Integração por Substituição Trigonométrica - Profa Eliani Retzlaff

Integração por Substituição Trigonométrica Profa Eliani Retzlaff 1 Aula 5 Dia 26 de março de 2022 Resolução de exercícios Integrais de funções trigonométricas Integração por substituição 13 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Se o integrando contém funções envolvendo as expressões 2 2 2 2 2 2 a x ou x a x a onde a 0 podese fazer uma substituição trigonométrica adequada e desta forma resolver a integral As figuras abaixo sugerem tal substituição Objetivo eliminar os radicais das funções integrando 133 A função integrando envolvendo 2 2 a x Usase a cos d dx asen x a x sen Supondo que 2 2 temse a cos a cos a 1 sen asen a x a 2 2 2 2 2 2 2 acos x a 2 2 Em resumo cos sen a sen 1 x x a 2 2 2 2 Exemplo 1 Calcular a x dx a I 2 2 a cos d a cos d acos a sen a cos d a I 2 2 2 2 2 c 4 2 sen 2 1 a d 2 cos2 1 a cos d a 2 2 2 2 Como c a x a a 2 x a a 2 arcsen x a c 4 sen cos 2 2 1 a I a x a a e cos arcsen x a x sen 2sen cos 2 sen 2 2 2 2 2 2 2 a x a x x a x a Integração por Substituição Trigonométrica Profa Eliani Retzlaff 2 Logo c x a 2 x a 2 arcsen x a x dx a I 2 2 2 2 2 b x2 16 dx I Se c 4 arcsen x I então 4 arcsen x 4sen x De c d cos 4 d cos 4 x 16 dx I se Tem 4cos x 16 4cos d dx 4sen x 2 2 134 A função integrando envolvendo 2 2 a x Usase 2 2 a x b a sec d dx atg x a x tg 2 Supondo que 2 2 temse a sec a sec tg a 1 a tg a x a 2 2 2 2 2 2 2 a sec x a 2 2 Em resumo sec tg a tg 1 x x a 2 2 2 2 Exemplo a Calcular x dx a I 2 2 d a d a a tg a sec sec 3 2 2 2 2 2 d a d I a sec sec sec 2 2 3 2 tg v sec sec tg dv d du sec Por partes u 2 d b x Integração por Substituição Trigonométrica Profa Eliani Retzlaff 3 d a d a tg a I d a tg a d tg tg a I I sec sec sec 1 sec sec sec sec tg sec 2 3 2 2 2 2 2 2 2 lnsec sec 2 lnsec sec 2 2 2 2 2 tg a tg a I tg a tg a I Como a x e tg a x a x a a 1 cos 1 sec 2 2 2 2 Temse 2 ln 2 ln propriedad e de logaritmos 2 ln 2 ln 2 2 ln 2 tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Logo a a x x a a a x x a a Pela c a x x a a x a x c a x a x a a a x a x a a x dx a I te cons x c a x a x a x x dx a I 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 b x2 4 x dx c cotg 2 ln cossec 1 I 2 cossec d 1 d sen 1 2 1 d sen cos cos 1 2 1 tg d 2 sec tg 2sec 2 d sec 2 x 4 x dx I 2sec x 4 2sec d dx 2 arc tg x 2tg x 2 2 2 2 Como 2 2 a 4 b x 2 2 x 1 tg 1 cot g 2 x tg x x 4 x 4 x 1 sen 1 sec cos 2 2 Então b x Integração por Substituição Trigonométrica Profa Eliani Retzlaff 4 c x 2 x 4 2ln 1 x c 2 x x 4 2ln 1 I 2 2 Aula 6 Dia 02 de abril de 2022 14 Integração por substituição Resolução de exercícios integração por substituição Integração de funções Racionais por Frações Parciais 143 A função integrando envolvendo 2 2 x a Usase 2 2 2 2 2 2 2 2 x a b a x b a x b a sec tg d dx a arc sec x asec cos a x x a cos Supondo que 2 3 2 ou 0 temse a tg a tg a sec 1 a a sec a x 2 2 2 2 2 2 2 a tg a x 2 2 Exemplo 1 Calcular a dx x I 2 2 25 x b Integração por Substituição Trigonométrica Profa Eliani Retzlaff 5 b dx x 9 x I 2 c 3tg 3 I sec d 3 1 3 tg d d sec 3 3tg 3sec tg dx x 9 x I 3tg 9 x 3sec tg d dx 3 arc sec x 3sec x 2 2 2 2 Como c 9 x 3 x 9 3arc tg c ou I 9 x 3 3arc sec x I c 3 9 x 3 3 3arc sec x I 3 9 x 3 e tg arc sec x 2 2 2 2 2 Exercício Calcular o valor em função de x das seguintes integrais aplicando o método de integração por substituição trigonométrica 1 c x 4 2 x 2 x dx R 2arcsen x 4 2 2 2 x dx 4 2 c x x 2ln 4 x 4 2 R x 2 2 3 4x dx R 1 2 c 4 x 1 4x 1 4 arccos1 4x 1 2 2 4 c 9 x 6 3 R x dx 9 x x 2 2 2 3 x b Integração por Substituição Trigonométrica Profa Eliani Retzlaff 6 5 x dx 4 x 2 2 2 x 2 2 3 2arcsen x 4 2 x x 4 4 x R 6 c 9 x 18x 1 3 9 x 54 arctg R 1 dx 9 x x 1 2 2 2 2 3 144 Integrais envolvendo c bx ax2 As integrais envolvendo a expressão quadrática 0 0 e b c onde a bx ax2 podem ser calculadas primeiro completando o quadrado e em seguida fazendo uma substituição apropriada Exemplo I dx 5 2x x x 2 I 1 dx du x 1 u dx 4 1 x x dx 1 1 5 2x x x 2 2 I du 4 u 1 u 2 Como sec 2sec e 1 tg d 2tg du u u 2 2 2 2 2 2 c tg 2 lnsec 2sec c tg 2 lnsec 2k I sec tg d dk sec k c tg 2 lnsec tg sec dk k tg 2 d 2 sec sec tg d 2 I 1sec d tg 2 d sec 2 12sec 2tg d 4 2tg 12sec 2tg du 4 u 1 u I k 2 2 2 2 c 1 x 5 2x 2 ln x 5 2x x I c 1 x 4 1 2 ln x 4 1 x I c u 4 2 ln u 4 u I c 2 u 2 4 2 ln u 2 4 u 2 I 2 4 u 2 b cos 1 sec 2 u tg Como 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Observação a substituição também é utilizada para integrandos que envolvem expressões do tipo a2 x2n a2 x2n ou x2 a2n com n12 b x Integração por Substituição Trigonométrica Profa Eliani Retzlaff 7 Exemplo Calcular I dx x x 1 6 3 2 2 cos d sen sen 1 dx x x 1 I cos d dx sen x 1 x b sen x 1 Como 6 3 2 2 6 3 2 2 2 2 2 c 5 cot g I c 5 k sec cos dk k cossec I cossec d dk cot g k Com cossec d cot g d sen 1 sen cos d sen cos I cos d sen cos cos d sen cos cos d sen sen 1 dx x x 1 I 5 5 2 2 4 2 2 4 2 4 4 6 4 6 3 6 3 2 2 6 3 2 2 6 3 2 2 Como c x x 1 5 1 I c 5 x x 1 c 5 cot g I x x 1 sen cos g cot 5 5 2 5 2 5 2 1 x Integração por Substituição Trigonométrica Profa Eliani Retzlaff 8 EXERCÍCIOS 1 Resolver a 2 2 u a du I c a a arctg u R 1 b 13 dx 6x x 1 2x I 2 c 2 3 2 arctg x 5 13 6x lnx R 2 2 Calcular as seguintes integrais use as regras da tabela quando possível 1 x 5 x dx 2 2 c x 5 5 x R 2 2 16 2t 9 dt c 3 t 4 arcsen 4 R 1 3 3dx x x 2 3 c 3 x 3 x 5 1 R 3 2 5 2 4 x2 2x 8 dx c 3 1 R arc sen x 5 10 6x x dx 2 c 1 3 x 3 ln x R 2 6 49dx x 9 x 2 3 fazer para entregar na prova Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Profa Eliani Retzlaff 9 15 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS Uma função racional é uma razão de dois polinômios logo a integração de funções racionais basease na idéia de decompor uma função racional em uma soma de funções racionais mais simples seja pela divisão ou pelo produto de fatores 151 Quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador faz se a divisão Exemplo dx 1 x 1 3x x I 2 5 4x 4 1 4 x x x 4 x 3x 1 x 1 x 2 2 Da divisão temse 1 x 5 4 x 1 x 1 3x x2 Logo 1 c 5 lnx 2 4x 1 dx x x 5 4 x dx 1 x 1 3x x I 2 2 Exercício Calcular a integral 2 dx x 3 1 2x c 9 2 3 ln 3x 2 R Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Profa Eliani Retzlaff 10 152 Quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador temse que decompor a fração numa soma de frações parciais Para achar a forma de uma decomposição em frações parciais de uma função racional x q p x fatorase completamente qx em fatores lineares quadráticos e irredutíveis e então juntar todos os fatores repetidos de tal modo que qx seja expresso como um produto de fatores distintos da forma n 2 m c bx ax e b ax Regra do Fator Linear Para cada fator na forma ax b m a decomposição em frações parciais contém a seguinte soma de m frações parciais m m 3 3 2 2 1 b ax A b ax A b ax A b ax A onde m 2 1 A A A são constantes a serem determinadas No caso em que m 1 aparece somente o primeiro termo da soma Regra do Fator Quadrático Para cada fator na forma 2 m ax bx c a decomposição em frações parciais contém a seguinte soma de m frações parciais m 2 m m 3 2 3 3 2 2 2 2 2 1 1 c bx ax B x A c bx ax B x A c bx ax B x A c bx ax B x A onde m 2 1 m 2 1 B A B B A A são constantes a serem determinadas No caso em que m 1 aparece somente o primeiro termo da soma Exemplo 6x dx x x 1 x I 2 3 6 1 A 1 6A 3B 2C 1 A B C 0 A A B C x A 3B 2C 6A x 1 x 2Cx Bx 3Bx Cx 6A Ax Ax 1 x 2Cx 6 Bx 3Bx Cx 2x 3x Ax 1 x 3 2x xx 3 Cxx 2 3 Bxx 6x Ax 2x x x 1 x 3 x C 2 x B x A 6x x x 1 x 3 6x tem se xx 2x 6x dx fatorando x x x x 1 x I 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 15 2 C 0 30 30C 9 5 0 C 10 3 6 1 B C 0 A 10 3 B 6 2 12B 6 1 18B 6 B 1 2 1 3 B 6 1 6 B C 1 6 B C 0 1 Logo Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Profa Eliani Retzlaff 11 3 c 15 lnx 2 2 10 lnx 3 6 lnx 1 I 3 x dx 15 2 2 x dx 10 x 3 dx 6 1 I Exercícios 1 Calcule as integrais das seguintes funções e se necessário use frações parciais c 2 x 1 2 x 3 2 1 x dx resp lnx 2 1x x 4 29x 18x 3x j c 3 x 1 3x dx resp ln x x 2x x 9 13x 4x i c 1 3 lnx 1 2 3 lnx 1 2 dx resp x x 1 h c 9 1 5ln3x 3 x 1dx resp 2 x 3 1 2x f c 3 dx resp 2x 11lnx 3 x 5 2x e c 2lnx 3 dx resp x x 2 x d c 6 4x x 2 1 2 1 x arctg 2 3 dx resp 1 2x x 2 x x c c 2 2 lnx 1 resp arctg x 2 dx 3x x 2 x x x b c 1 x 4 1 2 lnx 1 1 2 lnx 1dx resp 1 x x x 5 3x a 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 4 2 3 2 3 Para decompor uma fração racional no MathCad Exemplo 2 x2 3 x 1 x3 2 x2 9 x 18 convert parfrac x 1 3 x 3 14 3 x 3 3 x 2