Vetores e Operações - Resumo Teórico com Exercícios Mackenzie

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia VETORES OPERAÇÕES RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS Baseado na bibliografia básica Prof Adilson e Profa Silmara Fevereiro 2023 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Segmentos Orientados Sejam dois pontos distintos A e B do espaço A B A origem B extremidade Igualdade de Segmentos Orientados ABCD AC e BD AC BD Segmentos Orientados Nulos AB Segmentos Orientados Opostos A B D C UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Características dos Segmentos Orientados COMPRIMENTO Medida do segmento geométrico em relação a uma unidade fixada m P 5m Q Comprimento sempre um nº positivo ou nulo DIREÇÃO Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se e somente se as retas AB e CD forem paralelas ou coincidentes E F A B C D H G EF e GH têm a mesma direção e sentidos opostos AB e CD têm a mesma direção e sentido UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia SENTIDO Dois segmentos orientados de mesma direção podem ter o mesmo sentido ou sentidos opostos Só é possível comparar os sentidos se eles têm a mesma direção B D G H A C F E UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Equipolência de Segmentos Orientados Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes se e somente se AB e CD tiverem as mesmas características isto é mesmo comprimento mesma direção e mesmo sentido ABCD Ex de pares de segmentos equipolentes B D A B C D C D A B A C Ex de pares de segmentos não equipolentes B C A B A B B D C A D C D A C D UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Propriedades da Equipolência REFLEXIVA ABAB SIMÉTRICA se ABCD então CDAB TRANSITIVA se ABCD e CDEF então ABEF TRANSPORTE Dado o segmento AB e o ponto C existe um único ponto D tal que ABCD A B C D UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Conceito de Vetor Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados ou seja é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a um segmento orientado AB dado B A Notações Utilizadas Igualdade de Vetores Dois vetores 𝐴𝐵 𝑒 𝐶𝐷 são iguais se e somente se os segmentos orientados AB e CD são equipolentes Vetores nulos são indicados por 0 são segmentos orientados nulos equipolentes entre si Ԧ𝑣 Ԧ𝑣 𝐴𝐵 ou notação de Grassmann Ԧ𝑣 BA UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Características de um Vetor MÓDULO é o comprimento de qualquer um dos representantes do vetor isto é o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados equipolentes que determinam esse vetor Módulo é um número positivo para vetor não nulo e zero para vetor nulo DIREÇÃO é a mesma direção dos segmentos orientados que o representam Dois vetores são paralelos quando têm a mesma direção O Vetor nulo não tem direção SENTIDO é o mesmo sentido dos segmentos orientados que o representam Só comparamos os sentidos se os vetores tiverem a mesma direção ou seja forem paralelos O vetor nulo não tem sentido VETOR OPOSTO A Ԧ𝑣 B Ԧ𝑣 𝐴𝐵 x 1 Ԧ𝑣 A B Ԧ𝑣 𝐴𝐵 𝐵𝐴 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Adição de Vetores Dados dois vetores 𝑢 𝑒 Ԧ𝑣 pelos seus representantes considere um ponto qualquer A e os pontos 𝐴𝐵 𝑢 e 𝐴𝐶 Ԧ𝑣 Por definição o vetor 𝑤 𝐴𝐷 𝑤 𝑢 Ԧ𝑣 C D Ԧ𝑣 𝑤 A 𝑢 B 𝑢 𝑢 𝑢 Ԧ𝑣 Ԧ𝑣 Ԧ𝑣 𝑢 Ԧ𝑣 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Propriedades a ASSOCIATIVA 𝑢 Ԧ𝑣 𝑤 𝑢 Ԧ𝑣 𝑤 b COMUTATIVA 𝑢 Ԧ𝑣 Ԧ𝑣 𝑢 c ELEMENTO NEUTRO 𝑢 0 0 𝑢 𝑢 d ELEMENTO OPOSTO 𝑢 0 𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 0 DIFERENÇA DE DOIS VETORES UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Multiplicação de um Número Real por um Vetor Dados 𝛼 ℜ 𝑒 𝑢𝑚 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 Ԧ𝑣 definese a multiplicação por 𝛼 Ԧ𝑣 da seguinte forma a Se 𝛼 0 ou se Ԧ𝑣 0 então 𝛼 Ԧ𝑣 é o vetor nulo ou seja 𝛼 Ԧ𝑣 0 b Se 𝛼 0 e Ԧ𝑣 0 então definimos para o vetor 𝛼 Ԧ𝑣 a Módulo 𝛼 Ԧ𝑣 𝛼 Ԧ𝑣 b Direção 𝛼 Ԧ𝑣 é paralelo ao vetor Ԧ𝑣 c Sentido Se 𝛼 0 o sentido de 𝛼 Ԧ𝑣 é o mesmo de Ԧ𝑣 Se 𝛼 0 o sentido de 𝛼 Ԧ𝑣 é oposto ao de Ԧ𝑣 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Exemplos 𝑢 2𝑢 𝑢 1 2 𝑢 1 2 𝑢 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Propriedades 𝑢 𝑒 Ԧ𝑣 𝑒 𝛼 𝛽 ℜ são válidas as seguintes propriedades a 𝛼 𝛽 Ԧ𝑣 𝛼𝛽 Ԧ𝑣 𝛼 𝛽 ℜ ASSOCIATIVA b 𝛼 𝑢 Ԧ𝑣 𝛼𝑢 𝛼 Ԧ𝑣 𝛼 ℜ DISTRIBUTIVA À ESQUERDA c 𝛼 𝛽 𝑢 𝛼𝑢 𝛽𝑢 DISTRIBUTIVA À DIREITA d 1𝑢 𝑢 ELEMENTO NEUTRO DA OPERAÇÃO VERSOR DE UM VETOR 𝑣 𝑣 𝑣 1 𝑣 Ԧ𝑣 𝑣 Características do Versor mesma direção e mesmo sentido de porém módulo unitário 𝛼 𝛽 ℜ Ԧ𝑣 Ԧ𝑣 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Bibliografia 1 Watanabe R G Mello D A VETORES E UMA INICIAÇÃO A GEOMETRIA ANALÍTICA 2 Ed LF Editorial 2011 São Paulo 2 Loreto A C C Junior A P L VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA Teoria e Exercícios 4 Ed LCTE Editora 2014 São Paulo 3 Winterle P Vetores e Geometria Analítica Makron Books Ltda 2000 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Exemplos 1 Localize os pontos de acordo com cada equação a 𝐴𝐵 2𝐴𝐶 c 𝐴𝐵 2 5 𝐴𝐷 b 𝐴𝐵 1 3 𝐴𝐷 d 𝐴𝐵 2𝐴𝐶 e 𝐴𝐵 2 3 𝐴𝐶 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Exemplos 1 Localize os pontos de acordo com cada equação a 𝐴𝐵 2𝐴𝐶 c 𝐴𝐵 2 5 𝐴𝐷 b 𝐴𝐵 1 3 𝐴𝐷 d 𝐴𝐵 2𝐴𝐶 e 𝐴𝐵 2 3 𝐴𝐶 A C B A B D A B D A C B A C B UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Exemplos 2 Dado um triângulo ABC e sabendo que sabendo que 𝐵𝑋 1 3 𝐵𝐴 escreva 𝐶𝑋 em função de 𝐶𝐴 e 𝐶𝐵 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Exemplos 2 Dado um triângulo ABC e sabendo que sabendo que 𝐵𝑋 1 3 𝐵𝐴 escreva 𝐶𝑋 em função de 𝐶𝐴 e 𝐶𝐵 𝐶𝑋 𝐶𝐵 𝐵𝑋 𝐶𝑋 𝐶𝐵 1 3 𝐵𝐴 𝐶𝑋 𝐶𝐵 1 3 𝐵𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝑋 𝐶𝐵 1 3 𝐶𝐵 1 3 𝐶𝐴 A B C X 𝐶𝑋 2 3 𝐶𝐵 1 3 𝐶𝐴 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Exemplos 3 A B C e D são vértices de um paralelogramo O lado 𝐴𝐵 foi dividido em 4 partes iguais e o lado 𝐷𝐶 em três partes iguais Sendo 𝐴𝐵 Ԧ𝑎 𝐴𝐷 𝑏 𝑢 𝐷𝐸 Ԧ𝑣 𝐶𝐹 e 𝑤 𝐺𝐻 escreva 𝑢 Ԧ𝑣 e 𝑤 em função de Ԧ𝑎 e 𝑏 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Exemplos 3 A B C e D são vértices de um paralelogramo O lado 𝐴𝐵 foi dividido em 4 partes iguais e o lado 𝐷𝐶 em três partes iguais Sendo 𝐴𝐵 Ԧ𝑎 𝐴𝐷 𝑏 𝑢 𝐷𝐸 Ԧ𝑣 𝐶𝐹 e 𝑤 𝐺𝐻 escreva 𝑢 Ԧ𝑣 e 𝑤 em função de Ԧ𝑎 e 𝑏 𝐷𝐸 𝑢 𝐷𝐸 𝐷𝐴 𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐴 1 4 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝑏 1 4 Ԧ𝑎 𝑢 𝑏 1 4 Ԧ𝑎 𝐶𝐹 Ԧ𝑣 𝐶𝐹 𝐶𝐵 𝐵𝐹 𝐶𝐹 𝑏 1 2 𝐵𝐴 Ԧ𝑣 𝑏 1 2 Ԧ𝑎 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Continuação 3 A B C e D são vértices de um paralelogramo O lado 𝐴𝐵 foi dividido em 4 partes iguais e o lado 𝐷𝐶 em três partes iguais Sendo 𝐴𝐵 Ԧ𝑎 𝐴𝐷 𝑏 𝑢 𝐷𝐸 Ԧ𝑣 𝐶𝐹 e 𝑤 𝐺𝐻 escreva 𝑢 Ԧ𝑣 e 𝑤 em função de Ԧ𝑎 e 𝑏 𝐺𝐻 𝑤 𝐺𝐻 𝐺𝐴 𝐴𝐷 𝐷𝐻 𝐷𝐸 𝐷𝐴 1 4 𝐴𝐵 𝐺𝐻 3 4 𝐵𝐴 𝑏 1 3 𝐷𝐶 3 4 Ԧ𝑎 𝑏 1 3 Ԧ𝑎 𝐺𝐻 5 12 Ԧ𝑎 𝑏 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE EE Escola de Engenharia Bibliografia 1 Watanabe R G Mello D A VETORES E UMA INICIAÇÃO A GEOMETRIA ANALÍTICA 2 Ed LF Editorial 2011 São Paulo 2 Loreto A C C Junior A P L VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA Teoria e Exercícios 4 Ed LCTE Editora 2014 São Paulo 3 Winterle P Vetores e Geometria Analítica Makron Books Ltda 2000