PDS Lab 3 - Transformada de Fourier de Tempo Discreto DTFT e Implementação em MATLAB

Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 1 I INTRODUÇÃO A representação de Fourier de um sinal por meio da Transformada de Fourier de Tempo Discreto DTFT direta e inversa é uma parte chave da análise de sinais As equações 1 e 2 representam as equações de análise e síntese respectivamente 1 2 A DTFT 𝑋𝜔 é uma função complexa periódica de 𝜔 O período é sempre 2𝜋 e o período fundamental é geralmente escolhido para ser o domínio 𝜋 𝜋 Como Xω é uma função de valores complexos será necessário traçar sua magnitude e seu ângulo ou a parte real e a parte imaginária em relação a ω separadamente para descrever visualmente Xω Agora ω é uma variável real entre e o que significa que podemos traçar apenas uma parte da função Xω usando o MATLAB Usando duas propriedades importantes da transformada de Fourier no domínio discreto podemos reduzir esse domínio para o intervalo 0 π para sequências de valores reais II IMPLEMENTAÇÃO com MATLAB da DTFT Se xn tem duração infinita então o MATLAB não pode ser usado diretamente para implementar o cálculo de 𝑋𝜔 a partir de 𝑥𝑛 No entanto podemos usálo para avaliar a expressão 𝑋𝜔 em frequências 0 𝜋 e em seguida plotar sua magnitude e ângulo ou partes real e imaginária EXERCICIO 1 a Determine a transformada de Fourier de tempo discreto da sequência 𝑥𝑛 05𝑛 𝑢𝑛 b Avalie a DTFT 𝑋𝜔 da sequência 𝑥𝑛 em 501 pontos equiespaçados entre 0 𝜋 e plote sua magnitude ângulo partes real e imaginária Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 2 Solução Representação de 𝑥𝑛 05𝑛 𝑢𝑛 A representação da sequência pode ser vista na Fig1 com utilização do código seguinte Vetor de tempo n 020 Intervalo de tempo de 0 a 20 Sequência 𝑥𝑛 12𝑛 𝑢𝑛 x 12n n 0 Multiplica 12𝑛 por 𝑢𝑛 Plot da sequência 𝑥𝑛 figure stemn x xlabeln ylabelxn titleSequência xn 12n un Fig 1 𝑥𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 1 2 𝑛 1 𝑛 0 0 𝑛 0 1 2 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 3 Os gráficos resultantes da transformada estão mostrados na Figura 2 Observe que dividimos o vetor 𝝎 por pi antes de plotar para que os eixos de frequência estejam nas unidades de 𝝅 e portanto mais fáceis de ler Essa prática é fortemente recomendada Segue o código para o cálculo da DTFT 𝑿𝝎 w 0pi500pi Axis divided into 501 points X exp1jw exp1jw 05ones1501 magX absX angX angleX realX realX imagX imagX subplot221 plotwpi magX grid xlabelFrequência em unidades de pi titleMagnitude ylabelMagnitude subplot223 plotwpi angX grid xlabelFrequência em unidades de pi titleAngulo de Fase ylabelRadiano subplot222 plotwpi realX grid xlabelFrequência em unidades de pi title Parte Real ylabelReal subplot224 Cálculo da 𝑿𝝎 𝑋𝜔 ℱ𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛 𝑛 1 2 𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛0 𝑒𝑗𝜔 2 𝑛 1 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 𝑛0 Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 4 plotwpi imagX grid xlabelFrequência em unidades de pi title Parte Imaginaria ylabelImaginaria Fig2 Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 5 EXERCICIO 2 a Determine a transformada de Fourier de tempo discreto da seguinte sequência de duração finita 𝒙𝒏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 b Avalie 𝑋𝜔 em 501 pontos equidistantes entre 0 𝜋 e plote sua magnitude ângulo parte real e parte imaginária Solução Representação de xn A representação da sequência pode ser vista na Fig3 com utilização do código seguinte n 13 x 1 2 3 4 5 stemn x xlabeln ylabelxn titleSequência discreta xn 1 2 3 4 5 n 13 x 1 2 3 4 5 stemn x xlabeln ylabelxn titleSequência discreta xn 1 2 3 4 5 Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 6 Fig 3 Os gráficos resultantes da transformada estão mostrados na Figura 3 Observe que dividimos o vetor 𝝎 por pi antes de plotar para que os eixos de frequência estejam nas unidades de 𝝅 e portanto mais fáceis de ler Essa prática é fortemente recomendada Segue o código para o cálculo da DTFT 𝑿𝝎 n 13 X 15 k 0500 W pi500k X X expjpi500 nk magX absX angX angleX realX realX imagX imagX subplot 221 plotk500magX grid xlabelfrequência em unidade de pi titleMagnitude Cálculo da 𝑿𝝎 𝑋𝜔 ℱ𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛 1𝑒𝑗𝜔1 2𝑒𝑗𝜔0 3𝑒𝑗𝜔1 4𝑒𝑗𝜔2 5𝑒𝑗𝜔3 𝑋𝜔 𝑒𝑗𝜔 2 3 𝑒𝑗𝜔 4 𝑒𝑗𝜔2 5 𝑒𝑗𝜔3 Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 7 subplot 223 plot k500angXpi grid xlabelfrequency in pi units titleAngulo de fase subplot 222 plot k500realX grid xlabelfrequência em unidades de pi title Parte Real subplot 224 plot k500 imagX grid xlabelfrequência em unidades de pi title Parte Imaginaria Fig3 O método de computação numérica aplicado no Exercício 2 é uma forma alternativa de avaliar a Transformada de Fourier de Tempo Discreto DTFT que se baseia na definição O procedimento do Exercício 2 pode ser compilado em uma função do MATLAB por exemplo uma função dtft para facilitar a implementação III DUAS PROPRIEDADES IMPORTANTES da DTFT 1 Periodicidade A transformada de Fourier no domínio discreto 𝑋𝜔 é periódica em ω com período 2𝜋 𝑋𝜔 𝑋𝜔 2𝜋 Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 8 Implicação Nós precisamos apenas de um período de 𝑋𝜔 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝜔 0 2𝜋 𝑜𝑢 𝜋 𝜋 𝑒𝑡𝑐 para análise e não é necessário considerar todo o domínio 𝜔 2 Simetria Para 𝑥𝑛 com valores reais 𝑋𝜔 é conjugadosimétrico 𝑋𝜔 𝑋𝜔 ou 𝑅𝑒𝑋𝜔 𝑅𝑒𝑋𝜔 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟 𝐼𝑚𝑋𝜔 𝐼𝑚𝑋𝜔𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑋𝜔 𝑋𝜔 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟 𝑋𝜔 𝑋𝜔 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 í𝑚𝑝𝑎𝑟 Implicação Para plotar 𝑋𝜔 agora precisamos considerar apenas um meio período de 𝑋𝜔 Geralmente na prática esse período é escolhido como 𝜔 0 𝜋 IV IMPLEMENTAÇÃO e VERIFICAÇÃO com MATLAB das PROPRIEDADES da DTFT EXERCICIO 3 Considere 𝑥𝑛 09𝑛 5 𝑛 5 a Calcule 𝑋𝜔 b Investigue a propriedade de simetria conjugada da transformada de Fourier de tempo discreto dessa sequência Solução Representação de xn A representação da sequência pode ser vista na Fig4 com utilização do código seguinte n 55 x 09n stemn x xlabeln ylabelxn titleSequência discreta xn 09n Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 9 Fig4 Segue o código para o cálculo da DTFT 𝑿𝝎 A representação e apresentada na Fig 5 n 55 x 09n k 200200 w pi100k X x expjpi100 nk magX absX angX angleX subplot211 plotwpi magX grid axis22015 ylabelX titleMagnitude Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 10 subplot212 plotwpi angXpi grid axis2211 xlabelFrequencia em pi unidades ylabelRadianospi titleAngulo Fig5 A partir dos gráficos na Figura 5 observase que Xω não é apenas periódico em ω mas também é conjugadosimétrico Portanto para sequências reais plotaremos seus gráficos de magnitude e ângulo da transformada de Fourier de 0 a π Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 11 EXERCICIO 4 A sequência é dada por 𝑥𝑛 09 𝑒𝑥𝑝 𝑗𝜋3𝑛 0 𝑛 10 a Determinar Xω b Investigar sua periodicidade Solução Representação de xn A representação da sequência pode ser vista na Figs6 e 7 com utilização dos códigos seguintes n 010 x 09 exp1jpi3n stemn x xlabeln ylabelxn titleSequência discreta xn 09 expjπ3n OBS O aviso Warning Using only the real component of complex data indica que na plotagem do gráfico somente a parte real dos dados complexos está sendo usada Para plotar corretamente a sequência complexa é preciso plotar a parte real e a parte imaginária separadamente Fig6 O código seguinte plota a parte real da sequência com barras verticais e a parte imaginária com a letra x ver Fig 7 Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 12 n 010 x 09 exp1jpi3n stemn realx hold on stemn imagx x xlabeln ylabelxn titleSequência discreta xn 09 expjπ3n legendParte Real Parte Imaginária Fig7 Segue o código para o cálculo da DTFT 𝑿𝝎 A representação e apresentada na Fig 8 n 010 x 09expjpi3n k 200200 w pi100k X x expjpi100 nk magX absX angX angleX subplot211 Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 13 plotwpimagXgrid ylabelX titleMagnitude subplot212 plotwpiangXpigrid xlabelFrequencia em pi Unidades ylabelRadianospi titleângulo de fase Fig 8 A partir dos gráficos na Figura 9 observase que Xω é periódico em ω mas não é conjugado simétrico Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 14 V IMPLEMENTAÇÃO e VERIFICAÇÃO com MATLAB dos EXERCICIOS E PROBLEMAS REALIZADOS EM SALA 1 Determine a transformada de Fourier da 𝛿𝑛 Solução 1º Representar xn 𝛿𝑛 1 𝑛 0 0 𝑛 0 Vetor de tempo n 1010 Intervalo de tempo de 10 a 10 Inicialize o vetor de impulso discreto com zeros delta zerossizen Defina o valor do impulso discreto em n 0 como 1 deltan 0 1 Plot da função impulso discreto stemn delta filled xlabeln ylabel𝛿n titleFunção Impulso Discreto Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 15 2º Calcular 𝑿𝝎 𝑋𝜔 ℱ𝛿𝑛 𝑥𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 1 𝑒𝑗𝜔0 1 𝑛 Vetor de tempo n 1010 Intervalo de tempo de 10 a 10 Inicialize o vetor de impulso discreto com zeros delta zerossizen Defina o valor do impulso discreto em n 0 como 1 deltan 0 1 Calcule a TFDTD do impulso discreto deltafft fftdelta Calcule o módulo do espectro deltafftmodulo absdeltafft Plot do espectro do impulso discreto figure plotn deltafftmodulo xlabelk ylabel𝛿k titleEspectro da Transformada de Fourier de Tempo Discreto do Impulso Discreto Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 16 2 Determine a transformada de Fourier da sequência 𝑥𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 Solução ver Exercício 1 deste roteiro Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 17 3 Determine a transformada de Fourier da 𝑥𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑥𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 1 2 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 Vetor de tempo n 020 Intervalo de tempo de 0 a 20 Sequência 𝑥𝑛 12𝑛 𝑢𝑛 x 12n n 0 Multiplica 12𝑛 por 𝑢𝑛 Plot da sequência 𝑥𝑛 figure stemn x xlabeln ylabelxn titleSequência xn 12n un Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 18 𝑋𝜔 1 2 𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛0 𝑒𝑗𝜔 2 𝑛 1 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 𝑛0 x n 12n n 0 N 1000 n 0N1 X fftxn Xshift fftshiftX w linspacepi pi N Xmag absXshift Xphase angleXshift figure subplot211 stemw Xmag titleEspectro de Frequência xlabelFrequência angular radsample ylabelMagnitude subplot212 plotw Xphase titleEspectro de Fase xlabelFrequência angular radsample ylabelFase rad Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 19 4 Determine a transformada de Fourier 𝑥𝑛 𝛿𝑛 5 𝛿𝑛 5 1 𝑛 5 0 𝑛 5 Define o vetor de amostras n 1010 Define a função xn x zeros15 1 zeros110 Ajusta o vetor n para ter o mesmo comprimento que x n n1lengthx Plota a função xn stemn x xlabeln ylabelxn titleFunção xn δn5 Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 20 𝑋𝜔 𝑒𝑗𝜔5 n 1010 intervalo da sequência x zeros15 1 zeros115 sequência xn δn5 X fftx calcular a DTFT usando fft w linspacepi pi lengthX intervalo de frequência em rads magX absX espectro de amplitude angX angleX espectro de fase subplot211 plotwpi magX plotar o espectro de amplitude titleEspectro de amplitude de xn deltan5 xlabelFrequência normalizada imes pi rads ylabelXejomega subplot212 plotwpi angXpi plotar o espectro de fase titleEspectro de fase de xn deltan5 xlabelFrequência normalizada imes pi rads ylabelangle Xejomega pi Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 21 5 Determine a Transformada de Fourier da sequência mostrada na Fig 𝑥𝑛 𝛿𝑛 3 𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 3 𝑋𝜔 𝑒𝑗𝜔3 𝑒𝑗𝜔3 𝑒𝑗𝜔2 𝑒𝑗𝜔22 cos2𝜔 2𝑗𝑠𝑒𝑛3𝜔 n 1010 x zerossizen xn3 1 xn2 1 xn2 1 xn3 1 h w freqzx subplot211 plotwpi absh titleEspectro de amplitude xlabelFrequência em pi unidades ylabelHomega subplot212 plotwpi anglehpi Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 22 titleEspectro de fase xlabelFrequência em pi unidades ylabelÂngulo em pi radianos Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 23 6 Determine a Transformada de Fourier da sequência 𝑥𝑛 1 5 𝑛 𝑛 0 𝑥𝑛 1 5 𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 0 1 5 𝑛 𝑢𝑛 1 5 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 0 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 0 n 100 Definindo o intervalo de amostragem x 15n Calculando a sequência xn stemnx Plotando o gráfico xlabeln Nomeando o eixo x ylabelxn Nomeando o eixo y titleSequência xn15n onde n0 Definindo o título do gráfico Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 24 𝑋𝜔 1 1 1 5 𝑒𝑗𝜔 n 020 x 15n Em seguida podemos usar a função fft do MATLAB para calcular a DTFT e a função abs para obter o espectro de amplitude e angle para obter o espectro de fase X fftx magX absX angX angleX Para representar os espectros podemos usar a função plot subplot211 plotn magX xlabeln ylabelX titleEspectro de amplitude subplot212 plotn angXpi xlabeln ylabelFase pi rad titleEspectro de fase Primeiro vamos definir a sequência 𝑥𝑛 n 020 x 15nn0 Em seguida podemos usar a função fft do MATLAB para calcular a DTFT e a função abs para obter o espectro de amplitude e angle para obter o espectro de fase N lengthx k 0N1 X fftx magX absX angX angleX Para representar os espectros podemos usar a função plot w kpiN subplot211 plotwpimagX xlabelFrequency imespi radsample ylabelMagnitude titleMagnitude Response grid Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 25 subplot212 plotwpiangXpi xlabelFrequency imespi radsample ylabelPhase imespi rad titlePhase Response grid Processamento Digital de Sinais Lab 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 Prof Vicente I Becerra Sablón 26 Relatório LAB 3 TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRET0 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS Apresentar um relatório contendo Titulo 1 Fundamentação Teórica 2 Procedimento e Resultados Experimentais 21 Comentar anexar de todos os resultados dos Exercícios realizados no Laboratórios 22 Use o MATLAB para resolver os exercícios Exercício 221 Avalie a Transformada de Fourier de tempo discreto das seguintes sequências Exercício 222 Seja o pulso retangular da xn 𝑥𝑛 1 2 𝑛 2 0 𝑛 2 𝑛 2 a Represente graficamente xn b Represente o espectro de amplitude de 𝑋𝜔 c Represente o espectro de fase de Xω 3 Conclusões mencionar a referencia bibliográfica utilizada 4 Bibliografia Consultada Nota Os relatórios deverão ser apresentados completos