Plano de Ensino: Cálculo Diferencial e Integral II - Engenharia

NÚCLEO CURRICULAR DAS ENGENHARIAS NOTURNO 15122 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Santo Ângelo Fevereiro de 2022 Revisão Derivadas Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 1 Aula 1 dia 26 de fevereiro de 2022 4ha Apresentação do plano de ensino da disciplina Revisão de Derivadas e Integrais DADOSDE IDENTIFICAÇÃO SÁBADOMANHÃ CURSO NÚCLEO CURRICULAR DAS ENGENHARIAS DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II DEPARTAMENTO DCET CÓDIGO 15122 PROFESSORA ELIANI RETZLAFF NÚMERO DE HORAS 60 ha CRÉDITOS 4 EMENTA DA DISCIPLINA Técnicas de integração Aplicações das integrais Funções de duas ou mais variáveis Limites Continuidade e derivadas parciais OBJETIVOS DA DISCIPLINA GERAL Instrumentalizar o aluno dandolhe embasamento para continuar o estudo do cálculo e aplicálo em situações concretas conforme suas necessidades profissionais ESPECÍFICOS Aplicar a integração na resolução de problemas Determinar as derivadas parciais de funções de duas ou mais variáveis e fazer suas aplicações Determinar a integral de funções de uma variável através de artifícios e técnicas de integração CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Apresentação do Plano de Ensino Revisão de Derivadas e Integrais 1 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 11 Integração de Funções Trigonométricas 12 Integração por Substituições Trigonométricas 13 Integração por Frações Parciais 14 Integração das Funções Racionais do Seno e Cosseno 15 Integrais Impróprias 2 APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS 21 Áreas Planas 22 Volume de sólido de Revolução 23 Área de uma Superfície de Revolução 24 Centro de Gravidade e Movimento de Inércia 25 Pressão de Fluidos Trabalho 26 Comprimento de Arco 3 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 31 Limites de funções de duas ou mais variáveis Revisão Derivadas Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 2 32 Continuidade de funções de duas ou mais variáveis 33 Derivadas Parciais 34 Diferenciabilidade e a Diferencial Total 35 Regra da Cadeia 36 Derivada Direcional e gradiente 37 Extremos de Funções de duas variáveis 38 Aplicações das Derivadas Parciais METODOLOGIA DE ENSINO Aulas teóricas e expositivas para desenvolver a teoria e apresentar algumas aplicações podendo ser complementadas com auxílio de softwares matemáticos Resolução de exercícios em sala de aula e extraclasse PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO A avaliação consistirá de duas a três provas escritas realizadas ao longo do semestre conforme calendário fornecido pela direção acadêmica A participação nas atividades e o esforço individual também estarão sendo avaliados no decorrer do semestre e poderão acrescentar pontos nas avaliações BIBLIOGRAFIA BÁSICA ANTON H Cálculo 8 ed Porto Alegre Bookmann 2007 1v 2v HOFFMANN LD BRADLEY GL Cálculo Um Curso Moderno e suas Aplicações 7ed Rio de Janeiro LTC 2002 LEITHOLD L O Cálculo com Geometria Analítica 3ed São Paulo Harbra 1994 1v 2v MUNEN MA FOULIS DJ Cálculo 1ed Rio de Janeiro LTC 1982 1v 2v BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR BOULOS P Cálculo Diferencial e Integral São Paulo Makron Books 2000 GUIDORIZZI H L Um Curso de Cálculo 5ed Rio de Janeiro 2001 1v 2v Eliani Retzlaff Profa de Ensino Superior da URI Revisão Derivadas Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 3 4 Regras básicas de derivação fx c fx 0 fx ax fx a fx axn fx naxn1 Calcule as derivadas das seguintes funções Derivada do Produto Se u e v são funções tais que existem e então Exemplos 1 2 Revisão Derivadas Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 4 5 Derivada do Quociente Se u e v são funções tais que existem e então Exemplos 1 2 Revisão Derivadas Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 5 6 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA Teorema Regra da Cadeia Se e as derivadas existem então a função composta tem derivada que é dada por Exemplos 1 Dada a função determinar 2 Dada a função determinar 3 Dada a função determinar Teorema Regra da Potência Se é uma função derivável e n um número racional não nulo então Exemplos 1 Dada a função determinar Revisão Derivadas Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 6 7 2 Dada a função determinar 3 Dada a função determinar DERIVAÇÃO DAS FUNÇÕES TRIGONOMETRICAS LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAS Derivada da função cos x então Derivada da função sen x y sen x então y cos x Exemplos Calcule as derivadas 1 2 3 Seja uma função derivável em x Pela regra da cadeia temos que por Revisão Derivadas Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 7 8 Exemplo y y Similarmente se u ux pela regra da cadeia obtemos Exemplos Calcular a derivada a b c Derivada da função exponencial Se então Revisão Derivadas Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 8 9 Em particular Derivada da função logarítmica Se então Em particular Se u ux é uma função derivável então aplicando a regra da cadeia obtemos Exemplos 1 2 3 4 5 6 Revisão Derivadas Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 9 10 7 DERIVADA INCLINAÇÃO RETA TANGENTE E APLICAÇÃO 1 Determine a equação da reta tangente ao gráfico da em P21 Revisão Derivadas Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 10 11 2 Determine o coeficiente angular da curva no ponto correspondente ao valor de x indicado Determine então a equação para a reta tangente à curva nesse ponto a resp y 6x 2 b resp y 2x 9 3 O deslocamento em metros de uma partícula movendose ao longo da reta é dado pela equação do movimento St t² 8t 18 onde t é medido em segundos A Encontre a velocidade média entre t0 5 e t1 6 B Encontre a velocidade instantânea em t0 5 C Encontre a aceleração instantânea em t0 5 Revisão Derivadas Cálculo Diferencial e Integral II URI I2022 Profa Eliani Retzlaff 11 12 1 INTEGRAL INDEFINIDA Definição Uma função será chamada de primitiva ou antiderivada de uma função se para qualquer x no domínio de f O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida de f em relação a variável x denotada por Assim indica que a integral indefinida de f é a família de funções dada por onde Exemplo Calcule Observações Exemplo Exemplo Visto que é possível usar qualquer fórmula de derivada para obter uma fórmula correspondente de integral indefinida integral imediata como na tabela a seguir Derivada Integral definida Propriedades da integral indefinida 1 2 APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS Volumes de sólidos 05 de junho de 2010 Profa Eliani Retzlaff 12 13 Exemplos I Calcule as seguintes integrais 1 I I I 2 I I I 3 I I 4 I I costc 5 II Encontrar uma primitiva da função que se anule no ponto x 2 Fx c Integral Definida Se fx é contínua em um intervalo fechado a b e se Fx é qualquer antiderivada de fx isto é se então Integral definida de a até b da função f Exemplos I Calcule as seguintes integrais 1 APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS Volumes de sólidos 05 de junho de 2010 Profa Eliani Retzlaff 13 14 2 EXERCÍCIOS 1 Calcule as seguintes derivadas a b c d e f g h i j k l APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS Volumes de sólidos 05 de junho de 2010 Profa Eliani Retzlaff 14