Análise de Dados: Revisão de Probabilidade e Estatística em Engenharia de Produção

ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 2º Semestre de 2023 GR03672 ANÁLISE DE DADOS REVISÃO DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Competências e habilidades comportamentais 1 inteligência e criatividade para criar e encontrar soluções 2 orientação para resultados 3 facilidade para se comunicar de modo claro e objetivo 4 proatividade e iniciativa empreendedora 5 capacidade para trabalhar e liderar equipes 6 inteligência emocional 7 pensamento crítico 8 capacidade para lidar com situações de incerteza 9 comprometimento ético e profissional 10 busca por educação continuada para ficar atualizado com as novidades do ramo Competências e habilidades técnicas 1 capacidade de dimensionar e integrar os recursos necessários para que a produção seja eficiente tenha custo reduzido e receba melhorias 2 conhecimentos matemáticos e estatísticos para modelagem de sistemas 3 capacidade de desenvolver e gerenciar projetos 4 conhecimento de linguagens de programação 5 fluência em línguas estrangeiras 6 conhecimento da legislação da área 7 capacidade de ler interpretar e se expressar por meio de gráficos 8 conhecimentos de eletrônica materiais sistemas elétricos e dinâmicos 9 capacidade de antever e verificar demandas 10 habilidade de negociação 11 responsabilidade social e ambiental 12 capacidade de escolher tecnologias para projetar e melhorar produtos e processos Competências do Engenheiro de Produção Fonte httpswwwunicesumaredubrblogengenheirodeproducaodofuturo Você está preparado Prof Mário Monteiro 3 4 ETAPAS DO MÉTODO CIENTÍFICO Um engenheiro é alguém que resolve problemas de interesse da sociedade pela aplicação eficiente de princípios científicos Os engenheiros o realizam seja pelo refinamento de um produto ou processo já existente seja pela elaboração do projeto de um novo produto ou processo que atenda às necessidades dos consumidores O método de engenharia ou cientifico é a abordagem para formular e resolver esses problemas As etapas no método de engenharia são dadas a seguir MONTGOMERY 2018 Desenvolva uma descrição clara Identifique os fatores importantes Proponha ou refine um modelo Manipule o modelo Conclusões e Recomendações Confirme a solução Realize experimentos Engenheiros têm de saber como planejar eficientemente os experimentos coletar dados analisar e interpretar os dados e entender como os dados observados estão relacionados com o modelo que eles propuseram para o problema sob estudo MONTGOMERY 2018 Figura Etapas do Modelo de Engenharia e o Pensamento Estatístico MONTGOMERY 2018 O carro que não gostava de sorvete de baunilha Fonte httpswwwunicesumaredubrblogengenheirodeproducaodofuturo Prof Mário Monteiro 5 Disponível em httpswwwgooglecomsearchqPONTIAC99sourcelnmstbmischsaXved2ahUKEwjRu5n8nNvmAhVZD7kGHZZTCUUQAUoAXoECAwQAwbiw1366bih657imgrcou6IBDkR7IPeM Prof Mário Monteiro 6 Processo de Melhoria O que caracteriza um processo Entrada Saída Entrada PROCESSO Trocar o Pneu É uma mudança mas não é uma melhoria Tirar a poeira da mesa É uma mudança mas não é uma melhoria Refugo após mudança planejada na forma de trabalhar é uma melhoria Diferença entre mudança e melhoria Melhoria 1 Mudança realizada de forma planejada 2 Tem impacto positivo e relevante 3 É perene no tempo Provérbio Toda melhoria requer mudança mas nem toda mudança leva à uma melhoria INTRODUÇÃO Probabilidade A teoria de probabilidades nos permite descrever os fenômenos aleatórios ou seja aqueles em que está presente a incerteza Distribuições de Probabilidade Estatística Inferencial E o estudo de técnicas que possibilitam a extrapolação a um grande conjunto de dados das informações e conclusões obtidas a partir da amostra Estatística Descritiva A estatística descritiva é a etapa inicial da análise utilizada para descrever e resumir os dados A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de métodos computacionais muito eficientes revigorou está área da estatística EXPERIMENTOS DETERMINISTICO VS ALEATÓRIOS Experimentos Aleatórios Qualquer atividade ou processo cujo resultado está sujeito à incerteza Constituem todo o universo de informações de que se necessita Característica em comum População Estatística é o conjunto de entes portadores de pelo menos uma característica comum Ex Os estudantes constituem uma população POPULAÇÃO ESPAÇO AMOSTRAL E POPULAÇÃO Espaço amostral Todos os resultados possíveis de um experimento aleatório Experimento Resultados possíveis no lançamento de um dado Espaço amostral do experimento ou população S123456 6 resultados possíveis Variável Aleatória 1 2 3 4 5 6 Total Frequência 1 1 1 1 1 1 N6 Probabilidade 16017 16017 16017 16017 16017 16017 1000 Evento A Sair seis no lançamento de um dado A 6 1 resultado possível Probabilidade de ocorrer o evento A 16 01667 167 Evento B Valores pares no lançamento de um dado B 246 3 resultados possíveis Probabilidade de ocorrer o evento B 36 05 50 PARÂMETROS DA POPULAÇÃO Variância da Variável Aleatória Discreta Varx 𝑥𝑖 μ2 𝑃𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 𝐶á𝑙𝑢𝑐𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑉𝑎𝑟 𝑥 𝜎2𝑥 𝐸𝑥 𝜇2 𝐸 𝑥2 𝐸𝑥 2 onde 𝐸𝑥 2 μ𝑥 2 E𝒙𝟐 𝑥2 𝑃𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 Var𝑥 𝐸 𝑥2 μ𝑥 2 Desvio Padrão 𝜎𝑥 𝑉𝑎𝑟𝑥 Cálculo da Média para Variável Aleatória Discreta 𝜇 𝑥 𝐸 𝑥 𝑥𝑖 𝑃𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝐶𝑉 𝜎𝑥 𝜇 𝑥 Seja X a variável aleatória discreta que conta o número de camas ocupadas na ala de emergência de um hospital em determinado horário do dia e Px a probabilidade de x Tabela da função de probabilidade x 0 1 2 3 4 Px 020 025 030 015 010 PARÂMETROS DA POPULAÇÃO 1º EXERCÍCIO Determinar a média variância desvio padrão e o coeficiente de variação MODELO E POPULAÇÃO Modelos que representam a população Distribuições de Probabilidades Populações podem ser composta por variáveis aleatórias discretas ou continuas Variância e Média são as características das distribuições O modelo pode ser usado para fazer inferências sobre a população É necessário verificar se o modelo adere aos dados Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas Binomial Poisson Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Continuas Exponencial Normal DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL CARACTERISTICAS MÉDIA E VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 𝑋 𝐵𝐼𝑁 𝑛 𝑝 n número de provasensaios p probabilidade de sucesso q probabilidade de fracasso 1p Média EX μ X np 𝑽𝒂𝒓𝒊â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝝈𝟐 𝑿 𝒏 𝒑 𝒒 𝑭𝑼𝑵ÇÃ𝑶 𝑷𝑹𝑶𝑩𝑨𝑩𝑰𝑳𝑰𝑫𝑨𝑫𝑬 𝑫𝑨 𝑫𝑰𝑺𝑻𝑹𝑰𝑩𝑼𝑰ÇÃ𝑶 𝑩𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑨𝑳 𝑷 𝑿 𝒌 𝒏 𝒌 𝒑𝒌 𝒒𝒏𝒌 0 2 4 6 8 10 000 010 020 030 x PXx B10p020 É a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 1 O experimento consiste de uma sequencia de n ensaios idênticos 2 Dois resultados são possíveis em cada ensaio Sucesso e Fracasso probabilidade de sucesso pPS não muda de ensaio para ensaio é constante em todas as prova PSucessop e PFracasso q 1p 3 Os ensaios são independentes 4 Interesse Variável aleatória X número de sucesso k nas n provas DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 2º EXERCÍCIO Em uma máquina que produz 20 de peças defeituosas Em uma amostra de oito peças Determinar 1 A média 2 O desvio padrão 3 Qual a probabilidade de encontrar 2 peças defeituosas na amostra É UMA BINOMIAL 1 Número de provas 8 Cada peça examinada é uma prova 2 São independentes por hipótese 3 Cada peça ou é defeituosas Sucesso ou não é defeituosa Fracasso 4 Variável Aleatória X Número de peças defeituosas nas oito peças DISTRIBUIÇÃO DE POISSON CARACTERÍSTICAS DIFERENÇA ENTRE A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON BINOMIAL NÚMERO DE SUCESSOS EM n PROVAS BINOMIAL PROBABILIDADE DE FALHAR POISSON NÚMERO DE SUCESSOS EM UM INTERVALO CONTINUO DE OBSERVAÇÃO POISSON MÉDIA DAS FALHAS HIPOTESES Eventos definidos em intervalos não sobrepostos são independentes O que acontece em um intervalo não influencia ou depende do que acontece em outro intervalo A taxa média de sucesso λ é constante no intervalo estudado t FUNÇÃO PROBABILIDADE DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 𝑷 𝑿 𝒌 𝒆𝝀𝒕𝝀𝒕𝒌 𝒌 Média EX μ X λt Parâmetro 𝑽𝒂𝒓𝒊â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝝈𝟐 𝑿 λ 𝒕 XPOI λt DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 3º EXERCÍCIOS O número de chamadas recebidas por uma central em uma hora é igual a três Qual a probabilidade de receber cinco chamadas em duas horas DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL CARACTERÍSTICAS Função Probabilidade da Distribuição Exponencial XPoi 𝜆 𝑡 𝑓 𝑡 𝜆 𝑒𝜆𝑡 Segue as mesmas condições da Distribuição de Poisson 1 Frequência média de sucesso constante 2 Intervalos independentes Diferença 1 Poisson Número de sucessos no intervalo t Discreta 2 Exponencial Intervalo entre dois sucessos Continua λ Parâmetro DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL CARACTERÍSTICAS Média 𝝁 𝑬 𝑻 𝟏 𝝀 uma falha a cada 𝜆 horas Variância 𝝈𝟐 𝑻 𝟏 𝝀𝟐 Desvio Padrão 𝝈 𝑻 𝟏 𝝀 Desvio Padrão Média 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑃 𝑇 𝑡 𝜆 𝑒𝜆𝑡𝑑𝑡 𝑒𝜆𝑡 𝑡 A função densidade de probabilidade decai exponencialmente Representação XEXP1𝜆 onde X é a Variável Aleatória O tempo até a falha do ventilador de motores a diesel tem uma distribuição Exponencial com uma falha a cada 28700 horas Qual a probabilidade de um destes ventiladores falhar nas primeiras 24000 horas de funcionamento DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 4º EXERCÍCIO DISTRIBUIÇÃO NORMAL CARACTERÍSTICAS A maioria dos fenômenos naturais podem ser caracterizado pela distribuição normal XN𝜆 σ Variável Aleatória X que segue a Distribuição Normal com média λ e desvio padrão σ Função Densidade de Probabilidade da Distribuição Normal Depende da média e do desviopadrão 𝒇 𝒙 𝟏 𝝈 𝟐 𝝅 𝒆𝟏 𝟐𝒙𝝁 𝝈 𝟐 Simétrica em relação a média O ponto de inflexão dista um desviopadrão da média Média de Desvio Padrão são características da população DISTRIBUIÇÃO NORMAL CARACTERÍSTICAS DISTRIBUIÇÃO NORMAL CARACTERÍSTICAS VARIÁVEL REDUZIDA Z Normalizar Área da integral 𝒁𝟎 𝒙𝟎 𝝁 𝝈 Process o Variável Normalizada ou Reduzida DISTRIBUIÇÃO NORMAL 5º EXERCÍCIO A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por uma distribuição normal com uma média de 6000 quilogramas por centímetro quadrado e um desviopadrão de 100 quilogramas por centímetro quadrado Qual é a probabilidade de a resistência da amostra estar entre 5800 e 5900 kgcm2 ESTATÍSTICA DESCRITIVA AMOSTRAGEM Amostra é qualquer parte de uma população Amostragem é o processo de colher amostras de uma população Utilização de amostras IBGE PNAD Pesquisa Nacional por Amostragem Domiciliar Controle de qualidade de produtos em empresas industriais Laboratórios farmacêuticos eficácia de novas drogas Atividades de exames médicos sangue biopsia etc Práticas de auditoria Contábil Operacional médica etc Informações relevantes da população 𝑴é𝒅𝒊𝒂 𝒅𝒂 𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂 𝒙 𝒙𝒊 𝒏 𝒊𝟏 𝒏 Variância da amostra 𝒔𝟐 𝒙𝒊𝒙 𝟐 𝒏 𝒊𝟏 𝒏𝟏 𝒙𝒊 𝟐 𝒙𝒊 𝒏 𝒊𝟏 𝟐 𝒏 𝒏 𝒊𝟏 𝒏𝟏 Desvio Padrão da amostra 𝒔 𝒔𝟐 Coeficiente de Variação da Amostra 𝑪𝑽 𝒔 𝒙 ESTATÍSTICA DESCRITIVA PARÂMETROS DA AMOSTRA httpswwwyoutubecomwatchv6aSbSWKnwGU Em uma inspeção de rotina em uma linha de produção um Engenheiro utilizando um micrometro mediu cinco peças em duas máquinas As medidas estão mostradas na tabela abaixo Determinar os parâmetros da amostra para o valores nas duas máquinas Amostra Máquina 1 Máquina 2 1 1084 mm 1083 mm 2 1083 mm 1084 mm 3 1086 mm 1084 mm 4 1082 mm 1086 mm 5 1086 mm 1083 mm ESTATÍSTICA DESCRITIVA PARÂMETROS DA AMOSTRA 6º EXERCÍCIO Uma distribuição de frequências é um resumo mais compacto dos dados em relação ao diagrama de ramo e folhas Para construir uma distribuição de frequências temos de dividir a faixa de dados em intervalos que são geralmente chamados de intervalos de classe ou células Se possível os intervalos devem ser de iguais larguras de modo a aumentar a informação visual na distribuição de frequências Algum julgamento tem de ser usado na seleção do número de intervalos de classes de modo que uma apresentação razoável possa ser desenvolvida O número de intervalos depende do número de observações e da quantidade de espalhamento ou dispersão dos dados Uma distribuição de frequências não será informativa se usar um número muito baixo ou muito alto de intervalos de classe Geralmente achamos que 5 a 20 intervalos são satisfatórios na maioria dos casos e que o número de intervalos deve crescer com n Na prática trabalhase bem se o número de intervalos de classe for aproximadamente igual à raiz quadrada do número de observações MOSTRA DE DADOS TABELA DE FREQUÊNCIA e HISTOGRAMA Dados do arquivo Resistência à Compressão MOSTRA DE DADOS TABELA DE FREQUÊNCIA e HISTOGRAMA 1 Passo Fixar k Número de classes k 𝑛 ou k 133logn onde n é o tamanho da amostra h Amplitude de cada classe p0 Ponto inicial Recomendado Menor valor da amostra 2º Passo Calcular Amplitude total R Maior valor Menor valor Xmáximo Xmínimo Amplitude de cada classe h 𝑅 𝐾 Conferindo kh R Regra de Sturges MOSTRA DE DADOS TABELA DE FREQUÊNCIA e HISTOGRAMA A tabela mostra a quantidade de veículos vendidos no mês em uma rede de concessionárias A Construa uma tabela de frequências B Determine a média e o desvio padrão C Determine a mediana e a moda 7º EXERCÍCIO MOSTRA DE DADOS TABELA DE FREQUÊNCIA e HISTOGRAMA Adaptado de ENADE 2019 Uma empresa de eletrônicos portáteis interessada em traçar um perfil de seus potenciais consumidores realizou uma pesquisa com 30 pessoas indagando quanto cada uma delas gastou com aparelhos eletrônicos e acessórios no último mês Os resultados obtidos foram tratados e apresentados na forma de um histograma de frequência conforme o apresentado na figura a seguir 8º EXERCÍCIO MOSTRA DE DADOS TABELA DE FREQUÊNCIA e HISTOGRAMA Com base nessa situação e nos dados da figura avalie as afirmações a seguir I Entre os entrevistados a média de gastos com compra de aparelhos e acessórios eletrônicos foi superior a R 14500 II Entre os entrevistados 2 gastaram entre R 34000 e R 38000 na compra de aparelhos e acessórios eletrônicos III Entre os entrevistados 40 gastaram entre R 10000 e R 14000 na compra de aparelhos e acessórios eletrônicos É correto o que se afirma em A I apenas B II apenas C I e III apenas D II e III apenas E I II e III Prof Mário Monteiro Quando utilizar assim como o histograma o Boxplot também é utilizado para variáveis continuas quando o objetivo for o estudo da distribuição dos dados n20 O Boxplot é método alternativo ao histograma para representar os dados O Boxplot é preferível ao histograma quando o objetivo é comparar dois ou mais grupos Como interpretar O Boxplot fornece informação sobre as seguintes características do conjunto de dados localização dispersão assimetria comprimento da cauda e outliers medidas discrepantes MOSTRA DE DADOS BOXPLOT Prof Mário Monteiro O centro da distribuição é indicado pela linha da mediana A dispersão é representada pela altura Q3Q1 no qual Q3 é o terceiro quartil e Q1 é o primeiro quartil O retângulo contém 50 dos valores do conjunto de dados A posição da linha mediana no retângulo informa sobre a assimetria da distribuição Uma distribuição simétrica teria a mediana no centro do retângulo bem próximo à média O comprimento das linhas fora do retângulo algumas vezes chamadas de bigodes informam sobre a cauda da distribuição MOSTRA DE DADOS BOXPLOT Prof Mário Monteiro Uma utilidade muito importante do Boxplot é na comparação gráfica de dois ou mais grupos Nesse caso o Boxplot é preferencial ao histograma Essa comparação pode ser feita desenhandose os Boxplots para cada conjunto de dados paralelamente em um mesmo gráfico Figura Comparativo entre as viscosidades de três misturas Na figura pode ser observado As misturas apresentam níveis médios diferentes de viscosidade decrescentes da mistura 1 para a mistura 3 Existe uma razoável simetria nos dados para as 3 misturas A mistura 3 possui um outlier que deve ser investigado MOSTRA DE DADOS BOXPLOT Prof Mário Monteiro MOSTRA DE DADOS BOXPLOT Prof Mário Monteiro A tabela abaixo representa os dados do tempo de vida segundos de uma bactéria após contato com um antibiótico Construa um Boxplot e faça a analise dos dados 1 Desenhe o Boxplot 2 Faça as analises MOSTRA DE DADOS BOXPLOT 9º EXERCÍCIO MEDIANA E QUARTIL n tamanho da amostra n varia de 1 até k no caso k5 Endereços k Depois os valores J 1 1º Quartil J 2 2º Quartil Mediana J 3 3º Quartil OBS Os valores precisam estar em ordem crescente Equação do Endereço 𝒌 𝒋𝒏𝟏 𝟒 Quartis Q1 Q2 e Q3 São valores dados a partir do conjunto de observações ordenado em ordem crescente que dividem a distribuição em quatro partes iguais O primeiro quartil Q1 é o número que deixa 25 das observações abaixo e 75 acima enquanto que o terceiro quartil Q3 deixa 75 das observações abaixo e 25 acima Q2 é a mediana deixa 50 das observações abaixo e 50 das observações acima DIFERENÇA MÉDIA E MEDIANA MEDIDA DE TENDÊNCIA CENTRAL Média Mediana Definição A média é a média aritmética de um conjunto de números A mediana é um valor numérico que separa a metade superior de um conjunto da metade inferior Quando ela é aplicável A média é usada para distribuições numéricas normais que têm uma baixa quantidade de valores discrepantes A mediana é geralmente utilizada para retornar a tendência central para distribuições numéricas distorcidas Como calcular A média é calculada somandose todos os valores e dividindo a soma pelo número total de valores A mediana pode ser calculada listandose todos os números em ordem crescente para localizar todos os números em ordem crescente e depois localizálo centro dessa distribuição DIFERENÇA MÉDIA E MEDIANA MEDIDA DE TENDÊNCIA CENTRAL MEDIANA 10º EXERCÍCIO Em um hospital foram contabilizados o número de pessoas atendidas pela ortopedia durante os 30 dias de um mês Os valores observados estão apresentados na tabela a seguir Determine a mediana e os quartis MEDIANA 11º EXERCÍCIO Para facilitar um projeto de ampliação da rede de esgoto de certa região de uma cidade as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quarteirões que compõe a região e foram encontrados os seguintes números de casas por quarteirão 2 2 3 10 13 14 15 15 16 16 18 18 20 21 22 22 23 24 25 25 26 27 29 29 30 32 36 42 44 45 45 46 48 52 58 59 61 61 61 65 66 66 68 75 78 80 89 90 92 97 Analisar a distribuição INTERVALO DE CONFIANÇA Intervalo de Confiança Intervalo que tem a probabilidade igual ao nível de confiança de conter o verdadeiro valor do parâmetro da população Média Variância ou Proporção Em outras palavras se produzirmos diversos intervalos de confiança provenientes de diferentes amostras independentes de mesmo tamanho podemos esperar que aproximadamente NC destes intervalos devem conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional Valores mais usados Índice de Confiança IC α alfa Nível de Confiança NC 1 99 5 95 10 90 Intervalo de Confiança População ANÁLISE DE DADOS Etapas da Analise Estatística INTERVALO DE CONFIANÇA IC do Parâmetro Variância da População σ2 Distribuição a ser usada Intervalo de Confiança e0 Semiamplitude do intervalo de confiança Média da População μ Conhecida Normal Z 𝑥 𝑒0 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒0 𝑍𝛼2 𝜎 𝑛 Média da População μ Desconhecida t de Student t 𝑥 𝑒0 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒0 𝑡𝛼2 𝑠 𝑛 Variância da População σ2 Desconhecida Quiquadrado 𝜒2 𝑛1𝑆2 𝜒2 𝑛1𝛼2 𝜎2 𝑛1𝑆2 𝜒2 𝑛11𝛼2 Proporção da População π Normal Z 𝑥 𝑒0 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒0 𝑍𝛼2 𝑝1 𝑝 𝑛 INTERVALO DE CONFIANÇA 12º EXERCÍCIO O projetista de uma indústria tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar o tempo médio gasto para montar um determinado brinquedo Lembrando que foi verificado que a média da amostra foi de 199 segundos e sendo o desvio padrão da população igual a 573 segundos construir um intervalo de confiança de nível 95 para a média da população INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA DA POPULAÇÃO COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA Distribuição t de Student Uma curva para cada grau de liberdade Quando n cresce n30 a Distribuição t se alinha com a Distribuição Normal População μ Desconhecida σ2 Desconhecida Amostra Média 𝑥 Variância s2 Tamanho da amostra n Graus de Liberdade Quantidade de dados independentes informações disponíveis para calcular o parâmetro da amostra 𝑠2 𝑥 𝑥𝑖𝑥 2 𝑛 𝑖1 𝑛1 𝑥 𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 𝑛 𝑠 𝑥 𝑠2 DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT INTERVALO DE CONFIANÇA COM DISTRIBUIÇÃO t de Student Distribuição t com n1 graus de liberdade NC1α α2 t α2 n1 α2 t α2 n1 𝑃𝑥 𝑒0 μ 𝑥 𝑒0 1 α e0 semiintervalo 𝑒0 𝑡α2 n1 𝑠 𝑛 Distribuição t de Stundet 10º EXERCÍCIO INTERVALO DE CONFIANÇA COM DISTRIBUIÇÃO t de Student Segundo uma nota de março de 2009 de um blog da revista Superinteressante pesquisadores do Massachusetts Institute of Technology MIT desenvolveram um protótipo de bateria para celulares produzido com lítio de fosfato de ferro que carrega extremamente rápido porém descarrega com taxa bastante baixa O estudo afirma ainda que os princípios dessa bateria podem ser utilizados em baterias para outros dispositivos inclusive o carro elétrico Essa bateria carrega em apenas 10 segundos Vamos supor que essas baterias sejam produzidas por dois métodos É retirada uma amostra 15 baterias produzidas pelo método A que se descobre após testes que carregam em média em 10 segundos São retiradas também 20 baterias produzidas pelo método B com carregamento em média de 12 segundos Admitindo a variância amostral do tempo igual a 100 s 2 e distribuição normal dos tempos calcule a Um intervalo de confiança para o tempo médio da bateria feito pelo método A considerando 5 b Faça o mesmo para a equipe B c As baterias são diferentes Adaptado de httpsveducasfo2cdndigitaloceanspacescomuploads33f08530d6d3d59e304c979c9b401373pdf