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Engenharia Civil ·
Cálculo 2
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Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff MATERIAL DE APOIO ENGENHARIAS SÁBADOMANHÃ CURSO NÚCLEO CURRICULAR DAS ENGENHARIAS DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II DEPARTAMENTO DCET CÓDIGO 15122 PROFESSORA ELIANI RETZLAFF NÚMERO DE HORAS 60 ha CRÉDITOS 4 EMENTA DA DISCIPLINA Técnicas de integração Aplicações das integrais Funções de duas ou mais variáveis Limites Continuidade e derivadas parciais OBJETIVOS DA DISCIPLINA GERAL Instrumentalizar o aluno dandolhe embasamento para continuar o estudo do cálculo e aplicálo em situações concretas conforme suas necessidades profissionais ESPECÍFICOS Aplicar a integração na resolução de problemas Determinar as derivadas parciais de funções de duas ou mais variáveis e fazer suas aplicações Determinar a integral de funções de uma variável através de artifícios e técnicas de integração CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Apresentação do Plano de Ensino Revisão de Derivadas e Integrais 1 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 11 Integração de Funções Trigonométricas 12 Integração por Substituições Trigonométricas 13 Integração por Frações Parciais 14 Integração das Funções Racionais do Seno e Cosseno 15 Integrais Impróprias 2 APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS 21 Áreas Planas 22 Volume de sólido de Revolução 23 Área de uma Superfície de Revolução 24 Centro de Gravidade e Movimento de Inércia 25 Pressão de Fluidos Trabalho 26 Comprimento de Arco 3 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 31 Limites de funções de duas ou mais variáveis 32 Continuidade de funções de duas ou mais variáveis 33 Derivadas Parciais 34 Diferenciabilidade e a Diferencial Total 35 Regra da Cadeia 36 Derivada Direcional e gradiente 37 Extremos de Funções de duas variáveis 38 Aplicações das Derivadas Parciais Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff METODOLOGIA DE ENSINO Aulas teóricas e expositivas para desenvolver a teoria e apresentar algumas aplicações podendo ser complementadas com auxílio de softwares matemáticos Resolução de exercícios em sala de aula e extraclasse PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO A avaliação consistirá de duas a três provas escritas realizadas ao longo do semestre conforme calendário fornecido pela direção acadêmica A participação nas atividades e o esforço individual também estarão sendo avaliados no decorrer do semestre e poderão acrescentar pontos nas avaliações BIBLIOGRAFIA BÁSICA ANTON H Cálculo 8 ed Porto Alegre Bookmann 2007 1v 2v HOFFMANN LD BRADLEY GL Cálculo Um Curso Moderno e suas Aplicações 7ed Rio de Janeiro LTC 2002 LEITHOLD L O Cálculo com Geometria Analítica 3ed São Paulo Harbra 1994 1v 2v MUNEN MA FOULIS DJ Cálculo 1ed Rio de Janeiro LTC 1982 1v 2v BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR BOULOS P Cálculo Diferencial e Integral São Paulo Makron Books 2000 GUIDORIZZI H L Um Curso de Cálculo 5ed Rio de Janeiro 2001 1v 2v Eliani Retzlaff Profa de Ensino Superior da URI Integral indefinida e integral definida Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 3 1 INTEGRAL INDEFINIDA Definição Uma função F x será chamada de primitiva ou antiderivada de uma função f x se f x F x para qualquer x no domínio de f O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida de f em relação a variável x denotada por f x dx Assim C F x f x dx indica que a integral indefinida de f é a família de funções dada por C F x onde f x F x Exemplo Calcule x2dx Observações 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥 Exemplo 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑐 Exemplo 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2𝑑𝑥 Visto que C f x x dx f é possível usar qualquer fórmula de derivada para obter uma fórmula correspondente de integral indefinida integral imediata como na tabela a seguir Derivada f x Integral definida C f x x dx f dx x d 1 1 n x dx d n n 1 x dx d ln Propriedades da integral indefinida 1 C f x dx C f x dx 2 g x dx f x dx g x dx f x Exemplos I Calcule as seguintes integrais 1 dx 3x 4x 3 x dx 4x 1 2 3 3 I Integral indefinida e integral definida Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 4 I c 1 1 2 3 x 4 x 4 1 2 1 4 I c 2 x x 3 4 2 dx 5x x 2 3 x 2 dx 5x 2x 3 x 2 dx x 5 x 2 x 3 2 2 2 2 2 2 2 I I c 1 5 x 2lnx 1 3 x 2 1 1 I c 2lnx 3x 13 c x 5 2lnx 3x 2 3 2xdx 4x 2x 1dx 2x 2x x 1 dx 2x x 3 5 2 4 2 2 I I c x x 3 x 1 c 2 x 2 4 x 4 6 x 2 2 4 6 2 4 6 4 sen t dt dt t cos 1 t cos t sen t dt sec tg t I I costc II Encontrar uma primitiva da função 1 x 1 f x 2 que se anule no ponto x 2 Fx x 1 1 dx x 1 2 c c x 1 Fx c 2 1 0 2 c 1 2 1 x 1 Fx Integral Definida Se fx é contínua em um intervalo fechado a b e se Fx é qualquer antiderivada de fx isto é se c F x f x dx então b a b Fx a Fa Fb f xdx Integral definida de a até b da função f Exemplos I Calcule as seguintes integrais 1 3xdx 7 I 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 1 7 22 3 72 2 x 3 7x I Integral indefinida e integral definida Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 5 2 2dx 3x x 2 2 0 20 20 3 3 0 1 22 22 3 3 2 1 2x 2 x 3 3 x 1 I 2 3 2 3 2 0 2 3 EXERCÍCIOS 1 Calcule as seguintes derivadas a 27 2t 5t f t 3 b x e x 1 3x 2 g x x 3 3 c 1 2t f t 2 Calcule as seguintes derivadas a 1dx 8x 4x 2 b t dt t 1 t 3 2 3 c dt t t 5t t 3 3 2 3 d 16x dx 5 4 1 e dx x 3 x 9 4 f 5dx x 3x g 1dx x 1 x 2 4 2 5 h dx x 5 4x x 2 3 1 2 2 3 Técnicas de Integração por substituição Profa Eliani Retzlaff 6 1 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 11 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Este método consiste em fazer uma mudança de variável para que sejam calculadas determinadas integrais 111 Método da substituição para a integração Para calcular a integral dx f g x g x quando f e g são funções contínuas siga os passos a seguir 1º substitua u g x e dx g x du para obter a integral du u f 2º integre em relação a u 3º substitua u por g x no resultado Exemplos 1 sen dx cos3x 3 x 2 3 dx cos 5x 3sen 4x 3 5dx x x 3 2 4 dx 1 x 5 1 5 d sen cos 2 6 tgxdx Técnicas de Integração por substituição Profa Eliani Retzlaff 7 7 7 dx x sen x 2 8 1 dx x 2x 2 2 Exercícios Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por substituição Derive as respostas para verificar se estão corretas 1 e xdx 4 2 x dx 1 x 2 2 3 4ydy 1 4 cos x dx senx 5 5 s 1 3 sds 2 6 dx 1 x x 3 2 7 3 2 1 x xdx 8 sen4xcos xdx 9 2x dx x 4 2 10 dx x cos 5cos x 2senx 11 1 dx 3 2x 2x 2x 10 2 12 cos 2xdx sen 2x 1 3 4 0 13 e dx x x2 14 dx x 1 x 9 3 2 15 x 4 xdx 2 16 t t dt 5 2 8 17 sen2xcos xdx 18 tgx sec xdx 2 Técnicas de Integração por Partes Profa Eliani Retzlaff 8 12 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES A regra do produto estabelece que se f e g são funções diferenciáveis então x f x g f x g x dx f x g x d Aplicando a integral indefinida essa equação tornase x dx f x g x f x g x f x g Ou dx f x g x f x g x f x g x dx Notação se g x f x e v u então as diferenciais são dx g x f x dx e dv du Assim vdu u v udv Fórmula de integração por partes Exemplos c 1 x e c e e dx xe e x e e dx v 1dx dv x du u xe dx 1 x x x x x x x x sen x dx xsenx cosx c senx x senx v cosx dx dv dx du 1 dx du x u xcosx dx 2 Exercício 1 Integre as seguintes funções por partes e simplifiqueas x senx dx c sen xcosx dx b xsenx dx a 2 Respostas a x cos x sen x c b c 2 x sen 2 c x2 cos x 2x sen x 2 cos x c Técnicas de Integração por Partes Profa Eliani Retzlaff 9 Exercícios complementares Calcule as seguintes integrais simplificandoas quando possível dx x 5 x 3 2 dx 42 5 3t dt 43 41 cos e 1 e 40 5 dx 39 tg4x dx dx 38 sen x 2 e dx 37 e 6x x x 3 e sene dx 36 35 3 3x dx dx 34 2x 2 x 5 dx 33 3x 1 32 3x dx 31 2 x dx 30 dx dx 29 x e 2 sen 3x dx 26 x e dx 27 3x x 4 dx 28 25 2x dx 3 5 4x ln x 24 x dx dx 23 x dx 21 4x 2 x dx 22 ln 3x e 1 e 20 dx e e 1 dx 19 18 xe dx 4 x 2x dx 17 1 5x 3x 16 1 x dx 15 dx 3x 3 dx 14 x x 1 dx 13 x 1 x 3x x 4 12 x dx dx 11 x 1 x 10 dx 3x 4 x x 2x 4 x dx 9 x sen3x dx 7 x ln 7x dx 8 3x 6 dx dx 5 x e x e x e dx 2 x e dx 3 xcos 2x dx 4 1 2 3 8 2 2 2 2x 2x x 2 x 2 x x 2 3 3 3 2 4 5x 8 3x 2 x 2 2 9 2 x x x 2x x 4 2 3 2 3 5 2 3 4 3 3 2 3 2 2 2 3 x 3x 2x 2 2x 3 2 2 x x dx x x Respostas Técnicas de Integração por Partes Profa Eliani Retzlaff 10 27 sen 3x c 2 9 cos 3x 3 se 3x 2x 3 cos 3x x c 6 x e 9 c 5 x e e 3 x e 4 4 cos 2x c 2 sen2x 1 4 c 3 x 1 2 x 2 x 8 c 2 e 3 4 x 3 4 x 3 2 x e 1 2 3 x x 3x 3x 2 x 2 2 3 x 2 3 ln2 c 29 2 c 27 x 4 c 28 2 c 26 e 3 cos3x 25 c 24 x 3x 4 ln 2x 3 c c 23ln ln x 3 c 22 ln 3x 80 ln 1 e c 21 4x 2 20 e c e c 19 2 4 c 18 e c 17 x 4 ln x 1 10 ln 5x 16 3 c x 15 2 ln 1 c 3x 1 9 c 14 x 3 x 3 4 5 x 5 1 c 13 2 123x 1 c 12 4 2x 1 11 x c 1 4 5 x 1 2 x 3x 4 c 10 4 4x x c 9 1 9 c 8 3 ln 7x x x 7 3x 3 2 x 2 3 10 2 x x x x 4 2 2 2 3 3 5 2 2 2 4 4 5 3 2 2 3 3 2 3 3 2 2 x 5x c 3 x 1 c 43 54 c 42 3t 5 2 c 41 tg x e 1 2 c 40 4 ln cos 4x 39 5 c cos x 5 c 38 3 2 c 35 cos e c 36 x 6x c 37 e 6 3 2x 34 c 2 c 33 x 2 9 3 ln3x 1 c 32 2 3x 5 3x 5 x 2 c 31 1 3 1 30 2 9 2 2 2x 3 x 2 x 3 3 3 2 3 3 Técnicas de Integração por Partes Profa Eliani Retzlaff 11 13 INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS A grande maioria das integrais trigonométricas possui fórmulas prontas Há no entanto alguns casos especiais 2 cos x 1 cos 2x 2 1 cos 2x sen x Para n par usa se as substituições Integrais do tipo sen xdx e cos x dx 131 2 2 n n Se n for ímpar usa se a substituição por sen x cos x 1 mente e respectiva 2 2 sen2x 1 cos2 x ou cos2 x 1 sen2 x Exemplo Calcule a sen2xdx 4 sen 2x c 2 x 1 1 2 2 sen2x 2 x 1 1 cos2x dx 2 2 1dx 1 1 2 1 cos2xdx 1 dx 2 1 cos 2x xdx sen2 Exercícios 1 Calcule as seguintes integrais trigonométricas 5 sen x c 3 sen x 1 resp sen x 2 x dx cos c c 3 cos x cos x resp x dx sen b c 32 sen 4x 1 4 sen 2x 1 8 x x dx resp 3 cos a 5 3 5 3 3 4 4 sen 2x c 2 x 1 x dx resp 1 d cos 2 c 5 sen x 3 sen x cos x dx resp sen x g c 32 sen 4x 4 8 x sen 2x resp 3 sen x dx f c 3 resp sen x sen x x dx cos e 5 3 3 2 4 3 3 132 Integrais do tipo x dx cotg x dx sec x dx cosec x dx tg n n n n Usase as substituições por sec2 x 1 tg2 x ou cosec2 x 1 cotg2 x Exemplo x dx cot g a Calcular 2 Técnicas de Integração por Partes Profa Eliani Retzlaff 12 1dx cotg x x c 1 dx cossec x dx cossec x 2 2 Exercícios 1 Calcule as seguintes integrais trigonométricas c resp tg x x tg x dx c c 3 cotg x cotg x x dx resp cosec b c lnsec x sec x 4 resp sec x x dx tg a 2 3 4 2 4 5 c 6 2x tg 2 sec 2x dx resp tg 2x f c x tgx 3 tg x dx resp tg x e c ln sec x 2 tg x dx resp tg x d 3 4 3 4 2 3 133 Integrais do tipo xcos xdx sen n m Se m é inteiro ímpar escrevemos a integral como xcos xsenxdx sen xcos xdx sen n m 1 n m e usase a identidade cos x 1 sen x 2 2 faça u cosx Se n é inteiro ímpar escrevemos a integral como xcos xdx sen xcos xcos xdx sen n 1 m n m e usase a identidade sen x 1 x cos 2 2 faça u senx Se m e n são pares usase as identidades 2 1 cos2x e cos x 2 1 cos2x sen x 2 2 ou ainda usamos a identidade cos x 1 sen x 2 2 ou sen x 1 x cos 2 2 e as fórmulas de recorrência acima Exemplo sen xcos xdx 2 5 cos x senxcos xdx 1 x senxcos xdx sen sen xcos xdx 2 2 2 2 4 2 5 usase a identidade cos x 1 sen x 2 2 faça u cosx 134 As integrais da forma cos ax cos bx dx ou sen ax cos bx dx sen ax sen bx dx podem ser resolvidas usando as identidades trigonométricas Técnicas de Integração por Partes Profa Eliani Retzlaff 13 cos 2 cos 1 sen sen cos 2 cos 1 cos cos sen 2 sen 1 cos sen Exemplo sen 5x sen 2x dx Exercício Resolva as seguintes integrais 1 1dx sen3 2x 8 dx tg3 x 2 3xdx cos5 3 9 dx sec3 x 3 1dx cos e e 2x 2 2x 10 x sec xdx tg 5 3 4 cos xsen xdx 4 11 cos 2x sen 5xdx 5 cos6 3xdx 12 2x sen 3xdx cos 2 0 6 2x sen 2xdx cos 3 2 13 cos xsen 4xdx 2 7 xsen xdx cos 3 4 14 sen xcos xdx 2 2
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Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff MATERIAL DE APOIO ENGENHARIAS SÁBADOMANHÃ CURSO NÚCLEO CURRICULAR DAS ENGENHARIAS DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II DEPARTAMENTO DCET CÓDIGO 15122 PROFESSORA ELIANI RETZLAFF NÚMERO DE HORAS 60 ha CRÉDITOS 4 EMENTA DA DISCIPLINA Técnicas de integração Aplicações das integrais Funções de duas ou mais variáveis Limites Continuidade e derivadas parciais OBJETIVOS DA DISCIPLINA GERAL Instrumentalizar o aluno dandolhe embasamento para continuar o estudo do cálculo e aplicálo em situações concretas conforme suas necessidades profissionais ESPECÍFICOS Aplicar a integração na resolução de problemas Determinar as derivadas parciais de funções de duas ou mais variáveis e fazer suas aplicações Determinar a integral de funções de uma variável através de artifícios e técnicas de integração CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Apresentação do Plano de Ensino Revisão de Derivadas e Integrais 1 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 11 Integração de Funções Trigonométricas 12 Integração por Substituições Trigonométricas 13 Integração por Frações Parciais 14 Integração das Funções Racionais do Seno e Cosseno 15 Integrais Impróprias 2 APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS 21 Áreas Planas 22 Volume de sólido de Revolução 23 Área de uma Superfície de Revolução 24 Centro de Gravidade e Movimento de Inércia 25 Pressão de Fluidos Trabalho 26 Comprimento de Arco 3 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 31 Limites de funções de duas ou mais variáveis 32 Continuidade de funções de duas ou mais variáveis 33 Derivadas Parciais 34 Diferenciabilidade e a Diferencial Total 35 Regra da Cadeia 36 Derivada Direcional e gradiente 37 Extremos de Funções de duas variáveis 38 Aplicações das Derivadas Parciais Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff METODOLOGIA DE ENSINO Aulas teóricas e expositivas para desenvolver a teoria e apresentar algumas aplicações podendo ser complementadas com auxílio de softwares matemáticos Resolução de exercícios em sala de aula e extraclasse PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO A avaliação consistirá de duas a três provas escritas realizadas ao longo do semestre conforme calendário fornecido pela direção acadêmica A participação nas atividades e o esforço individual também estarão sendo avaliados no decorrer do semestre e poderão acrescentar pontos nas avaliações BIBLIOGRAFIA BÁSICA ANTON H Cálculo 8 ed Porto Alegre Bookmann 2007 1v 2v HOFFMANN LD BRADLEY GL Cálculo Um Curso Moderno e suas Aplicações 7ed Rio de Janeiro LTC 2002 LEITHOLD L O Cálculo com Geometria Analítica 3ed São Paulo Harbra 1994 1v 2v MUNEN MA FOULIS DJ Cálculo 1ed Rio de Janeiro LTC 1982 1v 2v BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR BOULOS P Cálculo Diferencial e Integral São Paulo Makron Books 2000 GUIDORIZZI H L Um Curso de Cálculo 5ed Rio de Janeiro 2001 1v 2v Eliani Retzlaff Profa de Ensino Superior da URI Integral indefinida e integral definida Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 3 1 INTEGRAL INDEFINIDA Definição Uma função F x será chamada de primitiva ou antiderivada de uma função f x se f x F x para qualquer x no domínio de f O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida de f em relação a variável x denotada por f x dx Assim C F x f x dx indica que a integral indefinida de f é a família de funções dada por C F x onde f x F x Exemplo Calcule x2dx Observações 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥 Exemplo 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑐 Exemplo 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2𝑑𝑥 Visto que C f x x dx f é possível usar qualquer fórmula de derivada para obter uma fórmula correspondente de integral indefinida integral imediata como na tabela a seguir Derivada f x Integral definida C f x x dx f dx x d 1 1 n x dx d n n 1 x dx d ln Propriedades da integral indefinida 1 C f x dx C f x dx 2 g x dx f x dx g x dx f x Exemplos I Calcule as seguintes integrais 1 dx 3x 4x 3 x dx 4x 1 2 3 3 I Integral indefinida e integral definida Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 4 I c 1 1 2 3 x 4 x 4 1 2 1 4 I c 2 x x 3 4 2 dx 5x x 2 3 x 2 dx 5x 2x 3 x 2 dx x 5 x 2 x 3 2 2 2 2 2 2 2 I I c 1 5 x 2lnx 1 3 x 2 1 1 I c 2lnx 3x 13 c x 5 2lnx 3x 2 3 2xdx 4x 2x 1dx 2x 2x x 1 dx 2x x 3 5 2 4 2 2 I I c x x 3 x 1 c 2 x 2 4 x 4 6 x 2 2 4 6 2 4 6 4 sen t dt dt t cos 1 t cos t sen t dt sec tg t I I costc II Encontrar uma primitiva da função 1 x 1 f x 2 que se anule no ponto x 2 Fx x 1 1 dx x 1 2 c c x 1 Fx c 2 1 0 2 c 1 2 1 x 1 Fx Integral Definida Se fx é contínua em um intervalo fechado a b e se Fx é qualquer antiderivada de fx isto é se c F x f x dx então b a b Fx a Fa Fb f xdx Integral definida de a até b da função f Exemplos I Calcule as seguintes integrais 1 3xdx 7 I 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 1 7 22 3 72 2 x 3 7x I Integral indefinida e integral definida Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 5 2 2dx 3x x 2 2 0 20 20 3 3 0 1 22 22 3 3 2 1 2x 2 x 3 3 x 1 I 2 3 2 3 2 0 2 3 EXERCÍCIOS 1 Calcule as seguintes derivadas a 27 2t 5t f t 3 b x e x 1 3x 2 g x x 3 3 c 1 2t f t 2 Calcule as seguintes derivadas a 1dx 8x 4x 2 b t dt t 1 t 3 2 3 c dt t t 5t t 3 3 2 3 d 16x dx 5 4 1 e dx x 3 x 9 4 f 5dx x 3x g 1dx x 1 x 2 4 2 5 h dx x 5 4x x 2 3 1 2 2 3 Técnicas de Integração por substituição Profa Eliani Retzlaff 6 1 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 11 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Este método consiste em fazer uma mudança de variável para que sejam calculadas determinadas integrais 111 Método da substituição para a integração Para calcular a integral dx f g x g x quando f e g são funções contínuas siga os passos a seguir 1º substitua u g x e dx g x du para obter a integral du u f 2º integre em relação a u 3º substitua u por g x no resultado Exemplos 1 sen dx cos3x 3 x 2 3 dx cos 5x 3sen 4x 3 5dx x x 3 2 4 dx 1 x 5 1 5 d sen cos 2 6 tgxdx Técnicas de Integração por substituição Profa Eliani Retzlaff 7 7 7 dx x sen x 2 8 1 dx x 2x 2 2 Exercícios Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por substituição Derive as respostas para verificar se estão corretas 1 e xdx 4 2 x dx 1 x 2 2 3 4ydy 1 4 cos x dx senx 5 5 s 1 3 sds 2 6 dx 1 x x 3 2 7 3 2 1 x xdx 8 sen4xcos xdx 9 2x dx x 4 2 10 dx x cos 5cos x 2senx 11 1 dx 3 2x 2x 2x 10 2 12 cos 2xdx sen 2x 1 3 4 0 13 e dx x x2 14 dx x 1 x 9 3 2 15 x 4 xdx 2 16 t t dt 5 2 8 17 sen2xcos xdx 18 tgx sec xdx 2 Técnicas de Integração por Partes Profa Eliani Retzlaff 8 12 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES A regra do produto estabelece que se f e g são funções diferenciáveis então x f x g f x g x dx f x g x d Aplicando a integral indefinida essa equação tornase x dx f x g x f x g x f x g Ou dx f x g x f x g x f x g x dx Notação se g x f x e v u então as diferenciais são dx g x f x dx e dv du Assim vdu u v udv Fórmula de integração por partes Exemplos c 1 x e c e e dx xe e x e e dx v 1dx dv x du u xe dx 1 x x x x x x x x sen x dx xsenx cosx c senx x senx v cosx dx dv dx du 1 dx du x u xcosx dx 2 Exercício 1 Integre as seguintes funções por partes e simplifiqueas x senx dx c sen xcosx dx b xsenx dx a 2 Respostas a x cos x sen x c b c 2 x sen 2 c x2 cos x 2x sen x 2 cos x c Técnicas de Integração por Partes Profa Eliani Retzlaff 9 Exercícios complementares Calcule as seguintes integrais simplificandoas quando possível dx x 5 x 3 2 dx 42 5 3t dt 43 41 cos e 1 e 40 5 dx 39 tg4x dx dx 38 sen x 2 e dx 37 e 6x x x 3 e sene dx 36 35 3 3x dx dx 34 2x 2 x 5 dx 33 3x 1 32 3x dx 31 2 x dx 30 dx dx 29 x e 2 sen 3x dx 26 x e dx 27 3x x 4 dx 28 25 2x dx 3 5 4x ln x 24 x dx dx 23 x dx 21 4x 2 x dx 22 ln 3x e 1 e 20 dx e e 1 dx 19 18 xe dx 4 x 2x dx 17 1 5x 3x 16 1 x dx 15 dx 3x 3 dx 14 x x 1 dx 13 x 1 x 3x x 4 12 x dx dx 11 x 1 x 10 dx 3x 4 x x 2x 4 x dx 9 x sen3x dx 7 x ln 7x dx 8 3x 6 dx dx 5 x e x e x e dx 2 x e dx 3 xcos 2x dx 4 1 2 3 8 2 2 2 2x 2x x 2 x 2 x x 2 3 3 3 2 4 5x 8 3x 2 x 2 2 9 2 x x x 2x x 4 2 3 2 3 5 2 3 4 3 3 2 3 2 2 2 3 x 3x 2x 2 2x 3 2 2 x x dx x x Respostas Técnicas de Integração por Partes Profa Eliani Retzlaff 10 27 sen 3x c 2 9 cos 3x 3 se 3x 2x 3 cos 3x x c 6 x e 9 c 5 x e e 3 x e 4 4 cos 2x c 2 sen2x 1 4 c 3 x 1 2 x 2 x 8 c 2 e 3 4 x 3 4 x 3 2 x e 1 2 3 x x 3x 3x 2 x 2 2 3 x 2 3 ln2 c 29 2 c 27 x 4 c 28 2 c 26 e 3 cos3x 25 c 24 x 3x 4 ln 2x 3 c c 23ln ln x 3 c 22 ln 3x 80 ln 1 e c 21 4x 2 20 e c e c 19 2 4 c 18 e c 17 x 4 ln x 1 10 ln 5x 16 3 c x 15 2 ln 1 c 3x 1 9 c 14 x 3 x 3 4 5 x 5 1 c 13 2 123x 1 c 12 4 2x 1 11 x c 1 4 5 x 1 2 x 3x 4 c 10 4 4x x c 9 1 9 c 8 3 ln 7x x x 7 3x 3 2 x 2 3 10 2 x x x x 4 2 2 2 3 3 5 2 2 2 4 4 5 3 2 2 3 3 2 3 3 2 2 x 5x c 3 x 1 c 43 54 c 42 3t 5 2 c 41 tg x e 1 2 c 40 4 ln cos 4x 39 5 c cos x 5 c 38 3 2 c 35 cos e c 36 x 6x c 37 e 6 3 2x 34 c 2 c 33 x 2 9 3 ln3x 1 c 32 2 3x 5 3x 5 x 2 c 31 1 3 1 30 2 9 2 2 2x 3 x 2 x 3 3 3 2 3 3 Técnicas de Integração por Partes Profa Eliani Retzlaff 11 13 INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS A grande maioria das integrais trigonométricas possui fórmulas prontas Há no entanto alguns casos especiais 2 cos x 1 cos 2x 2 1 cos 2x sen x Para n par usa se as substituições Integrais do tipo sen xdx e cos x dx 131 2 2 n n Se n for ímpar usa se a substituição por sen x cos x 1 mente e respectiva 2 2 sen2x 1 cos2 x ou cos2 x 1 sen2 x Exemplo Calcule a sen2xdx 4 sen 2x c 2 x 1 1 2 2 sen2x 2 x 1 1 cos2x dx 2 2 1dx 1 1 2 1 cos2xdx 1 dx 2 1 cos 2x xdx sen2 Exercícios 1 Calcule as seguintes integrais trigonométricas 5 sen x c 3 sen x 1 resp sen x 2 x dx cos c c 3 cos x cos x resp x dx sen b c 32 sen 4x 1 4 sen 2x 1 8 x x dx resp 3 cos a 5 3 5 3 3 4 4 sen 2x c 2 x 1 x dx resp 1 d cos 2 c 5 sen x 3 sen x cos x dx resp sen x g c 32 sen 4x 4 8 x sen 2x resp 3 sen x dx f c 3 resp sen x sen x x dx cos e 5 3 3 2 4 3 3 132 Integrais do tipo x dx cotg x dx sec x dx cosec x dx tg n n n n Usase as substituições por sec2 x 1 tg2 x ou cosec2 x 1 cotg2 x Exemplo x dx cot g a Calcular 2 Técnicas de Integração por Partes Profa Eliani Retzlaff 12 1dx cotg x x c 1 dx cossec x dx cossec x 2 2 Exercícios 1 Calcule as seguintes integrais trigonométricas c resp tg x x tg x dx c c 3 cotg x cotg x x dx resp cosec b c lnsec x sec x 4 resp sec x x dx tg a 2 3 4 2 4 5 c 6 2x tg 2 sec 2x dx resp tg 2x f c x tgx 3 tg x dx resp tg x e c ln sec x 2 tg x dx resp tg x d 3 4 3 4 2 3 133 Integrais do tipo xcos xdx sen n m Se m é inteiro ímpar escrevemos a integral como xcos xsenxdx sen xcos xdx sen n m 1 n m e usase a identidade cos x 1 sen x 2 2 faça u cosx Se n é inteiro ímpar escrevemos a integral como xcos xdx sen xcos xcos xdx sen n 1 m n m e usase a identidade sen x 1 x cos 2 2 faça u senx Se m e n são pares usase as identidades 2 1 cos2x e cos x 2 1 cos2x sen x 2 2 ou ainda usamos a identidade cos x 1 sen x 2 2 ou sen x 1 x cos 2 2 e as fórmulas de recorrência acima Exemplo sen xcos xdx 2 5 cos x senxcos xdx 1 x senxcos xdx sen sen xcos xdx 2 2 2 2 4 2 5 usase a identidade cos x 1 sen x 2 2 faça u cosx 134 As integrais da forma cos ax cos bx dx ou sen ax cos bx dx sen ax sen bx dx podem ser resolvidas usando as identidades trigonométricas Técnicas de Integração por Partes Profa Eliani Retzlaff 13 cos 2 cos 1 sen sen cos 2 cos 1 cos cos sen 2 sen 1 cos sen Exemplo sen 5x sen 2x dx Exercício Resolva as seguintes integrais 1 1dx sen3 2x 8 dx tg3 x 2 3xdx cos5 3 9 dx sec3 x 3 1dx cos e e 2x 2 2x 10 x sec xdx tg 5 3 4 cos xsen xdx 4 11 cos 2x sen 5xdx 5 cos6 3xdx 12 2x sen 3xdx cos 2 0 6 2x sen 2xdx cos 3 2 13 cos xsen 4xdx 2 7 xsen xdx cos 3 4 14 sen xcos xdx 2 2