Aula 4: Conceito de Função e Função do 1 Grau em Matemática e Estatística

Matemática e Estatística Professor Carlos Henrique de Jesus Costa AULA 4 Conceito de fungao e fungao do 1 PPA cersarsensctctsntntctntntcentntntnsntneerntneeenetD Conceito de fungao Wes vmemeree Qasrvrl ee OY La alsa lendnee anaaaaminsealect Fungao do 1 grau 1 C eanadueredoonsegered te ml eens tts rvs Orne WD REFErENCIAS cacseuecssnseseutetetememeeteetntneeetetneemesteneeniiteeeesees OD AULA 4 Matematica e Estatistica AULA 4 Matemática e Estatística Conceito de função e função do 1 grau Conceito de função Com frequência encontramos em nosso dia a dia RELAÇÕES ENTRE DUAS GRANDEZAS que variam de valor por exemplo Gráfico 1 Representação gráfica da função demanda fx 025x 3 Fonte Elaborado pelo professor Veja que o gráfico representa uma relação entre duas grandezas Na linha horizontal x temos a grandeza quantidade Q de sorvetes Na linha horizontal y temos a grandeza preço P do sorvete Essa relação entre as grandezas quantidade x variável independente e preço y variável dependente é chamada de função Importante Em Economia esse gráfico representa uma função Demanda pois o aumento nos preços do sorvete causará um decréscimo na quantidade consumida ou demandada e quando o preço baixar ocorrerá um acréscimo na quantidade consumida Então podemos concluir que a função Demanda é geralmente decrescente conforme demonstra o gráfico 3 AULA 4 Matemática e Estatística Exemplos de funções quando o valor de uma quantidade depende do valor de outra Salário variável dependente y depende do número de horas trabalhadas variável independente x Produção de uma fábrica depende do número de máquinas utilizadas Demanda de um certo produto depende do preço praticado pelo mercado etc Exemplos 1 Veja um exemplo de função dado por uma regra termologia Dados os conjuntos A 1 2 0 1 2 e B 1 0 1 2 3 4 5 6 seja a relação de A em B expressa pela regra y x 3 ou fx x 3 com 𝑥 𝐴 e 𝑦 𝐵 Função é uma relação ou correspondência entre duas grandezas de maneira que a cada valor da primeira corresponde um único valor da segunda o qual chamamos imagem 4 AULA 4 Matemática e Estatística Gráfico Pares ordenados obtidos A12 B21 C03 D14 E25 2 Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes uma parte fixa no valor de R 90000 e uma parte variável a qual corresponde a uma comissão de 8 do total de vendas que ele fez durante o mês a Expressar a função que representa seu salário mensal b Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R 4000000 em produtos 5 AULA 4 Matemática e Estatística Resolução Resposta O salário do vendedor será de R 410000 3 Dada a função fx 5x 8 calcule a f2 b f3 c f5 2f0 d 8f10 10f7 Resolução a f2 Trocaremos o valor do x 2 na função assim fx 5x 8 f2 52 8 f2 10 8 f2 18 6 AULA 4 Matemática e Estatística b f3 Trocaremos o valor do x 3 na função assim fx 5x 8 f3 53 8 f3 15 8 f3 7 c f5 2f0 Calcularemos primeiro f5 e f0 e depois trocaremos na expressão fx 5x 8 f5 55 8 f5 25 8 f5 17 fx 5x 8 f0 50 8 f0 0 8 f0 8 Agora trocando na expressão temos f5 2f0 17 28 17 16 1 d 8f10 10f7 Calcularemos primeiro f10 e f7 e depois trocaremos na expressão fx 5x 8 fx 5x 8 f10 510 8 f7 57 8 f10 50 8 f7 35 8 f10 42 f7 43 Agora trocando na expressão temos 8f10 10f7 842 1043 336 430 94 4 Dadas as funções definidas por 𝑓𝑥 1 3 𝑥 2 e 𝑔𝑥 𝑥 2 𝑥2 10 calcule a expressão a seguir 𝑔5 𝑓9 7 AULA 4 Matemática e Estatística Resolução Calcularemos primeiro g5 e f9 e depois trocaremos na expressão 𝑔𝑥 𝑥 2 𝑥2 10 𝑔5 5 252 10 5 225 10 5 50 10 35 𝑓𝑥 1 3 𝑥 2 𝑓9 1 3 9 2 3 2 1 Agora trocando na expressão temos 𝑔5 𝑓9 35 1 34 5 Um celular é vendido por R 92400 a unidade Sendo x a quantidade vendida a receita de vendas será 924x Assim podemos dizer que Rx 924x é uma função que fornece para a quantidade vendida x a receita correspondente Agora sabendo que o custo de fabricação de x unidades desses celulares é dado pela função Cx 600 28965x calcule o lucro obtido na venda de 500 celulares Obs Lucro Receita Custo ou Lx Rx Cx 1ª Resolução Calcularemos primeiro a receita na venda de 500 celulares Rx 924x R500 924500 462000 ou R 46200000 Agora calcularemos o custo de fabricação de 500 celulares Cx 600 28965x C500 600 28965500 600 144825 145425 ou R 14542500 Finalmente calcularemos o lucro na venda de 500 celulares Lx Rx Cx L500 R500 C500 462000 145425 316575 ou R 31657500 Resposta O lucro obtido na venda de 500 celulares será de R 31657500 8 AULA 4 Matemática e Estatística 2ª Resolução cálculo direto pela função lucro Como sabemos que a função Receita é Rx 924x e a função Custo é Cx 600 28965x trocaremos na função lucro Lx Rx Cx Lx 924x 600 28965x Lx 924x 600 28965x somando os termos semelhantes Lx 63435x 600 função Lucro Agora calcularemos o lucro na venda de 500 celulares Lx 63435x 600 L500 63435500 600 317175 600 316575 ou R 31657500 Resposta O lucro obtido na venda de 500 celulares será de R 31657500 Funções crescentes e decrescentes Um outro conceito de função que é fácil de entender graficamente é a condição de ser crescente decrescente ou constante sobre um intervalo Dizemos que uma função é crescente em um intervalo a b se à medida que aumenta o valor de x dentro do intervalo as imagens y correspondentes também aumentam Analogamente dizemos que uma função é decrescente em um intervalo a b se à medida que aumenta o valor de x dentro do intervalo as imagens y correspondentes diminuem Analisaremos os gráficos a seguir sempre da esquerda para direita ok Veja que temos três gráficos sendo que o primeiro é crescente o segundo constante e o terceiro decrescente 9 AULA 4 Matemática e Estatística Agora veja que podemos ter no mesmo gráfico essas três variações crescentes decrescentes e constantes Exemplos 1 Observando os gráficos a seguir determine os intervalos em que as funções são crescentes decrescentes ou constantes a Resposta Crescente no intervalo em x 6 2 e 2 3 10 AULA 4 Matemática e Estatística Decrescente no intervalo em x 2 2 Constante no intervalo em x 3 7 b Resposta Crescente no intervalo em x 2 6 Decrescente no intervalo em x 3 2 Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Atividades práticas 1 Uma papelaria vende cadernos universitários por R 2250 a unidade Seja x a quantidade vendida a Obtenha a função Receita Rx Resposta Rx 225x b Calcule R18 Resposta R 40500 c Qual quantidade de cadernos universitários deve ser vendida para dar uma receita igual a R 85500 Resposta 38 unidades 11 AULA 4 Matemática e Estatística 2 Dada a função fx 3x 10 calcule a f2 Resposta 16 b 𝑓 1 3 Resposta 9 c 𝑓10 10 𝑓0 5𝑓1 5 Resposta 13 3 Dadas as funções definidas por 𝑓𝑥 10 2 5 𝑥 e 𝑔𝑥 𝑥2 1 calcule a expressão a seguir 2 𝑓25 8 𝑔16 Resposta 2040 4 Chamase custo médio de fabricação de um produto o custo de produção total Cx dividido pela quantidade produzida x Indicando o custo médio correspondente a x unidades produzidas temos a seguinte função 𝑪𝒎𝒆𝒙 𝑪𝒙 𝒙 Temos que o custo de fabricação de x unidades de um produto é Cx 10x 350 a Qual é o custo médio de fabricação de dez unidades Resposta 𝐶𝑚𝑒10 𝑅 4500 b Qual é o custo médio de fabricação de 35 unidades Resposta 𝐶𝑚𝑒35 𝑅 2000 5 Observando o gráfico a seguir determine os intervalos em que as funções são crescentes ou decrescentes 12 AULA 4 Matemática e Estatística Resposta Crescente no intervalo em x 7 0 e 4 6 Decrescente no intervalo em x 0 4 Função do 1 grau Uma função do 1 grau ou função afim é uma função polinomial de grau 1 um e assim tem a forma 𝑓𝑥 𝐴 𝑥 𝐵 ou 𝑦 𝐴 𝑥 𝐵 em que 𝑥 𝑅 e A e B são constantes e 𝐴 0 Importante A constante A é chamada de coeficiente angular e representa a variação de y quando A é positivo ou 𝐴 0 então o gráfico corresponde a uma função crescente e quando A é negativo ou 𝐴 0 então o gráfico corresponde a uma função decrescente 13 AULA 4 Matemática e Estatística A constante B é chamada de coeficiente linear e representa no gráfico o valor de intersecção da reta com o eixo y Verificase que o gráfico de uma função do 1 grau é uma reta Assim o gráfico pode ser obtido por meio de dois pontos diferentes pois dois pontos diferentes determinam uma reta Resumo esboço gráfico O coeficiente angular A de uma reta não vertical que passa pelos pontos 𝑃1𝑥1 𝑦1 e 𝑃2𝑥2 𝑦2 é dado por 𝐴 𝑦2 𝑦1 𝑥2 𝑥2 Exemplo 1 Obtenha o coeficiente angular da reta que passa por 𝑃1 e 𝑃2 nos seguintes casos a 𝑃1 4 1 e 𝑃2 6 3 b 𝑃1 2 3 e 𝑃2 0 5 Resolução Calcularemos o coeficiente angular A pela fórmula 𝐴 𝑦2 𝑦1 𝑥2 𝑥2 14 AULA 4 Matemática e Estatística a 𝑃1 4 1 e 𝑃2 6 3 𝑃1 𝑥1 𝑦1 e 𝑃2𝑥2 𝑦2 𝐴 𝑦2 𝑦1 𝑥2 𝑥2 𝐴 31 64 31 2 4 2 2 Resposta O coeficiente angular é A 2 Assim podemos concluir que esta função do 1 grau é crescente pois o valor de A é positivo b 𝑃1 2 3 e 𝑃2 0 5 𝑃1 𝑥1 𝑦1 e 𝑃2𝑥2 𝑦2 𝐴 𝑦2 𝑦1 𝑥2 𝑥2 𝐴 53 02 2 2 1 Resposta O coeficiente angular é A 1 Assim podemos concluir que esta função do 1 grau é decrescente pois o valor de A é negativo 2 Calcule a equação da reta que passa pelo ponto P e tem coeficiente angular A nos seguintes casos a 𝑃 3 10 e 𝐴 1 b 𝑃 2 1 e 𝐴 2 Resolução a 𝑃 3 10 e 𝐴 1 𝑃 𝑥 𝑦 15 AULA 4 Matemática e Estatística Substituiremos esses valores diretamente na equação da reta 𝑦 𝐴 𝑥 𝐵 10 13 𝐵 10 3 𝐵 10 3 𝐵 13 𝐵 𝑜𝑢 𝐵 13 Agora montamos a equação da reta 𝑦 𝐴 𝑥 𝐵 com A 1 e B 13 assim temos 𝑦 𝐴 𝑥 𝐵 𝑦 1 𝑥 13 ou 𝑦 𝑥 13 b 𝑃 2 1 e 𝐴 2 𝑃 𝑥 𝑦 Substituiremos esses valores diretamente na equação da reta 𝑦 𝐴 𝑥 𝐵 1 2 2 𝐵 1 4 𝐵 1 4 𝐵 3 𝐵 𝑜𝑢 𝐵 3 Agora montamos a equação da reta 𝑦 𝐴 𝑥 𝐵 com A 2 e B 3 assim temos 𝑦 𝐴 𝑥 𝐵 𝑦 2 𝑥 3 3 Encontre a equação da reta 𝑦 𝐴 𝑥 𝐵 função do 1 grau que passa pelos pontos 𝑃1 1 4 e 𝑃2 3 2 e represente graficamente 16 AULA 4 Matemática e Estatística Resolução Pontos 𝑃1 1 4 e 𝑃2 3 2 𝑃1 𝑥1 𝑦1 e 𝑃2𝑥2 𝑦2 1 passo calcularemos o coeficiente angular A pela fórmula 𝐴 𝑦2 𝑦1 𝑥2 𝑥2 24 3 1 24 3 1 6 2 3 2 passo calcularemos o coeficiente linear B Para isso utilizaremos o valor de A 3 e escolher um ponto entre 𝑃1 1 4 e 𝑃2 3 2 qualquer ponto que escolhermos dará o mesmo resultado ok A 3 e 𝑃1 1 4 𝑦 𝐴 𝑥 𝐵 4 31 𝐵 4 3 𝐵 4 3 𝐵 7 𝐵 𝑜𝑢 𝐵 7 3 passo montando a equação da reta 𝑦 𝐴 𝑥 𝐵 com A 3 e B 7 assim temos 𝑦 𝐴 𝑥 𝐵 𝑦 3 𝑥 7 17 AULA 4 Matemática e Estatística Representação gráfica Confirmação numérica Agora com a equação da reta 𝑦 3𝑥 7 podemos descobrir qualquer ponto em cima dessa reta por exemplo quando x 2 olhando pelo gráfico anterior podemos concluir que o y 1 Então temos um ponto 2 1 Para confirmarmos esse resultado utilizaremos a equação da reta encontrada 𝑦 3𝑥 7 Para x 2 temos 𝑦 32 7 𝑦 6 7 𝑦 1 Trocando na equação da reta x 2 achamos y 1 comprovando que o ponto sugerido como exemplo é 2 1 4 Sabendo que o custo fixo mensal de fabricação de um produto é R 200000 e o custo variável por unidade é R 1200 expresse sua função que representa seu custo total com x como unidades fabricadas e represente graficamente 18 AULA 4 Matemática e Estatística Resolução Para expressar a função Custo total sabemos que Custo Total Custo Fixo Custo Variável Custo Total R 200000 R 1200 por unidade produzida Cx 2000 12x Agora para representarmos graficamente daremos dois valores aleatoriamente para a variável x unidades fabricadas e obtermos y que é o custo total então x Cx 2000 12x y Pontos 0 C0 2000 120 2000 0 2000 𝑃1 0 2000 250 Cx 2000 12250 2000 3000 5000 𝑃2 250 5000 Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados 19 AULA 4 Matemática e Estatística Atividades práticas 1 Obtenha o coeficiente angular da reta que passa por 𝑃1 e 𝑃2 nos seguintes casos a 𝑃1 0 3 e 𝑃2 2 5 Resposta A 1 b 𝑃1 5 2 e 𝑃2 2 1 Resposta 𝐴 3 7 2 Calcule a equação da reta que passa pelo ponto P e tem coeficiente angular A nos seguintes casos a 𝑃 0 4 e 𝐴 3 Resposta 𝑦 3𝑥 4 b 𝑃 2 7 e 𝐴 15 Resposta 𝑦 15𝑥 10 3 Encontre a equação da reta 𝑦 𝐴 𝑥 𝐵 função do 1 grau que passa pelos pontos a 𝑃1 8 1 e 𝑃2 2 10 Resposta 𝑦 15𝑥 13 b 𝑃1 3 13 e 𝑃2 1 5 Resposta 𝑦 4𝑥 1 c 𝑃1 25 1 e 𝑃2 3 2 Resposta 𝑦 2𝑥 4 4 Uma pessoa com problemas de saúde precisava emagrecer seu médico lhe passa um regime que deve ser seguido rigorosamente Sabendo que o peso dessa pessoa era de 140 kg e ela consegue emagrecer por volta de 4 quatro quilos por semana podemos estabelecer uma equação para o peso quilos em função do tempo semanas 20 AULA 4 Matemática e Estatística O gráfico a seguir mostra a evolução do peso dessa pessoa em função do tempo a Expresse a função que representa a evolução do peso dessa pessoa em função do tempo Resposta 𝑦 140 4 𝑥 b Sabendo que o peso ideal da pessoa era de 64 quilos quantas semanas serão necessárias para que a pessoa adquira o peso ideal Resposta O regime durou 19 semanas 5 Uma empresa pretende lançar uma bola de futebol exclusiva e estima que a quantidade vendida será 12000 unidades por ano Se o custo fixo de fabricação for R 6000000 por ano e o variável por unidade R 4150 qual é o preço mínimo que deverá cobrar pela bola para não ter prejuízo Agora sabendo que o preço de venda passe a ser R 6230 por unidade qual será seu lucro no ano com a venda de 12000 bolas Expresse a função para cálculo do lucro diretamente Sabendo Receita Preço x Quantidade Custo Total Custo Fixo Custo Variável Lucro Receita Custo Respostas 1ª O preço mínimo será de R 4650 para que não se tenha prejuízo 2ª O lucro será de R 18960000 na venda de 12000 bolas no ano 3ª Função Lucro 𝐿𝑥 208 𝑥 60000 21 AULA 4 Matemática e Estatística Conclusão Esperamos que com o conceito de função e a função do 1 grau apresentados nesta aula tenha facilitado seu entendimento na construção de modelos matemáticos que utilizamos em situações do dia a dia como no cálculo do salário de um vendedor ou do lucro de um certo produto Para melhor aproveitamento procure reler o material teórico e refazer todos os exemplos do material e para complementar seus estudos ou aprofundálos não deixe de fazer as Atividades Práticas propostas ok Bons estudos 22 AULA 4 Matemática e Estatística Referências DEMANA F D et al Précálculo 2 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 GOLDSTEIN L J et al Matemática aplicada economia administração e contabilidade 12 ed Porto Alegre Bookman 2012 JACQUES I Matemática para economia e administração 6 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 JOHNSON R KUBY P Estat São Paulo Cengage Learning 2013 LAPA N Matemática aplicada São Paulo Saraiva 2012 SWEENEY D J WILLIAMS T A ANDERSON D R Estatística aplicada à administração e economia 3 ed São Paulo Cengage Learning 2013 VERAS L L Matemática aplicada à economia síntese da teoria 3 ed São Paulo Atlas 2011 VIEIRA S Estatística básica São Paulo Cengage Learning 2015 23