Exercicios Resolvidos Revisao P2 Estatistica e Probabilidade - Gabarito

EXERCÍCIOS DE REVISÃO P2 GABARITO 1 Seja X uma variável aleatória discreta com a função de probabilidades dada por a Mostre que PX é uma função discreta de probabilidades b Calcular a média e a variância da distribuição c Calcule P2 X 5 Solução a Todos os pi estão entre 0 e 1 e 𝑝𝑖 031 016 022 025 006 1 5 𝑖1 Logo é uma função de probabilidade b 𝐸𝑋 𝑖 𝑝𝑖 1 031 2 016 3 022 4 025 5 006 259 5 𝑖1 𝑣𝑎𝑟𝑋 𝑖2 𝑝𝑖 𝐸𝑋2 1 031 4 016 9 022 16 025 25 006 2592 5 𝑖1 17219 c 𝑃2 𝑋 5 𝑃2 𝑃3 𝑃4 016 022 025 063 2 A probabilidade de uma pessoa ficar imunizada ao tomar uma dose de uma determinada vacina contra gripe é de 07 Sabendo que 4 pessoas tomaram uma dose dessa vacina determine a probabilidade de a 3 pessoas terem ficado imunizadas b Mais de 2 terem ficado imunizadas c No mínimo 1 e no máximo 3 terem ficado imunizadas d Todas terem sido imunizadas Solução 𝑃𝑋 𝑘 𝑛 𝑘 𝑝𝑘1 𝑝𝑛𝑘 4 𝑘 07𝑘034𝑘 a 𝑃𝑋 3 4 3073031 04116 b 𝑃𝑋 2 𝑃3 𝑃4 4 3073031 4 4074030 06517 c 𝑃1 𝑋 3 𝑃1 𝑃2 𝑃3 07518 d 𝑃𝑋 4 4 4074030 02401 3 Considere dois eventos A e B sabendo que PA 12 PB 14 e PAB 15 determine a PA B b PA B c PB A d PA Bc Solução a 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 1 2 1 4 1 5 11 20 b 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐵 1 5 1 4 4 5 c 𝑃𝐵𝐴 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐴 1 5 1 2 2 5 d 𝑃𝐴 𝐵𝑐 1 𝑃𝐵 𝐴 1 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 1 1 4 1 5 19 20 4 Acreditase que numa certa população 20 de seus habitantes sofrem de algum tipo de alergia e são classificados como alérgicos para fins de saúde pública Sendo alérgico a probabilidade de ter reação a um certo antibiótico é de 05 Para os não alérgicos essa probabilidade é de apenas 005 Uma pessoa dessa população teve reação ao ingerir o antibiótico qual a probabilidade de a Ser do grupo não alérgico b Ser do grupo alérgico Solução PA 02 PAc 08 PRA 05 e PRAc 005 a 𝑃𝐴𝑐𝑅 𝑃𝑅𝐴𝑐𝑃𝐴𝑐 𝑃𝑅𝐴𝑐𝑃𝐴𝑐𝑃𝑅𝐴𝑃𝐴 00508 005080502 004 014 02857 b 𝑃𝐴𝑅 𝑃𝑅𝐴𝑃𝐴 𝑃𝑅𝐴𝑐𝑃𝐴𝑐𝑃𝑅𝐴𝑃𝐴 0502 005080502 01 014 07143 5 Sendo X uma variável seguindo o Modelo Uniforme Discreto com os valores no conjunto 1 2 3 10 pergunta se a P X 7 b P 3 X 7 c P X 2 ou X 8 d P X 5 ou X 8 e P X 3 e X 6 f P X 9 X 6 Solução PXk 110 para k 1 2 3 10 a 𝑃𝑋 7 𝑃7 𝑃8 𝑃9 𝑃10 4 10 2 5 b 𝑃3 𝑥 7 𝑃3 𝑃4 𝑃5 𝑃6 𝑃7 5 10 1 2 c 𝑃𝑥 2 𝑜𝑢 𝑥 8 𝑃1 𝑃8 𝑃9 𝑃10 4 10 2 5 d 𝑃𝑥 5 𝑜𝑢 𝑥 8 𝑃𝑥 5 𝑃5 𝑃6 𝑃7 𝑃8 𝑃9 𝑃10 6 10 3 5 e 𝑃𝑥 3 𝑒 𝑥 6 𝑃4 𝑃5 2 10 1 5 f 𝑃𝑥 9𝑥 6 𝑃6𝑥9 𝑃𝑥6 𝑃6𝑃7𝑃8𝑃9 𝑃6𝑃7𝑃8𝑃9𝑃10 4 10 5 10 4 5 6 Sendo X uma variável discreta seguindo o Modelo Binomial com parâmetros n 15 e p 04 pergunta se a P X 14 b P 8 X 10 c P X 2 ou X 11 d P X 11 ou X 13 e P X 3 e X 6 f A média e a variância Solução 𝑃𝑋 𝑘 𝑛 𝑘𝑝𝑘1 𝑝𝑛𝑘 15 𝑘 04𝑘0615𝑘 a 𝑃𝑋 14 𝑃15 15 150415060 107𝑥106 0 b 𝑃8 𝑋 10 𝑃9 𝑃10 15 9 049066 15 100410065 00857 c 𝑃𝑋 2 𝑜𝑢 𝑋 11 𝑃0 𝑃1 𝑃11 𝑃12 𝑃13 𝑃14 𝑃15 001452 d 𝑃𝑋 11 𝑜𝑢 𝑋 13 𝑃𝑋 11 𝑃11 𝑃12 𝑃13 𝑃14 𝑃15 00093 e 𝑃𝑋 3 𝑒 𝑋 6 𝑃4 𝑃5 03127 f 𝐸𝑋 𝑛 𝑝 15 04 6 𝑣𝑎𝑟𝑋 𝑛 𝑝 1 𝑝 15 04 06 36 7 Uma certa doença pode ser curada através de procedimento cirúrgico em 80 dos casos Dentre os que têm essa doença sorteamos 15 pacientes submetidos à cirurgia Fazendo alguma suposição que julgar necessária responda qual a probabilidade de a Todos serem curados b Pelo menos 2 não serem curados c Ao menos 10 ficarem livres da doença d A média e a variância Solução 𝑃𝑋 𝑘 𝑛 𝑘 𝑝𝑘1 𝑝𝑛𝑘 15 𝑘 08𝑘0215𝑘 a 𝑃𝑋 15 15 150815020 00352 b 𝑃𝑋 13 1 𝑃14 𝑃15 08329 c 𝑃𝑋 10 09389 d Média Ex np 1508 12 Variância varx np1p 150802 24 8 Sendo X G 04 calcule a P X 3 b P 2 X 4 c P X 1 X 2 d P X 1 e A média e a variância Solução 𝑃𝑋 𝑘 𝑝1 𝑝𝑘 04 06𝑘 a 𝑃𝑋 3 04 063 00864 b 𝑃2 𝑥 4 𝑃2 𝑃3 04 062 04 063 02304 c 𝑃𝑋 1𝑋 2 𝑃2𝑋1 𝑃𝑋2 𝑃2 𝑃0𝑃1𝑃2 01837 d 𝑃𝑋 1 1 𝑃0 06 e Média 𝐸𝑥 1𝑝 𝑝 06 04 15 Variância 𝑣𝑎𝑟𝑥 1𝑝 𝑝2 06 016 375 9 Uma moeda equilibrada é lançada sucessivamente de modo independente até que ocorra a primeira cara Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos anteriores à ocorrência de cara Determine a P X 2 b P X 1 c P 3 X 5 d Quantas vezes deve no mínimo ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 80 de probabilidade Solução 𝑃𝑋 𝑘 𝑝1 𝑝𝑘 05 05𝑘 05𝑘1 a 𝑃𝑋 2 𝑃0 𝑃1 𝑃2 05 052 053 0875 b 𝑃𝑋 1 1 𝑃0 𝑃1 1 05 025 025 c 𝑃3 𝑋 5 𝑃4 𝑃5 00469 d P0 05 P1 025 P0 P1 075 P2 0125 P0 P1 P2 0875 maior que 80 Deve ser lançada no mínimo 2 vezes 10 A aplicação de fundo anti corrosivo em chapas de aço de 1m2 é feita mecanicamente e pode produzir defeitos pequenas bolhas na pintura de acordo com uma variável aleatória Poisson de parâmetro λ 1 por m2 Uma chapa é sorteada ao acaso para ser inspecionada pergunta se a probabilidade de a Encontrarmos pelo menos 1 defeito b No máximo 2 defeitos serem encontrados c Encontrarmos de 2 a 4 defeitos d Não mais de 1 defeito ser encontrado e A média e a variância Solução 𝑃𝑋 𝑘 𝑒𝜆𝜆𝑘 𝑘 𝑒11𝑘 𝑘 𝑒1 𝑘 a 𝑃𝑋 1 1 𝑝0 1 𝑒1 0 06321 b 𝑃𝑋 2 𝑃0 𝑃1 𝑃2 𝑒1 𝑒1 𝑒1 2 5𝑒1 2 09197 c 𝑃2 𝑋 4 𝑃2 𝑃3 𝑃4 𝑒1 1 2 1 6 1 24 02606 d 𝑃𝑋 1 𝑃0 𝑃1 2𝑒1 07358 e 𝐸𝑋 𝑣𝑎𝑟𝑋 λ 1 11 As alturas de 1000 estudantes de uma faculdade têm média 171m e desvio padrão 075m Supõe se que a distribuição das alturas é Normal a Quantos alunos têm altura superior a 176m b Entre 173 e 181m c Igual a 176m d Determine a tal que P X a 00910 Solução X N171 0752 𝑍 𝑋171 075 a 𝑃𝑋 175 𝑃 𝑋171 075 176171 075 𝑃𝑍 0067 1 𝑃𝑍 0067 1 05279 04721 aproximadamente 472 alunos b 𝑃173 𝑋 181 𝑃 173171 075 𝑍 181171 075 𝑃0027 𝑍 0133 𝑃𝑍 0133 𝑃𝑍 0027 05529 051077 004213 aproximadamente 42 alunos c PX176 0 d 𝑃𝑋 𝑎 𝑃 𝑍 𝑎171 075 00910 𝑍 𝑎171 075 133462 𝑎 171 075 133462 071 12 Seja X uma variável aleatória contínua que segue a distribuição exponencial X Exp3 Calcule a P 0 X 2 b P X 2 c P X 3 І X 2 d a média e a variância Solução 𝑃𝑎 𝑋 𝑏 𝑒𝛼𝑎 𝑒𝛼𝑏 𝑒3𝑎 𝑒3𝑏 a 𝑃0 𝑋 2 𝑒𝛼0 𝑒𝛼2 1 𝑒6 09975 b 𝑃𝑋 2 𝑃2 𝑋 𝑒6 0 00025 c 𝑃𝑋 3𝑋 2 𝑃2𝑋3 𝑃𝑋2 𝑒6𝑒9 𝑒6 09502 d Média 𝐸𝑋 1 𝛼 1 3 Variância 𝑣𝑎𝑟𝑋 𝜎2 1 𝛼2 1 9 FORMULÁRIO n nA PA B PA PB PA B PA PAPB B PA Eventos independentes P A B B P B PA 𝐸𝑥 𝑥 𝜇 𝑥𝑖 𝑝𝑖 𝑛 𝑖1 𝑣𝑎𝑟𝑋 𝐸𝑥2𝑝𝑖 𝜇2 𝑥𝑖 2𝑝𝑖 𝑛 𝑖1 𝜎 𝑣𝑎𝑟𝑥 𝑃𝑋 𝑘 𝑛 𝑘 𝑝𝑘 1 𝑝𝑛𝑘 𝑐𝑜𝑚 𝑛 𝑘 𝑛 𝑘𝑛𝑘 𝑝 𝑋𝑏𝑛 𝑝 PXa 1k com a 12k para X 𝑈𝑘 PXk p1pk com k 0 1 2 para X 𝐺𝑝 Para k 0 1 2 para X 𝑃𝑜𝜆 𝑃𝑋 𝑘 𝑒𝜆𝜆𝑘 𝑘