Conceitos Básicos de Estatística: Medidas de Tendência Central e Dispersão

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE DISPERSÃO Professor Carlos Henrique de Jesus Costa AULA 7 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Conceitos básicos de estatística 3 Estatística descritiva e estatística indutiva 4 Medidas de tendência central 12 Média aritmética 12 Mediana 15 Moda 18 Medidas de dispersão 22 Amplitude total 22 Variância e desvio padrão 23 Referências 32 3 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Conceitos básicos de estatística Introdução Exemplos 1 Grandes empresas marcas ao lançarem um novo produto realizam antes pesquisas de mercado entre os prováveis consumidores 2 A pesquisa do desempenho dos times de futebol em um campeonato interfere no planejamento dos treinamentos de seus jogadores 3 Programas da mídia utilizam pesquisas para saber a preferência e tendência dos telespectadores 4 O professor realiza uma pesquisa em sala de aula para levantar o conhecimento de seus alunos e propor um método de ensino 5 A pesquisa eleitoral ajuda candidatos em estratégias de campanha Importante Para realização de cada uma dessas pesquisas temos várias etapas como o planejamento na escolha da amostra parte de uma população a coleta e organização dos dados informações o resumo desses dados em tabelas gráficos etc e a interpretação dos resultados para tomada de decisão 4 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Estatística descritiva e estatística indutiva Estatística descritiva é o conjunto de procedimentos adotados para descrever os dados observados por exemplo planejar coletar organizar interpretar um conjunto de dados numéricos e tirar conclusões para tomada de decisão de determinado fato Estatística indutiva ou estatística inferencial tem por objetivo obter e formar conclusões para a população a partir de uma amostra por meio do cálculo de probabilidade O cálculo de probabilidade é que viabiliza a inferência a dedução ou a estimação estatística População É o conjunto de todos os indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica em comum A população pode ser finita ou infinita Na prática quando um número de elementos de um grupo não é muito grande chamamos de população finita A coleta de dados e a interpretação das informações devem incluir todos do grupo por exemplo todos os funcionários que trabalham em uma pequena oficina de costura Já a população infinita é quando temos um número muito grande de elementos e dificilmente conseguiremos atingir a todos por exemplo a população da cidade de São Paulo ou todas as temperaturas nos diversos pontos do Brasil em determinado momento do dia Amostra É quando o universo estatístico é muito grande ou quando não é possível coletar dados de todos os seus elementos Portanto retirase desse universo um subconjunto no qual os dados são coletados Obs Quando a população é infinita não é possível fazer uma análise que inclua todos os seus elementos Nesse caso recorrese a uma parte da população à qual se chama 5 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão amostra e mesmo quando a população é finita há motivos que nos levam à utilização de uma amostra por exemplo motivos econômicos por ser caro observar um grande número de elementos motivos de tempo por ser uma observação demorada pode levar a resultados desatualizados etc Exemplos 1 Em um exame de sangue por exemplo especificamente em um exame de glicemia coletamos uma pequena amostra de sangue para avaliar o nível da glicose na circulação sanguínea Isso quer dizer que temos uma amostra de todo o sangue que circula em nosso corpo 2 Nas eleições é comum aparecerem pesquisas feitas por empresas especializadas em pesquisas eleitorais Será que nos resultados apresentados foram entrevistados todos os eleitores Com certeza não Isso quer dizer que somente uma parcela da população é entrevistada e isso constitui a amostra A amostra deve apresentar as mesmas características que havia na população 6 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 3 Ao preparar uma sopa a cozinheira prova uma colherada por meio da qual avalia o teor de sal Então ela analisa uma amostra para tomada de decisão isso quer dizer que não é preciso tomar toda a sopa da panela que é a população para saber seu gosto Dados brutos e rol Dados brutos são informações que foram coletadas na amostra e ainda não foram organizadas Esses dados praticamente não ajudam a analisar a variável que está sendo pesquisada Rol é a ordenação dessas informações que foram coletadas na amostra em ordem crescente ou decrescente 7 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Exemplos Em uma pesquisa com as alturas de dez pessoas temos os seguintes resultados 167 m 170 m 172 m 156 m 162 m 180 m 165 m 178 m 163 m 159 m Observe que os dados estão fora de sequência portanto os chamamos de dados brutos Agora colocaremos essas alturas em ordem crescente então temos 156 m 159 m 162 m 163 m 165 m 167 m 170 m 172 m 178 m 180 m Observe que organizamos os dados brutos Agora eles passam a ser chamados de rol Agora é sua vez Atividades práticas Construa o rol para cada uma das sequências de dados brutos a seguir 1 3 5 13 8 9 16 22 e 20 2 132 149 157 228 132 e 158 3 6 5 7 6 5 6 7 5 e 6 Resposta 1 3 5 8 9 13 16 20 e 22 2 132 132 149 157 158 e 228 3 5 5 5 6 6 6 6 7 e 7 8 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Variável As variáveis nos estudos estatísticos são os valores que assumem determinadas características dentro de uma pesquisa e podem ser classificadas em qualitativas ou quantitativas Variáveis qualitativas representam uma classificação dos indivíduos e seus valores são expressos por atributos ou seja são definidas por várias categorias Inclusive também são chamadas de variáveis categóricas e dividemse em nominal quando seus valores são expressos por atributos por exemplo a cor da pele o time preferido etc ou ordinal quando existe uma ordenação entre as categorias por exemplo satisfação com a cesta básica da empresa satisfeito pouco satisfeito ou insatisfeito conceito com o filme apresentado ótimo bom ou regular etc Variáveis quantitativas possuem um caráter nitidamente quantitativo e o conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica Dividemse em discreta quando são mensuráveis ou seja somente fazem sentido valores inteiros por exemplo número de irmãos número de geladeiras em sua casa etc ou em contínua quando assumem valores dentro de dois limites ou faixas de valores por exemplo renda familiar mensal temperatura em várias regiões etc Quadro de resumo das variáveis Obs Por exemplo quando perguntamos o número do título de eleitor de um determinado indivíduo temos a impressão de ser uma variável quantitativa mas Níveis de Satisfação 9 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão mesmo sendo um número classificamos o título de eleitor como uma variável qualitativa nominal ou variável categórica nominal pois cada um de nós temos um número de eleitor diferente uns dos outros Isso quer dizer que esse número qualifica identifica diferencia e categoriza cada um de nós portanto passa a ser uma qualidade Seguindo essa mesma lógica podemos também destacar como variáveis qualitativas o número do CPF Cadastro de Pessoa Física e o número do CEP Código de Endereçamento Postal Exemplos Em um shopping foi realizada uma pesquisa com 1000 pessoas que tinha como objetivo conhecer o perfil de compras do usuário nesse shopping Os entrevistados responderam então às perguntas 1 Qual é seu estado civil 2 Bairro onde mora 3 Quantas vezes por mês você vem a esse shopping 4 Qual é a principal razão de compra roupas produtos eletrônicos alimentação ou lazer 5 Qual é a quantia aproximada mensal que você costuma gastar neste shopping Agora classifique cada uma das questões anteriores em variáveis qualitativas categóricas ou quantitativas Resolução Variável qualitativa categórica perguntas 1 2 e 4 expressa atributos e qualidades Variável quantitativa perguntas 3 e 5 expressa quantidade inclusive podemos classificar ainda a pergunta 3 como variável quantitativa discreta e a pergunta 5 como variável quantitativa contínua você concorda Tabelas de frequência Após recolher os dados da pesquisa precisamos contar e classificar os dados coletados sobre uma determinada população ou amostra O primeiro procedimento é a construção de tabelas de frequência 10 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão A tabela de frequência é um quadro que resume um conjunto de dados organizados dispostos em linhas e colunas de maneira sistemática Exemplo A seguir temos os salários mensais em reais dos 20 funcionários de uma empresa 7200 7200 8000 8800 8800 7200 7600 8000 7600 7200 7600 8000 8800 7200 6800 7600 8000 7200 6800 7600 A partir desses dados podemos elaborar a seguinte tabela de frequência Salários 𝒙𝒊 Frequência absoluta 𝒇𝒊 Frequência absoluta acumulada 𝒇𝒂𝒄𝒖𝒎 Frequência relativa fi fr 𝑥100 Frequência relativa acumulada 𝒇𝒓𝒂 6800 2 2 𝟐 𝟐𝟎 𝟎 𝟏𝟎 𝒐𝒖 𝟏𝟎 10 7200 6 2 6 8 𝟔 𝟐𝟎 𝟎 𝟑𝟎 𝒐𝒖 𝟑𝟎 10 30 40 7600 5 8 5 13 𝟓 𝟐𝟎 𝟎 𝟐𝟓 𝒐𝒖 𝟐𝟓 40 25 65 8000 4 13 4 17 𝟒 𝟐𝟎 𝟎 𝟐𝟎 𝒐𝒖 𝟐𝟎 65 20 85 8800 3 17 3 20 𝟑 𝟐𝟎 𝟎 𝟏𝟓 𝒐𝒖 𝟏𝟓 85 15 100 20 100 Observando essa tabela de frequência podemos dizer que Na coluna da frequência absoluta o salário de 7200 reais é o que aparece com maior frequência e representa 30 dos salários pagos nessa empresa conforme mostra a coluna da frequência relativa Na coluna da frequência absoluta acumulada 13 funcionários recebem um salário igual ou inferior a 7600 reais e representam 65 dos funcionários dessa empresa conforme mostra a coluna da frequência relativa acumulada Se diminuirmos 100 menos 65 dos funcionários que recebem até 7600 reais temos que o restante 35 dos funcionários recebem salários iguais ou superiores a 8000 reais Agora é sua vez 11 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Tente resolver o exercício proposto e chegar aos resultados indicados Atividades práticas Um dado foi jogado 20 vezes sendo obtidos os seguintes resultados Jogadas obtidas em um dado Jogadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Resultado 1 5 6 5 2 2 2 4 6 5 2 3 3 1 6 6 5 5 4 2 Elabore uma tabela de frequência com as colunas de frequência absoluta frequência absoluta acumulada frequência relativa e frequência relativa acumulada Em seguida observando a tabela responda 1 Quantas vezes o número 2 foi obtido no dado 2 Quantas vezes o número obtido no dado foi menor que 5 3 Qual é o índice em em que o número 6 foi obtido no dado 4 Qual é o índice em em que números maiores que 4 foram obtidos no dado Resposta Tabela de frequência 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒇𝒂𝒄𝒖𝒎 𝑓𝑟 𝒇𝒓𝒂 1 2 2 10 010 20 2 ou 10 2 5 7 25 0 25 20 5 ou 35 3 2 9 10 010 20 2 ou 45 4 2 11 10 010 20 2 ou 55 5 5 16 25 0 25 20 5 ou 80 6 4 20 20 0 20 20 4 ou 100 20 100 12 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 1 Observando a coluna de frequência absoluta temos que o número 2 foi obtido cinco vezes no dado 2 Observando a coluna de frequência acumulada temos que em 11 jogadas realizadas com o dado obtivemos resultados menores que cinco 3 Observando a coluna de frequência relativa temos que o número 6 representa 20 dos resultados obtidos no dado 4 Observando a coluna de frequência relativa acumulada temos que 45 100 55 45 dos resultados obtidos no dado representam valores maiores que 4 Medidas de tendência central Elas recebem este nome por se posicionarem no centro da variável em estudo e as principais medidas são média aritmética moda e mediana Além disso as utilizamos quando pretendemos estudar uma dada população estatística e temos que recorrer a certos parâmetros que representam de forma precisa as características dessa população Média aritmética Representamos a média aritmética pelo símbolo 𝒙 xis barra e é uma medida muito utilizada em nosso dia a dia por exemplo quando queremos saber o preço médio da gasolina praticada em alguns postos ou quando queremos saber a média da temperatura clima que fez em determinado dia Porém a média é muito influenciada por valores extremos ou seja valores muito altos ou muito baixos Fórmulas Exemplos 13 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 1 Uma relojoaria vende a seguinte quantidade de relógios durante uma certa semana 2ª Feira 3ª Feira 4ª Feira 5ª Feira 6ª Feira Sábado Domingo 22 23 22 27 25 29 27 Qual foi a média de relógios vendidos durante essa semana Resolução Para resolver esse problema devemos utilizar a seguinte fórmula 𝑥 𝑥𝑖 𝑛 22 23 22 27 25 29 27 7 175 7 25 Então podemos dizer que essa relojoaria vende em média 25 relógios por dia 2 A pontuação final para um determinado concurso público é a média ponderada das provas de conteúdo profissional com peso 3 e as provas de conteúdo específico com peso 2 Nessas condições qual é a pontuação final de um candidato que obteve 46 acertos na prova de conteúdo profissional e 61 acertos na prova de conteúdo específico Resolução Para resolver esse problema devemos utilizar a seguinte fórmula 𝑥 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑓𝑖 46𝑥3 61𝑥2 3 2 138 122 5 260 5 52 Então podemos dizer que a pontuação final desse candidato foi de 52 pontos 3 Calcular a média aritmética dos valores 29 29 32 32 32 32 32 34 34 e 34 1ª resolução Para resolver esse problema devemos utilizar a seguinte fórmula 𝑥 𝑥𝑖 𝑛 29 29 32 32 32 32 32 34 34 34 10 320 10 32 14 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Então podemos dizer que 32 é a média de todos esses valores 2ª resolução Outro modo de resolução nesse caso seria observar que O valor 29 se repete duas vezes O valor 32 se repete cinco vezes O valor 34 se repete três vezes Assim a média pode ser calculada de uma forma mais simples 𝑥 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑓𝑖 29𝑥2 32𝑥5 34𝑥3 2 5 3 58 160 102 10 320 10 32 Importante O número de vezes que o valor se repete chamase peso e à média assim calculada dáse o nome de média aritmética ponderada 4 Obtenha a média aritmética das alturas de 60 mulheres as quais originaram a seguinte tabela Alturas em metros Qtd de mulheres 154 15 158 10 160 16 162 14 166 5 Total 60 Resolução Para facilitar os cálculos organizaremos os valores na seguinte tabela Alturas em metros 𝒙𝒊 Qtd de mulheres 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝒇𝒊 154 15 15415 231 158 10 15810 158 160 16 16016 256 162 14 16214 2268 15 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 166 5 1665 83 Total 𝑓𝑖 60 𝑥𝑖 𝑓𝑖 9548 Para resolver esse problema devemos utilizar a seguinte fórmula 𝑥 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑓𝑖 9548 60 1591333 𝑜𝑢 159 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Então podemos dizer que 159 metros é a média das alturas dessas 60 mulheres pesquisadas Mediana Representamos a mediana pelo símbolo 𝑴𝒅 e é uma medida utilizada quando queremos saber o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados organizados rol ou seja dispostos em ordem crescente ou decrescente Fórmulas Exemplos 1 Em uma pesquisa foi levantado o peso corporal em quilos de 9 nove pessoas conforme a tabela a seguir Calcule a mediana desses pesos 122 85 108 88 92 63 76 55 68 Resolução 1 passo organizaremos os dados brutos em rol 16 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 55 63 68 76 85 88 92 108 122 2 passo calcularemos a posição do termo mediano central quando temos um número ÍMPAR de elementos 𝒏 𝟏 𝟐 𝟗 𝟏 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟓ª 𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 3 passo localizaremos o termo que está na quinta posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 55 63 68 76 85 88 92 108 122 Resposta Então podemos dizer que 50 das pessoas observadas tem peso inferior ou igual a 85 quilos e 50 têm peso igual ou superior a 85 quilos 2 Calcule a mediana das 14 catorze alturas em centímetros a seguir 122 85 108 174 88 92 63 76 55 68 87 62 80 156 Resolução 1 passo organizaremos os dados brutos em rol 55 62 63 68 76 80 85 87 88 92 108 122 156 174 2 passo calcularemos a posição do termo mediano central quando temos um número PAR de elementos 𝒏 𝟐 𝟏𝟒 𝟐 𝟕ª 𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝒆 𝒏 𝟐 𝟏 𝟏𝟒 𝟐 𝟏 𝟕 𝟏 𝟖ª 𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 3 passo localizaremos os termos centrais que estão na sétima e oitava posição 17 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª 55 62 63 68 76 80 85 87 88 92 108 122 156 174 Agora para definirmos a mediana entre esses dois termos centrais temos que calcular a média aritmética entre esses valores assim 𝑴𝒅 𝟖𝟓 𝟖𝟕 𝟐 𝑴𝒅 𝟏𝟕𝟐 𝟐 𝑴𝒅 𝟖𝟔 𝒄𝒎 Resposta Então podemos dizer que 50 das pessoas observadas tem estatura inferior ou igual a 86 centímetros e 50 têm estatura igual ou superior a 86 centímetros 3 Calcule a mediana da idade de 50 pessoas conforme a tabela a seguir Idade anos N de pessoas 31 3 32 18 33 17 34 8 35 4 Total de pessoas 50 Resolução 1 passo calcularemos a posição do termo mediano central quando temos um número PAR de elementos 𝒏 𝟐 𝟓𝟎 𝟐 𝟐𝟓ª 𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝒆 𝒏 𝟐 𝟏 𝟓𝟎 𝟐 𝟏 𝟐𝟓 𝟏 𝟐𝟔ª 𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 2 passo localizaremos os termos centrais que estão na 25ª e 26ª posição Para isso construiremos mais duas colunas na tabela de frequência Idade anos 𝒙𝒊 N de pessoas 𝒇𝒊 Frequência acumulada 𝒇𝒂𝒄𝒖𝒎 Posição 31 3 3 1ª a 3ª 32 18 3 18 21 4ª a 21ª 18 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 33 17 21 17 38 22ª a 38ª 34 8 38 8 46 39ª a 46ª 35 4 46 4 50 47ª a 50ª Total de pessoas 50 Agora como temos a mesma idade 33 anos tanto na 25ª como na 26ª posição então não é necessário calcular a média aritmética entre esses valores Resposta Então podemos dizer que 50 das pessoas observadas tem idade inferior ou igual a 33 anos e 50 têm idade igual ou superior a 33 anos Moda Representamos a moda pelo símbolo 𝑴𝒐 e é o valor que ocorre com maior frequência em uma sequência ou série de valores Uma sequência pode ser classificada de acordo com o número de modas que possui em Nenhuma moda Amodal Uma moda Unimodal ou modal Duas modas Bimodal Mais de duas modas Polimodal Exemplos 1 A seguir temos as idades em anos de 30 alunos que estudam na 1ª série do Ensino Médio de uma escola pública Qual é a idade mais comum ou seja qual é a moda dessas idades 15 15 14 16 16 16 17 16 14 15 15 15 16 16 16 17 16 15 14 15 15 14 17 17 14 15 15 17 16 14 Resolução 19 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Para facilitar organizaremos esses dados em uma tabela de frequência conforme segue Idades 𝒙𝒊 Frequência absoluta 𝒇𝒊 14 6 15 10 16 9 17 5 30 Resposta Por meio da coluna de frequência absoluta verificamos que a idade de 15 anos aparece dez vezes portanto é a moda de todas as idades ou seja a idade de 15 anos é a que mais aparece entre esse grupo de 30 alunos da 1ª série do Ensino Médio 2 Quantas modas a série já organizada a seguir possui 2 3 4 4 4 5 6 7 7 7 8 9 9 10 Resolução Analisando essa série temos 2 3 4 4 4 5 6 7 7 7 8 9 9 10 Duas modas mo 4 e mo 7 pois esses dados 4 e 7 aparecem cada um três vezes portanto podemos dizer que a série é bimodal Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Atividades práticas 1 As alturas dos jogadores de um time de basquete são 198 m 204 m 208 m 196 m e 194 m Qual é a média de altura desse time Resposta 𝒙 𝟐 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 20 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 2 O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo a Tabela de Frequência a seguir Calcule o salário médio pago nesse escritório Salários R 𝒙𝒊 N de funcionários 𝒇𝒊 145000 12 206200 15 264000 8 390000 3 410000 1 480000 1 40 Resposta 𝒙 𝑹 𝟐 𝟐𝟓𝟏 𝟐𝟓 3 Sabendo que um caminhão cujo peso vazio é de 3 toneladas e que será carregado com 380 caixas de 10 quilos cada 280 caixas de 8 quilos cada 500 caixas de 4 quilos cada e 700 caixas de 5 quilos cada e ainda que seu motorista pesa 80 quilos e a lona de cobertura da carga pesa mais 50 quilos responda a Se este caminhão tem que passar por uma balança em uma estrada federal que só permite passagens a caminhões com peso máximo de 15 toneladas este caminhão passará por esta fiscalização Resposta Sim peso total é 14670 quilos abaixo de 15 toneladas b Qual é o peso médio das caixas carregadas pelo caminhão Resposta 62 quilos por caixa 4 Uma máquina fabrica peças que são embaladas em caixas contendo 30 unidades Uma pesquisa realizada com 59 caixas mostrou a existência de peças defeituosas conforme a tabela a seguir Determine o valor mediano dessa série Nº de peças defeituosas por caixa N de caixas 0 20 1 15 2 12 3 10 21 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 4 2 Total de caixas 59 Resposta Mediana 1 defeito 5 Determine a receita mediana da distribuição a seguir a qual representa as receitas de um vendedor de rua de cachorrosquentes durante 16 dezesseis dias 29750 32300 33150 35700 35700 34000 35700 34000 34000 33150 32300 29750 34000 29750 34000 29750 Resposta Mediana da receita 33575 reais 6 Calcule a moda das séries abaixo a A 4 12 5 9 12 4 3 Resposta Mo 4 e Mo 12 bimodal b B 4 5 6 6 6 7 8 8 8 9 10 10 10 11 Resposta Mo 6 Mo 8 e Mo 10 polimodal c C 5 1 8 13 90 135 98 212 408 181 603 Resposta Amodal nenhuma moda 7 O quadro a seguir traz uma pesquisa com torcedores que escolheram seu time europeu 22 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Qual é a moda dessa pesquisa Resposta A moda é o time do Real Madrid pois é o time que aparece mais vezes no caso com um total de 1750 torcedores Medidas de dispersão A palavra dispersão quer dizer espalhamento de valores em torno da média aritmética ou variação desses valores ou ainda o afastamento dos valores observados em relação a um valor central E as utilizamos quando pretendemos avaliar quantitativamente o grau de variabilidade ou dispersão de um dado Estudaremos as seguintes medidas de dispersão a amplitude total a variância e o desvio padrão Amplitude total É simplesmente a diferença entre o maior e o menor valor em um conjunto de dados Quanto maior for a amplitude maior será a dispersão dos valores da variável e se a amplitude for um número baixo então os valores na série estão próximos uns dos outros Fórmula 23 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Exemplo Calcule o valor da amplitude total das estaturas de 10 dez bebês em certa maternidade 50 cm 52 cm 55 cm 59 cm 63 cm 67 cm 71 cm 72 cm 73 cm 74 cm Resolução Cálculo da amplitude total 𝑨𝑻 𝑽𝒎á𝒙 𝑽𝒎í𝒏 𝑨𝑻 𝟕𝟒 𝟓𝟎 𝑨𝑻 𝟐𝟒 𝒄𝒎 Resposta Os bebês têm variação de 24 centímetros entre suas estaturas Variância e desvio padrão O desvio padrão é a medida de dispersão que é mais usada pois leva em consideração todos os valores em estudo É um indicador de variabilidade bastante estável e se apresenta na mesma unidade da variável em análise isso quer dizer que se a variável analisada estiver em quilos o desvio padrão também será em quilos Fórmulas 24 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Exemplo 1 A tabela a seguir mostra a produção semanal quantidade em unidades produzidas por dia de três funcionários de uma microempresa Funcionários Quantidade de peças produzidas por dia Média 𝒙 Segunda Terça Quarta Quinta Sexta João 10 9 11 12 8 10 Moisés 12 10 7 10 11 10 Ricardo 9 12 9 11 9 10 Veja que os três funcionários possuem a mesma média aritmética ou seja cada funcionário produz em média 10 unidades por dia Agora como poderíamos saber qual funcionário estaria mais perto da média assim podendo estabelecer um padrão de produção diária sem se afastar muito da média diária Calcularemos então o desvio padrão de cada funcionário para verificar quem seria o funcionário mais eficiente mais próximo da média Resolução Funcionário João cálculo amostral dados brutos Variância 𝑠2 𝑥𝑖𝑥2 𝑛1 Desvio padrão 𝑠 𝑠2 1 passo calcularemos a média aritmética apenas para confirmar o valor 𝑥 10 𝑥 𝑥𝑖 𝑛 𝑥 10 9 11 12 8 5 𝑥 50 5 𝑥 10 2 passo utilizaremos uma tabela para auxiliar o cálculo da somatória 𝑥𝑖 𝑥2 25 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 𝑥𝑖 𝑥 𝑥𝑖 𝑥 𝑥𝑖 𝑥2 Segunda 10 10 10 10 0 0² 0 Terça 9 10 10 9 1 1² 1 Quarta 11 10 10 11 1 1² 1 Quinta 12 10 10 12 2 2² 4 Sexta 8 10 10 8 2 2² 4 𝑥𝑖 𝑥2 10 3 passo calcularemos a variância e o desvio padrão 𝑽𝒂𝒓𝒊â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑠2 𝑥𝑖 𝑥2 𝑛 1 𝑠2 10 5 1 𝑠2 10 4 𝑠2 25 𝐷𝒆𝒔𝒗𝒊𝒐 𝑷𝒂𝒅𝒓ã𝒐 𝑠 𝑠2 𝑠 25 𝑠 158 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 Importante João tem variância igual a 25 e desvio padrão igual a 158 unidades Isso quer dizer que em relação à média de dez unidades por dia tem 158 unidades de variação para mais e para menos da média ou seja a produção diária de João em unidades pode variar entre 842 e 1158 unidades Funcionário Moisés cálculo amostral dados brutos Variância 𝑠2 𝑥𝑖𝑥2 𝑛1 Desvio padrão 𝑠 𝑠2 1 passo calcularemos a média aritmética apenas para confirmar o valor 𝑥 10 𝑥 𝑥𝑖 𝑛 𝑥 12 10 7 10 11 5 𝑥 50 5 𝑥 10 26 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 2 passo utilizaremos uma tabela para auxiliar o cálculo da somatória 𝑥𝑖 𝑥2 𝑥𝑖 𝑥 𝑥𝑖 𝑥 𝑥𝑖 𝑥2 Segunda 12 10 12 10 2 2² 4 Terça 10 10 10 10 0 0² 0 Quarta 7 10 7 10 3 3² 9 Quinta 10 10 10 10 0 0² 0 Sexta 11 10 11 10 1 1² 1 𝑥𝑖 𝑥2 14 3 passo calcularemos a variância e o desvio padrão 𝑽𝒂𝒓𝒊â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑠2 𝑥𝑖 𝑥2 𝑛 1 𝑠2 14 5 1 𝑠2 14 4 𝑠2 35 𝐷𝒆𝒔𝒗𝒊𝒐 𝑷𝒂𝒅𝒓ã𝒐 𝑠 𝑠2 𝑠 25 𝑠 187 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 Importante Moisés tem variância igual a 35 e desvio padrão igual a 187 unidades Isso quer dizer que em relação à média de dez unidades por dia tem 187 unidades de variação para mais e para menos da média ou seja a produção diária de Moisés em unidades pode variar entre 813 e 1187 unidades Funcionário Ricardo cálculo amostral dados brutos Variância 𝑠2 𝑥𝑖𝑥2 𝑛1 Desvio padrão 𝑠 𝑠2 1 passo calcularemos a média aritmética apenas para confirmar o valor 𝑥 10 27 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 𝑥 𝑥𝑖 𝑛 𝑥 9 12 9 11 9 5 𝑥 50 5 𝑥 10 2 passo utilizaremos uma tabela para auxiliar o cálculo da somatória 𝑥𝑖 𝑥2 𝑥𝑖 𝑥 𝑥𝑖 𝑥 𝑥𝑖 𝑥2 Segunda 9 10 9 10 1 1² 1 Terça 12 10 12 10 2 2² 4 Quarta 9 10 9 10 1 1² 1 Quinta 11 10 11 10 1 1² 1 Sexta 9 10 9 10 1 1² 1 𝑥𝑖 𝑥2 8 3 passo calcularemos a variância e o desvio padrão 𝑽𝒂𝒓𝒊â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑠2 𝑥𝑖 𝑥2 𝑛 1 𝑠2 8 5 1 𝑠2 8 4 𝑠2 2 𝐷𝒆𝒔𝒗𝒊𝒐 𝑷𝒂𝒅𝒓ã𝒐 𝑠 𝑠2 𝑠 25 𝑠 141 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 Importante Ricardo tem variância igual a 2 e desvio padrão igual a 141 unidades Isso quer dizer que em relação à média de dez unidades por dia tem 141 unidades de variação para mais e para menos da média ou seja a produção diária de Ricardo em unidades pode variar entre 859 e 1141 unidades Quadro resumo Funcionários Quantidade de peças produzidas por dia Média 𝒙 Desvio 𝒔 Variabilidade Segunda Terça Quarta Quinta Sexta João 10 9 11 12 8 10 158 842 10 1158 28 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Moisés 12 10 7 10 11 10 187 813 10 1187 Ricardo 9 12 9 11 9 10 141 859 10 1141 Resposta Observando esse quadro resumo podemos dizer que o funcionário Ricardo possui o menor desvio padrão e consequentemente sua produção está mais próxima da média diária de produção Exemplo 2 Calcule a variância e o desvio padrão para as alturas em centímetros de 60 pessoas Alturas cm N de pessoas 150 7 160 15 170 8 180 17 190 12 200 1 Total de pessoas 60 Resolução Cálculo amostral dados agrupadostabelas Variância 𝑠2 𝑥𝑖𝑥2𝑓𝑖 𝑓𝑖 1 Desvio padrão 𝑠 𝑠2 1 passo calcularemos a média aritmética ponderada 𝑥 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑓𝑖 𝑥 1507 16015 1708 18017 19012 2001 7 15 8 17 12 1 𝑥 10350 60 𝑥 1725 29 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 2 passo utilizaremos uma tabela para auxiliar o cálculo da somatória𝑥𝑖 𝑥2 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑥 𝑥𝑖 𝑥 𝑥𝑖 𝑥2 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑥2 𝑓𝑖 150 1725 150 1725 225 225² 50625 7 354375 160 1725 160 1725 125 125² 15625 15 234375 170 1725 170 1725 25 25² 625 8 5000 180 1725 180 1725 75 75² 5625 17 95625 190 1725 190 1725 175 175² 30625 12 367500 200 1725 200 1725 275 275² 75625 1 75625 𝑥𝑖 𝑥2 𝑓𝑖 1132500 3 passo calcularemos a variância e o desvio padrão 𝑽𝒂𝒓𝒊â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑠2 𝑥𝑖 𝑥2 𝑓𝑖 𝑓𝑖 1 𝑠2 11325 60 1 𝑠2 11325 59 𝑠2 1919492 𝐷𝒆𝒔𝒗𝒊𝒐 𝑷𝒂𝒅𝒓ã𝒐 𝑠 𝑠2 𝑠 1919492 𝑠 1385 𝑐𝑚 Resposta A variância é igual a 19194 e o desvio padrão é igual a 1385 cm Isso quer dizer que em relação à média 1725 cm tem 1385 centímetros de variação para mais e para menos da média ou seja as estaturas das pessoas em centímetros podem variar entre 15865 e 18635 centímetros Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Atividades práticas 30 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão 1 Calcule a amplitude total das estaturas de 30 pessoas conforme a tabela seguir Alturas cm N de pessoas 132 4 145 5 150 16 166 4 182 1 Total de pessoas 30 Resposta A amplitude total é igual a 50 centímetros ou meio metro 2 Calcule a variância e o desvio padrão da seguinte tabela de idades em anos Idade anos N de pessoas 17 4 18 15 19 16 20 6 21 9 Total de pessoas 50 Utilize as seguintes fórmulas cálculo amostral dados agrupadostabelas Variância 𝑠2 𝑥𝑖𝑥2𝑓𝑖 𝑓𝑖 1 Desvio padrão 𝑠 𝑠2 31 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Resposta Variância 14893 e desvio padrão 122 anos 3 Acompanhe os dados a seguir de duas companhias aéreas I e II as quais representam o registro de cinco dias em percentual de voos que decolaram sem atraso Dias 1 2 3 4 5 Companhia I 90 92 95 88 91 Companhia II 97 88 98 86 90 Qual companhia apresentou um desempenho mais regular Calcule o desvio padrão utilizando a fórmula 𝑠 𝑥𝑖𝑥2 𝑛1 Resposta O desvio padrão da companhia aérea I é igual a 259 e da companhia II é igual a 540 portanto como a companhia aérea I possui o menor desvio padrão podemos dizer então que é a companhia aérea I é a mais regular Conclusão Vimos nesta aula que para realizarmos uma pesquisa utilizando a Estatística Descritiva temos que seguir algumas etapas Após os dados serem coletados devemos organizálos em tabelas de frequência e ainda para interpretálos temos cálculos de medidas de tendência central e de dispersão os quais ajudam na tomada de decisão E não esqueça para um melhor aproveitamento releia e refaça os exemplos resolvidos no material teórico O mais importante não deixe de praticar então faça as Atividades Práticas propostas ok Bons estudos 32 AULA 7 Conceitos básicos de estatística medidas de tendência central e medidas de dispersão Referências DEMANA F D et al Précálculo 2 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 GOLDSTEIN L J et al Matemática aplicada economia administração e contabilidade 12 ed Porto Alegre Bookman 2012 JACQUES I Matemática para economia e administração 6 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 JOHNSON R KUBY P Estat São Paulo Cengage Learning 2013 LAPA N Matemática aplicada São Paulo Saraiva 2012 SWEENEY D J WILLIAMS T A ANDERSON D R Estatística aplicada à administração e economia 3 ed São Paulo Cengage Learning 2013 VERAS L L Matemática aplicada à economia síntese da teoria 3 ed São Paulo Atlas 2011 VIEIRA S Estatística básica São Paulo Cengage Learning 2015