose o teste t para amostras dependentes verificamos que o Sig 0402 é maior do que 001 alfa e podemos concluir que não há diferenças significativas entre as médias de vendas Antes e Depois do comercial 10 Uma organização de educação de consumidores afirma que há uma diferença entre a média da dívida do cartão de crédito de homens e mulheres É realizada uma pesquisa aleatória de 200 indivíduos de cada grupo Os resultados apoiam a afirmação da organização Use alfa igual a 5 𝐻0𝜇𝑀𝑎𝑠𝑐𝑢𝑙𝑖𝑛𝑜 𝜇𝐹𝑒𝑚𝑖𝑛𝑖𝑛𝑜 𝐻𝑎𝜇𝑀𝑎𝑠𝑐𝑢𝑙𝑖𝑛𝑜 𝜇𝐹𝑒𝑚𝑖𝑛𝑖𝑛𝑜 Resposta Como as amostras tem tamanho igual a 200 que é maior do que 50 utilizase o teste KS e verificase que ambos têm Sig 0200 e 0200 maior do que 005 alfa Sendo assim podemos assumir que os grupos Masculino e Feminino seguem uma distribuição Normal Como temos o mesmo de tamanho de amostra é necessário analisar o teste de correlação Como o Sig do teste é igual a 0111 que é maior do que 005 alfa não rejeitase a hipótese nula e sendo assim concluise que os grupos são independentes Analisandose o teste t para amostras independentes no teste de Levene verificamos que o Sig 0379 é maior do que 005 alfa e podemos assumir que existe igualdade de variâncias Analisando a primeira linha verificamos no teste de igualdade de médias que o Sig 0465 é maior do que 005 alfa sendo assim podemos concluir que não há diferenças significativas entre as médias da dívida do cartão de crédito de homens e mulheres 11 Uma associação afirma que a média do custo diário para refeições e acomodações para férias em um estado do norte é menor do que a mesma média de custos para férias em um estado do sul Os resultados de uma pesquisa aleatória de turistas em cada estado são apresentados a seguir Sabendose que o alfa é igual a 1 existe evidência suficiente para apoiar a afirmação 𝐻0𝜇𝑁𝑜𝑟𝑡𝑒 𝜇𝑆𝑢𝑙 𝐻𝑎𝜇𝑁𝑜𝑟𝑡𝑒 𝜇𝑆𝑢𝑙 Resposta No teste de assimetria e curtose como as divisões estão dentro do intervalo de 2 a 2 podemos dizer que Norte e Sul seguem uma distribuição Normal Sendo assim devemos analisar um teste paramétrico para duas amostras Como os tamanhos das amostras são diferentes podemos afirmar que elas não são dependentes Como seguem uma distribuição Normal e são independentes utilizase o teste t para amostras independentes No teste de Levene como o Sig 0000 é menor do que 001 alfa não podemos assumir igualdade de variâncias Analisando a segunda linha do teste t para igualdade de médias temos que o Sig2 02395 é maior do que 001 alfa e não podemos rejeitar a hipótese nula Sendo assim não é possível afirmar que a média do custo diário para refeições e acomodações para férias em um estado do norte é menor do que a mesma média de custos para férias em um estado do sul 12 Um médico afirma que uma droga experimental aumenta o índice cardíaco de um indivíduo Foram selecionados 12 indivíduos para um teste e então o índice cardíaco de cada um é medido Os indivíduos recebem então a droga e depois de uma hora têm seu índice cardíaco medido novamente Há evidência suficiente para apoiar a afirmação do médico para alfa igual a 10 𝐻0𝜇𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 𝜇𝐷𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝐻𝑎𝜇𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 𝜇𝐷𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 Assimetria Curtose 12582 05544 08492 00656 Resposta Como as amostras tem tamanho igual a 12 que é menor do que 50 utilizase o teste SW e verificase que ambos têm Sig 0820 e 0488 maior do que 010 alfa Sendo assim podemos assumir que os grupos Antes e Depois seguem uma distribuição Normal Como temos o mesmo de tamanho de amostra é necessário analisar o teste de correlação Como o Sig do teste é igual a 0007 que é menor do que 010 alfa rejeitase a hipótese nula Elevando a correlação ao quadrado temos que 0733205373 e como é maior do que 05 podemos afirmar que há correlação entre os grupos Portanto as amostras são pareadas Analisandose o teste t para amostras dependentes verificamos que o Sig2 00860 é menor do que 010 alfa e podemos rejeitar a hipótese nula Sendo assim a afirmação do médico está correta