Cálculo Diferencial e Integral II - Prof Roberto Carlos Lourenço

Cálculo Diferencial e Integral II Prof Roberto Carlos Lourenço 2 SUMÁRIO BLOCO 1 INTEGRAL 3 BLOCO 2 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO I 14 BLOCO 3 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO II 24 BLOCO 4 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 31 BLOCO 5 LIMITE E DERIVADAS PARCIAIS 40 BLOCO 6 DERIVADAS PARCIAIS E INTEGRAL DUPLA 48 3 BLOCO 1 INTEGRAL Neste bloco iniciamos um conteúdo muito importante em Cálculo e que certamente assume um papel fundamental na sua formação Estudaremos a Integral Teremos o contato com a Integral de algumas funções conhecendo as regras básicas para assim determinar a primitiva de uma função Estudaremos a definição de Integral Indefinida onde será possível comparar com a operação de derivadas A definição de Integral Definida será outro ponto importante como também a Soma de Riemann cálculo de área de regiões determinadas pelas funções e a apresentação do Teorema Fundamental do Cálculo Bons estudos 11 Integral de algumas funções Regras básicas 111 Primitiva de uma função Para ser possível entender o que é a primitiva de uma função basta pensar que se uma função foi derivada e determinou a função logo é a função primitiva de para o mesmo domínio de Alguns exemplos a é uma função primitiva de Isso ocorre pois 3 ² ³ x f x F x dx dF x F x Repare que a derivada da função resulta na função b é uma função primitiva de Ao derivar a função determinamos a função c é uma função primitiva de Resolução ao ser derivado temos 112 Notação de integral para primitivas antiderivadas Uma outra maneira de identificar a primitiva de uma função é antiderivada 4 Notação c F x f x dx Para c que representa uma constante arbitrária temos F uma função antiderivada de onde no domínio de Regras básicas I Regra da Constante c K x Kdx onde K é um valor constante Exemplo c x dx 5 5 II Regra do Múltiplo Constante f x d x K Kf x dx Exemplo c x c x senxd x senxdx 7 cos 7 cos 7 7 III Regra da Soma g x d x f x d x g x dx f x Exemplo c senx x xd x x d x x dx x 4 cos ³ cos ³ 4 IV Regra da Diferença g x d x f x d x g x dx f x Exemplo c x x x d x x d x x dx x ln 3 1 ² 1 ² 3 12 Definição de Integral Indefinida Nesse momento vamos compreender que integração indefinida de uma função é o mesmo que o processo inverso da derivação 5 Definição Se é uma primitiva de a expressão é chamada integral indefinida da função e é denotada por c F x f x dx Onde f x F x c F x f x dx 121 Propriedades da Integral Indefinida Sejam em R e K uma constante Então f x dx K K f x dx i g x dx f x dx g x dx f x ii Seguem alguns exemplos de integrais c x dx a 1 tan 1 1 te cons é b c b x x dx b b b c x x dx c ln 1 c e e dx d x x c xdx senx e cos c x senxdx f cos c xdx tgx g sec² c gx ec xdx h cot ² cos c arctgx x dx i ² 1 Agora calculemos algumas integrais indefinidas x dx x x F x a 5 2 7 4 ³ 6 Resolução c x x x x x F xdx x dx dx x dx x F 5 6 4 5 6 5 2 ln 7 4 4 1 2 7 4 ³ dx x x b F x 1 ² ² Resolução c arctgx x F x x dx dx x F dx x F x dx x x x x F dx x x F x dx x x x F 1 ² 1 ² 1 1 1 ² 1 1 ² 1 ² 1 ² 1 1 ² 1 ² ² Por fim agora encontre a primitiva da função 1 2 5 x x f x quando c x x x x F c x x x dx x x x F dx x x f x dx x F ² 6 2 2 6 1 2 1 2 6 2 6 5 5 7 7 0 ²0 6 0 0 6 c c F 7 ² 6 6 x x x F x 13 Definição da Integral Definida 131 Definição Seja uma função definida no intervalo e seja uma partição qualquer de A integral definida de de até denotada por b a f x dx 7 onde n i i x máx b a x f ci x dx f i 0 1 lim Interpretação Geométrica Soma de Riemann n i i x máx b a x f ci x dx f i 0 1 lim Se é contínua e no intervalo não assume valor menor que zero a função definida coincide com a área da região sob o gráfico de no intervalo Se for integrável em então n i n b a x f xi x dx f 1 lim Onde n a b x e i x a xi 8 Agora calcule a soma de Riemann para tomando como pontos amostrais as extremidades direitas e Resolução 50 2 1 6 0 3 n a b x Extremidades direitas 9 14 Aplicações das Integrais Definidas e Indefinidas Aplicando a Integral Definida Cálculo de Área A 14 2x 3dx A 2x²2 3x14 A x² 3x14 A 4² 34 1² 31 A 16 12 1 3 A 28 2 30 A 30 11 Aplicando Integral Indefinida 15 Teorema Fundamental do Cálculo Parte I Sendo uma função contínua em um intervalo I escolhendo um determinado valor c que pertence ao intervalo I e trabalhando com uma determinada função A sendo I o domínio dessa função representada por 12 i x c f A x Sendo para todo que pertence ao intervalo I temos que é a área sob o gráfico de quando ii c x f A x Sendo para todo que pertence ao intervalo I temos que é a área sob o gráfico de quando Sendo assim temos que c x x c f f A x Teorema Fundamental do Cálculo Parte II Trabalhando com uma função contínua dada por em um determinado intervalo I onde assume o papel de uma primitiva de f em I então F a F b F x f b a b a 13 Sendo quaisquer elementos do intervalo I Exemplo Calcule 3 0 6 ³ x dx x S Resolução 6 75 4 27 4 27 27 4 81 0 93 4 81 ²03 4 0 ²33 4 3 3 ² 4 2 ² 6 4 6 ³ 4 4 3 0 4 3 0 4 3 0 S x x x x x dx x S Conclusão Neste bloco estudamos a Integral de função com uma variável sendo um momento oportuno para conhecermos a Integral de algumas funções conhecendo as regras básicas Passamos pelas definições de Integral Indefinida e Integral Definida sendo possível determinar as funções primitivas e área de regiões ao conhecer a Soma de Riemann e concluímos com a apresentação do Teorema Fundamental do Cálculo Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A funções limite derivada integração São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2013 v 1 14 BLOCO 2 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO I Neste bloco estudaremos algumas técnicas de Integração Teremos a oportunidade de conhecer a Integração por Decomposição observando as propriedades da integral aplicações dessas integrais em problemas de Física e Engenharia para ser possível compreender como esse conteúdo é importante Ainda teremos neste bloco a Integração por Substituição técnica fundamental para resolver a integral de uma função em casos onde a decomposição não é o suficiente 21 Integração por Decomposição Caso 1 b g x dx a f x Para calcular algumas integrais é necessário conhecer técnicas Nesse momento vamos estudar a decomposição no caso b g x dx a f x sendo constantes Onde b g x dx f x dx b g x dx a a f x dx b g x dx a f x Sendo assim temos b g x dx f x dx a b g x dx a f x Exemplo Calcule e dx sen x x 7 3 Resolução c e x c e x e dx senxdx e dx sen x x x x x 7 3 cos 7 3 cos 7 3 7 3 Caso 2 b g x dx a f x A decomposição no caso b g x dx a f x constantes Onde b g x dx f x dx b g x dx a a f x dx b g x dx a f x Sendo assim temos b g x dx f x dx a b g x dx a f x 15 Exemplo Calcule x dx x 5 cos 2 Resolução c x senx xdx xdx x dx x 2 ln 5 1 2 5 cos 2 5 cos 22 Decomposição Aplicações dessas integrais em problemas de física e engenharia Volume de Sólido Quando uma determinada região plana gira em torno de uma reta no plano obtemos um sólido que é chamado de sólido de revolução Nesse caso obtemos um cone Definição Para uma função contínua em onde R é a região sob o gráfico de de até temos que o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo das abscissas é definido por f x dx V b a 2 Exemplo 1 A região R limitada pela curva e o eixo das abscissas no intervalo gira em torno do eixo dos Determine o volume desse sólido de revolução f x dx V b a 2 16 dx x x dx x V 4 4 ² 2² ² 4 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 4 4 4 ² dx x dx x dx V 2 0 2 0 3 2 0 5 4 3 4 5 x x x V 15 376 8 3 32 5 32 04 24 3 04 3 24 5 0 5 2 3 3 5 5 V V V Exemplo 2 Calcule quantos litros de água são necessários para abastecer a piscina representada a seguir sabendo que sua profundidade mede 13 m e os valores do gráfico estão graduados em metros 3 cos x f x Resolução 1º Calcular a área da região apresentada 2 0 3 cos dx x A 17 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 3 3 cos 3 cos x senx A dx xdx dx x A ² 6 03 23 0 2 m A sen sen A 2º Calcular o volume da piscina Ah V ³ 87 31 6 m V ³ 245076 142 387 m V 3º Calcular quantidade de água em litros l V 24507 6 2450761000 23 Integração por Substituição Método da Substituição Para calcular algumas integrais utilizamos o método da substituição onde podemos substituir uma parte da função facilitando assim a sua integração Exemplo 1 Calcule a integral x dx x ² 5 2 Nesse caso escolhemos para assumir o valor sendo xdx du x dx du 2 2 c x c u u du x dx x ² ln 5 ln ² 5 2 Exemplo 2 Calcule a integral xdx sen x ² cos 18 Vamos definir uma função como u sendo a mais conveniente para obter a integral mais simples possível xdx du x dx du cos cos c sen x c u u du xdx sen x 3 ³ 3 ² cos ² 3 Exemplo 3 Calcule a integral t dt t 4 2 2 Primeiro é necessário reestruturar a função dada t dt t dt t t t dt t 2 ² 1 2 ²1 2 2 4 2 Em seguida escolhemos uma função para ser t dt du tdt du t dt du 4 4 4 c t t u u u c u du u du u t dt t 2 ² 2 ² 1 61 1 6 1 6 1 3 4 2 1 4 1 4 2 ² 1 3 2 3 2 1 24 Substituição Aplicações dessas integrais em problemas de física 1 No movimento de uma partícula temse 5 ² 4 4 t t t v Determine a função horária que para toma o valor ou seja para Resolução v t dt s t dt t t s t 5 ² 4 4 st 4t4t² 5dt Vt x²x³ 2dx 21 25 Aplicações dessas Integrais em problemas de engenharia 2 Encontre a área da região delimitada pela reta y x e pela curva y xx²1 no intervalo 0 1 Resolução A 01 xx²1 xdx I xx²1 1 dx u x²1 dudx 2x dx du2x I xx²1 1 dx u x²1 dudx 2x dx du2x I xx²1 1 dx I u du2 12 u323 c I u³3 c I x²1³3 c Resolução A 01 xx²1 xdx A x²1³3 x²2 01 A 1²1³3 1²2 01³3 0²2 83 12 83 12 23 Conclusão Neste bloco estudamos algumas técnicas de integração de modo que foi possível conhecer a Integração por Decomposição observando as propriedades da integral aplicações dessas integrais em problemas de física e engenharia e passamos pela técnica de Integração por Substituição Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 FLEMMIING D M GONÇALVES M B Cálculo A funções limite derivada integração São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2013 v 1 24 BLOCO 3 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO II Neste bloco estudaremos a técnica de Integração por Partes onde o passo a passo apresentado faz uma demonstração da fórmula que colabora com o cálculo de integrar uma determinada função Ainda neste bloco veremos as integrais de funções trigonométricas passando pelas aplicações das integrais em problemas de Física e Engenharia 31 Integração por Partes Definição Para primitiva de primitiva de temos Uma função composta pelo produto onde sua derivada fica Logo F g FG G f F g f G FG F g f G G F Gerando a fórmula de Integração por Partes F x g x dx F x G x f x G x dx Exemplo 1 Calcule x dx x cos 1º Passo Escolher as funções e 2º Passo Determinar 3º Passo Utilizar a fórmula F x g x dx F x G x f x G x dx x x senx dx senx senx x x dx x cos 1 cos 25 Exemplo 2 Calcule x dx x ²ln 1º Passo Escolher as funções e 2º Passo Determinar 3º Passo Utilizar a fórmula F x g x dx F x G x f x G x dx 9 ³ 3 ln ³ 3 ² 3 ln ³ 3 1 ³ 3 ln ³ ²ln x x x x dx x x dx x x x x x dx x 32 Aplicações dessas integrais em problemas de Física e Engenharia Exemplo 1 Um tanque de 72 litros de capacidade está cheio de um líquido No instante tomando como origem do tempo abrese uma torneira do tanque e uma bomba faz com que o líquido saia pela torneira a uma razão no instante de litros por min Calcule o volume de líquido no tanque no instante Resolução 1 ln t dt dV vazão temos V t Sendo lnt1dt lnt1dt u t1 dudt 1 du dt lnt1dt lnudu fu du Fu u Gu lnu gu 1u fu du Fu u Gu lnu gu 1u fu du Fu u Gu lnu gu 1u lnudu FuGu Fugudu lnudu uln u 1udu lnudu uln u du uln u u uln u u lnudu uln u u uln u u Substituindo u lnt1dt t1lnt1 t 1 27 33 Integração de algumas Funções Trigonométricas Algumas identidades trigonométricas Para integrar algumas funções trigonométricas é fundamental conhecer essas identidades 2 cos 2 1 ² cos 2 cos 2 1 ² 1 cos ² ² x x x x sen x x sen 1 ² cos ² cot 1 sec² ² ec u x g x x tg Exemplo 1 Calcule xdx sen x 2 5 cos 28 1º Passo x senx x senx x senx x x senx x x senx x x senx sen x x sen cos 2 cos cos ² cos ² cos 2 cos ² 1 cos ² cos ² ² 1 cos ² ²² cos 6 4 4 2 5 2º Passo x senx dx x senx x senx xdx sen x cos 2 cos cos² cos 6 4 2 5 x senxdx x senxdx xdx senx cos cos 2 cos² 6 4 c x x x 7 5 7 cos 1 5cos 2 3cos ³ 1 Exemplo 2 Calcule x dx g 2 cot 4 1º Passo 1 ²2 cos ²2 ²2 cos cot 1 ²2 cos ²2 ²2 cos cot ²2 cot ²2 ²2 cos cot 1 ²2 ²2 cos cot 2² ²2 cot cot 2 cot 4 x ec x ec x g x ec x ec x g x g x ec x g x ec x g x g x g x g 2º Passo c x x g x g dx x ec x ec x g x dx g 2 2cot 1 ³2 6cot 1 1 ²2 cos ²2 ²2 cos cot 2 cot 4 34 Integração de algumas funções Trigonométricas Aplicações 1 Um determinado local de uma cidade possui a temperatura dada por graus Celsius onde representa o tempo em horas do dia no intervalo de 6h até 12h Calcule a temperatura média no intervalo indicado para sen x x t f 4 4 ² 29 Resolução Valor médio de em é dado por 30 2 Um determinado fio retilíneo localizado no intervalo tem densidade no ponto de abscissa Determine a massa desse fio sendo x x cos5 Resolução 2 0 5 cos xdx m Conclusão Neste bloco estudamos a técnica de integração por partes as integrais de funções trigonométricas e ainda as aplicações das integrais em problemas de Física e Engenharia Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 FLEMMIING D M GONÇALVES M B Cálculo A funções limite derivada integração São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2013 v 1 31 BLOCO 4 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS Neste quarto bloco estudaremos as funções de duas ou mais variáveis passando pelo conjunto domínio da função e também pelo conjunto imagem da função Vamos aproveitar para estudar os gráficos e equações de algumas superfícies como a esfera e o traço de superfície 41 Funções de duas ou mais variáveis Definição Seja A um conjunto do espaço ndimensional A Rn isto é os elementos de A são nuplas ordenadas nx x x x 3 2 1 de números reais se a cada ponto P do conjunto A associamos um único elemento de z ϵ R temos uma função R R A f n Essa função é chamada função de nvariáveis reais Exemplos de Funções com duas variáveis Volume de um cilindro Onde o volume depende das variáveis r raio da base e h altura do cilindro Área de um paralelogramo Sendo a área do paralelogramo o produto entre as duas variáveis base e altura 32 Exemplos de Funções com várias variáveis Área de trapézio 2 b h B AT Para determinar a área do trapézio é preciso três variáveis base maior base menor e altura Estado de um gás ideal V n RT p Onde p pressão V volume n massa gasosa em moles R constante molar do gás e T temperatura 42 Domínio das funções Exemplos Resolução Dz xy R² x²y² 4 2 Apresente o conjunto domínio da função fxy lnxy Resolução xy 0 x y Dz xy R² x y Resolução Dz xy R² x y 34 35 43 Imagem das funções Resolução Img 0 4 3 Apresente o conjunto imagem da função z x² y² Resolução z 0 Imz R Imz 0 4 Apresente o conjunto imagem da função fx y z 7 x y z Resolução fx y z R Imf R Imf 37 44 Gráficos e Equações de uma Superfície A Esfera Exemplos 38 Traços de Superfície 39 Conclusão Neste bloco estudamos as funções de duas ou mais variáveis passando pelo conjunto domínio da função e também pelo conjunto imagem da função onde os gráficos se apresentam com uma enorme importância para uma melhor compreensão Passamos ainda pelos gráficos e equações de algumas superfícies como a esfera e o traço de superfície Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A funções limite derivada integração São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2013 v 1 FLEMMIING D M GONÇALVES M B Cálculo B funções de várias variáveis integrais múltiplas integrais curvilíneas e de superfície São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2013 v 2 40 BLOCO 5 LIMITE E DERIVADAS PARCIAIS Neste bloco estudaremos a definição e propriedades de limite de funções de duas ou várias variáveis Teremos alguns exemplos envolvendo o cálculo de limite quando ocorre uma indeterminação onde existem algumas técnicas para colaborar no desenvolvimento Ainda neste bloco vamos estudar as Derivadas Parciais uma ferramenta fundamental em Cálculo para determinar pontos extremos de uma determinada função 51 Definição e Propriedades de Limite Definição Seja uma função de duas variáveis definida em todo o interior de um círculo de centro exceto possivelmente no próprio A afirmação L x y f a b x y lim significa que para existe tal que se L f x y b y a x 0 2 2 Proposição Sendo J e K dois subconjuntos de ambos com como ponto de acumulação se tem limites diferentes quando tende a através de pontos de J e de K respectivamente então lim x y f a b x y não existe Propriedades de Limite Se são funções de duas variáveis onde lim lim g x y e x y f a b x y a b x y existem e temos I lim lim lim g x y f x y g x y x y f a b x y a b x y a b x y II lim lim lim g x y f x y g x y x y f a b x y a b x y a b x y III lim lim lim g x y f x y g x y x y f a b x y a b x y a b x y IV 0 lim lim lim lim g x y se x y g x y f x y g x y f a b y x a b y x a b y x a b x y V 0 lim lim lim f x y se f x y x y f a b x y a b x y a b x y 41 VI N n se f x y x y f n a b y x n a b x y lim lim VII lim lim f x y c f x y c a b x y a b x y 52 Limite de funções de duas variáveis Exemplos 1º Passo Considerar 0 0 ao longo do eixo x y 0 fx 0 x0x² 0² 0x² 0 para x 0 2º Passo Considerar 0 0 ao longo do eixo y x 0 f0 y 0yy² 0y² 0 para y 0 limxy00 xyx² y² existe 3º Passo Considerar 0 0 ao longo do eixo x y x fx x xxx² x² x²2x² 12 para x 0 2 Calcule a limxy122xy x² xy Resolução limxy122xy x² xy 212 12 12 5 12 10 12 92 43 44 53 Problemas de Aplicações das Funções de duas ou várias variáveis Exemplos 45 54 Derivadas Parciais Definição Seja uma função de duas variáveis as derivadas parciais são as funções xf e yf D f x f f h f x y h y f x x y f x x h x lim 0 de temperatura 46 D f y f f h f x y h f x y x y f y y h y lim 0 xf considere a variável como constante e derive com relação a yf considere a variável como constante e derive com relação a Exemplo 1 Se encontre 3 1 xf e 2 3 yf Resolução Para determinar xf considere a variável como constante e derive com relação a y x y x x f y f x x 2 cos ³ 1 3 1 xf 27 2 2 1 27 1 cos 3 12 3 1 1 3 3 3 Para determinar yf considere a variável como constante e derive com relação a x seny xy seny x xy y f y f y x ² ² 3 ² ² 3 0 9 4 ² 9 19 4 ² 9 2 3² 2 33 2 3 2 sen f y Exemplo 2 Se y x sen f x y 1 calcule y f e x f y y x x f 1 1 1 cos 47 ² 1 cos 1 ² 1 cos 1 ² 1 1 0 01 cos 1 y x y x y x y x y x y y x y f Conclusão Neste bloco estudamos a definição e propriedades de limite de funções de duas ou várias variáveis Ao estudar alguns exemplos envolvendo o cálculo de limite foi possível identificar que existem casos de indeterminação onde algumas técnicas são necessárias para análise da existência desse limite no valor indicado Aproveitamos para estudar as Derivadas Parciais que é um tópico fundamental para identificarmos os pontos extremos de uma determinada função Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A funções limite derivada integração São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2013 v 1 FLEMMIING D M GONÇALVES M B Cálculo B funções de várias variáveis integrais múltiplas integrais curvilíneas e de superfície São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2013 v 2 48 BLOCO 6 DERIVADAS PARCIAIS E INTEGRAL DUPLA Neste bloco estudaremos as Derivadas Parciais Sucessivas onde será importante recordar as regras de Derivação de Função com uma Variável passando ainda pelas Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente sendo um tópico de cálculo que auxilia na determinação da taxa de variação em um determinado intervalo com o uso do vetor unitário Dando sequência ao conteúdo estudaremos os Extremos de Funções de Duas Variáveis para assim determinar o ponto de máximo ponto de mínimo ponto de sela da função e concluiremos com as Integrais Múltiplas 61 Derivadas Parciais Sucessivas Definição Seja uma função de duas variáveis as derivadas parciais de segunda ordem são as funções fxx fxy fyy e fyx ² ² x f x f x f f xx x y f x f y f f xy ² ² ² y f y f y f f yy y x f y f x f f yx ² Exemplo 1 Se 9 ³ 7 ² 3 ³ ² y x x y f x y apresente suas derivadas parciais de 2ª ordem Resolução 1ª ordem x x y x f y f x x 14 9 ² ² 27 ² 6 ³ y x y y f y f y x 49 2ª ordem 14 ² 18 ² ² xy x f f xx x y x y f f xy 18 ² ² y x y f f yy 54 6 ³ ² ² x y y x f f yx 18 ² ² Exemplo 2 Se y sen x f x y 7 3 calcule x y f e y x f ² ² 1ª Ordem y x y x x f 7 3 cos 3 0 7 3 cos 3 y x y x y f 7 7 cos 3 7 7 0 cos 3 2ª Ordem 7 21cos3 0 7 3 3 7 7 7 cos3 ² y x y x sen y x x y x f 7 21cos3 7 7 0 3 3 7 3 cos3 ² y x y x sen y x y x y f 50 62 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente Definição Se f é uma função de duas variáveis x e y então o gradiente de f é a função vetorial definida por fx y fxx y fyx y i j Pois Du fx y fxx ya fyx yb fxx y fyx ya b fxx y fyx yu Determine a derivada direcional da função fx y x²y³ 4y no ponto 2 1 na direção do vetor v 2i 5j Resolução Não temos o vetor unitário u pois o módulo de v 1 1º Vetor gradiente em 2 1 fx y 2x²y³i 3x²y² 4j f2 1 221³i 32²1² 4j f2 1 4i 8j v 22 52 29 u vv v29 i 529 j Du fx y fxx y fyx yu Du f2 1 f2 1u 4i 8j 229 i 529 j Du f2 1 42 8529 3229 52 63 Extremos de funções de duas variáveis Definição Funções de duas variáveis podem apresentar pontos de máximo de mínimo ou de sela Seja f uma função de duas variáveis um par ordenado é ponto crítico de se 0 f x a b e 0 f y a b ou f x a b ou f y a b não existe Discriminante x y x y f f x y x y f f D x y yx xy yy xx Teste da Segunda Derivada Se e 0 f xx a b então é um mínimo local Se e 0 f xx a b então é um máximo local Se então o é ponto de sela de e o gráfico de cruza seu plano tangente em Se não dá nenhuma informação Exemplo Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela de 1 4 4 4 xy y x f x y 1º Passo Identifica os pontos críticos y x fx x y 4 4 3 e x y f y x y 4 4 3 Igualando as derivadas a zero temos as equações 0 4 4 0 4 4 3 3 x y y x Resolvendo o sistema onde temos 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 4 ³ 4 8 8 9 3 x ou x ou x x ou x x ou x x x x x x x Encontrando os pontos 53 2º Passo Segundas derivadas parciais e 12 2 x fxx x y 12 2 y f yy x y 4 fxy x y e 4 f yx x y 3º Passo Teste da segunda derivada Ponto então o é ponto de sela de e o gráfico de cruza seu plano tangente em Ponto e 0 12 12 1² 1 1 fxx então é um mínimo local Ponto e 0 12 121² 11 fxx então é um mínimo local 64 Integrais múltiplas Integral Dupla 54 Integral Tripla 55 Conclusão Neste bloco estudamos as Derivadas Parciais Sucessivas as Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente os Extremos de Funções de Duas Variáveis para assim determinar o ponto de máximo ponto de mínimo ponto de sela da função e concluímos com as Integrais Múltiplas Referências BOULOS P Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 1999 v 1 FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A funções limite derivada integração São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2013 v 1 FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo B funções de várias variáveis integrais múltiplas integrais curvilíneas e de superfície São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2013 v 2