Slide Torção-2021 1

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Campo Mourão Prof. Dr. Marcelo Carreira Prof. Dr. Marcelo Carreira Junho de 2021 Junho de 2021 EA35F – Resistência dos Materiais EA35F – Resistência dos Materiais 1 Objetivos Objetivos Compreender a distribuição de tensões em eixos torcidos Calcular a tensão de cisalhamento e o ângulo de torção em eixos torcidos Identificar o modo de ruptura a torção dos materiais dúcteis e frágeis Dimensionar eixos de transmissão Torcao em eixos circulares * B ae Eixo submetido ao torque T em equilibrio com T' —_ T T' a . . <a f A Seccionando o eixo em C, as partes devem - ‘ manter o equilibrio « B dA Torques elementares internos dT = pdF Cc a y dF = Condicao de equilibrio 9 Sealy ¢ q (a) T=| pdF T= p(rdA) = B G c i \c E preciso analisar as deformacées no eixo para T’ a wl i obter as tensdes Fonte: adaptado de [1]. () ow! = = 3 Deformacoes em eixos circulares Po As segdes transversais planas dos_ eixos LT a ' eT Fa circulares vazados e maci¢gos permanecem ee (77? ; —— eee a7 An t planas apos a aplicagao do torque 7. T’ SE Sa Isso se deve a simetria axial da secao transversal. Fonte: [1] A! Nos eixos circulares, o ponto A descreve um o T movimento de rotagao em torno do centro do eixo A O calculo das deformagoes nesses eixos torna- se relativamente simples. ow = ow = 4 Deformacoes em eixos nao circulares As secoes transversais de eixos nao =, circulares sofrem empenamentos [Lela . x ~ SaaS uando submetidas a tor¢ao. PLT et nN" i . peee=enszee ~ |" Seer _— A determinagao das deformacdes Fonte: [1] nesse eixos requer a solugao de uma equac¢gao diferencial e devido a sua | complexidade sua solugao nao é abordada nos cursos de Resisténcia pe a dos Materiais. f A = [F i LC] 4 | | L f. } | f° rl BET i , OS 4 5 5 Ea FEEEEA 4 Cea we As formulas para o calculo da tensao ae ELIT TD de cisalhamento e do angulo de SSS vO torgao nos eixos n&o circulares sera % dada sem prova mais adiante i 1 . Fonte: [2] ~o P ow = = 5 Deformacoes em eixos circulares Sob a acgao do torque 7, as faces de um elemento de volume deformam-se assumindo a | | T forma de um losango. | > ——— Bo O angulo y corresponde a deformagao de a m cisalhamento do elemento (a) i _, _ » - ~ . i Como os angulos sao muito pequenos d / a 7); See | 1¢ — AA' AA' . a i yo \ y ———— e p ———— 1 SS / I ct . : O} ! L Pp ~~~. a / Tw Ne \ / Logo y, LN ~-0 / ylL=op > y=—— | a : L \ SS ee <a is A A deformacao de cisalhamento é proporcional fn Pi 7 ao angulo de torgao e a distancia do centro do Fonte: [1] etal eee 6 Tensoes no regime elastico Entao, a maxima deformacao de cisalhamento em uma dada sec¢ao sera pc . | _y £ Vmix =~ Da equagao anterior podemos escrever mix = 7° L Pp Cc Multiplicando Ymax porGelembrando que T=G-y temos = 7,;,, =T°— p r= Tmax p A tensdo de cisalhamento é diretamente proporcional a distancia P Cc Da equagao de equilibrio do slide 1 temos Cox fern 2 T ={ plc dd) 7 =fo{ Zp aA) T=" | p°dA C C Onix T P= t= 4C Maxima tens&o de cisalhamento c mix em_um eixo circular 7 Tensoes no regime elastico Validade da formula da tensao de cisalhamento ~ . T-c Na dedugao da formula ~= Fz assumiu-se que: O eixo é prismatico e homogéneo Ambas as extremidades do eixo sao ligadas a placas rigidas 8 Tensoes no regime elastico A distribuigao de tensdes nos eixos de secao transversal circulare é linear “3 p (a) (b) 4 4.4 J=42¢ J =1nc$ -c#) Fonte: [1] Componentes de tensao de 9 cisalhamento O torque aplicado produz tensées de <Re> cisalhamento no plano normal ao eixo > longitudinal da barra (t,,,). y Z xX Para o equilibrio dos elementos de volume é necessario que existam tensdes de ey» cisalhamento em planos longitudinais (t,,.). / \ Devido a reciprocidade das tensdes de : ( / cisalhamento, a magnitude das tensdes nos . ~ planos longitudinal e normal € a mesma. - Fonte: [3] Tensoes normais em eixos 10 circulares torcidos Tensdes em um plano obliquo de um elemento de volume date T yy St A cos(@ cos(@) | 40 | a Mo, ee . y . To O 0 N ' | u |-~ T | ° \ 4 TA, | ° \ 4 90-0". 90-9" 9-0" —_— —_—— _— Ty FT T 4. Ayte(8) Ay tel) Fonte:adaptado de [3] Aplicando as equagoes de equilibrio no elemento da Figura (c) temos DF, =0 = 20 Ab cos 2040. senQ— A, -1-tg0 =0 cos0 cos@ DF, =0 = 2040. 56n94 0 cos A -7=0 cos@ cos@ Tensoes normais em eixos " circulares torcidos Resolvendo o sistema encontramos oO, =2t-sen@-cos@ _ 2 2 T, = r-(cos O—sen 0) Valores extremos de Oge Ty, — AY fie @ 9 méx = T para 0=0° (a) | | Com =t para O=45° (b) , Lo \ (a) (b) Fonte: [3] 12 Modos de ruptura na torcao Ruptura em um plano normal o eixo longitudinal a Ruptura por qual tensao ? — aa) Tensao de cisalhamento r Material ductillou fagil? Ruptura em um plano orientado a 45° com o eixo longitudinal —_ Re : Ruptura por qual tensao ? -~ by re 4 - -sipsoncecnlomuaa® Ss,’ Tensao normal 1, LO \ 45° Material ductil ou fagil? | Fonte: [1] A ~ - 7 = 13 Angulo de torcao no regime elastico Se 0 eixo estiver no regime elastico linear, vale a Lei de Hooke ou seja: Cmax Ymax Vmix =~ (1) A. G = eh r Sabemos que Ti, =—— (2) ss, ee J oe wn pe aad Substituindo (2) em (1) encontramos: ~~ Fonte: [1] Vane — . < (3) J:G O angulo de torgao e a maxima deformagao de cisalhamento no eixo sao relacionados por @-c barr = (4) T . L L ¢=-—= (rad) Fazendo (3) = (4) e isolando # encontramos: J:G 14 Angulo de torcao no regime elastico Variagao discreta q Lh T; Ty [ ——nf cmon F _ A T. -L, LTT we Lap—<—Lgc——Lep z : T — A _] | B Variacdo continua <—— X <— dx <————_ L b i T(x)dx Fonte: [3] A =! 2. ~ 0) new | ° J(x)- G(x) —EreeereS | 15 Exemplo 1 Para remover a roda e trocar o pneu, um motorista aplica uma forga de 100 N em cada extremidade de uma chave de roda como mostra a figura. A chave é feita de aco com modulo de elasticidade G = 78 GPa. Cada brago da chave tem comprimento de 225 mm e tem segao transversal circular com diametro d =12 mm. Determine: a) a maxima tensao de cisalhamento atuante no brago que esta soltando o parafuso; b) o angulo de torg¢ao nesse mesmo brago. j Ws ~ be es i: P sS \. <25 Dy \ Se SQ _ zy) [Zz 2K, oe “Se d=12mm : P= EN Fonte: [3] 16 Exemplo 1 Solugao Calculo do binario T=2F-d T=2-100-225 T=4,5x10'N-mm Momento de inércia polar yered! yo l2 J =2,036 X 10° mm" 320 32 a) Maxima tensao de cisalhamento ~ ale a 4:5X1076 Tp ie= 132,61 MPa max max 3 J 2,036 x 10 Resposta 17 Exemplo 1 b) angulo de torgao . 4 — (= p=—15%10°225 9 =6,376 X10 rad J 2,036X10°-78X 10° pResposta 18 Exemplo 2 Um eixo de aco pode ser fabricado tanto em segao transversal circular maciga quanto em segao circular vazada. Esse eixo deve transmitir um torque de 1200 N.m sem exceder a tensao admissivel ao cisalhamento de 40 MPa bem como o angulo de torgao de 0,75° por metro de comprimento. Sabendo-se que o modulo de elasticidade transversal do ago é€ G = 78 GPa determine: a) o diametro d, requerido para 0 eixo maci¢o; b) o diametro externo d, do eixo vazado se a espessura da parede do eixo for um décimo do diametro externo; Cc) arazao entre os diametros d,/d, e a razao entre os pesos dos eixos vazado e macigo. Fonte: [2] (a) © 19 Exemplo 2 Solugao: a) Verificagao da tensao atuante 3 6 a 205 +do _ ONT < 6111-10" — 40 tly d, Cat _ Taam d 3 _ 32 ° d, 253,4mm Verificagao do angulo de tor¢ao _ 1200-10° -1000 _ 156,71-10° Tdi, de “0.78.10? 0 32 156,71-10° _ 0,75: Ot ct => d,2588mm _ d, 180 d, =58,8mM (Resposta) 20 Exemplo 2 b) Verificagao da tensao atuante 10° -0.5- .10° -10° z,- 1200-10° -0,5-d, _ pO 35F 10 1, ST, 2 10,351 0 < 40 =. la,’ — (0,8d, y'] d, d 22 d, 2 63,7mm Verificagao do angulo de tor¢ao 1200-10° -1000 265,42 -10° "a ly_osaViaie 4 [d,* (0,8, )*|-78-10 0 32 3 269,42 10 Z 0,75-2 er ec anm d, 180 d, =67,1mm (Resposta) 21 Exemplo 2 c) Razao entre os diametros d, 67,1 — =— =],]4 d, 58,8 (Resposta) Razao entre os pesos Considerando 0 mesmo comprimento e mesmo material para os eixos 67 1’ —(0,8-67,1 | Prazato _ PD" (0, ; = 0,47 (Resposta) Pmacico 58,8 Torção em eixos de seção Torção em eixos de seção transversal não circular transversal não circular 22 Nos eixos de seção não circular ocorre o empenamento da seção e a distribuição de tensões não é linear Teoria da Elasticidade Fonte: [1] Fonte: [2] Solução pela 24 Tor¢cao em elxos de secao transversal nao circular Para barras de segao retangular uniforme - TABLE 3.1. Coefficients for Rectangular Bars in Torsion a = pt Pmax = 2 1.0 | 0.208 | 0.1406 r fn <s G c,ab 12 | 0.219 | 0.1661 | i TL Is 0.231 ODS _ 2.0 0.246 ; rac p= BG 2.5 0.258 0.249 tl C,a 3.0 | 0.267 | 0.263 4.0 0.282 0.281 5.0 0.291 0.291 10.0 0.312 0.312 CO 0.333 0.333 Para para secoes abertas com }{ grandes valores de a/b, a maxima | tensao de cisalhamento e o angulo <p ‘ \ de tor¢ao podem ser calculados b 4 b como se a secgao fosse retangular. | | => y Fonte: [1] ad id ad 25 Tor¢cao em elxos de secao transversal nao circular Forma da si é Outras secoes transversais secao transversal = Quadrada Fi aG aI Triaéneulo equilatero fs 207 46 TL rc a'G | a | Elipse bf = a7 (a + BTL | J mab" ro hG acta Fonte: [2] Cada barra de lataéo mostrada na figura . esta sujeita a um torque T = 100 N-m. _ les Sabendo-se que G = 39 GPa, determinar ner 45 mm para cada barra a maxima tensdo de a) 3 | py cisalhamento e o Angulo de torgao em B a eae - > B 7 a (- 2s 15mm Boe oes ig a — 25mm | ) —~__ Soe eo |? 900 om . Fonte: [1] 28 Exemplo 3 b) c,= 0,208 Y= 2 19 b 25 c,= 0,1406 ~ -J_- 100-10° ™ cab’ 0,208 -25-(25) Tmax = 30,8 MPa (Resposta) b= To 100-10° -900 c,ab’G 0,1406-25-(25) -39.10° @=42,0-10* rad (Resposta) 29 Eixos estaticamente indeterminados r To r Equagao de equilibrio A B — “<— 7,47 ,=T, (1) A L C L B . . . <v4e yg CB (estaticamente indeterminado) (2 incognitas, 1 eq.) Principio da Superposicao dos Efeitos T P07 T . Pei P po r a + et A C B A C B A C B Problema 1 Problema 2 PpitGpr=G,=0 (IT) 30 Exemplo 4 Exemplo 4 Os cilindros maciços AB e BC estão conectados em B e estão engastados em suportes fixos em A e em C. Sabendo que os módulos de rigidez são 25,5 GPa para o alumínio e 38,6 GPa para o latão, determine a máxima tensão de cisalhamento (a) no cilindro AB e (b) no cilindro BC. Ver solução no vídeo Fonte: [1] 31 Exemplo 5 Exemplo 5 O eixo é composto por uma seção maciça de aço AB e uma porção tubular feita de aço com núcleo de bronze. Se o eixo estiver preso a um apoio rígido A e for aplicado um torque T = 50 N·m a ele em C, determine o ângulo de torção que ocorre em C e calcule a tensão de cisalhamento máxima e a deformação por cisalhamento máxima no bronze e no aço. Considere Gaço = 80 GPa e Gbronze = 40 GPa. Fonte: [2] Ver solução no vídeo 32 Exercicios 1) O eixo maci¢go é submetido aos carregamentos de tor¢ao distribuidos e concentrados mostrados na figura. Determine o diametro d exigido para o eixo se a tensao de cisalhamento admissivel para o material for t,,,, = 175 MPa. Oo Che, 2kN-m/m a Ny > o> ~~ 0.4 m B <% my — 600 N-m ‘SS 0.4 we ’ 400 N-n Re d 0.3 m Resposta: d=34,4mm Fonte: [2] , 33 Exercicios 2) Um eixo escalonado ABCD consiste de segmentos circulares solidos e esta sujeito a agao de trés torques como mostrado na figura. O material do eixo € 0 ago com modulo de elasticidade transversal G = 80 GPa. (a) Calcule a maxima tensao de cisalhamento no eixo; (b) Calcule o Angulo de torgao $, na extremidade D. ae Nm 2000N.m_ ~~ 800 N.m | 80 mm |60 mm \ |40 mm \ D y B I cy k-—0.5 n—+b—05 nk os _ Fonte: [3] Respostas: (a) T,,;,=66 MPa (b) )=4,27X10 “rad 34 Exercícios Exercícios 3) Sabendo que T= 791 N·m e que G =38,6 GPa, determine para cada uma das barras de latão laminado a frio mostradas na fi gura a tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção na extremidade B. (a) 29,0 MPa, 0,509o (b) 35,8 MPa, 0,651o Respostas: Fonte: [1] 35 Exercícios Exercícios 4) Um eixo escalonado ACB de seção transversal circular tem suas extremidades A e B engastadas com mostrado na figura. Sabendo- se que a tensão de cisalhamento admissível é 43 MPa, determine qual o máximo torque T0 que pode ser aplicado em C. Resposta: Fonte: [3] T 0=672,5 N⋅m Referências Referências 36 [1] Beer, Ferdinand P.; Johnston Jr. E. Russel. (1995). Resistência dos Materiais. 3a ed. Pearson. Makron Books. São Paulo. HIBBELER, Russell Charles. Resistência dos materiais. 7.ed. ed. São Paulo : Pearson Prentice Hall, 2015. 637 . p. [2] GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos Materiais. Editora Cengage Learning, 2012. [3]