Sistemas Elétricos Trifásicos: Conceitos e Aplicações

SISTEMAS TRIFÁSICOS Cícero Souza 2 SUMÁRIO 1 SISTEMAS ELÉTRICOS TRIFÁSICOS TIPOS DE LIGAÇÕES E CÁLCULO DAS TENSÕES E CORRENTES DE LINHA E DE FASE 3 2 SISTEMAS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS E EQUILIBRADOS COM CARGAS DESEQUILIBRADAS 16 3 CIRCUITOS TRIFÁSICOS COM MÚTUAS E ANÁLISE DE SISTEMAS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS OU ASSIMÉTRICOS QUAISQUER 27 4 POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS 41 5 VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE PU 53 6 COMPONENTES SIMÉTRICAS 63 3 1 SISTEMAS ELÉTRICOS TRIFÁSICOS TIPOS DE LIGAÇÕES E CÁLCULO DAS TENSÕES E CORRENTES DE LINHA E DE FASE Apresentação Caros alunos neste momento daremos início aos estudos da disciplina de Sistemas Trifásicos que é uma das bases do curso de Engenharia Elétrica pois contém os subsídios para o aprofundamento dos estudos com as demais disciplinas do curso tais como Máquinas Elétricas Distribuição de Energia Instalações Elétricas etc Portanto nesse bloco iniciaremos com a apresentação dos sistemas trifásicos e seus conceitos fundamentais para aplicações gerais Tais como sistemas de transmissãodistribuição de energia e sistemas industriais 11 Introdução aos Sistemas Trifásicos Os Sistemas de geração de energia elétrica em sua grande maioria estão localizados em pontos remotos do país O principal motivo é que grandes blocos de potência necessitam de grandes espaços disponibilizados para a montagem das Usinas de Geração de Energia Elétrica No Brasil a maior parte da potência elétrica gerada é proveniente de usinas Hidroelétricas Os geradores montados nessas usinas são trifásicos pois são convenientes para transmissão de grandes blocos de potência Uma vez que teremos 3 condutores carregados para essa função Para o transporte desses blocos de potência são utilizadas as linhas de transmissão e as redes de distribuição Nessa locomoção há perdas técnicas por efeito Joule aquecimento nos condutores Por isso ele é dividido nessas duas etapas A alimentação trifásica é propícia para alimentação de cargas como motores e retificadores de potência pois tem maior eficiência do que as suas versões monofásicas 4 Linhas de Transmissão Essas linhas são responsáveis pela interligação da Geração local remoto com a subestação próxima ao centro de carga Geralmente essa distância é muito grande centenas de quilômetros As linhas de transmissão possuem níveis de tensão mais elevados geralmente entre 230 até 750 kV com o objetivo de reduzir as perdas no transporte Com o aumento da tensão ocorre a diminuição da corrente elétrica no trajeto da linha para a transmissão da potência gerada Com a corrente menor temos um efeito Joule reduzido Redes de Distribuição As redes de distribuição são instaladas nos centros urbanos e são responsáveis pelo transporte da energia das Subestações rebaixadoras até as cargas Essas redes geralmente possuem tensões na faixa de 138 24 ou 36 kV A carga as quais elas alimentam geralmente são indústrias grandes empreendimentos ou até mesmo consumidores residenciais através de transformadores rebaixadores Essas redes tendem a ficar desbalanceadas em algumas regiões por conta da grande diversidade de topologias aplicadas pois em alguns casos a carga é desbalanceada áreas residenciais ou a tensão não é distribuída de forma trifásica área rural por exemplo Por conta desse desbalanço fazse necessário estudar o comportamento do sistema também nessas condições Figura 11 Ilustração de um Sistema de Geração Transmissão e Distribuição de Energia Fonte Adaptado de CPE SD 5 12 Definições de Sistemas Trifásicos Um sistema trifásico equilibrado é definido como um sistema de tensão conforme a seguir 𝑒1 𝐸𝑀 cos 𝜔𝑡 𝑒2 𝐸𝑀 cos𝜔𝑡 2𝜋 3 𝑒2 𝐸𝑀 cos𝜔𝑡 4𝜋 3 𝑬𝑴 é o valor máximo da tensão senoidal no tempo No equacionamento apresentado anteriormente os ângulos estão em radianos Fazendo a decomposição e sabendose que 𝝅 radianos vale 180 deduzimos que cada tensão está defasada de 120 elétricos ou 𝟐𝛑 𝟑 radianos As grandezas dos sistemas trifásicos de tensão e corrente são representadas por fasores que possuem um módulo e um ângulo Nós chamamos essa representação de forma polar Segue 𝐸1 E 0 𝐸2 E 120 𝐸3 E 120 Onde 𝐄 𝐄𝐌 𝟐 é o valor eficaz da tensão Agora precisamos definir os tipos de sistemas Sistema trifásico simétrico ou equilibrado Sistema senoidal trifásico e com as tensões nos terminais dos geradores defasadas entre si de 120 elétricos Rede trifásica equilibrada Rede elétrica trifásica que pode ter 3 ou 4 fios a qual possuem impedâncias próprias e mútuas iguais entre os fios 6 Carga trifásica equilibrada Carga trifásica que possui 3 impedâncias complexas iguais que podem ser conectadas em estrela ou triângulo ou Delta Quando alguma das características dos itens anteriormente definidos deixa de existir ou se alterar devemos tratar como uma situação de desequilíbrio Sequência de Fase Para a análise de sistemas trifásicos devemos saber a sequência de giro das fases a serem analisadas Essa sequência nada mais é do que a ordem pela qual as tensões das fases passam pelo seu valor máximo Na Figura 12 por exemplo temos a sequência de fase positiva ou direta ABC Se houver uma inversão nessa ordem chamamos de sequência negativa ou inversa Figura 12 Sequência de fases positiva Fonte Elaborado pelo autor Operador 𝜶 O operador 𝜶 é um número complexo unitário com ângulo de 120 O objetivo é que quando aplicarmos esse operador a um fasor qualquer transformao em outro de mesmo módulo porém adiantado de 120 Segue α 1 120 1 2 j 3 2 7 Propriedades de potenciação importantes do operador 𝜶 α1 α 1 120 α2 α α 1 1201 120 1 120 1 α α2 1 0 1 120 1 120 0 Essas propriedades são muito exploradas na análise de sistemas elétricos trifásicos 13 Sistemas Trifásicos Simétricos e Equilibrados com Cargas Equilibradas Ligações em Estrela Figura 13 Sistema trifásico com gerador e carga ligados em estrela Fonte Elaborado pelo autor IA EAN Z E 0j Z φ E Z φ IB EBN Z E 120 Z φ E Z 120 φ IC ECN Z E 120 Z φ E Z 120 φ Definições importantes Tensão de fase Tensão medida entre os terminais do gerador ou carga e o centro estrela Tensão de linha Tensão medida entre os terminais do gerador ou carga exceto o centroestrela 8 Corrente de fase Corrente que percorrer as bobinas do gerador e as impedâncias da carga são iguais Corrente de linha Corrente que percorre os condutores que interligam o gerador e a carga sem contar o neutro Nesse tipo de conexão as correntes de linha são iguais às de fase IAN IA IBN IB ICN IC Agora as tensões de fase são VAN VAN VBN VCN VAN 1 α2 α As tensões de linha são VAB VAN VBN VBC VBN VCN VCA VCN VAN Substituindo utilizando matrizes VAB VAB VBC VCA VAN 1 α2 α VAN α2 α 1 VAN 1 α2 α2 α α 1 Sabese que 1 α2 1 1 2 3 2 j 3 2 2 1 2 j 3 30 α2 α α21 α2 α23 30 α2 1 α1 α2 α3 30 Assim VAB VAB VBC VCA 3 30 VAN 1 α2 α VAN 3 30 VBN 3 30 VCN 3 30 9 Para uma sequência de fase positiva as tensões de linha e de fase para a ligação estrela se relacionam pelo número complexo 3 30 Multiplicandose esse fasor pela tensão de fase teremos a tensão de linha que é adiantada de 30 Figura 14 Diagrama Fasorial Ligação Estrela Fonte Elaborado pelo Autor Para resolução de circuitos temos que levar em consideração a impedância da linha que interliga o gerador com a carga Figura 15 Circuito trifásico em estrela equilibrado Fonte Elaborado pelo autor VAN VAN VBN VCN E θ 1 α2 α Z Z φ1 e Z Z φ2 10 Portanto a corrente será IA VAN Z Z E θ Z Z IB VBN Z Z α2E θ Z Z α2IA IC VCN Z Z αE θ Z Z αIA Ou na forma matricial IA 1 α2 α E Z Z 1 α2 α Sabese também que IN IA IB IC 0 Exercício 1 Uma carga equilibrada ligada em estrela é alimentada por um sistema trifásico simétrico e equilibrado com sequência de fase direta Sabendo que VBN 220 58 V e desconsiderando a impedância da linha calcule a As tensões de fase na carga b As tensões de linha na carga Solução a Como o sistema é trifásico simétrico os módulos das tensões de fase são iguais Portanto VAN VBN VCN 220 V Sabendo que a sequência de fase é positiva partindo da fase B passarão as fases C e A com a devida defasagem de 120 Assim VBN 220 58 V VCN 220 62 V VAN 220 178 V 11 b Partindo do conceito de que para esse caso a tensão de linha é a respectiva tensão de fase multiplicada pelo número complexo 3 30 teremos VAB 220 178 3 30 380 208 380 152 V VBC 220 58 3 30 380 88 V VCA 220 62 3 30 380 32 V Figura 16 Diagrama Fasorial do Exercício 1 Fonte Elaborado pelo autor Ligações em Triângulo ou Delta Nesse tipo de ligação faremos as ligações das bobinas do gerador formando um triângulo ou também conhecido como ligação Delta Figura 17 Circuito Trifásico em Triângulo Fonte Elaborado pelo autor 12 As características dessa ligação são As tensões de fase são iguais as tensões de linha As correntes de fase são diferentes das correntes de linha Para determinarmos a relação das correntes de fase e de linha vamos inicialmente considerar um sistema trifásico simétrico e equilibrado com sequência de fase positiva IAB IF θ IBC IF θ 120 ICA IF θ 120 Ou podemos escrever a equação anterior por matrizes IAB IAB IBC ICA IAB 1 α2 α Aplicando a 2 lei de Kirchhoff teremos IA IAB ICA IB IBC IAB IC ICA IBC Por matrizes IA IB IC IAB IBC ICA ICA IAB IBC IAB 1 α2 α IAB α 1 α2 Portanto IA IB IC IAB 1 α α2 1 α α2 Também sabemos que 1 α 3 30 α2 1 α23 30 α α2 α3 30 13 Logo será IA IB IC 3 30 IAB 1 α2 α Conclusão para o caso de um circuito trifásico simétrico e equilibrado de sequência positiva com uma carga em triângulo as correntes de linha podem ser obtidas multiplicando as correspondentes de fase pelo número complexo 3 30 As correntes de linha estão atrasadas das correntes de fase em 30 elétricos Figura 18 Diagrama fasorial correntes de fase e linha em Delta Fonte Autor As correntes de fase dentro do delta da carga valem IAB V 3Z Z 0 IBC V 3Z Z 120 ICA V 3Z Z 120 Para solução de problemas envolvendo cargas em triângulo de maneira mais fácil podemos substituir a carga em triângulo por outra que é equivalente em estrela Para a transformação triânguloestrela devemos substituir a carga em triângulo cuja impedância vale Z por outra em estrela cuja impedância vale 𝒁 𝟑 O Gerador em triângulo deverá ser substituído por outro em estrela de modo que a tensão de linha seja a mesma teremos o caso visto nos itens anteriores Que é 14 VAN VAN IA Z Z 3 Isolando IA VAN Z Z 3 3VAN 3Z Z Figura 19 Circuito trifásico estrela equivalente Fonte Autor Exercício 2 Um gerador trifásico alimenta por meio de uma linha uma carga trifásica equilibrada Sabemos que o gerador e a carga estão conectados em delta A tensão nominal do gerador é 220 V linha e 60 Hz sequência positiva A impedância de cada uma das cargas vale 3 J4 Ohms e a impedância de cada linha vale 02 j015 Ohms Desprezando mútuas calcule a as tensões de fase e de linha do gerador As tensões de fase e de linha são iguais Portanto VAB VAB VBC VCA 220 0 1 α2 α V b as correntes de linha IA VAN Z Z 3 220 0 3 30 12 j148 666 81 A 15 Portanto as outras correntes são IB 666 201 A e IC 666 39 A Conclusão Esse bloco apresentou as premissas básicas de sistemas trifásicos bem como a fundamentação teórica para a definição e resolução de circuitos com sistemas e cargas equilibrados Foram apresentadas as ligações em estrela e em triângulo e seu equacionamento REFERÊNCIAS ALEXANDER C K SADIKU M N O Fundamentos de Circuitos Elétricos Porto Alegre GrawnHill 2000 CPE Projeto de rede de distribuição de energia elétrica Fortaleza SD Disponível em httpswwwcpececombrprojetorededistribuicaoenergiaeletrica Acesso em 3 dez 2020 OLIVEIRA C C B D SCHMIDT H P KAGAN N ROBBA E J Introdução A Sistemas Elétricos de Potência São Paulo Edgar Blucher 2000 16 2 SISTEMAS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS E EQUILIBRADOS COM CARGAS DESEQUILIBRADAS Apresentação Caros alunos nesse bloco vamos estudar os sistemas elétricos e cargas em condições desequilibradas Pois em alguns casos pode ocorrer de termos cargas diferentes conectadas entre as conexões das fases São considerados geradores trifásicos simétricos máquinas com tensões trifásicas iguais e defasadas de 120 elétricos e conectadas a linhas de mesma impedância e sem mútuas equilibrados alimentando cargas desequilibradas cargas com impedâncias diferentes 21 Carga em Estrela aterrada com Impedância Figura 21 Sistema Trifásico Simétrico e Equilibrado com carga Desequilibrada Fonte Elaborado pelo autor Para iniciar as análises podemos considerar ZN 0 𝑉𝐴𝑁 𝐼𝐴𝑍𝐴 𝑍𝑃 𝑉𝐵𝑁 𝐼𝐵𝑍𝐵 𝑍𝑃 𝑉𝐶𝑁 𝐼𝐶𝑍𝐶 𝑍𝑃 17 ZP é impedância das linhas E isolando IA VAN ZA ZP IB VBN ZB ZP IC VCN ZC ZP No nó N temos IN IA IB IC E as tensões de fase na carga serão VAN IAZA VBN IBZB VCN ICZC E as tensões de linha na carga VAB VBC VCA VAN VBN VCN VBN VCN VAN Agora caso 𝑍𝑁 0 VAN IAZA ZP INZN VBN IBZB ZP INZN VCN ICZC ZP INZN Isolando as correntes de linha IA VAN ZA ZP IN ZN ZA ZP IB VBN ZB ZP IN ZN ZB ZP IC VCN ZC ZP IN ZN ZC ZP Somando cada uma das correntes de linha pois 𝑰𝑨 𝑰𝑩 𝑰𝑪 𝑰𝑵 teremos IN VAN ZA ZP VBN ZB ZP VCN ZC ZP 1 ZN ZA ZP ZN ZB ZP ZN ZC ZP 18 Após o cálculo de IN podemos calcular as correntes de linha 1 Supondo um circuito similar ao visto na Figura 21 com os dados a seguir VAN 220 0 V VBN 220 120 V VCN 220 120 V ZA ZB ZC ZP ZN 05 j20 Ohms ZA 20Ω ZB j10Ω ZC j10Ω a Calcule a corrente de neutro ZA ZP 205 j20 206 56 Ω ZB ZP 05 j12 12 876 Ω ZC ZP 05 j80 8 864 Ω IN 220 0 206 56 220 120 120 876 220 120 80 864 1 206 76 206 56 206 76 120 876 206 76 80 864 3167 1792 A b Calcule as correntes de linha VNN INZN 3167 1792 206 76 6520 1032 V Assim VAN VAN VNN 220 0 652 1032 2433 151 V VBN VBN VNN 220 120 652 1032 1587 1268 V VCN VCN VNN 220 120 652 1032 2712 1105 V Então IA 2433 151 206 56 118 95 A IB 1587 1268 120 876 132 1456 A IC 2712 1105 8 864 339 1631 A 19 c Calcule as tensões de fase na carga VAN IAZA 118 95 20 0 236 95 V VBN IBZB 132 1456 10 90 132 1244 V VCN ICZC 339 1631 10 90 339 1069 V d Cálculo das tensões de linha na carga VAB VBC VCA 236 95 132 1244 339 1069 132 1244 339 1069 236 95 341 257 434 868 437 1393 V 22 Carga em Estrela com Centroestrela isolado Figura 22 Sistema Trifásico simétrico e equilibrado com carga desequilibrada e neutro isolado Fonte Elaborado pelo Autor Temos VAN VAN VNN IAZA ZP VBN VBN VNN IBZB ZP VCN VCN VNN ICZC ZP Fazendo ZAT ZA ZP ZBT ZB ZP ZCT ZC ZP 20 Onde ZAT ZBT e ZCT são as impedâncias totais das fases A B e C e Y 1 Z é a admitância total da linha Teremos IA VAN ZAT VNN ZAT YATVAN YATVNN IB VBN ZBT VNN ZBT YBTVBN YBTVNN IC VCN ZCT VNN ZCT YCTVCN YCTVNN Se somarmos membro a membro sabendo que IA IB IC 0 Teremos VNN YATVAN YBTVBN YCTVCN YAT YBT YCT 𝑌𝐴𝑇 𝑌𝐵𝑇 𝑌𝐶𝑇 são admitâncias totais de cada fase Através do resultado da equação de 𝑉𝑁𝑁 podemos fazer as devidas substituições e determinarmos as demais grandezas do sistema 2 Dado uma carga trifásica alimentada por uma tensão de linha 220 V trifásica simétrica ABC e impedâncias 𝑍𝐴 10𝛺 𝑍𝐵 2 𝑗10 𝛺 𝑍𝐶 𝑗10𝛺 21 Figura 23 Circuito para solução do exercício 2 Fonte Elaborada pelo autor a Calcule a tensão VNN YA 1 ZA 01 0 S YB 1 ZB 0098 787 S YC 1 ZC 01 90 S Como se trata de um sistema trifásico equilibrado podemos considerar que o gerador está ligado em estrela e possui as tensões de fase 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐵𝑁 𝑒 𝑉𝐶𝑁 encontradas dividindo o valor de linha por 3 e defasadas 120 entre si VNN 01 0 127 0 0098 787 127 120 01 90127 120 01 0 0098 787 01 90 𝑉𝑁𝑁 8690 113 𝑉 b Tensões de fase na carga 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐵𝑁 𝑒 𝑉𝐶𝑁 𝑉𝐴𝑁 127 0 8690 113 21290 46 𝑉 𝑉𝐵𝑁 127 120 8690 113 9550 7680 𝑉 𝑉𝐶𝑁 127 120 8690 113 12890 8030 𝑉 22 c Determine as correntes de linha IA 2129 4601 0 213 46 A IB 955 768 0098 787 94 1555 A IC 1289 80301 90 129 1703 A Figura 24 Diagrama Fasorial do Exercício 2 Fonte OLIVEIRA et al 2000 3 Em um sistema trifásico simétrico com sequência de fase CBA a tensão entre os pontos B e C é 380 45 V Pedese as tensões de linha e de fase Solução a Cálculo das tensões de linha Como a sequência de fase é CBA deveremos ter 𝑉𝐶𝐴 𝑉 𝜃 𝑉𝐵𝐶 𝑉 𝜃 120 𝑉𝐴𝐵 𝑉 𝜃 120 e sabendo que 𝑉𝐵𝐶 380 45 𝑉 teremos V V 380 V e θ 120 45 e então θ 75 Portanto VCA 380 75 VBC 380 45 VAB 380 195 380 165 V 23 b Cálculo das tensões de fase Sendo 𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐵𝐶 𝑉𝐶𝐴 0 e 𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐵𝐶 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐶𝑁 𝑉𝐶𝐴 𝑉𝐶𝑁 𝑉𝐴𝑁 Impomos similarmente que VAN VBN VCN VX Onde VX valor imposto para representar a soma desses vetores Assim VBN VX VAN VCN VAB VAN VBN 2VAN VCN VX VCA VCN VAN VCN VCA VAN Agora substituindo VAB 2VAN VCA VAN VX VAB 3VAN VCA VAN VX VAN VAB VCA VX 3 Agora impomos que VX 0 𝑉𝐴𝑁 380 195 380 75 0 3 21940 135 𝑉 24 Também podemos calcular as tensões de fase da seguinte forma Sequência inversa VAN VAB 3 30 380 195 3 30 21940 135 V VBN αVAN VCN α2VAN Figura 25 Diagrama Fasorial do Exercício 3 Fonte OLIVEIRA et al 2000 4 Uma carga trifásica equilibrada ligada em triângulo é alimentada por trifásico simétrico com sequência de fase BAC Sabemos que a corrente 𝐼𝐵𝐶 22 40 𝐴 portanto determine as correntes de fase item a e linha item b Respostas Item a 𝐼𝐴𝐵 22 80 𝐴 𝑒 𝐼𝐶𝐴 22 160 𝐴 Item b 𝐼𝐴 38 50 𝐴 𝐼𝐵 38 70 𝐴 𝐼𝐶 38 170 𝐴 23 Carga conectada em Triângulo ou Delta Carga em Triângulo Nesse caso substituímos a carga trifásica desequilibrada conectada em triângulo por seu circuito equivalente em estrela conforme o equacionamento a seguir 25 𝑍𝐴 𝑍𝐴𝐵𝑍𝐶𝐴 𝑍𝐴𝐵 𝑍𝐵𝐶 𝑍𝐶𝐴 𝑍𝐵 𝑍𝐴𝐵𝑍𝐵𝐶 𝑍𝐴𝐵 𝑍𝐵𝐶 𝑍𝐶𝐴 𝑍𝐶 𝑍𝐵𝐶𝑍𝐶𝐴 𝑍𝐴𝐵 𝑍𝐵𝐶 𝑍𝐶𝐴 Figura 26 Transformação triânguloestrela para carga desequilibrada Fonte Elaborado pelo autor Exemplo Dado um sistema em delta com impedâncias ZAB 10 Ω ZBC 3 j6Ω e ZCA j8 Ω Calcule os valores das impedâncias do seu circuito equivalente estrela 𝑍𝐴 𝑍𝐴𝐵𝑍𝐶𝐴 𝑍𝐴𝐵 𝑍𝐵𝐶 𝑍𝐶𝐴 10𝑗8 10 3 𝑗6 𝑗8 𝑗80 13 𝑗14 4187 4287 𝛺 𝑍𝐵 𝑍𝐴𝐵𝑍𝐵𝐶 𝑍𝐴𝐵 𝑍𝐵𝐶 𝑍𝐶𝐴 10 3 𝑗6 10 3 𝑗6 𝑗8 30 𝑗60 13 𝑗14 3511 1631 𝛺 𝑍𝐶 𝑍𝐵𝐶𝑍𝐶𝐴 𝑍𝐴𝐵 𝑍𝐵𝐶 𝑍𝐶𝐴 3 𝑗6 𝑗8 10 3 𝑗6 𝑗8 48 𝑗24 13 𝑗14 281 10630 𝛺 26 Figura 27 Carga Estrela Equivalente Exemplo Fonte Elaborado pelo autor Conclusão Esse bloco apresentou uma análise de circuitos trifásicos simétricos e equilibrados alimentando cargas desbalanceadas ou desequilibradas Foram apresentadas as metodologias de cálculo das grandezas envolvidas no circuito para as conexões estrela e triângulo REFERÊNCIAS OLIVEIRA C C B D SCHMIDT H P KAGAN N ROBBA E J Introdução A Sistemas Elétricos de Potência São Paulo Edgar Blucher 2000 ALEXANDER C K SADIKU M N O Fundamentos de Circuitos Elétricos Porto Alegre GrawnHill 2000 27 3 CIRCUITOS TRIFÁSICOS COM MÚTUAS E ANÁLISE DE SISTEMAS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS OU ASSIMÉTRICOS QUAISQUER Apresentação Caros alunos nesse bloco vamos estudar os sistemas elétricos considerando a indutância mútua entre linhas Essa fundamentação é necessária para o pleno entendimento de redes elétricas trifásicas reais Afinal a indutância mútua afeta o valor final das tensões nos terminais da carga Também é estudado nesse capítulo a análise de circuitos trifásicos simétricos e assimétricos quaisquer alimentando cargas desbalanceadas quando se conhece a tensão nos terminais da carga 31 Linha Trifásica Com Mútuas Quaisquer Alimentando Cargas em Estrela Aterrada Através de Impedância A indutância mútua ocorre por conta do acoplamento magnético entre uma linha e outra do circuito Para reduzir seus efeitos tem que haver a transposição das linhas no decorrer do trecho Isso nada mais é do que inverter a posição dos condutores no decorrer do trecho da rede para que todos os condutores tenham o mesmo comprimento e consequentemente a mesma indutância Assim teremos o mesmo efeito da indutância mútua entre as fases Por conta disso neste bloco vamos dar ênfase a circuitos trifásicos desequilibrados os quais as mútuas causam um efeito importante nos níveis de tensão na rede Também será estudado neste bloco os circuitos trifásicos alimentando cargas desbalanceadas conectadas em estrela aterrada por meio de impedância e estrela com centroestrela isolado ou cargas em triângulo 28 Matriz de Impedâncias Figura 31 Linha Trifásica e Impedâncias Fonte Elaborado pelo autor Onde 𝑍𝐴 𝑍𝐵 𝑒 𝑍𝐶 são as impedâncias das linhas 𝑍𝐴𝐵 𝑍𝐵𝐶 𝑒 𝑍𝐶𝐴 são as impedâncias mútuas entre as linhas Agora considerando valores quaisquer de correntes e com 𝐼𝐴 𝐼𝐵 𝐼𝐶 0 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐴𝑁 𝐼𝐴𝑍𝐴 𝐼𝐵𝑗𝜔𝑀𝐴𝐵 𝐼𝐶𝑗𝜔𝑀𝐴𝐶 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐵𝑁 𝐼𝐵𝑍𝐵 𝐼𝐴𝑗𝜔𝑀𝐴𝐵 𝐼𝐶𝑗𝜔𝑀𝐵𝐶 𝑉𝐶𝑁 𝑉𝐶𝑁 𝐼𝐶𝑍𝐶 𝐼𝐴𝑗𝜔𝑀𝐴𝐶 𝐼𝐵𝑗𝜔𝑀𝐵𝐶 Na equação anterior MAB MBC e MCA são as indutâncias mútuas entre as linhas Na forma de matriz VAN VBN VCN VAN VBN VCN RA jωLA jωMAB jωMAC jωMAB RB jωLB jωMBC jωMAC jωMBC RC jωLC IA IB IC Ou VAN VBN VCN VAN VBN VCN ZAA ZAB ZAC ZBA ZBB ZBC ZCA ZCB ZCC IA IB IC ZREDE IA IB IC 29 Sabese ZAA ZBB ZCC R jωL ZP ZAB ZBC ZCA jωM ZM Em que 𝑍𝑃 é a impedância própria da linha 𝑍𝑀 é a impedância mútua da linha Carga Desequilibrada Conectada em Estrela Aterrada com Impedância Figura 32 Sistema trifásico com Carga Ligada em Estrela Aterrada por Impedância Fonte Elaborado pelo autor Nos terminais A B e C carga VAN IAZA IA IB ICZN VBN IBZB IA IB ICZN VCN ICZC IA IB ICZN Aplicandose matrizes VAN VBN VCN ZA 0 0 0 ZB 0 0 0 ZB IA IB IC ZN ZN ZN ZN ZN ZN ZN ZN ZN IA IB IC 30 Ou VAN VBN VCN ZA ZN ZN ZN ZN ZB ZN ZN ZN ZN ZC ZN IA IB IC ZCARGA IA IB IC Assim sabemos que ZCARGA ZA ZN ZN ZN ZN ZB ZN ZN ZN ZN ZC ZN Caso não haja impedância de carga basta fazermos ZN 0 Agora analisando pelos terminais do gerador teremos VAN VBN VCN VAN VBN VCN ZREDE IA IB IC Em que ZREDE ZAA ZAB ZAC ZBA ZBB ZBC ZCA ZCB ZCC Substituindo VAN VBN VCN ZCARGA ZREDE IA IB IC Isolando as correntes IA IB IC ZCARGA ZREDE1 VAN VBN VCN Após determinarmos as correntes de linha podemos calcular as tensões de fase nos terminais da carga 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐵𝑁 𝑒 𝑉𝐶𝑁 Para as tensões de linha na carga 𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐵𝐶 𝑉𝐶𝐴 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐶𝑁 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐶𝑁 𝑉𝐴𝑁 31 Exercício 1 Para o circuito da Figura 32 calcule as tensões de linha na carga e a tensão centroestrela da carga e neutro Dados A tensão nominal do sistema é 138 kV trifásico simétrico e sequência positiva As impedâncias própria e mútua dos fios valem 3 j56 e j25 Ohms respectivamente A impedância da carga vale ZA90j45 ZBj50 ZCj50 e ZN10 Ohms Primeiramente escrevemos a matriz de impedância de carga ZCARGA ZA ZN ZN ZN ZN ZB ZN ZN ZN ZN ZC ZN 100 j45 10 10 10 10 j50 10 10 10 10 j50 E a matriz de rede ZREDE ZAA ZAB ZAC ZBA ZBB ZBC ZCA ZCB ZCC 3 j56 j25 j25 j25 3 j56 j25 j25 j25 3 j56 Somando as duas matrizes para termos a matriz de impedâncias totais ZCARGA ZREDE 103 j506 10 j25 10 j25 10 j25 13 j556 10 j25 10 j25 10 j25 10 j25 Ohms Aplicandose a equação para determinação da corrente IA IB IC 103 j506 10 j25 10 j25 10 j25 13 j556 10 j25 10 j25 10 j25 10 j25 1 13800 3 0 1 α2 α 7760 347 166301571 13230369 A A corrente de neutro será IN IA IB IC 10130807 A As tensões de fase nos terminais da carga VAN VBN VCN 100 j45 10 10 10 10 j50 10 10 10 10 j50 7760 347 166301571 13230369 7890 077 7335 1148 73541212 V 32 A queda de tensão entre o centroestrela da carga e ponto neutro será VNN ZNIN 10 1013807 1013807 V E no final as tensões de linha na carga serão VAB VBC VCA 7890 077 7335 1148 73541212 7335 1148 73541212 7890 077 7239648 12970 868 74451208 V 32 Linha Trifásica Com Mútuas Quaisquer Alimentando Cargas em estrela com centroestrela isolado ou carga em triângulo Figura 33 Sistema trifásico qualquer com carga desequilibrada em estrela isolada Fonte Elaborado pelo autor A tensão nos terminais da carga 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝑁𝑁 𝐼𝐴𝑍𝐴 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝑁𝑁 𝐼𝐵𝑍𝐵 𝑉𝐶𝑁 𝑉𝐶𝑁 𝑉𝑁𝑁 𝐼𝐶𝑍𝐶 33 E 𝐼𝐴 𝑉𝐴𝑁 𝑍𝐴 𝑉𝑁𝑁 𝑍𝐴 𝑌𝐴𝑉𝐴𝑁 𝑌𝐴𝑉𝑁𝑁 𝐼𝐵 𝑉𝐵𝑁 𝑍𝐵 𝑉𝑁𝑁 𝑍𝐵 𝑌𝐵𝑉𝐵𝑁 𝑌𝐵𝑉𝑁𝑁 𝐼𝐶 𝑉𝐶𝑁 𝑍𝐶 𝑉𝑁𝑁 𝑍𝐶 𝑌𝐶𝑉𝐶𝑁 𝑌𝐶𝑉𝑁𝑁 Na equação anterior 𝒀𝑨 𝒀𝑩 𝒆 𝒀𝑪 são as admitâncias da carga Fazendo a somatória e lembrando que 𝐼𝐴 𝐼𝐵 𝐼𝐶 0 Dá 𝑉𝑁𝑁 𝑌𝐴𝑉𝐴𝑁 𝑌𝐵𝑉𝐵𝑁 𝑌𝐶𝑉𝐶𝑁 𝑌𝐴 𝑌𝐵 𝑌𝐶 Matricialmente teremos 𝑉𝑁𝑁 𝑉𝑁𝑁 𝑉𝑁𝑁 𝑌𝐴 𝑌𝐴 𝑌𝐵 𝑌𝐶 𝑌𝐵 𝑌𝐴 𝑌𝐵 𝑌𝐶 𝑌𝐶 𝑌𝐴 𝑌𝐵 𝑌𝐶 𝑌𝐴 𝑌𝐴 𝑌𝐵 𝑌𝐶 𝑌𝐵 𝑌𝐴 𝑌𝐵 𝑌𝐶 𝑌𝐶 𝑌𝐴 𝑌𝐵 𝑌𝐶 𝑌𝐴 𝑌𝐴 𝑌𝐵 𝑌𝐶 𝑌𝐵 𝑌𝐴 𝑌𝐵 𝑌𝐶 𝑌𝐶 𝑌𝐴 𝑌𝐵 𝑌𝐶 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐶𝑁 A equação anterior se torna VAN VBN VCN VAN VBN VCN VNN VNN VNN ZA 0 0 0 ZB 0 0 0 ZB IA IB IC ZCARGA IA IB IC Em que ZCARGA ZA 0 0 0 ZB 0 0 0 ZC 34 E substituindo 1 YA YA YB YC YB YA YB YC YC YA YB YC YA YA YB YC 1 YB YA YB YC YC YA YB YC YA YA YB YC YB YA YB YC 1 YC YA YB YC VAN VBN VCN ZCARGA IA IB IC Fazendo YT 1 YA YA YB YC YB YA YB YC YC YA YB YC YA YA YB YC 1 YB YA YB YC YC YA YB YC YA YA YB YC YB YA YB YC 1 YC YA YB YC Teremos YT VAN VBN VCN ZCARGA IA IB IC No sistema teremos VAN VBN VCN VAN VBN VCN ZREDE IA IB IC Ou VAN VBN VCN VAN VBN VCN ZREDE IA IB IC Substituindo YT VAN VBN VCN ZREDE IA IB IC ZCARGA IA IB IC Ou YT VAN VBN VCN YTZREDE ZCARGA IA IB IC 35 Portanto 𝐼𝐴 𝐼𝐵 𝐼𝐶 𝑌𝑇𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸 𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴1𝑌𝑇 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐶𝑁 Após o cálculo das correntes podemse calcular as tensões de fase e consequentemente as tensões de linha Exercício 2 Repita o solicitado no circuito da figura do exercício 1 simulando a carga ligada com centro estrela isolado ZCARGA 90 j45 0 0 0 j50 0 0 0 j50 A matriz de rede não se altera e a matriz 𝑌𝑇 será 𝑌𝑇 08818 1137 04409 1137 04409 1137 022055207 05743870 04409 1137 022055207 04409 1137 05743870 𝑆 Calculando as correntes 𝐼𝐴 𝐼𝐵 𝐼𝐶 992 383 17011721 983228 E nos terminais da carga VAN VBN VCN 9982 117 8505 979 49151128 V e VAN VBN VCN 7543 043 7292 1178 77091225 V A ddp entre o centroestrela da carga e o neutro será VNN YAVAN YBVBN YCVCN YA YB YC 2982 415 V E as tensões de linha VAB VBC VCA 9982 117 8505 979 49151128 8505 979 49151128 9982 117 12678303 12976 867 133931507 V 36 33 Sistemas Trifásicos Simétricos ou Assimétricos com Cargas Desequilibradas Conhecidas as Tensões nos Terminais da Carga Carga Estrela Aterrada Através de Impedância Figura 34 Sistema Trifásico Qualquer com carga desequilibrada em estrela aterrada Fonte Elaborado pelo autor Como sabemos as tensões no terminal da carga teremos VAN IAZA INZN VBN IBZB INZN VCN ICZC INZN Isolando IA VAN ZA IN ZN ZA IB VBN ZB IN ZN ZB IC VCN ZC IN ZN ZC E por fim calculamos In lembrando que 𝐼𝑁 𝐼𝐴 𝐼𝐵 𝐼𝐶 𝐼𝑁 VAN ZA VBN ZB VCN ZC 1 ZN ZA ZN ZB ZN ZC 37 Após o cálculo de IN calculamos os valores das correntes de linha por substituição nas equações mostradas anteriormente Carga Estrela Isolada Figura 35 Sistema Trifásico Qualquer com carga desequilibrada em estrela Isolada Fonte Autor Primeiro passo calculamos VNN 𝑉𝑁𝑁 𝑌𝐴𝑉𝐴𝑁 𝑌𝐵𝑉𝐵𝑁 𝑌𝐶𝑉𝐶𝑁 𝑌𝐴 𝑌𝐵 𝑌𝐶 Após isso calculamos VNN VNN VNN YA YA YB YC YB YA YB YC YC YA YB YC YA YA YB YC YB YA YB YC YC YA YB YC YA YA YB YC YB YA YB YC YC YA YB YC VAN VBN VCN A equação anterior se torna VAN VBN VCN VAN VBN VCN VNN VNN VNN ZA 0 0 0 ZB 0 0 0 ZB IA IB IC ZCARGA IA IB IC 38 Em que ZCARGA ZA 0 0 0 ZB 0 0 0 ZC Substituindo 1 YA YA YB YC YB YA YB YC YC YA YB YC YA YA YB YC 1 YB YA YB YC YC YA YB YC YA YA YB YC YB YA YB YC 1 YC YA YB YC VAN VBN VCN ZCARGA IA IB IC No final IA IB IC ZCARGA1YT VAN VBN VCN Carga em Triângulo Quando temos a carga em triângulo e conhecemos as tensões nos terminais da carga a resolução fica Figura 36 Carga Desequilibrada em Triângulo Fonte Elaborado pelo autor IAB VAB ZA IBC VBC ZB ICA VCA ZC 39 Pela 1 lei de Kirchhoff 𝐼𝐴 𝐼𝐴𝐵 𝐼𝐶𝐴 𝐼𝐵 𝐼𝐵𝐶 𝐼𝐴𝐵 𝐼𝐶 𝐼𝐶𝐴 𝐼𝐵𝐶 Exercício 3 Resolver o circuito da Figura 34 calcular as correntes de linha e neutro considerando que conhecemos as tensões nos terminais da carga e suas impedâncias Segue VAN 2200 V VBN 200 120 V VCN 220120 V ZA 20 Ω ZB j10 Ω ZC j10 Ω ZN 050 j20Ω Cálculo da corrente 𝐼𝑁 VAN ZA VBN ZB VCN ZC 1 ZN ZA ZN ZB ZN ZC 2200 20 200 120 j10 220120 j10 1 05 j2 20 05 j2 j10 05 j2 j10 24661766 A Substituindo IA VAN ZA IN ZN ZA 2200 20 2466176605 j2 20 12117 A IB VBN ZB IN ZN ZB 200 120 j10 2466176605 j2 j10 1511458 A IC VCN ZC IN ZN ZC 220120 j10 24661766 05 j2 j10 257 1584 A Conclusão Esse bloco apresentou uma análise de circuitos trifásicos com a consideração das mútuas entre as linhas e considerando já conhecidas as tensões nos terminais da carga Foram apresentados os equacionamentos e as deduções para solução dos problemas Agora já é possível avaliar as consequências de se considerar ou não as mútuas entre as linhas e a determinação das grandezas elétricas correntes na carga quando se é possível conhecer as tensões em seus terminais por medição por exemplo 40 REFERÊNCIAS OLIVEIRA C C B D SCHMIDT H P KAGAN N ROBBA E J Introdução A Sistemas Elétricos de Potência São Paulo Edgar Blucher 2000 ALEXANDER C K SADIKU M N O Fundamentos de Circuitos Elétricos Porto Alegre GrawnHill 2000 41 4 POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS Apresentação Nesse bloco vamos estudar a determinação da potência consumida pelas cargas trifásicas no sistema Será estudada a carga em triângulo ou estrela e serão definidos os tipos de potência fator de potência e metodologia para determinação da potência em circuitos trifásicos 41 Introdução e Expressão Geral da Potência em sistemas CA Como visto em disciplinas anteriores vamos relembrar o conceito de potência CA A potência instantânea absorvida por uma carga é determinada pelo produto da tensão e corrente instantâneas 𝑣 𝑉𝑀 cos𝜔𝑡 𝜃 tensão instantânea e 𝜃 é o ângulo inicial da tensão 𝑖 𝐼𝑀 cos𝜔𝑡 𝛿 corrente instantânea e 𝛿 é o ângulo inicial da corrente Assim 𝑝 𝑣 𝑖 𝑉𝑀𝐼𝑀 cos𝜔𝑡 𝜃 cos𝜔𝑡 𝛿 Também sabemos que cos𝛼 𝛽 cos𝛼 𝛽 2 cos𝛼cos𝛽 Então adotamos 𝛼 𝜔𝑡 𝜃 e 𝛽 𝜔𝑡 𝛿 e multiplicamos e dividimos por 2 não altera o resultado ficará 𝑝 𝑉𝑀𝐼𝑀 2 2 cos𝛼 cos𝛽 𝑉𝑀𝐼𝑀 2 cos𝜔𝑡 𝜃 𝜔𝑡 𝛿 cos𝜔𝑡 𝜃 𝜔𝑡 𝛿 𝑝 𝑉𝑀𝐼𝑀 2 2 cos𝛼cos𝛽 𝑉𝑀𝐼𝑀 2 cos𝜃 𝛿 cos𝜔𝑡 𝜃 𝜔𝑡 𝛿 Também sabemos que 𝜑 𝜃 𝛿 que é o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente na carga 42 E V VM 2 e I IM 2 que são os valores eficazes de tensão e corrente Portanto VM 2 V e IM 2 I Substituindo 𝑝 2 𝑉 2 𝐼 2 cos𝜑 cos𝜔𝑡 𝜃 𝜔𝑡 𝛿 𝑝 𝑉 𝐼 cos 𝜑 𝑉 𝐼 cos2𝜔𝑡 𝜃 𝛿 A equação anteriormente apresentada representa a potência elétrica em um sistema AC monofásico Analisando sabemos que a potência é composta de duas parcelas A primeira 𝑉 𝐼 cos 𝜑 que é constante no tempo e a segunda 𝑉 𝐼 cos2𝜔𝑡 𝜃 𝛿 que é variável no tempo e possui o dobro da frequência da rede A primeira parcela é a parte onde é realizado o trabalho potência ativa O termo cos 𝜑 também é designado como fator de potência da carga A segunda parcela varia cossenoidalmente no tempo representa uma potência que ora é absorvida ora é fornecida pela carga Essa potência é denominada potência flutuante A unidade de potência ativa é Watts W Por analogia a circuitos de corrente contínua surge a potência aparente 𝑆 que é 𝑆 𝑉 𝐼 𝑉𝐴 𝑉𝑜𝑙𝑡 𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒 E definimos a potência ativa P Então 𝑃 𝑉 𝐼 cos 𝜑 𝑆 cos 𝜑 𝑊 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 E agora definimos a potência reativa Q 𝑄 𝑉 𝐼 sin 𝜑 𝑆 sin 𝜑 𝑉𝐴𝑟 𝑉𝑜𝑙𝑡 𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒 𝑅𝑒𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 43 A potência reativa pode ser positiva 𝜑 0 e negativa 𝜑0 Por convenção e sabendo de que 𝜑 𝜃 𝛿 Potência reativa absorvida por uma carga indutiva positiva 𝜑 𝜃 𝛿0 Potência reativa absorvida por uma carga capacitiva negativa 𝜑 𝜃 𝛿0 Relação Entre Potências 𝑆 𝑃2 𝑄2 E na sua forma complexa 𝑆 𝑃 𝑗𝑄 𝑆𝜑 Se soubermos os fasores de tensão e corrente é possível determinar a potência complexa pelo produto do fasor V pelo complexo conjugado da corrente S V I Conjugado Onde V Vθ e I Iδ S V I Vθ I δ V I θ δ VI cosθ δ jVI sinθ δ S VI cos φ jVI sin φ P jQ 42 Expressão Geral da Potência em Sistemas Trifásicos e o Teorema de Blondel Seguindo pela analogia a um circuito monofásico visto na seção anterior agora para uma carga trifásica na qual os valores instantâneos das tensões e correntes de fase são 𝑣𝐴 𝑉𝐴𝑀 cos𝜔𝑡 𝜃𝐴 𝑒 𝑖𝐴 𝐼𝐴𝑀 cos𝜔𝑡 𝛿𝐴 𝑣𝐵 𝑉𝐵𝑀 cos𝜔𝑡 𝜃𝐵 𝑒 𝑖𝐵 𝐼𝐵𝑀 cos𝜔𝑡 𝛿𝐵 𝑣𝐶 𝑉𝐶𝑀 cos𝜔𝑡 𝜃𝐶 𝑒 𝑖𝐶 𝐼𝐶𝑀 cos𝜔𝑡 𝛿𝐶 44 A potência instantânea em cada fase é dada por 𝑝𝐴 𝑣𝐴𝑖𝐴 𝑉𝐹𝐴𝐼𝐹𝐴 cos𝜃𝐴 𝛿𝐴 𝑉𝐹𝐴𝐼𝐹𝐴 cos2𝜔𝑡 𝜃𝐴 𝛿𝐴 𝑝𝐵 𝑣𝐵𝑖𝐵 𝑉𝐹𝐵𝐼𝐹𝐵 cos𝜃𝐵 𝛿𝐵 𝑉𝐹𝐵𝐼𝐹𝐵 cos2𝜔𝑡 𝜃𝐵 𝛿𝐵 𝑝𝐶 𝑣𝐶𝑖𝐶 𝑉𝐹𝐶𝐼𝐹𝐶 cos𝜃𝐶 𝛿𝐶 𝑉𝐹𝐶𝐼𝐹𝐶 cos2𝜔𝑡 𝜃𝐶 𝛿𝐶 Onde 𝑉𝐹𝐴 𝑉𝐹𝐵 𝑒 𝑉𝐹𝐶 são os valores eficazes das tensões de fase e 𝐼𝐹𝐴 𝐼𝐹𝐵 𝑒 𝐼𝐹𝐶 são os valores eficazes das correntes de fase Fazendo as devidas substituições e somandose as três potências 𝑃 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝑉𝐹𝐴𝐼𝐹𝐴 cos𝜑𝐴 𝑉𝐹𝐵𝐼𝐹𝐵 cos𝜑𝐵 𝑉𝐹𝐶𝐼𝐹𝐶 cos𝜑𝐶 A potência complexa será 𝑆 𝑆𝐴 𝑆𝐵 𝑆𝐶 𝑉𝐹𝐴𝐼𝐹𝐴 𝑉𝐹𝐵𝐼𝐹𝐵 𝑉𝐹𝐶𝐼𝐹𝐶 Vamos tratar o caso como um circuito simétrico sequência positiva e carga equilibrada Portanto teremos 𝑃 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶 3𝑉𝐹𝐼𝐹 cos 𝜑 E S 3VFIFφ Portanto 𝑆 3𝑉𝐹𝐼𝐹 cos 𝜑 𝑗3𝑉𝐹𝐼𝐹 sin 𝜑 Não é comum se dispor de valores de fase em circuitos trifásicos em seus dados de placa Portanto é melhor trabalhar com os valores de linha para os equacionamentos Para a carga em estrela VF VL 3 e IF IL 45 Substituindo 𝑆 3 𝑉𝐿𝐼𝐿 𝑃 3 𝑉𝐿𝐼𝐿 cos 𝜑 𝑄 3 𝑉𝐿𝐼𝐿 sin 𝜑 Para a carga Triângulo IF IL 3 e VF VL Substituindo 𝑆 3 𝑉𝐿𝐼𝐿 𝑃 3 𝑉𝐿𝐼𝐿 cos 𝜑 𝑄 3 𝑉𝐿𝐼𝐿 sin 𝜑 Ou seja independentemente do tipo de conexão estrela ou triângulo a equação geral da potência trifásica é a mesma quando tratamos pelos dados de linha Lembrando que isso vale para um sistema trifásico simétrico equilibrado com cargas equilibradas Exercício 1 Uma carga trifásica equilibrada conectada em triângulo tem fator de potência 080 indutivo Quando alimentada por um sistema trifásico simétrico com sequência de fase direta e com 𝐕𝐀𝐁 𝟐𝟐𝟎𝟐𝟓 𝐕 absorve 152 kW Qual é o ângulo de fase das correntes de linhas Cálculo do módulo da corrente 𝐼 𝑃 3 𝑉𝐿 cos 𝜑 15200 3 22008 50 𝐴 46 Como a carga está conectada em triângulo as tensões de linha são iguais às de fase VAB VBC VCA 220θ 1 α2 α 22025 1 α2 α V A defasagem angular 𝝋 entre as correntes e tensão de fase vale 𝜑 𝑎𝑟𝑐 cos𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 As cargas indutivas estão atrasadas em relação a tensão 𝜑 𝑎𝑟𝑐 cos08 37 Portanto IAB IFAδ IL 3 θ δ 50 3 25 37 50 3 12 A IBC 50 3 132 ICA 50 3 108 Considerando a sequência de fase direta as correntes de linha serão IA IB IC 3 30 IAB IBC ICA 50 42 1 α2 α A Teorema de Blondel Em uma carga alimentada por um sistema trifásico ou m fases e n fios podese demonstrar que a potência total absorvida pela carga é obtida da soma das leituras de 𝒏 𝟏 wattímetros ligados de tal maneira que cada uma das bobinas de corrente esteja colocada em um dos 𝒏 𝟏 fios e as bobinas de tensão estejam ligadas tendo um ponto comum com a de corrente e o outro terminal de todas elas sobre o enésimo fio Esse é o Teorema de Blondel 47 Teorema de Blondel para Sistemas Trifásicos em Estrela Figura 41 Esquema de Ligação Teorema de Blondel carga em estrela Fonte Elaborado pelo autor W1 1 T p1 T 0 dt 1 T vAC T 0 iAdt W2 1 T p2 T 0 dt 1 T vBC T 0 iBdt Porém vAC vAN vNC vAN vCN vBC vBN vNC vBN vCN Assim W1 W2 1 T vAC T 0 iA vBCiB dt 1 T vANiA T 0 vBNiB vCNiA iB dt P Aplicando a 1 Lei de Kirchhoff ao nó N temos iC iA iB Finalmente W1 W2 1 T vAN T 0 iA vBNiB vCNiC dt P 48 O teorema pode ser aplicado também em situações de cargas desequilibradas O valor de P também será válido Teorema de Blondel para Sistemas Trifásicos em Delta Figura 42 Esquema de ligação dos wattímetros Teorema de Blondel carga em triângulo Fonte Elaborado pelo autor W1 1 T p1 T 0 dt 1 T vAC T 0 iAdt W2 1 T p2 T 0 dt 1 T vBC T 0 iBdt E W1 W2 1 T vAC T 0 iA vBCiB dt Sabese que IA IAB ICA IB IBC IAB 49 Resultando em W1 W2 1 T vCA T 0 iAB iCA vBCiBC iAB dt 1 T vCA T 0 iCA vBCiBC iABVCA VBC dt Para esse circuito para qualquer tipo de carga equilibrada ou não teremos VAB VBC VCA VAA 0 Isolando VAB VBC VCA Portanto W1 W2 1 T vCA T 0 iCA vBCiBC VABiAB dt P 43 Potência em função do fator de Potência da carga do modo de ligação e da sequência de fase Para essa análise utilizaremos o esquema de ligação da Figura 43 a seguir e sequência positiva Figura 43 Esquema de Ligação dos Wattímetros Fonte Elaborado pelo autor 50 𝑊1 1 𝑇 𝑣𝐴𝐶 𝑇 0 𝑖𝐴 𝑑𝑡 𝑉𝐴𝐶𝑖𝐴 cos𝜃𝐴𝐶 𝛿𝐴 𝑅𝑒𝑉𝐴𝐶𝐼𝐴 𝑊2 1 𝑇 𝑣𝐵𝐶 𝑇 0 𝑖𝐵 𝑑𝑡 𝑉𝐵𝐶𝑖𝐵 cos𝜃𝐵𝐶 𝛿𝐵 𝑅𝑒𝑉𝐵𝐶𝐼𝐵 As tensões de linha serão VAB VBC VCA Vθ 1 α2 α 𝑉 é o módulo da tensão de linha e 𝜃 é o ângulo inicial da tensão 𝑉𝐴𝐵 Como já vimos anteriormente a corrente da linha A 𝐼𝐴 está defasada da tensão 𝑉𝐴𝐵 de 𝛼 30 ou seja 𝜃 𝛿𝐴 𝛼 30 assim 𝐼𝐴 𝐼𝐴 𝜃 𝜑 30 Se a carga for indutiva 𝜑 será positivo e se for capacitiva 𝜑 será negativo Portanto as correntes de linha serão IA IB IC Iθ φ 30 1 α2 α I é o valor da corrente eficaz de linha Agora 𝑊1 𝑅𝑒𝑉𝐴𝐶𝐼𝐴 𝑅𝑒𝑉𝐶𝐴𝐼𝐴 𝑅𝑒𝛼𝑉𝜃 𝐼 𝜃 𝜑 30 𝑊1 𝑅𝑒𝑉𝜃 60𝐼 𝜃 𝜑 30 𝑅𝑒𝑉 𝐼𝜑 30 𝑉𝐼 cos𝜑 30 Também sabemos que 𝛼2 𝛼 portanto 𝑊2 𝑅𝑒𝑉𝐵𝐶𝐼𝐵 𝑅𝑒𝛼2𝑉𝜃 𝛼𝐼 𝜃 𝜑 30 𝑊2 𝑅𝑒𝑉𝜃 120 𝐼120 𝜃 𝜑 30 𝑅𝑒𝑉 𝐼𝜑 30 𝑉 𝐼 cos𝛼 30 51 E por fim 𝑊1 𝑉 𝐼 cos𝜑 30 𝑊2 𝑉 𝐼 cos𝜑 30 Exercício 2 Um sistema trifásico simétrico alimenta uma carga equilibrada ligada em estrela Figura 43 A impedância de fase da carga vale 60 j80 Ohms a tensão nominal vale 220 V 60 Hz e a sequência de fase é direta Calcule a As correntes de linha Vamos adotar a tensão 𝑉𝐴𝑁 como fase zero 𝑉𝐴𝑁 220 3 0 𝑉 𝑉𝐵𝑁 127 120 𝑉 𝑉𝐶𝑁 127120 𝑉 𝐼𝐴 1270 105313 127 5313 𝐴 𝐼𝐵 127 17313 𝐴 𝐼𝐶 1276687 𝐴 b Determine o fator de potência O fator de potência é a mesma coisa que 𝐜𝐨𝐬 𝝋 que o cosseno do ângulo da impedância Assim cos 𝜑 𝑓𝑝 𝑅 𝑍 6 10 060 c Calcule a potência total do circuito S 3VLIL 3 220127 483935 VA P 3VLIL cos φ 3 220127060 290361 W Q 3VLIL sin φ 3 220127080 387148 VAr Assim em sua forma complexa S 290361 j387148 4839355313 VA 52 d Qual a leitura de cada um dos Wattímetros 𝑊1 𝑉 𝐼 cos𝜑 30 220127cos5313 30 256941 𝑊 𝑊2 𝑉 𝐼 cos𝜑 30 220127 cos5313 30 33421 𝑊 𝑊1 𝑊2 290362 𝑊 Conclusão Esse bloco apresentou uma análise da potência em circuitos elétricos trifásicos Foram explanados o equacionamento da potência elétrica e detalhado os tipos de potência existentes Foram apresentados os tipos de cargas existentes bem como uma metodologia para medição da potência trifásica em circuitos equilibrados ou desequilibrados sejam eles ligados em estrela ou em triângulo REFERÊNCIAS OLIVEIRA C C B D SCHMIDT H P KAGAN N ROBBA E J Introdução A Sistemas Elétricos de Potência São Paulo Edgar Blucher 2000 ALEXANDER C K SADIKU M N O Fundamentos de Circuitos Elétricos Porto Alegre GrawnHill 2000 53 5 VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE PU Apresentação Para facilitar os cálculos bem como esforço computacional em algoritmos ou softwares dedicados para análise de sistemas elétricos utilizase a representação dos valores das grandezas em valores em pu Os valores em pu correspondem a uma mudança de escala das grandezas principais em sistemas elétricos tensão e impedância por exemplo Oliveira et al 2000 Como já mencionado essa mudança facilita bastante chegar à solução de problemas complexos em sistemas elétricos Nesse bloco iremos estudar o assunto 51 Introdução e Definições As principais grandezas monofásicas tensão corrente potência e impedância são relacionadas pelas equações a seguir 𝑉 𝑍 𝐼 𝑆 𝑉 𝐼 Portanto para trabalhar em pu devemos sempre definir 2 grandezas para serem as grandezas de base Geralmente adotamos como grandezas de base a tensão e a potência Qualquer tensão e potência diferente dessas bases serão representadas como um percentual ou fração dessas grandezas valor pu Assim temos Vbase V1 e Sbase S1 V1 e S1 são os valores de tensão e potência de base respectivamente Assim uma tensão qualquer V é dada por 𝑉 𝑉 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 100 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑉𝑝𝑢 𝑉 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 54 Assim uma potência qualquer S é dada por 𝑆 𝑆 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 100 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑆𝑝𝑢 𝑆 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 Para determinar a corrente e impedância teremos 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 2 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 Analogamente qualquer corrente ou impedância será expressa por 𝑍𝑝𝑢 𝑍 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑍 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐼𝑝𝑢 𝐼 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐼 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 De uma forma geral para o caso de máquinas elétricas trifásicas motores geradores e transformadores os fabricantes costumam fornecer os parâmetros nominais do equipamento tensão e potência os quais são seus valores de base Como são equipamentos trifásicos sua impedância e corrente de base podem ser calculadas como 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 3 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 2 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 𝛺 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 3 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐴 Após converter os valores para unidade pu não utilizamos mais unidades de medida A tensão potência etc passará a ter a unidade pu Exemplo V 1 pu 55 Exercício 1 Um sistema trifásico tem como base 100 MVA e 230 KV Determine a Corrente base 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 3 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 100 𝑀 3 230 𝐾 25102 𝐴 b Impedância de base 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 230𝐾2 100𝑀 529 𝑂ℎ𝑚𝑠 c Supondo que flui uma corrente de 50204 A pelo sistema qual esse valor em pu 𝐼𝑝𝑢 𝐼 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 50204 25102 2 𝑝𝑢 d Sabendose que a impedância é Z 2645 j1058 Ω transforme esse valor em pu 𝑍𝑝𝑢 𝑍 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 2645 𝑗1058 529 05 𝑗2 𝑝𝑢 Exercício 2 Um sistema trifásico foi modelado em um algoritmo e em certo momento registrouse uma corrente de 045 pu e uma impedância Z 009 j012 pu Sabese que a base do sistema é 50 MVA e 11 KV Determine a Corrente real em Ampères Ibase Sbase 3 Vbase 50M 311K 262432 A Ipu I Ibase I Ipu Ibase 045 262432 118094 A b A impedância real em Ohms 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 11𝐾2 50𝑀 242 𝛺 𝑍𝑝𝑢 𝑍 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑍 𝑍𝑝𝑢 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 242 009 𝑗012 0218 𝑗0290 𝛺 56 52 Representação de máquinas elétricas em pu Transformadores em pu Os fabricantes fornecem nos dados de placa dos transformadores as grandezas a seguir SN Potência aparente Nominal VNP Tensão Nominal no enrolamento primário maior tensão VNS Tensão Nominal no enrolamento secundário menor tensão Z Impedância equivalente ou de curto circuito percentual ou por unidade Por convenção adotamos como valores de base do transformador a sua potência nominal S e sua tensão nominal de maior tensão 𝑽𝑵𝑷 Isso se nos referirmos ao enrolamento de maior tensão Também podemos nos referir aos valores de base para o enrolamento de menor tensão assim os valores de base serão a potência nominal S e a tensão no lado de baixa tensão 𝑽𝑵𝑺 Os demais valores base são calculados impedância e correntes de base Convenientemente devemos adotar valores base que facilitem os cálculos portanto podemos representar o transformador apenas por uma impedância cujo valor pu é a mesma dos dados de placa Figura 51 Esquema de um Transformador eu pu Fonte Elaborado pelo autor Os valores da resistência e da reatância do transformador são referidos a impedância percentual do transformador que consta nos dados de placa Com base nela e nos valores base do transformador temos condições de modelar o equipamento dentro de um sistema elétrico 57 Como no caso de transformadores temos níveis de tensão diferentes temos que tomar cuidado para quando formos transformar a corrente ou tensão real pois devemos saber qual valor de base utilizar do lado AT ou BT Exercício 3 Um transformador trifásico de 500 kVA com tensão nominal 138038 kV e Z5 conectado a um sistema trifásico simétrico e equilibrado alimenta uma carga de 270 kW com fp 090 indutivo Utilizando os conceitos anteriores calcule a O valor real da impedância do transformador referido para o lado AT b A potência e corrente na carga em pu Desconsiderar as perdas no transformador Primeiramente definimos a tensão e corrente de base coincidindo com os dados de placa do transformador Após isso calculamos a corrente e impedância de base Lado de maior tensão VB 138 kV e SB 500 kVA ZB VB 2 SB 138002 500103 38088 Ω IB SB 3VB 500 103 3 13800 21 A Lado de menor tensão 𝑉𝐵 038 𝑘𝑉 𝑒 𝑆𝐵 500 𝑘𝑉𝐴 𝐼𝐵 𝑆𝐵 3𝑉𝐵 500 103 3 380 760 𝐴 a 𝑍𝑇𝑅𝐴𝐹𝑂𝑅𝐸𝐴𝐿 𝑍𝐵 𝑍𝑝𝑢 38088 5 100 38088005 19044 𝛺 b Cálculo de 𝑺 complexa na carga 𝑆 𝑃 𝑓𝑝 𝜑 𝑒 𝜑 𝑎𝑟𝑐 cos𝑓𝑝 58 Assim 𝜑 𝑎𝑟𝑐 cos090 2584 𝑆 270 090 2584 300 2584 𝑉𝐴 Portanto 𝑆𝑝𝑢 𝑆𝑅𝐸𝐴𝐿 𝑆𝐵 300 2584 500 060 2584 𝑜𝑢 054 𝑗0261 𝑝𝑢 Cálculo da corrente 𝐼𝑝𝑢 𝑆 𝑉 060 2584 10 060 2584 𝑝𝑢 Figura 52 Esquemático do exercício 3 Fonte Elaborado pelo autor Note que a corrente em pu é a mesma que circula tanto no enrolamento primário como no secundário do transformador Pois o sistema está em 138 kV e a carga em 038 kV Por isso há um grande ganho em cálculo ao trabalhar nesse conceito pois simplifica os equacionamentos Para sabermos os valores reais basta multiplicarmos o valor em pu pelo respetivo valor de base do primário ou secundário Se quisermos saber a corrente na carga secundário por exemplo basta Icarga 060 2584 760 456 2584 A Máquinas Elétricas Rotativas em pu Similar aos transformadores os fabricantes também fornecem os dados nominais das máquinas Essas máquinas podem ser motores e geradores 59 Para geradores esses dados costumam ser a potência aparente nominal tensão nominal frequência e as impedâncias transitórias subtransitórias e em regime As impedâncias costumam fornecer já em pu Quando essas máquinas são motores geralmente os fabricantes especificam a potência mecânica no eixo tensão nominal e as reatâncias pu Para ambos os casos devemos considerar como valores de base principais a tensão e potência aparente nominal No caso dos motores devese calcular a potência aparente nominal absorvida pela rede quando em plena carga Os geradores e motores são representados como uma impedância no sistema Figura 53 Máquina Rotativa em pu Diagrama 𝑿 é a reatância da máquina síncrona transitória ou subtransitoria depende da análise 𝑬 é a tensão interna da máquina Exercício 4 Um motor síncrono de 1500 cv 600 V X10 opera em plena carga com fator de potência unitário e rendimento de 895 Qual o valor ôhmico da sua reatância Sabemos que 1 cv 0736 kW Assim 𝑆 𝑃𝑀𝐸𝐶 𝜂 cos 𝜑 15000736 08951 1234 𝑘𝑉𝐴 𝑋 𝑋𝑝𝑢 𝑍𝐵 10 100 𝑉𝐵 2 𝑆𝐵 01 6002 1234103 00292 𝛺 60 53 Mudança de base e Aplicações em Sistemas trifásicos Geralmente os dados de placa dos transformadores ou geradores não coincidem com os dados de base do sistema o qual serão conectados A seguir será descrito o procedimento para determinação dos valores em pu em novas bases quando necessário Partindo de valores de 𝒗 𝒊 𝒑 𝒆 𝒛 que são respectivamente tensão corrente potência e impedância em uma determinada base 𝑽𝒃𝒂𝒔𝒆𝒗𝒆𝒍𝒉𝒂 e 𝑺𝒃𝒂𝒔𝒆𝒗𝒆𝒍𝒉𝒂 Definimos como velha pois o valor em pu desse equipamento será alterado para uma nova base que geralmente é a do sistema já definido Um caso típico é a adição de um transformador em um sistema já existente Os valores de base desse novo transformador dificilmente irão coincidir com os valores de base do sistema Portanto os dados em pu desse novo transformador é tido como dados de base velhos Após a correção para os dados do sistema novos teremos os valores corrigidos Assim os dados de base novos representamos como Vbasenova e Sbasenova Inicialmente teremos o valor da tensão em volt V v Vbasevelha Essa tensão na nova base será vnova v Vbasevelha Vbasenova Agora a corrente 𝐼 𝑖 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑖 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 Na nova base 𝑖𝑛𝑜𝑣𝑎 𝐼 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑖 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑖 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒𝑛𝑜𝑣𝑎 61 Agora calculamos a impedância real 𝑍 𝑧 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑧 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 2 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 E por fim o valor na nova base 𝑧𝑝𝑢𝑛𝑜𝑣𝑜 𝑍 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑧 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 2 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒𝑛𝑜𝑣𝑎 2 Assim 𝑍𝑝𝑢𝑛𝑜𝑣𝑜 𝑍𝑝𝑢𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒𝑛𝑜𝑣𝑎 2 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 Exercício 5 A placa de um gerador síncrono apresenta os seguintes dados 50 MVA 138 KV e X 20 Calcular a reatância da máquina em pu referida a uma nova base de 100 MVA e 132 KV Analisando os dados temos Vvelha 138 KV e Vnova 132 KV Svelha 50 MVA e Snova 100 MVA 𝑍𝑝𝑢𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎 20 100 02 𝑝𝑢 Portanto Zpunovo Zpuvelha Vbasevelha Vbasenova 2 Sbasenova Sbasevelha 020 138K 132K 2 100M 50M 044 pu Assim o valor da reatância em pu na nova base é 044 pu 62 Conclusão Esse bloco apresentou os conceitos para análise de sistemas elétricos da potência que envolvem pu Essa técnica é muito importante para solução de grandes problemas e projetos complexos Afinal pela simplificação dos dados e padronização dos equipamentos é possível analisar grandes volumes de dados de forma que seja necessário pouco esforço computacional para manipulação e implementação via algoritmos Para ampliação de sistema facilita a manipulação para inserir novos equipamentos ao sistema REFERÊNCIAS ALEXANDER C K SADIKU M N O Fundamentos de Circuitos Elétricos Porto Alegre GrawnHill 2000 OLIVEIRA C C B D SCHMIDT H P KAGAN N ROBBA E J Introdução A Sistemas Elétricos de Potência São Paulo Edgar Blucher 2000 KINDERMANN G CursoCircuito Florianópolis LabPlan 2007 63 6 COMPONENTES SIMÉTRICAS Apresentação O teorema fundamental das componentes simétricas é demonstrar a existência e unicidade de uma sequência direta uma inversa e uma nula que representam uma dada sequência de fasores de um sistema trifásico Oliveira et al 2000 Portanto podemos decompor um sistema trifásico qualquer em suas sequências positiva negativa e zero Assim permitindo a análise de diferentes situações equilibradas ou não para estudos elétricos Portanto é de fundamental importância para o Engenheiro Eletricista possuir esse conhecimento para atuação em estudos elétricos e análise de redes elétricas 61 Definições e Teorema Fundamental A base dos fundamentos das componentes simétricas foi desenvolvida por Fortescue em algumas literaturas esse método é chamado de Teorema de Fortescue Esse método estabeleceu que um sistema de n fasores desequilibrados pode ser decomposto em n sistemas de fasores equilibrados denominadas de componentes simétricas dos fasores originais Kindermann 2007 A expressão geral para um sistema desequilibrado com n fases é dada a seguir 𝑉𝑎 𝑉𝑎0 𝑉𝑎1 𝑉𝑎2 𝑉𝑎3 𝑉𝑎𝑖 𝑉𝑎𝑛 1 𝑉𝑏 𝑉𝑏0 𝑉𝑏1 𝑉𝑏2 𝑉𝑏3 𝑉𝑏𝑖 𝑉𝑏𝑛 1 𝑉𝑐 𝑉𝑐0 𝑉𝑐1 𝑉𝑐2 𝑉𝑐3 𝑉𝑐𝑖 𝑉𝑐𝑛 1 𝑉𝑛 𝑉𝑛0 𝑉𝑛1 𝑉𝑛2 𝑉𝑛3 𝑉𝑛𝑖 𝑉𝑛𝑛 1 O sistema desequilibrado original de sequência de fase a b c n é representado pelos seus n fasores 𝑉𝑎 𝑉𝑏 𝑉𝑐 𝑉𝑛 que giram em velocidade síncrona na frequência da rede polifásica original 64 Como estamos tratando de sistemas trifásicos 3 fases vamos considerar que os fasores serão decompostos em 3 fasores chamadas de componentes de sequência 0 1 e 2 Na literatura essas sequências são denominadas sequência positiva 1 negativa 2 e zero 0 Cada uma dessas sequências é composta de fasores equilibrados ou seja de mesmo módulo e defasamentos angulares Portanto Sequência Zero é o conjunto de fasores Va0 Vb0 e Vc0 de mesmo módulo e em fase girando no mesmo sentido e velocidade síncrona do sistema original trifásico Sequência Positiva é o conjunto de fasores Va1 Vb1 e Vc1 de mesmo módulo e com defasagem de 120 girando no mesmo sentido e velocidade síncrona do sistema original trifásico Sequência Negativa é o conjunto de fasores Va2 Vb2 e Vc2 de mesmo módulo e com defasagem de 240 girando no mesmo sentido e velocidade síncrona do sistema original trifásico Analisando a defasagem notase que a sequência negativa gira em sentido contrário da sequência positiva Sistema Trifásico de Sequência Positiva É composto de 3 fasores balanceados mesmo módulo e defasagem angular com sequência de fase igual ao do sistema trifásico que o gerou A figura 61 ilustra os fasores de sequência positiva 65 Figura 61 Sequência Positiva Agora supõemse que os três fasores da Figura 61 sejam as tensões e como foi definido podemos escrevêlos Va1 Vb1 Va1 1 120 Vc1 Va1 1120 Em módulo as tensões são iguais ou seja 𝑉𝑎1 𝑉𝑏1 𝑉𝑐1 As tensões 𝑉𝑏1e 𝑉𝑐1 foram escritas em função de 𝑉𝑎1 pois como o sistema é equilibrado bastase analisar uma única fase Na literatura clássica é comum ao invés de utilizar o número complexo 1120 ele é substituído por uma representação literal chamada de a ou α Essa representação também é conhecida como operador rotacional Que foi visto nos blocos anteriores 𝑎 𝛼 1120 e sabese que 𝛼2 1 120 Reescrevendo as equações anteriores com essa definição temos Va1 Vb1 Va1 α2 Vc1 Va1 α Sistema Trifásico de Sequência Negativa É composto de 3 fasores balanceados mesmo módulo e defasagem angular porém girando em uma sequência contrária à da sequência positiva 66 A Figura 62 ilustra os fasores de sequência negativa Figura 62 Sequência Negativa Fonte Elaborado pelo autor Escrevendo os fasores de tensão em função da tensão de fase Va Va2 Vb2 Va2 α Vc2 Va2 α2 Sistema Trifásico de Sequência Zero É composto de 3 fasores iguais em fase girando no mesmo sentido da sequência do sistema de sequência positiva A figura 63 representa esse fasor Figura 63 Sequência Zero Fonte Elaborado pelo autor 67 Va0 Vb0 Vc0 Todas as formulações foram feitas considerando o vetor tensão porém podemos aplicar os mesmos conceitos para o vetor corrente Por isso esse teorema é aplicado para estudos de curtocircuito 62 Teorema de Fortescue Com as definições vistas anteriormente é possível escrevemos analiticamente o equacionamento para decompor um sistema trifásico qualquer em suas componentes de sequência 𝑉𝑎 𝑉𝑎0 𝑉𝑎1 𝑉𝑎2 𝑉𝑏 𝑉𝑏0 𝑉𝑏1 𝑉𝑏2 𝑉𝑐 𝑉𝑐0 𝑉𝑐1 𝑉𝑐2 𝑉𝑎 𝑉𝑏 𝑒 𝑉𝑐 Sistema trifásico qualquer 𝑉𝑎0 𝑉𝑏0 𝑒 𝑉𝑐0 Componentes de sequência zero 𝑉𝑎1 𝑉𝑏1𝑒 𝑉𝑐1 Componentes de sequência positiva 𝑉𝑎2 𝑉𝑏2 𝑒 𝑉𝑐2 Componentes de sequência negativa Como agora estamos tratando vetores equilibrados para facilitar é de praxe que seja feita a análise em somente 1 das fases Portanto vamos reescrever a equação anterior em função da fase 𝒂 Va Va0 Va1 Va2 Vb Va0 α2Va1 αVa2 Vc Va0 αVa1 α2Va2 68 E em forma matricial Va Vb Vc 1 1 1 1 α2 α 1 α α2 Va0 Va1 Va2 Após a dedução anterior se faz necessário manipular o equacionamento de tal forma que seja possível extrair de um circuito desbalanceado qualquer as suas respectivas componentes de sequência Assim devemos isolar os termos Va0 Va1 e Va2 em função dos valores reais 𝑉𝑎 𝑉𝑏 𝑒 𝑉𝑐 Portanto teremos 𝑉𝑎0 1 3 𝑉𝑎 𝑉𝑏 𝑉𝑐 𝑉𝑎1 1 3 𝑉𝑎 𝛼𝑉𝑏 𝛼²𝑉𝑐 𝑉𝑎2 1 3 𝑉𝑎 𝛼²𝑉𝑏 𝛼𝑉𝑐 Exercício 1 Um sistema trifásico com tensões conforme a seguir precisa ser decomposto em suas componentes de sequência positiva negativa e zero Determine os valores de Va0 Va1 e Va2 Dados do sistema 𝑉𝑎 10000 V 𝑉𝑏 58060 V 𝑉𝑐 750140 V Aplicando o conjunto de equacionamento visto 𝑉𝑎0 1 3 𝑉𝑎 𝑉𝑏 𝑉𝑐 1 3 10000 580 60 750140 2386 167 V 𝑉𝑎1 1 3 𝑉𝑎 𝛼𝑉𝑏 𝛼²𝑉𝑐 1 3 10000 1120 580 60 1 120750140 𝑉𝑎1 711412083 V 𝑉𝑎2 1 3 𝑉𝑎 𝛼²𝑉𝑏 𝛼𝑉𝑐 1 3 10000 1 120 580 60 1120750140 𝑉𝑎2 264471 6858 V 69 Aplicando os mesmos conceitos para corrente 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝐼𝑐 1 1 1 1 𝛼2 𝛼 1 𝛼 𝛼2 𝐼𝑎0 𝐼𝑎1 𝐼𝑎2 Isolando as componentes de sequência 𝐼𝑎0 𝐼𝑎1 𝐼𝑎2 1 3 1 1 1 1 𝛼2 𝛼 1 𝛼 𝛼2 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝐼𝑐 E extraindose somente a corrente de sequência zero 𝐼𝑎0 1 3 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝐼𝑐 Essa corrente 𝑰𝒂𝟎 é a corrente de sequência zero do sistema decomposto Ela é uma componente muito importante para estudos de proteção pois está presente em diversas análises e para cálculos de curtocircuito envolvendo a terra O equacionamento para extrair 𝑰𝒂𝟏 e 𝑰𝒂𝟐 pode ser considerado de forma similar aos vetores de tensão conforme visto nos equacionamentos anteriores 63 Aplicação das Componentes Simétricos a Sistemas Trifásicos Sistemas Trifásicos a 3 fios Ligação Estrela Figura 64 Gerador ligado em estrela Fonte Elaborado pelo autor 70 Aplicando a 2 Lei de Kirchhoff obtemos 𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐵𝐶 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐶𝑁 𝑉𝐶𝐴 𝑉𝐶𝑁 𝑉𝐴𝑁 Na forma matricial VAB VAB VBC VCA VAN VBN VCN VBN VCN VAN VAN VBN Se 𝑉𝐴𝑁0 𝑉𝐴𝑁1 𝑉𝐴𝑁2 são as componentes simétricas das tensões de fase as sequências 𝑉𝐴𝑁 e 𝑉𝐵𝑁 serão 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐴𝑁0𝑆0 𝑉𝐴𝑁1𝑆1 𝑉𝐴𝑁2𝑆2 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐴𝑁0𝑆0 𝑉𝐴𝑁1𝛼2 𝑆1 𝑉𝐴𝑁2𝛼 𝑆2 Assim 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐴𝑁0 𝑉𝐴𝑁0 𝑆0 𝑉𝐴𝑁11 𝛼2 𝑆1 𝑉𝐴𝑁21 𝛼 𝑆2 Sabemos que 1 𝛼2 330 𝑒 1 𝛼 3 30 Resultando 𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐵𝑁 0 𝑆0 330 𝑉𝐴𝑁1𝑆1 3 30𝑉𝐴𝑁2𝑆2 Nessa dedução efetuada decompomos a tensão VAB em componentes simétricos Portanto podemos dizer que há uma relação entre as componentes simétricas e as tensões de linha e de fase Essa relação é 𝑉𝐴𝐵1 330 𝑉𝐴𝑁1 𝑉𝐴𝐵2 3 30 𝑉𝐴𝑁2 𝑒 𝑉𝐴𝐵0 0 Observamos que a componente de sequência zero será nula Outra característica particular é quando temos um sistema trifásico simétrico com sequência de fase direta as componentes simétricas reduzem somente à sequência positiva 71 Sistemas Trifásicos a 3 fios Ligação Triângulo Dado um sistema com uma carga desequilibrada em triângulo com correntes conforme a seguir IAB IAB IBC ICA IA IA IB IC Figura 65 Carga em Triângulo Fonte Elaborado pelo autor Aplicando a 1 Lei de Kirchhoff nos nós A B e C IA IAB ICA IB IBC IAB IC ICA IBC Em matriz IA IA IB IC IAB IBC ICA ICA IAB IBC IAB ICA Se IAB0 IAB1 e IAB2 são as componentes simétricas de IAB 𝐼𝐴𝐵 𝐼𝐵𝐶 𝐼𝐶𝐴 1 1 1 𝐼𝐴𝐵0 1 𝛼2 𝛼 𝐼𝐴𝐵1 1 𝛼 𝛼2 𝐼𝐴𝐵2 72 Deixando tudo baseado em 𝐼𝐴𝐵 𝐼𝐶𝐴 𝐼𝐴𝐵 𝐼𝐵𝐶 1 1 1 𝐼𝐴𝐵0 1 𝛼2 𝛼 𝛼𝐼𝐴𝐵1 1 𝛼 𝛼2 𝛼2𝐼𝐴𝐵2 Sejam IA0 IA1 e IA2as componentes simétricas da corrente IA 𝐼𝐴 𝐼𝐴 𝐼𝐵 𝐼𝐶 1 1 1 𝐼𝐴0 1 𝛼2 𝛼 𝐼𝐴1 1 𝛼 𝛼2 𝐼𝐴2 Assim 1 1 1 𝐼𝐴0 1 𝛼2 𝛼 𝐼𝐴1 1 𝛼 𝛼2 𝐼𝐴2 1 1 1 𝐼𝐴𝐵0 𝐼𝐴𝐵0 1 𝛼2 𝛼 𝐼𝐴𝐵1 𝛼𝐼𝐴𝐵1 1 𝛼 𝛼2 𝐼𝐴𝐵2 𝛼2𝐼𝐴𝐵2 E IAB1 αIAB1 1 αIAB1 3 30 IAB1 IAB2 α2IAB2 1 α2IAB2 330 IAB2 Resultando IA0 0 IA1 3 30 IAB1 IA2 330 IAB2 Analogamente como o sistema em estrela a componente de sequência zero é nula e as correntes de fase e de linha possuem uma relação Exercício 2 Para os dados de sequência a seguir sistema em estrela calcule a As componentes simétricas das três fases b As componentes simétricas da tensão de linha 𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐴 𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝑉𝐶 3000 2003 30 200330 73 a VA0 1 3 3000 2003 30 200330 3000 VA1 1 3 3000 200390 2003 90 1000 VA2 1 3 3000 2003 150 2003150 100180 Após determinarmos as sequências podemos escrever as três fases em sequências VA 3000 S0 1000 S1 100180 S2 VB 3000 S0 100 120 S1 100 60 S2 VC 3000 S0 100120 S1 10060 S2 b VAB1 330 VAN1 VAB2 3 30 VAN2 e VAB0 0 VAB1 330 VAN1 330 1000 1732030 V VAB2 3 30 VAN2 3 30 100180 17320150 V Conforme visto nos equacionamentos VAB0 0 Conclusão Esse bloco apresentou os conceitos para análise de sistemas elétricos da potência que envolvem componentes simétricas Essa ferramenta é muito útil para análise de circuitos elétricos principalmente em estudos de engenharia elétrica na área de proteção Como cálculos de curtocircuito por exemplo Foram explanados os conceitos de decomposição de um sistema trifásico qualquer em componentes de sequências e foi abordada as características em sistemas em estrela e triângulo 74 REFERÊNCIAS ALEXANDER C K SADIKU M N O Fundamentos de Circuitos Elétricos Porto Alegre GrawnHill 2000 OLIVEIRA C C B D SCHMIDT H P KAGAN N ROBBA E J Introdução A Sistemas Elétricos de Potência São Paulo Edgar Blucher 2000 KINDERMANN G CursoCircuito Florianópolis LabPlan 2007