Geometria Analítica - Aulas 10 e 11

Posição Relativa entre Retas e Planos 1. Reta e Reta Dadas duas retas, queremos determinar se elas são paralelas, concorrentes ou reversas. Considere as retas r: X = A + λr e s: X = B + μs, com r = (a;b;c), A = (x1;y1;z1), s = (m;n;p) e B = (x2;y2;z2). Observe que: r e s são reversas se, e somente se, (r;s;AB) é L.I, ou seja, se e somente se, |x2-x1 y2-y1 z2-z1| | a b c | | m n p ≠ 0 r e s são paralelas se, e somente se, existe λ €R tal que r = λs. r e s são concorrentes se, e somente se, (r;s;AB) é L.D. e não são paralelas, ou seja, |x2-x1 y2-y1 z2-z1| | a b c | | m n p = 0 e (r;s) é L.I. Portanto, para determinar a posição relativa entre duas retas r e s basta seguir o roteiro: 1º Passo: Escolha r diretor de r, s diretor de s, A um ponto de r e B um ponto de s e verifique se (AB;r;s) é L.I. Se sim, r e s são reversas. Se não, 2º Passo. 2º Passo: Verifique se (r;s) é L.I. Se sim, r e s são concorrentes. Se não, r e s são paralelas. Resta agora verificar se r e s são distintas ou coincidentes no 3º Passo. 3º Passo: Verifique se A ∈s (ou se B∈r). Se sim, r e s são coincidentes. Se não, r e s são distintas. Exemplos: Determine a posição relativa e calcule a interseccão (caso haja) entre as retas r e s abaixo: a) r: X = (1;2;3) + λ (0;1;3) s: X = (3;0;1) + μ(4;2;6) b) r: X = (1;2;3) + λ (0;1;3) s: X = (1;2;3) + μ(1;1;3) c) r: X = (1;2;3) + λ (0;1;3) s: X = (1;2;3) + μ (0;2;6) 2. Reta e Plano Dados uma reta r e um plano π, queremos saber se r está contida em π, se r é paralela a π ou se r é transversal a π. Mas note que: r⊂π ⇔ r∩π tem infinitos pontos; r//π ⇔ r∩π = ∅ ; r⊄π ⇔ r∩π tem um único ponto. Suponha que Σ=(O;e1;e2;e3) é um sistema de coordenadas e sejam r:X=(x1;y1;z1)+λ(m;n;p) e π:ax+by+cz+d=0 com relação a esse sistema de coordenadas. Considere agora o sistema | x = x0 + λ·m | | y = y0 + λ·n | ⇒ | ax + by + cz + d = 0 | | z = z0 + λ·p | com quatro equações nas variáveis x, y, z, t. Pela regra de Cramer sabemos que o sistema tem solução única, se, e somente se, | 1 0 0 -m | | 0 1 0 -n | | 0 0 1 -p | | a b c d | ≠0 a·m + b·n + c·p ≠ 0 Logo, r é transversal a π ⇔ a·m + b·n + c·p ≠ 0. Ou analogamente, r⊂/⊄π ⇔ a·m + b·n + c·p = 0. Portanto, podemos verificar a posição relativa entre uma reta r e um plano π basta seguir o roteiro abaixo: 1º Passo: Escolha um vetor r = (m;n;p) paralelo a r e uma equação geral a·x + b·y + c·z + d=0 para o plano π e calcule a·m + b·n + c·p. Se a·m + b·n + c·p ≠ 0, então a r é transversal a π e para encontrar a interseccão basta resolver o sistema. Caso contrário, vá para o 2º Passo. 2° Passo: Se am+bn+cp=0, então r⊂π ou r//π. Então escolha um ponto A na reta r e verifique se A∈π. Se sim, r⊂π. Se não, r//π. Observações: 1) Se Σ é ortogonal, o vetor \(\vec{n}=(a;b;c)\) é normal ao plano π, então r⊂π ⇔ \(\vec{r} ⋅ \vec{n} = \langle \vec{r}, \vec{n} \rangle = 0\) r⊄π ou r//π ⇔ \(\vec{r} ⋅ \vec{n} ≠ 0\) 2) Conhecendo dois vetores \( \vec{u} = (d;e;f) \) e \( \vec{v} = (g;h;i) \) diretores de \( Π ≡ \pi = (m;i;p) \) paralelo a r, r π ⇔ \(( \vec{u}, \vec{v}, \vec{r}) \in L.I. ou seja \left| \begin{array}{ccc} d & e & f \\ m & n & p \end{array} \right| \neq 0\) Exemplos: 1) π: X = (1;1;3) + λ(1;-1;1) + μ(0;1;3) e r: X = (1;1;1) + α(3;2;1) 2) π: X = (1;0;1) + λ(1;1;1) + μ(0;0;3) e r: X = (2;2;1) + α(3;3;0) 3) \( \begin{cases} x = 4 + λ \\ y = 1 - λ \\ z = λ \end{cases} \) ∈ π: x+y−z+2=0 4) r: X = (1;1;0) + λ(1;-1;1) = π: x+y−z=0. Geometria Analítica 2 53 / 55 15/07/13 3. Plano e Plano Dados dois planos \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \), queremos determinar se \( \pi_1 = \pi_2 \), se \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \) são paralelos ou se \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \) são transversais. \( (\pi_1 = \pi_2, \pi_1 // \pi_2 \) ou \( \pi_1 \perp \pi_2). \) Sendo \( \pi_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \) e \( \pi_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \) as equações gerais de \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \) com respeito a um sistema de coordenadas \( \Sigma, \) considere o sistema \( \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \end{cases} \) Observe que: a) Se \( (a_1;b_1;c_1) \) e \( (a_2;b_2;c_2) \) são proporcionais, ou seja, se existe \( \lambda \in \mathbb{R} \) tal que \( a_1 = \lambda a_2, b_1 = \lambda b_2 \) e \( c_1 = \lambda c_2 \), então: (i) Se \( d_1 = \lambda d_2 \), temos que todo ponto de \( \pi_1 \) pertence a \( \pi_2 \) e vice versa. Portanto \( \pi_1 = \pi_2. \ (ii) Se \( d_1 \neq \lambda d_2 \), o sistema não tem solução. Portanto, \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \) são paralelos distintos. b) Se \( (a_1;b_1;c_1) \) e \( (a_2;b_2;c_2) \) não são proporcionais, então, por exclusão, \( \pi_1 \cap \pi_2 = \pi_1 \cap \pi_2 \) é uma reta. Observação: Se \( \Sigma \) é ortogonal, \( \vec{n}_1 = (a_1;b_1;c_1) \perp \pi_1 \) e \( \vec{n}_2 = (a_2;b_2;c_2) \perp \pi_2 \). Então \( \pi_1 = \pi_2 \) ou \( \pi_1 // \pi_2 \iff \vec{n}_1 // \vec{n}_2 \iff (\vec{n}_1, \vec{n}_2) \) é L.D. ou \( \pi_1 \perp \pi_2 \iff \vec{n}_1 \not\parallel \vec{n}_2 \iff (\vec{n}_1, \vec{n}_2) \) é L.I. Geometria Analítica 2 54 / 55 15/07/13 Exemplos: 1) \( \pi_1: X = (1;0;1) + \lambda (1;1;1) + \mu (0;1;1) \) e \( \pi_2: X = (0;0;0) + \alpha (1;0;1) + \beta (-1;0;3) \). 2) \( \pi_1: 2x - y + z = 4 \) e \( \pi_2: x - \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z - 9 = 0 \). Geometria Analítica 2 55 / 55 15/07/13 Don't Stop Believin'