Integrais Triplas e Volume do Tetraedro - Lista de Exercícios Resolvidos

3ª questão Calcular o volume do tetraedro mostrado na figura abaixo Você deve seguir uma linha de raciocínio coerente e suas respostas devem ser dadas com clareza O texto deve seguir as regras da ABNT Sobre os gráficos podem ser feitos em softwares gratuitos como o WinPlot ou o mecanismo Wolfram Alpha online Integrais triplas Nas questões abaixo vamos exercitar os conceitos aprendidos nesta unidade 1ª questão Calcular a integral tripla y x²zdV sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo 1 x 2 0 y 1 3 z 5 2ª questão Calcular a integral x² y²dV em que T é a região de integração interior ao cilindro x² y² 1 e à esfera x² y² z² 4 fazer a transformação para o sistema de coordenadas que mais simplifica a resolução Integrais triplas Nas questões abaixo vamos exercitar os conceitos aprendidos nesta unidade 1ª questão Calcular a integral tripla y x²zdV sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo 1 x 2 0 y 1 3 z 5 2ª questão Calcular a integral x² y²dV em que T é a região de integração interior ao cilindro x² y² 1 e à esfera x² y² z² 4 fazer a transformação para o sistema de coordenadas que mais simplifica a resolução Resolução Questão 1 1 2 0 1 3 5 yx 2zdzdydx 1 2 0 1 y x 25 2 2 yx 23 2 2 dydx 1 2 0 1 16 y x 2 2 dydx 8 1 2 0 1 yx 2dydx 8 1 2 1 2 x 2dx 8 2 2 8 3 1 21 3 8 1 2 7 3 68 6 Questão 2 Usaremos coordenadas cilíndricas isto é xrcosθ yrsenθe zz Dessa forma x 2 y 2dV 0 2π 0 1 4r 2 4r 2 r 3dzdrdθ 0 2π 0 1 2r 34r 2drdθ Tome u4r 2 assim du2rdr e r 24u Além disso temos r0 u4 e r1 u3Portanto 0 2π 4 3 u4 ududθ 0 2π 4 3 u 324u 12dudθ 0 2π 3 5 2 5 2 4 3 3 2 3 2 4 5 2 5 2 4 4 3 2 3 2 dθ 0 2π 3 5 2 5 2 4 3 3 2 3 2 4 5 2 5 2 4 4 3 2 3 2 dθ Fazendo as devidas simplificações temos 0 2π 12866 3 15 dθ 256132 3 15 π Questão 3 Primeiro passo é encontrar a equação do plano formado pelos pontos A200 B010 C003 Assim n BA x CA é um vetor normal ao plano Portanto ndet i j k 2 1 0 2 0 3 3i6 j2k362 Assim 3 x26 y2 z0 é a equação geral do plano Isolando o z temos z3 2 x3 y3 Por outro lado vamos determinar a reta de intersecção do plano com o eixo xy isto é tomando z0 temos x2 y2 Portanto o Volume V do sólido é dado pela integral tripla V 0 1 0 22 y 0 3 2 x3 y3 1dzdxdy 0 1 0 22 y 3 2 x3 y3dxdy 0 1 0 22 y 3 4 x 23 yx3x dy 0 1 3 1y 26 1y 6 1 y dy 0 1 3 y 26 y3dy 1 331 231 1 ₀¹ ₀²²ʸ 32x 3y 3dxdy ₀²π 52 352 4 32 32 52 452 4 32 432 dθ