Anotações sobre Sistemas com N Graus de Liberdade e Matrizes em Vibrações

VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Tópicos aula 12 Sistemas com N GDL Matriz de massa Matriz de rigidez Matriz de amortecimento Análise Modal VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Sistemas com N Graus de Liberdade Até agora vimos casos de sistemas com dois graus de liberdade A medida que o número de graus de liberdade de um sistema aumenta a complexidade de sua solução também aumentará Dessa forma a introdução da notação matricial pode generalizar o processo de resolução VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Sistemas com N Graus de Liberdade Considerando o sistema de dois graus de liberdade sem amortecimento e sujeito a vibrações livres anteriormente visto VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Sistemas com N Graus de Liberdade VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Sistemas com N Graus de Liberdade Essas equações diferenciais do movimento podem ser escritas na forma matricial como Sendo M a matriz de massa K a matriz de rigidez x o vetor deslocamento e x o vetor de aceleração do sistema VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Determinação das matrizes de massa rigidez e amortecimento A notação matricial é utilizada para simplificar o processo de solução de problemas com vários graus de liberdade VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de massa M Matriz quadrada e simétrica O valor da massa de cada GDL é colocado na diagonal principal da matriz VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de massa M Matriz de massa para sistema com n GDLs VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de Rigidez K Matriz quadrada e simétrica Para determinação dos elementos da matriz K kij impõese um deslocamento unitário em j massa e medese a força na direção i gdl Matriz i x j matriz de i linhas por j colunas VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de Rigidez K Matriz de rigidez para sistema com n GDLs VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de Rigidez K Matriz de rigidez para sistema com n GDLs VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de Rigidez K Procedimento considerando um sistema com 2 GDLs VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de Rigidez K 1º x11 e x20 VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de Rigidez K 1º x11 e x20 i1 k11 será a força no grau de liberdade 1 devido à um deslocamento unitário em 1 Obs a força da mola é contrária ao movimento VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de Rigidez K i 1 k12 será a força no grau de liberdade 2 devido à um deslocamento unitário em 1 VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de Rigidez K 2º x10 e x21 VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de Rigidez K 2º x10 e x21 i2 k21 será a força no grau de liberdade 1 devido à um deslocamento unitário em 2 VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de Rigidez K i 2 k22 será a força no grau de liberdade 2 devido à um deslocamento unitário em 2 VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de Rigidez K A matriz de rigidez deste sistema será VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de Amortecimento C Determinada de forma similar à matriz de rigidez em sistemas que possuem amortecimento Ao invés de impor um deslocamento unitário é imposta uma velocidade unitária VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Matriz de Amortecimento C Matriz de amortecimento para sistema com n GDLs VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Modos de vibração VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Modos de vibração O modo de vibração é a maneira que um sistema vibra em uma determinada frequência VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Modos de vibração O modo de vibração é a maneira que um sistema vibra em uma determinada frequência Podese dizer que é a forma física na qual o sistema vibrará em cada frequência VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Modos de vibração VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Modos de vibração VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Modos de vibração VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Determinação dos modos e frequências naturais Considerando um sistema com n GDLs não amortecido em vibrações livres VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Determinação dos modos e frequências naturais A solução homogênea tem a forma n 1 n nº de GDLs VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Determinação dos modos e frequências naturais Derivando duas vezes a equação anterior temos o vetor de aceleração n 1 n nº de GDLs VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Determinação dos modos e frequências naturais VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Determinação dos modos e frequências naturais VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Determinação dos modos e frequências naturais VIBRAÇÕES Vibrações Profª Ariane Rebelato Silva dos Santos Determinação dos modos e frequências naturais