Mecanica do Medio Continuo - Conceitos Basicos - Eduardo Walter Vieira Chaves

Nomenclature III EDUARDO WALTER VIEIRA CHAVES Mecanica del Medio Continuo Conceptos Basicos Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO IV Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Presentación La Mecánica de los Medios Continuos es una materia clave de varias licenciaturas basadas en la ciencia física tales como Ingeniería de Caminos Ingeniería Industrial Meteorología Magnetismo Oceanografía Aerodinámica Hidrodinámica Ingeniería Marítima etc Este libro surgió de los apuntes de la asignatura de introducción a la Mecánica del Medio Continuo de la carrera de Ingenieros de Caminos Canales y Puertos de la Universidad de CastillaLa Mancha y está pensado para alumnos que están iniciando una carrera universitaria basada en la ciencia física y puede ser de gran utilidad para cursos de post grado Con el objetivo de aportar mayor claridad para los alumnos este libro presenta un detalle minucioso a la hora de las demostraciones de las expresiones En el momento de redactar el libro se ha tenido una gran preocupación por intentar unificar la nomenclatura existente y con este propósito se han consultado multitud de artículos y libros relacionados con el tema Con respecto a la notación el desarrollo de las expresiones y ecuaciones se presentan en notaciones tensorial indicial y en la notación de Voigt Otro aspecto a destacar es que el libro está autocontenido de forma que los conceptos empleados son definidos en el propio texto Con lo respecta esta tercera edición el libro ha sido revisado y reestructurado Finalmente querría expresar mi gratitud a Houzeaux Guillaume Vázquez Mariano Pulido Loli Benítez José María Casati María Jesus Vélez Eduardo Solares Cristina Olivares Miguel Ángel Escobedo Fernando Simarro Gonzalo Sanz Ana Gallego Inmaculada por la ayuda destinada a la revisión de la primera edición sin la cual este libro jamás hubiera salido a la luz Me gustaría agradecer también a dos profesores que marcaron mi carrera docente e investigadora Prof Xavier Oliver y Prof Wilson Venturini in memoriam Eduardo W V Chaves Ciudad Real 12 de noviembre de 2012 Presentacion Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO VI Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Contenido PRESENTACIÓNV CONTENIDOVII NOMENCLATURA XV ABREVIATURASXIX OPERADORESXX UNIDADESXXI INTRODUCCIÓN 1 1 LA MECÁNICA1 2 QUÉ ES LA MECÁNICA DEL CONTINUO1 21 Hipótesis de la Mecánica del Continuo 1 22 El Medio Continuo2 3 ESCALA DE ESTUDIO DE LOS MATERIALES3 31 Escala de Estudio de la Mecánica del Continuo 3 4 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO INICIAL6 41 Solución del Problema6 42 Simplificaciones del Problema 7 421 Simplificación desde del Punto de vista de la Cinemática7 422 Simplificación desde del Punto de vista del Material 7 423 Simplificación desde del Punto de vista de la Dimensión9 5 CONTENIDO DEL LIBRO9 1 TENSORES11 11 INTRODUCCIÓN 11 12 VECTORES 12 13 SISTEMA DE COORDENADAS18 131 Sistema de Coordenadas Rectangulares18 132 Representación de los Vectores en el Sistema de Coordenadas Cartesianas19 133 Convenio de Suma de Einstein22 14 NOTACIÓN INDICIAL23 141 Delta de Kronecker 25 142 Símbolo de Permutación26 15 OPERACIONES ALGEBRAICAS CON TENSORES31 151 Diádicas 31 1511 Representación de las Componentes de un Tensor de Segundo Orden en la Base Cartesiana36 152 Propiedades de los Tensores38 1521 Transpuesta38 1522 Simetría y Antisimetría39 1523 Cofactor de un Tensor Adjunta de un Tensor46 1524 Traza de un Tensor46 1525 Tensores Particulares48 Contenido Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS VIII 1526 Determinante de un Tensor50 1527 Inversa de un Tensor 53 1528 Tensores Ortogonales Transformación Ortogonal56 1529 Tensor Definido Positivo Definido Negativo y Tensor SemiDefinido57 15210 Descomposición Aditiva de Tensores 59 153 Ley de Transformación de las Componentes de Tensores61 1531 Transformada de Coordenadas en 2 Dimensiones67 154 Autovalores y Autovectores de un Tensor71 1541 Ortogonalidad de los Autovectores74 1542 Solución de la Ecuación Cúbica76 155 Representación Espectral de Tensores 79 156 Teorema de CayleyHamilton84 157 Módulo de un Tensor 86 158 Tensor Isótropo y Anisótropo 87 159 Tensores Coaxiales88 1510 Descomposición Polar89 1511 Derivada Parcial con Tensores91 15111 Derivada Parcial de los Invariantes93 15112 Derivada Temporal de Tensores94 1512 Tensor Esférico y Desviador95 15121 Primer Invariante del Tensor Desviador96 15122 Segundo Invariante del Tensor Desviador96 15123 Tercer Invariante del Tensor Desviador98 16 FUNCIONES DE TENSORES100 161 Series de Tensores 100 162 Función Isótropa de Tensores101 163 Derivada Parcial de Función de Tensores103 17 NOTACIÓN DE VOIGT106 171 Tensores Identidad en Notación de Voigt 107 172 Producto Escalar en Notación de Voigt108 173 Leyes de Transformación en Notación de Voigt 108 174 Representación Espectral en Notación de Voigt109 175 Tensor Desviador en Notación de Voigt110 18 CAMPO DE TENSORES 113 181 Campo Escalar114 182 Gradiente 114 183 Divergencia119 184 Rotacional 121 185 Campo Conservativo124 19 TEOREMAS CON INTEGRALES125 191 Integración por Partes125 192 Teorema de la Divergencia125 193 Independencia del Camino128 194 Teorema de KelvinStokes129 195 Identidades de Green131 110 COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS132 1101 Sistema de Coordenadas Cilíndricas132 1102 Sistema de Coordenadas Esféricas 135 APÉNDICE A REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR139 A1 INTRODUCCIÓN139 A2 PROYECCIÓN DE UN TENSOR DE SEGUNDO ORDEN SOBRE UNA DIRECCIÓN139 A21 Componente Normal y Tangencial139 A22 Máxima y Mínima Componente Normal141 A23 Máxima y Mínima Componente Tangencial de un Tensor Simétrico141 A3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR DE SEGUNDO ORDEN ARBITRARIO144 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición CONTENIDO IX A31 Representación Gráfica de un Tensor de Segundo Orden Simétrico Círculo de Mohr 149 A311 Obtención Gráfica del Vector Proyección en el Círculo de Mohr 152 A4 ELIPSOIDE DEL TENSOR 154 A5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA PARTE ESFÉRICA Y DESVIADORA 155 A51 Tensiones Octaédricas155 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO163 21 INTRODUCCIÓN 163 22 EL MEDIO CONTINUO164 221 Tipos de Movimientos 165 2211 Movimiento de Cuerpo Rígido165 222 Tipos de Configuraciones del Medio Continuo167 2221 Densidad de Masa168 23 DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO169 231 Coordenadas Materiales y Espaciales169 232 Vector Desplazamiento170 233 Vector Velocidad170 234 Vector Aceleración 170 235 Descripción Lagrangiana y Euleriana 170 2351 Descripción Material o Lagrangiana del Movimiento170 2352 Descripción Espacial o Euleriana del Movimiento171 2353 Variables Lagrangianas y Eulerianas171 24 DERIVADA MATERIAL 176 241 Velocidad y Aceleración Euleriana178 242 Campo Estacionario179 243 Línea de Corriente 181 25 GRADIENTE DE DEFORMACIÓN 183 251 Introducción 183 252 Estiramiento y Alargamiento Unitario183 253 Gradiente de Deformación Material y Espacial184 254 Tensor Gradiente de los Desplazamientos Material y Espacial188 255 Derivada Material del Gradiente de Deformación Derivada Material del Determinante del Jacobiano192 2551 Derivada Material de F Tensor Gradiente Espacial de Velocidad192 2552 Tensor Tasa de Deformación y Tensor Spin 193 2553 Derivada Material de F 1 195 2554 Derivada Material del Determinante del Jacobiano196 26 TENSORES DE DEFORMACIÓN FINITA198 261 Tensor Material de Deformación199 262 Tensor Espacial de Deformación Tensor de Deformación de Almansi204 263 Tasas de los Tensores de Deformación206 2631 Tasa del Tensor Derecho de Deformación de CauchyGreen206 2632 Tasa del Tensor de Deformación de GreenLagrange 206 2633 Tasa del Tensor C 1 207 2634 Tasa del Tensor Izquierdo de Deformación de CauchyGreen207 2635 Tasa del Tensor de Deformación de Almansi208 2636 Relación entre la Tasa del Tensor de Deformación de Almansi y el Tensor Tasa de Deformación208 264 Interpretación Física de los Tensores de Deformación210 2641 Relaciones entre Tensores de Deformación Estiramiento y Alargamiento Unitario211 2642 Variación de Ángulo213 2643 Interpretación Física de las Componentes de los Tensores de Deformación Tensor Derecho de Estiramiento214 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS X 27 CASOS PARTICULARES DEL MOVIMIENTO 216 271 Deformación Homogénea216 272 Movimiento de Cuerpo Rígido216 28 DESCOMPOSICIÓN POLAR DE F 220 281 Representación Espectral de los Tensores de Deformación222 282 Evolución de la Descomposición Polar228 283 Tasas de los Tensores de Deformación en Función de los Estiramientos 233 29 DEFORMACIÓN DE ÁREA Y DE VOLUMEN 241 291 Deformación del Diferencial de Área 241 2911 Derivada Material del Diferencial de Área 243 292 Deformación del Diferencial de Volumen244 2921 Derivada Material del Diferencial de Volumen246 2922 Deformación Volumétrica 246 2923 Deformación Isocórica Incompresibilidad246 210 DOMINIOS MATERIALES Y DOMINIOS DE CONTROLES247 2101 Dominios Materiales247 2102 Dominios de Controles 248 211 ECUACIONES DE TRANSPORTE 249 212 CIRCULACIÓN Y VORTICIDAD 250 213 DESCOMPOSICIÓN DEL MOVIMIENTO EN UNA PARTE ISOCÓRICA Y OTRA VOLUMÉTRICA252 2131 Invariantes Principales254 214 DEFORMACIÓN INFINITESIMAL255 2141 Tensores de Deformación y Spin Infinitesimales 257 2142 Estiramiento Alargamiento Unitario259 2143 Variación de Ángulo 259 2144 Interpretación Física del Tensor de Deformación Infinitesimal260 21441 Deformación Ingenieril261 2145 Deformación Volumétrica Lineal 264 2146 Caso Bidimensional Deformación Plana 265 2147 Tensor de Deformación Infinitesimal en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas265 21471 Coordenadas Cilíndricas265 21472 Coordenadas Esféricas 265 215 OTRAS MEDIDAS DE DEFORMACIÓN 269 2151 Motivación269 2152 Tensor de Deformación Logarítmica271 2153 Tensor de Deformación de Biot272 2154 Unificación de los Tensores de Deformación 272 2155 Las Medidas de Deformación en Una Dimensión 1D273 21551 Deformación de Cauchy o Ingenieril o Deformación Lineal273 21552 Deformación Logarítmica o Deformación de Hencky o Deformación Verdadera273 21553 Deformación de GreenLagrange274 21554 Deformación de Almansi274 21555 Deformación de Swaiger274 21556 Deformación de Kuhn 274 3 TENSIONES 277 31 INTRODUCCIÓN277 32 FUERZAS277 321 Fuerzas de Superficie 278 322 Fuerzas Gravitatorias278 33 TENSORES DE TENSIONES279 331 Tensor de Tensiones de Cauchy 280 3311 Vector Tensión 280 3312 Postulado Fundamental de Cauchy 281 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición CONTENIDO XI 34 RELACIONES ENTRE EL VECTOR TENSIÓN Y EL TENSOR DE TENSIONES284 341 Convenio de Signos285 342 Tensión y Presión Media Estado Hidrostático 286 343 Otras Medidas de Tensión295 3431 Primer Tensor de Tensiones de PiolaKirchhoff 295 3432 Tensor de Tensiones de Kirchhoff296 3433 Segundo Tensor de Tensiones de PiolaKirchhoff297 3434 Tensor de Tensiones de Biot 297 3435 Tensor de Tensión de Mandel298 344 Representación Espectral de los Tensores de Tensiones300 35 ECUACIÓN DE EQUILIBRIO 302 351 Ecuación de Equilibrio en Notación de Voigt304 352 Ecuación de Equilibrio en la Descripción Material304 36 SIMETRÍA DEL TENSOR DE TENSIONES DE CAUCHY305 37 TENSIONES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS 309 371 Coordenadas Cilíndricas 309 3711 Ecuación de Equilibrio en Coordenadas Cilíndricas309 372 Coordenadas Esféricas313 3721 Ecuación de Equilibrio en Coordenadas Esféricas 314 38 ESTADO TENSIONAL EN DOS DIMENSIONES318 381 Tensión Plana318 382 Ecuaciones de Equilibrio en 2D319 3821 Ecuaciones de Equilibrio en Coordenadas Polares319 383 Ley de Transformación en 2D320 384 Tensiones y Direcciones Principales en 2D324 385 Círculo de Mohr en 2D329 4 OBJETIVIDAD DE TENSORES 335 41 INTRODUCCIÓN 335 42 OBJETIVIDAD DE TENSORES336 421 Tensor Gradiente de Deformación339 422 Tensores de Deformación340 423 Tensores de Tensiones341 43 TASAS DE TENSORES343 431 Tasas Objetivas de Tensores344 4311 Tasa Convectiva345 4312 Tasa de Oldroyd345 4313 Tasa de CotterRivlin346 4314 Tasa de JaumannZaremba347 4315 Tasa de GreenNaghdi o Tasa Polar348 432 Tasas Objetivas de Tensores de Tensiones 348 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO353 51 INTRODUCCIÓN 353 52 DENSIDAD354 521 Densidad de Masa354 53 FLUJO 355 54 TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS356 541 Teorema del Transporte de Reynolds para un Volumen con Discontinuidades357 55 LEY DE CONSERVACIÓN 359 56 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD DE MASA 360 561 Ecuación de Continuidad en la Descripción Material362 562 Medio Incompresible 364 563 Ecuación de Continuidad de Masa para Volumen con Discontinuidades364 57 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL ECUACIONES DE MOVIMIENTO366 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS XII 571 Momento Lineal366 572 Principio de la Conservación del Momento Lineal366 573 Ecuaciones de Movimiento para Volumen con Discontinuidades 369 58 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR SIMETRÍA DEL TENSOR DE TENSIONES DE CAUCHY 371 581 Momento Angular 371 582 Principio de la Conservación del Momento Angular371 59 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA ECUACIÓN DE ENERGÍA376 591 Energía Cinética376 592 Potencia Mecánica Potencia Tensional377 593 Teorema de las Fuerzas Vivas 380 594 Energía Interna 382 595 Potencia Calorífica383 596 Primer Principio de la Termodinámica Ecuación de Energía384 5961 Ecuación de Energía en la Descripción Material385 597 Ecuación de Energía para Volumen con Discontinuidades387 510 PRINCIPIO DE LA IRREVERSIBILIDAD DESIGUALDAD DE ENTROPÍA389 5101 Consideraciones Termodinámicas389 5102 Segundo Principio de la Termodinámica389 5103 Desigualdad de ClausiusDuhem391 5104 Desigualdad de ClausiusPlanck392 5105 Forma Alternativa de la Desigualdad de ClausiusDuhem393 5106 Forma Alternativa de la Desigualdad de ClausiusPlanck394 5107 Procesos Reversibles395 5108 Desigualdad de Entropía para Volumen con Discontinuidad 395 511 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO398 5111 Casos Particulares399 51111 Movimiento de Sólido Rígido399 51112 Problemas de Flujo 400 512 PROBLEMAS DE FLUJO401 5121 Transferencia de Calor401 51211 Conducción Térmica401 51212 Convección Térmica402 51213 Radiación 403 51214 Ecuación de Flujo de Calor 403 5122 Flujo de Fluido en Medio Poroso filtración407 5123 Ecuación ConvecciónDifusión408 5124 Generalización del Problema de Flujo411 513 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO INICIAL PVCI Y LA MECÁNICA COMPUTACIONAL411 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 415 61 INTRODUCCIÓN415 62 PRINCIPIOS CONSTITUTIVOS417 621 El Principio del Determinismo418 622 El Principio de la Acción Local418 623 El Principio de la Equipresencia418 624 El Principio de la Objetividad 418 625 El Principio de la Disipación418 63 CARACTERIZACIÓN DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA UN MATERIAL SIMPLE419 64 CARACTERIZACIÓN DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA UN MATERIAL TERMOVISCOELÁSTICO 426 641 Ecuaciones Constitutivas con Variables Internas430 65 EVIDENCIAS EXPERIMENTALES435 651 Comportamiento de los Sólidos435 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición CONTENIDO XIII 6511 Efecto de la Temperatura437 6512 Ensayos y Propiedades Mecánicas del Material 437 652 Comportamiento de los Fluidos447 6521 Viscosidad 447 653 Materiales Viscoelásticos448 654 Modelos Reológicos 449 7 ELASTICIDAD LINEAL 453 71 INTRODUCCIÓN 453 72 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELÁSTICO LINEAL 454 721 Ecuaciones de Gobierno 454 722 Condiciones de Contorno e Iniciales455 73 LEY DE HOOKE GENERALIZADA455 731 Ley de Hooke Generalizada en la Notación de Voigt 456 732 Ley de Transformación para la Ley de Hooke Generalizada457 7321 Matriz de Transformación de los Tensores de Tensión y de Deformación458 7322 Matriz de Transformación del Tensor de Propiedades Elásticas459 74 TENSOR CONSTITUTIVO ELÁSTICO 460 741 Anisotropía e Isotropía 460 742 Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico461 7421 Simetría Triclínica 461 7422 Simetría Monoclínica Un Plano de Simetría461 7423 Simetría Ortótropa Dos Planos de Simetría 462 7424 Simetría Tetragonal463 7425 Simetría Transversalmente Ortótropa Simetría Hexagonal465 7426 Simetría Cúbica467 7427 Simetría en Todas Direcciones Isotropía 468 75 MATERIAL ISÓTROPO470 751 Ley Constitutiva 470 752 Determinación de las Constantes Elásticas 472 7521 Módulo de Elasticidad Longitudinal Coeficiente de Poisson472 7522 Módulo de Elasticidad Transversal Módulo de Deformación Volumétrica 474 753 Tensor Acústico Elástico477 76 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN479 761 Descomposición de la Energía de Deformación481 77 LEY CONSTITUTIVA PARA MATERIAL ORTÓTROPO485 78 MATERIAL TRANSVERSALMENTE ORTOGONAL485 79 TEOREMA DE LA SUPERPOSICIÓN PRINCIPIO DE SAINTVENANT487 710 DEFORMACIÓN Y TENSIÓN INICIALES 488 7101 Deformación Térmica488 711 ECUACIONES DE NAVIER490 712 ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL 492 7121 Estado de Tensión Plana492 71211 Deformación Inicial494 7122 Estado de Deformación Plana494 71221 Deformación Térmica497 7123 Sólidos de Revolución499 713 APLICACIONES DE LA ELASTICIDAD LINEAL A ELEMENTOS ESTRUCTURALES 502 7131 Elementos Estructurales Unidimensionales502 71311 Esfuerzo Normal y Momento Flector503 71312 Esfuerzo Cortante y Momento Torsor 505 71313 Energía de Deformación 506 7132 Placas a Flexión507 71321 Hipótesis y Relaciones Básicas de la Teoría de Kirchhoff507 71322 Campo de Desplazamientos507 71323 Campo de Deformación509 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS XIV 71324 Campo de Tensión509 71325 Esfuerzos de Placas510 71326 Ecuación Diferencial de Placas511 71327 Esfuerzo Cortante Equivalente513 71328 Condición de Contorno 514 71329 Esfuerzos según un Sistema Genérico de Coordenadas515 713210 Ecuaciones de Placas en Coordenadas Polares 518 7133 Torsión de SaintVenant 522 BIBLIOGRAFÍA 525 ÍNDICE TEMÁTICO533 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Nomenclatura A X t r r Aceleración configuración de referencia A Matriz de transformación de base x t a r r Aceleración configuración actual 0 B Medio continuo en la configuración de referencia en t 0 B Medio continuo en la configuración actual en t B Contorno de B xr t r b Fuerzas másicas por unidad de masa b Tensor izquierdo de deformación de CauchyGreen tensor de deformación de Finger B Tensor de deformación de Piola B Entropía creada interiormente b Manantial de entropía local por unidad de masa y por unidad de tiempo e C Tensor constitutivo elástico C Matriz elástica notación de Voigt in C Tensor constitutivo inelástico c Tensor de deformación de Cauchy v C Calor específico a volumen constante p C Calor específico a presión constante c Cohesión cc Concentración C Tensor derecho de deformación de CauchyGreen V D Deformación volumétrica D Tensor velocidad de deformación o tensor tasa de deformación o tensor tasa de deformación Euleriana o tensor estiramiento A r d Diferencial de área en la configuración de referencia ar d Diferencial de área en la configuración actual dV Diferencial de volumen E Tensor material de deformación GreenLagrange tensor de deformación de Green tensor de deformación GreenSt Venant e Tensor de deformación finita Euleriana o tensor de deformación de Almansi E Módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young i eˆ Base Cartesiana en notación simbólica i j k ˆ ˆˆ Base Cartesiana F Gradiente de deformación G Módulo de elasticidad transversal Notacion Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS XVI H Tensor de deformación de Biot H Entropía HO r Momento angular J Jacobiano X t r J Tensor gradiente espacial de los desplazamientos j xr t Tensor gradiente material de los desplazamientos K Tensor de conductividad térmica K Energía cinética L r Cantidad de movimiento lineal l Tensor gradiente espacial de velocidad m Masa total M Tensor de tensiones de Mandel nˆ Vector unitario normal a una superficie configuración actual Nˆ Vector unitario normal a una superficie configuración de referencia pr Fuerza por unidad de volumen P Primer tensor de tensiones de PiolaKirchhoff tensor de tensiones nominales o tensor de tensiones Lagrangiano p Presión media p Presión termodinámica Pt Potencia mecánica rq xr t Flujo de calor o vector del flujo no convectivo Q Tensor ortogonal Q Potencia calorífica r xr t Función escalar que describe en forma espacial el calor generado por las fuentes internas por unidad de masa R Tensor ortogonal de la descomposición polar S Segundo tensor de tensiones de PiolaKirchhoff sr Flujo de entropía T Tensor de tensiones de Biot ˆ ˆ n t n xr t r Vector tracción configuración de referencia ˆ 0 t N r Pseudo vector tensión configuración de referencia T xr t Temperatura t Tiempo 0 0 t t Tiempo inicial U Potencia tensional u Energía interna específica o densidad de energía interna ru xr t Vector desplazamiento U Tensor derecho de estiramiento o tensor de estiramiento Lagrangiano o tensor de estiramiento material V Tensor izquierdo de estiramiento o tensor de estiramiento Euleriano o tensor de estiramiento espacial V X t r r Velocidad configuración de referencia x t v r r Velocidad configuración actual W Tensor spin o tensor velocidad de rotación X r Vector posición coordenada material xr Vector posición coordenada espacial Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición NOTACIÓN XVII α Coeficiente de transferencia térmica de calor convectivo por unidad de área ij δ Delta de Kronecker 3 2 1 ε ε ε Deformaciones principales ε Alargamiento unitario ijk Símbolo de permutación componentes del tensor LeviCivita V ε Deformación volumétrica para pequeñas deformaciones ε Tensor de deformación infinitesimal η Densidad de entropía por unidad de masa y por unidad de tiempo κ Módulo de deformación volumétrico κ Difusividad térmica λ Estiramiento λµ Constante de Lamé λˆ Multiplicador de Lagrange ν Coeficiente de Poisson ρ Densidad de masa S ρ Densidad de masa de la solución f ρ Densidad de masa del fluido 0 xr t ρ Densidad de masa en la configuración de referencia ρ xr t Densidad de masa en la configuración actual σ Tensor de tensiones de Cauchy o tensor de tensiones verdaderas N σr Componente normal del vector tracción S σr Componente tangencial del vector tracción m σ Tensión media 3 2 1 σ σ σ Tensiones principales oct σr Tensión normal octaédrica oct τr Tensión tangencial octaédrica o tensión de corte octaédrica τmax Tensión de corte máximo τ Tensor de tensiones de Kirchhoff φ Ángulo de fricción interno ψ Energía libre de Helmholtz por unidad de masa Ψ Energía libre de Helmholtz por unidad de volumen Ψ e Ψ ε Densidad de energía de deformación ψ Ángulo de dilatancia Ω Tensor tasa del tensor de rotación material ωr Tensor de vorticidad III II I Primer segundo y tercer invariantes del tensor Dt D Derivada material de r Vector ˆ Vector unitario versor 1 Tensor identidad de segundo orden I Tensor identidad de cuarto orden Isym I Parte simétrica del tensor identidad de cuarto orden Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS XVIII Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Abreviaturas PVCI Problema de Valor de Contorno Inicial PVC Problema de Valor de Contorno MEF Método de los Elementos Finitos MEC Método de los Elementos de Contorno MDF Método de las Diferencias Finitas Latin ie id est es decir et al et alii y otros eg exempli gratia por ejemplo etc et cetera y así sucesivamente v vs versus versus viz vidilicet a saber Abreviaturas Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Operadores 2 paréntesis de MacAuley norma Euclidiana de Tr traza de T transpuesta de 1 inversa de T inversa de la transpuesta de sym parte simétrica de anti parte antisimétrica de esf parte esférica de o parte hidrostática dev parte desviadora de módulo de salto de producto escalar det determinante de cof Cofactor de Adj adjunta de Tr traza de doble producto escalar 2 operador diferencial escalar Laplaciano producto tensorial grad gradiente de div divergencia de producto vectorial Operadores Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Unidades longitud m metro energía trabajo calor J Nm Joules masa kg kilogramo potencia W s J Vatio tiempo s segundo coeficiente de transferencia de calor m K W 2 temperatura K Kelvin permeabilidad 2 m velocidad s m viscosidad dinámica s Pa aceleración s2 m tasa de flujo s m3 energía J Nm Joules conductividad térmica mK W fuerza N Newton frecuencia s Hz 1 Hertz presión tensión m2 Pa N Pascal densidad de masa m3 kg densidad de energía m3 J Prefijo Símbolo Potencia 10 Prefijo Símbolo Potencia 10 pico p 12 10 kilo k 3 10 nano η 9 10 Mega M 6 10 micro µ 6 10 Giga G 9 10 mili m 3 10 Tera T 12 10 centi c 2 10 deci d 10 Unidades SI Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición A THREE DIMENSIONAL SETTING FOR STRONG DISCONTINUITIES MODELLING IN FAILURE MECHANICS XXII Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Introducción 1 La Mecánica La Mecánica es la rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos y su evolución en el tiempo bajo acción de fuerzas La Mecánica se puede dividir en Mecánica Teórica Mecánica Aplicada Mecánica Computacional La Mecánica Teórica establece las leyes y principios fundamentales La Mecánica Aplicada transfiere los conocimientos teóricos para aplicarlos a problemas científicos e ingenieriles La Mecánica Computacional resuelve problemas específicos mediante la simulación a través de herramientas numéricas implementadas en el ordenador 2 Qué es la Mecánica del Continuo La mecánica del continuo es la parte de la mecánica que trata del estudio del movimiento deformación o tasa de deformación de un medio constituido por materia bajo la acción de fuerzas Por ejemplo cómo se deformaría una viga de madera y cómo se deformaría dicha viga si fuese de hormigón En el caso de fluidos para una presión dada cómo fluye el agua o el aceite en una tubería 21 Hipótesis de la Mecánica del Continuo Como es sabido un cuerpo físico consiste de pequeñas moléculas aglomeración de dos o más átomos A través de experimentos sofisticados podemos observar que estos elementos constituyentes no están distribuidos homogéneamente es decir existen huecos entre ellos En el estudio de la mecánica del medio continuo estos fenómenos no se consideran Para tratar un fluido con las hipótesis de la mecánica del medio continuo las propiedades densidad de masa presión y velocidad son funciones continuas La forma de tratar un sistema de moléculas como un medio continuo es válida cuando se compara el Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 2 camino libre medio de las moléculas Λ con la longitud característica del sistema físico l Al cociente entre estas longitudes l Λ se le denomina número de Knudsen Kn Si este número es mucho menor que la unidad el dominio puede ser tratado como medio continuo aproximación microscópica 1 aproximación macroscópica 1 Λ Λ l l Kn Kn Por ejemplo para los sólidos y los líquidos Λ 107 cm y para los gases Λ 106 cm Chung 1996 Las hipótesis básicas de la mecánica del medio continuo son la materia que constituye el medio está distribuida de forma continua y las variables involucradas en el problema velocidad aceleración presión densidad de masa etc son continuas A través de aproximaciones razonables o de ecuaciones adicionales al problema inicialmente propuesto podemos caracterizar un medio continuo con variables discontinuas asociadas al problema Ejemplos que pueden presentar discontinuidades podemos citar problema de fractura ondas de choques entre otros 22 El Medio Continuo Desde de un punto de vista muy general cuando aplicamos una fuerza a un sólido este es capaz de recuperar su estado inicial cuando quitamos la fuerza En el caso de los líquidos esto no pasa Por ello tradicionalmente la mecánica del medio continuo fue dividida en dos grandes grupos Sólidos y Fluidos líquido o gas Durante muchas décadas la Mecánica de Sólidos y la Mecánica de Fluidos han caminado paralelamente sin que hubiera interacción entre ellas En la actualidad eso ya no debería pasar por varias razones Una de las razones es por la necesidad de simular materiales más complejos materiales que poseen características de sólidos y de fluidos simultáneamente Estos materiales además de presentar propiedades elásticas obedeciendo las leyes constitutivas de sólidos también presentan características de fluidos Como ejemplo de dichos materiales podemos mencionar los materiales Viscoelásticos Otra razón que ha llevado al estrechamiento de la relación FluidoSólido fue la necesidad de simular problemas de interacción FluidoEstructura En la actualidad ha surgido otra rama de la mecánica del continuo que está relacionado con los problemas Multifísicos que están caracterizados con el cambio de fase cambio de la fase sólida a la fase líquida o viceversa donde se incluye sistemas mecánicos que transcienden los contornos clásicos de la mecánica de sólidos y de fluidos Con eso tradicionalmente se divide el medio continuo como os Multifísic Gas Líquido Fluido Sólido Medio Continuo Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 Escalas de Estudio de los Materiales Según Willam2000 la ciencia de los materiales puede ser estudiada en diferentes escalas ver Figura 1 a saber Nivel métrico La mayoría de los problemas de ingeniería civil mecánica y aeroespacial Nivel milimétrico En este nivel se pueden inscribir las probetas utilizadas para medir las características mecánicas de los materiales en el laboratorio Nivel micrométrico Características microestructurales tales como microdefectos y productos de la hidratación del cemento son observados en esta escala Nivel nanométrico En este nivel se contemplan los procesos moleculares y atómicos Figura 1 Multiescalas en la mecánica de los materiales Willam2000 31 Escala de Estudio de la Mecánica del Continuo La mecánica del Medio Continuo está planteada a un nivel macroscópico Es decir las variables del problema a nivel macroscópico se consideran como un promedio de estas variables a nivel mesoscópico Valga como ejemplo la sangre que se puede modelar de Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 4 diferentes maneras dependiendo de la escala que estamos considerando En la escala 106 m consideramos el flujo de sangre alrededor de una célula sanguínea en la escala 104 m consideramos el flujo de fluido a través de un conjunto de células sanguíneas pudiéndose observar los efectos del fluido sobre las células a una escala 103 m macroscópica podemos considerar el flujo de fluido a través de las arterias o venas ignorando las células individualmente y considerando la sangre como un fluido que presenta ciertas propiedades macroscópicas velocidad presión etc ver Figura 2 Figura 2 Niveles de escala de la sangre Otro ejemplo sería un material formado por mezclas de materiales como por ejemplo el hormigón que está formado básicamente por la mezcla de cemento áridos y agua En la escala 109 m podemos distinguir la estructura atómica del cemento y de los áridos En la escala 106 m es posible identificar los granos individuales de cemento antes de la hidratación pudiéndose apreciar tras la hidratación los granos de silicato de calcio e hidróxido de calcio En la escala milimétrica 103 m distinguimos individualmente cada uno de los áridos y los poros huecos En este nivel la interacción entre partes de cemento y áridos es importante En la escala métrica 10m y en la escala de laboratorio m 1 se puede considerar la estructura interna del material de tal manera que sus propiedades sean idénticas en todos los puntos y en todas direcciones del sólido caracterizando así un material homogéneo e isótropo flujo de sangre en una arteria Escala macro 103m Escala Meso 104 m Escala Micro 105 m Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición INTRODUCCIÓN 5 Otro ejemplo para comprender la escala en la que está planteada la mecánica del medio continuo es a través de la medida de la densidad de masa ρ que es una variable macroscópica para la mecánica del continuo Podemos determinar la densidad de masa de un medio continuo a partir de la densidad de masa de un cubo dividiendo la masa del cubo de lado a por su volumen Consideremos un cubo de lado a de menor volumen que el anterior En la Figura 3b se puede observar que dependiendo de la posición del nuevo cubo se obtiene distintos valores de la densidad de masa ya que dependiendo de la posición considerada el cubo contendrá distintas cantidades de materia y de huecos Figura 3 Medida de la densidad de masa Es decir si vamos variando la dimensión de a desde valores muy pequeños notaremos que el valor de la densidad de masa oscilará ver Figura 4 Sin embargo habrá un intervalo en la dimensión de a en el que el valor de la densidad de masa se mantendrá constante La mecánica del medio continuo está planteada en este intervalo Podemos extender la mecánica del medio continuo a otras escalas añadiendo ciertas consideraciones como por ejemplo el denominado efecto de escala Figura 4 Densidad de masa loga ρ Escala de la mecánica del continuo a a a a cubo con menos materia más vacíos cubo con más materia menos vacíos a b Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 4 Problema de Valor de Contorno Inicial La mecánica del medio continuo partiendo de ciertas hipótesis intenta formular las ecuaciones que gobiernan un problema físico dado a través de ecuaciones en derivadas parciales A estas ecuaciones hay que añadir las condiciones de contorno e iniciales resultando así un Problema de Valor de Contorno Inicial PCVI ver Figura 5 Para problemas estáticos o cuasi estáticos el PVCI se convierte en un Problema de Valor de Contorno PVC donde las condiciones iniciales son redundantes Figura 5 Planteamiento y solución del problema 41 Solución del Problema Una vez que el problema físico está planteado llega el momento de obtener la solución del problema La solución del PVCI puede ser Analítica solución exacta o Numérica solución aproximada ver Figura 5 La obtención de la solución analítica del PVCI en la mayoría de los casos es muy complicada o imposible por presentar complejidad en la geometría o en las cargas o en las condiciones de contorno por lo que recurrimos a la solución numérica del PVCI La solución analítica para problemas sencillos es muy importante ya que nos sirve de referencia para indicar el grado de aproximación precisión de la técnica numérica empleada Entre las técnicas numéricas más utilizadas para la solución del PVCI podemos citar Método de las Diferencias Finitas MDF Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Método de los Elementos Finitos MEF Método de los Elementos de Contorno MEC Método del Volumen Finito MVF Método sin malla entre otros De forma general todas las técnicas transforman el problema planteado de forma continua en un sistema discretos de ecuaciones No podemos decir que una de las técnicas citadas anteriormente sea la mejor Primero debemos preguntarnos qué problema queremos resolver Dependiendo del tipo del problema una técnica es mejor que otra e incluso una combinación de distintas técnicas también puede ser empleada para optimizar la solución El método de las diferencias finitas se basa en discretizar el dominio en puntos donde son válidas las ecuaciones de gobierno del problema El MDF fue la primera en surgir hoy aún se utiliza esta técnica en problemas donde se producen problemas de estabilización del problema y para la discretización en el tiempo El método de los elementos finitos se basa en discretizar el dominio en subdominios denominados elementos finitos donde las ecuaciones de gobierno son válidas Su grado de precisión en la solución es mejor que MDF Hoy por hoy la técnica del MEF es la más utilizada y difundida en el ámbito de la mecánica de sólidos En el método de los elementos de contorno se discretiza solamente el contorno del dominio Desde de un punto de vista de la aproximación de la solución es más preciso que el MEF para el caso de problema elástico Cuando el dominio a discretizar es infinito o semiinfinito es también más ventajoso que el MEF El MEC tiene su desventaja en los problemas nolineales donde se necesita una discretización del dominio en células De forma general el PVCI contiene variables espaciales desplazamientos presión etc y variables temporales las tasas de las variables espaciales por ello para la solución numérica necesitamos hacer una discretización espacial dominio y una discretización temporal tiempo Como ejemplo para la discretización espacial podemos emplear la técnica de los elementos finitos y para la discretización temporal podemos emplear otra técnica como el MDF 42 Simplificaciones del Problema 421 Simplificación desde del Punto de vista de la Cinemática Un medio continuo sometido a una acción fuerza presenta una determinada respuesta desplazamiento velocidad En general la relación fuerzadesplazamiento es nolineal teoría de grandes deformaciones Sin embargo dependiendo de la magnitud de la acción la relación entre fuerzadesplazamiento puede ser lineal Esta relación se cumple cuando el sólido está sometido a pequeños desplazamientos teoría de pequeñas deformaciones De esta manera podemos clasificar el problema desde del punto de vista de la cinemática como perteneciente a la Teoría de Grandes Deformaciones Teoría de Pequeñas Deformaciones 422 Simplificación desde del Punto de vista del Material Experimentalmente se verifica que distintos materiales sometidos a una misma acción presentan una respuesta completamente distinta Por ejemplo una viga de madera se Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición deformará de forma distinta a una viga de hormigón por lo que cada material estará representado matemáticamente por una ley denominada Ecuaciones Constitutivas o Leyes Constitutivas Para una real caracterización de los materiales es necesario entender bien el comportamiento de los materiales que constituyen el medio continuo La evolución de un mejor entendimiento del comportamiento de los materiales está directamente ligada a la precisión de la instrumentación utilizada en los ensayos de laboratorio de dichos materiales Con respecto a la respuesta del material las leyes constitutivas pueden ser Elasticidad Lineal Hiperelasticidad elasticidad nolineal Plasticidad Viscoelasticidad Viscoplasticidad entre otras Para la Mecánica de Sólidos esbozamos dichas simplificaciones en la Figura 6 Figura 6 Visión general de la mecánica de sólidos Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición INTRODUCCIÓN 9 423 Simplificación desde del Punto de vista de la Dimensión Ciertos problemas por presentar ciertas características geométricas y ciertas características de cargas pueden ser tratados como problemas planos bidimensionales e incluso como unidimensionales reduciendo enormemente el problema a resolver Con estas aproximaciones en ciertos casos es hasta posible obtener la solución analíticamente solución exacta Es responsabilidad del ingeniero determinar cuando esas aproximaciones son aceptables o no para un problema dado POr ello una base sólida de la teoría general es extremadamente importante 5 Contenido del Libro Este libro está dividido en siete capítulos En el capítulo 1 una especial atención es dada a los tensores el cual es esencial para el desarrollo de la Mecánica del Medio Continuo y donde se introducen las nomenclaturas empleadas en el libro En el capítulo 2 se hace un análisis del movimiento del continuo planteando así los tensores de deformación En el capítulo 3 se introduce el concepto de fuerzas y de tensores de tensiones así como sus particularidades En el capítulo 4 introducimos la objetividad de tensores En el capítulo 5 planteamos los cinco principios fundamentales de la Mecánica del Medio Continuo principio de la conservación de la masa principio de la conservación del momento lineal principio de la conservación del momento angular principio de la conservación de la energía y el principio de la irreversibilidad En el capítulo 6 introducimos las ecuaciones constitutivas y las condiciones que tienen que satisfacer dichas ecuaciones desde del punto de vista de la mecánica del continuo y el capítulo 7 está dedicado al estudio de los problemas que caen en el ámbito de la elasticidad lineal Los sietes capítulos mencionados anteriormente proporcionan al lector una buena base para el desarrollo de otros modelos constitutivos tales como Hiperelasticidad Hipoelasticidad Plasticidad Viscoelasticidad Viscoplasticidad Mecánica del Daño entre otros cuyos temas son abordados en el libro Mecánica del Medio Continuo Modelos Constitutivos ver Chaves 2009 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 10 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 Tensores 11 Introducción Muchos fenómenos físicos se representan matemáticamente mediante Tensores los cuales por necesidad son representados en un sistema de referencia de este modo surge el concepto de componentes del tensor Si bien los tensores son independientes del sistema de referencia las componentes serán dependientes y variarán con éste Los tensores pueden ser clasificados según su orden como Escalar Tensor de orden 0 Cantidad que tiene magnitud pero no dirección ejemplo densidad de masa temperatura presión Los escalares pueden ser funciones del espacio y del tiempo y no necesariamente han de ser constantes Vector Tensor de orden 1 Cantidad que tiene magnitud y dirección ejemplo velocidad aceleración fuerza Será simbolizado por una letra en negrita con una flecha en la parte superior del tensor ie r Tensor de segundo orden Tensor de orden 2 Cantidad que tiene magnitud y dos direcciones ejemplo tensión deformación Será simbolizado por una letra en negrita Para los tensores de órdenes superiores también usaremos letras en negrita Este capítulo trata del estudio detallado de los tensores escalar vector tensor de segundo orden y de orden superior y de algunas herramientas matemáticas que darán soporte al desarrollo de las teorías que se exponen en los capítulos posteriores Primeramente revisaremos algunas operaciones de vectores independientemente del sistema de coordenadas A continuación introduciremos el sistema de coordenadas rectangulares para expresar las componentes de un vector en dicho sistema Una vez definido el sistema de referencia podremos expresar las operaciones con vectores tan sólo Tensores 1 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 12 en función de sus componentes Por último expondremos la notación indicial por su simplicidad y fácil manipulación matemática Posteriormente estudiaremos los tensores de orden superior poniendo especial énfasis en los tensores de segundo orden Para finalizar plantearemos los campos de tensiones y los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas 12 Vectores A continuación presentamos algunas operaciones entre vectores en el espacio vectorial tridimensional Euclidiano E Suma Sean los vectores ar y b r pertenecientes al espacio de vectores La suma de los mismos ver Figura 11a será otro vector cr dado por a b b a c r r r r r 11 Figura 11 Suma y resta de vectores Resta La resta de dos vectores ar b r ver Figura 11b será otro vector d r dado por b a d r r r 12 Para los vectores ar b r y cr pertenecientes al espacio de vectores se cumplen las siguientes relaciones c b a c b a c b a r r r r r r r r r 13 Producto por un escalar λ Sea el vector ar el producto ar λ será un vector con la misma dirección de ar mientras que su módulo y sentido dependerán del valor del escalar λ tal y como se indica en la Figura 12 Producto Escalar Sean los vectores ar y b r se define el Producto Escalar de ambos vectores como un escalar γ de valor θ a b cos b a r r r r γ 14 cr ar b r cr ar b r b r d r a b Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 13 siendo θ el ángulo formado por los dos vectores y es el módulo o magnitud de ver Figura 13a Podemos concluir también que b a a b r r r r Para el caso en que b a r r obtenemos que a a a a a a a a a a a r r r r r r r r r r r θ θ cos 0º 15 Figura 12 Producto de un vector por un escalar Vector Unitario versor Dado un vector ar el versor vector unitario asociado a esta dirección será un vector aˆ con la misma dirección y sentido de ar definido por a a a r r ˆ 16 donde ar es el módulo del vector ar Si aˆ es un vector unitario entonces debe cumplir que ˆ 1 a 17 Vector Nulo El vector nulo viene representado por r 0 18 Vector Proyección El vector proyección del vector ar sobre el vector b r Figura 13b será un vector con la dirección de b r y con módulo de valor a b r projr dado por r r ˆ r ba a b proj 19 donde ˆb es el versor según la dirección de b r luego se cumple que r r r r r b a b a b proj 110 ar λ 1 λ 0 λ 1 ar λ ar λ ar λ 1 0 λ ar ar ar Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Podremos obtener el vector projb a como su módulo projb a multiplicado por el versor según la dirección de b projb a a b b b a b b2 b escalar Ortogonalidad de dos vectores Dos vectores son ortogonales entre sí cuando se cumple la siguiente condición a b 0 Producto Vectorial El producto vectorial de dos vectores a y b da como resultado un tercer vector c que se caracteriza por ser perpendicular a estos dos vectores Figura 14 y que posee las siguientes características Representación c a b b a Dado que c es perpendicular a a y a b se cumple entonces que a c b c 0 El módulo de c es por definición c a b sin θ siendo θ el menor ángulo formado entre los vectores a y b ver Figura 14 El módulo del producto vectorial es el área A del paralelogramo formado por estos dos vectores ver Figura 14a A a b y como consecuencia el área del triángulo formado por los puntos OCD Figura 14b será AT 12 a b Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 15 Si ar y b r son colineales linealmente dependiente ie b a r r α donde α es un escalar el producto vectorial entre ellos resultará el vector nulo 0 r Figura 14 Producto vectorial Triple Producto Escalar Dados tres vectores a b c r r r se denomina el triple producto escalar a a b c c a b b c a b a c a c b c a b r r r r r r r r r r r r r r r r r r V V 118 El resultado de esta operación es el volumen del paralelepípedo V formado por estos tres vectores tal y como se muestra en la Figura 15 Luego para vectores cualesquiera ar b r se cumple que 0 a b a r r r r 119 Dados los vectores ar b r cr d r y α β escalares la siguiente propiedad es válida d c b d c a d c b a r r r r r r r r r r β α β α 120 NOTA Algunos autores representan el triple producto escalar por la siguiente nomenclatura c a b a b c r r r r r r a c b b c a r r r r r r b a c c a b r r r r r r y así sucesivamente Figura 15 Triple producto escalar ar b r θ ar b r V cr V Triple producto escalar b a c r r r ar b r θ a b c r r r ar b r θ A T A O C D a b cr O C D Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Triple Producto Vectorial Dados tres vectores a b y c el triple producto vectorial resulta un vector w dado por w a b c siendo válidas las siguientes relaciones w a b c c a b c b a a c b a b c Observemos que el vector w es un vector contenido en el plano Π1 formado por los vectores b y c según se muestra en la Figura 16 Figura 16 Triple producto vectorial Ejemplo 11 Probar que si a y b son vectores se cumple que a b a b a ab b a b2 Solución a b a b a b 2 a b sin θ2 a 2 b 2 sin2 θ a 2 b 2 1 cos2 θ a 2 b 2 a 2 b 2 cos2 θ a 2 b 2 a b cos θ2 a 2 b 2 a b2 a ab b a b2 donde hemos considerado que a a a 2 y b b b 2 Transformación Lineal Decimos que una transformación F es una transformación lineal cuando dados dos vectores u y v y un escalar α se cumplen que Fu v Fu Fv Fαu αFu Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 17 Ejemplo 12 Verificar si para las siguientes transformaciones ε σ ε E y 2 2 1 ε ε E ψ son transformaciones lineales Solución 2 1 2 1 2 1 2 1 σ ε ε σ ε ε ε ε σ ε ε E E E transformación lineal La transformación 2 2 1 ε ε E ψ se demuestra fácilmente que no es una transformación lineal ya que 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ψ ψ ψ ψ ψ E E E E E E σε ε 2 1 ε ε 2 ε 1ε σ ε2 σ 1ε 2 1 2 1 σ ε σ ε σ ε ε ε 2 1 ε ε 1ε 2 ε ψε 2 1 ψ ε ε ψ ε2 ψ 1ε 2 1 ε ε ψ ψ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 18 13 Sistema de Coordenadas Un tensor es una interpretación matemática de un concepto físico Sus componentes adoptan valores que dependen del sistema de coordenadas elegido para representarlo ver Figura 17 Figura 17 Esquema tensorcomponentes Consideremos un tensor de orden uno ar como el representado en la Figura 18a la representación de este tensor en un sistema de coordenadas genérico 3 2 1 ξ ξ ξ se hace a través de sus componentes 3 2 1 a a a ver Figura 18b Figura 18 Representación de un vector Los sistemas de coordenadas pueden ser de varios tipos coordenadas curvilíneas coordenadas cartesianas rectangulares coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas entre otros 131 Sistema de Coordenadas Rectangulares El sistema de coordenadas cartesianas rectangulares viene definido por tres vectores iˆ jˆ kˆ los cuales constituyen una base ortonormal Se entiende por base ortonormal aquella que satisface las siguientes propiedades 1 Los vectores que forman esta base son unitarios versores 1 ˆ ˆ ˆ k j i 122 o lo que es igual ar a ar 1 ξ 2 ξ 3 ξ b ar 3 2 1 a a a TENSORES Interpretación matemática de conceptos físicos Independiente del sistema de coordenadas COMPONENTES Representación del Tensor en un Sistema de Coordenadas Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 19 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k j j i i 123 2 Los vectores de esta base son ortogonales entre sí es decir 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k i j k i j 124 3 El producto vectorial entre los versores que forman esta base cumple lo siguiente j i k i k j k j i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 125 Para conocer el sentido del vector resultante del producto vectorial utilizamos la regla de la mano derecha tal y como se indica en la Figura 19 k j i ˆ ˆ ˆ i k j ˆ ˆ ˆ j i k ˆ ˆ ˆ 126 Figura 19 Regla de la mano derecha 132 Representación de los Vectores en el Sistema de Coordenadas Cartesianas En el sistema de coordenadas cartesianas el vector ar Figura 110 está representado por sus componentes x a y a z a como k j i ˆ ˆ ˆ z y x a a a ar 127 Figura 110 Vector en el sistema cartesiano iˆ jˆ kˆ iˆ jˆ kˆ kˆ iˆ jˆ x y z ar iˆ jˆ kˆ x a y a z a Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Las operaciones básicas particularizadas a este sistema de referencia son Producto Escalar de dos vectores a y b a b ax i ay j az k bx i by j bz k ax bx ay by az bz 128 Luego se cumple que a a ax ax ay ay az az ax2 ay2 az2 a 2 NOTA La proyección de un vector sobre una dirección determinada obtenemos a través del producto escalar del vector y del versor que define esa dirección Como ejemplo si quisiéramos obtener la componente del vector a según la dirección y representado por su versor j es suficiente con a j ax i ay j az k j ay módulo del vector a a ax2 ay2 az2 129 vector unitario correspondiente al vector a â a a ax ax2 ay2 az2 i ay ax2 ay2 az2 j az ax2 ay2 az2 k 130 vector nulo 0 0 i 0 j 0 k 131 Suma de dos vectores a y b a b ax i ay j az k bx i by j bz k ax bx i ay by j az bz k 132 Resta de dos vectores a y b a b ax i ay j az k bx i by j bz k ax bx i ay by j az bz k 133 Multiplicación por un escalar λ λ a λ ax i λ ay j λ az k 134 Producto Vectorial de dos vectores a y b c a b i j k ax ay az bx by bz ay bz az by i ax bz az bx j ax by ay bx k 135 donde el símbolo det se emplea para indicar el determinante de una matriz Triple Producto Escalar de los vectores a b c en términos de sus componentes viene definido por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Vabc a b c b c a c a b ax ay az bx by bz cx cy cz 136 ax by bz cy cz ay bx bz cx cz az bx by cx cy ax by cz bz cy ay bx cz bz cx az bx cy by cx Triple Producto Vectorial de los vectores abc en función de sus componentes es a b c a c b a b c λ1 bx λ2 cx i λ1 by λ2 cy j λ1 bz λ2 cz k con λ1 a c ax cx ay cy az cz y λ2 a b ax bx ay by az bz Ejemplo 13 Considérense los puntos A131 B211 C013 y D124 Se pide 1 Encontrar el área del paralelogramo definido por AB y AC 2 Encontrar el volumen del paralelepípedo definido por AB AC y AD 3 Encontrar el vector proyección del vector AB sobre el vector BC Solución 1 Primero se calculan los vectores AB y AC a AB OB OA 2 i 1 j 1 k 1 i 3 j 1 k 1 i 4 j 0 k b AC OC OA 0 i 1 j 3 k 1 i 3 j 1 k 1 i 2 j 2 k Utilizando la definición 135 se obtiene el producto vectorial a b i j k 1 4 0 1 2 2 8 i 2 j 6 k El área del paralelogramo será igual al módulo del vector resultante del producto vectorial A a b 82 22 62 104 unidades cuadradas 2 Calculando el vector AD c AD OD OA 1 i 2 j 4 k 1 i 3 j 1 k 0 i 1 j 3 k Utilizando la definición 136 obtenemos que Vabc c a b 0 i 1 j 3 k 8 i 2 j 6 k 0 2 18 16 unidades cúbicas 3 A continuación calculamos el vector BC BC OC OB 0 i 1 j 3 k 2 i 1 j 1 k 2 i 2 j 2 k Utilizando la ecuación 111 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 22 k j i k j i k j i k j i k j i k j i 2ˆ 2ˆ 2ˆ 4 4 4 0 8 2 2 ˆ 2ˆ 2ˆ 2ˆ 2ˆ 2ˆ 2ˆ 2ˆ ˆ 2 0 ˆ 4ˆ ˆ1 2ˆ 2ˆ ˆ 2 2 BC BC BC BC AB AB BC BC 43 42 1 proj k j i ˆ 3 5 ˆ 3 5 ˆ 3 5 AB projBC 133 Convenio de Suma de Einstein Definimos en la expresión 127 la representación de un vector ar en el sistema de coordenadas rectangular k j i ˆ ˆ ˆ z y x a a a ar 138 Podemos reescribir la representación anterior como 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ e e e a a a a r 139 donde hemos considerado que a ax 1 a ay 2 a az 3 ˆ 1 iˆ e ˆ 2 jˆ e ˆ 3 kˆ e tal y como se indica en la Figura 111 Figura 111 Vector en el sistema cartesiano De esta forma podemos expresar la representación simbólica del vector 139 como una suma 3 1 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ i iei e e e a a a a a r 140 x y z ar 1ˆ ˆ i e ˆ 2 ˆ j e ˆ 3 ˆ k e a a1 x a a2 y a a3 z Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 23 o simplemente utilizando el convenio de suma o Notación de Einstein según la cual se utilizan índices repetidos para indicar suma así pues la expresión 140 queda de la siguiente manera 321 ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 2 2 1 1 i iei e e e a a a a a r 321 ˆ i iei a a r 141 NOTA La notación de suma fue introducida por Albert Einstein en 1916 dando origen así a la notación indicial 14 Notación Indicial Utilizando notación indicial los ejes del sistema de coordenadas son designados por la letra x con un subíndice Por eso ix no representa un único valor sino i valores es decir 1x 2x 3x si 321 i donde estos valores 1x 2 x 3x corresponden respectivamente a los ejes x y z En un sistema de coordenadas cartesianas un vector ar será representado por sus componentes en la base del citado sistema de la siguiente forma 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ e e e a a a a r 142 donde 1ˆe 2 ˆe 3 ˆe son versores vectores unitarios tal y como se muestra en la Figura 112 y 1 a 2 a 3 a son las componentes del vector En notación indicial las componentes del vector serán representadas por ia Si no se indica el rango del subíndice se supondrá que adopta los valores 123 Por tanto las componentes de vector pueden representarse de la siguiente forma 3 2 1 a a a ai i ar 143 Figura 112 Vector en el sistema cartesiano x 1x y x2 z 3x ar 1ˆe 2 ˆe 3 ˆe 1 a 2 a 3 a Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 24 Componentes del Vector Unitario Dado un vector ar el vector unitario asociado a esta dirección será un vector aˆ dado por 1 ˆ ˆ a a a a con r r 144 cuyas componentes serán 321 ˆ 2 3 2 2 2 1 j k i k k i j j i i i a a a a a a a a a a a 145 Los subíndices se denominan de 2 formas Subíndices libres aquellos que sólo aparecen una vez en un término de la expresión En la ecuación anterior el subíndice libre es el subíndice i El número de subíndices libres indica el orden del tensor Subíndices mudos son los subíndices que se repiten en una expresión indicando suma En la ecuación anterior 145 son o bien el j o bien el k Producto Escalar Utilizando las definiciones 14 y 128 podemos expresar el producto escalar en notación indicial de la siguiente forma 321 cos 3 3 2 2 1 1 θ j i j j i i a b a b a b a b a b γ γ a b b a r r r r 146 Ejemplo 14 Reescribir en notación indicial las siguientes expresiones 1 3 3 3 3 2 2 3 1 1 a x x a x x a x x Solución 321 3 i a x x i i 2 2 2 1 1 x x x x Solución 21 i x x i i 3 z y x b z a y a x a b z a y a x a b a z y a x a 33 32 31 23 22 21 13 12 11 Solución 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x a x a x a b x a x a x a b a x a x a x mudo j índice 3 3 2 2 1 1 b x a b x a b x a j j j j j j libre i índice i ij j b a x Como podemos apreciar la utilización de la notación indicial supone que la expresión quede muy concisa En muchos casos tratar de realizar manipulaciones algebraicas sin utilizar notación indicial o tensorial es casi imposible debido a la gran cantidad de términos que pueden intervenir OBS Un subíndice en un término de una expresión sólo puede aparecer una o dos veces En el caso de que aparezca tres o más veces entonces la expresión es incorrecta Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 25 Ejemplo 15 Expandir la expresión 321 i j A x x j ij i Solución Los índices i j son índices mudos indican suma no hay índice libre y como resultado tenemos un escalar Expandimos primero el índice mudo i y a continuación el índice j resultando así 43 42 1 4243 1 43 42 1 3 3 33 2 3 32 1 3 31 3 3 3 2 23 2 2 22 1 2 21 2 2 3 1 13 2 1 12 1 1 11 1 1 x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A x x A A x x x x A j j j j j j expandiendo i j i ij Reagrupando los términos anteriores obtenemos 3 3 33 2 3 32 1 3 31 3 2 23 2 2 22 1 2 21 3 1 13 2 1 12 1 11 1 A x x A x x A x x x x A A x x A x x A x x A x x A x x A x x j ij i 141 Delta de Kronecker El símbolo delta de Kronecker ij δ definimos de la manera siguiente j i si j i si ij 0 1 δ 147 Observemos también que el producto escalar de la base ortonormal ei e j ˆ ˆ es 1 si i j y 0 si i j Si lo anterior lo exponemos de forma explícita obtendremos ij j i δ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 148 Una propiedad muy interesante de la delta de Kronecker la demostramos a continuación con el siguiente ejemplo sea un vector V r de componentes iV se cumple 3 3 2 2 1 1 V V V V j j j ij i δ δ δ δ 149 luego como 321 j es un índice libre tenemos j i ij i ij i ij ij i V V V V V V V j V V V V V j V V V V V j δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 3 3 33 2 23 1 13 2 3 32 2 22 1 12 1 3 31 2 21 1 11 3 2 1 150 Es decir en la presencia del símbolo Delta de Kronecker reemplazamos el índice repetido tal y como se indica a continuación j i i j V V δ 151 Por esta razón la delta de Kronecker es frecuentemente llamada operador de sustitución expandiendo j Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 26 Otros ejemplos relacionados con este operador se presentan a continuación jk ij ik A A δ 3 33 22 11 δ δ δ δ δ δ δ jj ii ij ji 33 22 11 a a a a a a jj ii ji ji δ También podemos verificar que se cumple que ij j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x δ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 152 Sea la base ortonormal i eˆ podemos obtener las componentes del vector ar en esta base como i pi p i p p i a a a δ e e a e ˆ ˆ r ˆ 153 Con eso también podemos representar un vector como i i i i a e e e a ˆ ˆ ˆ r r a 154 Ejemplo 16 Resolver las siguientes expresiones 1 δiiδ jj Solución 9 3 3 33 22 11 33 22 11 δ δ δ δ δ δ δ δ ii jj 2 1 1 γ αγ α δ δ δ Solución 1 11 1 1 1 1 γ γ γ αγ α δ δ δ δ δ δ NOTA Observar que es incorrecto hacer la siguiente operación 1 3 11 1 1 γγ γ γ δ δ δ δ ya que lo que se reemplaza es el índice repetido 142 Símbolo de Permutación El símbolo de permutación ijk viene definido como 312 123 231 1 213 132 321 1 0 k k o i j j o si i i j k si i j k si el resto de casos ie para ijk 155 NOTA ijk son las componentes del pseudotensor LeviCivita que será definido mas adelante Otra forma de expresar este operador es a través de sus subíndices 2 1 i k k j j i ijk 156 Los valores de ijk pueden ser fácilmente memorizados si utilizamos la Figura 113a en el cual si los valores de los índices están ordenados en el sentido horario el valor de ijk es igual a 1 y si están ordenados en el sentido antihorario ijk asumirá el valor 1 Con la definición 167 y utilizando la Figura 113b podemos comprobar que las siguientes relaciones son válidas Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 27 kji jik ikj ijk kij jki ijk 157 Figura 113 Símbolo de permutación Si expresamos el símbolo de permutación en función de la delta de Kronecker operador de sustitución obtenemos j i j i k k i k i j k j k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i nk mj li lmn ijk 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 1 2 2 3 1 3 1 2 δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 158 lo que es igual al resultado del siguiente determinante k k k j j j i i i k j i k j i k j i ijk 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 159 Por lo tanto podemos expresar el producto ijk pqr como el producto de dos determinantes que definimos a continuación r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijk 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 160 Si tenemos en cuenta que dadas dos matrices cuadradas se cumple que B A AB det det det donde det es el determinante de la matriz la relación 160 resulta ser 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 r q p r q p r q p k k k j j j i i i ijk pqr δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ kr kq kp jr jq jp ir iq ip ijk pqr δ δ δ δ δ δ δ δ δ 161 Observemos que el término ip δ fue obtenido a través de la operación ip mp mi p i p i p i δ δ δ δ δ δ δ δ δ 3 3 2 2 1 1 análogamente podemos obtener el resto de términos Para el caso particular en el que r k la relación 161 puede expresarse como 321 j k p q i jp iq jq ip ijk pqk δ δ δ δ 162 1 2 3 1 ijk 1 ijk a i j k b kij jki ijk ikj ijk jik kji ikj ijk Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Ejemplo 17 a Probar que εijkεpjk 2δip y que εijkεijk 6 b Obtener el valor numérico de la siguiente expresión εijkδ2jδ3kδ1i Solución a Utilizando la expresión 162 εijkεpqk δipδjq δiqδjp y haciendo q j resulta εijkεpjk δipδjj δijδjp δip3 δip 2δip Partiendo del resultado anterior es trivial la siguiente comprobación εijkεijk 2δii 6 b εijkδ2jδ3kδ1i ε123 1 El Producto Vectorial de dos vectores ā y b resultará un vector ċ definido en 135 y viene dado por ċ ā b ê1 ê2 ê3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a2b3 a3b2ê1 a3b1 a1b3ê2 a1b2 a2b1ê3 163 Podemos utilizar la definición del símbolo de permutación εijk definido en 155 y expresar las componentes de ċ como c1 ε123a2b3 ε132a3b2 ε1jka jb k c2 ε231a3b1 ε213a1b3 ε2jka jb k ci εijka jb k c3 ε312a1b2 ε321a2b1 ε3jka jb k 164 Luego el producto vectorial entre dos vectores ā b podrá ser representado a través del símbolo de permutación como ā b εijka jb kêi a jêj b kêk a j b k εijkêi a j b k êj êk a j b k εijkêi a j b k εjkiêi 165 Con lo cual concluimos que êj êk εij kêi 166 También podemos relacionar el operador de permutación con la base ortonormal êi a través del triple producto escalar de dicha base êi êj εijmêm êi êj êk εijmêm êk εijmδmk εijk 167 El Triple Producto Escalar de los vectores ābċ viene dado por λ ā b ċ aiêi b j êj c k êk a j b j c k êi êj êk εijka jb j c k 168 λ ā b ċ εijka jb j c k i j k 123 169 ó Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 29 3 2 1 3 2 1 3 2 1 c c c b b b a a a λ b a c a c b c a b r r r r r r r r r 170 Demostraremos que se cumplen b a c a c b c b a r r r r r r r r r partiendo de la relación 169 y además teniendo en cuenta las relaciones dadas en 157 obtenemos que c b a a b c b a c c a b a c b b c a c a b b a c b c a a c b c a b b c a r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r k j i kji k j i jik k j i ikj k j i kij k j i jki k j i ijk b c a b c a b c a b c a b c a b c a 171 Observemos que 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 b b b c c c a a a c c c b b b a a a a c b a b c r r r r r r 172 con lo cual hemos demostrado que si intercambiamos filas o columnas el signo del determinante cambia Ejemplo 18 Escribir la siguiente relación d c b a r r r r sin emplear el producto vectorial Solución Observemos que el producto vectorial b a r r lo podemos expresar de la siguiente forma i k j ijk k k j j e e e b a ˆ ˆ ˆ a b b a r r cuyo resultado es un vector donde hemos utilizado la definición del símbolo de permutación 165 Análogamente podemos expresar el producto vectorial d c r r como n m nlm l e d c c d ˆ r r por lo tanto m l k j ilm ijk in m l k j nlm ijk n i m l k j nlm ijk n m l nlm i k j ijk a b c d b c d a a b c d c d b a δ e e e e d c b a ˆ ˆ ˆ ˆ r r r r Teniendo en cuenta que lmi jki ijk ilm relación 157 y aplicando la relación 162 ie ilm jki kl jm km jl jki lmi δ δ δ δ concluimos que m l l m m l m l m l k j kl jm km jl m l k j ijk ilm a b c d a b c d a b c d a b c d δ δ δ δ Puesto que el subíndice mudo indica el producto escalar c a r r alcl y d b r r bm dm luego a d b c a c b d d c b a r r r r r r r r r r r r Además la expresión anterior se cumple para el caso cuando c a r r y d b r r luego 2 2 2 2 a b b a a b b a a a b b b a b a b a r r r r r r r r r r r r r r r r r r que es la misma expresión demostrada en el Ejemplo 11 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 30 Ejemplo 19 Probar que b a d c b a c d d c b a r r r r r r r r r r r r Solución Expresaremos en notación indicial los términos que están la derecha de la igualdad k j ijk i p k j ijk i p p a b c d a b d c b a d c b a c d r r r r r r r r p i i p k j ijk p i k j ijk i p k j ijk c d c d a b a b c d a b c d Si utilizamos la propiedad de la delta de Kronecker np im ni pm n m k j ijk np n m im ni n m pm k j ijk δ δ δ δ δ δ δ δ c d a b c d c d a b y si consideramos 162 resulta mnl pil np im pm ni δ δ δ δ Reemplazamos en la expresión anterior y obtenemos n m mnl k j ijk pil mnl pil n m k j ijk c d a b c d a b Dado que las componentes de b a r r son k j ijk a b y las componentes de d c r r son n mnl m c d obtenemos que p n m mnl k j ijk pil d c b a r r r r c d a b Ejemplo 110 Si ar b r cr son vectores linealmente independientes y vr un vector dado por 0 c b a v r r r r r γ β α Probar que los escalares α β γ vienen dados por r q p pqr k j i ijk r q p pqr k j i ijk r q p pqr k j i ijk b c a b v a b c a v c a b c a v b c γ β α Solución Haciendo el producto escalar del vector vr por el vector c b r r obtenemos que 4243 1 r r r 4243 1 r r r r r r r r r 0 0 c b c c b b c b a c b v γ β α Obtenemos entonces el valor de α como c b a c b v r r r r r r α En componentes r q p pqr k j i ijk b c a b c v c b a c b a c b a c b v c b v c b v c c c b b b a a a c c c b b b v v v 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 α Análogamente podemos obtener los parámetros β γ es decir hacemos el producto escalar del vector vr por los vectores c a r r y b a r r respectivamente Ejemplo 111 Probar la relación 137 a bc a c b c b a r r r r r r r r r Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 31 Solución Teniendo en cuenta que k j ijk i i b c c b d r r r y k j qjk q b c a d r r podemos obtener que a b c a c b a r r r r r r r q q q j j k q k k j s sj qk k j s sk qj k j s sj qk sk qj k j s jki qsi k j s ijk qsi k j ijk s qsi q c b a b c b c a a b c a b c a b c a b c a b c b c a δ δ δ δ δ δ δ δ q q c a b b a c c b a r r r r r r r r r 15 Operaciones Algebraicas con Tensores 151 Diádicas El producto diádico de dos vectores producto tensorial resultará en un tensor de segundo orden Si consideramos los vectores vr y ur el producto diádico vendrá representado por A v u uv r r r r 173 donde el operador denota el producto tensorial Como veremos más adelante cualquier tensor puede ser representado a través de combinación lineal de productos diádicos diádicas Verificaremos también que una diádica es un caso particular de un tensor de segundo orden Holzapfel2000 El producto diádico obedece a las siguientes leyes 1 v x u u v x x v u r r r r r r r r r 174 2 w u v u w v u r r r r r r r β α β α 175 3 r x w u x v x r w x u v x r w u v r r r r r r r r r r r r r r r r r β α β α β α 176 donde α y β son escalares Por definición el producto diádico no posee la propiedad conmutativa es decir u v v u r r r r La expresión 173 también la podemos expresar en el sistema cartesiano como ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j i ij j i j i j j i i e e e e e e v u A A v u v u r r 321 i j 177 43 42 1 base j i s componente ij Tensor e e A ˆ ˆ A 321 i j 178 Las componentes de un tensor de segundo orden serán representadas de diferentes formas en el desarrollo de este libro Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 𝐀 𝑢 𝑣 componentes 𝐀ij 𝑢 𝑣ij u i v j Aij 179 Dichas componentes pueden estar explícitamente expresadas de forma matricial 𝐀ij Aij 𝐀 A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33 180 Observemos que un tensor de segundo orden tiene 9 componentes independientes A continuación exponemos la representación de tensores de diferentes órdenes dos tres y cuatro en el sistema cartesiano 𝐔 Uijê i êj 𝐓 T ijk êi êj êk i j k l 123 181 𝕀 𝕀ijkl êi êj êk êl OBS El orden de un tensor viene dado por el número de subíndices libres en sus componentes OBS El número de componentes de un tensor viene dado por el máximo valor del rango del subíndice elevado al número de subíndices libres Ejemplo 112 Cuál es el orden de los tensores representados por sus componentes v i Φ ijk Fij εij C ijkl σij Determinar cuantas componentes independientes tiene el tensor C Solución El orden del tensor viene dado por el número de subíndices libres luego Tensores de orden uno 𝑣 F Tensores de segundo orden ε σ Tensor de tercer orden Φ Tensor de cuarto orden C El número de componentes de un tensor viene dado por el máximo valor del rango del subíndice 3 si 𝑖 123 elevado al número de subíndices libres Es decir para el tensor de cuarto orden el número de índices libres es 4 luego 34 i3 j3 k3 l3 81 El tensor de cuarto orden C ijkl tiene 81 componentes independientes Dados dos tensores de segundo orden 𝐀 y 𝐁 a continuación definimos algunas operaciones entre ellos Suma La suma de dos tensores del mismo orden resulta ser un tercer tensor de igual orden 𝐂 𝐀 𝐁 𝐁 𝐀 182 Las componentes del tensor resultante 𝐂 viene representadas por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 𝐂ij 𝐀 𝐁ij Cij Aij Bij 183 que de forma matricial expresamos como 𝐂 𝐀 𝐁 184 Multiplicación de un tensor por un escalar La multiplicación de un tensor de segundo orden 𝐀 por un escalar λ viene definido por un tensor 𝐃 tal que 𝐃 λ𝐀 en componentes 𝐃ij λ𝐀ij 185 en forma matricial 𝐀 A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33 λ𝐀 λA11 λA12 λA13 λA21 λA22 λA23 λA31 λA32 λA33 186 También se cumple que λ𝐀 𝑣 λ𝐀 𝑣 187 para cualquier vector 𝑣 Producto Escalar El producto escalar de un tensor de segundo orden 𝐀 por un vector 𝑥 tensor de orden uno resulta ser otro vector 𝑦 tensor de orden uno 𝑦 𝐀 𝑥 δ kl A jk êj êk x lêl A jk x l δ kl êj A jk x k êj y j y j êj 188 El producto escalar de dos tensores de segundo orden 𝐀 y 𝐁 es otro tensor de segundo orden verificándose que 𝐀 𝐁 𝐁 𝐀 δ jk δ jk 𝐂 𝐀 𝐁 A ij êi êj B kl êk êl A ij B kl δ jk êi êl A ik B kl êi êl AB 𝐃 𝐁 𝐀 B ij êi êj A kl êk êl B ij A kl δ jk êi êl B i k A kl êi êl BA D il êi êl 189 También se cumplen las siguientes propiedades 𝐀 𝐁 𝐂 𝐀 𝐁 𝐀 𝐂 𝐀 𝐁 𝐂 𝐀 𝐁 𝐂 190 Potencia de Tensores Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición El producto escalar contracción simple nos permite definir la potencia de tensores de segundo orden luego A0 1 A1 A A2 A A 191 donde 1 es el tensor identidad de segundo orden ver subapartado 1525 Doble Producto Escalar Consideremos dos diádicas A c d y B u v el doble producto escalar doble contracción podrá ser definido de distintas formas A B y A B tal como se indica a continuación Doble contracción c d u v c vd u 192 A B Aij ei ej Bkl ek el Aij Bkl δjk δil Aij Bji γ escalar 193 Doble contracción A B c d u v c ud v 194 Según la definición del doble producto escalar podemos demostrar que es conmutativo B A u v c d u cv d c ud v A B 195 En componentes A B Aij ei ej Bkl ek el Aij Bkl δik δjl Aij Bij λ escalar 196 Observemos que A B A B excepto cuando al menos uno de los dos tensores sea simétrico ie Asym B B Asym B A Bsym A Bsym Asym Bsym Asym Bsym El doble producto escalar de un tensor de tercer orden S y uno de segundo B resulta S B c d a u v a vd u c B S u v c d a u cv d a 197 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Teniendo en cuenta la definición anterior S B en la base Cartesiana viene representada por Sijk ei ej ek Bpq ep eq Sijk Bpq δjp δkq ei Sijk Bjk ei 198 La doble contracción de un tensor de cuarto orden C con uno de segundo orden ε queda definido por Cijkl ei ej ek el εpq ep eq Cijkl εpq δkp δlq ei ej Cijkl εkl ei ej σij ei ej 199 donde σij son la componentes resultante de la operación σ C ε A continuación expresamos algunas propiedades del doble producto escalar a A B B A b A B C A B A C c λ A B λ A B A λ B 1100 donde A B C son tensores de segundo orden y λ escalar A través del doble producto escalar podemos obtener las componentes del tensor de segundo orden A según el sistema cartesiano como Aij Akl ek el ei ej ei Akl ek el ej Akl δki δlj Aij 1101 Consideremos dos vectores cualesquiera a b y A un tensor de segundo orden demostramos que a A b ap ep Aij ei ej br er ap Aij br δpi δjr ai Aij bj Aij ai bj A a b 1102 Producto Vectorial El producto vectorial de un tensor de segundo orden A por un vector x tensor de orden uno resulta ser un tensor de segundo orden dado por A x Aij ei ej xk ek εljk Aij xk ei el 1103 donde empleamos la definición 167 es decir ej ek εljk el Hemos demostrado en el Ejemplo 111 la siguiente relación a b c a c b a b c que también la podemos representar a través de diádicas como a b cj ak ck bj ak bk cj bj ck cj bk ak b c c b aj 1104 En el caso particular cuando a c podemos decir que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 36 j p j p jp k k p j kp k jp k k j kp p k jp p k k j k k j k k j a b a a 1 a a b a r r r r r r r r b a a a a b a a a a a a b b a a a a b b a a δ δ δ δ δ 1105 Con lo cual podemos decir que las siguientes relaciones son válidas a b a a a 1 a b a a b c c b a b c a c b c b a r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 1106 1511 Representación de las Componentes de un Tensor de Segundo Orden en la Base Cartesiana Como hemos visto un vector que tiene 3 componentes independientes lo hemos representado en el espacio cartesiano tal y como se indica en la Figura 112 Un tensor de segundo orden arbitrario tiene 9 componentes independientes luego necesitaríamos de un hiperespacio para su presentación A continuación presentamos un artilugio para hacer la representación de las componentes del tensor de segundo orden en el espacio cartesiano Dado un tensor de segundo orden T y su representación en la base cartesiana 3 3 33 2 3 32 1 3 31 3 2 23 2 2 22 1 2 21 3 1 13 2 1 12 1 1 11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e T T T T T T T T T T T j i ij 1107 Podemos obtener la proyección de T según la base k eˆ como 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e e T k k k i ik jk i ij k j i ij k T T T T T T δ 1108 Observemos que como resultado tenemos tres vectores 321 k ˆ 3 33 2 23 1 13 3 ˆ 3 32 2 22 1 12 2 ˆ 3 31 2 21 1 11 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ e e e t e e e e t e e e e t e e e e e T e r r r T T T T T T T T T T T T T i i i i i i i ik k k k k 1109 La representación de estos vectores ˆ t e1 r ˆ t e2 r ˆ t e3 r en la base cartesiana se muestra en la Figura 114 Figura 114 Vectores tensores en la base cartesiana 1x 2x 3x 2 ˆ ˆ 2 T e t e r 3 ˆ ˆ 3 T e t e r 1 ˆ ˆ 1 T e t e r 2 ˆe 3 ˆe 1 ˆe Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 37 Observemos también que ˆ t e1 r es el tensor proyectado según la dirección 1ˆe cuyo versor representamos por 001 ˆ 1 in es decir ˆ 31 21 11 33 32 31 23 22 21 31 12 11 1 0 0 1 ˆ e n T i i t T T T T T T T T T T T T 1110 El mismo resultado 1110 podía haber sido obtenido simplemente haciendo el producto escalar de T dado por 1107 por la base 1ˆe es decir ˆ 3 31 2 21 1 11 1 3 3 33 2 3 32 1 3 31 3 2 23 2 2 22 1 2 21 3 1 13 2 1 12 1 1 11 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e T r T T T T T T T T T T T T 1111 Luego podemos representar las componentes de un tensor de segundo orden en la base cartesiana tal y como se indica en la Figura 115 Las componentes de la diagonal principal 11 T 22 T 33 T están normales a los planos definidos por los versores 1ˆe 2 ˆe 3 ˆe respectivamente Por ello denominamos de componentes normales Las componentes que están tangentes al plano denominamos de componentes tangenciales que corresponden a las componentes que están fuera de la diagonal principal Figura 115 Representación de las componentes de un tensor de segundo en la base cartesiana 1x 2x 3x T11 ˆe1 T21 ˆe2 T31 ˆe3 T12 ˆe1 T32 ˆe3 T22 ˆe2 T33 ˆe3 T13 ˆe1 T23 ˆe2 ˆ t e1 r ˆ t e2 r ˆ t e3 r 33 32 31 23 22 21 13 12 11 T T T T T T T T T Tij Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 38 NOTA A lo largo del libro utilizaremos las siguientes notaciones ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l i jl ij l i jk kl ij l k kl j i ij e e e e e e e e B A B A B A B A δ 1112 Observemos que no se repite índices más que 2 veces ni en la notación simbólica ni en la notación indicial Observemos también que la notación indicial será equivalente a la notación tensorial sólo cuando se trata de un escalar eg λ A B AijBij ab aibi 152 Propiedades de los Tensores 1521 Transpuesta Sea un tensor de segundo orden A representado por ˆ ˆ j i ij e e A A 1113 La transpuesta del tensor A definimos como ˆ ˆ ˆ ˆ i j ij j i ji T e e e e A A A 1114 Si ij A son las componentes de A las componentes de la transpuesta de A serán ji T ij A A 1115 Si v u A r r la transpuesta de A vendrá dada por u v A r r T j i ji i j ij T j i ij j i i j i j j i T j i j i j j i i i i j j T j j i i T T e e e e e e e e e e e e e e e e e e u v v u A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A A A u v u v v u u v u v v u r r r r 1116 Sean A B dos tensores y α β escalares las siguientes relaciones son válidas A A T T T T T A B A B β α β α T T T B A B A 1117 B A e e e e B A B A e e e e A B ji ij il jk kl ij l k kl i j ij T ji ij jk il kl ij k l kl j i ij T A B A B B A A B A B B A δ δ δ δ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1118 La transpuesta de la matriz que contienen las componentes del tensor se forma al cambiar filas por columna y viceversa es decir Notación tensorial Notación simbólica base cartesiana Notación indicial Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 39 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A T T transpuesta A A 1119 Ejemplo 113 Demostrar que las siguientes relaciones son válidas A C B C A B B C A T T donde A B C son tensores de segundo orden cualesquiera Solución Demostraremos esta identidad a través de sus componentes kj ik ij jq il kp pq lk ij q l kp j i pq lk ij q p pq k l lk j i ij A B C B C A B C A C B A δ δ δ δ e e e e e e e e e e B C A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Observemos que cuando trabajamos en notación indicial la posición de las componentes no importa es decir ik kj ij kj ij ik kj ij ik A C B B A C A B C Podemos ahora observar que la operación Bik Aij resultará un tensor de segundo orden cuyas componentes son kj T B A luego A C B T kj ij ik B A C Análogamente podemos decir que A C B T ik ij kj A C B Ejemplo 114 Demostrar que si ur vr son vectores y A un tensor de segundo orden la siguiente relación es válida v A u v u A r r r r T Solución l jl j j jl l il i jl kj k jk k il jl i i i l j jl k k k k j l jl i i T v A u u A v A u v v A u u A v v A u δ δ δ δ e e e e e e e e v A u v u A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r r r r 1522 Simetría y Antisimetría 15221 Tensor Simétrico Un tensor de segundo orden A es simétrico ie A Asym si el tensor es igual a su transpuesta ji ij en componentes T A A A A 1120 En forma de matriz 33 23 13 23 22 12 13 12 11 A A A A A A A A A sym T A A A 1121 Podemos notar claramente que un tensor simétrico de segundo orden tiene 6 componentes independientes 11 A A22 A33 12 A A23 13 A Según ecuación 1120 un tensor simétrico se puede representar por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 40 2 1 2 1 2 T ji ij ij ji ij ij ji ij ij ij ji ij A A A A A A A A A A A A A A A 1122 Un tensor de cuarto orden C cuyas componentes son Cijkl puede presentar Simetría menor jilk ijlk jikl ijkl C C C C 1123 Simetría mayor klij ijkl C C 1124 Luego un tensor de cuarto orden es simétrico si presenta simetría menor y mayor Un tensor de cuarto orden no simétrico tiene 81 componentes independientes Si presenta sólo simetría menor es decir simetría en ij ji6 y simetría en kl lk6 quedando el tensor con 36 componentes independientes Si además de simetría menor el tensor presenta también simetría mayor el tensor presenta 21 componentes independientes 15222 Tensor Antisimétrico Un tensor A será antisimétrico ie A Aanti si ji ij en componentes T A A A A 1125 o aún 0 0 0 23 13 23 12 13 12 A A A A A A anti T A A A 1126 Observemos que un tensor antisimétrico de segundo orden tiene 3 componentes independientes 12 A A23 13 A Según la condición 1125 un tensor antisimétrico viene dado por 2 1 2 1 2 T ji ij ij ji ij ij ji ij ij ij A A A A A A A A A A A A A 1127 Sea W un tensor antisimétrico luego debe cumplir la relación 1127 2 1 2 1 2 1 il jk jl ik kl il jk kl jl ik kl ji ij ij δ δ δ δ δ δ δ δ W W W W W W 1128 Utilizando la relación entre la delta de Kronecker y el operador de permutación dada por 162 obtenemos que lkr ijr il jk ik jl δ δ δ δ y reemplazando en la expresión 1128 resulta lkr ijr kl ij W W 2 1 1129 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 41 Desarrollando el término Wkllkr para los índices mudos k l sólo quedamos con los siguientes términos distintos de cero r r r r r r lkr kl 23 32 13 31 32 23 12 21 31 13 12 21 W W W W W W W 1130 con lo que concluimos que r lkr kl lkr kl lkr kl kl lkr w w r w r w r 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 3 12 21 12 2 13 31 13 1 23 32 23 W W W W W W W W W W W W W 1131 donde hemos hecho los siguientes cambios de variables 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 3 2 3 23 13 23 12 13 12 32 31 23 21 13 12 w w w w w w ij W W W W W W W W W W W W W 1132 Definimos así el vector axil wr correspondiente al tensor antisimétrico W El módulo de wr viene dado por 2 12 2 13 2 23 2 3 2 2 2 1 2 2 W W W w w w w w w r r r ω 1133 Reemplazando 1131 en 1129 y considerando que rij ijr obtenemos que rij r ij W w 1134 Partiendo de la expresión 1134 y multiplicando los dos miembros por kij obtenemos que k rk r kij rij r ij kij w w w 2 2 δ W 1135 donde aplicamos la relación rk rij kij 2δ obtenida en el Ejemplo 17 con lo que concluimos que ij kij wk W 2 1 1136 La representación de las componentes del tensor antisimétrico y de su vector axil correspondiente en el sistema cartesiano se puede apreciar en la Figura 116 Sean ar y b r vectores arbitrarios y W un tensor antisimétrico entonces se cumple que a W b b a W W a b r r r r r r T 1137 luego si b a r r resulta que 0 a a W a W a a W a r r r r r r 1138 NOTA Observar que a a r r resulta un tensor de segundo orden simétrico Más adelante demostraremos que el doble producto escalar entre un tensor simétrico y un tensor antisimétrico resulta ser cero Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 42 Figura 116 Componentes de un tensor antisimétrico Sean W un tensor antisimétrico y ar un vector arbitrario las componentes del producto escalar W ra vienen dadas por 3 33 2 32 1 31 3 23 2 22 1 21 3 13 2 12 1 11 3 3 2 2 1 1 3 2 1 W a W a a W W a W a W a W a W a a W W a W a W a a W i i i i i i j ij 1139 Considerando la propiedad del tensor antisimétrico ie W11 0 W22 0 W33 0 el producto escalar 1139 resulta 2 32 1 31 3 23 1 21 3 13 2 12 3 2 1 W a a W W a W a W a a W i i i a i W r 1140 Fijemos que las componentes anteriores son las mismas que resultan de la operación 3 2 32 1 31 2 3 23 1 21 1 3 13 2 12 3 2 1 1 2 2 3 1 1 3 1 3 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e e a W a W a W a W a W a a W a a a a a a a a a w w w w w w w w w r rw 1141 donde se cumple que 32 23 1 W W w 31 13 2 W W w 21 12 3 W W w Luego dado un tensor antisimétrico W y el vector axil wr correspondiente a W se cumple que a W a r r r w 1142 para todo vector ar La relación anterior podría haber sido obtenida a través de la definición de las componentes de W dada por 1134 ie 23 1 w W 1x 2x 3x 12 W 12 W 23 W 13 W 13 W 13 2 w W 12 3 w W 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ e e e w w w wr 23 W 0 0 0 23 13 23 12 13 12 W W W W W W Wij Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 43 i k j ijk k jik j k ik i w w a W a r r r w a a W a 1143 Podemos representar el vector axil wr por su módulo wr ω y por un versor según la dirección de wr como wr ωˆe1 luego la expresión 1142 puede aun ser expresada por a e a W a r r r r ωˆ 1 w 1144 Además si escogemos dos versores 2 ˆe 3 ˆe que constituyan una base ortonormal con 1ˆe ver Figura 117 tal que 2 1 3 1 3 2 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e e 1145 Podemos entonces representar el vector ar en esta nueva base como 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ e e e a a a a r luego a e e e e e e e e e e e e e e e e a e a W e e 0 r 43 42 1 43 42 1 43 42 1 r r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 1 3 3 2 1 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ω ω ω ω ω a a a a a a a a 1146 Con lo cual podemos representar un tensor antisimétrico como ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 2 3 e e e e W ω 1147 Figura 117 bases ortonormales Aprovechando la representación del tensor antisimétrico 1147 podemos obtener la proyección del tensor W según las direcciones 1ˆe 2 ˆe 3 ˆe 2 3 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e W e e W e 0 W e ω ω r 1148 También podemos verificar que se cumple lo siguiente ω ω ω ω 3 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e W e e e e e e e e W e e 1149 Luego en este nuevo espacio podemos representar las componentes del tensor W como 0 0 0 0 0 0 0 ω ω Wij 1150 3ˆe 1ˆe 3ˆe 2 ˆe 1ˆe 2 ˆe wr ωˆe1 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 44 En la Figura 118 podemos apreciar dichas componentes y la representación del vector axil Observemos también que si tomamos otros dos versores cualesquiera normales entre sí definidos en el plano 3 2 ˆ ˆ e e nos proporcionarán las mismas componentes que 1150 Es interesante observar que las componentes de W en las bases j i e e ˆ ˆ y ˆ ˆ j i e e son distintas ver Figura 118 y Figura 116 Más adelante obtendremos la ley que gobierna dicha transformación ie conocidas las componentes en un sistema a través de ley de transformación podemos obtener las componentes en otra base Figura 118 Componentes del tensor antisimétrico en el espacio definido por el vector axil 15223 Descomposición Aditiva de Tensores en una Parte Simétrica y Antisimétrica Cualquier tensor puede ser descompuesto de forma adicional en una parte simétrica Asym y en otra antisimétrica Aanti anti sym T T anti sym A A A A A A A A A 14243 14243 2 1 2 1 1151 en componentes 2 1 2 1 ji ij anti ij ji ij sym ij y A A A A A A 1152 Observemos que si A y B son tensores de segundo orden cualesquiera se cumple que A B A A B B A A B A B A A B A A B A A B A A sym T T T T T T T T T sym T 2 1 2 1 2 1 1153 Ejemplo 115 Si σ es un tensor de segundo orden simétrico y W es un tensor de segundo orden antisimétrico Demostrar que σ W 0 Solución escalar ˆ ˆ ˆ ˆ ij ij jk il lk ij k l lk j i ij W W W σ σ σ δ δ e e e e σ W 0 0 0 0 0 0 0 ω ω Wij 3ˆe 1ˆe ω 2 ˆe 1x 2x 3x ω wr ωˆe1 2 12 2 13 2 23 W W W ω wr Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 45 Desarrollando 43 42 1 43 42 1 23 1 33 33 32 32 31 31 3 3 23 23 22 22 21 21 2 2 13 13 12 12 11 11 1 1 W W W W W W W W W W W W W σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ j j j j j j ij ij Considerando la propiedad de un tensor simétrico 21 12 σ σ 13 31 σ σ 23 32 σ σ y antisimétrico 0 33 22 11 W W W 12 21 W W 13 31 W W 23 32 W W resultando σ W 0 Ejemplo 116 Demostrar que a M M Q Q M M r r r r sym b anti anti sym sym B A B A A B donde M r es un vector y Q A y B son tensores de segundo orden Solución a M M Q M Q M M Q Q M M Q M r r r r r r r r anti sym anti sym Ya que el producto 0 M M Q M Q M r r r r anti anti resulta que M M Q Q M M r r r r sym b anti anti sym sym anti anti sym anti anti sym sym sym anti sym anti sym B A B A B A B A B A B A B B A A B A 14243 14243 0 0 Luego como consecuencia tenemos que anti anti anti sym sym sym B A A B B A A B Ejemplo 117 La relación T n n T r r es válida siempre Siendo T un tensor de segundo orden y nr un vector En el supuesto de que la relación no sea válida para qué caso particular lo sería Solución l kl k l ik kl i l k kl i i e e e e e T n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T n T n T n δ r y l lk k l ki lk i i i k l lk e e e e e n T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T n T n n T δ r Con lo que comprobamos que lk k kl k n T n T luego T n n T r r La relación T n n T r r sólo será válida cuando el tensor T sea simétrico Ejemplo 118 Obtener el vector axil wr asociado al tensor antisimétrico anti a x r r Expresar wr en función de xr y ar Solución Sea zr un vector arbitrario se cumple que cqd cqd cqd Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 46 z w z a x r r r r r anti donde wr es el vector axil asociado a anti a x r r Teniendo en cuenta que x a a x a x a x a x r r r r r r r r r r 2 1 2 1 T anti podemos aún decir que z w z x a a x z w z x a a x r r r r r r r r r r r r r r 2 2 1 Utilizando la identidad 1104 se cumple que a x z z x a a x r r r r r r r r luego z w z x a a x z z x a a x r r r r r r r r r r r r r 2 con lo cual concluimos que anti es el vector axil asociado al tensor 2 1 a x x a w r r r r r 1523 Cofactor de un Tensor Adjunta de un Tensor Dado un tensor A representamos el cofactor de A como cofA Dados dos vectores ar y b r existe un único tensor cofA asociado al tensor A tal que A b A a b a A r r r r cof 1154 Definimos la adjunta de un tensor A como AT A cof adj 1155 donde se cumple que adj adj T T A A 1156 Las componentes de cofA podemos obtener de la siguiente manera kr jp ijk tpr it r kr p jp ijk r p it tpr A A cof a A b A a b cof A A 1157 Multiplicando ambos lados de la igualdad por qpr y además considerando que tq tpr qpr 2δ concluimos que kr jp qpr ijk iq kr jp qpr ijk tq qpr tpr it kr jp ijk tpr it A A cof A A cof A A cof 2 1 2 A A A 43 42 1 δ 1158 1524 Traza de un Tensor Antes de definir la traza de un tensor de segundo orden definimos la traza de su base ij j i j i δ e e e e ˆ ˆ ˆ Trˆ 1159 Luego la traza de un tensor A es la suma de las componentes de su diagonal principal Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición TrA TrAij ei ej Aij Trei ej Aij ei ej Aij δij Aii A11 A22 A33 1160 Análogamente podemos decir que Tru v Tru v ui vj Trei ej ui vj ei ej ui vj δij ui vi u1 v1 u2 v2 u3 v3 u v 1161 NOTA Podemos adelantar que la traza de un tensor es un invariante es decir es independiente del sistema de referencia Dados dos tensores A y B La traza de la transpuesta de un tensor es igual a la traza del tensor TrAT TrA 1162 La traza de la suma de estos dos tensores será la suma de la traza de los tensores TrA B TrA TrB 1163 La demostración es muy sencilla bastando expresar en términos de componentes la expresión anterior TrA B TrA TrB A11 B11 A22 B22 A33 B33 A11 A22 A33 B11 B22 B33 1164 La traza del producto escalar será TrA B TrAij ei ej Blm el em Aij Blm δjl Trei em Ail Bli A B TrB A 1165 Análogamente podemos obtener TrA B C TrB C A TrC A B Aij Bjk Cki 1166 Luego es fácil demostrar que las siguientes relaciones son válidas TrA Aii TrA2 TrA TrA Aii Ajj TrA A TrA2 Ail Ali TrA A A TrA3 Aij Ajk Aki 1167 Podemos escribir el doble producto escalar en función de la traza como A B Aij Bij Akj Blj δik δil Akj Bil δjk δjl Akj Blj δkl Ak Bil δkl A BTkl AT Bkl A BTkk AT Bkk TrA BT TrAT B 1168 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Ejemplo 119 Demostrar las siguientes identidades TmT TTm TrTTm TrTm Solución TmT T T TT TT TT TT TTm cqd Para la segunda demostración utilizaremos la propiedad de la traza TrTTTrT TrTTm TrTmT TrTm cqd 1525 Tensores Particulares 15251 Tensores Identidad Tensor identidad de segundo orden 1 δij ei ej êi êi 1 êi êj 1169 donde 1 es la matriz con las componentes del tensor 1 δij es conocido como el símbolo delta de Kronecker definido en 147 δij 1 si ij 0 si ij 1170 Tensores identidades de cuarto orden I 11 δik δjl êi êj êk êl Iijkl êi êj êk êl 1171 I 11 δil δjk êi êj êk êl Iijkl êi êj êk êl 1172 I 1 1 δij δkl êi êj êk êl Iijkl êi êj êk êl 1173 Con lo cual dado un tensor de segundo orden arbitrario A se cumplen que I A δik δjl êi êj êk êl Apq êp êq δik δjl Apq δkp δlq êi êj δik δjl Akℓ êi êj Aij êi êj A 1174 y I A δil δjk êi êj êk êl Apq êp êq δil δjk Apq δkp δlq êi êj δil δjk Akℓ êi êj Aji êi êj AT 1175 y Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 49 A 1 e e e e e e e e e e e e A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Tr A A A A j i ij kk j i k k ij j i q kp pq k ij q p pq k j i k ij δ δ δ δ δ δ δ δ δ l l l l l l I 1176 La parte simétrica del tensor de identidad de cuarto orden viene definido como jk i j ik ijk en componentes sym δ δ δ δ l l l 2 1 2 1 I 1 1 1 1 I I 1177 La propiedad que presenta el producto tensorial se presenta a continuación Consideremos el tensor identidad de segundo orden un tensor de segundo orden j ij i e e 1 δ ˆ ˆ luego definimos el producto tensorial como l l l l e e e e e e e e 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j k i k ij k k j ij i δ δ δ δ 1178 que es lo mismo que l l e e e e 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ k j i δikδ j I 1179 Y el producto tensorial como j k i k ij k k j ij i e e e e e e e e 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l l l l δ δ δ δ 1180 ó l l e e e e 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ k j i δi δ jk I 1181 La parte antisimétrica de I será jk i j ik anti ijk en componentes anti δ δ δ δ l l l 2 1 2 1 I 1 1 1 1 I 1182 Se puede demostrar que dado un tensor de segundo orden A y un vector b r las siguientes relaciones son válidas b b 1 r r sym sym A A A A I I Aii Tr A A 1 AilAli Tr Tr A A A 1 A 2 2 ki jk ij A A A Tr Tr A A A A 1 A 3 3 1183 15252 PseudoTensor LeviCivita El PseudoTensor LeviCivita también conocido como Tensor de Permutación es un pseudo tensor de tercer orden definido como k j i ijk e e e ˆ ˆ ˆ 1184 donde ijk son las componentes del operador de permutación definido en 155 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 50 Ejemplo 120 Demostrar que T T 1 Tr Solución ˆ ˆ ˆ ˆ T e e e e 1 T Tr T T T T T jj ii ij ij jl ik kl ij l k kl j i ij δ δ δ δ δ Ejemplo 121 Probar que si σ y D son tensores de segundo orden la siguiente relación es válida σ D σ D Tr Solución Basándonos en lo que fue demostrado en 193 podemos decir que σ D σ D σ D D σ D σ D σ σ σ σ σ Tr D D D D ll kk lk kl lk kl jl kj lk jl kj il ik jl kj ji ij δ δ δ δ δ 3 2 1 Una segunda alternativa para la demostración sería D σ 1 σ D D σ σ σ Tr D D ik jk ij ji ij δ 1526 Determinante de un Tensor El determinante de un tensor es un escalar y también es un invariante 4 4 4 3 14 2 T k j i ijk k j i ijk A A A 3 2 1 3 2 1 A A A A A A det 1185 El determinante de un tensor es igual al determinante de la matriz que contiene las componentes del tensor La demostración de 1185 puede hacerse partiendo directamente del determinante 3 2 1 3 2 31 3 3 2 21 2 3 2 11 1 3 2 3 31 3 2 2 21 3 2 1 11 22 13 23 12 31 32 13 33 12 21 32 23 33 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 k j i ijk k j jk k j jk k j jk k j jk k j jk k j jk A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A det A A 1186 Algunas consideraciones sobre el determinante de tensores 1 det 1 1187 cqd cqd cqd Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Podemos concluir de 1185 que detAT detA 1188 También podemos demostrar que las siguientes relaciones son válidas detA B detA detB detαA α3 detA siendo α un escalar 1189 Un tensor A se dice que es singular si detA0 Intercambiando dos líneas o columnas el signo del determinante cambia Si todos elementos de una fila o columna son cero el determinante es cero Multiplicando todos los elementos de una fila o columna por una constante c escalar el determinante queda cA Ejemplo 122 Demostrar que Atpq εrjk Art Ajp Akq Solución Sabemos que A εrjk Ar1 Aj2 Ak3 Atpq εrjk εtpq Ar1 Aj2 Ak3 1190 Como lo visto anteriormente ecuación 161 la expresión εrjk εtpq podrá ser expresada en función de la delta de Kronecker como εrjk εtpq δrt δrp δrq δjt δjp δjq δkt δkp δkq δrt δjp δkq δrp δjq δkt δrq δjt δkp δrq δjp δkt δjq δkp δrt δkq δjt δrp 1191 Reemplazando la expresión anterior 1191 en la expresión 1190 y utilizando la propiedad del operador de sustitución obtenemos que Atpq A11 Ap2 Aq3 A11 Aq2 A3 Aq1 Ap2 A3 Aq1 Ap2 A3 Aq1 Aq2 A3 Ap1 At2 Aq3 A11 ε1jk Apj Aqk At2 ε2jk Apj Aqk At3 ε3jk Apj Aqk εrjk Art Ajp Akq εrjk Art Apj Aqk cqd Ejemplo 123 Demostrar que A 16 εrik εtpq Art Ajp Akq Solución Partiendo del problema anterior Atpq εrik Art Ajp Akq y multiplicando ambos lados por εtpq resulta Atpq εtpq εrik εtpq Art Ajp Akq 1192 Utilizando la propiedad definida anteriormente en la ecuación 162 obtenemos que εtpq εtpq δtt δpp δtp δtp δtt δpp δtt 6 Luego la relación 1192 resulta A 16 εrik εtpq Art Ajp Akq cqd Ejemplo 124 Demostrar que detμ1 αā b μ3 μ2 α ā b 1193 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 52 Solución Si denotamos por j i ij ij a b A α µδ el determinante de A viene dado por 3 2 1 k j i ijk A A A A donde 1 1 1 a b A i i i α µδ 2 2 2 a b A j j j α µδ y 3 3 3 a b A k k k α µδ luego podemos decir que 3 3 2 2 1 1 a b a b a b det k k j j i i ijk α µδ α µδ α µδ α µ b a 1 r r 1194 Desarrollando la expresión 1194 obtenemos que 3 2 1 3 3 2 1 2 2 3 1 2 1 3 2 2 3 2 1 2 3 1 2 2 2 1 3 2 3 2 1 3 a a a b b b a a b b a a b b b a b a a b a b a b det k j i k j i j k i i k j k j i k i j j i k k j i ijk α δ µα δ µα δ µα δ δ µ α δ δ µ α δ δ µ α δ µ δ δ α µ b a 1 r r Observemos que 0 0 0 3 2 1 2 1 1 2 213 2 1 2 1 123 2 1 3 3 2 1 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 2 2 3 1 2 1 1 2 2 3 3 2 1 23 2 1 3 3 12 2 3 2 1 3 1 2 2 1 3 2 3 123 3 3 2 1 3 a a b b b a a a b b a a b b a a b b a b b a a a b b a a b b a a b b a b b a a b a b a b a b a b b a a b a b b a k j i ijk j i ij k j i ijk k i i k j k i ijk i i j j k k k j i ijk k i j ijk j i k ijk k j i ijk δ δ µ α µ α µ δ δ δ δ δ δ α µ µ µ δ δ δ µ α a b r r Fijemos que no hacía falta expandir los términos 2 3 1 j k ijk i a a b b δ 3 2 1 k j ijk i a a b b δ 3 1 2 a a a b b b k j ijk i para saber que son iguales a cero ya que 0 2 3 1 2 1 3 j j j k ijk i δ δ b b a a b b a a r r y análogamente para los otros términos Con lo que hemos demostrado que a b b a 1 r r r r 2 3 µ α µ α det µ Para µ 1 tenemos que a b b a 1 r r r r 1 α α det Análogamente se puede demostrar que 0 3 2 1 3 a a a b b b det k j α ijk i α b a r r También podemos demostrar que se cumple la siguiente relación 1 2 a a b b a b a b a b a b b a 1 r r r r r r r r r r r r r r αβ β α β α det 1195 donde α β son escalares Si β 0 recaemos en la expresión a b b a 1 r r r r α α 1 det Si α β obtenemos que 2 2 2 2 1 1 b a b a a a b b a b a b a b a b b a 1 r r r r r r r r r r r r r r r r r r α α α α α α α det 1196 donde hemos utilizado la propiedad 2 2 b a a a b b b a r r r r r r r r ver Ejemplo 11 También podemos demostrar que la siguiente relación es válida B B A A B A B A det adj Tr adj Tr det det 3 2 2 3 β αβ α β α β α 1197 Para el caso particular cuando α 1 A 1 b a B r r y además teniendo en cuenta que a b 0 r det r y 0 b a r cof r concluimos que cqd Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 53 a b b a b 1 a 1 b a 1 r r r r r r r r β β β β 1 1 Tr Tr det det 1198 cuya relación ya fue demostrada anteriormente Podemos demostrar que la siguiente propiedad es válida c b A a A c A b A a r r r r r r det 1199 Para la demostración partiremos de la definición del triple producto escalar dada por 169 k j ijk i a b c c a b r r r y multiplicamos por ambos lados de la igualdad por el determinante del tensor A resultando A A c b a k j ijk i a b c r r r 1200 Fue demostrado en el Ejemplo 122 que se cumple que rk qj pi pqr ijk A A A A con lo cual A c A b a A A A c b a r r r r r r k rk j qj i pi pqr k j i rk qj pi pqr k j i ijk A c A b a A A A a b c A b c a 1201 1527 Inversa de un Tensor La inversa de un tensor A es un tensor A1 definido como si 1 A A A A A A 1 1 1 0 1202 En notación indicial si ij kj ik kj ik ij δ A A A A A 1 1 1 0 A 1203 La expresión de la inversa podemos obtener partiendo de la definición de la adjunta de un tensor dada por 1154 A b A a b a A r r r r adj T y multiplicamos escalarmente por el vector d r resultando 3 12 r r r r r r r r r r r r rc d A A A b a A 1 d A b a A d A b A a d b a A 1 T adj 1204 Utilizando la definición 1201 podemos decir que también se cumple que A c A b A a c A b a A b A a A c b A a c r r r r r r r r r r r r 1205 Luego Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición adjAT ā b d A ā A b A A1 d A ā b A1 d 1206 El vector resultante de la operación ā b representamos por el vector p ā b con lo cual la expresión anterior en notación indicial queda adjAki pk di A pk A1ki di adjAki pk di A A1ki pk di adjA ā b d A A1 ā b d Con lo cual concluimos que adjA A A1 A1 1A adjA 1A cofAT 1208 Algunas consideraciones sobre la inversa de tensores Si los tensores A y B son invertibles entonces las siguientes propiedades son válidas A B1 B1 A1 A11 A β A1 1β A1 detA1 detA1 1209 La siguiente nomenclatura será utilizada para representar la transpuesta de la inversa AT A1T AT1 1210 Podemos demostrar que también es válida la relación adjA B adjB adjA partiendo de la propia definición de la inversa 1208 B1 A1 adjB B adjA A A B B1 A1 adjB adjA A B A B1 adjB adjA A B adjA B A B adjB adjA adjA B adjB adjA donde hemos utilizado la propiedad que A B A B Análogamente podemos demostrar que cofA B cofA cofB Inversa de una matriz Pasos para obtener la inversa de una matriz A 1 Obtener la matriz cofactor cofA Sea la matriz A Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 55 33 32 31 23 22 21 13 12 11 A A A A A A A A A A 1212 Definiremos la matriz M donde las componentes ij M serán obtenidas a partir del determinante resultante de la matriz A al eliminar la línea i y la columna j es decir 22 21 12 11 23 21 13 11 23 22 13 12 32 31 12 11 33 31 13 11 33 32 13 12 32 31 22 21 33 31 23 21 33 32 23 22 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A M 1213 con esto podemos definir la matriz cofactor de A ij i j M A 1 cof 1214 2 Obtener la adjunta de la matriz A La adjunta de la matriz A es la transpuesta de la matriz cofactor A T A cof adj 1215 3 La inversa será A A A adj 1 1216 luego se cumple que A1 A A adj 1217 donde 1 es la matriz identidad Teniendo en cuenta 164 podemos expresar las componentes de la primera segunda tercera fila de la matriz cofactor 1214 respectivamente como k j ijk i 3 2 1 A A M k j ijk i 3 1 2 A A M k j ijk i 2 1 3 A A M Ejemplo 125 Dado un tensor A demostrar que existe un vector no nulo 0 n r r tal que 0 A n r r si y solo si 0 det A Chadwick 1976 Solución Primero partimos del hecho que 0 det A A y también escogemos una base arbitrario g h f r r r linealmente independiente luego 0 h g f r r r y aplicando la definición obtenida en 1201 A h A g A f h A g f r r r r r r Por el hecho que 0 det A A eso implica que 0 A h A g f A r r r Con lo cual concluimos que los vectores f A r A rg A h r son linealmente dependientes Esto implica que existen escalares no nulos α 0 β 0 γ 0 tal que 0 A n 0 h g f A 0 A h A g f A r r r r r r r r r r γ β α γ β α Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición donde nαfβgγh0 ya que fgh son linealmente independiente ver Ejemplo 110 Ahora escogemos dos vectores k m que son linealmente independientes con n y reemplazamos esta base kmn en lugar de los vectores abc de la definición en 1201 kmnAAkAmAn Considerando que An0 y que kmn0 ya que la base kmn está constituida por vectores linealmente independientes obtenemos que kmnA00 A0 cqd 1528 Tensores Ortogonales Transformación Ortogonal Tensores ortogonales juega un papel muy importante en la mecánica del continuo Un tensor de segundo orden Q se dice que es ortogonal cuando su transpuesta QT es igual a su inversa Q1 QTQ1 1218 Luego se cumple que QQTQTQ1 QikQjkQkiQkjδij 1219 En notación inicial QQTQikêiêkQjlêlêj QikQjlδklêiêj QikQjkêiêj δijêiêj 1220 Una transformación ortogonal propia tiene las siguientes características La inversa de Q es igual a la transpuesta ortogonalidad Q1QT 1221 El tensor Q será propio tenores de rotación si detQQ1 1222 Un tensor ortogonal es impropio cuando Q1 tensores de rotaciónreflexión Podemos demostrar que si A y B son tensores ortogonales un tercer tensor resultante del producto ABC también es un tensor ortogonal ver Ejemplo 126 Consideremos dos vectores arbitrarios a y b y que a través de una transformación ortogonal obtenemos aQa bQb 1223 El producto escalar de los vectores resultantes de esta operación a y b viene dado por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 57 k k j kj ij ik k j ij k ik i i T a b a Q Q b Q b Q a a b 3 2 1 r r r 23 1 r r r r r δ a b Q b a Q Q b Q a b a 1 1224 Lo que también es válido cuando b a r r luego 2 2 a a a a a a r r r r r r Con lo que concluimos que una transformación ortogonal aplicada a vectores preservan los módulos de los vectores y preservan los ángulos entre los vectores Figura 119 Es decir una transformación ortogonal está caracterizada sólo por rotaciones de los vectores Figura 119 Transformación ortogonal Ejemplo 126 Demostrar que si A y B son tensores ortogonales el tensor resultante de la operación A B C resulta ser otro tensor ortogonal Solución T T T T C A B A B A B A B C 1 1 1 1 1529 Tensor Definido Positivo Definido Negativo y Tensor Semi Definido Decimos que un tensor es definido positivo cuando se cumple que Notación Tensorial Notación Indicial Notación Matricial 0 x T x r r j 0 i ij x T x 0 x x T T 1225 para todo vector xr no nulo Decimos que un tensor es definido negativo cuando se cumple que Notación Tensorial Notación Indicial Notación Matricial 0 x T x r r j 0 i ij x T x 0 x x T T 1226 para todo vector xr no nulo El tensor será semidefinido positivo si 0 x T x r r para todo 0 x r r Análogamente definimos un tensor semidefinido negativo cuando se cumple que 0 x T x r r para todo 0 x r r cqd Q ar b r θ θ a r b r a b b a b b a a r r r r r r r r Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 58 Recordar que también se cumple que x x T x T x r r r r sym ver Ejemplo 116 luego si la parte simétrica del tensor es definido positivo el tensor también lo será Si j ij i T x x x x T x T x r r r r α luego la derivada de α con respecto a xr viene dada por i ik ki i ik j kj jk i ij j ik ij k j i ij j k i ij k x T T T x T x T x x T x x T x x x x T x δ δ α 1227 Con lo que concluimos que x T x r r 2 sym α 1228 y que T sym x x 2 2 r α r 1229 NOTA Como veremos más adelante una condición necesaria y suficiente para que un tensor sea definido positivo es que sus autovalores λ1 0 λ2 0 λ3 0 sean positivos La demostración se encuentra en el subapartado Representación Espectral de un Tensor Ejemplo 127 Sea un tensor de segundo orden arbitrario F Demostrar que los tensores resultantes F F C T y b F F T son tensores simétricos y semidefinidos positivos Verificar también en que condiciones C y b son tensores definidos positivos Solución b F F F F F F b C F F F F F F C T T T T T T T T T T T T T T simetría Con lo cual hemos demostrado que los tensores F F C T y b F F T son simétricos Para demostrar que los tensores F F C T y b F F T son semidefinidos positivos partimos de la definición de un tensor semidefinido positivo es decir un tensor A es semidefinido positivo si se cumple que 0 x A x r r para todo 0 x r r Luego 0 0 2 2 x x x x x x x x x x x x x x r r r r r r r r r r r r r r T T T T T F F F F F F F F b F F C En notación indicial 0 0 2 2 i ik i ki j jk i ik j kj i ki j jk ik i j ij i j kj ki i j ij i F F F F F F F F b F F C x x x x x x x x x x x x x x Con lo cual demostramos que F F C T y b F F T son semidefinidos positivos Observemos que x 2 x x r r r F C sólo será igual a cero con 0 x r r si 0 x F r r y por definición 0 x F r r con 0 x r r si y solo si 0 det F ver Ejemplo 125 Luego los tensores F F C T y b F F T serán tensores definidos positivos si y solo si 0 det F Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 59 15210 Descomposición Aditiva de Tensores Dados dos tensores arbitrarios S T 0 y un escalar α podemos hacer la representación del tensor S a través de la siguiente descomposición aditiva de tensores T S U U T S α α donde 1230 Observemos que dependiendo del valor de α tendremos infinitas posibilidades para la representación del tensor S de forma aditiva de tensores Pero si 0 T T U T T U Tr Tr la descomposición aditiva es única Partiendo de 1230 podemos obtener el valor de α 0 T T T T T T T T T U T T T S T U T T T S T Tr Tr Tr Tr α α α 14243 1231 con lo cual obtenemos que T T T T S T Tr Tr α 1232 Como ejemplo supongamos que T 1 obtenemos α como 3 S 1 S 1 1 S 1 T T S T Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr T T α 1233 Con eso podemos definir el tensor U como Sdev S 1 S T S U 3 Tr α 1234 Luego dev esf dev S S S S 1 S 3 Tr 1235 NOTA Al tensor S 1 S 3 Tr esf denominamos de tensor esférico y al tensor S 1 S S 3 Tr dev de tensor desviador de S Supongamos ahora que el tensor 2 1 ST S T luego podemos definir α como 1 4 1 2 1 T T T T T T T S S S S S S S T T T S Tr Tr Tr Tr α 1236 donde hemos tenido en cuenta la propiedad de traza T T S S S S Tr Tr T T S S S S Tr Tr Con eso podemos definir el tensor U como 2 1 2 1 T T S S S S S T S U α 1237 Representando así el tensor S a través de la siguiente descomposición aditiva única como anti sym T T S S S S S S S 2 1 2 1 1238 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 60 que es la misma obtenida en la descomposición aditiva de un tensor en una parte simétrica y otra antisimétrica ver expresión 1151 Ejemplo 128 Encontrar un tensor de cuarto orden P tal que se cumpla que P A Adev Solución Teniendo en cuenta la descomposición aditiva de un tensor en una parte esférica y otra desviadora podemos obtener que A 1 A A A A 1 A A A 3 3 Tr Tr dev dev dev esf Recurriendo a la definición de los tensores identidades de cuarto orden definidos en 1176 y 1174 donde se cumple que A 1 A Tr I y I A A Entonces podemos decir que A 1 1 A A A A 1 A A 3 1 3 1 3 1 3 I I I I I Tr dev Con lo cual concluimos que 1 1 3 1 I P El tensor P es conocido como tensor proyección de cuarto orden Holzapfel2000 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 61 153 Ley de Transformación de las Componentes de Tensores Las componentes de un tensor dependen del sistema de coordenadas es decir si cambia el sistema de coordenadas debido a una rotación del sistema las componentes también cambiarán Entre los sistemas de coordenadas las componentes están relacionadas entre sí a través de las leyes de transformación de base Figura 120 Figura 120 Leyes de transformación de base Consideremos el sistema de coordenadas cartesianas 3 2 1 x x x representado por la base ortonormal 3 2 1 ˆ ˆ ˆ e e e véase Figura 121 En este sistema un vector arbitrario vr representamos a través de sus componentes como sigue 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e v v v v v i i r 1239 Representaremos sus componentes a través de una matriz columna ie 3 2 1 v v v v i i vr 1240 COMPONENTES Representación del Tensor en un Sistema de Coordenadas SISTEMA DE COORDENADAS I SISTEMA DE COORDENADAS II LEYES DE TRANSFORMACIÓN TENSORES Interpretación matemática de conceptos físicos Independiente del sistema de coordenadas Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 62 Figura 121 Transformación de coordenadas Considerando ahora un nuevo sistema de coordenadas ortogonal 3 2 1 x x x representado por sus respectivos versores 3 2 1 ˆ ˆ ˆ e e e como se muestra en la Figura 121 el vector vr será representado en este sistema como jej v ˆ Como hemos mencionado anteriormente un vector por ser un tensor es independiente del sistema adoptado luego j j k k e e v ˆ ˆ v v r 1241 Para obtener las componentes según una dirección es suficiente hacer el producto escalar por el versor correspondiente a esta dirección i i i j j ki k i j j i k k e e e e e e e e e e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 2 2 1 1 v v v v v v v v δ 1242 o aún 3 3 3 2 2 1 1 2 3 3 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e e e e e v v v v v v v v v v v v 1243 Reestructurando la expresión anterior obtenemos j i i j aij e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 1 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 3 2 1 v v v v v v 1244 o aún j ij i v a v 1245 2x 1x 3x 1x 2x 3x 1 α 1 β 1 γ 2 ˆe 3 ˆe 1ˆe 3 ˆe 1ˆe 2 ˆe Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 63 donde definimos la matriz de transformación de coordenadas A aij como 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e aij A 1246 Considerando el producto escalar j i j i j i j i x x x x cos cos ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e ver ecuación 14 la relación anterior será expresada a través de los cosenos directores por v v 3 2 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 2 1 cos cos cos cos cos cos cos cos cos v v v v v v 4444444 3 4 444444 2 1 A x x x x x x x x x x x x x x x x x x v v A 1247 En la Figura 121 se observa que 1 1 1 cos cos x x α 2 1 1 cos cos x x β y 3 1 1 cos cos x x γ es decir la primera fila de ij a esta formada por los cosenos de los ángulos que forma 1x con 1x 2x y 3x Observemos que esta matriz es no simétrica A AT y será representada explícitamente por 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a aij A 1248 La inversa de la ecuación 1245 será v v T ji j i ji j ki k i j j i k k a a A v v v v v v δ e e e e ˆ ˆ ˆ ˆ 1249 También podemos decir que j ji i a e e ˆ ˆ 1250 La inversa de la relación 1247 viene dada por v v A1 1251 Comparando las relaciones 1251 y 1249 concluimos que la matriz A es una matriz ortogonal es decir ij kj ki T T a a δ Indicial Notación 1 1 A A A A 1252 Tensor de segundo orden Consideremos un sistema de coordenadas representado por su base ortonormal i eˆ luego el cambio de base para un nuevo sistema representado por su base ortonormal i eˆ será dado por la ley de transformación i ik k a e e ˆ ˆ Consideremos ahora la representación de un tensor de segundo orden T de forma simbólica Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 64 j i ij j i jl ik kl j jl i ik kl l k kl a a a a e e e e e e e e T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T T T T 1253 Resultando que la ley de transformación para las componentes de tensores de segundo será jl ik kl ij T T a a 1254 Tensor de tercer orden Consideremos ahora un tensor de tercer orden S representado en la base i eˆ k j i ijk k j i kn jm il lmn k kn j jm i il lmn n m l lmn a a a a a a e e e e e e e e e e e e S ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S S S 1255 concluyendo que las componentes del tensor de tercer orden en la nueva base i eˆ serán kn jm il lmn ijk a a a S S 1256 En forma general las transformaciones de coordenadas de las componentes de tensores de primer segundo tercer y cuarto orden serán dadas respectivamente por orden de 3 2 1 3 2 1 x x x x x x a de 3 2 1 3 2 1 x x x x x x a 0 escalar λ λ λ λ 1 vector j ij i S a S j ji i a S S 2 kl jl ik ij a a S S kl lj ki ij a a S S 3 lmn kn jm il ijk a S a a S lmn nk mj li ijk S a a a S 4 mnpq lq kp jn im ijkl a a a a S S mnpq ql pk nj mi ijkl a S a a a S 1257 Ejemplo 129 Obtener las componentes de la siguiente operación A T AT T donde ij T y ij a son las componentes de los tensores T y A respectivamente Si ij a son las componentes de la matriz de transformación de base hacer también la representación de las componentes de los tensores T y T en sus respectivos sistemas Solución La expresión A T AT T en notación simbólica queda ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k r kq pq rp k r ql sp kl pq rs k l kl q p pq s r rs b a ab a a a a a a e e e e e e e e e e e e T T T T δ δ Para obtener las componentes de T es suficiente hacer el doble producto escalar por la base ˆ ˆ j i e e resultando jq pq ip ij kj ri kq pq rp bj ai ab j i k r kq pq rp j i b a ab a a a a a a T T T T T T δ δ δ δ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e Observemos que esta operación viene representada en forma matricial como Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 65 A T AT T Si A es la matriz de transformación de base se cumple que A T A1 luego se cumple que T A A T T y la representación de las componentes se muestran en la Figura abajo Figura 122 Ley de transformación de base NOTA Aunque en la Figura 122 hemos dibujado los sistemas xr y xr en realidad estos dos sistema tiene el mismo origen tal y como se puede apreciar en la Figura 121 Hemos separado los sistemas para mejor visualización de las componentes Ejemplo 130 Considérese un tensor de segundo orden simétrico T TT y T I II T III T escalares dados por 2 1 2 2 T T T T T T T det Tr T Tr III I II I ii Demostrar que T I II T III T son invariantes bajo un cambio de base Solución a Considerando la ley de transformación para un tensor de segundo orden dado por 1257 podemos decir que kl jl ik ij a a T T Luego haciendo que i j obtenemos ii T y vendrá dado por IT a a kk kl kl kl il ik ii T T T T δ Lo que demuestra que T I es un invariante b Para demostrar que II T es un invariante es suficiente demostrar que Tr T 2 es un invariante ya que se demostró que T I es un invariante 1x 2x 3x 11 T 21 T 31 T 12 T 32 T 22 T 33 T 13 T 23 T 3x 2x 1x 11 T 21 T 31 T 12 T 32 T 22 T 33 T 13 T 23 T A T AT T T A A T T 3x 1x 2x Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 66 2 2 T T T T T T T T T T T T Tr Tr Tr T T T T T T T T Tr Tr T pl pl pq kl lq jq jl kp ip ik pq jq ip kl jl ik ij ij a a a a a a a a 3 2 31 2 1 δ δ c 1 1 T A T A A T A T det det det det det det det 4243 1 43 42 1 T T T Consideremos ahora cuatro sistemas de coordenadas 3 2 1 x x x 3 2 1 x x x 3 2 1 x x x y 3 2 1 x x x y así como las siguientes matrices de transformación ver Figura 123 A matriz de transformación del sistema 3 2 1 x x x al sistema 3 2 1 x x x B matriz de transformación del sistema 3 2 1 x x x al sistema 3 2 1 x x x C matriz de transformación del sistema 3 2 1 x x x al sistema 3 2 1 x x x Figura 123 Matrices de transformación entre sistemas Si consideramos una matriz columna v formada por las componentes del tensor de orden uno vr en el sistema 3 2 1 x x x y las matrices de transformación A B C podemos decir que las componentes de este vector en el sistema 3 2 1 x x x serán v v A 1258 y su forma inversa v v AT 1259 Las componentes de este vector en el sistema 3 2 1 x x x son v v B 1260 y su forma inversa v v BT 1261 Reemplazando la ecuación 1258 en la ecuación 1260 hallamos v v BA 1262 X X X B BT B 1 A AT A 1 ATBT BA X T T T A B C CBA CT C 1 C Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 67 La matriz formada por BA será la matriz de transformación también ortogonal ie T 1 BA BA ver Ejemplo 126 del sistema 3 2 1 x x x para el sistema 3 2 1 x x x ver Figura 123 La forma inversa será obtenida reemplazando la ecuación 1261 en la ecuación 1259 resultando v v ATBT 1263 Podríamos haber obtenido esta ecuación directamente de la ecuación 1262 v v v v T T T A B BA BA 1 1264 Análogamente podemos obtener las componentes del vector en el sistema 3 2 1 x x x ver Figura 123 como v v v v T T T A B C CBA Forma inversa 1265 1531 Transformada de Coordenadas en 2 Dimensiones En el caso 2D tenemos como matriz de transformación de coordenadas una matriz con 4 componentes donde dos son redundantes y además las otras dos se pueden escribir en función de una única variable libre α Figura 124 Transformación de sistema de coordenadas 2D La transformación de coordenadas entre el sistema x y al sistema y x viene dada por la matriz A que es 1 0 0 0 cos cos 0 cos cos 1 0 0 0 0 22 21 12 11 y y x y x y x x a a a a α α α α A 1266 cuya matriz A es la matriz con los cosenos directores ver Figura 124 Por relaciones trigonométricas podemos deducir que sin cos 2 cos sin cos 2 cos cos cos cos α α α α α α α α α α α π π x y y x y y x x y y x x 1267 Quedando la matriz de transformación en 2D definida por α yy αxy α α xx x y x y α yx α α α α α α π π 2 2 x y y x y y Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 68 cos sin sin cos α α α α A 1268 Como comprobación de esta transformación consideremos un vector posición del punto P dado por rr donde sus coordenadas son xP yP en el sistema x y y las coordenadas del mismo punto en el sistema y x son xP yP ver Figura 125 Figura 125 Transformación de sistema de coordenadas 2D Podemos escribir que π β β β α cos 2 cos cos cos P P P P P P y x y y x x π π cos 2 cos cos 2 cos α α α α P P P P P P y x y y x x 1269 cos sin sin cos α α α α P P P P P P y x y y x x 1270 En forma matricial P P P P Inversa Forma P P P P y x y x y x y x cos sin sin cos cos sin sin cos 1 α α α α α α α α 1271 Como la matriz es ortonormal su inversa es igual a su transpuesta es decir AT A 1 luego la relación anterior puede ser reescrita como P P P P y x y x cos sin sin cos α α α α 1272 α P x P y β x y x y P y rr P P x xP cosα P cosα x α yP sinα P sinα y xP sinα P sinα x yP cosα P cosα y P yP y Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 69 Ejemplo 131 Encontrar la matriz de transformación del sistema x y z al sistema z y x ver Figura 126 Figura 126 Rotación Solución Podemos observar que la obtención del sistema z y x es una combinación de rotaciones mostradas a continuación Rotación según eje z y y x y z z x z z y x x β α α γ γ sistema x y z para x y z 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos α α α α A con 360º 0 α x y z z x y α α Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 70 Rotación según eje y Rotación según eje z La matriz de transformación del sistema x y z para el sistema z y x ver Figura 123 será dada por D CBA Resultando β β α β α γ β γ α γ β α γ α γ β α γ β γ α γ β α γ α γ β α cos sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos D Los ángulos α β γ son conocidos como los ángulos de Euler sistema z y x para z y x 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos γ γ γ γ C con 360º 0 γ y y x y z z x z z y x x β α α γ γ sistema x y z para z y x β β β β cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos B con 180º 0 β y y x y z z x z x β α α β x z z z x Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 71 Ejemplo 132 Consideremos que las componentes de un tensor de segundo orden T en el sistema de referencia 3 2 1 x x x están representadas por 1 0 0 0 3 1 0 1 3 T ij ij T T Sabiendo que la matriz de transformación de coordenadas del sistema 3 2 1 x x x al sistema 3 2 1 x x x viene dada por 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 1 0 0 A Obtener las componentes del tensor ij T en el nuevo sistema de coordenadas 3 2 1 x x x Solución Como se definió en la ecuación 1257 la ley de transformación para un tensor de segundo orden es kl jl ik ij a a T T Para que la operación anterior sea posible en forma matricial l j T k l i k ij a a T T Luego A T AT T 0 0 1 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 1 0 0 0 3 1 0 1 3 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 1 0 0 T Efectuando la operación de matrices obtenemos que 4 0 0 0 2 0 0 0 1 T NOTA Como podemos verificar en el ejemplo anterior las componentes del tensor T en esta nueva base presenta una característica donde los términos fuera de la diagonal principal son nulos La pregunta ahora es Dado un tensor T existe una transformación de base tal que las componentes fuera de la diagonal principal de este tensor sean nulos Este tipo de problema es el denominado problema de autovalor y autovector 154 Autovalores y Autovectores de un Tensor Como hemos visto anteriormente el producto escalar de un tensor de segundo orden T con un vector o un versor nˆ resulta un vector o dicho de otra manera que la proyección Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 72 de un tensor de segundo orden según una dirección resulta un vector que no necesariamente tiene la misma dirección de nˆ ver Figura 127 a El problema de autovalor y autovector consiste en encontrar una dirección nˆ tal que el vector proyección según está dirección esté coincidente con la dirección nˆ ver Figura 127 b Figura 127 Proyección de un tensor sobre una dirección Luego sea un tensor T Un vector nˆ se dice autovector de T si existe un escalar λ denominado autovalor tal que n T n ˆ ˆ λ 1273 Si T es un tensor de segundo orden podemos escribir la ecuación 1273 en componentes como 0 n 1 T r λ λ λ λ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Tensorial Notación i j ij ij i i j ij i j ij 0 n T 0 n n T n n T δ 1274 El conjunto de ecuaciones homogéneas anteriores solo tendrá soluciones no triviales de nˆ es decir para 0 n r ˆ ver Ejemplo 125 si y sólo si 0 0 λ λ ij ij δ T det 1 T 1275 que es conocido como el determinante característico del tensor T explícitamente dado por 0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 λ λ λ T T T T T T T T T 1276 T n t n ˆ ˆ r nˆ 1x 2x 3x n n t T n t n n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ λ r r nˆ nˆ dirección principal λ autovalor asociado a la dirección nˆ b Dirección principal de T a Proyección de T sobre un plano arbitrario Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 73 Desarrollando este determinante y reestructurando los términos podemos obtener el polinomio característico que está representado por una ecuación cúbica en λ 0 2 3 λ λ λ T T T III II I 1277 donde T I II T III T son los invariantes principales del tensor T definidos en función de sus componentes ij T por ii I T Tr T T Tr cof M T T T T T T T T Tr T T T T T Tr T Tr T T Tr Tr Tr T e e e e e e e e e e T T T ii ji ij kk ii il jk kl ij kk ii l i jk kl ij kl kl ij ij l k kl j i ij l k kl j i ij II 2 1 2 1 ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 2 1 2 2 δ δ δ δ δ 3 2 1 k j i ijk ij III T T T T det T T 1278 donde ii M es la traza de la matriz cofactor definida en la expresión 1213 ie 33 22 11 M M M M ii Explícitamente los invariantes vienen dados por 22 31 32 21 13 23 31 33 21 12 23 32 33 22 11 21 12 22 11 31 13 33 11 32 23 33 22 22 21 12 11 33 31 13 11 33 32 23 22 33 22 11 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T III II I 1279 Si T es un tensor simétrico los invariantes principales se resumen de la forma 22 2 13 11 2 23 33 2 12 23 12 13 23 13 12 33 22 11 2 23 2 13 2 12 33 22 33 11 22 11 33 22 11 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T III II I 1280 Los autovalores 3 2 1 λ λ λ se obtienen al resolver la ecuación cúbica 1277 Una vez obtenidos los autovalores los autovectores se obtienen al aplicar la ecuación 1274 ie i j ij ij 0 n T λ 1 1 ˆ δ i j ij ij 0 n T λ 2 2 ˆ δ i j ij ij 0 n T λ 3 3 ˆ δ con la restricción 1 ˆ ˆ nknk Estos autovectores constituyen una nueva base denominada de espacio principal Si T es simétrico el espacio principal viene definido por una base ortonormal y los autovalores son todos reales Si los tres autovalores son distintos 3 2 1 λ λ λ tenemos tres direcciones principales únicas Si dos autovalores son iguales eg 3 2 1 λ λ λ tenemos en OBS Encontrar los autovalores también conocidos como valores principales es equivalente a encontrar unas direcciones principales autovectores tal que Tij 0 para i j Además podemos decir que los autovectores constituyen una matriz de transformación entre el sistema original y el sistema formado por los autovectores δ jk Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 74 este caso una dirección principal única ˆn 3 correspondiente al autovalor 3 λ y las otras dos pueden ser cualesquiera mientras sean mutuamente ortogonales entre si y a ˆn 3 es decir cualquier dirección que este en el plano normal a ˆn 3 Si 3 2 1 λ λ λ cualquier dirección será una dirección principal Cuando un tensor presenta los tres autovalores iguales lo denominamos de Tensor Esférico ver A4 Elipsoide del Tensor Una vez obtenidos los autovectores estos constituyen una base ortonormal denominado de espacio principal En este espacio sólo tendremos componentes normales Luego las componentes del tensor en este espacio vienen representadas por λ λ λ 3 2 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T T Tij 1281 En este espacio espacio principal los invariantes pueden ser obtenidos como 3 2 1 3 1 3 2 2 1 3 2 1 T T T T T T T T T T T T T T T III II I 1282 Cuyos valores tienen que coincidir con los valores obtenidos en 1279 ya que son invariantes En el caso particular que el tensor sea esférico es decir T T T T 3 2 1 se cumple que T T II I 2 3 III T T3 Dado un tensor antisimétrico W los invariantes principales vienen dados por 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 2 12 12 13 13 23 23 12 12 13 13 23 23 2 2 2 W W W W W W W III II I ω W W W W W W W W W W W W Tr Tr Tr Tr 1283 donde 2 12 2 13 2 23 2 2 W W W w w w r r r ω ver expresión 1133 Luego la ecuación característica correspondiente a un tensor antisimétrico queda 0 0 0 2 2 2 3 2 3 λ λ λ λ λ λ λ ω ω W W W III II I 1284 Con lo cual comprobamos que por lo menos un autovalor es real e igual a cero y dos posibles raíces imaginarias i 1 0 0 1 2 2 2 2 2 ω ω ω ω λ λ λ 1285 1541 Ortogonalidad de los Autovectores Retomando la definición de autovalores dada por 1273 si 1 λ 2 λ 3 λ con 3 2 1 λ λ λ son los autovalores del tensor de segundo orden T luego se cumple que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 75 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n T n n T n n T n λ λ λ 1286 Podemos multiplicar la primera expresión por ˆn 2 y a la segunda por ˆn 1 resultando 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n T n n n n T n n λ λ 1287 Considerando T simétrico se cumple que 2 1 2 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T n n n T n T n n T luego 2 1 2 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n λ λ 1288 Teniendo en cuenta que 2 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n la relación anterior queda 0 ˆ ˆ 2 1 2 1 λ λ n n 1289 Ya que 0 2 1 λ λ para satisfacer 1289 se debe cumplir que 0 ˆ ˆ 2 1 n n 1290 Análogamente podemos demostrar que 0 ˆ ˆ 3 1 n n y 0 ˆ ˆ 3 2 n n Con lo que demostramos que los autovectores son versores ortogonales entre sí constituyendo así una base ortonormal ver Figura 128 donde la matriz de transformación de base viene dada por 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n n n n n n n n n A 1291 NOTA Si el tensor no es simétrico los autovectores no necesariamente constituyen una base ortonormal Figura 128 Diagonalización 2x diagonalización 3x 1x 1x 2x 3x 22 T 12 T 12 T 11 T 23 T 23 T 13 T 13 T 33 T 2 T 1 T 3 T ˆn 1 ˆn 2 ˆn 3 Espacio Principal A T AT T T A A T T Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 76 Ejemplo 133 Demostrar que las siguientes relaciones son invariantes 4 3 4 2 4 1 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 C C C C C C C C C donde 1 C 2 C 3 C son los autovalores del tensor de segundo orden C Solución Cualquier combinación de los invariantes principales será un invariante Intentaremos expresar las relaciones anteriores en función de los invariantes principales Consideremos la siguiente relación C C C C II I C C C C C C C C C C C C C C C I II 2 2 2 2 3 2 2 2 1 3 2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 4444 3 4 444 2 1 Comprobando que 2 3 2 2 2 1 C C C es un invariante Análogamente podemos obtener que 2 C C C 2 C C C C C C C II I III I II I C C C III I II I C C C 2 4 4 3 3 4 4 3 4 2 4 1 3 3 3 3 2 3 1 Ejemplo 134 Demostrar que si Q es un tensor de segundo orden ortogonal propio y E es un tensor de segundo orden los autovalores de E no cambian con la transformación Q E QT E Solución Los autovalores i λ del tensor E obtenemos a partir del determinante característico kp kp jp kp kp ik jp kp kp ik kp jp ik jp kp ik ij jp kp ik ij ij T T T T T δ δ δ δ δ δ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ E det det Q det E Q det Q E Q det Q Q Q Q E det Q Q E det E det det det det det det det det det det 0 0 1 1 1 E Q 1 E Q Q 1 E Q 1 Q Q E Q Q 1 E Q Q 1 E 1 E 43 42 1 23 1 Con lo cual comprobamos que E y E tienen los mismos autovalores 1542 Solución de la Ecuación Cúbica Si un tensor T es simétrico podemos demostrar que las raíces de la ecuación característica 0 2 3 λ λ λ T T T III II I serán todas raíces reales definidas de la forma 3 3 4 cos 3 2 3 3 2 cos 3 2 3 cos 3 2 3 2 1 T T T I S I S I S π λ π λ λ α α α 1292 con T Q R T I III II I Q R S II I R 2 arccos 27 27 2 3 3 3 3 3 3 2 α T T T T T T Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 77 con α en radianes 1293 Ya que 1 λ 2 λ 3 λ son los autovalores del tensor T luego podemos reestructurar la solución como 44444444 3 44444444 2 1 4 4 4 3 4 2 1 Desviadora Parte Esférica Parte 3 2 1 3 4 cos 3 0 0 0 3 2 cos 3 0 0 0 3 cos 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 π π λ λ λ α α α S I T 1294 donde distinguimos claramente la parte esférica y desviadora del tensor Observemos que si T es esférico se cumple que T T II I 2 3 luego R S 0 Ejemplo 135 Determinar los valores principales y las direcciones principales del tensor de segundo orden simétrico T cuyas componentes en la base Cartesiana se representan matricialmente por 1 0 0 0 3 1 0 1 3 T ij ij T T Solución Buscamos soluciones no triviales para i j ij ij 0 λ n T δ con la restricción de que 1 ˆ ˆ n jn j Como ya hemos visto la solución no trivial requiere la condición 0 λ ij ij δ T Explícitamente la expresión anterior queda 0 1 0 0 0 3 1 0 1 3 33 32 31 23 22 21 13 12 11 λ λ λ λ λ λ T T T T T T T T T Desarrollando el determinante anterior obtenemos la ecuación cúbica 0 8 14 7 0 1 3 1 2 3 2 λ λ λ λ λ Podríamos haber obtenido directamente la ecuación característica anterior a través de los invariantes 7 33 22 11 T T T T Tr T ii ij IT 14 2 1 22 21 12 11 33 31 13 11 33 32 23 22 T T T T T T T T T T T T T T T T ij ij jj ii II T 8 3 2 1 k j i ijk ij III T T T T T Luego utilizando la ecuación 1277 la ecuación característica será 0 8 14 7 0 2 3 2 3 λ λ λ λ λ λ T T T III II I Resolviendo la ecuación cúbica podemos obtener las tres raíces reales puesto que la matriz T es simétrica 4 2 1 3 2 1 λ λ λ Podemos además comprobar si los invariantes están bien calculados utilizando la expresión de los invariantes en función de los autovalores Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 78 8 14 1 4 4 2 2 1 7 4 2 1 3 2 1 1 3 3 2 2 1 3 2 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ T T T III II I Con lo que podemos comprobar que los invariantes son los mismos que los obtenidos anteriormente Cálculo de las direcciones principales Para obtener las direcciones principales utilizamos la ecuación 1274 donde cada autovalor i λ está asociado a un autovector nˆ i Para λ1 1 λ λ λ 0 0 0 1 1 0 0 0 1 3 1 0 1 1 3 1 0 0 0 3 1 0 1 3 3 2 1 3 2 1 1 1 1 n n n n n n resultando el siguiente sistema de ecuaciones 1 0 0 0 0 2 0 2 2 3 2 2 2 1 3 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n i i Luego podemos obtener que 1 0 0 ˆ 1 1 1 λ in NOTA Esta solución podría haberse determinado previamente por la situación particular que presentan las componentes del tensor Al ser los términos 0 32 31 23 13 T T T T T33 1 ya es un valor principal como consecuencia esta dirección ya es una dirección principal Para λ2 2 λ λ λ 0 0 0 2 1 0 0 0 2 3 1 0 1 2 3 1 0 0 0 3 1 0 1 3 3 2 1 3 2 1 2 2 2 n n n n n n 0 0 0 3 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n Podemos observar que las dos primeras ecuaciones son linealmente dependientes Necesitamos entonces de una ecuación adicional 2 1 1 2 1 1 2 1 2 3 2 2 2 1 n n n n n n n i i Luego λ 0 2 1 2 1 ˆ 2 2 2 in Para λ3 4 λ λ λ 0 0 0 4 1 0 0 0 4 3 1 0 1 4 3 1 0 0 0 3 1 0 1 3 3 2 1 3 2 1 3 3 3 n n n n n n Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 79 2 1 1 2 1 0 3 0 0 2 2 2 2 3 2 2 2 1 3 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n n n i i Resultando λ 0 2 1 2 1 ˆ 4 3 3 m in Podemos entonces resumir que las direcciones principales correspondientes a sus valores principales son λ λ λ 0 2 1 2 1 ˆ 4 0 2 1 2 1 ˆ 2 1 0 0 ˆ 1 3 3 2 2 1 1 m i i i n n n NOTA Las componentes del tensor en el sistema de coordenadas original 3 2 1 x x x es el mismo del Ejemplo 132 Los autovalores obtenidos fueron λ1 1 λ2 2 y λ3 4 y la matriz de transformación A está constituida por los autovectores de T Verificando así que los autovectores constituyen una base de transformación del sistema 3 2 1 x x x para el sistema 3 2 1 x x x que está formada por los ejes principales 155 Representación Espectral de Tensores De la solución de la ecuación 1277 obtenemos tres autovalores 1 1 λ T 2 2 λ T 3 3 λ T Cada autovalor estará asociado a un autovector es decir ˆ ˆ ˆ ˆ para ˆ ˆ ˆ ˆ para ˆ ˆ ˆ ˆ para 3 3 3 2 3 1 3 3 2 3 2 2 2 1 2 2 1 3 1 2 1 1 1 1 n n n n T n n n n T n n n n T i i i 1295 En el espacio principal cuyas bases están formadas por los autovectores 3 2 1 ˆ ˆ ˆ n n n el tensor T tendrá como componentes una matriz diagonal formada por los autovalores 3 2 1 0 0 0 0 0 0 T T T T T ij 1296 Sabiendo que los autovectores forman una base de transformación tal que A T AT T 1297 luego la forma inversa será T A A T T 1298 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 80 donde 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n n n n n n n n n A 1299 Explícitamente la relación 1298 queda A A A A A A A A 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 1 3 2 1 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 3 2 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 33 23 13 23 22 12 13 12 11 T T T T T T T T T T n n n n n n n n n T T T n n n n n n n n n T T T T T T T T T 1300 donde se cumple que 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 1 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 3 1 2 1 3 1 1 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 j i T j i T j i T n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A A A A A A 1301 Luego podemos representar las componentes de un tensor de segundo orden en función de sus valores principales y autovectores como 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j i j i j i ij n T n n T n n T n T 1302 o en notación tensorial como 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n n n T T T T 1303 o también 3 1 ˆ ˆ a a a a n n T T Representación espectral de un tensor simétrico de segundo orden 1304 que es la denominada representación espectral del tensor Observemos que en la expresión anterior tenemos que recurrir al símbolo de suma ya que el índice aparece tres veces en la expresión NOTA La representación espectral 1304 podría haber sido obtenida fácilmente partiendo de la definición del tensor identidad tensor esférico dada por 1169 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 81 i i n n 1 ˆ ˆ donde ˆ ˆ ˆ 3 2 1 n n n constituye una base ortonormal Podemos también representar i i n n 1 ˆ ˆ a través del símbolo de suma como 3 1 ˆ ˆ a a a n n 1 Luego se cumple que 3 1 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a a a a a a a n n n T n n n T T 1 T T 1305 donde hemos utilizado la definición de autovalor y autovector ˆ ˆ a a a n T n T Consideremos un tensor ortogonal R cuya transformación ortogonal aplicada al versor original Nˆ transforma en el versor nˆ es decir ˆ ˆ n R N Podemos entonces hacer la representación espectral de un tensor ortogonal como 3 1 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a a a a a a N n N R N N N R R 1 R 1306 En el espacio de las direcciones principales la potencia de tensores podemos expresarla como n n n ij n 3 2 1 0 0 0 0 0 0 T T T T 1307 Luego la representación espectral del tensor n T será 3 1 ˆ ˆ a a a n a n n n T T 1308 Si ahora queremos calcular la raíz cuadrada del tensor T podemos fácilmente obtener a través de la representación espectral 3 1 ˆ ˆ a a a a n n T T 1309 Consideremos un tensor semidefinido positivo T luego hay que cumplir 0 x T x r r para todo 0 x r r Aplicando la representación espectral obtenemos que 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 3 1 3 1 x n n x x n n x T x x r r r r r r a a a a a a a a T T 1310 Observemos que el resultado de la operación ˆ x na r es un escalar con lo cual podemos escribir que 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 2 3 3 2 2 2 2 1 1 3 1 2 3 1 0 x n x n n x x n x n n x r r r 14243 r r r T T T T T a a a a a a a 1311 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 82 Fijemos que la expresión anterior hay que cumplir para todo 0 x r r Si adoptamos 1ˆn x r quedamos con 0 ˆ ˆ 1 2 1 1 1 T T n n análogamente para 2 T y 3 T Con lo cual demostramos que si un tensor es semidefinido positivo eso implica que sus autovalores son mayores o igual a cero T1 0 T2 0 T3 0 Concluimos también que un tensor será definido positivo si y solo si sus autovalores son positivos y distintos de cero es decir T1 0 T2 0 T3 0 Como consecuencia la traza de un tensor definido positivo es mayor que cero Si la traza de un tensor definido positivo es igual a cero eso implica que el tensor es el tensor nulo Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente queda trivial la representación de los tensores identidades de cuarto orden de la siguiente forma 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a b b a b a j i j i k j i j ik e e e e e e e e e e e e l δ δ l I 1312 Luego como I es un tensor isótropo será válido también en cualquier base ortonormal nˆ a 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ b a b a b a n n n n I 1313 Análogamente podemos hacer la representación de los tensores I I como i j j i k j i jk i e e e e e e e e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l δ lδ I 1314 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ b a a b b a n n n n I 1315 y k k i i k j i ij k e e e e e e e e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l δ δ l I 1316 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ b a b b a a n n n n I 1317 Ejemplo 136 Sea w un tensor antisimétrico de segundo orden y V un tensor de segundo orden definido positivo cuya representación espectral viene dada por λ 3 1 ˆ ˆ a a a a n n V Demostrar que el tensor antisimétrico w puede ser representado por 3 1 ˆ ˆ a b b a b a ab n w n w Demostrar también que se cumple la relación λ λ 3 1 ˆ ˆ a b b a b a a b ab n n V V w w w Solución Es cierto que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 83 3 1 3 1 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ b a a a b b a a a a a a a a a w n n n n n n n n n 1 wr w w w donde hemos aplicado la propiedad de un tensor antisimétrico n n ˆ ˆ wr w donde wr es el vector axil asociado al tensor w Expandiendo la expresión anterior obtenemos que 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n w w w w w w w w w w w w b b b b b b w Simplificando la expresión anterior resulta que 3 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 1 1 2 3 1 3 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n n n n n n n n n w w w w w w w Además teniendo en cuanta que 32 23 1 w w w 31 13 2 w w w 21 12 3 w w w w aún puede ser expresado por 3 1 13 3 2 23 2 1 12 2 3 32 1 2 21 1 3 31 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n n n n n n n n n w w w w w w w el cual es exactamente igual a 3 1 ˆ ˆ a b b a b a ab n w n w Los términos wV y V w pueden ser obtenidos como sigue a continuación λ λ λ 3 1 3 1 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a b b a b a ab b a b b a b b b a ab b b b b b a b b a b a ab n n n n n n n n n n V w w w w y λ λ 3 1 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a b b a b a ab a a b b a b a ab a a a a n n n n n n V w w w Luego Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 84 λ λ λ λ 3 1 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a b b a b a a b ab a b b a b a ab a a b b a b a ab b n n n n n n V V w w w w w Análogamente es posible demostrar que λ λ 3 1 2 2 2 2 ˆ ˆ a b b a b a a b ab n n V V w w w 156 Teorema de CayleyHamilton El teorema de CayleyHamilton afirma que cualquier tensor T satisface su propia ecuación característica es decir si 3 2 1 λ λ λ son los autovalores de T podemos escribir λ λ λ 3 2 1 0 0 0 0 0 0 T ij 1318 Y si estos autovalores satisfacen la ecuación 0 2 3 λ λ λ T T T III II I el tensor T también la satisface es decir 0 1 T T T T T T III II 2 I 3 1319 Una aplicación del teorema de CayleyHamilton es expresar la potencia de tensores n T como una combinación de Tn1 Tn2 Tn3 Si queremos obtener 4 T queda T T T T 0 1 T T T T T T T T T T T T T III II I III II I 2 3 4 2 3 1320 Utilizando el teorema de CayleyHamilton podemos expresar el tercer invariante en función de las trazas que será útil a la hora de obtener las derivadas parciales de los invariantes Según el teorema de CayleyHamilton sigue siendo válida la expresión 0 1 T T T T T T III II I 2 3 1321 Haciendo el doble producto escalar con el tensor identidad de segundo orden 1 la expresión queda 0 1 1 1 T 1 1 T 1 T T T T III II I 2 3 1322 Como ya hemos visto anteriormente las siguientes relaciones son válidas 3 3 T 1 T Tr 2 2 T 1 T Tr T T 1 Tr 3 1 1 1 Tr 0 0 0 1 Tr Reemplazando en la ecuación 1322 obtenemos 3 1 0 2 3 3 2 3 T T T 1 T T T T T T T T T Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr II I III III II I 3 2 1 1323 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 85 Reemplazando los valores de los invariantes T I II T dados por la ecuación 1278 obtenemos 3 2 3 2 1 2 3 3 1 T T T T T Tr Tr Tr Tr III 1324 En notación indicial kk jj ii kk ji ij ki jk ij III T T T T T T T T T 2 1 2 3 3 1 T 1325 Ejemplo 137 Partiendo del teorema de CayleyHamilton obtener la inversa de un tensor T en función de potencia de tensores Solución El teorema de CayleyHamilton afirma que 0 1 T T T T T T III II 2 I 3 Haciendo el producto escalar de la expresión anterior por el tensor T 1 obtenemos que T T T T T T T T T 1 T T T 0 T 1 T T 0 T 1 T T T T T T T II I III III II I III II I 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 3 1 El teorema de CayleyHamilton también es válido para matrices cuadradas de orden n Sea una matriz cuadrada Ann el determinante característico viene dado por 0 λ A 1n n 1326 donde 1nn es la matriz identidad Desarrollando el determinante obtenemos 0 1 2 2 1 1 λ λ λ n n n n n I I I L 1327 donde nI I I 2 1 L son los invariantes de la matriz A Para el caso particular n 3 y si A representa las componentes del tensor A tenemos que I IA 1 II A I 2 III A I 3 Aplicando el teorema de CayleyHamilton se cumple que 1 0 n n n n n I I I 1 2 2 1 1 L A A A 1328 A través de la relación 1328 podemos obtener la inversa de la matriz Ann por ello multiplicando todos los términos por A1 resultando 0 1 0 1 1 1 1 3 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 A A A A A A A A A A A n n n n n n n n n n n n I I I I I I I L L 1329 luego 11 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n I I I I L A A A A 1330 El invariante nI detA luego sólo habrá la inversa de A si 0 det A nI Ejemplo 138 Dado el tensor T representado por sus componentes en el sistema cartesiano Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 86 1 0 0 0 2 0 0 0 5 T Comprobar el teorema de CayleyHamilton Solución El teorema de CayleyHamilton también se aplica para las componentes del tensor 1 0 T T T III II I T T T 2 3 donde 8 1 2 5 IT 17 5 2 10 II T III T 10 luego 1 0 0 0 8 0 0 0 125 1 0 0 0 2 0 0 0 5 3 3 T 3 1 0 0 0 4 0 0 0 25 1 0 0 0 2 0 0 0 5 2 2 T 2 Aplicando el teorema de CayleyHamilton verificamos que 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 10 1 0 0 0 2 0 0 0 5 17 1 0 0 0 4 0 0 0 25 8 1 0 0 0 8 0 0 0 125 44444444444 3 4 4444444444 2 1 157 Módulo de un Tensor El módulo de un tensor también conocido como Norma de Frobenius viene dado a continuación vector vivi v v v r r r 1331 tensor de segundo orden Tij Tij T T T 1332 tensor de tercer orden Aijk Aijk A A A 1333 tensor de cuarto orden CijklCijkl C C C 1334 Por ejemplo la norma de un vector vr denominada norma Euclidiana mide la magnitud del vector Para visualizar la norma de un tensor de segundo orden consideremos que T sea un tensor simétrico T TT y que 3 2 1 T T T sean sus autovalores luego la norma que es un invariante viene dada por T T T T T T T T II I ij ij T 2 2 2 3 2 2 2 1 2 T T T T T Tr Tr 1335 En el espacio principal de T se puede visualizar la interpretación de la norma de T ver Figura 129 Como podemos ver es una medida de distancia cqd Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 87 Figura 129 Norma de un tensor de segundo orden en el espacio principal 158 Tensor Isótropo y Anisótropo Un tensor se denomina isótropo cuando sus componentes son las mismas en cualquier sistema de coordenadas en caso contrario el tensor será anisótropo Consideremos las componentes de un tensor T representadas en forma matricial por T en un sistema de referencia y las componentes del mismo tensor en cualquier otro sistema obtenido por la transformación de base que representamos genéricamente por T Este tensor se dice isótropo cuando cumple que T T 1336 Tensor Isótropo de orden uno Consideremos un vector vr representado por sus componentes 3 2 1 v v v en el sistema de coordenadas 3 2 1 x x x La representación de estas componentes en un nuevo sistema de coordenadas 3 2 1 x x x será 3 2 1 v v v por lo que es válido decir j ij i j j i i a v v v v e e v ˆ ˆ r 1337 Para que vr sea isótropo por definición tiene que cumplir i i v v y eso sólo será posible si ij aij δ ie j i e e ˆ ˆ no hubo cambio de sistema ó i i i 0 v v Luego el único tensor de orden uno isótropo es el vector nulo 0 r Tensor Isótropo de segundo orden Un ejemplo de un tensor isótropo de segundo orden es el tensor identidad 1 representado por sus componentes por kl δ Utilizando la transformación de coordenadas para las componentes de un tensor de segundo orden obtenido en 1254 se demuestra que ij T jk ik kl jl ik ij a a a a δ δ δ 3 2 1 1 AA 1338 Una consecuencia inmediata del anterior es que cualquier tensor esférico 1 α es un tensor isótropo Es decir si un tensor de segundo orden es isótropo este tensor es esférico Tensor Isótropo de tercer orden 2x 1x 3x 1 T 2 T 3 T T Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 88 Un ejemplo de un tensor pseudo isótropo de orden tres es el pseudotensor LeviCivita definido en 1184 cuyas componentes son lmn Aplicando la ley de transformación de coordenadas 1256 resulta 1 ijk ijk lmn kn jm il ijk a a a A Ver Ejemplo 122 1339 Tensor Isótropo de cuarto orden Si kl δ es isótropo resulta sencillo demostrar que los siguientes tensores de cuarto orden son también isótropos jk il ijkl jl ik ijkl kl ij ijkl δ δ δ δ δ δ I I I 1340 Se puede demostrar que cualquier tensor isótropo de cuarto orden puede ser representado como una combinación lineal de los tres tensores dados anteriormente en 1340 I I I D 2 1 0 a a a 1 1 1 1 1 1 2 1 0 a a a D jk il jl ik kl ij ijkl a a a δ δ δ δ δ δ 2 1 0 D 1341 Ejemplo 139 Demostrar que el tensor de cuarto orden que presenta simetría menor y mayor C es isótropo donde las componentes de este tensor vienen dadas por jk il jl ik kl ij ijkl δ δ µ δ δ δ δ λ C donde λ µ son constantes Solución La ley de transformación de las componentes de un tensor de cuarto orden viene dada por mnpq lq kp jn im ijkl a a a a C C Considerando que np mq nq mp pq mn mnpq δ δ δ µ δ δ δ λ C y reemplazando en la expresión anterior obtenemos que ijkl jk il jl ik kl ij lq kn jn iq lq kp jq ip lq kq jn in np mq lq kp jn im nq mp lq kp jn im pq mn lq kp jn im np mq nq mp pq mn lq kp jn im ijkl a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a C C λ λ λ λ δ δ µ δ δ δ δ µ δ δ δ δ µ δ δ δ δ δ µ δ δ δ Con lo que demostramos que el tensor C es isótropo 159 Tensores Coaxiales Decimos que dos tensores de segundo orden simétricos T y S son coaxiales si presentan los mismos autovectores luego 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a a a a a n n S n n T S T 1342 donde a T son los autovalores de T y a S son los autovalores de S Es de fácil demostración que para que dos tensores sean coaxiales es suficiente que el producto escalar entre ellos sea conmutativo es decir Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 89 son coaxiales si S T S T T S 1343 También podemos concluir que un tensor simétrico S y su inversa S1 son tensores coaxiales puesto que 1 S S S S 1 1 y además recurriendo a sus representaciones espectrales 3 1 1 3 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ a a a a a a a a n n S n n S S S 1344 siendo a S y Sa 1 los autovalores de S y S1 respectivamente Si S y T son tensores simétricos y coaxiales podemos demostrar que el tensor resultante de la operación ST resulta ser otro tensor simétrico Para su demostración partimos de la definición de tensores coaxiales 0 T S 0 T S T S 0 S T T S S T T S anti T 2 1345 Luego si la parte antisimétrica de un tensor es cero resulta que este tensor es simétrico sym anti T S T S 0 T S 1346 1510 Descomposición Polar Consideremos un tensor de segundo orden arbitrario F no singular 1 0 F det F Además la proyección de F según dirección Nˆ resulta un vector que lo representamos por su módulo y dirección como 0 n N n r λ ˆ ˆ ˆ F ya que 0 det F Con eso dada una base ortonormal Nˆ a podemos decir que λ 3 1 3 1 3 1 3 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a a a a a a a a a a N n N N N N 1 N N 1 F F F F F F F 1347 NOTA Observemos que la representación de F dada por 1347 no es la representación espectral de F en el sentido estricto de la palabra ya que a λ no son los autovalores de F y tan poco nˆ a o Nˆ a son los autovectores de F Notar que para una base ortonormal arbitraria de Nˆ a la nueva base nˆ a no necesariamente será una base ortogonal Queremos encontrar una base Nˆ a tal que la nueva base nˆ a sea una base ortonormal ver Figura 130 ie 0 ˆ ˆ 2 1 N N f f r r 0 ˆ ˆ 23 2 N N f f r r 0 ˆ ˆ 1 3 N N f f r r Luego buscamos un espacio tal que se cumpla la siguiente transformación ortogonal ˆ ˆ a a R N n el cual nos garantiza la ortogonalidad de nˆ a ya que una transformación ortogonal no cambian los ángulos entre vectores ni sus magnitudes Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 90 Figura 130 Proyección de F según la base Nˆ a Consideremos ahora que la transformación entre Nˆ a y nˆ a viene dada por la siguiente transformación ortogonal ˆ ˆ a a R N n podemos decir que R U N N R N R N N n λ λ λ 3 1 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a a a a a a a a a F 1348 donde hemos definido el tensor λ 3 1 ˆ ˆ a a a a N N U Ya que ˆ ˆ a a N N resulta un tensor simétrico el tensor U también lo es U UT Análogamente pero ahora teniendo en cuenta que R n n R N R N n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a T a a a podemos decir que V R R n n R n n N n λ λ λ 3 1 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a a a a a a a a a F 1349 donde hemos definido el tensor λ 3 1 ˆ ˆ a a a a n n V Verificamos que V es simétrico y comparando las representaciones espectrales de los tensores U y V verificamos que tienen los mismos autovalores y distintos autovectores Luego definimos la descomposición polar como V R R U F Descomposición polar 1350 Recordemos del Ejemplo 127 que los tensores resultantes de las operaciones F F C T y b F F T son tensores simétricos y definidos positivos cuando 0 det F Haciendo el producto escalar por la izquierda por T F en la relación F R U obtenemos que C F F F F F F T T T T T C T U U U U U R U R 2 123 1351 Análogamente podemos obtener que b F F T V 1352 Puesto que los tensores C y b son tensores definidos positivos eso implica que los autovalores de C y b son todos reales y positivos Ahora bien hasta ahora la única ˆn 2 1ˆn ˆN 3 ˆN 1 ˆN 2 ˆn 3 1 ˆ ˆ 1 N N F f r 2 ˆ ˆ 2 N N F f r 3 ˆ ˆ 3 N N F f r 3 3 3 ˆ ˆ 3 2 2 2 ˆ ˆ 2 1 1 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 2 2 1 1 n n N n n N n n N N N N N N N λ λ λ f f F f f F f f F r r r r r r Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición restricción para el tensor F es que detF0 luego podemos tener las siguientes posibilidades Si detF0 En esta situación tenemos que detFdetRdetUdetVdetR0 resultando las siguientes posibilidades R Tensor ortogonal propio UV Tensores definidos positivos ó R Tensor ortogonal impropio UV Tensores definidos negativos Si detF0 En esta situación tenemos que detFdetRdetUdetVdetR0 resultando las siguientes posibilidades R Tensor ortogonal propio UV Tensores definidos negativos ó R Tensor ortogonal impropio UV Tensores definidos positivos NOTA En el capítulo 2 trabajaremos con unos tensores particulares donde F es no singular detF0 y detF0 Los tensores U y V son tensores definidos positivos y el tensor R es un tensor de rotación es decir tensor ortogonal propio 1511 Derivada Parcial con Tensores La primera derivada de un tensor con respecto a él mismo viene definido como AAAA AijAkl êiêjêkêl δikδjlêiêjêkêl I tensor identidad de cuarto orden 1353 Podemos entonces obtener la derivada de la traza de un tensor respecto a él mismo TrAATrAAAkkAij êiêjδkiδkjêiêjδijêiêj1 1354 La derivada parcial de la traza al cuadrado de un tensor respecto al él mismo TrA²A2TrA TrAA2TrA1 1355 La derivada parcial de la traza del cuadrado un tensor respecto al él mismo TrA²A Asr ArsAij êiêj As AsrAij Asr ArsAij êiêj Ars δsiδrj Asr δriδsj êiêj Aji Aj iêiêj 2Aji êiêj 2AT Queda al lector la demostración de TrA³A 3A²T 1356 1357 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 92 Luego si consideramos un tensor de segundo orden simétrico C podemos decir que 1 C C Tr C 1 C C 2 2 Tr Tr C C C C 2 2 2 T Tr 2 2 3 3 3 C C C C T Tr 1358 y además podemos decir que la derivada de la norma del tensor simétrico C viene dada por C C C C C C C C C C C C C C C 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 Tr Tr Tr Tr Tr T 1359 o aún C C C C 1360 Otra aplicación interesante viene a continuación j kj j jk j kj ik i j kj jk ij i j ij ik k j ij i j ij k i k j ij i n C C n C n n C n C n C C n n n n C n C n n n C n n 2 δ δ 1361 donde hemos considerado que C es simétrico ie jk kj C C Consideremos aún el tensor de segundo orden simétrico C Para obtener la derivada parcial de su inversa con respecto a él mismo partimos de la siguiente condición O C C C C 1 1 1362 donde O es el tensor nulo de cuarto orden La expresión anterior en notación indicial queda 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 jr kl qj iq qr kl iq jr kl qj iq jr qj kl iq kl qj iq qj kl iq ikjl kl qj iq qj kl iq kl qj iq C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C δ O 1363 Considerando que jq qj qj C C C 2 1 la expresión anterior queda Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 93 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 kr il lr ik kl ir jr ql jk iq jr jl qk iq jr ql jk jl qk iq kl ir jr kl jq qj iq qr kl iq C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C δ δ δ δ δ δ δ δ δ 1364 En notación tensorial queda 1 1 1 1 1 2 1 C C C C C C 1365 NOTA Observemos que si no hubiéramos reemplazando la parte simétrica de qj C en 1363 hubiéramos obtenido que 1 1 1 1 1 1 1 lr ik jr jl qk iq jr kl qj iq qr kl iq C C C C C C C C C C δ δ δ Resultando un tensor no simétrico 15111 Derivada Parcial de los Invariantes Las derivadas parciales de los invariantes principales de un tensor de segundo orden se obtienen a continuación Derivada parcial de T I con respecto a T ver ecuación 1354 1 T T T T T T Tr Tr I 1366 Derivada parcial de II T con respecto a T T T II T 1 T T 1 T T T T T T T T T T 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 Tr Tr Tr Tr Tr Tr 1367 Aún podemos expresar 1367 remplazando T T obtenido por el teorema de Cayley Hamilton 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 T T 1 T 0 T T 1 T 0 1 T T T T T T T T T T T T T T T T III II I III II I III II I 1368 Luego T T T III II III II I II 2 1 2 1 T T T T 1 T 1 T T 1 T T T T T T T Tr Tr 1369 Para obtener la derivada del tercer invariante utilizaremos la definición dada por 1324 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 94 1 T T 1 T T T T T 1 T 1 T T T T 1 T T T T T T T T T T T T T T T T T II I III T T T T T T T 2 1 2 1 2 1 6 3 2 1 2 1 3 3 1 6 1 2 1 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr 1370 Si multiplicamos por la inversa del tensor T en la ecuación 1321 obtenemos 1 T T T 0 T 1 T T 0 1 T T T T T T T T T T T T T T T T II I III III II I III II I 2 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1371 y la transpuesta 1 T T 1 T T T T T T T T II I II I III T T T T 2 2 1 1372 Reemplazando ecuación 1372 en la expresión 1370 obtenemos T T III III III T T T T T T 1 1373 15112 Derivada Temporal de Tensores Asumamos que un tensor de segundo orden depende de un parámetro t que es el tiempo Definimos la primera derivada temporal y la segunda derivada temporal del tensor T respectivamente por T T T T 2 2 Dt D Dt D 1374 La derivada temporal del determinante de un tensor viene definida como ij ij Dt D Dt D cof T T det T 1375 donde cof Tij es el cofactor de ij T y definido como ij T ij 1 T det T cof T Ejemplo 140 Considérese 2 1 2 1 b b III J det donde b es un tensor de segundo orden simétrico b bT Obtener la derivada de J y de lnJ con respecto a b Solución Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 95 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 b b b b b b b b b b b b J III III III III III III J T 1 2 1 2 1 2 1 b b b b b b b III III III J ln ln 1512 Tensor Esférico y Desviador Cualquier tensor puede ser descompuesto en una parte esférica y en otra parte desviadora Luego para un tensor T esta descomposición viene dada por dev m dev dev dev esf I T 1 T 1 T T 1 T T T T T Tr 3 3 1376 El tensor desviador de T vendrá definido como 1 T T 1 T T m dev T Tr 3 1377 Para las operaciones siguientes consideraremos que T es un tensor simétrico T TT luego en estas condiciones las componentes del tensor Tdev vienen dadas por 2 2 2 22 11 33 3 1 23 13 23 33 11 22 3 1 12 13 12 33 22 11 3 1 33 23 13 23 22 12 13 12 11 33 23 13 23 22 12 13 12 11 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T m m m dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev ij 1378 Podemos también hacer la representación de las componentes del tensor dado por 1376 en la base cartesiana tal y como se indica en la Figura 131 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 96 Figura 131 Parte esférica y desviadora de un tensor de segundo orden 15121 Primer Invariante del Tensor Desviador Los invariantes del tensor desviador Tdev pueden ser obtenidos en función de los invariantes principales de T 0 3 3 3 3 2 1 ii dev dev I δ 1 T T T 1 T T T Tr Tr Tr Tr Tr Tr 1379 Con lo que concluimos que la traza de cualquier tensor desviador es cero 15122 Segundo Invariante del Tensor Desviador Para obtener el segundo y tercer invariante del tensor desviador utilizaremos el espacio de las direcciones principales por simplicidad En este espacio se cumple que Componentes del tensor 3 2 1 0 0 0 0 0 0 T T T Tij 1380 Invariantes principales 3 2 1 T T T IT 1 3 3 2 1 2 T T T T T T II T 3 1 2 III T T T T Las componentes del tensor desviador definido en 1377 1 T T m dev T en el espacio de las direcciones principales son 44444444 3 4 4444444 2 1 11 T 12 T 13 T 33 T 23 T 13 T 22 T 23 T 12 T 1x 2 x m T m T m T 1x 2 x 3 x dev T11 12 T 13 T dev T33 23 T 13 T dev T22 23 T 12 T 1x 2 x 3 x 3 x Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 97 m m m dev ij T T T T T T T 3 2 1 0 0 0 0 0 0 1381 El segundo invariante del tensor desviador de T puede ser obtenido como 2 2 2 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 3 1 3 3 2 3 2 T T T T T T T I II I I I II II m m m m m m m m dev T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T 1382 También podríamos haber obtenido el resultado anterior partiendo directamente de la definición del segundo invariante de un tensor dado en 1278 3 2 1 9 3 2 3 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T T T T T T 1 T T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T T T T T I I I I I II m m m m m m m dev dev dev dev Tr Tr T Tr T Tr Tr T T Tr T T Tr T Tr Tr Tr 1383 Teniendo en cuenta que T T T II I 2 2 2 3 2 2 2 1 2 T T T Tr ver Ejemplo 133 la relación anterior 1383 resulta 2 2 2 2 3 3 1 3 2 2 2 1 3 2 2 1 T T T T T T T T I II I II I II I II dev 1384 Otra expresión que podemos encontrar en la literatura para el segundo invariante de un tensor desviador es en función de las componentes del tensor desviador Utilizando la expresión 1383 dev ji dev ij dev dev dev dev dev dev II T T Tr Tr 2 1 2 1 2 1 2 1 2 T T T T T T 1385 Expandiendo la expresión anterior obtenemos 2 23 2 13 2 12 2 33 2 22 2 11 2 2 2 2 1 dev dev dev dev dev dev dev II T T T T T T T 1386 En el espacio de las direcciones principales 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 dev dev dev dev ji dev ij dev II T T T T T T 1387 Otra forma de expresar el segundo invariante viene demostrada a continuación Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 98 2 13 2 23 2 12 22 11 33 11 33 22 22 12 12 11 33 13 13 11 33 23 23 22 2 2 2 2 1 dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev II T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T 1388 O aún 2 13 2 23 2 12 2 33 2 22 2 11 2 22 22 11 2 11 2 33 33 11 2 11 2 33 33 22 2 22 2 2 2 2 1 dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev II T T T T T T T T T T T T T T T T T T T 1389 Observa que de la ecuación 1321 obtenemos que 2 23 2 13 2 12 2 33 2 22 2 11 2 2 2 2 dev dev dev dev dev dev dev II T T T T T T T 1390 Reemplazando 1390 en la expresión 1389 obtenemos 2 13 2 23 2 12 2 22 11 2 33 11 2 33 22 6 1 dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev II T T T T T T T T T T 1391 Y si consideramos las direcciones principales 2 2 1 2 3 1 2 3 2 6 1 dev dev dev dev dev dev dev II T T T T T T T 1392 15123 Tercer Invariante del Tensor Desviador El tercer invariante del tensor desviador de T queda T T T T T T T T T T T T T T T III II I I I II I III I I I II I III III m m m m m m dev 27 9 27 2 1 27 2 3 27 9 3 3 3 3 2 3 3 2 1 2 3 2 3 1 2 1 3 2 1 3 2 1 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T 1393 Otra forma de expresar el tercer invariante es dev ki dev jk dev ij dev dev dev dev III T T T T T T 3 1 3 2 1 T 1394 Ejemplo 141 Considérese un tensor de segundo orden simétrico σ y su parte desviadora s σdev Obtener el resultado de la operación σ s s Demostrar también que los tensores σ y σdev son tensores coaxiales Solución Teniendo la definición de un tensor desviador s σ σ σ σ esf dev esf Obtenemos que 1 σ s σ 3 I Luego Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 99 1 σ σ σ σ 1 σ σ s σ σ I I 3 1 3 En notación indicial ij kl jl ik ij kl kl ij kl ij I δ δ δ δ δ 3 1 3 1 σ σ σ σ σ s Con lo cual kl ii kl kl ij kl ij jl ik ij ij kl jl ik ij kl ij ij s s s s s s s s σ 0 3 1 3 1 3 1 δ δ δ δ δ δ δ δ δ s σ s s Para demostrar que dos tensores son coaxiales hay que cumplir que dev dev σ σ σ σ σ σ σ 1 σ 1 σ σ σ 1 σ σ σ 1 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ dev esf esf dev I I I I 3 3 3 3 Con lo cual demostramos que los tensores σ y σdev son coaxiales es decir tienen las mismas direcciones principales Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 100 16 Función de Tensores Una función de tensores puede resultar ser un escalar un vector o tensores de orden superior Como ejemplo de una función tensores de valorescalar tenemos T S S T T T Ψ Ψ Ψ Ψ det 1395 donde T y S son tensores de segundo orden Como ejemplo de función de tensores cuyo argumento es un tensor de segundo orden valortensor de segundo orden tenemos T2 T 1 T γ β α Π Π 1396 con α β γ escalares 161 Series de Tensores Dada una función f x podemos aproximar esta función a través de serie de Taylor por n n n n a x x f a n f x 1 0 donde n representa el factorial de n y f a el valor de la función en el punto de aplicación x a Podemos extrapolar esta definición para tensores Por ejemplo supongamos la función tensor tipo escalar ψ que es función del tensor de segundo orden E luego utilizando serie podemos aproximar la función ψ por L L 2 1 2 1 1 1 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 E E E E E E E E E E E E E E E ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ kl kl ij ij kl ij ij ij ij E E E E E E E E E 1397 Supongamos ahora que un tensor de segundo orden S sea una función de otro tensor de segundo orden E luego podemos aproximar SE como L L 2 1 1 2 1 1 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E S S S S S S S 1398 Otras expresiones algebraicas de tensores pueden ser representadas mediante series como L L L 5 3 3 2 3 2 5 1 3 1 sin 3 1 2 1 3 1 2 1 S S S S S S S S 1 S S S 1 S ln exp 1399 Consideremos un tensor S de segundo orden simétrico e isótropo por lo que puede ser representado por su forma espectral como Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 101 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 3 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n S 1 n n n n S S ln S S S ln exp S S S exp S L L 1400 donde a S y nˆ a son los autovalores y autovectores respectivamente del tensor S Podemos extender estos conceptos para obtener la definición de una función de tensión del tipo m 1 S donde m es un número entero Si definimos m 1 S como m m m m m 1 1 1 1 S S S S S L 1401 La forma espectral correspondiente viene dada por 3 1 1 1 ˆ ˆ a a a m a m n n S S 1402 con lo que nos permite obtener m 1 S una vez conocidos m a 1 S y nˆ a 162 Función Isótropa de Tensores Si Π ΠT es una función tensor isótropa del tensor T luego esta función es un invariante bajo una transformación ortogonal 4 4 4 3 14 2 T Q T Q Q T Q T Π Π Π Π T T 1403 Si T es un tensor simétrico podemos expresarlo según su representación espectral como 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n n n n n T λ λ λ λ a a a a 1404 donde a λ son los autovalores de T y nˆ a son las direcciones principales correspondientes Podemos demostrar que ΠT presenta las mismas direcciones principales de T es decir ΠT y T son tensores coaxiales Para esta demostración consideremos las componentes de T según las direcciones principales λ λ λ 3 2 1 0 0 0 0 0 0 T ij 1405 Los términos 1 λ 2 λ 3 λ son los valores principales de T Luego la función de tensor vendrá dada en función de los valores principales de T 3 2 1 λ λ Π Π λ Si T es isótropo se cumple que Q T QT T 1406 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 102 Análogamente para la función Π QT T Q T Π Π 1407 Adoptemos como las componentes del tensor ortogonal las siguientes 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Q ij 1408 Efectuando la operación 1407 obtenemos Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π 33 22 11 33 23 13 23 22 12 13 12 11 33 23 13 23 22 12 13 12 11 0 0 0 0 0 0 1409 Para que se cumpla que Π Π isotropía concluimos que 0 23 13 12 Π Π Π Luego ΠT y T presentan las mismas direcciones principales Consideremos una función Π que es función del tensor T Esta función de tensión será isótropa si y sólo si podemos representarla a través de la siguiente transformación Truesdell Noll 1965 2 2 1 0 T T 1 T Φ Φ Φ Π Π 1410 donde 0 Φ 1 Φ 2 Φ son funciones de los invariantes del tensor o autovalores de T La demostración sigue a continuación Consideremos la representación espectral de la función de tensión Π 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n n n n n ω ω ω λ λ λ ω Π a a a a 1411 Observemos que los autovalores de Π 3 2 1 λ λ ωa λ están en función de los autovalores de T y que ellos presentan las mismas direcciones principales nˆ i Representaremos 3 2 1 λ λ ωa λ simplemente por a ω por simplicidad Podemos montar el siguiente sistema λ λ λ λ λ λ 3 3 2 3 2 2 2 3 1 1 2 1 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n n n T n n n n n n T n n n n n n 1 1412 Resolviendo el sistema anterior obtenemos ˆ ˆ a a a M n n en función del tensor T y dados por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 103 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1 2 3 1 3 2 1 3 3 2 1 2 2 3 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 2 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ T T 1 M T T 1 M T T 1 M 1413 Obviamente si reemplazamos los valores de ˆ ˆ a a a M n n en la expresión 1404 obtenemos que T T Reemplazando ahora los valores de ˆ ˆ a a a M n n en la expresión 1411 obtenemos que 2 2 1 0 T T 1 T Φ Φ Φ Π Π 1414 donde los coeficientes 0 Φ 1 Φ 2 Φ son funciones de los autovalores de T y dados por 2 3 1 3 3 3 2 1 2 2 2 1 3 1 1 2 2 3 1 3 2 1 3 3 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 3 2 1 1 2 3 1 3 2 1 3 3 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 3 2 1 0 λ λ λ λ ω λ λ λ λ ω λ λ λ λ ω Φ λ λ λ λ ω λ λ λ λ λ λ λ λ ω λ λ λ λ ω λ λ Φ λ λ λ λ ω λ λ λ λ λ λ ω λ λ λ λ λ λ ω λ λ Φ 1415 Podríamos haber demostrado que una función tensor isótropa cumpla 1414 partiendo de la siguiente expresión 2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 0 T T T 1 Q Q T Q T Q 1 Q Q Q T T 1 Q Q T Q T Π Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Π Π T T T T T 1416 163 Derivada Parcial de Función de Tensores Consideremos una función escalar que es función de un tensor A Π ΠA 1417 La derivada parcial de Π con respecto a A viene definida como ˆ ˆ j i ij e e A A Π Π Π A 1418 donde la coma se utiliza para indicar derivada parcial La segunda derivada resultará un tensor de cuarto orden ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 l k j i ijkl l k j i kl ij e e e e e e e e A A AA Π Π Π D A A 1419 Consideremos dos tensores de segundo orden simétricos definidos positivos C y b donde estos tensores vienen dados por las relaciones Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 104 T T F F b F F C 1420 donde F es un tensor de segundo orden arbitrario con 0 det F Sea C C C III II I Ψ Ψ una función escalar de los invariantes principales del tensor C donde se cumple que b C I I b C II II b C III III Obtendremos la derivada de Ψ con respecto a C y con respecto a b y comprobaremos que la siguiente igualdad es válida b F F b C Ψ Ψ T 1421 Utilizando la regla de la cadena podemos obtener que C C C C C C C C C C C C C C III III II II I I III II I Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1422 Considerando las derivadas parciales de los invariantes vistas anteriormente podemos decir que 1 C IC 2 1 C C C C C C C C C C III II I I II T 1 1 C 1 C C C C C C C C C II I III III III T 2 1 1423 Luego considerando 1 C IC C C C C I 1 II y 1 C C C C III III la expresión 1422 resulta 1 C C C C C C C C III III I II I Ψ Ψ Ψ Ψ 1 1 1424 1 C C C C C C C C C III III II I II I Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 1425 Otra forma de expresar la relación 1425 es considerando 1 C IC C C C C I 1 II y C 1 C C C C C II I III 2 obteniendo así 2 C C C C C C C C C C C C III I III II II III I II I Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 1426 Considerando ahora 1 C IC 2 1 C C C C C C III II II y 1 C C C C III III obtenemos además 2 1 C C C C C C C C C C III II III III II II I Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 1427 Teniendo en consideración las relaciones 1425 concluimos que 1 b b b b b b b b b III III II I II I Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 1428 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 105 Haciendo una contracción por la izquierda con F y por la derecha por T F en la relación 1425 obtenemos que T T T T III III II I II I F F C F C F F F F F C C C C C C C 1 Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 1429 Y considerando las siguientes relaciones b F F F F T T 1 b2 b b F F F F C F F F F C T T T T 1430 b b F F b F F F C F F b F C 1 1 1 1 1 1 1 T T 1431 Luego la expresión 1429 puede ser reescrita como b b b b b b b F F C C C C C C C C C C C C C 1 1 2 III III II I II I III III II I II I T Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 1432 Teniendo en cuenta las relaciones 1428 y 1432 concluimos que b b b b F F b b b b b b b C 1 Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ III III II I II I T 1 1433 A través de la expresión 1428 podemos concluir que la relación b b b b Ψ Ψ es válida indicando que los tensores Ψ b y b son coaxiales Consideremos aún el tensor C dado por la expresión 1420 a continuación vamos obtener la derivada de la función Ψ ΨC con respecto al tensor F F C C F C F Ψ Ψ Ψ kl ij ij kl F C C Ψ Ψ F 1434 La derivada del tensor C con respecto a F viene a continuación ki jl kj il qi jl qk qj il qk kl qj qi qj kl qi kl qj qi kl ij F F F F F F F F F F F F F F C δ δ δ δ δ δ 1435 Luego reemplazando 1435 en 1434 obtenemos il ki lj kj ki jl kj il ij kl C F C F F F C Ψ Ψ δ Ψ δ Ψ F 1436 Debido a la simetría jl lj C C y observando que i j son índices mudos concluimos que kj jl kj lj kl F C C F Ψ Ψ Ψ 2 2 F C C F F F 2 2 Ψ Ψ Ψ T 1437 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 106 Supongamos ahora que el tensor C sea dado por la relación U2 U U U U T C donde U es un tensor de segundo orden simétrico Para obtener ΨC U podemos utilizar la misma expresión obtenida en 1437 es decir C C 2 2 Ψ Ψ Ψ U U U 1438 Concluimos también que Ψ C y U son tensores coaxiales Podemos generalizar lo expuesto anteriormente como Sea un tensor de segundo orden simétrico A y una función escalar del tensor A Ψ ΨA se cumple que T T T b b b b b b b b b b b b b b b b b y para para para A A A A A A A A A 2 2 2 2 Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1439 17 Notación de Voigt En el caso de que el tensor sea simétrico puede resultar ventajoso trabajar solamente con las componentes independientes del tensor En el caso del tensor de segundo orden simétrico que tiene 6 componentes independientes podemos representarlo en forma de matriz columna 13 23 12 33 22 11 33 23 13 23 22 12 13 12 11 T T T T T T T T T T T T T T T T T Voigt ij 1440 Dicha notación la denotamos de Notación de Voigt También es posible representar un tensor de segundo orden como 13 23 12 33 22 11 33 23 13 23 22 12 13 12 11 2 2 2 E E E E E E E E E E E E E E E E E Voigt ij 1441 Como visto anteriormente un tensor de cuarto orden C que presenta simetría menor jilk ijlk jikl ijkl C C C C tiene 36 6 6 componentes independientes Fijemos que debido a simetría ij tenemos 6 componentes independientes y debido a kl también tenemos 6 componentes independientes En la notación de Voigt podemos representar estas componentes en una matriz cuadrada 6 6 como Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 107 1313 1323 1312 1333 1322 1311 2313 2323 2312 2333 2322 2311 1213 1223 1212 1233 1222 1211 3313 3323 3312 3333 3322 3311 2213 2223 2212 2233 2222 2211 1113 1123 1112 1133 1122 1111 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 1442 Verificamos también que si además de simetría menor el tensor también presenta simetría mayor klij ijkl C C nos quedamos con 21 componentes independientes Se puede memorizar fácilmente el orden de las componentes en la matriz C si tenemos en cuenta el orden del tensor de segundo orden en notación de Voigt ie 13 23 12 33 22 11 13 23 12 33 22 11 1443 171 Tensores Identidad en Notación de Voigt El tensor identidad de segundo orden será representado en la notación de Voigt como 0 0 0 1 1 1 δ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Voigt δij 1444 En el subapartado Tensores Identidad hemos definido 3 tensores identidades de cuarto orden cuyas componentes son l l j ik ijk δ δ I jk i ijk I l δ lδ y l l k ij ijk δ δ I de los cuales solo l l k ij ijk δ δ I es simétrico La representación de las componentes l l k ij ijk δ δ I en la notación de Voigt viene dada según la representación del tensor de cuarto orden dado por 1442 resultando T Voigt k ij ijk δ δ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 I l l δ δ I 1445 donde 1 11 11 1111 δ δ I 1 22 11 1122 δ δ I etc Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 108 También hemos definido el tensor de cuarto orden simétrico jk i j ik ijk δ δ δ δ l l l 2 1 I y su representación en la Notación de Voigt viene dada por 2 1 2 1 2 1 1313 1323 1312 1333 1322 1311 2313 2323 2312 2333 2322 2311 1213 1223 1212 1233 1222 1211 3313 3323 3312 3333 3322 3311 2213 2223 2212 2233 2222 2211 1113 1123 1112 1133 1122 1111 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Voigt ijkl 1446 y la inversa 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 I 1 1447 172 Producto Escalar en Notación de Voigt El producto escalar entre un tensor de segundo orden simétrico T y un vector nr viene dado por T n b r r 1448 donde las componentes de esta operación son 3 33 2 23 1 13 3 3 23 2 22 1 12 2 3 13 2 12 1 11 1 3 2 1 33 23 13 23 22 12 13 12 11 3 2 1 T n T n T n b T n T n T n b T n T n T n b n n n T T T T T T T T T b b b 1449 Teniendo en cuenta la representación de un tensor de segundo en notación de Voigt el producto escalar 1448 en la Notación de Voigt queda 13 23 12 33 22 11 1 2 3 3 1 2 3 2 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T T T T T n n n n n n n n n b b b 44444 3 4 4444 2 1 T N T N T b 1450 173 Leyes de Transformación en Notación de Voigt Para un tensor de segundo orden la ley de transformación de las componentes viene definida de la forma jl ik kl ij T T a a 1451 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 109 que explícitamente será T a a a a a a a a a a a a a a a a a a 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 23 13 23 22 12 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 23 13 23 22 12 13 12 11 T T T T T T T T T T T T T T T T T T 1452 Efectuando la operación anterior podemos reestructurarla en la notación de Voigt resultando así que M T T 1453 donde 13 23 12 33 22 11 13 23 12 33 22 11 T T T T T T T T T T T T T T 1454 y M es la matriz de transformación para las componentes de un tensor de segundo orden cuando éstas están expresadas en Notación de Voigt explícitamente M viene dada por 13 31 11 33 13 32 12 33 11 32 12 31 13 33 12 32 11 31 23 31 21 33 23 32 22 33 21 32 22 31 23 33 22 32 21 31 23 11 21 13 23 12 22 13 21 12 22 11 23 13 12 22 11 21 33 31 33 32 32 31 2 33 2 32 2 31 23 21 23 22 22 21 2 23 2 22 2 21 13 11 13 12 12 11 2 13 2 12 2 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a M 1455 Si la representación del tensor viene dada según 1441 la representación de 1451 en notación de Voigt viene dada por E N E 1456 donde 13 31 11 33 13 32 12 33 11 32 12 31 13 33 12 32 11 31 23 31 21 33 23 32 22 33 21 32 22 31 23 33 22 32 21 31 23 11 21 13 23 12 22 13 21 12 22 11 23 13 12 22 11 21 33 31 33 32 32 31 2 33 2 32 2 31 23 21 23 22 22 21 2 23 2 22 2 21 13 11 13 12 12 11 2 13 2 12 2 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a N 1457 Las matrices 1455 y 1457 no son matrices ortogonales ie MT M 1 y N T N 1 pero se puede demostrar que se cumple que MT N 1 174 Representación Espectral en Notación de Voigt Teniendo en cuenta la representación espectral del tensor T Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 110 forma matricial 3 1 ˆ ˆ a a a a n n T T T A A T T 1458 La expresión anterior puede ser reescrita como A A A A A A 3 2 1 33 23 13 23 22 12 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T T T T T T T T T T T T T T 1459 ó 2 33 33 32 33 31 33 32 2 32 32 31 33 31 32 31 2 31 3 2 23 23 22 23 21 23 22 2 22 22 21 23 21 22 21 2 21 2 2 13 13 12 13 11 13 12 2 12 12 11 13 11 12 11 2 11 1 33 23 13 23 22 12 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a T T T T T T T T T T T T 1460 Teniendo en cuenta que un tensor de segundo orden simétrico viene representado según notación de Voigt por 1440 la representación espectral de tensor viene dada por 33 31 33 32 32 31 2 33 2 32 2 31 3 23 21 23 22 22 21 2 23 2 22 2 21 2 13 11 13 12 12 11 2 13 2 12 2 11 1 13 23 12 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a T T T T T T T T T T 1461 175 Tensor Desviador en Notación de Voigt Teniendo en cuenta las componentes del tensor desviador 2 2 2 22 11 33 3 1 23 13 23 33 11 22 3 1 12 13 12 33 22 11 3 1 T T T T T T T T T T T T T T T T dev ij 1462 La representación de dev Tij en notación de Voigt viene dada por 13 23 12 33 22 11 13 23 12 33 22 11 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1 2 3 1 T T T T T T T T T T T T dev dev dev dev dev dev 1463 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 111 Ejemplo 142 Considérese T xr t un tensor simétrico de segundo orden el cual es función de la posición xr y del tiempo t Considérese también que las componentes del tensor según la dirección 3x son iguales a cero ie 0 33 23 13 T T T NOTA En el próximo subapartado definiremos T xr t como un campo tensorial ie el valor de T xr t depende de la posición y del tiempo Como veremos más adelante si el tensor es independiente de una dirección para todo el dominio xr eg si T xr t es independiente de la dirección 3x ver Figura 132 el problema puede ser considerado como bidimensional estado plano simplificando bastante las ecuaciones Figura 132 Problema bidimensional 2D Obtener las componentes 11 T 22 T 12 T tras un cambio de base en el plano 2 1 x x tal como se indica en la figura abajo Obtener también el valor de θ correspondiente a las dirección principales de T OBS Utilizar notación de Voigt y expresar los resultados en función de θ 2 Solución Podemos utilizar directamente la ley de transformación obtenida en 1453 En este caso particular la matriz de transformación M dada por 1455 tras eliminar filas y columnas asociadas con la dirección 3x queda 12 22 11 21 12 22 11 12 22 11 21 22 21 2 22 2 21 12 11 2 12 2 11 12 22 11 2 2 T T T T T T a a a a a a a a a a a a a a a a θ 1x 2x 2x 1x 1x 2x 3x 22 T 11 T 12 T 12 T 1x 2x 22 T 11 T 12 T 12 T 11 T 22 T 2D Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 112 La matriz de transformación ij a en el plano viene dada en función de un único parámetro θ 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos θ θ θ θ aij Resultando así que 12 22 11 2 2 2 2 2 2 12 22 11 sin cos cos cos sin cos 2sin cos sin 2cos sin cos sin sin T T T T T T θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Tomando partido de las siguientes relaciones trigonométricas θ θ θ 2 2cos sin sin θ θ θ cos2 sin cos 2 2 2 cos2 1 sin 2 θ θ 2 cos2 1 cos2 θ θ obtenemos que 12 22 11 12 22 11 cos2 2 2 2 2 2 2 cos2 1 2 cos2 1 2 2 cos2 1 2 cos2 1 sin sin sin sin T T T T T T θ θ θ θ θ θ θ θ θ Explícitamente las componentes vienen dadas por θ θ θ θ θ θ θ θ θ cos2 2 2 2 2 2 2 cos2 1 2 cos2 1 2 2 cos2 1 2 cos2 1 12 22 11 12 12 22 11 22 12 22 11 11 sin sin sin sin T T T T T T T T T T T T Reestructurando la expresión anterior aún podemos decir que θ θ θ θ θ θ cos2 2 2 2 cos2 2 2 2 cos2 2 2 12 22 11 12 12 22 11 22 11 22 12 22 11 22 11 11 sin sin sin T T T T T T T T T T T T T T T T Recordemos que las direcciones principales se caracterizan por la ausencia de las componentes tangenciales es decir Tij 0 para i j Si queremos encontrar las direcciones principales en el caso plano hacemos que 12 0 T obteniendo así θ θ θ θ cos2 2 2 0 cos2 2 2 12 22 11 12 22 11 12 sin sin T T T T T T T 22 11 12 22 11 12 2 2 2 cos2 sin 2 T T T tg T T T θ θ θ 22 11 2 12 2 1 T T T arctg θ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 113 18 Campo de Tensores Un Campo tensorial asocia a un tensor T xr t cada par xr t es decir que las componentes de T xr t varían en el espacio xr y en el tiempo t El campo tensorial puede ser escalar vector o tensor de orden suprior Campo Escalar Notación simbólica φ φ xr t Notación indicial φ φ xr t 1464 Campo Vectorial Notación simbólica r xr t r v v Notación indicial t i i xr v v 1465 Campo Tensorial Notación simbólica T T xr t Notación indicial t ij ij xr T T 1466 Como ejemplo de campo escalar podemos mencionar el campo escalar de temperatura T xr t donde en el tiempo t 1t tenemos en cada punto del espacio xr una temperatura 1t T xr ver Figura 133a Otro ejemplo podemos citar el campo de velocidades x t v r r ver Figura 133b donde en cada punto en el tiempo t 1t está asociado un vector vr Figura 133 Campo de tensores en el tiempo 1t Un Campo tensorial es continuo y diferenciable si las componentes de T xr t son funciones continuas y diferenciables Si el campo tensorial es solo función de xr ie T Txr decimos que el campo tensorial es estacionario Si el campo no es función xr T Tt decimos que el campo es homogéneo 2x 1x 3x 5 T 6 T 1 4 4 t T xr 3 T 7 T 2 T 1T 8 T a Campo escalar 2x 1x 3x b Campo vectorial t 1t t 1t x 1t v r r Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 114 181 Campo Escalar Supongamos que tenemos una función escalar φ φxr campo escalar diferenciable de forma continua y por tanto existen x1 φ x2 φ y x3 φ y son continuas en el espacio 3 R Considerando ahora φ en un segundo punto el cual es diferenciable x x r r d La diferencia de φ entre estos dos puntos llamamos de diferencial total de φ φ φ φ d x x x dx x dx x dx x 3 2 1 3 3 2 2 1 1 1467 Para cualquier función continua 3 2 1 x φ x x φ d se relaciona linealmente con 1 dx 2 dx y 3 dx Esta relación lineal viene dada por la regla de la cadena de diferenciación como i dxi d x dx x dx x dx d 3 3 2 2 1 1 φ φ φ φ φ φ 1468 La diferenciación de las componentes de un tensor respecto a las coordenadas ix se expresa mediante el operador diferencial i ix 1469 A continuación definiremos algunos operadores que nos ayudarán a manejar con los campos tensoriales 182 Gradiente Gradiente de un escalar El gradiente xrφ ó φ grad viene definido como x x x r r r d d φ φ φ 1470 donde el operador xr denominamos operador nabla Expresando la definición 1470 en la base cartesiana obtenemos que 3 3 2 2 1 1 x dx x dx x dx φ φ φ 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e dx dx dx x x x φ φ φ x x x r r r 1471 Resolviendo el producto escalar anterior hallamos 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 dx dx dx x dx x dx dx x x x x φ φ φ φ φ φ x x x r r r 1472 con lo que concluimos que la componentes de xrφ en coordenadas cartesianas son 3 3 2 2 1 1 x x x x x x φ φ φ φ φ φ x x x r r r 1473 Podemos entonces definir el gradiente en términos de componentes como 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ e e e x x x φ φ φ xrφ 1474 El operador nabla xr queda definido como Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 𝑥 𝑥𝑖 êi 𝑖 êi Operador Nabla 1475 Significado Geométrico de 𝑥ϕ La dirección de 𝑥ϕ es normal a la superficie ϕctte 𝑥ϕ siempre apunta sentido en la dirección creciente de ϕ ver Figura 134 La magnitud de 𝑥ϕ es la tasa de variación de ϕ con la distancia según esta dirección OBS La superficie con ϕctte denominada superficie de nivel es la superficie formada por los puntos de mismo valor es decir al moverse por una superficie de nivel el valor de la función no cambia Podemos decir que la normal a esta superficie ϕctte será n 𝑥ϕ Entonces n 𝑥ϕ𝑥ϕ 1476 Figura 134 Gradiente de ϕ El gradiente de un vector v gradv 𝑥 v 1477 Utilizando la definición de 𝑥 dada en 1475 resulta 𝑥 v vi êixj êj vi êi j êj vij êi êj vixj êi êj 1478 Con eso definimos el gradiente de un campo tensorial 𝑥t en la base Cartesiana como 𝑥 xj êj Gradiente de un campo tensorial en la base Cartesiana 1479 Como podemos observar el gradiente de un vector 1478 resulta ser un tensor de segundo orden cuyas componentes vij explícitamente son Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 116 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x j i j i v v v v v v v v v v v 1480 Gradiente de un tensor de segundo orden T k j i ij k k k j ij i T x T e e e e e e T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ xr 1481 y sus componentes son ij k ijk T xr T 1482 Ejemplo 143 Encuentre el gradiente de la función 1 2 1 2 1 sin x x f x x x exp en el punto 01 Solución Por definición el gradiente de una función escalar viene definido de la forma 2 2 1 1 ˆ ˆ e e x f x f f xr donde 1 2 2 1 1 cos x x x x x f exp 1 2 1 2 x x x x f exp 2 1 1 2 1 2 1 ˆ ˆ cos 1 2 1 2 e e x x x x x x x x f x exp exp xr 1 2 1 2ˆ ˆ 0 ˆ 2 10 e e e xr f Ejemplo 144 Considérese un campo vectorial estacionario rxr r u u a Obtener las componentes del diferencial total ur d b Considerando que ruxr representa el campo de desplazamientos y es independiente de la componente 3x hacer la representación gráfica del campo de desplazamiento en un elemento diferencial de área dx1dx2 Solución Según la definición de diferencial total y de gradiente se cumple que Luego las componentes vienen dadas por ruxr xr d 1x 2x 3x x x r r r d u xr x x r r d x x x x x r r r r r r r r r r d d d d u u u u u Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 117 3 2 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 2 1 dx dx dx x x x x x x x x x d d d x dx d j j i i u u u u u u u u u u u u u u Explícitamente 3 3 3 2 2 3 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 1 1 1 1 x dx x dx x dx d x dx dx x x dx d x dx x dx x dx d u u u u u u u u u u u u con 3 2 1 3 3 3 2 2 1 1 3 3 3 2 1 2 3 3 2 2 1 1 2 2 3 2 1 1 3 3 2 2 1 1 1 1 x x x dx x dx x dx x d x x x dx x dx x dx x d x x x dx x dx x dx x d u u u u u u u u u Para el caso plano es decir cuando el campo es independiente de 3x el campo de desplazamientos en el elemento diferencial de área viene definido por 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 dx x x dx x x dx x dx x d x dx x dx x x dx x dx x d u u u u u u u u u u o aún 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 dx x x dx x x dx x dx x x dx x dx x x dx x dx x u u u u u u u u Observemos que la expresión anterior es equivalente a la expansión en serie de Taylor teniendo en cuenta solo hasta términos lineales La representación del campo de desplazamiento en el elemento diferencial de área se muestra a continuación Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 118 2 2 1 dx x u 1 1 2 dx x u 2 dx 2 u A O 1 dx B A 2 dx B 1 u 1 1 1 1 x dx u u O 1 dx x1u1 x2u2 B A A 2 2 2 2 x dx u u B O u1 x1 x2 2 1 1 x x dx 2 2 1 dx x x 2 2 1 1 dx x dx x 1x 2x ur d u2 2 2 2 1 1 2 2 dx x x dx u u u 2 2 1 1 1 1 1 x dx x dx u u u 2 2 2 2 dx x u u 2 2 1 1 x dx u u 1 1 1 1 x dx u u 1 1 2 2 x dx u u 1 dx 2 dx 444444444444444444 3 444444444444444444 2 1 444444444444444444 8 444444444444444444 7 6 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 119 183 Divergencia La Divergencia de un vector vr será denotada por v v r r r x div 1483 que por definición es igual a v v 1 v v r r r r r r r x x x Tr div 1484 Luego 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ x x x k k jl ik kl j i l k kl j i j i v v v v v v δ δ δ δ e e e e v 1 v r r r r x x 1485 o aún k k i i k i k i k i lj kl j i l k kl j i j i x e e e e e e e e e e v 1 v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v v v v δ δ δ r r r r x x 1486 Con lo que definimos que k kx eˆ xr Divergencia de en la base Cartesiana 1487 Podemos además verificar que la divergencia disminuye el orden de un tensor Divergencia de un tensor de segundo orden T La divergencia de un tensor de segundo orden T es T 1 T x x r r lo que resulta ser un vector i k ik i jk k ij k k j i ij x T x T e e e e e T T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T div δ xr 1488 NOTA En este libro de texto cuando estamos tratando con gradiente y divergencia de un campo tensorial eg rx vr gradiente de un campo vectorial xr T gradiente de un campo tensorial de segundo orden xr T divergencia de un campo de tensorial de segundo orden esto no indica que estamos haciendo una operación entre un vector xr r y un tensor ie v v r r r r r x x T T x x r r r T T x x r r r En este libro xr indica un operador el cual debe ser aplicado a todo el campo tensorial luego el tensor debe estar dentro del operador ver expresiones 1479 y 1487 No obstante es posible relacionar vr rx xr T xr T con operaciones entre tensores y es de fácil demostración que se cumplen las siguientes relaciones Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 120 TT T T T T v v x x x x x x x r r r r r r r r r r r r r 1489 A continuación definimos el operador Laplaciano xr 2 kk k k i i ij j i i j j i x x x x x x x x x ˆ ˆ 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x r r r r δ e e 1490 Luego el Laplaciano de un vector vr viene dado por i kk i i componentes 2 2 v v v v v r r r r r r r r r r x x x x x x 1491 Ejemplo 145 Probar la identidad b a b a r r r r r r r x x x Solución Considerando que je j a r a ˆ y kek b b ˆ r y i i x xr eˆ podemos expresar el primer miembro de la identidad como b a e e e e e e e r r r r x x i i i i i k i k i j i j i i k k j j x x x x x b a b a b a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ejemplo 146 Obtener las componentes de b a r r r x Solución Considerando je j a r a ˆ kek b b ˆ r y i i x xr eˆ 321 i podemos decir que j k j k j i j ik k k k i j i j k k i i j j x x x x e e e e e e e e b a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a b a b b a b a δ r r rx Resultando un vector Expandiendo el índice mudo k obtenemos que 3 3 2 2 1 1 x x x x j j j k j k a b a b a b a b 3 3 3 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 1 1 1 3 2 1 x x x j x x x j x x x j a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ejemplo 147 Probar que la siguiente relación es válida T T T T x x x r r r r r r q q q 2 1 1 cqd Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 121 donde rq xr t es un campo vectorial arbitrario y T xr t es un campo escalar Solución T T T T T T T T x T i i i i i i i i x x x r r r r r r q q q 2 2 1 1 1 1 q q q q 184 Rotacional Rotacional de un vector El rotacional de un vector vr se representa por v v r r r r x rot y viene definido en la base Cartesiana por ˆ kx ek xr r Rotacional de en la base Cartesiana 1492 Observemos que el rotacional es una operación entre tensores Utilizando la definición de producto vectorial entre vectores obtenemos el rotacional de un vector como i k j ijk i ijk j k k j j k k k j j x x x e e e e e e v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v v v v rot r r r rx 1493 donde ijk es el símbolo de permutación definido en 156 y donde hemos aplicado la definición i ijk k j e e e ˆ ˆ ˆ También se puede obtener que 3 2 1 1 2 2 1 3 3 1 1 3 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e e v v x x x x x x x x x i k j ijk v v v v v v v v v v rot r r r rx 1494 Verifiquemos que la parte antisimétrica del gradiente del vector vr representado por W v anti r rx tiene como componentes 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 3 2 3 23 13 23 12 13 12 32 31 23 21 13 12 3 2 2 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 2 2 1 w w w w w w x x x x x x x x x x x x anti i j ij anti W W W W W W W W W W W W v v v v v v v v v v v v v rx vr 1495 donde 1 w 2 w 3 w son las componentes del vector axil wr correspondiente al tensor antisimétrico anti v W r rx ver subapartado 15222 Tensor Antisimétrico Si retomamos la definición del rotacional 1494 y teniendo en consideración 1495 podemos decir que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición rotv x v v3x2 v2x3e1 v1x3 v3x1e2 v2x1 v1x2e3 2W32e1 2W13e2 2W21e3 2w1e1 w2e2 w3e3 2w Además si recurrimos a la identidad 1143 podemos decir que se cumple que W v w v 12x v v Es interesante resaltar que la expresión anterior 1497 podría haber sido obtenida a través del Ejemplo 118 en el cual hemos demostrado que 12a x es el vector axil asociado al tensor antisimétrico x aanti Luego el vector axil asociado al tensor antisimétrico W x vanti v xanti es el vector 12x v Resumen Divergencia div x Gradiente grad x Rotacional rot x Escalar vector Vector Escalar Tensor 2ndo orden Vector Tensor 2ndo orden Vector Tensor 3er orden Tensor 2ndo orden A continuación haremos algunas demostraciones de algunas identidades rotλa x λa λx a xλ a El resultado de la operación x λa será un vector cuyas componentes vienen dadas por x λai εijkλakj εijkλj ak λakj εijkλ akj εijkλj ak λx ai εijk xλj ak λx ai xλ ai con lo que comprobamos la identidad rotλa x λa λx a xλ a x a b x ba x ab x a b x b a Las componentes del producto vectorial a b vienen dadas por a bk εkijaibj Luego x a bl εlpqεkijaip bjq εkij εlpqaip bjq aip bjp Considerando que εkij εijk el resultado de εijk εlpq δil δjp δip δjl y reemplazando en la expresión anterior obtenemos que x a bl εkij εlpq aip bjq aip bjp δil δjp δip δjlaip bjq aip bjp δil δjp aip bj δip δjl aip bj δil δjp aip bjp δip δjl aip bjp alp bp ap p bl app bl ap blp Podemos observar que x a bl alp bp x abl app bl x bal ap bpp x b al ap blp x x a x x a x2 a Las componentes del producto vectorial x ai εijkakj Luego x x aq εqli cil εqli εijk akj l εqli εijk akjl Considerando que εqli εijk εqli εjki ε δ q j δ l k δ q k δ l j la expresión anterior queda x x aq εqli εijk akjl δqj δ lk δqk δ ljakjl δqj δ lk akjl δqk δ lj akjl akkq aqll Podemos observar que x x aq akkq y x2 aq aqll x ψxφ ψx2φ xψ xφ x φxψ φψi i φψii φi ψi φx2 ψ xφ xψ donde φ y ψ son funciones escalares Otra identidad interesante que origina de la anterior es x φxψ φx2 ψ xφ xψ x ψxφ ψx2 φ xψ xφ Restando las dos identidades anteriores obtenemos que MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 124 φ ψ ψ φ φ ψ ψ φ φ ψ ψ φ φ ψ ψ φ 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x r r r r r r r r r r r 1509 185 Campo Conservativo Un campo vectorial xr t r b se denomina conservativo si existe un campo escalar φ diferenciable tal que xrφ r b 1510 Si la función φ cumple la relación 1510 decimos que φ es una función potencial de xr t r b Un condición necesaria pero no suficiente para que xr t r b sea conservativo es que 0 b r r r r x En otras palabras todo campo conservativo el rotacional es nulo pero ni todo rotacional nulo implica un campo conservativo Ejemplo 148 a Probar que 0 v x x r r r r y que 0 r r r r xφ x donde φ es un campo escalar y vr es un campo vectorial b Demostrar que v v v v v v v v x x x x x x x x r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r c Teniendo en cuenta que v x r r r ω r demostrar que ωr r r r r r r r r r 2 2 2 x x x x x v v Solución Considerando i ijkvk j eˆ v x r r r k ji ijk k j i ijk il k j l ijk l i k j ijk l v v x v x v x ˆ ˆ δ e e v x x r r r r La segunda derivada de vr es simétrica en ij ie k ij k ji v v mientras que ijk es antisimétrico en ij ie jik ijk luego 0 3 3 2 2 1 1 ji ij ji ij ji ij ijk k ji v v v v Observar que ij v 1 ji 1 es el doble producto escalar de un tensor simétrico con un antisimétrico cuyo resultado es cero Análogamente demostramos que 0 e e r r r r i i i kj ijk 0 ˆ ˆ φ φ x x NOTA El rotacional del gradiente de un escalar resulta ser igual al vector nulo y la divergencia del rotacional de un vector resulta ser igual a cero b Denominamos por v x r r r ω r con eso quedamos con v v v x x x r r r r r r r r r r ω Recurrimos a la identidad 1500 luego se cumple que ω ω ω ω ω r r r r r r r r r r r r r r r r v v v v v x x x x x Fijemos que el término 0 v x x x r r r r r r ω que fue demostrado en el apartado a Luego concluimos que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 125 v v v v v v v v v v x x x x x x x x x x r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ω ω ω ω c Recurriendo a la identidad 1503 podemos decir que ωr r r r r r r r r r r r r r r r x x x x x x x x v v v v 2 Aplicando el rotacional a la expresión anterior obtenemos que 2 ω 0 r r r 444 3 4 44 2 1 r r r r r r r r r r r r x x x x x x x v v donde hemos tenido en cuenta que el rotacional del gradiente de un escalar resulta el vector nulo Recurrimos una vez más la identidad 1503 para expresar el término ωr r r r r x x resultando 2 2 2 2 0 v v v x x x x x x x x x x x x x r r r 4 4 4 3 14 2 r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ω ω ω ω 19 Teoremas con Integrales 191 Integración por Partes La expresión de la integración por partes viene dada por b a b a b a v x u x dx u x v x u x v x dx 1511 donde dx dv v x y las funciones ux vx tienen que ser diferenciables en el intervalo b x a 192 Teorema de la Divergencia Dado un medio continuo B de volumen V y contorno S el teorema de la divergencia o teorema de Gauss para un vector vr está dado por S S V d dS dV S x r r r r r ˆ v v n v S i i S i i V i i dS dS dV ˆ v v n v 1512 donde nˆ es el vector unitario y exterior a la superficie S que contiene el volumen V en el que está definido el campo vectorial Para un tensor de segundo orden S S V d dS dV S x r r ˆ T T n T S j ij S j ij V ij j dS dS dV ˆ T T n T 1513 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 126 Figura 135 Partiendo del teorema de la divergencia también podemos verificar que se cumplen las siguientes relaciones S j k V j k S j k V i j ik i j ik S j i ik V j i ik V j i dS x dV x dS x dV x x dS x dV x dV x ˆ ˆ ˆ n n n δ δ δ δ 1514 donde hemos considerado que ikj ik j δ 0 y además considerando que kj kx j δ obtenemos que S S j k kj S j k V kj dS V dS x V dS x dV ˆ ˆ ˆ n 1 xr n n δ δ 1515 También se cumple que σ σ σ σ σ σ σ σ σ S k jk i V jk k i jk ik S k jk i V jk k i jk k i S k jk i V k jk i V k jk i dS x dV x dS x dV x x dS x dV x dV x ˆ ˆ ˆ n n n δ 1516 Resultando que nˆ B S dS xr 1x 2x 3x S r d Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 127 σ σ σ V T S V V ji S k jk i V jk k i dV dS dV dV dS x dV x ˆ ˆ σ σ n σ x x x r r r n 1517 Queda de fácil demostración que se cumple que V S V dV dS dV ˆ σ σ n σ x x x r r r 1518 Ejemplo 149 Sea un dominio de área Ω delimitado por el contorno Γ como muestra figura abajo Considérese también que m mxr es un campo tensorial de segundo orden y ω ωxr es un campo escalar Demostrar que se cumple la siguiente relación Ω Γ Ω ω Ω Γ ω Ω ω d d d x x x x x r r r r r ˆ m m n m Ω Γ Ω Ω ω Γ ω Ω ω d d d i ij j j ij i ij ij ˆ m n m m Solución Se puede aplicar directamente la definición de integración por partes para la demostración Pero partiremos de la definición del teorema de la divergencia donde dado un tensor vr se cumple que Γ Ω Γ Ω Γ Ω Γ Ω d d d d j j j j indicial ˆ ˆ v n v x v n v r r r Pero si consideramos que el tensor vr es el resultante de la operación m v xr ω r y lo equivalente en notación indicial ij i j m v ω y reemplazándolo en la expresión anterior obtenemos que Ω Γ Ω Γ Ω Γ Ω Γ Ω Ω ω Γ ω Ω ω Γ ω Ω ω ω Γ ω ω Γ Ω d d d d d d dV d d ij j i j ij i ij ij j ij i ij j i ij ij j ij i j ij i j j j j ˆ ˆ ˆ ˆ m m n m m n m m m n m v n v Lo equivalente en notación tensorial Ω nˆ Γ 1x 2x Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 128 Ω Γ Ω Ω ω Γ ω Ω ω d d d ˆ m m n m x x x x x r r r r r NOTA Si consideramos ahora un dominio de volumen V delimitado por una superficie S con normal nˆ y sea N r un vector y T un escalar también se cumple que V S V V i j i S j i i V ij i dV T dS T dV T dV T N dS N T dV T N N N N x x x x x r r r r r r r r nˆ ˆ n donde hemos aplicado directamente la definición de integración por partes 193 Independencia del Camino Una curva que conecta dos puntos A y B denominamos de camino de A a B A continuación establecemos las condiciones con las cuales una integral de línea es independiente del camino en una determinada región ver Figura 136 Figura 136 Independencia del camino Luego dado un campo vectorial b r continuo la integral C rr r b d es independiente del camino si y solo si b r es un campo conservativo Como consecuencia existe un campo escalar φ tal que xrφ r b Con eso podemos concluir que B A B A B A x B A r r r r r r r r r r d x x x d d d 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e b φ φ φ φ b b b 1519 Luego 3 3 2 2 1 1 x x x φ φ φ b b b 1520 Como el campo es conservativo el rotacional es cero cqd 1x 2x 3x A B 1 C rr d b r 2 C Si 2 1 C C r r r r r r d d b b b r Campo conservativo Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 129 i x x x 0 ˆ ˆ ˆ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 b b b e e e 0 b r r r rx 1521 Concluyendo que 2 1 1 2 1 3 3 1 3 2 2 3 2 1 1 2 1 3 3 1 3 2 2 3 0 0 0 x x x x x x x x x x x x b b b b b b b b b b b b 1522 Luego si no se cumple la condición anterior el campo no es conservativo 194 Teorema de KelvinStokes Sea una superficie regular S y sea un campo vectorial xr t r F Según el Teorema de KelvinStokes S S dS d d n F F F ˆ r r r r r r r r r x x S Γ Γ 1523 Si adoptamos un versor tangente al contorno Γ denominado por pˆ el teorema de Stokes queda S S dS d d n F F F p ˆ ˆ r r r r r r r r x x S Γ Γ 1524 Figura 137 Teorema de Stokes nˆ S 2x 3x 1x Ω Γ pˆ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 130 Representamos los vectores en la base cartesiana como 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ e e e F F F F r el vector de área como 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ e e e dS dS dS d S r y 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ e e e dx dx dx d Γ r El rotacional de F r viene definido por 3 2 1 1 2 2 1 3 3 1 1 3 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e F x x x x x x x x x F F F F F F F F F r r rx 1525 Con lo cual podemos expresar el teorema de Stokes en componentes como 3 2 1 1 2 2 1 3 3 1 1 3 2 2 3 3 3 2 2 1 1 dS x x dS x x dS x x dx dx dx S F F F F F F F F F Γ 1526 Como caso particular podemos tener que la superficie S coincide con el plano Ω como muestra Figura 138 en este caso sigue siendo válida la expresión 1526 Figura 138 Otro caso particular es cuando la región Ω está toda contenida en el plano 2 1 x x Figura 139 Teorema de Green Ω Γ 2x 1x 3x nˆ 2x 1x 3x Ω dSˆe3 d S r Γ 3ˆe Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 131 Ω Γ dS d ˆ 3 e F F r r r r r x Γ 1527 Que es conocida como el teorema de Stokes en el plano o teorema de Green En componentes queda 3 2 1 1 2 2 2 1 1 dS x x dx dx Ω Γ F F F F 1528 195 Identidades de Green Sea F r un vector aplicando el teorema de la divergencia obtenemos que S V dS dV ˆ F n F r r rx 1529 Además consideremos las identidades demostradas en 1507 y 1509 respectivamente 2 ψ φ ψ φ ψ φ x x x x x r r r r r 1530 φ ψ ψ φ φ ψ ψ φ 2 2 x x x x x r r r r r 1531 Considerando que ψ φ xr r F y reemplazando 1530 en 1529 obtenemos que V S V S V dV dS dV dS dV ˆ ˆ 2 2 ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ x x x x x x x x r r r r r r r r n n 1532 que es conocida como la primera identidad de Green Si ahora reemplazamos 1531 en 1529 obtenemos que S V dS dV ˆ 2 2 n φ ψ ψ φ φ ψ ψ φ x x x x r r r r 1533 que es conocida como la segunda identidad de Green Ejemplo 150 Si un vector se define como v b r r r r x probar que λ λ V i i S i i dV dS ˆ b b n donde λ es una función únicamente de xr ie λ λxr Solución Si v b r r r r x luego k j ijk i v b Reemplazando en la integral de superficie anterior resulta λ λ S i k j ijk S i i dS dS ˆ ˆ v n b n Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss resulta Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 132 λ λ λ λ λ λ λ λ V V i i k ji ijk k j ijk i V k ji ijk k j i ijk V i k j ijk S i k j ijk S i i dV dV dV dV dS dS i ˆ ˆ 0 b v v v v v n v n b b 43 42 1 43 42 1 110 Coordenadas Cilíndricas y Esféricas Para la solución de determinados problemas puede resultar conveniente emplear otros sistemas de coordenadas como por ejemplo el sistema de coordenadas cilíndricas o el sistema de coordenadas esféricas 1101 Sistema de Coordenadas Cilíndricas En el sistema de coordenadas cilíndricas z r θ se adopta como eje de simetría la dirección z En este sistema un punto P tiene coordenadas z r θ restringido a 180º 0 θ donde estas variables están indicadas en la Figura 140 Conversión de coordenadas cilíndricas a las coordenadas cartesianas θ θ z x r x r x 3 2 1 sin cos 1534 Conversión de coordenadas cartesianas a las coordenadas cilíndricas θ 3 1 2 2 2 2 1 arctan x z x x x x r 1535 Los versores en este sistema z r e e e ˆ ˆ ˆ θ pueden obtenerse con una simple ley de transformación donde la matriz de transformación viene dada por un giro alrededor del eje z de un ángulo θ es decir θ θ θ θ θ 3 2 1 ˆ ˆ ˆ 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos ˆ ˆ ˆ e e e e e e z r 1536 resultando cqd Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 1 TENSORES 133 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ z r r inversa z r e e e e e e e e e e e e e e e e ˆ ˆ cos ˆ ˆ sin ˆ sin ˆ cos ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ ˆ sin ˆ sin ˆ ˆ cos ˆ 3 2 1 3 2 1 2 1 1537 Podemos verificar en la ecuación 1537 que r eˆ y θ eˆ son dependientes de θ luego podemos obtener las siguientes diferenciaciones θ θ θ θ e e e e ˆ cos ˆ ˆ sin ˆ 2 1 r er e e e ˆ ˆ sin ˆ cos ˆ 2 1 θ θ θ θ 1538 Figura 140 Sistema de coordenadas cilíndricas Utilizando la regla de la cadena para derivadas parciales podemos demostrar que el operador nabla se expresa en coordenadas cilíndricas como 3 ˆ 3 1 ˆ ˆ x r r r θ θ e e e 1539 El operador Laplaciano 2 en coordenadas cilíndricas queda 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x r r r r x r r r r r θ θ 1540 La demostración de 1540 siguen a continuación θ θ θ θ 3 3 3 3 2 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ x r r x r r r r e e e e e e 1541 Haciendo el producto y considerando que 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 θ θ r z r e e e e e e obtenemos los siguientes términos 1x 2x 3x z eˆ θ eˆ r eˆ r xr θ z 2x 1x r θ Proyección en el plano 2 1 x x r cosθ r sin θ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición êr r êr r êθ 1r θ ê3 x3 êr êrr r êr êr r r r r 2r2 1r êθ θ êr r êθ 1r θ ê3 x3 1r êθ êrθ r 1r êθ êr θ r 1r êθ êθθ 1r r 1r êθ êθ θ 1r r 1r2 2θ2 ê3 x3 êr r êθ 1r θ ê3 x3 2x32 Sumando los términos obtenemos la expresión del Laplaciano dada por 1540 Consideremos un campo vectorial representado por v vr êr vθ êθ v3 ê3 a continuación aplicaremos a este vector los siguientes operadores Rotacional de un vector El rotacional de un vector v viene dado por v êr êθ ê3 r 1r θ x3 vr vθ v3 Desarrollando el determinante anterior hallamos v êr 1r v3θ vθx3 êθ v3r vrx3 ê3 vθr 1r vrθ Divergencia La divergencia de un vector v en coordenadas cilíndricas viene dada por v êr r êθ 1r θ ê3 x3 êr vr êθ vθ ê3 v3 v êr r êr vr êθ vθ ê3 v3 êθ 1r θ êr vr êθ vθ ê3 v3 ê3 x3 êr vr êθ vθ ê3 v3 Operando los tres términos de la ecuación anterior separadamente obtenemos êr r êr vr êθ vθ ê3 v3 Sabiendo que êθ ê3 vθ v3 no son dependientes de r êr r êθ vθ êr r ê3 v3 0 Nos queda por definir êr r êr vr êr êr vrr₁ êr vr êrr₀ vrr êθ 1r θ êr vr êθ vθ ê₃ v₃ Como ê₃ v₃ no es dependiente de θ resulta êθ 1r θ ê₃ v₃ 0 Resultando êθ 1r θ êr vr êθ vθ êθ êr 1r vrθ₀ êθ vr 1r êrθêθ êθ êθ 1r vθθ ê0 vθ 1r êθθêr vr 1r 1r vθθ ê₃ x₃ êr vr êθ vθ ê₃ v₃ ê₃ x₃ êr vr êθ vθ ê₃ v₃ ê₃ ê₃ v₃x₃₁ v₃x₃ Teniendo en cuenta todas operaciones anteriores concluimos que v vrr vr 1r 1r vθθ v₃x₃ 1549 o bien v vrr 1r vr vθθ v₃x₃ 1550 1102 Sistema de Coordenadas Esféricas Las coordenadas esféricas r θ ϕ están indicadas en la Figura 141 luego se cumple que Conversión de coordenadas esféricas a las coordenadas cartesianas x₁ r sin θ cos ϕ x₂ r sin θ sin ϕ x₃ r cos θ 1551 donde r 0 y 0 ϕ 180 y 0 θ 360 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Figura 141 Sistema de coordenadas esféricas Conversión de coordenadas cartesianas a las coordenadas esféricas r x₁² x₂² x₃² θ arctanx₁² x₂²x₃ ϕ arctanx₂x₁ 1552 Los vectores unitarios êr êθ êϕ mutuamente ortogonales entre sí están ilustrados en la Figura 141 y los podemos expresar en función de los versores ê₁ ê₂ ê₃ a través de una transformación de coordenadas Rotación según eje ê₃ de un ángulo ϕ Luego el nuevo sistema estará definido como ê₁ cos ϕ sin ϕ 0 ê₁ ê₂ sin ϕ cos ϕ 0 ê₂ ê₃ 0 0 1 ê₃ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Rotación según eje ê₂ de un ángulo β Pero podemos observar en la figura que β π2 θ luego cos β sin θ y sin β cos θ êr êϕ êθ sin θ 0 cos θ 0 1 0 cos θ 0 sin θ ê₁ ê₂ ê₃ Considerando las dos transformaciones anteriores podemos obtener que êr êϕ êθ sin θ 0 cos θ 0 1 0 cos θ 0 sin θ cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 ê₁ ê₂ ê₃ sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ sin ϕ cos ϕ 0 ê₁ ê₂ ê₃ Explícitamente êr ê₁ cos ϕ sin θ ê₂ sin ϕ sin θ ê₃ cos θ êθ ê₁ cos ϕ cos θ ê₂ sin ϕ cos θ ê₃ sin θ êϕ ê₁ sin ϕ ê₂ cos ϕ 1554 La diferenciación de la base en función de θ ϕ queda êrθ ê₁ cos ϕ cos θ ê₂ sin ϕ cos θ ê₃ sin θ êθ 1555 êrϕ ê₁ sin ϕ sin θ ê₂ cos ϕ sin θ êϕ sin θ 1556 êθθ ê₁ cos ϕ sin θ ê₂ sin ϕ sin θ ê₃ cos θ êr 1557 êθϕ ê₁ sin ϕ cos θ ê₂ cos ϕ cos θ êϕ cos θ 1558 êϕϕ ê₁ cos ϕ ê₂ sin ϕ êr sin θ êθ cos θ 1559 El operador nabla será dado por êr r êθ 1r θ êϕ 1r sin θ ϕ 1560 El operador Laplaciano ² en coordenadas esféricas queda Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 138 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 cotg 1 2 sin 1 sin sin 1 1 φ φ θ θ θ θ θ θ θ θ θ r r r r r r r r r r r r 1561 Divergencia La divergencia de un vector vr en coordenadas esféricas viene dada por φ φ φ φ v v v e e e e e e v ˆ ˆ ˆ sin 1 ˆ 1 ˆ ˆ θ θ θ θ θ r r r r r r r 1562 Haciendo el producto obtenemos θ θ θ cotg 2 φ φ φ v v v v v r r r r vr 1563 Ejemplo 151 Escribir la ecuación 2 2 y x z dada en coordenadas cartesianas en coordenadas cilíndricas y esféricas Solución cilíndricas θ θ 2 2 sin cos r r z θ r 2 cos 2 z esféricas 2 2 sin sin cos sin cos φ φ θ θ θ r r r Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición A Representación gráfica de un tensor A1 Introducción Existen diversas aplicaciones prácticas en Ingeniería que utiliza la representación gráfica de un tensor de segundo orden La representación gráfica de un tensor de segundo orden consiste en una gráfica bidimensional donde la abscisa viene representada por la componente normal N T y la ordenada por la componente tangencial S T para todos los planos admisibles 1 ˆ ˆ nn A2 Proyección de un Tensor de Segundo Orden sobre una Dirección A21 Componente Normal y Tangencial Como hemos visto en el capítulo 1 la proyección de un tensor de segundo T orden sobre una dirección nˆ resulta un vector T n t n ˆ ˆ r El vector ˆ tn r asociado a la dirección nˆ puede descomponerse en una componente normal TN r vector normal y en otra tangencial TS r vector tangencial tal como se indica en la Figura A1 La suma vectorial de estos vectores resulta S N T T t n r r r ˆ A1 Siendo nˆ el versor normal al plano y sˆ el versor tangente al plano podemos escribir la relación anterior como A Apendice Representacion Grafica de un Tensor Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 140 s n t n ˆ ˆ ˆ S N T T r A2 donde N T y S T son los módulos de TN r y de TS r respectivamente Figura A1 Componentes normal y tangencial del vector Escribiendo el vector TN r en función de su módulo N T y del versor nˆ las siguientes relaciones son válidas T n n n n n t n n t n n T n n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4243 1 r r r N N N N T T T i N j kj k i k k i k k i N i N n T n n n n t n n t n T T T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4243 1 r n n A3 Verificamos que N T puede ser obtenido a través de las siguientes relaciones j kj k N n T n T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n T n n t n r A4 Observemos que T será un tensor definido positivo si 0 ˆ ˆ T n n TN para todo 0 n r ˆ Podemos concluir también que n n T n T n ˆ ˆ ˆ ˆ sym TN luego si la parte simétrica del tensor es un tensor definido positivo el tensor también lo será Análogamente podemos representar el vector TS r en función de su módulo S T y del versor sˆ T ns s s s t s s t s T n n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 4243 1 r r r S S S T T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i j k jk i j j i S i S S s n s T s s t T s T T 43 42 1 r n A5 Otra forma de obtener el vector tangencial puede ser a través de la ecuación A1 n n n T T n T t T n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ N S r r r A6 1ˆe 2 ˆe ˆ tn r nˆ T N r T S r 1x 2x 3x sˆ P 3 ˆe Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición APÉNDICE A REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR 141 Ya que TS r y TN r son perpendiculares También podemos obtener el módulo de TS r a través del teorema de Pitágoras 2 ˆ ˆ 2 N i i S T t t T n n A7 con k j ik ij i i T T n n t t ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 n n t n r A22 Máxima y Mínima Componente Normal Como visto anteriormente la componente normal viene dada por n T n ˆ ˆ TN con la restricción que 1 ˆ ˆ nn versor Los valores de máximos y mínimos de N T con restricción pueden ser obtenidos a través del método del multiplicador de Lagrange Este método consiste en construir una función tal que 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ µ µ µ n n n T n n n n TN L A8 donde µ es el multiplicador de Lagrange Diferenciando la función ˆ Ln con respecto a nˆ y a µ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones 1 ˆ ˆ 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ µ µ µ µ µ n n n n n 0 n 1 T 0 n n T n n L L r r sym sym A9 El primer sistemas de ecuaciones sólo tiene solución si y solo si 0 µ det T sym 1 que es el problema de autovalor de la parte simétrica de T Es decir los valores de máximos y mínimos de N T corresponden a los autovalores de T sym Siendo T1sym sym T2 sym T3 los autovalores de T sym reestructuramos los autovalores de tal forma que sym sym sym III II I T T T A10 Podemos entonces decir que el valor máximo de N T es TIsym y sym TIII es el valor mínimo NOTA Ya era de esperar que los valores extremos de N T estuviera relacionado con el tensor simétrico T sym ya que para la obtención de N T la parte antisimétrica no juega ningún papel n n T n T n ˆ ˆ ˆ ˆ sym TN A23 Máxima y Mínima Componente Tangencial de un Tensor Simétrico Por simplicidad vamos trabajar en el espacio principal del tensor T y vamos considerar que el tensor es simétrico T TT En el espacio principal las componentes del tensor T vienen representadas por las componentes normales Figura A2 ya que en este espacio carece de componentes tangenciales Observemos también que en este espacio las OBS Cuando utilizamos la nomenclatura III II I T T T ya está implícito que III II I T T T Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 142 componentes normales iT tienen las mismas direcciones que ˆ itn El módulo de la componente normal N T en un plano arbitrario de normal nˆ según la expresión A4 viene dado por la expresión 2 3 3 2 2 2 2 1 1 ˆ T n T n T n T n n n t T i j ij i i N n A11 Observemos que para el plano particular 1 001 T T n N i Geométricamente teorema de Pitágoras podemos obtener el módulo de la componente tangencial 2 2 ˆ ˆ 2 ˆ 2 2 ˆ ˆ N k j ik ij N i i N S T T T n n T t t T T n n t n r A12 Figura A2 Componentes del tensor en el espacio principal Reemplazando la ecuación A11 en la ecuación A12 hallamos 2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T n T n T n T n T n T n T S A13 Podemos formular la siguiente pregunta Cuáles son los valores de inˆ que hacen máximo la función 2 S T Este problema se reduce a encontrar valores extremos de la función 1 ˆ ˆ ˆ 2 µ i i S F n n T n A14 donde µ es el multiplicador de Lagrange con la restricción nini 1 La condición necesaria es 0 ˆ 0 ˆ µ n n F F in A15 resultando 0 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 0 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 0 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 2 3 3 2 2 2 2 1 1 3 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 µ µ µ T n T n T n T T n T n T n T n T T n T n T n T n T T n A16 con la condición 1 ˆ ˆ nini Podemos obtener analíticamente la solución del sistema anterior resultando en las siguientes soluciones posibles 1x 2 x 3 x 1 T 3 T 2 T 1x 2 x 3 x nˆ ˆ tn r TS r TN r plano arbitrario Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición APÉNDICE A REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR 143 solución 1ˆn 2 ˆn 3ˆn S T 1 1 0 0 TS 0 2 0 1 0 TS 0 3 0 0 1 TS 0 4 0 2 1 2 1 2 3 2 T T T S 5 2 1 0 2 1 2 3 1 T T T S 6 2 1 2 1 0 2 2 1 T T T S A17 Los valores de S T fueron obtenidos introduciendo los valores de inˆ en la expresión A13 Los tres primeros conjuntos de soluciones nos proporcionan los valores mínimos de S T que corresponden justamente con las direcciones principales Para las soluciones 4 los planos de máximo relativo para S T están esquematizados en la Figura A3 Figura A3 Planos de máxima componente tangencial relativa con n1 0 Para las soluciones 5 los planos están esquematizados en la Figura A4 Figura A4 Planos de máxima componente tangencial relativa con n2 0 3 T 2 T 1 T 3 T 2 T 1 T 2 1 2 1 ˆ 0 in 2 1 2 1 0 ˆ in 2 1 2 1 0 ˆ in 2 1 2 1 0 ˆ in 2 1 2 1 0 ˆ in 3 T 2 T 1 T 3 T 2 T 1 T 2 1 2 1 0 ˆ in 2 1 2 1 0 ˆ in 2 1 2 1 0 ˆ in Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 144 En la Figura A5 podemos visualizar los planos de máxima componente tangencial para las soluciones 6 Figura A5 Planos de máxima componente tangencial relativa con n3 0 Ordenando los autovalores valores principales 1 T 2 T 3 T de la forma III II I T T T A18 obtenemos el máximo absoluto de la tensión de corte 2 III I max T T T S A19 A3 Representación Gráfica de un Tensor de Segundo Orden Arbitrario Conocidas las componentes de un tensor de segundo orden en la base cartesiana ij T podemos obtener las componentes normales y tangenciales N T S T para cualquier plano de normal nˆ con la restricción 1 ˆ ˆ nn en componentes 1 ˆ ˆ ˆ 2 3 2 2 2 1 n n n Podemos dibujar una gráfica donde la abscisa viene representa por la componente normal N T y la ordenada por la componente tangencial S T al plano En este apartado utilizaremos un procedimiento numérico es decir de forma aleatoria sacamos distintos valores posibles para la normal versor y obtenemos los valores correspondientes de N T S T y plotamos sus coordenadas en una gráfica S N T T De esta forma vamos obtener la representación gráfica del tensor de segundo orden es decir los valores posibles factibles para la componente normal y tangencial del tensor en cada plano De igual manera también dibujamos la gráfica correspondiente a la parte simétrica del tensor sym S N Nsym T T T A continuación adoptamos algunos valores para las componentes del tensor y verificamos que formato tiene la gráfica componente normal versus componente tangencial El primer ejemplo ver Figura A6 constituye de un tensor no simétrico Es interesante observar que el tensor es definido positivo ya que 0 ˆ ˆ T n n TN para todo 0 n r ˆ 0 ˆ 2 1 12 in 3 T 2 T 1 T 3 T 2 T 1 T 0 ˆ 2 1 12 in 0 ˆ 2 1 in 12 0 ˆ 2 1 12 in Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición APÉNDICE A REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR 145 Verifiquemos también que el tensor tiene tres autovalores reales y por definición de autovalor corresponden cuando TS 0 Los valores máximos y mínimos para la componente N T son coincidentes con los autovalores de la parte simétrica de T Para la componente tangencial podemos hacer la siguiente descomposición ns s T n s T s T n s T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ anti sym S S 4243 1 r T A20 Cuando nˆ sea una de las direcciones principales de la parte simétrica tenemos que ns s T n s s T n s n s s T n s T T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ λ anti anti anti sym S r A21 ya que los versores sˆ nˆ son ortogonales 0 ˆ ˆ s n Esto implica que en los planos ˆn 1 ˆn 2 ˆn 3 autovectores de T sym las correspondientes componentes normales y tangenciales asociadas al tensor T vendrán dadas por el autovalor de T sym y componente tangencial dada por ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n n t s s t s t n T s anti anti anti anti S r r r T A22 Figura A6 Representación gráfica de un tensor definido positivo no simétrico N T S T 6 6 3 2 4 1 1 3 5 Tij 152 T III 3 59 T II 9 89 TI 6 4 2 4 4 2 2 2 5 sym Tij N T sym TS TIsym 1055 3 61 T IIsym 0 84 T IIIsym 2 424 1055 max S N T T 2 41 0 84 min S N T T 4 86 max sym TS 2 424 1055 max S N T T 2 41 0 84 min S N T T Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 146 Por ejemplo para el autovalor TIsym 1055 que está asociado al autovector 0 692913086 0 561517458 0 45229371 ˆ 1 n j tenemos que 2 424378 5753286 1 18381199 01313956 692913086 0 0 561517458 0 45229371 0 2 1 2 0 1 1 1 0 1 ˆ ˆ 4 44 3 44 2 4 1 4 4 3 4 2 1 r j anti ij anti S n T T t n A23 Para el autovalor 3 61 T IIsym tenemos que 0 55947 0 50644304 036633496 0 234905 0 0 42439659 18949182 0 88542667 0 0 2 1 2 0 1 1 1 0 ˆ n t anti S r T A24 Para el autovalor 0 84 T IIIsym tenemos que 2 41 1 5039465 2727817 1 3883641 1 0 582888489 80547563 0 107004733 0 0 2 1 2 0 1 1 1 0 ˆ n t anti S r T A25 Debemos enfatizar que este procedimiento sólo es válido para los planos correspondientes a los autovectores de la parte simétrica de T para un plano arbitrario ya no es válido Con lo que respecta a la parte simétrica del tensor verifiquemos que el valor máximo y mínimo de la componente normal se encuentra en los valores principales 1055 max sym I N T T y 0 84 min sym III N T T La máxima componente tangencial es igual al radio del círculo que forma TIsym 1055 y 0 84 T IIIsym ver Figura A6 resultando 4 86 2 0 84 55 10 max sym TS El segundo ejemplo se trata de un tensor simétrico ver Figura A7 Además podemos verificar que el tensor no es definido positivo Intuitivamente nos indica que para un tensor simétrico la gráfica componente normal versus componente tangencial es la intersección de tres circunferencias Podemos verificar también en esta gráfica que la componente tangencial máxima viene dada por 4 55 2 0 78 8 328 2 III I max T T TS Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición APÉNDICE A REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR 147 Figura A7 Representación gráfica de un tensor simétrico El tercer ejemplo trata de un tensor simétrico que tiene dos autovalores iguales Podemos verificar que los valores posibles para N T S T está limitado a la circunferencia de radio 52 2 III I T T R y centrada en el punto 51 2 III I T T TN TS 0 ver Figura A8 Intuitivamente nos lleva a pensar que la representación gráfica de un tensor esférico tres autovalores iguales será un punto Figura A8 Representación gráfica de un tensor simétrico con dos autovalores iguales N T S T 5 2 3 2 4 2 3 2 1 Tij 0 78 T III 2 454 T II max 8 328 N I T T 4 55 TS max N T S T 1 0 0 0 1 0 0 0 4 Tij 1 III II T T max 4 N I T T 52 TS max Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 148 El cuarto ejemplo se trata de un tensor no simétrico que tiene un único autovalor real e igual a 0 964 1 T y dos imaginarios ver Figura A9 y además se trata de un tensor no definido positivo Figura A9 Representación gráfica de un tensor no simétrico con un único autovalor real En los planos correspondientes a las direcciones principales de la parte simétrica del tensor tenemos los siguientes valores para la componente tangencial del tensor Para el autovalor 9 894 TIsym tenemos que N T S T 2 7 1 1 2 2 4 8 6 Tij N T sym TS 2 4 52 4 2 3 52 3 6 sym Tij TS max max sym TS T IIIsym 2 02 2126 T IIsym 9 894 TIsym IT 0 964 06 9 894 max S N T T 417 2 02 min S N T T 06 9 894 max S N T T 417 2 02 min S N T T Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición APÉNDICE A REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR 149 06 0 482120 991187 4 299127 3 0 484682632 514420622 0 707427855 0 0 3 51 3 0 5 51 5 0 ˆ anti S t n r T A26 Para el autovalor T IIIsym 2 02 tenemos que 41676 2 2624170 3453965 2 5979967 2 0 685940116897 72538138475 0 0575152387 0 0 3 51 3 0 5 51 5 0 ˆ anti S t n r T A27 A31 Representación Gráfica de un Tensor de Segundo Orden Simétrico Círculo de Mohr Como hemos visto la proyección de un tensor de segundo orden según una dirección resulta un vector T n t n ˆ ˆ r y a su vez este vector puede ser descompuesto en una componente normal y tangencial cuyos módulos representamos respectivamente por S T y N T ver Figura A1 El objetivo en este apartado es dadas las componentes de un tensor encontrar todo los valores posibles del par S N T T esta representación gráfica denominamos de Círculo de Mohr y tiene varias aplicaciones prácticas dentro del ámbito de ingeniería Consideraremos un tensor de segundo orden simétrico y por conveniencia trabajaremos en el espacio principal direcciones principales y supongamos que las componentes normales autovalores están ordenadas III II I T T T Partiremos de la expresión obtenida en A7 ie ˆ 2 ˆ ˆ 2 2 n n n t t t r r r N S T T A28 Figura A10 Representación de las componentes tensor simétrico en el espacio principal I T III T II T 1x 2 x 3 x ˆ tn r I T III T 1x 2 x 3 x S A B C O nˆ II T 1ˆe 2 ˆe 3 ˆe a b Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 150 Las componentes del vector proyección ˆ tn r para un plano arbitrario fueron obtenidas en la ecuación A1 Fijemos ahora que nˆ es el versor del plano respecto a los ejes principales Las componentes de T n t n ˆ ˆ r en el espacio principal Figura A10b son 3 III ˆ 3 2 II ˆ 2 1 I ˆ 1 T n t T n t T n t n n n A29 El producto escalar ˆ ˆ n n t t r r en este espacio será 2 3 2 III 2 2 2 II 2 1 2 I ˆ 3 ˆ 3 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T n T n T n t t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n n n e e t t i i ij j i j j i i δ r r A30 Combinando las expresiones A28 y A30 obtenemos que 2 3 2 III 2 2 2 II 2 1 2 I 2 2 T n T n T n T T N S A31 La componente normal N T en el espacio principal viene expresada de la forma 2 3 III 2 2 II 2 1 I ˆ ˆ T n T n T n T n n T i j ij N n t n r A32 donde utilizamos la expresión A4 Considerando la restricción nini 1 2 3 2 2 2 1 1 n n n y reemplazándola en la relación anterior A32 hallamos el valor de 2 2 n 1 I II I 2 3 I 2 3 III 2 2 2 3 III 2 2 II 2 3 2 2 I T T T T n n T T n T n T n n n T T N N A33 Reemplazando también 2 3 2 2 2 1 1 n n n en la ecuación A31 obtenemos 2 3 2 III 2 2 2 II 2 3 2 2 2 I 2 3 2 III 2 2 2 II 2 1 2 I 2 2 1 T n T n n n T T n T n T n T T N S A34 Sustituyendo 2 2 n obtenido en A33 en la ecuación anterior resulta III II I II 2 3 II III I III 2 2 T T T T T T n T T T T T T N N N S A35 Despejando 2 3 n II III I III 2 II I 2 3 T T T T T T T T T n S N N A36 Análogamente podemos obtener 2 1 n y 2 2 n resultando 0 III I II I 2 III II 2 1 T T T T T T T T T n S N N a 0 I II III II 2 I III 2 2 T T T T T T T T T n S N N b 0 II III I III 2 II I 2 3 T T T T T T T T T n S N N c A37 Considerando que III II I T T T podemos verificar que las ecuaciones A37 a y c tienen denominadores positivos como consecuencia sus numeradores deberán ser Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición APÉNDICE A REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR 151 positivos pues el miembro de la izquierda es positivo in2 0 Sin embargo la ecuación A37 b tiene denominador negativo por lo que su numerador tendrá que ser negativo es decir 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 II I 2 I III 2 III II II III I III 2 II I 2 3 I II III II 2 I III 2 2 III I II I 2 III II 2 1 S N N S N N S N N S N N S N N S N N T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T n T T T T T T T T T n T T T T T T T T T n A38 Expandiendo las desigualdades anteriores A38 y factorizando resultan 2 II I 2 1 2 II I 2 1 2 2 III I 2 1 2 III I 2 1 2 2 III II 2 1 2 III II 2 1 2 T T T T T T T T T T T T T T T T T T N S N S N S A39 Las ecuaciones anteriores son ecuaciones de círculos El primer círculo de centro III II 2 1 T T y radio III II 2 1 T T nos indica que los puntos factibles para el par N TS T estarán en el exterior del círculo 1 C incluyendo la circunferencia ver Figura A11 El segundo círculo de centro III I 2 1 T T y radio III I 2 1 T T nos indica que los puntos factibles estarán en el interior de la circunferencia 2 C incluyendo la circunferencia La tercera ecuación nos indica que los puntos factibles serán exteriores a la circunferencia 3 C cuya circunferencia tiene radio II I 2 1 T T y centro II I 2 1 T T Teniendo en cuenta las tres ecuaciones la zona factible será la zona señalada en gris de la Figura A11 incluyendo las circunferencias 1 C 2 C 3 C Figura A11 Círculo de Mohr zona factible En el círculo de Mohr podemos identificar los valores máximos de TS max obtenidos en el subapartado anterior de forma mas sencilla ver Figura A12 S T zona factible N T 2 C 1 C I T II T III T 3 C Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 152 Figura A12 Círculo de Mohr A311 Obtención Gráfica del Vector Proyección en el Círculo de Mohr A continuación explicaremos como encontrar la dirección de un plano arbitrario en el Círculo de Mohr Esto es útil porque una vez encontrada la dirección de la normal del plano en el círculo de Mohr la tensión normal N T y tangencial S T podrán obtenerse gráficamente ya que asociado a esta dirección sólo habrá un vector proyección ˆ tn r La normal debe cumplir la siguiente condición 1 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 n n n n n n n n i i A40 que es la ecuación de una esfera de radio 1 centrada en el origen Es decir la superficie de la esfera de radio uno es el lugar geométrico posible de inˆ III T II T I T III T II T I T III T II T I T Punto N Punto N Punto M Punto M Punto Q Punto Q Q N T max I T TN III T II T S T TS max M N Q N M Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición APÉNDICE A REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR 153 Figura A13 Lugar geométrico del vector nˆ Consideremos los cosenos directores del vector nˆ cos ˆ 1 α n cos ˆ 2 β n cos ˆ 3 γ n Figura A13a En un octante de la esfera Figura A13b esta normal está representada por el vector OQ El objetivo ahora es identificar el punto Q en el círculo de Mohr Una vez identificado el vector proyección correspondiente será el vector con origen en el punto o de la Figura A14 y final en el punto q Los vectores situados en el arco FD forman un ángulo α con el eje I T los vectores situados en el arco EG forman un ángulo β con el eje II T y los vectores situados en el arco KH forman un ángulo γ con el eje III T Por tanto la intersección de estos tres arcos será el punto Q es decir la dirección de la normal nˆ Si además podemos identificar los tres arcos en el círculo de Mohr el punto Q queda definido Identificación de Arco FD en el Círculo de Mohr Los vectores proyecciones correspondientes a las normales situadas en la semicircunferencia CA de la Figura A13b estarán situados en el círculo de Mohr en la semicircunferencia ca I III T T de la Figura A14 Un punto arbitrario del cuarto de circunferencia CA por ejemplo el punto F de la Figura A13b será identificado en el círculo de Mohr cuando una recta con origen en σIII y con ángulo α como indica la Figura A14 intercepte la semicircunferencia ca mostrando el punto f que es el correspondiente punto F de la esfera Por otro lado el arco FD es paralelo al cuarto de circunferencia BC que se corresponde con la semicircunferencia bc III II T T en el círculo de Mohr Por último el arco FD estará representado en el círculo de Mohr por una semicircunferencia concéntrica a la semicircunferencia III II T T y que pase por el punto f ver Figura A14 El punto q por tanto se encontrará en el arco fd Identificación del Arco KH en el Círculo de Mohr El punto K en el círculo de Mohr se corresponde con la intersección de la semicircunferencia ca III I T T y de la recta con origen en I T y ángulo de γ ver Figura I T II T K F E D H G Q A B C III T nˆ α γ β b O I T II T III T nˆ γ β α a O 1ˆe 2 ˆe 3 ˆe Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 154 A14 Una vez identificado el punto K en el círculo de Mohr representado por k el arco KH deberá ser concéntrico a la semicircunferencia ab II I T T y pasando por el punto k obtenemos así el punto h que es el equivalente punto H de la esfera La intersección de los dos arcos fd y kh nos proporciona el punto q Aunque no es necesario identificaremos el arco EG por razones didácticas Identificación del Arco EG en el Círculo de Mohr El punto E de la esfera estará representado en el círculo de Mohr por la intersección de la semicircunferencia ab II I T T y la recta con origen en I T y que forma un ángulo β con II T Una vez identificado el punto e trazamos el arco eg que será concéntrico con la semicircunferencia ac III I T T ver Figura A14 El arco eg tendrá que contener el punto q como se indica en la Figura A14 Figura A14 Vector proyección arbitrario en el círculo de Mohr A4 Elipsoide del Tensor Consideremos un tensor simétrico de segundo orden T y sus autovalores representados por 1 T 2 T y 3 T En el espacio principal de T se cumple que 3 ˆ 3 3 2 ˆ 2 2 1 ˆ 1 1 3 3 ˆ 3 2 2 ˆ 2 1 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T t n T t n T t n T n t T n t T n t n n n n n n t n n T componentes r A41 El objetivo ahora es obtener la superficie en el espacio principal que describe el vector ˆ tn r para todos los valores posibles de nˆ γ N T I T a III T c II T b S T f α k q h g d e β o ˆ tn r N T S T ˆ tn r TN r TS r nˆ sˆ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición APÉNDICE A REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR 155 Teniendo en cuenta que un versor nˆ cumple que 1 ˆ ˆ ˆ 2 3 2 2 2 1 n n n módulo unitario y reemplazando los valores de inˆ dados por A41 obtenemos que 1 2 3 ˆ 2 3 2 2 ˆ 2 2 2 1 ˆ 2 1 T t T t T t n n n A42 Que representa una superficie elipsoide en el espacio principal de T Cuando dos autovalores son iguales tenemos el caso de un elipsoide de revolución Cuando los tres autovalores son iguales la superficie será una esfera Por eso los tensores que presentan esta característica se denominan Tensores Esféricos y cualquier dirección será una dirección principal Figura A15 Elipsoide del tensor A5 Representación Gráfica de la Parte Esférica y Desviadora A51 Tensiones Octaédricas Consideremos el espacio principal del tensor T y un plano octaédrico ABC que por definición es un plano cuya normal nˆ forma el mismo ángulo α con los ejes principales ver Figura A16 La normal a este plano obtenemos fácilmente partiendo de la condición que 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 3 2 2 2 1 n n n n n i i ya que 3 2 1 ˆ ˆ ˆ n n n resulta que 1 3ˆ 2 n1 luego la normal al plano resulta ser ˆ 3 1 3 1 3 1 in A este plano está asociado un vector octaédrico ˆ tn r El vector normal a este plano se la denomina Vector Normal Octaédrica oct TN r y el vector tangencial denominamos de Vector Tangencial Octaédrica oct TS r ver Figura A16 En el espacio de las direcciones principales el vector tensión es 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ 3 ˆ 3 ˆ 3 ˆ e e e T n t n T T T r A43 A partir del vector octaédrico asociado al plano ABC dado por la relación A45 obtenemos el módulo del vector oct TN r denominada de componente normal octaédrica a través de la forma ˆ 2 2 x t n ˆ 1 1 x t n 1T 2 T 3 T ˆ 3 3 x t n nˆ ˆ tn r Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 156 m ii oct N I T T T T T T T T T 3 3 1 3 1 3 ˆ 3 ˆ 3 ˆ ˆ 3 ˆ 3 ˆ 3 ˆ 3 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 ˆ σ n e e e e e e n t r A44 Figura A16 Vector tensión en el plano octaédrico En el espacio de las direcciones principales se cumple que 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ 3 ˆ 3 ˆ 3 ˆ e e e T n t n T T T r A45 A partir del vector octaédrico asociado al plano ABC dado por la relación A45 obtenemos el módulo del vector oct TN r denominado de componente normal octaédrica a través de la forma m ii oct N I T T T T T T T T T 3 3 1 3 1 3 ˆ 3 ˆ 3 ˆ ˆ 3 ˆ 3 ˆ 3 ˆ 3 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 ˆ σ n e e e e e e n t r A46 El módulo del vector tangencial octaédrico definido como Componente Tangencial Octaédrica oct TS será T T n n t t II I oct N oct S 6 9 2 1 9 1 3 1 2 2 3 2 1 2 3 2 2 2 1 2 ˆ ˆ 2 T T T T T T T T r r A47 La ecuación anterior también puede ser expresada como 1 1 1 3 1 ˆ in 1 T 2 T 3 T A B C α α α O OC OB OA trisectriz ˆ tn r nˆ oct TS r oct TN r 3 T 2 T 1 T oct TN r vector normal octaédrica oct TS r vector tangencial octaédrica Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición APÉNDICE A REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR 157 dev II oct S T 3 2 6 3 1 3 1 2 13 2 23 2 12 2 11 33 2 33 22 2 22 11 2 1 3 2 3 2 2 2 1 T T T T T T T T T T T T T T T T A48 o en función de los valores principales del tensor desviador Tdev 3 2 3 2 2 2 1 dev dev dev oct S T T T T A49 Podemos observar que las componentes octaédricas normal y tangencial son las mismas para los 8 planos octaédricos ver Figura A17 Pudiendo entonces resumir las distintas formas de expresar las componentes normal y tangencial octaédricas m oct N I T T 3 T Componente normal octaédrica A50 3 3 2 6 2 3 1 2 3 2 2 2 1 2 dev dev dev oct S II dev II I T T T T T T T Componente tangencial octaédrica A51 Figura A17 Vectores sobre los planos octaédricos Consideremos una vez más el espacio definido por las direcciones principales representado por la base ortonormal 3 2 1 ˆ ˆ ˆ e e e Figura A18 En este espacio plotamos las coordenadas de los valores principales de T el cual denotamos por el punto P 1 T 2 T 3 T oct TS r oct TN r oct TN r oct TN r oct TN r oct TS r oct TS r oct TS r Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 158 Figura A18 Espacio principal En este espacio considere el segmento de recta OA que pasa por el origen según la dirección de nˆ Cualquier punto de esta línea está caracterizado por el estado tensorial 3 2 1 T T T denominándose por tanto eje esférico Cualquier plano perpendicular al eje esférico será un plano desviador o plano octaédrico Un plano desviador particular es el plano que pasa por el origen denominado plano Π en este caso la ecuación del plano es 0 3 2 1 T T T ver Figura A18 Cualquier punto en el plano Π representa un estado desviatórico puro Considerando un estado tensorial arbitrario en un punto P representado por los valores principales 3 2 1 T T T como se indica en la Figura A18 podemos establecer algunas características interesantes Este punto P pertenecerá a un plano desviador Π definiéndose así los siguientes vectores OP OA y AP El vector OP puede ser expresado en función de los valores principales de la forma 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ e e e T T T OP A52 Según la Figura A18 el módulo de OA es oct S m m OP p OA T T T T T T T T T 3 3 3 3 3 3 ˆ 3 ˆ 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 e e e e e e n A53 oct S m p T T 3 3 A54 1 1 1 3 1 ˆ in 2 T 3 T 1 T O Eje esférico m m m A T T T 3 2 1 T T P T 3 2 1 T T T Π nˆ p q Π Plano desviador Plano octaédrico α α α 3 ˆe 1ˆe 2 ˆe Plano desviador Π Plano de Nadai Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición APÉNDICE A REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR 159 Por tanto podemos escribir el vector OA como 3 2 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ 3 ˆ 3 ˆ 3 ˆ 3 ˆ e e e e e e n m m m m OA OA T T T T A55 El punto A tiene las coordenadas m m m T T T Una vez definidos los vectores OP y OA utilizamos la suma de vectores para obtener el vector AP ver Figura A18 OP OA AP A56 Considerando las expresiones A52 y A55 la relación anterior resulta 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e e e e e dev dev dev m m m m m m AP T T T T T T T T T T T T T T T A57 Empleando la definición ij m ij dev ij T δ T T la expresión anterior puede escribirse de la forma 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ e e e dev dev dev AP T T T A58 Las componentes del vector AP representan las componentes del tensor desviador dev Tij El módulo de AP será dev dev dev II II I AP q dev dev dev T T T 2 2 2 2 3 2 2 2 1 T T T A59 Teniendo en cuenta la expresión de oct TS dada por A49 aún podemos decir que oct S II dev q 3 T 2 T A60 También podríamos haber obtenido el módulo de AP utilizando el teorema de Pitágoras 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 1 T T T T T T OA OP AP A61 q AP 1 3 3 2 2 1 2 3 2 2 12 3 2 T T T T T T T T T A62 donde q indica lo alejado que el estado tensorial del punto P está del estado esférico ver Figura A18 Podemos obtener la proyección del espacio principal sobre el plano Π ver Figura A19 para determinar la orientación de AP Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 160 Figura A19 Proyección de las tensiones principales sobre el plano de Nadai Para obtener las componentes del versor 3 3 2 2 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e a a a Figura A19 consideremos el sistema principal como muestra en la Figura A20 donde se cumple que 1 3 2 sin cos a α β 3 2 a a y además teniendo en cuenta que el eje esférico es ortogonal al plano desviador obtenemos que 6 2 3 2 0 3 1 0 ˆ ˆ ˆ 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 1 a a a a a a a a a e e e e e e n e A63 Y además 6 1 3 2 2 2 1 1 3 2 a a a A64 Resultando así ˆ ˆ 2ˆ 6 1 ˆ 3 2 1 1 e e e e A65 Obtenemos así la proyección del vector OP según la dirección de 1 ˆe como θ cos 2 6 1 ˆ ˆ 2ˆ 6 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 1 q OP dev dev dev dev dev dev T T T T T T e e e e e e e A66 1 T 3 T 2 T O θ P qcosθ Q Π Π 1 ˆe º 120 q 1 T T2 T3 α 3 1 cos α nˆ 1ˆe 2 ˆ 3 ˆ e e Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición APÉNDICE A REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR 161 Figura A20 Espacio principal Considerando que dev dev dev dev dev dev 3 2 1 3 2 1 0 T T T T T T y reemplazando en la ecuación anterior resulta dev dev dev dev OP q 1 1 1 1 1 2 3 6 3 2 6 1 ˆ cos T T T T θ e A67 Considerando que II dev q T 2 tenemos θ θ θ θ cos 3 2 2 2 3 cos 2 3 cos 2 2 3 cos 1 1 1 1 dev dev dev II II II q dev dev dev dev T T T T T T T A68 Análogamente podemos obtener dev T2 dev T3 Pudiendo así representar las tensiones principales dev ij ij m ij T T T δ explícitamente como θ θ θ π π cos 0 0 0 cos 0 0 0 cos 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 3 2 3 2 1 3 2 1 dev II m m m dev dev dev m m m T T T T T T T T T T T T T A69 siendo 3 0 θ π El estado de tensión puede expresarse según el sistema pqθ que son las denominadas coordenadas de HaighWestergaard nˆ 2 T 3 T 1 T 3 2 1 ˆe 1ˆe 2 ˆe 3ˆe α β Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 162 4444444 3 4 444444 2 1 4 4 4 3 4 2 1 Desviadora Parte Esférica Parte q p p p θ θ θ π π cos 0 0 0 cos 0 0 0 cos 3 2 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 3 2 3 2 3 2 1 T T T A70 Reemplazando el θ cos dado por la expresión A68 en la siguiente relación trigonométrica θ θ θ 3cos 4cos cos3 3 hallamos que θ θ dev dev dev dev II II II II dev dev dev dev T T T T 1 3 1 3 1 3 1 2 3 3 3 cos 2 3 3 2 3 4 3 cos T T T T A71 considerando 3 1 3 2 2 1 dev dev dev dev dev dev II dev T T T T T T T θ θ 4 4 4 3 14 2 4 4 43 42 1 3 3 2 1 3 2 2 1 3 1 3 1 3 1 1 2 3 3 3 cos 2 3 3 2 3 4 3 cos J T T T T T T T T T T dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev II II II T T T A72 3 2 3 3 3 cos dev dev II III T T θ A73 Al ser II Tdev III Tdev invariantes cos3θ también lo es Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 Cinemática del Continuo 21 Introducción Un medio continuo en movimiento partiendo de un estado inicial 0 0 t t ocupará distintas configuraciones a lo largo del tiempo ver Figura 21 En este capítulo estudiaremos la Cinemática del Continuo estableciendo así las ecuaciones del movimiento que nos permite caracterizar la evolución del medio continuo y como las propiedades del continuo densidad de masa temperatura velocidad etc evolucionan con el tiempo Para ello consideraremos una configuración inicial referencia 0 B y una configuración deformada arbitraria actual t B donde definiremos tensores tensores de deformaciones que caracterizan dicho movimiento Figura 21 Movimiento del medio continuo Para obtener los tensores de deformación es necesario primero describir el movimiento de las partículas que constituyen el medio continuo es decir como se desplaza cada partícula y segundo como cambian las distancias relativas entre partículas 2 Cinematica del Continuo 0 B t B Configuración de Referencia 0t Configuración en 1t 1 B Configuración actual en t ϕ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 164 22 El Medio Continuo A cualquier medio continuo está asignada una cantidad escalar positiva denominada masa Se considera que la masa está distribuida de forma continua en el medio continuo es decir no presenta discontinuidades Un medio continuo se dice homogéneo si sus propiedades son las mismas en cualquier parte del continuo Teniendo en cuenta el medio continuo en la configuración inicial referencia y consideremos una esfera centrada en el punto P ver Figura 22 donde dicha esfera tiene masa m y volumen V0 definimos densidad de masa de un punto material como 0 0 0 0 0 dV dm V m Vim l r X ρ m3 kg 21 Partiendo de este concepto definimos partícula como un elemento que no tiene dimensión pero tiene propiedades físicas tales como densidad de masa velocidad temperatura etc Figura 22 Densidad de masa Luego definimos un medio continuo como un conjunto de partículas dispuestas en una región sin que existan discontinuidades A continuación definiremos algunos términos que serán utilizados a lo largo de este capítulo Partícula punto material pequeño elemento de volumen infinitesimal que presenta ciertas propiedades eg densidad de masa ρ velocidad vr temperatura T etc Puntos lugar en el espacio posición Trayectoria de la partícula lugar geométrico de los puntos ocupados por una misma partícula Figura 23 Figura 23 Trayectoria de una partícula 2t P ρ vr T en 2t 3t posición actual P 0t 1t Trayectoria de la partícula que en el tiempo 0t estaba en P P P 4243 1 r 0 0 0 X ρ V 2 X 3 X 1 X 0 0 t t Configuración de Referencia 0 B Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 165 221 Tipos de Movimientos El movimiento de un medio continuo puede estar caracterizado por los siguientes tipos Movimiento de Cuerpo Rígido Caracterizado por mantener la forma original del medio continuo tras el movimiento preservando así las distancias entre partículas Dicho movimiento puede ser de dos naturalezas translación yo rotación Movimiento con Deformación Caracterizado por presentar cambio de distancias entre partículas 2211 Movimiento de Cuerpo Rígido Como visto anteriormente un movimiento de cuerpo sólido rígido viene caracterizado por mantener su forma original luego las distancias relativas entre partículas no cambian A continuación vamos establecer las ecuaciones de gobierno de un medio continuo sometido a un movimiento de sólido rígido Para ello adoptamos un sistema cartesiano 3 2 1 OX X X que está unido al sólido y viene representado por su base ortonormal 1ˆI 2 ˆI 3ˆI luego las coordenadas de las partículas i X que constituye el cuerpo no cambian con el tiempo Adoptamos otro sistema 3 1 2 ox x x que viene representado por la base ortonormal 1ˆe 2 ˆe 3 ˆe ver Figura 24 Figura 24 Movimiento de sólido rígido Si X r y xr son los vectores posiciones de la partícula P con relación a los sistemas i eˆ y iIˆ respectivamente ver Figura 24 se cumple la siguiente relación X x r r r c 22 donde ct c r r que es solo dependiente del tiempo t corresponde a la translación del sistema iIˆ En notación simbólica la ecuación 22 queda j j k k p p X x I e e ˆ ˆ ˆ c 23 o 3 ˆe 1x 2x 3x cr 1ˆe 2 ˆI 3ˆI 3 X 1 X 2 X 1ˆI O P xr X r 2 ˆe tiempo t 0t X x r r r t t Q c Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 166 Para obtener las componentes en el sistema i eˆ es suficiente hacer el producto escalar de la relación anterior con i eˆ ji j i i ji j ik k pi p i j j i k k i p p X a x X a x X x c c c δ δ e I e e e e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 24 donde ji i j I e a ˆ ˆ es la matriz de transformación rotación del sistema iIˆ al sistema i eˆ y se cumple también que ij aik akj δ es decir ji a es una matriz ortogonal Observemos también que la relación 24 se cumple para cualquier sistema adoptado y describe el movimiento de sólido rígido de un medio continuo Haciendo que ji ij Q a donde ij Q son las componentes de un tensor ortogonal podemos generalizar la relación 24 y escribir en la forma tensorial X x r r r Q c Ecuaciones de movimiento de cuerpo rígido 25 NOTA Aunque ley de transformación de componentes y transformación ortogonal tengan conceptos completamente distintos están íntimamente relacionados entre sí Ejemplo 21 Un medio continuo viene definido por un cuadrado de base y altura b y se somete a un movimiento de sólido rígido caracterizado por un gira en sentido antihorario de º 30 Considerando que los sistemas xr y X r están superpuestos obtener las ecuaciones de movimiento Obtener también la nueva posición de la partícula situada en el vértice D Solución Como se trata de un movimiento de sólido rígido podemos aplicar directamente las ecuaciones de movimiento X X x r r r r Q Q c donde hemos considerado que 0 c r r Las componentes del tensor Q son las mismas que las componentes de la matriz de transformación del sistema xr al sistema xr ie θ θ θ θ 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos Qij Luego las partículas del medio continuo vienen gobernadas por las ecuaciones de movimiento C D C º 30 B D B X1 x1 X 2 x2 b b A A 1x 2x º 30 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 167 3 2 1 3 2 1 1 0 0 0 cos30º sin 30º 0 sin 30º 30º cos X X X x x x Para la partícula que ocupaba el punto D X1 0 b X 2 X 3 0 pasa a la posición 0 30º cos 30º sin 0 0 1 0 0 0 cos30º 30º sin 0 sin 30º 30º cos 3 2 1 b b b x x x D D D En el ejemplo anterior hemos adoptado un sistema fijo en el espacio y en el tiempo definido por X r A la hora de establecer las ecuaciones de movimiento para un medio continuo caracterizado por deformación también adoptaremos un sistema fijo en el espacio y tiempo denominado de sistema material X r También adoptaremos el sistema xr que se denomina de sistema espacial En general en el curso de este capítulo adoptaremos 0 c r r Figura 25 o dicho de otra manera los ejes espaciales y materiales están superpuestos como se indica en la Figura 25 Figura 25 Ejes materiales y espaciales superpuestos 222 Tipos de Configuraciones del Medio Continuo En el curso de este capítulo adoptaremos dos tipos de configuraciones a saber Configuración inicial o configuración de referencia configuración del medio continuo en el instante de tiempo 0 0 t t y será considerada como una configuración no deformada donde cada partícula del medio continuo viene asignada por su vector posición X r Configuración actual o configuración deformada configuración del medio continuo en un instante de tiempo arbitrario t Como visto anteriormente un medio continuo viene constituido por un conjunto de partículas dispuestas en una región con correspondencia biyectiva y sin que existan discontinuidades Luego si el movimiento viene caracterizado por una función biyectiva ϕ eso nos garantiza que existe una función inversa ϕ1 ver Figura 26 X3 x3 X1 x1 X2 x2 3 ˆ 3 ˆ I e 2 ˆ 2 ˆ I e 1 ˆ1 ˆ e I O Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 168 Figura 26 Configuración inicial y actual 2221 Densidad de Masa Análogamente a la definición de densidad de masa en la configuración de referencia dada por 21 definimos la densidad de masa en la configuración actual ver Figura 27 como dV dm V m im t V 0 l ρ rx m3 kg 26 donde ρ xr t es la densidad de masa un escalar y es función de la posición y del tiempo Figura 27 Densidad de masa ϕ1 x1 X1 x2 X 2 x3 X3 3 ˆ 3 ˆ I e 2 ˆ 2 ˆ I e 1 ˆ1 ˆ e I O 0 B t B P P Configuración de Referencia 0t Configuración Actual t Trayectoria de la Partícula P 0 X r ρ ρ xr t ϕ 4243 1 r 0 0 0 X ρ V 2x 3x 1x 0 0 t t t 43 42 1 r 0 t V ρ x Configuración de Referencia Configuración Actual ϕ 0 B t B Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 169 23 Descripción del Movimiento 231 Coordenadas Materiales y Espaciales Consideremos ahora un cuerpo material 0 B formado por partículas en la configuración inicial también denominada de configuración no deformada En un instante de tiempo arbitrario t el cuerpo ocupa una nueva posición en el espacio t B configuración deformada ver Figura 28 NOTA Con respecto a la nomenclatura las partículas serán identificadas a través de unas etiquetas dichas etiquetas vienen definidas por la posición que ocupaban en la configuración de referencia Es decir la partícula que ocupaba el punto 3 2 1 X X P X en la configuración de referencia será nombrada partícula P En la Figura 28 en el tiempo t la partícula P punto material ocupa el punto 3 2 1 x x P x Figura 28 Configuración inicial y actual La posición de una determinada partícula del medio continuo estará caracterizada por el vector posición El vector posición de la partícula P en la configuración de referencia 0 0 t t será dado por 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ e e e X X X X r 27 Definiéndose así la coordenada material 3 2 1 X X X X i 28 En la configuración actual deformada t la partícula que ocupaba la posición P pasa a ocupar la posición P y el vector posición de esta partícula vendrá dado por 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ e e e x x x xr 29 definiéndose así la coordenada espacial x1 X1 x2 X 2 x3 X3 0 B t B 3 ˆ 3 ˆ I e 2 ˆ 2 ˆ I e 1 ˆ1 ˆ e I O P P X r xr Configuración de Referencia 0t Configuración Actual t ur Trayectoria de la Partícula P Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 170 3 2 1 x x x xi 210 232 Vector Desplazamiento Por definición el vector desplazamiento ur de una partícula ver Figura 28 es la diferencia entre el vector posición en la configuración actual xr y su vector posición en la configuración de referencia X r X x r r r u i i i u x X m 211 233 Vector Velocidad La velocidad de una partícula viene definida como la tasa de cambio del vector posición ie dt d dt d dt d dt d dt d u u u 0 r r r r r r r r r X X x x V s m 212 234 Vector Aceleración La aceleración de la partícula viene definida como la tasa de cambio de la velocidad luego ur r r r r r x x V V A 2 2 dt d dt d s2 m 213 235 Descripción Lagrangiana y Euleriana Las partículas puntos materiales presentan ciertas propiedades temperatura velocidad presión etc intrínseca a la partícula dichas propiedades pueden cambiar con el tiempo Como mencionado anteriormente el movimiento del continuo viene caracterizado por una función biyectiva ϕ luego existe una función inversa ϕ1 Esto nos garantiza que podemos hacer una correlación de las propiedades del continuo entre la configuración actual y la configuración de referencia En otras palabras el estudio del movimiento puede ser realizado sea en la configuración actual o bien en la configuración de referencia 2351 Descripción Material o Lagrangiana del Movimiento El movimiento de las partículas descripción del movimiento puede estar descrito en función de las coordenadas materiales X r y del tiempo t x X x r r r t x t X X x X x i i i 3 2 1 X r 214 La ecuación anterior nos proporciona la posición actual xr en el instante t de la partícula que ocupaba la posición X r en la configuración de referencia 0t La expresión 214 proporciona la trayectoria de la partícula P que en el tiempo 0t ocupaba el punto P ver Figura 29 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 171 2352 Descripción Espacial o Euleriana del Movimiento El movimiento de una partícula también puede estar descrito en función de las coordenadas espaciales xr y del tiempo tx X X r r r t X t x x x X X i i i 3 2 1 xr 215 La ecuación anterior nos proporciona la posición original X r en el tiempo 0t de una partícula que en la configuración actual en el tiempo t ocupa la posición 3 2 1 x x x ver Figura 29 La condición necesaria y suficiente para que exista una forma inversa de t x X x r r r es 0 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 X x X x X x X x X x X x X x X x X x X x J j i 3 3 m m 216 donde J es el determinante del Jacobiano Podemos observar que en la situación t 0 las dos configuraciones inicial y actual coinciden ie X x X x X x r r r r r r 0 t 217 A la vista de la Figura 29 podemos decir P P t X X x r r r 0 218 y también según la Figura 29 podemos observar que 4 4 4 3 14 2 r r r r r r r r r a de la partícula P Trayectori P P P P P P t t t x X x x X x x X x 2 1 0 444 3 4 44 2 1 r r r r r r r r r pasan por el punto P partículas que Distintas Q Q P S S P P P t t t X x X X x X X x X 2 1 0 219 2353 Variables Lagrangianas y Eulerianas Toda cantidad física Z sea un escalar un vector o un tensor de orden superior definida en un medio continuo B tiene su representación de forma Lagrangiana X t Z r o Euleriana z xr t y están relacionadas por OBS Axioma de la impenetrabilidad Dos partículas no pueden ocupar el mismo lugar en un mismo instante de tiempo dado Como veremos más adelante esta condición estará garantizada cuando el determinante del Jacobiano sea positivo J 0 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 172 t t t t t t X x x x X X r r r r r r Z z z Z 220 El lector debe observar que el valor de una variable para una determinada partícula en un determinado instante de tiempo tiene que ser el mismo sea utilizando la descripción material o la descripción espacial NOTA Algunos autores intentan diferenciar una variable Lagrangiana de una variable Euleriana utilizando letra mayúscula y minúscula respectivamente En este libro en general no adoptaremos esta convención Luego cuando nos estamos refiriendo a una variable Lagrangiana hacemos explícitamente a través de sus argumentos ie v X t V r r r Y si estamos refiriendo a una variable Euleriana escribimos x t v r r Figura 29 Configuración de referencia y actual Ejemplo 22 Considérense las siguientes ecuaciones del movimiento en la descripción Lagrangiana 3 2 1 2 3 2 1 Matricial Forma 3 3 2 3 2 1 2 2 1 1 0 0 1 0 0 1 X X X t t x x x X t x X X t t x X X t t x X X X r r r 221 Es este un movimiento posible Si así es encontrar los campos de desplazamiento velocidad y aceleración en la descripción Lagrangiana y Euleriana Considérese un partícula P que en el tiempo t 0 ocupaba la posición 3 1 2 3 2 1 X X X encontrar la velocidad de P en los tiempos s t 1 y s t 2 Solución El movimiento es posible si J 0 Verificamos que el movimiento es posible P Q xr X Q r X S r P P x X r r S P 0t Configuración de referencia En X x r t 0t r 1t S P P Q 2t S P Q P P xr xrP S P S t X X x r r r 1 P P t x x X r r r 1 Trayectoria de la partícula P Partícula P Partícula P Q P t X X x r r r 2 P P t x x X r r r 2 Punto P Partícula Q Q Punto P P S xr Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 173 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 t t X x X x X x X x X x X x X x X x X x X x J j i El campo vectorial de desplazamiento viene dado por la definición 211 ie X x r r r u Utilizando las ecuaciones del movimiento 221 obtenemos que 0 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 X t x t X t X t x t X t X t x t X X X X X X r r r r r r u u u 222 que son las componentes del desplazamiento en la descripción Lagrangiana La velocidad y la aceleración vienen dadas por 0 0 2 0 2 3 3 2 2 2 1 1 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 dt dV A dt dV A X dt dV A dt X t d dt t d V X dt X t d dt t d V X t dt X t d dt t d V X X X r r r u u u 223 La forma inversa de 221 nos proporcionan las ecuaciones del movimiento en la descripción Euleriana 3 3 3 2 2 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 3 2 1 1 0 0 1 0 1 x t X tx x t X t x t x x t X x x x t t t X X X x x x r r r 224 Luego los campos de desplazamiento velocidad y aceleración en la descripción Euleriana se obtienen al reemplazar las ecuaciones 224 en las expresiones 222 y 223 ie 0 3 3 2 3 3 2 1 2 3 2 2 2 1 t t t t x t t t X t t t t tx x t t X t t x x X x x x X x x x X r r r r r r r r r r r u u u u u u 225 0 2 2 3 3 2 3 3 2 1 3 2 2 1 t v t t V t v x t X t t V t v t tx x t t X t t V x x X x x x X x x x X r r r r r r r r r r r 226 0 0 2 2 3 3 2 2 1 3 2 2 1 t a t t A t a t t A t a tx x t X t t A x x X x x X x x x X r r r r r r r r r r 227 Teniendo en cuenta la descripción Lagrangiana de la velocidad dada por 223 la velocidad de la partícula P 3 1 2 3 2 1 X X X en el tiempo s t 1 viene dada por 0 3 2 2 3 3 2 2 1 t V m s X t V m s X t t V X X X r r r Observemos que en el tiempo s t 1 la partícula P ocupa una nueva posición definida por 3 4 3 3 3 2 3 2 1 2 2 1 X x X X t x X X t x Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 174 Luego la velocidad de la partícula P también puede ser obtenida por 226 ie 0 3 2 1 3 1 24 2 3 3 2 3 2 1 t v m s x t v m s t tx x t v x x x r r r Observemos que la velocidad de la partícula es la misma sea utilizando la descripción Lagrangiana o la Euleriana ya que la velocidad es una propiedad intrínseca de la partícula La velocidad de la partícula P en el tiempo s t 2 viene dada por 0 3 4 1 2 2 2 3 3 2 2 1 t V m s X t V m s X t t V X X X r r r En el tiempo s t 2 la nueva posición de la partícula P queda definida por 3 7 6 3 3 2 3 2 1 2 2 1 X t x X X t t x X X t t x X X X r r r Como podemos verificar en la figura abajo la descripción Lagrangiana del movimiento x X t r r describe la trayectoria de la partícula P P 312 X iP 0t Trayectoria de la partícula P s t 1 Partícula P 343 ixP 032 1 t s V P iP X r 032 1 t s v P i xr s t 2 Partícula P 034 2 t s v P i xr 376 ixP 034 2 t s V P iP X r Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 175 Ejemplo 23 Las siguientes ecuaciones describen el movimiento de las partículas de un cuerpo medio continuo 3 3 2 2 2 1 1 20 X x X x X t X x En t 0 este cuerpo tiene forma de cubo de lado unitario con un vértice en el origen punto O como se indica en la Figura 210 Determinar la configuración del cuerpo en el instante s t 2 Figura 210 Configuración de referencia t 0 Solución Para obtener la configuración actual del cuerpo para el instante s t 2 analizaremos independientemente el movimiento de las partículas La partícula que ocupa posición O origen en t 0 tiene coordenadas materiales 0 0 0 3 2 1 X X X Sustituyendo en la expresión del movimiento 0 0 0 0 0 0 3 2 1 3 2 1 x x x t X X xi X Concluyendo que la partícula del origen no cambia de posición durante el movimiento Las partículas que ocupan la línea OA en la configuración inicial tienen como coordenadas de referencia 0 0 3 2 1 X X X En coordenadas espaciales 0 0 20 3 3 2 2 1 2 1 1 X x X x X X t X x Es decir todas las partículas que están en la línea OA no se mueven durante el movimiento Análogamente podemos verificar que la recta 1 0 3 2 1 X X X en la configuración de referencia 1 0 3 2 1 X X X no se mueve 0 0 2 0 20 3 3 2 2 1 1 1 X x X x X X x Las partículas que están en la línea CB 0 1 3 2 1 X X X en el tiempo s t 2 ocuparán las posiciones 0 1 40 2 1 20 3 3 2 2 1 1 1 X x X x X X x Luego todas las partículas que están en la línea CB se desplazarán 40 según la dirección 1x X 3 x3 1 X1 x1 X 2 x2 O 1 1 D E C B A G Configuración de referencia Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Las partículas que están en la línea OC en t0 tras el movimiento ocuparán las posiciones x1X102X2t002 2X204 X2 x2X2 x3X30 Siguiendo el mismo procedimiento para las partículas restantes se obtiene la configuración final t2 s del cuerpo representada por la Figura 211 Figura 211 Configuración actual t 24 Derivada Material La tasa de cambio en el tiempo de cantidades físicas temperatura densidad de masa etc o propiedades cinemáticas desplazamiento velocidad etc de una partícula punto material se denomina Derivada Material DDt Por ejemplo supongamos que un observador viaja con una determinada partícula y va registrando el cambio de temperatura de esta partícula Este cambio de temperatura con el tiempo será denotado derivada material de la temperatura Para obtener la derivada material debemos tener en cuenta si la propiedad en cuestión está en la descripción Lagrangiana material o Euleriana espacial Cuando la propiedad está en la descripción Lagrangiana θθX1 X2 X3 t 228 La derivada material viene expresada de la forma θX t DθX tDt dθX tdt 229 Cuando una propiedad está descrita en función de las coordenadas materiales indica que la representación de esta propiedad está relacionada siempre con la misma partícula a lo largo del tiempo Es decir supongamos que un observador que camina con la partícula en el tiempo t0 ocupaba la posición X1 X2 X3 y que ha registrado la temperatura de la partícula θ0 En un instante posterior t1 el observador registra una nueva temperatura θ1θX1 X2 X3 t1 y para otro instante t2 registra θ2θX1 X2 X3 t2 ver Figura Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 212 Luego para saber como varía esta propiedad temperatura con el tiempo es suficiente derivar esta propiedad con respecto al tiempo ecuación 229 Figura 212 Variación de la temperatura de una partícula a lo largo del tiempo Cuando la propiedad está en la descripción Euleriana θθx1 x2 x3 t 230 En esta configuración ya no tenemos al observador caminando con la partícula sino que está fijo en un punto x1 x2 x3 observando pasar las partículas Es decir la ecuación 230 en el tiempo t1 nos da la propiedad de una determinada partícula por ejemplo Q que estará pasando por x1 x2 x3 En un instante posterior t2 la ecuación 230 nos dará la propiedad de otra partícula R que estará pasando por x1 x2 x3 y en el instante t3 la ecuación 230 nos dará la propiedad de otra partícula P que estará pasando por x1 x2 x3 ver Figura 213 Figura 213 Variación de la temperatura para un punto fijo espacial a lo largo del tiempo Es importante destacar que la derivada material está relacionada con la derivada con respecto al tiempo de una determinada propiedad intrínseca de la partícula es decir está relacionada con la misma partícula Pero un observador que está fijo en un punto espacial x1 x2 x3 sólo tendrá información sobre la tasa de cambio local Para completar su información necesitará saber cómo la propiedad de esta partícula cambia a lo largo de su trayectoria Este término se denomina tasa de cambio convectivo ya que está relacionado Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición con el transporte de masa Luego si queremos medir el cambio de la propiedad θθx t en el tiempo tendremos que considerar Cambio local Cambio de la propiedad ligado al movimiento de la partícula tasa de cambio convectivo Es decir θx t Dθx tDt θx tt θx txk xkt tasa de cambio local tasa de cambio convectivo θx tt θx txk vkX t 231 donde v X txX t es la velocidad de la partícula que también puede estar en la descripción espacial al reemplazar las ecuaciones del movimiento i e v X x t tv x t Podemos definir el operador de derivada material para cualquier propiedad cuando ésta esté expresada en la descripción espacial x t como D x tDt x tt x x t v x t Derivada material de una variable Euleriana 232 En notación indicial queda D x tDt x tt x txk vk 233 241 Velocidad y Aceleración Euleriana Hemos definido la velocidad Lagrangiana de la partícula P como V PX t DDt x X t x P ddt x xxP ddt u X du X tdt 234 Para obtener la velocidad Euleriana v Px t tenemos que reemplazar las ecuaciones del movimiento en la descripción Euleriana en 234 es decir V PX t V PX x t t v Px t La aceleración Lagrangiana de una partícula fue definida como A PX t V P x P D2Dt2 x X t 235 La aceleración Euleriana puede ser obtenida por reemplazar las ecuaciones del movimiento en la descripción Euleriana en 235 o bien por utilizar la definición de la derivada material aiPx t DDt vi vix tt vix txk xkt vix tt vix txk vk x t aceleración convectiva 236 a x t Dv x tDt v x tt x v v x t Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 179 o en componentes 3 2 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 2 1 3 2 1 v v v x v x v x v x v x v x v x v x v x v t v t v t v a a a ai xr t 237 Retornando al Ejemplo 22 la velocidad Euleriana fue obtenida como 0 2 3 3 2 3 2 1 t v x t v t tx x t v x x x r r r 238 La aceleración Euleriana puede ser obtenida utilizando la definición 236 3 3 2 2 1 1 t v x t v t v x t v t v x t v t t v t v x t v t t v t a i i i i k k i i P i x x x x x x x x x x x r r r r r r r r r r r 239 Luego las componentes ia vienen dadas por 0 0 2 0 2 0 4 2 3 3 3 2 2 3 1 1 3 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 3 2 3 3 2 3 3 1 2 2 1 1 1 1 1 1 t v x t v t v x t v t v x t v t t v t a t v x t v t v x t v t v x t v t t v t a x t x x t x t x t v x t v t v x t v t v x t v t t v t a P P P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 240 cuyas componentes son las mismas obtenidas en 227 242 Campo Estacionario Un campo φ xr t se dice que es estacionario si la tasa local no varía con el tiempo x x r r φ φ φ 0 t t Campo estacionario 241 Por ejemplo consideremos un campo de velocidad estacionario movimiento estacionario tal y como se indica en la Figura 214 Luego como se verifica en la Figura 214 la representación del campo para los tiempos 1t y 2t no cambia Pero eso no implica que las velocidades de las partículas no estén cambiando a lo largo del tiempo Fijemos nuestra atención en un punto espacial fijo xr En el tiempo 1t la partícula Q está pasando por xr y tiene velocidad vr consideremos también una partícula P que está pasando por otro punto y que tiene velocidad tal que 1 v v r r P t Para un tiempo 2t la partícula P está pasando ahora por el punto xr y si el campo es estacionario la velocidad de la partícula P Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 180 en xr tiene que ser vr ie 2 v v r r P t Esto se puede verificar fácilmente a través de la derivada material de la velocidad que está asociada siempre con la misma partícula rio Estaciona a x v v x v v x v x a x x v x x r r r r r r r r 43 42 1 r r r r r r r r r t t t t Dt t D 0 242 Para que la aceleración de la partícula sea igual a cero además de campo de velocidad estacionario el campo de velocidad también tiene que ser homogéneo ie v 0 x r r Verifiquemos también que aunque la velocidad espacial sea independiente del tiempo la material no necesariamente lo será ya que t t v X v x X x v r r r r r r r 243 Figura 214 Campo estacionario NOTA Como el lector puede observar podemos tener en cuenta dos tipos de análisis del medio continuo Una posibilidad es seguir las partículas y verificar como sus propiedades xr Q t v v v x r r r r 1 1t Partícula Q Partícula P x v r r v v r r P x v r r P t v v v x r r r r 2 2t Partícula P xr Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 181 cambian a lo largo del tiempo Otra posibilidad es fijar nuestra atención en una región espacial fija y verificar como las propiedades del continuo cambian a lo largo del tiempo Mientras que en general la primera posibilidad es la más utilizada en la mecánica de sólidos la segundo posibilidad es muy extendida en el ámbito de la mecánica de fluidos 243 Línea de Corriente Dado un campo de velocidad espacial definimos línea de corriente a la curva tal que la tangente en punto tiene la misma dirección y sentido que la velocidad En general la línea de corriente y la trayectoria no coinciden pero cuando el movimiento es estacionario campo de velocidad estacionario las líneas de corrientes y trayectorias coinciden Ejemplo 24 El campo vectorial de aceleración de un medio continuo viene descrito por v v v v x x a x r r r r r r r r t Dt t D t Demostrar que la aceleración también se puede escribir como v v v v v v v x x x r r r r r r r r r r 2 2 2 2 rot v t v t Dt D Solución Para demostrar la relación anterior es suficiente demostrar por identificación de términos 2 2 v v v v x x x r r r r r r r v En notación simbólica s s r r i i j j i i v x v v v x v e e e e ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 2 2 v v x x r r r r Utilizado la definición del operador de permutación Capítulo 1 podemos expresar el producto vectorial como k r s i itk rst i j j i t r s rst i i j j i i x v v x v v x v v v v x v e e e e e ˆ ˆ 2 2 1 ˆ ˆ ˆ 2 1 2 2 v v x x r r r r En el capítulo 1 se demostró que sk ri si rk kit rst rst itk δ δ δ δ luego k i k i k s s i i j j k r s i sk ri r s i si rk i i j j k r s i sk ri si rk i i j j x v v x v v x v v x v v x v v x v v x v v x v v v e e e e e e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 δ δ δ δ δ δ δ δ v v x x r r r r v v v v x x x r r r r r r r i i k k k i k i i i s s i i s s k i k i i ik k s s i i j s sj k i k i k k s s i i j j v x v x v v x v v x v v x v v x v v x v v x v v x v v x v v v e e e e e e e e e e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 δ δ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 182 Ejemplo 25 Dado el movimiento 321 3 3 2 2 1 2 1 i X X ktX X x i i i i δ δ δ y el campo de temperatura estacionario 2 1 x x T xr Encontrar la tasa de cambio de T para la partícula que en la configuración actual está situada en el punto 1 1 1 3 2 1 x x x Solución Explícitamente las ecuaciones de movimiento son 3 3 2 2 2 1 1 X x X x ktX X x Reemplazando ix en la expresión de la temperatura se obtiene la temperatura en la configuración material 2 2 1 2 1 X ktX X t T x x T X x r r La derivada material de la temperatura viene dada por k T T k x t kX t t T kX dt X ktX d X Dt DT t T r r r r r 111 2 2 2 2 2 1 x x x X X Solución alternativa La derivada material para una propiedad expresada en la descripción espacial viene dada por t x x T t T Dt DT t x x x T k k 3 2 1 Teniendo en cuenta las ecuaciones del movimiento y que 2 1 x x T obtenemos 0 3 0 3 0 2 2 1 1 0 3 2 1 t x x T t x x T t x x T t T t x x T x 2 3 2 1 kX t x x T x Hallando la inversa de las ecuaciones del movimiento 3 3 2 2 2 1 1 3 3 2 2 2 1 1 x X x X ktx x X X x X x ktX X x inversa 2 2 3 2 1 kx kX t x x T x Para la partícula que en la configuración actual pasa por el punto 111 k t x x T x 1 1 1 3 2 1 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 183 25 Gradiente de Deformación 251 Introducción En el apartado anterior hemos estudiado la descripción del movimiento de partículas aisladas sin preocuparnos del movimiento relativo entre partículas Para obtener los tensores de deformación es necesario considerar el cambio de distancia entre partículas Para ello consideraremos dos partículas muy cercanas vecinas P y Q en la configuración de referencia donde el vector que separa estas partículas viene representado por el diferencial total X r d ver Figura 215 Figura 215 Deformación del medio continuo Configuración inicial y actual 252 Estiramiento y Alargamiento Unitario Consideremos un vector X r d cuyo versor según esta dirección representamos por Mˆ que une los dos puntos P y Q en el dominio 0 B configuración de referencia Tras el movimiento las partículas que ocupaban los puntos P y Q pasan a ocupar los puntos P y Q respectivamente En esta nueva configuración el vector que une los puntos P y Q lo representamos por xr d cuyo versor según esta dirección representamos por mˆ ver Figura 215 Si consideramos los vectores X r d en la configuración de referencia y xr d en la configuración actual sus módulos serán representados respectivamente de la forma ds d P Q dS d PQ x X r r 244 X 3 x3 X Q r X X r r P Q xr X1 x1 X 2 x2 0 B t B 3 ˆ 3 ˆ I e 2 ˆ 2 ˆ I e 1 ˆ1 ˆ e I O P Configuración de Referencia t 0 Configuración Actual t Q P Q X d r x dr xP x r r X F X x r r r d t d ds d Q P dS d PQ x X r r X r d xr d Mˆ mˆ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Podemos entonces definir los siguientes términos Estiramiento λ𝑚 asociado a la dirección 𝑚 viene dado por λ𝑚 d𝑥 d𝑋 dsdS con λ𝑚 0 Estiramiento 245 Los valores posibles de λ𝑚 estarán comprendidos en el intervalo 0 ds0 λ𝑚 ds Y como consecuencia del axioma de la impenetrabilidad ds 0 dos partículas no pueden ocupar el mismo punto implicando que λ𝑚 0 También podemos decir que según la dirección 𝑚 se cumplen que λ𝑚 1 No hay estiramiento 0 λ𝑚 1 Hay acortamiento λ𝑚 1 Hay aumento de la distancia entre los puntos P y Q Alargamiento Unitario ε𝑚 dado por ε𝑚 d𝑥 d𝑋 d𝑋 ds dS dS Alargamiento unitario 246 Los valores posibles del alargamiento unitario estarán comprendidos en el intervalo 1 ε𝑚 Podemos relacionar el estiramiento y el alargamiento unitario a través de la relación ε𝑚 ds dS dS ds dS 1 λ𝑚 1 247 También se cumple que ds ε𝑚 1dS λ𝑚 dS 248 Observar que λ𝑚 y ε𝑚 son variables adimensionales 253 Gradiente de Deformación Material y Espacial El objetivo ahora es encontrar una relación entre los vectores d𝑋 y d𝑥 Considerando el movimiento en la descripción material 𝑥 𝑥𝑋 t Aplicando suma de vectores ver Figura 215 obtenemos que 𝑋𝑄 𝑋𝑃 d𝑋 d𝑥 𝑥𝑄 𝑋𝑄 t 𝑥𝑃 𝑋𝑃 t 249 Teniendo en cuenta que 𝑥𝑄𝑋𝑄 t 𝑥𝑃 𝑋𝑃 d𝑋 t 𝑥𝑋 d𝑋 t podemos escribir el diferencial vector posición en la configuración deformada como d𝑥 𝑥𝑋 d𝑋 t 𝑥𝑋 t d𝑥 xi X1 dX1 X2 dX2 X3 dX3 t xi X1 X2 X3 t 𝑒i 250 Aplicando el Teorema de Taylor para expansión en serie obtenemos Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 185 ˆ ˆ 2 2 3 3 2 2 1 1 X x X x r r r r O d dX X x d O d dX X x dX X x X dX x d i j j i i i i i e e 251 Si los puntos P y Q están muy próximos en la configuración de referencia los términos de orden superior pueden despreciarse resultando i k ik i k k i F dX dX X x d e e ˆ ˆ xr 252 en forma compacta X F x r r d d 253 donde F es el gradiente de deformación material o simplemente gradiente de deformación La relación 253 es una transformación lineal luego F relaciona el vector X r d en la configuración de referencia con el vector xr d en la configuración actual deformada ver Figura 215 La relación 253 podría haber sido obtenida partiendo directamente de la definición del gradiente definido en el capítulo 1 Tensores Si φ φ xr t es un campo escalar el diferencial total φ d viene dado a través de la relación x x x x x r r r r r d t d t d φ φ φ Luego si tenemos el campo vectorial x X t x r r r el diferencial total xr d queda X F X x X X X x X x X r r r r r r r r r r d d t d t d 254 Las componentes del vector xr d en coordenadas cartesianas dadas en 252 también pueden obtenerse a través del producto escalar k jk ij j i k ik j j F dX F dX d d 23 1 r r δ e e e ˆ ˆ ˆ x x 255 El tensor F también puede ser expresado de la siguiente forma j i i J j i j i x X x X X X e e e e e e e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 2 2 1 1 x x x F r r r 256 Las componentes de F también pueden estar representadas por la matriz F ie OBS Utilizaremos el subíndice en mayúscula para representar la diferenciación en coordenadas materiales ie j i i j j i i J x X OBS Ya veremos más adelante que mismo presentando dimensión de un tensor de segundo orden ij F no presenta característica de un tensor de segundo orden como por ejemplo en la ley de transformación ortogonal Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 186 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 X x X x X x X x X x X x X x X x X x X x F j i ij F 257 También es posible hallar la transformación inversa de la relación 253 x F X r r d d 1 258 donde F 1 es el gradiente de deformación espacial representado de la forma 1 X x t F x r r r j i ij x X F 1 259 Explícitamente las componentes de F 1 vienen dadas matricialmente por 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 1 1 x X x X x X x X x X x X x X x X x X x X F j i ij F 260 Los tensores gradiente de deformación material y espacial están relacionados entre sí por medio de la conocida regla de la cadena de la diferenciación parcial Notación Tensorial Notación Indicial 1 F F F F 1 1 ik k j j i k j j i X x x X x X X x δ 261 En el capítulo 1 hemos demostrado las siguientes relaciones n K m J IJK lmn nk mj ijk lmn li il x x J F F J J 1 2 1 2 1 F F cof 262 y n K m J l I IJK lmn nk mj li lmn IJK x x x F F F J 6 1 6 1 det F 263 Podemos diferenciar la ecuación 263 con respecto a F y obtener que Q p n K m J l I n K Q p m J l I n K m J Q p l I IJK lmn p Q pq x x x x x x x x x x x x dx dJ dF dJ 6 1 264 o aún Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 187 nk mj qjk pmn n K m J QJK pmn m J l I QIJ plm l I n K QKI pnl n K m J QJK pmn m J l I IJQ lmp n K l I IQK lpn n K m J QJK pmn m J l I KQ np n K l I JQ mp n K m J IQ lp IJK lmn Q p F F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx dJ 2 1 2 1 6 1 6 1 6 1 δ δ δ δ δ δ 265 Teniendo en cuenta la definición del cofactor y de la inversa de un tensor ver capítulo 1 podemos decir que Q p qp pq nk mj qjk pmn p Q pq JX F F F dx dJ dF dJ 1 2 1 F F cof 266 La expresión anterior podría haber sido obtenida utilizando la definición de derivada del tercer invariante de un tensor con respecto al tensor ver capítulo 1 T T J III III F F F F F F F det 267 A través de una analogía con 266 también se cumple que 1 1 1 1 2 1 nk mj qjk pmn pq q p F F x J cof F 268 Diferenciando la ecuación 262 obtenemos que r J 0 r r 1 F X r q qr q q r JF X JX 0 1 269 o 0 r r F x J 1 r q qr q q r F J x x J 0 1 1 270 La demostración se presenta a continuación Partiendo de 266 podemos decir que p n kq m j n k m jq qjk pmn nk q mj nk mj q qjk pmn q nk mj qjk pmn q p q x x x x F F F F F F JX 0 2 1 2 1 2 1 271 Observemos que el tensor jqk jkq qjk es antisimétrico en kq mientras que el tensor n kq x es simétrico en kq luego jn qjk xn kq 0 La misma conclusión podemos sacar de km qjk xm jq 0 Análogamente es posible demostrar que p q xq p J 0 1 Utilizando las definiciones anteriores podemos demostrar que si ru xr t y σ xr t representan un campo vectorial y tensorial respectivamente del medio continuo en movimiento se cumplen que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 188 1 1 t J J t t J J t x F X x F X x X x X r r r r r r r r r r σ σ u u 272 Para la demostración utilizaremos la notación indicial 1 1 1 1 1 1 t X t X x x t x t X x F F J J F J F J J F J J F J J t J J j j j i i j i j j i j i ij i j ij j i ij j j i ij i j ij i j ij indicial X X x x x F X x r r r r r 4243 1 r r r r u u u u u u u u u u u 0 273 Análogamente 1 1 1 1 1 1 1 t t J J X t X x x t x t X x F F J J F J F J J F J J F J J t J J k j kj j i i kj i kj k i kj i ik kj i ik kj i ik kj k i ik i kj ik i kj ik indicial X x F X x x x F X x X x r r r r r 4243 1 r r r r r σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 0 274 Ejemplo 26 Considérese un campo escalar φ xr t en la descripción Euleriana espacial y su gradiente espacial representado por x t x rφ r Teniendo en cuenta que el movimiento es posible ie F 0 y que el campo escalar en la descripción Lagrangiana material viene representado por X t φ r obtener la relación entre el gradiente material y espacial de φ Solución Recordemos que una variable Lagrangiana en la configuración de referencia la podemos expresar en la configuración actual a través de las ecuaciones del movimiento es decir t t t t x X x X r r r r φ φ φ Luego partiendo de la definición del gradiente de un escalar podemos obtener que F x F x x X x x x X X X X x X t t t t t t r r r r r r r r r r r r r φ φ φ φ φ Y la forma inversa 1 1 F X F X X x X X x X x x x X x t t t t t t r r r r r r r r r r r r r φ φ φ φ φ 254 Tensor Gradiente de los Desplazamientos Material y Espacial Sean las componentes del vector desplazamiento ecuación 211 representado según la descripción material y espacial respectivamente por i i i X t x t X X r r u t X x t i i i x x r r u 275 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 189 Tomando la derivada parcial de t i X r u con respecto a coordenada material X r obtenemos Notación Indicial Notación Tensorial ij ij J i j i j i j i F t X X X t x X t δ X X X r r r u u 1 u F X X X t t r r r r J 276 donde J es el tensor gradiente material de los desplazamientos Análogamente podemos calcular la derivada parcial de ui xr t ver ecuación 275 con respecto a coordenadas espaciales xr Notación Indicial Notación Tensorial 1 ij ij j i j i j i j i F t x t X x x x t δ x x x r r r u u 1 F x x x 1 u t t r r r r j 277 donde j es el tensor gradiente espacial de los desplazamientos Las componentes del tensor J pueden representarse matricialmente por 1 1 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 X x X x X x X x X x X x X x X x X x X X X X X X X X X X t j i ij u u u u u u u u u u X r J 278 y las componentes del tensor j por 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 1 1 1 x X x X x X x X x X x X x X x X x X x x x x x x x x x x t j i ij u u u u u u u u u u xr j 279 Podemos obtener la relación entre los tensores J y j partiendo de la definición 277 1 1 1 F F F F x F x 1 1 t t r r j j 280 Comparando con la expresión 276 concluimos que X t r J y j xr t están relacionados por F x X F x X x X t t t t r r r r r r r r u u j J 281 Es interesante comparar la expresión 281 con el resultado del Ejemplo 26 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 190 Ejemplo 27 El campo de desplazamientos de un cuerpo viene descrito por las siguientes ecuaciones 1 2 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 4 2 3 X X X X X X u u u Determinar el vector xr d configuración actual cuyo vector en la configuración de referencia estaba representado por sus componentes 10 3 1 3 1 3 1 1 y pasaba por el punto 111 P Solución Para determinar el vector xr d necesitamos obtener el gradiente de deformación F Las componentes del gradiente de deformación material pueden obtenerse utilizando directamente la ecuación 276 resultando j i ij ij X F u δ 3 2 1 8 1 0 1 1 4 1 0 0 1 6 1 X X X Fij Las componentes del gradiente de deformación en el punto 111 P son 9 0 1 1 5 0 0 1 7 Fij P Una vez obtenido el gradiente de deformación F las componentes del vector xr d vienen dadas por j ij i dx F dX 10 6 8 3 10 9 0 1 1 5 0 0 1 7 1 3 10 3 10 3 10 3 2 1 1 1 1 dx dx dx Ejemplo 28 Considérese un medio continuo donde el campo vectorial de desplazamiento viene dado a través de sus componentes cartesianas por 0 2 3 2 2 2 2 1 2 1 1 X X X r r r u u u X X X X P X1 x1 3 10 3 10 3 10 1 1 1 dX k X 2 x2 X 3 x3 Q X d r Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 191 Por definición una curva material está siempre formada por las mismas partículas Sean OP y OT rectas materiales en la configuración de referencia donde 0 0 0 3 2 1 X X O X 0 1 1 3 2 1 X X P X y 0 0 1 3 2 1 X X P X Obtener las curvas materiales en la configuración actual de OP y OT Encontrar también el gradiente de deformación para el movimiento propuesto Solución a Las ecuaciones del movimiento pueden ser obtenidas a través del campo de desplazamiento ver ecuación 275 ie i i i u x X 3 3 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2 X x X X x X X X X x X x X x X x 3 2 1 values of the ng substituti u u u u u u Luego para obtener la nueva configuración de curva material OP es suficiente reemplazar las coordenadas materiales de las partículas pertenecientes a la recta OP en las ecuaciones del movimiento ver Figura 216 Observemos que la curva material OP deja de ser una recta en la configuración actual La línea OT sigue siendo una recta en la configuración actual ver Figura 217 Las componentes del gradiente de deformación ver ecuación 257 vienen dadas por 1 0 0 0 2 1 0 0 4 1 2 1 2 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 X X X X X x X x X x X x X x X x X x X x X x F jk Figura 216 Deformación de la curva material OP 0 05 1 15 2 25 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 x1 x2 Conf actual Conf de referencia P P Q Q curva material Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 192 Figura 217 Deformación de la curva material OT 255 Derivada Material del Gradiente de Deformación Derivada Material del Determinante del Jacobiano 2551 Derivada Material de F Tensor Gradiente Espacial de Velocidad En este subapartado calcularemos la derivada material del gradiente de deformación material F Tomando como punto de partida la definición del gradiente de deformación i J j i ij x X t x F X r 282 Considerando que F está expresado en la descripción material la derivada material viene dada por i J J i j i x i j j i ij ij v x X t v t t x X X t x t F Dt F D i r 4243 1 r r X X X 283 Si la velocidad está expresada en la descripción espacial t t vi x X r r y utilizando la regla de la cadena podemos obtener que Conf actual 0 002 004 006 008 01 0 05 1 15 2 25 3 35 x1 x2 Conf actual Conf de referencia 0 002 004 006 008 01 0 05 1 15 2 25 3 35 x2 Conf de referencia T T O O Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 193 kj ik j k ik j k k i k J i k J i j k k i j i ij F X x X x v x v v X t x x t v X t v F l l X X x X r r r r 284 La expresión anterior en notación tensorial se representa como F F l 285 donde l es el tensor gradiente espacial de velocidad definido como 1 F F v x x x r r r r t t l Tensor gradiente espacial de velocidad m s m 286 Ejemplo 29 Dado el diferencial xr d hallar su derivada material Solución x v x X F X F X F X F x x xr r r 3 12 r 4243 1 r r r r r r r d d d Dt d D d Dt D d Dt D Dt d D d l l 0 Las componentes vienen dadas por k k i k i k i dx x v dx v Dt d D xr 2552 Tensor Tasa de Deformación y Tensor Spin El tensor gradiente espacial de la velocidad l puede ser representado a través de una descomposición aditiva en una parte simétrica y otra antisimétrica D W 2 1 2 1 T T anti sym l l l l l l l 287 donde hemos introducido los siguientes tensores l sym D tensor tasa de deformación o tensor velocidad de deformación o tensor tasa de deformación Euleriana o tensor estiramiento l anti W tensor spin o tensor velocidad de rotación Las componentes de D y de W respectivamente son i j j i ij i j j i ij x v x v x v x v 2 1 2 1 W D 288 Las componentes del tensor spin con tres componentes independientes pueden representarse por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 194 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 3 2 3 23 13 23 12 13 12 32 31 23 21 13 12 w w w w w w ij W W W W W W W W W W W W W 289 donde i w son las componentes del vector axil asociado al tensor antisimétrico W Definimos también el vector vorticidad que viene dado por wr r ω 2 Además con lo visto en el capítulo sobre tensores un tensor antisimétrico cumple que ij kij k kij k ij w ó w W W 2 1 290 Como j i i j ij v v 2 1 W obtenemos que 2 v w r r rot ver subapartado Rotacional del capítulo 1 Luego el vector vorticidad ωr es igual al rotacional de la velocidad vr es decir v v w x r r r r r 2 rot ω Vector vorticidad 291 En el capítulo 1 apartado Rotacional hemos demostrado que se cumple también la siguiente relación v v v w v x r r r r r r 2 1 W 292 Si D 0 tenemos el caso de movimiento de cuerpo rígido ie las distancias entres partículas no cambian durante el movimiento luego se cumple que x w x r r r d Dt D d 4 4 4 3 14 2 r r r r 4 4 4 3 4 2 1 r r antisimétrico Propiedad del tensor Ejemplo 29 Ver x w x x x x d d d d Dt D d W W D l 293 y el tensor spin W describe una rotación de cuerpo rígido instantáneo sobre el eje que pasa por un punto xr Para probar que D 0 caracteriza un movimiento de sólido rígido partimos de la definición de sólido rígido en el cual las distancias entre partículas no cambian luego la magnitud de xr d no cambia en el tiempo Tomando la derivada material de dxr 2 obtenemos que x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r d d d d d d d d d d d d d d Dt d D d Dt d D d d Dt d D d Dt d D Dt d D D W D W D W D 2 2 2 2 2 2 2 ver Ejemplo 29 2 2 l 294 donde hemos utilizado la propiedad 0 0 x x r r d d sym anti W B A Luego según la relación 294 la magnitud de xr d no cambia en el tiempo si D 0 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 195 Cuando el tensor spin es cero W 0 el campo de velocidades se dice que es irrotacional es decir 0 r r r r v v x rot En el Ejemplo 24 fue demostrado que se cumple la siguiente relación v v v v x x x r r r r r r r 2 1 2 v2 el cual puede ser contrastada por 4 4 43 142 r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r Ver Ec292 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 v v v v v v v v v v v v v v v v v v v x x x T T T T W W W W D W W W D W D W D l l l l l 295 Pero fijemos que el término v v x r r r T 2 en notación indicial queda j i j v 2v que es equivalente a la operación j i j j i j j j i i j j i v v v v v v v v v 2 2 luego v v v v x x x r r r r r r r 2 v2 296 2553 Derivada Material de F 1 Para obtener la derivada material de la inversa del gradiente de deformación partiremos de la relación 1 F F 1 obteniendo así 0 0 1 1 1 1 1 1 F F F F F F F F F F Dt D Dt D Dt D Dt D 297 luego 43 42 1 43 42 1 l 1 1 1 1 1 1 F F F F F F F F F F 1 298 Resultando así Notación Tensorial Notación Indicial l 1 1 F F kj ik ij F F 1l 1 299 NOTA En este libro adoptaremos la siguiente notación para la derivada material tasa de la inversa de un tensor 1 1 1 F F F Dt D Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 196 2554 Derivada Material del Determinante del Jacobiano Para obtener la derivada material del determinante del Jacobiano J F partimos de la definición del determinante vista en el capítulo 1 R Q P R Q P R Q P PQR R Q P PQR R Q P PQR j i x x x x x x x x x J x x x X x X x X x X x J 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 F 2100 Según las ecuaciones 283 y 284 las siguientes relaciones son ciertas s P s P s s p p p P x v X x x t v X t v t t x X X t x t x 1 1 1 1 1 1 x X X X r r r r 2101 Análogamente podemos obtener que s R s R s s R s Q s Q s s Q x v X x x v x x v X x x v x 3 3 3 2 2 2 2102 Sustituyendo x 1 P x 2 Q x 3 R dados por 2101 y 2102 en la ecuación 2100 resulta s R s Q P R s Q s P R Q s P s PQR R Q P R Q P R Q P PQR x v x x x x v x x x x v x x x x x x x x x J 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2103 Expandiendo solamente el índice mudo s del primer término tenemos que J v x x x v x x x v x x x v x x x v R Q P PQR R Q P PQR J R Q P PQR R Q s P s PQR 11 0 3 2 3 31 0 3 2 2 1 2 3 2 1 11 3 2 1 444 3 4 44 2 1 444 3 4 44 2 1 4 4 4 3 14 2 2104 donde se ha considerado que 0 3 2 3 3 2 2 R Q P PQR R Q P PQR x x x x x x Debido a que estas relaciones representan el determinante de una matriz con dos filas ó columnas iguales linealmente dependientes en esta situación el determinante resulta ser cero Análogamente tenemos J v x x v x R s Q s P PQR 2 2 3 2 1 J v x v x x s R s Q P PQR 33 3 2 1 con lo que podemos rescribir la relación 2103 como J v J v J v v J J kk 33 2 2 11 2105 o en forma compacta Tr D Tr Tr J J J J J Dt D l v v v F F x x x r r r r r r Tasa del determinante del Jacobiano 2106 donde se ha utilizado la propiedad de que la traza de un tensor antisimétrico es cero 0 Tr W La tasa del determinante del Jacobiano también podría haber sido obtenida partiendo de la siguiente definición kk ik ik kj ik ji T III III F F III III Dt D D III D Dt D III l l l F F F F F F F F F F δ 1 l 2107 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 197 Para mayores detalles de derivada parcial de invariantes ver capítulo 1 Ejemplo 210 Utilizar la definición vista en el capítulo 1 que ij ij F Dt F D Dt D cof det F para obtener la expresión 2106 Solución Considerando que j i ij X x F luego ij i j ij i j ij j i F v X D F Dt x X D F X x Dt D Dt D cof cof cof det F o aún considerando que t t vi xr X podemos decir que ij j k k i F X x x v Dt D cof det F Y considerando la definición del cofactor ij ij ij T F F F det cof 1 obtenemos que i i ij i i ij ki k i ij ji kj k i ij T ij j k k i Jv F x v F x v F F F x v F F X x x v Dt D 1 det det det det det δ F Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 198 26 Tensores de Deformación Finita NOTA Antes de introducir las distintas formas de definir los tensores de deformaciones es importante resaltar que el desplazamiento es una cantidad que se puede medir mientras que la deformación está basada en conceptos que son introducidos por conveniencia a la hora del análisis La medida de deformación que utilizaremos en este apartado será la relación 2 2 2 dS dS ds material o bien 2 2 2 ds dS ds espacial cuyas relaciones son adimensionales ie 2 2 m m Consideremos una vez más dos partículas situadas en los puntos materiales P y Q y el vector X r d que une estos dos puntos en la configuración de referencia Tras el movimiento las partículas que ocupaban los puntos P y Q se mueven hasta los puntos P y Q respectivamente y el nuevo vector que une estos puntos es xr d ver Figura 218 Los módulos al cuadrado de estos dos vectores se representan como X X X r r r d d dS d 2 2 2108 y x x x r r r d d ds d 2 2 2109 Figura 218 Deformación de un medio continuo X1 x1 X 2 x2 X 3 x3 0 B B 3 ˆ 3 ˆ I e 2 ˆ 2 ˆ I e 1 ˆ1 ˆ e I O P X r Configuración de Referencia 0 0t t Configuración Actual t Q P Q X d r x dr ds d Q P dS d PQ x X r r xr X F X x r r r d t d X d r x dr Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 261 Tensor Material de Deformación Podemos expresar la relación ds2 dS2 en la descripción material como ds2 dS2 d𝑥 d𝑥 d𝑋 d𝑋 F dX F d𝑋 d𝑋 d𝑋 d𝑥 FT F d𝑥 d𝑋 d𝑋 d𝑥 FT F 1 d𝑋 d𝑥 C 1 d𝑋 d𝑥 2E d𝑋 ds2 dS2 d𝑥i d𝑥i d𝑋k d𝑋k Fik d𝑋k Fij d𝑋j δkj d𝑋k d𝑋j Fik Fij δkj d𝑋k d𝑋j Ckj δkj d𝑋k d𝑋j 2Ekj d𝑋k d𝑋j 2110 donde definimos C como tensor derecho de deformación de CauchyGreen C𝑋 t FT F tensor derecho de deformación de CauchyGreen 2111 Observar que F está a la derecha C es un tensor simétrico y definido positivo CT FT FT FT F C 2112 La inversa del tensor C que está en la configuración de referencia será C1 𝑋 t F1 FT 2113 Definimos también el tensor izquierdo de deformación de CauchyGreen o tensor de deformación de Finger b configuración actual b𝑥 t F FT tensor izquierdo de deformación de CauchyGreen 2114 Observar que F está a la izquierda La inversa del tensor b que también está en la configuración actual viene dada por b1 𝑥 t FT F1 2115 NOTA La palabra derecho está siempre asociada con la descripción material Lagrangiana mientras que la palabra izquierdo está asociada con la descripción espacial Euleriana Definimos también el tensor de deformación de Piola B B𝑋 t F1 FT C1 inversa B1 FT F C 2116 En el apartado Descomposición Polar daremos más detalles sobre las configuraciones que están planteados estos tensores de deformación A continuación presentamos algunas propiedades de los tensores C y b Los tensores C y b están relacionados entre si por C F1 b F C1 F1 b1 F b F C F1 b1 F C1 F1 F C FT F FT F FT b b b2 2117 Determinante de b detb detF FT detF detFT detF detF J2 detC 2118 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Pudiendo así expresar el determinante del Jacobiano como J detC IIIc Invariantes de C y de b Ib IC TrC Cii IIb IIC 12 IC2 TrC2 IIIb IIIC detC 16 ϵijk ϵpqr Cip Cjq Ckr J2 13 TrC3 32 TrC2 TrC 12 TrC3 2119 La igualdad Ib IC se puede demostrar por la propiedad de la traza vista en el capítulo 1 TrC TrFT F TrF FT Trb También se puede verificar que la siguiente relación es válida TrCn Trbn La igualdad IIIb IIIC se demuestra utilizando la propiedad del determinante IIIC detC detFT F detF FT detFT detF detF2 IIIb Los tensores C y b son tensores simétricos y definidos positivos La demostración se puede encontrar en el capítulo 1 subapartado Tensor Definido Positivo y Tensor SemiDefinido Positivo ver Ejemplo 127 Regresando a la expresión 2110 definimos el tensor material de deformación GreenLagrange o tensor de deformación de Green E introducido por Green y SaintVenant por eso también conocido como tensor de deformación GreenSt Venant como Notación Tensorial Notación Inicial Tensor de deformación de GreenLagrange E𝑋 t 12 FT F 1 12 C 1 Eij 12 Fki Fkj δij 12 Cij δij 2120 El tensor de deformación de GreenLagrange E es un tensor simétrico E ET ie ET 12 FT F 1T 12 FT F 1 E 2121 También podemos expresar el tensor material de deformación GreenLagrange E en función del gradiente material de los desplazamientos Para ello expresamos el tensor deformación C en función del campo de desplazamiento u𝑋 t utilizando la expresión 276 F J 1 Fij Jij δij ui Xj δij uij δij 2122 luego C FT F Cij Fki Fkj uki δki ukj δkj uki ukj uki δkj δki ukj δki δkj uki ukj uji uij δij 2123 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 201 y también J J J J T T 3 2 1 E C 2 1 i J j I k J I k E ij ij ij C 2 u u u u 43 42 1 δ 2124 luego J J J J T T 2 1 E j k i k i j j i ij X X X X E u u u u 2 1 2125 Expandiendo la expresión anterior resulta 2 1 3 2 1 2 2 1 1 1 1 11 2 1 X X X X E u u u u 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 22 2 1 X X X X E u u u u 2 3 3 2 3 2 2 3 1 3 3 33 2 1 X X X X E u u u u 21 2 3 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 12 2 1 E X X X X X X X X E u u u u u u u u 31 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 1 1 1 3 3 1 13 2 1 E X X X X X X X X E u u u u u u u u 32 3 3 2 3 3 2 2 2 3 1 2 1 2 3 3 2 23 2 1 E X X X X X X X X E u u u u u u u u Ejemplo 211 Considerando las ecuaciones del movimiento 2 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 4 X X x X X x X X X x Encontrar el tensor de deformación de GreenLagrange E Solución El tensor de deformación de GreenLagrange según la ecuación 2120 viene dado por 2 1 2 1 ij kj ki ij T F F E δ 1 F F E 2126 Considerando las ecuaciones del movimiento podemos obtener las componentes del gradiente de deformación material F 3 2 1 2 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 2 1 0 0 0 2 1 0 0 4 4 1 X X X X X x X x X x X x X x X x X x X x X x X x F j k kj Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 202 2 3 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 1 0 0 0 2 1 4 4 4 1 0 4 4 1 4 1 2 1 0 0 0 2 1 0 0 4 4 1 2 1 0 0 0 2 1 4 0 0 4 1 X X X X X X X X X X X X X X X X F F kj ki Reemplazando la relación anterior en la ecuación 2126 obtenemos que las componentes del tensor de deformación de GreenLagrange vienen dadas por 1 2 1 0 0 0 1 2 1 4 4 4 1 0 4 4 1 1 4 1 2 1 2 3 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 X X X X X X X X Eij Ejemplo 212 Obtener los invariantes principales de E en función de los invariantes principales de C y b Solución Los invariantes principales de E son 2 1 2 2 E E E E E E E det Tr Tr III I II I Considerando que 2 1 1 C E resulta que Primer Invariante 3 2 1 2 1 2 1 2 1 C E C C C E I I 1 1 1 Tr Tr Tr Tr Tr Segundo Invariante 2 1 2 2 E E E Tr I II donde 9 6 4 1 3 2 1 2 2 2 C C C E I I I I 3 2 4 1 2 4 1 2 4 1 4 1 2 1 2 2 2 2 2 2 C C C C C C C C E I Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr 1 1 1 1 Para obtener Tr C 2 adoptaremos el espacio de las direcciones principales donde se cumple que 2 3 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 C C C C C C ij ij C C C C Tr Pero considerando la siguiente relación C C C C II I C C C C C C C C C C C C C C C I II 2 2 2 2 3 2 2 2 1 3 2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 4444 3 4 444 2 1 Luego 3 2 2 4 1 2 2 C C C E I II I Tr Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 203 Con lo cual concluimos que el segundo invariante viene dado por 3 2 4 1 3 2 2 4 1 9 6 4 1 2 1 2 2 C C C C C C C E II I I II I I I II Tercer Invariante 2 1 2 1 3 1 1 C C E E det det det III Trabajando en las direcciones principales tenemos que 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 C C C C I II III C C C C C C C C C C C C C C C C C C 1 det luego 1 8 1 C C C E I II III III Resumiendo 1 8 1 3 2 4 1 3 2 1 C C C E C C E C E I II III III II I II I I 1 2 4 8 3 4 4 3 2 E E E C E E C E C I II III III I II II I I Ejemplo 213 Sea C C C III II I Ψ Ψ una función de valorescalar donde C I II C III C son los invariantes principales del tensor derecho de deformación de CauchyGreen C Obtener la derivada de Ψ con respecto a C y con respecto a b Comprobar que la siguiente igualdad es válida b F F b C Ψ Ψ T Solución Utilizando la regla de la cadena podemos obtener que C C C C C C C C C C C C C C III III II II I I III II I Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 2127 Considerando las derivadas parciales de los invariantes vistas en el capítulo 1 1 C IC C C C C C C 1 1 I I II T 1 C C C C C C III III III T luego 1 C C C C C C C C III III I II I Ψ Ψ Ψ Ψ 1 1 1 C C C C C C C C C III III II I II I Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 2128 Teniendo en consideración las relaciones 2119 concluimos que 1 b b b b b b b b b III III II I II I Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 2129 Haciendo una contracción por la izquierda con F y por la derecha por T F en la relación 2128 obtenemos que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 204 T T T T III III II I II I F F C F C F F F F F C C C C C C C 1 Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 2130 Y considerando las siguientes relaciones b F F F F T T 1 2 b b b F F F F F C F F F C T T T T Y considerando la relación 2117 F b F C 1 1 1 concluimos que b b F F b F F F F C F b F C 1 1 1 1 1 1 1 T T Luego la expresión 2130 puede ser rescrita como b b b b F F C C C C C C C 1 2 III III II I II I T Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ b b b F F C C C C C C C 1 III III II I II I T Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 Teniendo en consideración una vez mas las relaciones 2119 concluimos que b b b F F b b b b b b C 1 III III II I II I T Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1 b F F b C Ψ Ψ T Verificando la expresión 2129 podemos concluir que la relación b b b b Ψ Ψ es válida indicando que los tensores Ψ b y b son coaxiales 262 Tensor Espacial de Deformación Tensor de Deformación de Almansi Alternativamente podemos obtener la expresión 2 2 dS ds en la descripción espacial x e x x c x x F F x x F x F x x x x F F x x X X x x r r r r r r r r r r r r r r r r r r d d d d d d d d d d d d d d d d d d dS ds T T 2 1 1 1 1 2 2 1 1 j i ij j i ij ij j i k j k i ij j k j i k i j i ij k k i i dx dx e dx dx c dx dx X X dx dx X X dx dx dX dX dx dx dS ds 2 2 2 δ δ δ 2131 donde el tensor simétrico c es conocido como tensor de deformación de Cauchy definido como 1 F F c x T r t Tensor de deformación de Cauchy 2132 donde se cumple que b c 1 siendo x t b r es el tensor izquierdo de deformación de Cauchy Green definido en 2114 Definimos también el tensor de deformación finita Euleriana o tensor de deformación de Almansi e dado por 2 1 2 1 2 1 1 1 b F F c e x 1 1 1 T r t Tensor de deformación de Almansi 2133 Las componentes del tensor e son 2 1 2 1 1 1 kj ki ij ij ij ij F F c e δ δ 2134 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 205 Observemos que se cumple que 1 1 1 1 T T T T F F F F C B C B F F F F c b c b 1 1 2135 Partiendo de la relación j 1 F 1 ver ecuación 277 el tensor de deformación de Almansi e puede ser reescrito en función del gradiente espacial de los desplazamientos j j j j j j j j j j j j T T T T T T T 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 F F e 2136 luego Notación Tensorial Notación Indicial j j j j T T 2 1 e j k i k i j j i ij x x x x e u u u u 2 1 2137 Ambos tensores E y e son tensores de segundo orden simétricos Obtenemos la relación entre E y e partiendo de la relación 2133 E F F F F F F F F F F F F e F F F F e 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 T T T T T T T T 2138 Con lo cual concluimos que e F F E T 2139 y que 1 E F F e T 2140 Resumiendo podemos decir que el estado de deformación actual de un cuerpo representado por los tensores de deformación en la configuración actual puede estar representado en la configuración de referencia como se indica en la Figura 219 OBS Es interesante observar que en un movimiento de cuerpo rígido la relación 2 2 dS ds es cero por lo que los tensores de deformación E e son tensores nulos Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 206 Figura 219 Tensores de deformación Ejemplo 214 Demostrar que el tensor de deformación de GreenLagrange E y el tensor derecho de deformación de CauchyGreen C son tensores coaxiales Solución Dos tensores son coaxiales cuando presentan las mismas direcciones principales También se puede demostrar que son coaxiales cuando se cumpla la relación E C C E Partiendo de la definición E C 1 2 concluimos que E C E E E E E E E C E 2 2 2 1 1 1 Con lo que demostramos que los tensores E y C son tensores coaxiales 263 Tasas de los Tensores de Deformación 2631 Tasa del Tensor Derecho de Deformación de CauchyGreen La tasa del tensor derecho de deformación de CauchyGreen en función de D se obtendrá como F F F F F F F F F F F F F F C C D T sym T T T T T T T T Dt D Dt D 2 2 4243 1 l l l l l 2141 2632 Tasa del Tensor de Deformación de GreenLagrange La tasa del tensor de deformación de GreenLagrange E puede ser obtenida a través de la tasa de la ecuación 2120 resultando X r xr F configuración de referencia configuración actual 0 B B Conf Actual Conf Ref 1 C X E C F F X B F F X C 2 1 1 1 t t t T T r r r c x e b F F x c c F F x b 2 1 1 1 1 1 t t t T T r r r 1 1 1 1 1 E F F e F F C b F C F b T e F F E F b F C b F F C T 1 1 1 1 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 207 C F F F F C F F E E 2 1 2 1 2 1 2 1 T T T Dt D Dt D Dt D 1 1 2142 Comparando las expresiones 2142 y 2141 podemos concluir que F F C E T D 2 1 2143 y tras ciertas manipulaciones algebraicas obtenemos que 1 1 2 1 C F F E F F T T D 2144 La expresión 2143 podría haber sido obtenida a través de ecuación 294 ie X E X x x X E X X E X X E X x x X E X r r r r r r r r r r r r r r r r d d d Dt d D d d d d d d d Dt d D d Dt d D ds Dt D dS ds Dt D 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2145 X F X F x x x x X E X r r r r r r r r d d d d d Dt d D d d T D D 2 2 2 2146 Luego concluimos que F F E D T 2633 Tasa del Tensor C 1 La tasa de la inversa del tensor derecho de deformación de CauchyGreen puede ser obtenida considerando que 1 C C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 C C C C C C C C C C C C C C Dt 1 D Dt D 2147 Además considerando que F F C T y la ecuación 2141 obtenemos que T F F C D 1 1 2 2148 Verifiquemos que C y C 1 siguen siendo simétricos 2634 Tasa del Tensor Izquierdo de Deformación de CauchyGreen Partiendo de la definición del tensor izquierdo de deformación de CauchyGreen ecuación 2114 su tasa viene dada por OBS Cuando la configuración de referencia es igual a la configuración actual F 1 tenemos que D E Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 208 T T T T T T T Dt D Dt D l l l l b b F F F F F F F F F F b b 2149 La tasa de la inversa del tensor izquierdo de CauchyGreen viene dada por l l 1 1 1 1 1 1 1 b b b F F F F F F b T T T T Dt D Dt D 2150 Verifiquemos que b y b1 siguen siendo tensores simétricos Tasa del tensor de deformación de Piola B T T Dt D Dt D F F F F B B 2D 1 1 2151 2635 Tasa del Tensor de Deformación de Almansi La tasa del tensor de deformación de Almansi e puede ser obtenida a través de la tasa de la ecuación 2133 resultando 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 c F F F F c F F e e T T T Dt D Dt D Dt D 1 1 2152 2636 Relación entre la Tasa del Tensor de Deformación de Almansi y el Tensor Tasa de Deformación Podemos obtener también la relación entre la tasa del tensor de deformación de Almansi e y el tensor tasa de deformación D Para ello obtenemos la tasa de 2139 e F F E T e F F e F F e F F E T T T 2153 Teniendo en cuenta que F F E D T F F l obtenemos que 1 1 1 1 1 F F e e e F F e F F e e F F e F F F F e F F F F e F F F F e F F e F F e F F F F l l T T T T T T T T T T T T T T D D D D 2154 Resultando e e e l T l D 2155 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 209 Ejemplo 215 Obtener la tasa del determinante del Jacobiano J en función de la tasa del tensor de deformación de GreenLagrange E y también en función de la tasa del tensor derecho de deformación de CauchyGreen C Solución Fue obtenido en 2106 que J J Tr D donde D es el tensor tasa de deformación y que está relacionado con E por 1 E F F T D ver ecuación 2144 luego 1 D 1 1 E F F E F F T T J J J J Tr Tr En notación indicial queda C C E C E F F F F 1 1 1 1 1 1 1 1 2 J J J E J E F J F F E J F J T kp kp T kp pi ki ij pj kp ki δ Aún podemos expresar J en función de F para ello consideremos la siguiente relación sp sk sp sk kp F F F F E 2 1 ver relación 2142 Luego J aún puede ser expresado por T T st ts sp ps sk ks sp pi si sk ki si sp sk pi ki sp sk pi ki sp sk sp sk pi ki kp pi ki J J F JF F F F J F F F F F J F F F F F F F J F F F F F F J F E F J F J F F F F 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 δ δ Resumiendo así las distintas formas de expresar la tasa del determinante del Jacobiano 2 2 1 1 1 1 1 F F C C E C F F C C E C Tr Tr Tr Tr J J J J J J J J T D Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 210 264 Interpretación Física de los Tensores de Deformación Consideremos ahora dos vectores en la configuración de referencia M X ˆ 1 1 dS d r y N X 2 ˆ 2 dS d r y que forman un ángulo Θ entre sí donde Mˆ y Nˆ son los versores según dirección X 1 r d y X 2 r d respectivamente ver Figura 220 Estos vectores en la configuración deformada vienen representados por m x ˆ 1 1 ds d r y n x 2 ˆ 2 ds d r Figura 220 Variación de ángulo Los dos vectores X 1 r d y X 2 r d tras la deformación vienen representados por 1 1 X F x r r d d P 1 1 k jk P j dX F d r r x 2156 y 2 2 X F x r r d d P 2 2 k jk P j dX F d r r x 2157 donde Fjk P implica que el gradiente de deformación material es evaluado en el punto P El producto escalar de los dos vectores en la configuración actual 2 1 x x r r d d viene expresado de la forma 2 2 1 1 2 2 1 1 ds d R P ds d Q P dS d PR dS d PQ x x X X r r r r X1 x1 X 2 x2 X 3 x3 0 B t B 3 ˆ 3 ˆ I e 2 ˆ 2 ˆ I e 1 ˆ1 ˆ e I O P X r Configuración de Referencia t 0 Configuración Actual t Q P Q X 2 r d d xr 2 xr X 1 d r R d 1xr R Θ θ Nˆ Mˆ nˆ mˆ X F X x r r r d t d Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 211 N E M C N M X C X X F F X X F X F x x C ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 dS dS dS dS d d d d d d d d T r r r 123 r r r r r j ij ij i j ij i j ij i j ij kj ki i j kj i ki k k N E M dS dS M C N dS dS C dX dX dX C F F dX F dX F dX dx dx ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 δ 3 2 1 2158 El producto escalar 2 1 X X r r d d puede ser representado por n e m c n m x c x x F F x x F x F X X c 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ds ds ds ds d d d d d d d d T r r r 4243 1 r r r r r j ij ij i j ij i j ij i j ij kj ki i j kj i ki k k n e m ds ds m c n ds ds c dx dx dx c F F dx dx F dx F dX dX ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 δ 43 42 1 2159 Podemos utilizar la representación 2158 para representar el módulo de dxr 1 y dxr2 en función de los tensores de deformación Para ello hacemos que 1 2 x x r r d d en la representación 2158 resultando M C M x M E M M C M x x x ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 dS d dS dS dS dS d d d r r r r 1 2160 Recordemos que dxr 0 Análogamente obtenemos el módulo de dxr2 como N C N x N E N N C N x x x ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dS d dS dS dS dS d d d r r r r 1 2161 Utilizando ahora la definición 2159 podemos expresar los módulos de X 1 r d y X 2 r d como m c m X m e m m c m X X X ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ds d ds ds ds ds d d d r r r r 1 2162 y n c n X n e n n c n X X X ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ds d ds ds ds ds d d d r r r r 1 2163 2641 Relaciones entre Tensores de Deformación Estiramiento y Alargamiento Unitario A continuación vamos establecer la relación entre el estiramiento alargamiento unitario con los tensores de deformación Para ello partimos de la definición del estiramiento dada por 245 Luego el estiramiento según dirección Mˆ ver Figura 220 puede ser obtenido a través de variables Lagrangianas como Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 212 M E M M E M M C M C M M X x M ˆ 2 ˆ 1 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 ˆ λ 1 dS dS d d r r 2164 donde hemos utilizado la expresión del módulo de dxr 1 dado por 2160 Si ahora utilizamos las variables Eulerianas el estiramiento según dirección mˆ ver Figura 220 viene definido como m e m m e m m c m m c m X x m ˆ 2 ˆ 1 1 ˆ 2 ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 1 1 1 ˆ λ 1 ds ds d d r r 2165 Una vez definido los estiramientos en función de los tensores de deformación podemos obtener el alargamiento unitario a través de la definición 246 ie ε λ 1 Luego el alargamiento unitario según dirección Mˆ puede ser expresado en función de variables Lagrangianas como ˆ 1 2 ˆ 1 ˆ 1 2 ˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ λ M E M M E M C M M M M 1 ε 2166 También podemos obtener el alargamiento en función de variables Eulerianas 1 ˆ 2 ˆ 1 1 1 ˆ 2 ˆ 1 1 ˆ ˆ 1 1 ˆ ˆ λ m e m m e m c m m m m 1 ε 2167 Resumimos así que λ λ 1 ˆ 2 ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ E M M M C M M E M E M M M M M ε 1 Estiramiento y alargamiento unitario según dirección Mˆ en función de C y E 2168 y λ λ 1 ˆ ˆ 1 1 ˆ 2 ˆ 1 1 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ 2 ˆ 1 1 ˆ ˆ 1 ˆ m c m e m m m m b m c m e m m m m m ε Estiramiento y alargamiento unitario según dirección mˆ en función de c y e 2169 NOTA Para un dado movimiento si en una determinada dirección mˆ no hay estiramiento ˆ 1 λ m se cumple que 1 ˆ ˆ m c m ó 0 ˆ ˆ m e m Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 213 2642 Variación de Ángulo El ángulo formado por los vectores dxr 1 y dxr2 ver Figura 220 puede ser obtenido a través de la definición del producto escalar θ cos 2 1 2 1 x x x x r r r r d d d d resultando N M C N M N C N C M M C N M N C N C M M M C N x x x x ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cos λ λ θ dS dS dS dS d d d d r r r r 2170 donde hemos utilizado las expresiones 2158 2160 y 2161 Resumimos a continuación las distintas formas de expresar θ cos E N N E M M E N M N M N E N M E M N E M C N M N C N C M M C N M N M ˆ 2 ˆ ˆ 1 2 ˆ 1 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ ˆ λ λ θ 1 1 1 2171 Análogamente podemos obtener el ángulo en la configuración de referencia e n n m e m n e m c n m n c n c m m c n m n c n c m m c n m X X X X n m ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 2 1 λ λ Θ 1 1 1 ds ds ds ds d d d d r r r r 2172 donde hemos utilizado las expresiones 2159 2162 y 2163 Resumimos así las distintas formas de expresar cosΘ n e n e m m m e n n m n e n m e m n e m m c n n c n c m m c n m n m ˆ 2 ˆ ˆ 1 2 ˆ 1 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ ˆ λ λ Θ 1 1 1 2173 Teniendo en cuenta que Θ cos ˆ ˆ M N θ cos ˆ ˆ m n las expresiones 2171 y 2173 pueden ser rescritas como N M N M N M M E N M E N M N N E M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ cos ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ cos λ λ Θ λ λ λ λ θ 1 2174 y n m n m n m m e n m e n m n n e m ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ cos ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ cos λ λ θ λ λ λ λ Θ 1 2175 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 214 2643 Interpretación Física de las Componentes de los Tensores de Deformación Tensor Derecho de Estiramiento 26431 Componentes Normales Consideremos las componentes Cartesianas del tensor derecho de deformación de Cauchy Green de la partícula P ver Figura 220 Figura 221 Componentes cartesianas de C Consideremos ahora que el versor Mˆ representado en la Figura 220 tiene la misma dirección que 1 X ie ˆ 1 ˆ M e Con eso el producto M C M ˆ ˆ resulta 11 33 23 13 23 22 12 13 12 11 0 0 1 0 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ C C C C C C C C C C M C M j i ij M C M 2176 Recurriendo a la definición del estiramiento según una dirección dada por 2168 concluimos que 0 2 1 ˆ ˆ 1 1 11 11 1 1 λ λ X X E C d d M C M X xr r 2177 Como podemos observar C11 es la medida del estiramiento según el eje 1 X Análogamente C22 y C33 son los estiramientos según los ejes 2 X y 3 X respectivamente con lo cual podemos decir 33 33 22 22 11 11 2 1 2 1 2 1 3 2 1 E C E C E C X X X λ λ λ 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 33 2 22 2 11 3 2 1 λ λ λ X X X E E E 2178 Con lo cual concluimos que los términos de la diagonal principal de los tensores E y C están relacionados con los estiramientos Observemos que F F C T es un tensor 2 X 3 X 11 C 12 C 13 C 12 C 23 C C22 33 C 13 C 23 C 1 X 33 23 13 23 22 12 13 12 11 C C C C C C C C C C C ji ij Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 215 simétrico y definido positivo y además si estamos trabajando en el espacio principal de C se cumple que λ λ λ λ λ λ 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 ij ij E C 2179 donde λ1 0 λ2 0 λ3 0 son los estiramientos principales Con lo cual podemos hacer la representación espectral de los tensores C y E como λ 3 1 2 ˆ ˆ a a a a t N N C X r Representación espectral del tensor derecho de deformación de CauchyGreen 2180 λ 3 1 2 ˆ ˆ 1 2 1 a a a a t N N E X r Representación espectral del tensor de deformación Green Lagrange 2181 Además a través de la representación espectral de C podemos definir un nuevo tensor tal que U2 C donde U es conocido como tensor derecho de estiramiento y observemos que la única solución posibles es U C ya que los estiramientos por definición son números reales positivos como consecuencia U es un tensor simétrico y definido positivo Luego definimos el tensor derecho de estiramientos como λ 3 1 ˆ ˆ a a a a t N N U X r Representación espectral del tensor derecho de estiramientos 2182 26432 Componentes Tangenciales Para hacer la interpretación de las componentes tangenciales de C adoptamos las siguientes direcciones para los versores ˆ 1 ˆ M e y ˆ 2 ˆ N e Con eso el producto M C N ˆ ˆ resulta 12 33 23 13 23 22 12 13 12 11 0 1 0 0 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ C C C C C C C C C C M C N j i ij M C N 2183 Verifiquemos que este término está relacionado con el θ cos dado por 2170 resultando 22 11 12 22 11 12 ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cos E E E C C C λ λ θ N M C N M N C N C M M M C N 2184 Luego 12 C está relacionado con la medida de cambio de ángulo entre dos líneas que pasan por el punto P que en la configuración de referencia eran paralelas a los ejes 1 X y 2 X Por tanto las componentes fuera de la diagonal principal de los tensores E y C contienen informaciones sobre la variación de ángulo Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 27 Casos Particulares del Movimiento 271 Deformación Homogénea Consideremos un caso particular del movimiento donde todas las partículas tienen el mismo gradiente de deformación Este tipo de movimiento se denomina de Deformación Homogénea y como consecuencia F es independiente de la posición es decir el tensor F es constante para todas las partículas del medio continuo y es sólo dependiente del tiempo Integrando la relación obtenemos que 2185 donde corresponde al movimiento de traslación es la constante de integración Un medio continuo caracterizado por deformación homogénea tiene las siguientes propiedades Una superficie material constituida siempre por las mismas partículas definida por un plano en la configuración de referencia seguirá siendo un plano en la configuración deformada actual Luego como consecuencia una línea recta material en la configuración de referencia sigue siendo una recta en la configuración deformada Una superficie material que en la configuración de referencia viene definida por una esfera en la configuración deformada ésta superficie material viene representada por un elipsoide Luego como consecuencia un círculo material definido en la configuración material tras el movimiento vendrá definido por una elipse 272 Movimiento de Cuerpo Rígido Cuando las distancias entre partículas se mantienen constantes durante el movimiento se dice que el cuerpo sufre un movimiento de cuerpo rígido Con estas características ya podemos concluir que el movimiento de cuerpo rígido es un caso particular de deformación homogénea Consideremos un vector en la configuración de referencia y cuyo vector en la configuración actual viene representado por Luego según la ecuación 2185 se cumple que Y además como las distancias entre partículas no cambian se cumple que Con lo que concluimos que en esta situación es un tensor ortogonal propio ver tensores ortogonales capítulo 1 Luego los tensores derecho e izquierdo de deformación de CauchyGreen quedan 2186 Además se comprueba que para un movimiento de cuerpo rígido se cumple que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 217 0 D 0 1 0 1 1 2 1 2 1 b e C E Tensores de deformaciones para movimiento de rotación 2187 En el caso de movimiento de sólido rígido el estiramiento es unitario ya que las distancias entre partículas no cambian y podemos comprobar los resultados anteriores a través de la representación espectral de los tensores C y E ver expresiones 2180 2181 1 N N N N λ 3 1 3 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a a a a C 2188 0 N N N N λ 3 1 3 1 2 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 1 2 1 a a a a a a a a E 2189 Ejemplo 216 Considérese las siguientes ecuaciones del movimiento 3 3 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 X x X X x X X x 2190 a Obtener el campo de desplazamiento ur en la descripción Lagrangiana y Euleriana b Determinar la curva material en configuración actual que origina un círculo material que viene definido en la configuración material por 0 2 3 2 2 2 1 X X X c Obtener las componentes del tensor derecho de deformación de CauchyGreen d Obtener los estiramientos principales Solución El gradiente de deformación viene dado por 0 75 2 0 0 0 2 1 0 1 2 2 1 F J X x F j i ij Comparando con las ecuaciones del movimiento 2190 j ij i F X x X X X x x x 2 0 0 0 2 1 0 1 2 2 1 3 2 1 3 2 1 Verificamos así que el ejemplo propuesto se trata de un caso de deformación homogénea con 0 c r r La forma inversa de la relación anterior viene dada por 3 3 2 1 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 4 3 2 3 2 3 4 3 0 0 0 4 2 0 2 4 3 1 x X x x X x x X x x x X X X 2191 El campo de desplazamientos viene definido por X x r r r u Luego las componentes Lagrangianas del desplazamiento son Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 218 0 2 1 2 1 2 1 2 1 3 3 3 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 X x t X X X X X x t X X X X X x t X x i i i X X X r r r u u u u 2192 Las componentes Eulerianas del desplazamiento pueden ser obtenidas al reemplazar las ecuaciones del movimiento 2191 en 2192 obteniendo así que 0 3 4 3 2 2 1 2 1 3 4 3 2 2 1 2 1 2 3 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 t t t t x x t X t t t x x t X t t x x X x x x X x x x X r r r r r r r r r r r u u u u u u 2193 Las partículas pertenecientes al círculo 2 2 2 2 1 X X en la configuración de referencia definirán una nueva curva en la configuración actual y definida por 18 20 32 20 2 3 4 3 2 3 2 3 4 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 x x x x x x x x X X cuya ecuación es de una elipse La Figura 222 muestra la curva material en las distintas configuraciones Como tenemos un caso de deformación homogénea ya era de esperar que un círculo material tras el movimiento definiera una elipse material en la configuración deformada Las componentes de C y de E pueden ser obtenidas partiendo directamente de las siguientes definiciones F F C T y 1 C E 2 1 1 0 0 0 1 25 1 0 1 25 1 2 0 0 0 2 1 0 1 2 2 0 0 0 2 1 0 1 2 4 1 ij kj ki ij C F F C δ 0 0 0 0 0125 50 0 50 125 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 25 1 0 1 25 1 2 1 2 1 ij ij ij ij E C E En el espacio principal de C las componentes de C vienen dadas por λ λ λ λ λ λ 3 2 1 2 3 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ij ij C C donde i λ son los estiramientos principales Por lo tanto para determinar los estiramientos principales necesitamos obtener los autovalores de C 25 0 2 25 0 0 5625 52 0 1 25 1 1 25 1 2 1 2 C C C C C C Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 219 λ λ λ λ λ λ 1 0 0 0 50 0 0 0 51 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 25 0 0 0 25 2 0 0 0 0 0 0 3 2 1 2 3 2 2 2 1 Cij 2 15 1 05 0 05 1 15 2 2 1 0 1 2 x1 x2 Conf de Referencia Conf Deformada Figura 222 Curva material Ejemplo 217 Considérese el siguiente campo de velocidad 2 1 3 3 1 2 3 2 1 5 1 5 3 1 3 x x v x x v x x v Demostrar que dicho movimiento corresponde a un movimiento de sólido rígido Solución En primer lugar vamos obtener el gradiente espacial de la velocidad l cuyas componentes vienen dadas por anti ij j i ij x v x v x v x v x v x v x v x v x v x t v l l 0 5 1 5 0 3 1 3 0 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 xr Recordar que l podemos descomponer en una parte simétrica l sym D y otra antisimétrica l anti W es decir l D W Con eso concluimos que D 0 luego el movimiento es de sólido rígido curva material Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 220 28 Descomposición Polar de F Como vimos en el capítulo 1 un tensor de segundo orden nosingular puede ser descompuesto multiplicativamente a través del teorema de la Descomposición Polar Aplicando la descomposición polar al gradiente de deformación F tensor nosingular 0 det F y 0 det F resulta 8 7 6izquierda por la n descripció por la derecha n descripció V R R U F 2194 donde R es el tensor ortogonal propio tensor de rotación luego debe cumplir que 444444 3 4 44444 2 1 dad ortogonali T T T 1 R R 1 R R R R y 4243 1 propio 1 det R La restricción que 0 det F se demuestra en el subapartado 210 Deformación del Diferencial de Volumen Utilizando la descomposición polar por la derecha se cumple que F RT U y además haciendo el producto escalar por T F en la expresión 2194 obtenemos que U2 U U U R T T T C F F F C 3 12 2195 El tensor U es el mismo definido en 2182 Además partiendo de la representación espectral del tensor C λ 3 1 2 ˆ ˆ a a a a N N C ver expresión 2180 concluimos que λ 3 1 ˆ ˆ a a a a N N U 2196 donde i λ son los estiramientos principales y son números reales positivos por definición ver relación 245 Luego como consecuencia el tensor U es un tensor definido positivo Los tensores U y V son tensores simétricos y definidos positivos y son conocidos por U Tensor derecho de estiramiento o tensor de estiramiento Lagrangiano o aún tensor de estiramiento material V Tensor izquierdo de estiramiento o tensor de estiramiento Euleriano o aún tensor de estiramiento espacial En la descomposición polar por la derecha primero efectuamos una transformación con deformación pura y a continuación efectuamos una transformación caracterizada por una rotación ver Figura 223 En la descomposición por la izquierda primero efectuamos la transformación de rotación y después efectuamos la deformación pura Ya que el determinante de F es positivo 0 det F y el determinante de cualquier tensor definido positivo es positivo 0 det U como consecuencia el tensor ortogonal es propio es decir 1 det R un tensor de rotación 0 0 1 0 U U R R U det det det det det 123123 23 1 F 2197 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 221 Figura 223 Descomposición polar del tensor F Utilizando la descomposición polar de V R R U F podemos expresar el tensor derecho de deformación de CauchyGreen C como 2 U U U R U R U R U U R T T T T F F C R R V V R R V R R V b F F C T T T T 2198 y el tensor izquierdo de deformación de CauchyGreen b como 2 1 V V V V R R V V R R V T T T F F T c b T T T T R R U U R R R U U R C F F b 2199 donde c es el tensor de deformación de Cauchy Los tensores U y V vienen relacionados entre sí por T T R U R V V R U R 2200 ˆn 2 0 B X r d ˆN 2 ˆN 3 1ˆN F V R R R V U X r d xr d F R U Configuración de referencia Configuración Actual X F x r r d d 0 B B B x r d ˆN 2 ˆN 3 1ˆN ˆn 2 ˆn 3 1ˆn ˆn 3 1ˆn Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 222 281 Representación Espectral de los Tensores de Deformación Los autovalores i λ del tensor U representan los estiramientos principales Asociado a cada estiramiento principal i λ tenemos una dirección principal ˆ i N es decir ˆ ˆ ˆ ˆ para ˆ ˆ ˆ ˆ para ˆ ˆ ˆ ˆ para 3 3 3 2 3 1 3 3 2 3 2 2 2 1 2 2 1 3 1 2 1 1 1 1 N N N N N N N N N λ λ λ N N N 2201 Como visto anteriormente la representación espectral del tensor U viene dada por λ 3 1 ˆ ˆ a a a a N N U 2202 λ λ λ λ λ 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a N N N N N N N N N N U 4243 1 C 2203 Definiendo así λ 3 1 2 2 ˆ ˆ a a a a N N U C Representación espectral del tensor derecho de Cauchy Green 2204 Podemos verificar que los tensores U y C son tensores coaxiales entonces se cumple que U3 U U C C Partiendo del principio de que C y b tienen los mismos invariantes principales ver expresión 2119 luego C y b tienen los mismos autovalores y como consecuencia U y V tienen los mismos autovalores La demostración sigue a continuación partiendo de la definición de autovalor y autovector del tensor U ˆ ˆ N N U λa 2205 Teniendo en cuenta que V R U R T ver relación 2200 la expresión anterior queda N V R N R U N n ˆ ˆ ˆ ˆ a T λ 2206 Aplicando el producto escalar entre R y la expresión 2206 obtenemos que n n V R N V n R R n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a T λ λ 2207 Con lo que se comprueba que U y V presentan los mismos autovalores iλ y distintos autovectores Pudiendo así hacer la representación espectral de los tensores V y b como λ 3 1 ˆ ˆ a a a a n n V Representación espectral del tensor izquierdo de estiramiento 2208 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 223 λ 3 1 2 2 ˆ ˆ a a a a n n V b Representación espectral del tensor izquierdo de CauchyGreen 2209 A continuación obtendremos la relación entre el tensor F y los autovalores de U a λ y las direcciones principales Nˆ y nˆ Considerando la ecuación 2206 y teniendo en cuenta que F RT U y n R n N R ˆ ˆ ˆ T obtenemos que n R N R N N R N N U ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a T T a T a λ λ λ F F 2210 Con lo que concluimos que n N ˆ ˆ λa F 2211 Teniendo en cuenta que N n R ˆ ˆ podemos obtener la representación espectral del gradiente de deformación como λ λ 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a a a a a a 43 42 1 N R n n R n n V R F 2212 y de su inversa 1 1 1 V R R V T F λ λ 3 1 3 1 1 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ a a a a T a a a a a T T n n R n n R V R N 4243 1 F 2213 Con lo cual concluimos que λ λ 3 1 1 3 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ a a a a a a a a n N N n F F Representación espectral del gradiente de deformación y de su inversa 2214 A través de la representación espectral del gradiente de deformación F podemos observar que F no está ni en la configuración de referencia ni en la configuración actual Es como si tuviera un pie en la configuración de referencia y el otro en la configuración actual NOTA La representación de F dada por 2214 no es la representación espectral de F en el sentido estricto de la palabra ya que a λ no son los autovalores de F tan poco Nˆ a ó nˆ a son los autovectores de F Aprovechando la descomposición polar por la izquierda F F V 1 R V R para obtener la representación espectral del tensor ortogonal de la descomposición polar λ λ λ λ 3 1 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 a a a a a a a a a a a a a a a N n n n N n n n R 2215 Resultando que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 224 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ i i a a a N n N n R Representación espectral del tensor ortogonal de la descomposición polar 2216 Aprovechamos esta ocasión para hacer la representación espectral de los tensores E y e λ 3 1 2 2 ˆ ˆ 1 2 1 2 1 2 1 a a a a N N 1 U 1 C E Representación espectral del tensor de deformación de Green Lagrange λ 3 1 2 2 1 ˆ ˆ 2 1 1 2 1 2 1 a a a a n n V 1 1 b e Representación espectral del tensor de deformación de Almansi 2217 A continuación vamos establecer conexiones entre las distintas configuraciones 0 B 0 B B y B ver Figura 224 Partiremos de las siguientes expresiones X X X F x r r r r d d d d V V R x X X F x r r r r d d d d R R U 2218 luego x X X x x X F F r 4243 1 r r 43 42 1 r r r d d d d d d T T T R V V R R V 1 2219 Partiendo de las relaciones mostradas en 2117 obtenemos 1 1 1 V V V R R V C C F C F b T T T R R R U R U C C F C F b 1 1 2220 Observemos también que C C C 2 1 2 1 U U U U U U R R R V R V R V V R V R V R b b b F F C T T T T 2 2 1 1 1 U U R U R U b b b F F C 1 1 1 T 2221 Todas las relaciones obtenidas anteriormente se pueden apreciar en la Figura 224 Dejamos al lector hacer el mismo razonamiento con los tensores inversos Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 225 Figura 224 Descomposición polar del tensor F Ejemplo 218 Considérense las componentes cartesianas del gradiente de deformación dadas por 4 2 2 3 6 2 3 3 5 Fij Obtener los tensores derecho U e izquierdo V de estiramiento y el tensor de rotación R de la descomposición polar Solución Antes de obtener los tensores U V R vamos analizar el tensor F R R V U X r d xr d Configuración de referencia Configuración Actual X X r r d d R 0 B B B x r d 0 B T T R V F U U U U U 1 1 1 1 2 b C b C F F C T T F V 1 R T T R R R R C b C C 2 1 2 1 1 V V V V V V b b b C b R R R R 1 1 b b b b T T R R R R 1 1 b C b C T T T T T R R R R R R 1 1 1 1 C b b b b b 2 1 1 1 2 1 U U U U U U C C C C X x r r d d V x x r r d d R X x r r d d U 2 1 2 V V b b X r d C b C b Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 226 Para que tenga sentido físico el determinante de F tiene que ser mayor que cero 0 60 det F Los autovalores y autovectores F vienen dados por 11 10 F asociado al autovector 0 4264014327 0 6396021491 0 6396021491 ˆ 1 mi 22 3 F asociado al autovector 0 3713906764 0 7427813527 0 5570860145 ˆ 2 mi 33 2 F asociado al autovector 0 8164965809 0 4082482905 0 4082482905 ˆ 3 mi Se puede verificar fácilmente que la base constituida por estos autovectores no forma una base ortonormal es decir 0 ˆ ˆ 2 1 mi mi 0 ˆ ˆ 3 1 mi mi 0 ˆ ˆ 3 2 i i m m Verificamos también que si B es la matriz que contiene los autovectores de F 0 8164965809 0 4082482905 0 4082482905 0 3713906764 0 7427813527 5570860145 0 0 4264014327 0 6396021491 6396021491 0 ˆ ˆ ˆ 3 2 1 i i i m m m B podemos hallar que 1 0 905 det B y que BT B 1 Pero se cumple que 2 0 0 0 3 0 0 0 10 4 3 3 2 6 3 2 2 5 4 3 3 2 6 3 2 2 5 2 0 0 0 3 0 0 0 10 1 1 B B B B y F T ij Tensor derecho de deformación de CauchyGreen F F C T tensor definido positivo 34 35 29 35 49 31 29 31 33 kj ki ij F F C Los autovalores y autovectores del tensor C son autovector C 9 274739 11 01894472683 0 7023576528 0 6861511933 ˆ 1 Ni autovector C 3 770098 22 0 8132215099 0 2793856273 0 5105143234 ˆ 2 Ni autovector C 102955163 33 0 550264423 0 65470405 0 518239 ˆ 3 Ni Dichos autovectores constituye una base ortonormal luego se cumple que T C C A A 1 y 1 det AC tensor ortogonal impropio donde 0 550264423 0 65470405 518239 0 0 8132215099 0 2793856273 0 5105143234 01894472683 0 7023576528 6861511933 0 ˆ ˆ ˆ 3 2 1 i i i N N N AC cumpliendo que 33 22 11 33 22 11 0 0 0 0 0 0 34 35 29 35 49 31 29 31 33 34 35 29 35 49 31 29 31 33 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C T ij T C C C C A A A A En el espacio principal de C obtenemos las componentes del tensor derecho de estiramiento U como λ λ λ 101466824 0 0 0 19416741 0 0 0 0454455 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 33 22 11 3 2 1 C C C Uij U y su inversa Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 227 λ λ λ 101466824 1 0 0 0 19416741 1 0 0 0 3 0454455 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 1 1 Uij U Pudiendo así obtener las componentes del tensor U en el espacio original a través de la ley de transformación ij T U 4 46569091 2 80907159 48328843 2 2 80907159 6 00314487 2 25196988 2 48328843 2 25196988 66496626 4 C C A U A y 1 1 0 38221833 012519889 14302659 0 012519889 0 24442627 2 25196988 014302659 0 05134777 31528844 0 ij T U C C A A U Luego el tensor de rotación de la descomposición polar viene dado por la expresión 1 U R F que resulta ser un tensor ortogonal propio 1 det R 0 9924224 011463858 04422505 0 010940847 0 98826538 010658955 0 05592536 010094326 9933191 0 1 kj ik ij F U R Tensor izquierdo de deformación de CauchyGreen b F F T tensor definido positivo 24 28 28 28 49 37 28 37 43 jk ik ij F F b Los autovalores y autovectores del tensor b son autovector b 9 274739 11 0 238183919 0 7465251613 0 6212637156 ˆ 1 in autovector b 3 770098 22 0 8616587383 01327190337 0 4898263742 ˆ 2 in autovector b 102955163 33 0 448121233 0 6519860747 0 611638389 ˆ 3 in Observemos que son los mismos autovalores del tensor C pero con distintos autovectores Los autovectores del tensor b también constituye una base ortonormal luego se cumple que T b b A A 1 y 1 det Ab donde 0 448121233 0 6519860747 0 611638389 0 8616587383 01327190337 4898263742 0 0 238183919 0 7465251613 6212637156 0 ˆ ˆ ˆ 3 2 1 i i i n n n Ab cumpliendo que 33 22 11 33 22 11 0 0 0 0 0 0 24 28 28 28 49 37 28 37 43 24 28 28 28 49 37 28 37 43 0 0 0 0 0 0 b b b b b b b T ij T b b b b A A A A Ya que los tensores C y b tienen los mismos autovalores se cumple que ij ij V U es decir que tienen las mismas componentes en sus respectivos espacios principales Y como consecuencia 1 1 ij ij V U Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 228 Pudiendo así obtener las componentes del tensor V en el espacio original a través de la ley de transformación ij T T V 36519622 220098553 241222612 220098553 604463857 276007379 241222612 276007379 53720129 b b b b A U A A V A y 1 1 1 042079849 008848799 014176921 008848799 023396031 007950684 014176921 007950684 028717424 ij T T V b b b b A A U A A V El tensor de rotación de la descomposición polar ya obtenido anteriormente tiene ser el mismo si utilizamos la expresión F V 1 R También podríamos haber obtenido los tensores U V R a través de su representación espectral Es decir si conocemos los estiramientos principales i λ los autovectores de C ˆ i N y los autovectores de b nˆ i es de fácil demostración que 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j i j i j i ij a a a a ij N N N N N N U λ λ λ λ N N 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j i j i j i ij a a a a ij n n n n n n V λ λ λ λ n n 3 3 2 2 1 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j i j i j i ij a a a ij N n N n n N R N n V R U R R n n N N R R n n N N R N n N n N n N n λ λ λ λ λ λ λ λ 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a F Como podemos verificar la representación espectral de los tensores R y F no viene presentada en el sentido estricto de la palabra es decir autovalor y autovetor del tensor 282 Evolución de la Descomposición Polar Utilizando la descomposición polar por la derecha F R U 2194 la tasa del gradiente de deformación F viene dada por R U R U F 2222 Considerando la ecuación 285 donde R U l l F F e incorporándola en la ecuación anterior podemos expresar el tensor gradiente espacial de velocidad l de la forma Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 229 T T R R U U R U U R R U U R U U R R U R U U R 1 1 1 1 1 3 2 1 l l l 2223 resultando T T R R U U R R 1 l 2224 Podemos notar que para un movimiento de sólido rígido 0 U 1 U λ 1 a con lo cual el gradiente espacial de la velocidad queda R RT l Aprovechamos esta ocasión para definir un nuevo tensor de segundo orden el tensor tasa del tensor de rotación material antisimétrico dado por T T Ω Ω R R Tensor tasa del tensor rotación material 2225 El vector axil asociado al tensor antisimétrico Ω viene denotado por ωr y se conoce como vector velocidad angular Se demuestra que ΩT Ω partiendo de la condición de ortogonalidad 1 R R T y donde se cumple que 0 0 R R R R 1 R R T T T T Dt D Dt D Ω Ω ΩT Ω 2226 También podemos obtener la siguiente relación Ω Ω Ω T T T T T T T T T T T Dt D Dt D Dt D R R R R R R R R R 1 R R R R R R R R R R R R R Ω Ω Ω RT R 2227 Como ya hemos visto el tensor gradiente espacial de velocidad l puede ser descompuesto aditivamente en una parte simétrica y otra antisimétrica 14243 14243 W D 2 1 2 1 T T l l l l l 2228 Teniendo en cuenta 2224 el tensor tasa de deformación D queda T T T T T T T T T T T T T R U R U R R R R U U R R R R U U R R R R U U R R D 1 1 1 2 1 2 1 2 1 l l 2229 y considerando que T T T R R R R y que el tensor U UT es simétrico obtenemos que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 230 U RT U U U R D 1 1 2 1 2230 Siguiendo el mismo razonamiento obtenemos el tensor spin en función de R y U y de sus tasas T T T U R U U U R R R W 1 1 2 1 2 1 l l 2231 Para hacer la representación gráfica de la descomposición polar a lo largo del movimiento del medio continuo consideremos un medio continuo en movimiento tal y como podemos apreciar en la Figura 225 Y recordemos que para cada configuración del medio continuo la descomposición es única Figura 225 Evolución en el tiempo de la descomposición polar por la derecha Como podemos verificar en la Figura 225 hemos representado la evolución del tensor U a través del tensor U l que está en la configuración intermedia B 1 U U U U U U l l 2232 F F 1 F 2 F F l R U R 1 R2 R R R R Ω l U 1 U2 U U l U 1 U U U l RT R R l RT R U U l l l D W B B 1 B 2 0 B B 1 B2 B t t t t t t t 0 t 0 t 0 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 231 Y su representación en la configuración actual U l viene obtenida a través de la transformación ortogonal debido a RT R U U l l ver Figura 225 De igual manera hemos representado la evolución del tensor R a través del tensor R l que está en la configuración actual Ω R RT R R R R R R R l l l 1 2233 Observemos que el tensor R l resulta ser el tensor antisimétrico Ω definido en 2225 Pudiendo así concluir que T T R R U U R R U U R 3 2 1 l l l l 1 2234 Igual que la expresión 2224 La parte simétrica del tensor l también podemos obtener como T T T T T T T sym sym sym sym U R U U U R R R U U R U U R R R R R D U U U R U 0 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 l l l l l l 2235 Igual que la expresión 2230 Análogamente podemos obtener la parte antisimétrica del tensor l como T T T T T T T T T T anti anti anti anti R R U R U U U R R R R R U U R U U R R R R R R R W U U R U R U 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 l l l l l l l 2236 Que también coincide con la expresión 2231 Ahora bien si tomamos la descomposición polar por la izquierda F V R la tasa del tensor F queda V R V R F 2237 Utilizando V R l l F F la relación anterior se reescribe de la forma V R V R V R l 2238 Haciendo el producto escalar entre R T V1 y la ecuación anterior obtenemos que 1 1 V V R R V V T l 2239 Consecuentemente podemos obtener el tensor velocidad de deformación Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 232 V V V V V V V V V R R V V V R R V V V V V R R V V V V V R R V V D Ω Ω 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 T T T T l T l 2240 y el tensor spin V V V V V V V V V R R V V V R R V V V V V R R V V V V V R R V V W Ω Ω 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 T T T T l T l 2241 La representación gráfica de la evolución en el tiempo de la descomposición polar por la izquierda se puede apreciar en la Figura 226 donde hemos representado la evolución del tensor R a través del tensor Ω RT R R l que se encuentra en la configuración intermedia 0 B Y su representación en la configuración actual viene dada por 1 1 1 V V V V R R V V R R Ω T l l 2242 La evolución del tensor V hemos representado a través del tensor l V que se encuentra en la configuración actual y viene dado por 1 V V V l 2243 Pudiendo así representar el tensor l como 1 1 1 1 V V R R V V V V V V R R V T l l l l 2244 Que coincide con la expresión 2239 La parte simétrica del tensor l puede ser obtenida como V V V V V V V V D R V T sym sym sym Ω Ω 1 1 1 1 2 1 2 1 l l l 2245 Y la parte antisimétrica del tensor l queda V V V V V V V V W R V T anti anti anti Ω Ω 1 1 1 1 2 1 2 1 l l l 2246 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 233 Figura 226 Evolución en el tiempo de la descomposición polar por la izquierda 283 Tasas de los Tensores de Deformación en Función de los Estiramientos Consideremos un movimiento del continuo y sus tasas correspondientes con la descomposición polar del gradiente de deformación como se muestra en la Figura 227 Introducimos una configuración 0 B que viene caracterizada por presentar los estiramientos de la configuración B pero la base de las direcciones principales sufre una transformación ortogonal 0 R tal que las direcciones 0 ˆN son fijas e iguales a las direcciones de la configuración de referencia 0 B ver Figura 227 De hecho la base 0 ˆN es un sistema que está fijo en 0 B Hemos separado estas configuraciones ie 0 B y 0 B para un mejor entendimiento del proceso F F 1 F 2 F F l R V R 1 R2 R R R R Ω l V 1 V2 V V l V RT R R l 1 V V V l 1 V V R R l l l D W 0 B B0 1 B0 2 0 B B 1 B2 B t t t t t t t 0 t 0 t 0 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 234 Figura 227 Descomposición polar y sus tasas Fijemos que se cumplen las relaciones vistas anteriormente x x X F x r r r r d Dt d D d d tasa l F F l 2247 Luego por analogía se cumplen que ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 0 0 N N N N N w R R l tasa 0 0 0 R R w 2248 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 n n n N n w R R l tasa R R w 2249 donde hemos hecho una cambio de nomenclatura 0 0 w lR lR w Se puede demostrar partiendo de la relación R0 R R ver Figura 227 Luego se cumple que 0 0 0 0 0 R R R R w l 0 ˆN 0 ˆN Nˆ nˆ U R 0 R R0 R R R V F 0 B 0 B B 0 B F F l R R l R V V l V R R R R Ω l U U l U Con w w T T T R R R R R R l l l l l l 0 0 0 0 1 1 Ω R R U U R R U F F R R R R w l B U T 0 0 R R U U Nˆ 0 w w Ω Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 235 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R R R R R R R R R R R w w w w w w R R R R R R R R R R Ω Ω Ω 2250 donde hemos tenido en cuenta las siguientes relaciones R R Ω 0 0 0 R R w R R w Según expresión 2250 concluimos que RT R R R R 0 0 w w w w Ω Ω 2251 Partiendo de 2251 y teniendo en cuenta que R RT Ω podemos obtener la siguiente expresión para R 0 w w R R R R R T w0 w R R R 2252 La derivada material de R N n ˆ ˆ puede ser representada por n N R N R R N R N R R N R N n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 w w w w Ω Ω n n R R n R R R N R N R R N R N n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 0 w w w w T T Ω Ω Ω 2253 Partiendo ahora de la relación 0 0 ˆ ˆ N N R la derivada material de Nˆ queda N N N N N N N 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 w w R R R R r Dt D 2254 Teniendo en cuenta la representación espectral del tensor identidad de segundo 3 1 ˆ ˆ a a a N N 1 y la relación 2248 N N ˆ ˆ w0 concluimos que 0 3 1 3 1 0 3 1 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ w w w w a a a a a a a a a N N N N N N 1 2255 Análogamente w w w w 3 1 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a a a a a a n n n n n n 1 2256 Los tensores antisimétricos 0 w w pueden ser representados a través del símbolo de sumatorio ver Ejemplo 136 como 3 1 0 0 ˆ ˆ a b b a b a ab N N w w 3 1 ˆ ˆ a b b a b a ab n w n w 2257 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 236 Luego la expresión 2252 aun puede ser representada como 3 1 0 3 1 0 3 1 3 1 0 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a b b a b a ab ab a b b a b a ab a b b a b a ab a b b a b a ab a b b a b a ab N n N n N n N N R R n n R w w w w w w 2258 Con eso podemos representar R RT Ω como 3 1 0 3 1 0 ˆ ˆ ˆ ˆ a b b a b a ab ab T a b b a b a ab ab T n n R N n R R w w w w Ω 2259 Partiendo de la representación espectral del tensor derecho de estiramiento U podemos aun representarlo como T T a a a a a T a a a a a a a a a a a 0 0 0 3 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ R R R R R R R R λ λ λ λ U N N N N N N N N U 2260 donde hemos introducido el tensor U en la configuración 0 B ver Figura 227 dado por λ λ 3 1 0 0 3 1 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a tasa a a a a N N U N N U 2261 Con lo cual podemos obtener la tasa del tensor T 0 0 R R U U como λ λ λ 3 1 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a a T a a a T a a a a T T T T T T T T T T N N U U N N U U N N U U U U U U U U U U U U w w w w w w w w w w R R R R R R R R R R R R R R R R R R 2262 En el Ejemplo 136 hemos demostrado que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 237 λ λ λ λ 3 1 2 2 0 0 2 2 0 3 1 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ a b b a b a a b ab a b b a b a a b ab N N U U N N U U w w w w w w 2263 Luego la expresión 2262 puede ser rescrita como λ λ λ 3 1 0 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ a b b a b a a b ab a a a a N N N N U w 2264 El tensor izquierdo de estiramiento V R U RT también puede ser representado por T T T T R R R R U R U R R U R V 0 0 2265 y su tasa viene dada por λ λ 3 1 3 1 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a T T a a a a T T T T T T T T T n n V V U N N V V U V U U U U U U V w w w w w w w w R R R R R R R R R R R R R R R R 2266 ó λ λ λ 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ a b b a b a a b ab a a a a n n n n V w 2267 El tensor derecho de deformación de CauchyGreen también puede ser representado por T T T T 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 2 R R R R R R R R U U U U U C 2268 y su tasa por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 238 λ λ λ λ 3 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 2 2 2 a a a a a T a a a a a T T T T T T T T T T N N N N U U U U U U U U U U w w w w w w w w C C C C C C C R R R R R R R R R R R R R R R R 2269 ó λ λ λ λ 3 1 2 2 0 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 a b b a b a a b ab a a a a a N N N N w C 2270 Análogamente definimos el tensor izquierdo de deformación de CauchyGreen como T T T T R R R R R R R R 2 2 2 U U U U V b y su tasa viene dada por λ λ 3 1 ˆ ˆ 2 a a a a a n n w w b b b 2271 Observemos que w w w w b b 2 2 V V luego λ λ λ λ 3 1 2 2 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 a b b a b a a b ab a a a a a n n n n w b 2272 La tasa del gradiente de deformación λ 3 1 ˆ ˆ a a a a N n F viene dada por λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 3 1 0 3 1 0 3 1 0 3 1 3 1 3 1 0 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a a T a a a a T a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a w w w w w w w w F F F F F N n N n N n N n N n N n N n N n N n N n N n 2273 Utilizando el mismo razonamiento realizado en el Ejemplo 136 podemos decir que λ λ 3 1 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a b b a b a b ab b b b b a b b a b a ab N n N n n n w w w F 2274 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 239 λ λ 3 1 0 3 1 0 3 1 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a b b a b a b ab a b b a b a ab a a a a N n N N N n w w F w 2275 Luego la expresión 2273 puede ser rescrita como λ λ λ 3 1 3 1 0 ˆ ˆ ˆ ˆ a a b b a b a ab a ab b a a a N n N n w w F 2276 El gradiente espacial de la velocidad 1 F F l también puede ser rescrito como λ λ λ λ λ 3 1 3 1 0 3 1 3 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ b b b b a b b a b a ab a ab b a a a a a a a a n N N n n N N n w w l 2277 el cual resulta λ λ λ λ 3 1 0 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ a b b a b a ab b a ab a a a a a n n n n w w l 2278 Teniendo en cuenta que 1 1 2 1 C F F E F F T T D ver ecuación 2144 y utilizando la expresión de C dado por 2270 podemos decir que λ λ λ λ λ λ λ λ 3 1 3 1 2 2 0 3 1 3 1 3 1 3 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ 2 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 1 ˆ 2 1 b b b b a b b a b a a b ab a a a a a a a a a a a a a a a a a n N N N N n n N N N N n D w 2279 el cual resulta λ λ λ λ λ λ 3 1 2 2 0 3 1 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ a b b a b a b a a b ab a a a a a n n n n D w 2280 Teniendo en cuenta que D W l y las expresiones 2278 y 2280 podemos obtener que λ λ λ λ 3 1 2 2 0 ˆ ˆ 2 a b b a b a b a a b ab ab n n W w w 2281 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 240 Ejemplo 219 Un movimiento de cuerpo rígido está caracterizado por presentar la siguiente ecuación de movimiento X x r r r t t Q c 2282 Encontrar la velocidad y la aceleración en función de ωr que es el vector axil asociado con el tensor antisimétrico QQT Ω Solución X x x v r r r r r Q c Dt D Considerando que Q Q Q Q Ω Ω T la relación anterior puede aún ser escrita como c c Q c r r r r r r r x v X v Ω Ω Utilizando la propiedad que para un tensor antisimétrico Ω el producto escalar de éste con un vector ar podrá ser representado por a a r r r ω Ω donde ωr velocidad angular es el vector axil asociado al tensor antisimétrico Ω ver ecuación 292 Luego c c c c r r r r r r r r x x v ω Ω 2283 Notar que Qt es función únicamente del tiempo luego el vector axil velocidad angular asociada al tensor Ω también es solo dependiente del tiempo ie ωt ω r r La aceleración vendrá dada por X x v a r r r r r Q c Considerando que Q Q Q Ω Ω la expresión anterior puede ser representada por c c c Q Q c Q Q c Q Q c r r r r r r r r r r r r r r x x X X X X X a Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Una vez más utilizando la propiedad 292 podemos decir que c c c r r r r r r r r r x x a ω ω ω 2284 donde r ωr α es la aceleración angular Para un movimiento de sólido rígido con 0 c r r la velocidad queda x v r r r ω cuyas componentes son q p ipq i x v ω y el tensor tasa de deformación D resulta ij p ipj p ipj p jpi p ipj qi p jpq qj p ipq i q p jpq j q p ipq i q p jpq j q p ipq i j j i ij x x x x x x x x x v x v 0 D ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 δ δ Luego una vez más hemos demostrado que D 0 caracteriza un movimiento de sólido rígido Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 241 29 Deformación de Área y de Volumen 291 Deformación del Diferencial de Área Consideremos dos vectores X 1 r d y X 2 r d en la configuración de referencia y el diferencial de área A r d definido por ellos tal como se indica en la Figura 228 Tras el movimiento estos vectores serán identificados por dxr 1 y dxr2 definiendo así un nuevo diferencial de área ar d ver Figura 228 Figura 228 Deformación del diferencial de área El diferencial de área puede calcularse utilizando la definición utilizada en el capítulo 1 N A N X X A X ˆ ˆ 2 1 dA d d d PR PQ d r r r r r 2285 donde dA d A r es el módulo de A r d y Nˆ es el versor normal al diferencial de área En notación indicial el producto vectorial puede representarse a través del operador de permutación de la forma 2 1 k j ijk i dX dX dA 2286 El diferencial de área en la configuración deformada viene dado por n a n x x a ˆ ˆ 2 1 da d d d P R P Q d r r r r 2287 donde da d ar es el módulo del vector ar d y nˆ es el versor según dirección ar d En notación indicial el diferencial de área en la configuración deformada viene dado por A F a r r d J d T X1 x1 X 2 x2 X 3 x3 3 ˆ 3 ˆ I e 2 ˆ 2 ˆ I e 1 ˆ1 ˆ e I O Configuración de Referencia t 0 Configuración Actual t ar d P Q X 2 d r X 1 d r R A r d Nˆ A r d d xr 2 P Q d 1xr R nˆ ar d X A r r d t d x a r r Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 242 2 1 k j ijk i dx dx da 2288 Partiendo de la ecuación 2288 podemos obtener que A F A F F X X F X F X F x x x a r r r r r r r r r r d J d d d d d d d t d T T 2 1 2 1 2 1 cof 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 q p ti kq jp rt rjk q p kq jp ti rt rjk q p kq jp ri rjk q kq p jp ijk k j ijk i dX dX F F F F dX F F dX F F dX F dX F F dX dX F dx dx a d δ 2289 En la demostración anterior utilizando notación tensorial hemos aplicado la definición de cofactor de un tensor es decir dado un tensor T y dos vectores ar b r existe un único tensor cofT tal que T b T a b a T r r r r cof y aplicamos también la definición de la inversa de un tensor T 1 1 T T T cof ver capítulo de Tensores Considerando la relación tpq kq jp rjk rt F F F F cuya demostración se hizo en el capítulo 1 la expresión en notación indicial de 2289 queda t ti q p tpq ti q p ti kq jp rt rjk i dA J F dX dX F dX dX F F F F da 1 2 1 1 2 1 1 F 2290 La relación anterior es conocida como relación de Nanson y viene dada en notación tensorial A F A F a r r r d J J d d T 1 Relación de Nanson 2291 La relación de Nanson también puede escribirse en función de los versores Nˆ y nˆ 1 ˆ ˆ ˆ F N N F n a dA J dA J da d T r 2292 La relación inversa viene dada por a F a F N A r r r d J J d dA d T 1 1 ˆ 2293 El módulo de ar d puede obtenerse como 1 ˆ N F a J dA dr 2294 Utilizando las ecuaciones 2291 y 2293 podemos obtener da y dA como B N N A F F A A A F F a a B C ˆ ˆ 2 2 1 1 2 2 2 dA J d d J d d J d d da T T T r 4243 1 r r r r r b n n a F F a a F F a A A b ˆ ˆ 1 1 1 2 2 2 2 2 da J d d J d d J d d dA T r 123 r r r r r 2295 Luego N B N ˆ ˆ J dA da n b n ˆ ˆ 1 J da dA 2296 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 243 Con lo cual nos permite obtener las siguientes relaciones ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 2 2 2 n b n N B N J J dA da 2297 Teniendo en cuenta la expresión 2292 podemos obtener la expresión del versor nˆ como B N N N F B N N F N A F A F n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 dA J dA J dA J J dA da d J da d J T T r r 2298 o aún B N N N F B N N N F n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 T 2299 La derivada material de nˆ viene dada por N F F N B N N F N B N N F N B N N B N N F N B N N N F n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1 1 T Dt D D l 2300 Resultando que n n n n n n n n n n n n n n n n n n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 T Dt D l l l l l l l 1 W D 4243 1 2301 2911 Derivada Material del Diferencial de Área Consideremos los diferenciales de área en las configuraciones de referencia y actual respectivamente A F a n a x A N X A r r r r r r r d J d t d d d T ˆ ˆ 2302 La derivada material del diferencial de área ar d viene dada por 4243 1 r 4243 1 r r 23 1 r r r r r r r r r a a A F A F v A F A F A F A F a x d d d J d J Dt d D J d Dt J D d Dt DJ d Dt J D Dt d D T T T T T T T l 0 2303 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 244 Así a a a a a v a x r r r r r r r r d d d d d Dt d D T T T l l l 1 D D Tr Tr 2304 292 Deformación del Diferencial de Volumen Consideremos ahora un paralelepípedo formado por los vectores X 1 r d X 2 r d y X 3 r d en la configuración de referencia que definen un volumen 0 dV Tras el movimiento estos vectores serán representados por dxr 1 dxr2 y dxr3 respectivamente definiendo así un nuevo volumen dV ver Figura 229 A continuación estableceremos la relación entre 0 X r dV y dV xr t Figura 229 Deformación del diferencial de volumen El volumen del paralelepípedo en la configuración de referencia viene dado por el triple producto escalar de los tres vectores 3 2 1 X X X r r r d d d 3 2 1 3 2 1 0 k j i ijk dX dX dX d d d dV X X X r r r 2305 Análogamente podemos hallar el diferencial de volumen en la configuración deformada 3 2 1 3 2 1 k j i ijk dx dx dx d d d dV x x x r r r 2306 Para obtener la relación entre 0 dV y dV partimos de la ecuación anterior dV J dV0 d 1x S P Configuración de Referencia t 0 Q dX 2 dX 1 R X1 x1 X 2 x2 X 3 x3 3 ˆ 3 ˆ I e 2 ˆ 2 ˆ I e 1 ˆ1 ˆ e I O A r d Nˆ dV0 Configuración Actual t P Q R ar d nˆ V d d x 2 S 0 X r dV t dV xr dX 3 d x 3 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 245 444 3 444 2 1 4 4 4 3 4 2 1 r r r 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 dV D C B BCD D C B kD jC iB ijk D kD C jC B iB ijk k j i ijk dX dX dX dX dX dX F F F dX F dX F dX F dx dx dx d d d dV BCD F x x x F 0 3 2 1 3 1 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 JdV d d d J d d d J d d d J d d d d d d d d d dV T X X X X F F X X X F X X F X F X X F X F X F X F x x x r r r r r r r r r r r r r r r r r r cof 2307 Resultando así 0 0 J dV dV dV F Deformación del diferencial de volumen 2308 Sean 0 X r ρ y ρ xr t las densidades de masa en la configuración de referencia y en la configuración actual respectivamente Los diferenciales de masa en la configuración de referencia 0 dm y actual dm vienen relacionados con las densidades de masa por 0 0 0 dV dm ρ dV dm ρ 2309 Partiendo del principio de la conservación de la masa hallamos que J dV dV dV dV dm dm F 0 0 0 0 0 ρ ρ ρ ρ 2310 t J ρ ρ 0 x X r r 2311 Ejemplo 220 Obtener una expresión de la densidad de masa en función del tercer invariante del tensor de deformación de Green III C 0 0 ρ ρ Solución Partiendo de la ecuación 2311 ie tJ 0 x X r r ρ ρ y considerando que el tercer invariante viene dado por 2 J III C C det ver ecuación 2119 obtenemos que III C J luego III C 0 ρ ρ 2312 OBS Si F J 1 el volumen se preserva durante el movimiento si J 1 tendremos una expansión si 1 0 J tenemos una disminución del volumen si 0 0 dV J tendremos una penetrabilidad esta última sin sentido físico ya que viola el axioma de la impenetrabilidad Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 246 2921 Derivada Material del Diferencial de Volumen Para obtener la derivada material tasa del diferencial de volumen partimos de la relación 2308 0 0 0 0 4243 1 Dt dV J D Dt J D dV Dt J dV D Dt dV D 2313 Además teniendo en cuenta las relaciones de la tasa del determinante del Jacobiano ver expresión 2106 concluimos que dV dV dV J Dt dV DJ Dt dV D 0 0 Tr D v v x xr r r r 2314 2922 Deformación Volumétrica El cambio de volumen por unidad de volumen original denominamos de Deformación Volumétrica y viene dado por 0 0 0 0 dV dV dV dV dV t dV t DV X X x X r r r r 2315 Considerando 0 0 J dV dV dV F la ecuación anterior resulta 1 0 0 0 0 0 J dV dV J dV dV dV dV t DV X r Deformación volumétrica 2316 2923 Deformación Isocórica Incompresibilidad Si durante el movimiento el volumen de una partícula se mantiene constante eso implica que el determinante del Jacobiano es unitario y a través de la relación 2311 concluimos que 0 0 1 dV dV dV dV J F 2317 Luego si el volumen de todas las partículas del continuo no cambia durante el movimiento el campo J xr t es unitario En esta circunstancia decimos que el movimiento es isocórico deformación isocórica y se cumple que 0 1 Deformación Isocórica 0 t J t J x X x X r r r r ρ ρ ρ ρ 2318 Un medio continuo caracterizado por un movimiento isocórico se dice que es incompresible Un medio incompresible también viene caracterizado por la siguiente expresión 0 0 0 0 0 0 0 t dV J Dt dV DJ Dt JdV D Dt dV D x v v x x r r r r r 2319 Empleando la ecuación 2106 la condición de incompresibilidad puede ser representada por una de las siguientes relaciones Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 247 0 Tr D Tr Tr l v v x x r r r r kv k 2320 NOTA Es interesante enfatizar que la incompresibilidad es una aproximación Es decir todo medio continuo es compresible pero dependiendo del material la compresibilidad puede ser despreciada eg los líquidos en general 210 Dominios Materiales y Dominios de Controles 2101 Dominios Materiales Línea Material La línea material es la línea móvil que está formada siempre por las mismas partículas Superficie Material Definimos superficie material como una superficie móvil que está constituida siempre por las mismas partículas La superficie material en la configuración de referencia y actual viene representada respectivamente por c t t C Φ Φ X x x X r r r r φ 2321 Figura 230 Superficie material Aplicando la regla de la cadena a la expresión 2321 obtenemos que 1 Φ Φ ki k i k k i F X t x X X t t x t X x X x r r r φ r 2322 o aún en notación tensorial X F x X x r r r r Φ T t φ 2323 La normal a la superficie C Φ X r viene definida como ˆ X X N X X r r r r Φ Φ 2324 y la derivada según la dirección Nˆ viene dada por 1x 2x 3x Nˆ nˆ Configuración de referencia Configuración actual 0 S S Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 248 ˆ X N X r r Φ d dC 2325 Análogamente podemos decir que ˆ t t x x n x x r r r r φ φ 2326 Volumen Material Un volumen material es el volumen móvil que está formado siempre por las mismas partículas ver Figura 231 2102 Dominios de Controles Superficie de Control La superficie de control es una superficie espacial fija Volumen de Control El volumen de control es el volumen espacial fijo Luego dicho volumen está delimitado por una superficie de control ver Figura 231 Figura 231 Volumen material vs volumen y superficie de control P x P x Volumen de control Volumen material P X X t 0 1t 2t x x Volumen material 0v v xr t1 v xr t2 Volumen material Superficie de control Volumen de control Volumen de control Superficie de control Superficie de control Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 249 211 Ecuaciones de Transporte A continuación vamos establecer como una propiedad a lo largo de una curva material área material y volumen material evoluciona con el tiempo Una curva material está constituida siempre por las mismas partículas y si hay una propiedad φ xr t asignada a cada partícula perteneciente a una curva y φ xr t es un campo continuo y diferenciable podemos decir que C C C C C x x x x x x x r r r r r r r d d d Dt d D d d Dt D d Dt D l l φ φ φ φ φ φ φ φ 1 2327 Análogamente para una superficie material S T S T S S d d d d Dt d D d d Dt D d Dt D a a a a a a a a r r r r r r r r l l φ φ φ φ φ φ φ φ φ D 1 1 D Tr Tr C 2328 Análogamente para un volumen material V V V V V dV t t Dt D dV t t Dt D dV Dt dV D t t Dt dV D dV Dt D t dV Dt D v x x v x x x x x x x r r r r r r r r r r r φ φ φ φ φ φ φ φ 2329 Las ecuaciones anteriores son conocidas como ecuaciones de transporte y dadas por a Curva material C C x x r r d d Dt D φl φ φ 1 b Área material S T S d d Dt D a a r r φl φ φ φ D 1 1 Tr Ecuaciones de Transporte c Volumen material V V dV t t Dt D t dV Dt D v x x x x r r r r r φ φ φ 2330 Podemos aplicar la definición de derivada material a la ecuación 2330c resultando que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 250 V V V V V V V dV dV t t dV t t dV t t dV t t t t t dV t t Dt D t dV Dt D v x v x v x x x v x v x x x x v x x x x x x x r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ 2331 Podemos aplicar el teorema de la divergencia a la segunda integral del lado derecho de la igualdad y obtener que 4 4 4 8 64 7 r 43 42 1 r r de la superifice S de a través flujo flujo de local ˆ φ φ φ φ φ S V V dS dV t t t dV Dt D n v x x 2332 Como podemos verificar la integral de volumen de la derecha de la igualdad es un volumen de control y la integral de superficie es una superficie de control El término vr φ como veremos en el capítulo 5 representa el flujo de la propiedad φ En el capítulo 5 la ecuación 2332 cuando la propiedad es la densidad de masa es conocida como ecuación de continuidad de masa Figura 232 Volumen y superficie de control 212 Circulación y Vorticidad Consideremos un circuito Γ curva cerrada donde la integral de línea de la velocidad sobre el circuito Γ en la configuración actual viene dada por Γ Γ x v x r r r t d C Circulación alrededor de Γ 2333 La integral 2333 viene denominada de circulación alrededor de Γ Chadwick 1976 Utilizando el Teorema de Stokes ver capítulo 1 nˆ vr φ t t φxr xr V S nn v ˆ ˆ r r φ qn superficie de control volumen de control Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 251 Ω Ω Γ Ω Ω Γ d d d t n n v x x v x ˆ ˆ ωr r r r r r C 2334 donde ωr es el vector vorticidad definido en 291 La interpretación física de 2334 viene a continuación Consideremos una región Ω constituida por moléculas que están sometidas a un movimiento circulatorio ver Figura 233 La expresión 2334 nos garantiza que la contribución de la vorticidad de todas las moléculas en la región Ω es igual a la circulación total del contorno que delimita la región Ω Verificamos también que si la circulación alrededor de cualquier curva cerrada es igual a cero tenemos que 0 r r r x v caracterizando así un flujo irrotacional Figura 233 Vorticidad y circulación La tasa de la circulación alrededor de Γ nos indica como evoluciona la curva material A través de las expresiones 2330b y 2334 y teniendo en cuenta los siguientes cambios de variables φ rω xr t Ω r r d d a obtenemos que Ω Ω Γ Ω Ω r r r r r r r d d t Dt D Dt D l T ω D ω ω ω Tr x C 2335 El movimiento preserva la circulación si y solo si 0 ω D ω ω r r r r l T Tr donde también se cumple que ωr 1x 3x 2x Ω Γ nˆ Ω r d x t v r r nˆ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 252 0 ω 0 ω ω ω 0 ω ω ω 0 ω ω ω 0 ω ω ω ω D ω ω r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 F F F F F F F F F F F Dt J D J J J J J J J J J J T l l l Tr Tr 2336 donde hemos utilizado las siguientes relaciones Tr D Tr J J J l 1 F F l Con eso podemos concluir que la vorticidad de una partícula para un movimiento que preserva la circulación viene dada por 0 1 0 1 ω ω ω ω r r r r F F J J Ecuación de vorticidad de Cauchy 2337 que es conocida como ecuación de vorticidad de Cauchy que relaciona la vorticidad entre las configuraciones de referencia y actual para un movimiento que preserva la circulación Chadwick 1976 213 Descomposición del Movimiento en una Parte Isocórica y otra Volumétrica A veces a la hora de establecer ciertas ecuaciones constitutivas puede resultar conveniente a la hora de la implementación numérica separar la parte volumétrica de la parte isocórica Aplicamos entonces la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación según vol vol iso F F F F F 2338 donde F es una transformación donde se preserva el volumen caracterizando una transformación isocórica F Fiso y F vol describe un movimiento puramente volumétrico asociado sólo con el cambio de volumen ver Figura 234 donde 3 1 1 3 1 J J vol F F F 2339 Según SimoHughes 1998 esta descomposición fue originalmente introducida por Flory en 1961 Considerando el tensor derecho de deformación de CauchyGreen definido en 2111 F F C T La parte isocórica de C se representará por C y la parte volumétrica por C vol y vienen dadas por C F F F F F F C C 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 J J J J J T T T 3 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 J J J J J T T vol volT vol 3 2 1 F F C 2340 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 253 Figura 234 Descomposición multiplicativa del gradiente de deformación parte isocórica y volumétrica Análogamente obtenemos la parte isocórica del tensor izquierdo de deformación de CauchyGreen b F F T b b b b 3 2 3 2 J 1 J 2341 donde podemos identificar claramente que 3 2 1 bvol J es la parte volumétrica de b A continuación vamos analizar la tasa de C C 3 2 J C C C 3 2 3 5 3 2 J J J 2342 Las siguientes tasas fueron obtenidas en apartados anteriores J J Tr D ver Ejemplo 215 F F C T D 2 Con lo cual la expresión 2342 queda F F F F F F F F F F C C C C F F dev T T T T T J J J J J J J J T D D 1 D D 1 D D D 2 1 3 2 1 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5 3 2 3 5 Tr Tr Tr 2343 donde se cumple que dev dev esf D D 1 D D D 3 1 Tr Además se cumple que 0 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 3 2 1 dev dev qq pq dev kp kq jq pj dev kp iq ki jq iq pj dev kp ki T dev T J J J F F F F J F F F F J J D D Tr D D D D δ δ F F F F C C 2344 B X r xr X r F vol F F F vol F configuración de referencia configuración actual 0 B B dilatación pura F F 3 1 J Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 254 2131 Invariantes Principales Los invariantes principales del tensor F son F F F F F I J J J I 3 1 3 1 3 1 Tr Tr Tr 2345 F F F F F F F F II J I J J I J I II 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 1 2 1 2 1 Tr Tr Tr 2346 1 1 3 3 1 3 1 J J J J III F F F F det det det 2347 Los invariantes principales del tensor F vol son 3 1 3 1 3J J I vol vol 1 Tr Tr F F 2348 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 9 1 2 1 J J J I II vol vol vol F F F Tr 2349 J J III vol vol 3 1 1 det det F F 2350 Teniendo en cuenta que el determinante del Jacobiano puede ser expresado como III C J los invariantes principales del tensor C son 3 3 2 3 2 C C C C C C III I I J J I Tr Tr 2351 3 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 2 2 1 2 1 C C C C C C C C III II II J J I J I II Tr Tr 2352 1 2 2 3 3 2 3 2 J J J J III C C C C det det det 2353 Análogamente obtenemos que 1 3 2 3 b b b b b b b III III II II III I I 2354 Además teniendo en cuenta que C b I I C b II II C b III III ver expresión 2119 concluimos que C b C b C b III III II II I I 2355 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 255 214 Deformación Infinitesimal Antes de introducir la deformación infinitesimal vamos hacer una analogía Dadas dos funciones c bx ax y C 2 cuadrática y c bx y L lineal podemos hacer el siguiente interrogante cuando estas dos funciones son aproximadamente iguales Consideremos los siguientes valores numéricos para las constantes a 2 b 1 c 0 y verificamos que para valores muy pequeños de x las funciones son muy próximas L C y y x 1 Por ejemplo para x 0 0001 tenemos que 0 0001 0 00010002 L C y y Es decir si x es muy pequeño comparado con la unidad los términos de orden cuadráticos o de orden superior se pueden despreciar Figura 235 Funciones cuadráticas y lineales Podemos extender este razonamiento para tensores por ejemplo consideremos el tensor de deformación material 2 1 J J J J T T E y si el gradiente de los desplazamientos J es mucho menor que la unidad es decir J ij 1 los términos de orden cuadráticos J J T serán todavía más pequeños y podemos despreciarlos Hay muchos casos prácticos en la ingeniería en los que el gradiente de desplazamientos es mucho menor que la unidad 1 j i ij X u J 2356 Esto es debido a que el medio continuo estructura está constituido por un material muy rígido y las cargas fuerzas que están sometidas estas estructuras producen pequeños desplazamientos En esta situación decimos que estamos en régimen de pequeñas deformaciones o en régimen de deformación infinitesimal Este tipo de aproximación es la base para el desarrollo de la Teoría de la Elasticidad Lineal que será tratado con más detalles en el capítulo 7 Como visto anteriormente si el gradiente ya es pequeño los términos de orden superior serán aún más pequeños El tensor de deformación material de GreenLagrange se denomina tensor de deformación lagrangiano lineal L ij E y puede expresarse de la forma i j j i L ij de régimen deformaciones pequeñas j k i k i j j i ij X X E X X X X E u u u u u u 2 1 2 1 2357 o en forma compacta x y L x x x yC 2 2 y x 1 L C y y x 1 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 256 2 1 2 1 t sym X T T X X L X E r r r r r r r u u u J J 2358 Considerando ahora el tensor de deformación de Almansi en función de los desplazamientos ver ecuación 2137 definimos el tensor de deformación de Almansi lineal euleriano L ije i j j i L ij de régimen deformaciones pequeñas j k i k i j j i ij x x e x x x x e u u u u u u 2 1 2 1 2359 o en forma compacta 2 1 2 1 t sym x T T x x L x e r r r r r r r u u u j j 2360 Podemos verificar que la derivada material del tensor de deformación euleriano lineal L e es igual al tensor tasa de deformación ij j i i j j i i j i j j i i j j i L ij x v v x t x t x x t x t x x t e D u u u u u u 2 1 2 1 2 1 2 1 2361 Si tanto los gradientes de desplazamientos como los desplazamientos son pequeños se produce una diferencia muy pequeña entre las coordenadas espaciales y materiales y se cumple que x X r r Por tanto los tensores de deformación infinitesimales Lagrangiana y Euleriana se pueden considerar iguales ie u ε r r r r r r sym T L L t t t J 2 J 1 x X x e x X E 2362 Definiendo así el tensor de deformación infinitesimal adimensional de la forma j i ij sym t e e u ε ˆ ˆ ε r r x Tensor de deformación infinitesimal m m 2363 cuyas componentes vendrán dadas por ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε 3 3 2 3 3 2 1 3 3 1 2 3 3 2 2 2 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 1 33 23 13 23 22 12 13 12 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x ij i j j i ij u u u u u u u u u u u u u u u u u 2364 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 257 2141 Tensores de Deformación y Spin Infinitesimales Considerando el régimen de pequeñas deformaciones el tensor gradiente de los desplazamientos ur puede descomponerse en una parte simétrica y otra antisimétrica ω ε u u u u u u u r r r r r r r anti sym T T 2 1 2 1 2365 donde la parte simétrica es el tensor de deformación infinitesimal y la parte antisimétrica es conocida como tensor spin infinitesimal Para un movimiento de cuerpo rígido se debe cumplir que el tensor de deformación es cero ie ε 0 y para un movimiento puramente de deformación se cumple que ω 0 El tensor ε no es una medida exacta de deformación ya que éste se ve afectado por un movimiento de cuerpo rígido Para ilustrar este hecho consideremos que un cuerpo en dos dimensiones sufre una rotación según indica Figura 236 Figura 236 Cuerpo sometido a una rotación En esta situación las ecuaciones del movimiento vienen dadas por la ley de transformación θ θ θ θ θ θ θ θ 3 3 2 1 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 cos sin sin cos 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos X x X X x X X x X X X x x x 2366 El campo de desplazamientos viene dado por i i i u x X luego para el ejemplo dado obtenemos que θ θ θ θ 0 1 cos sin sin 1 cos 3 3 3 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 X x X X X x X X X x u u u 2367 Considerando 2364 podemos obtener las componentes del tensor de deformación infinitesimal θ θ ε 0 0 0 0 1 cos 0 0 0 1 cos 2 1 i j j i ij X X u u 2368 1 X X1 x1 2x 1x θ 2 X X 2 x2 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 258 Con lo cual verificamos que 11 ε y ε22 no son iguales a cero Pero para la aproximación con pequeñas rotaciones se cumple que 1 cos θ resultando así que los términos 11 ε y ε22 son despreciables Como veremos en el capítulo de Elasticidad Lineal la aproximación de pequeñas deformaciones es muy utilizada para diversos problemas de ingeniería cuando las cargas carga de servicio aplicadas a estas estructuras producen pequeños desplazamientos y pequeñas rotaciones Observemos que para el movimiento descrito en la Figura 236 las componentes del tensor de deformación de GreenLagrange sí son iguales a ceros eg la componente 11 E 0 sin 1 2 cos 1 1 cos 2 1 2 2 2 1 3 2 1 2 2 1 1 1 1 11 θ θ θ X X X X E u u u u 2369 Ejemplo 221 Encontrar el tensor de deformación infinitesimal y el tensor de rotación infinitesimal para el siguiente campo de desplazamiento 0 2 1 2 1 x x x ui Solución En el régimen de pequeñas deformaciones el tensor de deformación viene dado por ε i j j i ij L ij L ij x x e E u u 2 1 Obtenemos a continuación el gradiente del desplazamiento 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x x xk j u u u u u u u u u u Con eso podemos obtener que Tensor de deformación Infinitesimal ε 0 0 0 0 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 x x x x x x x x x x x x e E i j j i ij L ij L ij u u Tensor de rotación infinitesimal ω 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 x x x x x x x x x x i j j i ij u u Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 259 2142 Estiramiento Alargamiento Unitario Considerando las relaciones obtenidas entre el estiramiento y el alargamiento unitario con el tensor de deformación E ecuación 2168 y además considerando el régimen de pequeñas deformaciones E ε podemos decir que λ λ 1 ˆ 2 ˆ 1 1 ˆ 2 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ M M M M m m m ε ε ε 2370 NOTA Si consideramos la siguiente serie binomial L L 2 2 1 2 2 1 8 1 2 1 1 1 1 2 1 x x x a p x a n n x na a x a n n n n 2371 En el caso de que x sea muy pequeño podemos despreciar los términos de orden superior x x 2 1 1 1 2 1 2372 Teniendo en cuenta la NOTA anterior el estiramiento y el alargamiento unitario en el caso de pequeñas deformaciones vienen representados por ε λ ε λ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ 2 ˆ 1 1 1 ˆ 1 ˆ ˆ 2 ˆ 1 m m m m m M M M M M M M M N N ε ε ε ε ε 2373 Verifiquemos que en el régimen de pequeñas deformaciones el alargamiento unitario es igual a la deformación normal ˆ m εN 2143 Variación de Ángulo Utilizando la expresión obtenida anteriormente en 2171 y para el caso de pequeñas deformaciones E ε el ángulo en la configuración de referencia viene dado por N N M M N M N N M M N M N N M M N M ˆ 2 ˆ ˆ 1 2 ˆ 1 ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 1 2 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ cos θ ε ε ε ε ε ε 1 ε 1 ε 1 2374 Considerando aún que 1 ˆ 2 ˆ M ε M 1 ˆ 2 ˆ N ε N concluimos que N M N M N M M N N M M N ˆ 2 ˆ cos ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ cos Θ θ ε ε ε 2375 donde Θ es el ángulo en la configuración de referencia La relación 2375 podría haber sido obtenida directamente a partir de la relación 2174 y considerando que N M E N M n m ˆ 2 ˆ cos ˆ 2 ˆ cos cos ˆ ˆ Θ λ λ Θ θ ε 2376 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 260 Si consideramos que el ángulo en la configuración actual θ es igual al ángulo en la configuración de referencia mas una variación del ángulo θ θ Θ θ y utilizando el resultado 2375 podemos decir que N M ˆ 2 ˆ cos cos cos Θ Θ θ θ ε 2377 y además considerando la relación trigonométrica Θ Θ θ θ Θ θ Θ θ Θ θ sin cos sin sin cos cos cos 1 3 2 1 3 2 1 2378 donde consideramos que el ángulo θ es muy pequeño Reemplazando el resultado anterior en 2377 obtenemos que N M N M ˆ 2 ˆ sin ˆ 2 ˆ cos sin cos Θ θ Θ Θ θ Θ ε ε 2379 Luego la variación del ángulo en pequeñas deformaciones viene dada por Θ θ sin ˆ 2 ˆ M ε N 2380 2144 Interpretación Física del Tensor de Deformación Infinitesimal Consideremos las componentes del tensor de deformación infinitesimal ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε zz yz xz yz yy xy xz xy xx ij 33 23 13 23 22 12 13 12 11 2381 El estiramiento x λ y el alargamiento unitario x ε según x pueden ser obtenidos a través de las expresiones dadas en 2373 y considerando que ˆ 1 ˆ M e resultando xx x xx x ε λ ε λ 1 1 ˆ ˆ 1 x M M ε ε 2382 Con lo que concluimos que los términos de la diagonal principal componentes normales están relacionados con el alargamiento unitario luego z y x ε ε ε ε ε ε zz yy xx 2383 Consideremos ahora que ˆ 1 ˆ M e y ˆ 2 ˆ N e ver Figura 237 Verificamos que para este caso se cumple que xy zz yz xz yz yy xy xz xy xx ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε 0 1 0 0 0 1 ˆ ˆ M ε N 2384 Recurriendo a la expresión de variación de ángulo para el régimen de pequeñas deformaciones obtenida en 2380 podemos concluir que xy xy θ ε Θ θ 2 1 sin ˆ 2 ˆ M ε N 2385 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 261 donde hemos considerado que Θ 90º Luego podemos interpretar xy ε como el semi incremento del ángulo entre los segmentos diferenciales inicialmente orientados según las direcciones coordenadas x e y Análogamente podemos obtener xz ε y yz ε que vienen dadas por yz yz xz xz xy xy θ ε θ ε θ ε 2 1 2 1 2 1 2386 Figura 237 Variación de ángulo 21441 Deformación Ingenieril Tradicionalmente en ingeniería se adopta la siguiente notación para los ejes Cartesianos x 1x y x2 z 3x y para el campo de desplazamientos u u1 v u2 w u3 Consideremos un segmento AB donde los desplazamientos de sus extremidades son tal y como se indica en la Figura 238 En una dimensión la deformación ingenieril viene definida por dx x du x u u u xim 0 ε l 2387 Figura 238 Desplazamientos en un segmento de recta una dimensión Ahora consideremos un elemento de area dxdy y un campo de desplazamientos u x y y v x y ver Figura 239 Las componentes normales de la deformación ingenieril según dirección x y dirección y vienen respectivamente dadas por y v x y dy v y dy v v x u x y dx u x dx u u y x ε ε 2388 B u B A A it it 1 x u u x mˆ Θ X1 x1 X 2 x2 P X 3 x3 Mˆ Nˆ θ nˆ θ θ Θ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 262 Se recomienda ver el Ejemplo 144 Si además el campo de desplazamientos depende también de la dirección z las componentes normales vienen definidas por z w x y z y v x y z x u x y z z y x ε ε ε 2389 Figura 239 Deformación normal Para obtener la deformación tangencial ingenieril también conocida por deformación de corte consideramos un elemento diferencial que solo sufre una distorsión angular tal y como se muestra en la Figura 240 Para ángulos pequeños se cumple que tan θ θ luego y u x v θ θ θ θ 2 2 1 1 tan tan 2390 Luego la deformación tangencial ingenieril γxy viene definida por y u x v xy θ θ γ 2 1 2391 Si además el campo de desplazamiento es dependiente de la dirección z tenemos las siguientes deformaciones tangenciales ingenieriles z u x w y w z v y u x v xz yz xy γ γ γ 2392 Observemos que xy xy θ Θ γ θ y si comparamos con 2386 concluimos que xy xy ε γ 2 Análogamente podemos obtener que yz yz ε γ 2 xz xz ε γ 2 Luego se cumple que 444 3 444 2 1 Ingenieril Notación 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 33 23 13 23 22 12 13 12 11 ε γ γ γ ε γ γ γ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε z yz xz yz y xy xz xy x zz yz xz yz yy xy xz xy xx ij 2393 Aprovechando la simetría del tensor infinitesimal de deformación podemos representar las componentes ingenieriles en la notación de Voigt como B u x dx u u O O dx u x v y B A A dy v y dy v v Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 263 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε γ γ γ ε ε ε 13 23 12 33 22 11 2 2 2 2 2 2 xz yz xy zz yy xx Ingenieril Notación xz yz xy z y x 3 2 1 ε 2394 Figura 240 Deformación tangencial ingenieril Utilizando la Notación de Voigt podemos representar la relación desplazamiento deformación dada en 2364 como ε L u 2395 donde la matriz L relaciona desplazamiento con deformación conocida como matriz operador diferencial Explícitamente γ γ γ ε ε ε w v u x z y z x y z y x xz yz xy z y x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2396 x dx v 2 θ A 1θ O dx u x v y B A dy B y dy u Θ θ 2 1 γ xy θ θ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 264 2145 Deformación Volumétrica Lineal Para obtener la expresión de la deformación volumétrica en régimen de deformaciones infinitesimales pequeñas deformaciones partimos del cubo de dimensiones 3 2 1 dX dX dX en la configuración de referencia ver Figura 241 Teniendo en cuenta que i i i i i dX dX dx x x 1 ε λ la variación de volumen será 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 dX dX dX dX dX dX dX dX dX dX dX dX dX dX dX dV dV V x x x x x x x x x λ λ λ ε ε ε ε ε ε 2397 Para régimen de pequeñas deformaciones los alargamientos unitarios son muy pequeños ε 1 luego los términos de orden superior pueden despreciarse sin acarrear cambio significativo en el resultado final También en pequeñas deformaciones los alargamientos unitarios coinciden con las componentes normales de deformación 11 1 εx ε 22 2 εx ε 33 3 εx ε ver expresión 2383 resultando así que 0 33 22 11 0 3 2 1 dV dV V x x x ε ε ε ε ε ε 2398 Figura 241 Deformación volumétrica lineal La dilatancia cambio de volumen por unidad de volumen para régimen de deformación infinitesimal pequeñas deformaciones viene dado por 3 2 1 33 22 11 0 ε ε ε ε ε ε ε ε ε Tr I dV V t D V L V xr 2399 Si además el material es incompresible se cumple que 0 33 22 11 0 ε ε ε Iε dV V 2400 2 X 3 X 1 X 1 dX 3 dX 2 dX dV 0 dV 1 1 1 dx x dX λ 3 3 3 dx x dX λ 2 2 2 dx x dX λ λ ix estiramientos ε ix alargamiento unitario i i i i i dX dX dx x x 1 ε λ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 265 2146 Caso Bidimensional Deformación Plana Cuando el campo de deformación del medio continuo es independiente de una dirección decimos que estamos en un caso de deformación plana La dirección donde la deformación es nula adoptamos como la dirección 3x de esta forma las componentes del tensor de deformación quedan 21 0 0 0 0 0 22 12 12 11 Deformación Plana 22 12 12 11 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε j i ij ij 2401 El campo de desplazamientos para la deformación plana queda sólo en función de 1x y 2 x constante 3 2 1 2 2 2 1 1 1 C x x x x u u u u u 2402 En el capítulo de Elasticidad Lineal veremos que tipos de estructuras tendrán el comportamiento de deformación plana 2147 Tensor de Deformación Infinitesimal en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas 21471 Coordenadas Cilíndricas Las componentes del tensor de deformación infinitesimal en coordenadas cilíndricas z r θ vienen dadas por ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε θ θ θθ θ θ zz z rz z r rz r rr ij 2403 Cuyas componentes en función de las componentes del vector desplazamiento z r u u u θ vienen dadas por θ ε ε θ ε ε θ ε ε θ θ θ θ θ θ θθ z z r z rz r r z zz r r rr r z r z r r r z r r r u u u u u u u u u u u 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2404 21472 Coordenadas Esféricas Las componentes del tensor de deformación infinitesimal en coordenadas esféricas vienen dadas por ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε θ θ θθ θ θ φφ φ φ φ φ r r r r rr ij 2405 Cuyas componentes en función de las componentes del vector desplazamiento u u uφ θ r viene dadas por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 266 θ θ ε θ ε θ ε θ ε θ ε ε θ θφ θ θ θ θ θ θθ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φφ cotg u u u u u u u u u cotg u u u u u u r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r rr 1 sin 1 2 1 sin 1 2 1 1 2 1 1 sin 1 2 1 1 2406 Ejemplo 222 Consideremos un cuerpo material bajo el régimen de pequeñas deformaciones el cual está sometido al siguiente campo de desplazamientos 3 3 3 3 1 2 2 3 2 1 1 10 10 10 10 7 2 x x x x x u u u a Encontrar el tensor de deformaciones infinitesimales y el tensor spin infinitesimal b Encontrar los invariantes principales del tensor de deformación infinitesimal y las deformaciones principales c Dibujar el círculo de Mohr en deformaciones y obtener la deformación tangencial máxima d Encontrar la deformación volumétrica lineal y el tensor de deformación infinitesimal desviador Solución a El gradiente de los desplazamientos 3 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 10 1 0 0 0 10 1 0 7 2 x x x x x x x x x x j i ij u u u u u u u u u u u Tensor spin infinitesimal 3 10 0 0 0 0 0 4 0 4 0 2 1 ω i j j i ij anti ij x x u u u Tensor de deformación infinitesimal 3 10 1 0 0 0 10 3 0 3 2 2 1 ε i j j i ij sym ij x x u u u b Las deformaciones principales autovalores se obtienen al resolver el determinante característico 0 10 1 0 0 0 10 3 0 3 2 3 ε ε ε Al desarrollar el determinante anterior obtenemos la ecuación característica 0 2 3 ε ε ε ε ε ε III II I donde los invariantes principales de ε vienen definidos por ε ε I Tr 2 1 2 2 ε ε ε Tr Tr II ε ε det III ver capítulo 1 Luego para el problema propuesto los invariantes son Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 267 9 6 6 2 2 3 3 11 10 1 10 10 1 0 0 0 10 3 0 3 2 1 0 0 0 10 3 0 3 2 1 0 0 0 10 3 0 3 2 2 1 11 10 10 1 10 2 ε ε ε ε ε ε ε det Tr Tr Tr III II I Resultando en la siguiente ecuación característica 0 11 10 11 10 10 11 0 9 6 2 3 3 2 3 ε ε ε ε ε ε ε ε ε III II I Al resolver la ecuación anterior obtenemos los autovalores de ε deformaciones principales Pero si nos fijamos en el formato de las componentes de ε verificamos que 3 33 10 1 ε ya es una deformación principal y que está asociada a la dirección 1 0 0 ˆ in Luego para obtener los demás autovalores es suficiente resolver el siguiente sistema 0 11 10 12 10 0 10 10 3 3 2 6 3 2 3 ε ε ε ε ε ε ε ε 3 2 3 1 6 3 2 10 0 11 10 01 0 11 10 12 10 c Para dibujar el círculo de Mohr en deformaciones ver Apéndice A tenemos que reestructurar las deformaciones principales tal que III II I ε ε ε ie 3 3 3 10 11 0 10 01 10 01 ε ε ε III II I La deformación tangencial máxima viene dada por 3 max max 6 10 2 2 1 ε ε ε γ III I S El círculo de Mohr en deformaciones se puede apreciar en la figura abajo d La deformación volumétrica lineal V ε 12 10 3 ε ε ε Tr I V Haciendo la descomposición aditiva de ε en una parte esférica y otra desviadora dev esf ε ε ε donde la parte esférica viene dada por εI 1 10 3 εN 10 3 εS 6 max 2 1 max γ ε S ε III 11 ε II 1 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 268 3 10 4 0 0 0 4 0 0 0 4 3 ε ij esf ij Tr ε δ Y la parte desviadora por 3 3 10 4 0 0 0 6 3 0 3 2 10 4 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0 10 3 0 3 2 ε ε ε esf ij ij dev ij Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 269 215 Otras Medidas de Deformación 2151 Motivación Definiremos algunas medidas de deformación que pueden resultar útiles a la hora de tratar el problema de forma incremental Como veremos a continuación los tensores de deformaciones definidos anteriormente no son aditivos de forma incremental Consideremos un medio continuo donde tenemos en cuenta sucesivas configuraciones actuales ver Figura 242 Figura 242 Deformación de un medio continuo Según la Figura 242 se cumplen las siguientes relaciones x F x X F x X F x r r r r r r d d d d d d 2 1 2407 Reemplazando la segunda expresión en la tercera obtenemos que X F F X F F x F x r r r r d d d d 1 2 1 2 2 2408 Y comparando con la primera expresión de 2407 concluimos que 1 2 F F F 2409 El tensor de deformación de GreenLagrange E configuración de referencia 0 B fue definido como 1 F F E T 2 1 Podemos definir tensores análogos teniendo en cuenta las dos transformaciones Configuración Inicial 0 B Configuración de Intermedia B 1 1 1 1 2 1 F F X E T r t 1 2 2 2 2 1 F F x E T t r 2410 X1 x1 X 2 x2 X 3 x3 0 B B 3 ˆe 2 ˆe 1ˆe O Configuración de Inicial 0t Configuración Intermedia 1t x r d F 1 B Configuración Actual 2t F 2 F xr d X r d Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 270 El tensor de deformación de GreenLagrange se puede escribir en función de F 1 y F 2 como 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 F F F F F F F F F F E T T T T 2411 Teniendo en cuenta la expresión E 2 de 2410 sacamos que 1 2 2 2 2E F F T y reemplazándolo en 2411 obtenemos que 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 F E F E F F F E F F E F F F F F E E T T T T T T 444 3 4 44 2 1 1 1 1 1 2412 Con lo cual comprobamos que 2 1 E E E es decir la deformación es no aditiva para incrementos de movimientos Lo mismo pasa con el tensor de deformación de Almansi 1 2 1 F F e T 1 configuración actual Para demostrarlo definiremos los siguientes tensores en la configuración intermedia y actual debido a las transformaciones F 1 y F 2 Configuración de Intermedia B Configuración de Actual B 1 1 1 1 2 1 F F x e T t 1 r 2 1 2 2 2 1 F F x e T t 1 r 2413 El tensor de deformación de Almansi se puede escribir en función de F 1 y F 2 como 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 F F F F F F F F F F F F F F e T T T T T T 1 1 1 1 2414 Considerando que 1 1 1 1 2e F F 1 T obtenemos que 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 e F e F F F F e F F e F F F F e F F F F F e T T T T T T T T 1 1 1 1 1 2415 Con lo cual comprobamos que 2 1 e e e En la Figura 243 podemos apreciar los tensores de deformación en cada configuración Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 271 Figura 243 Deformación de un medio continuo 2152 Tensor de Deformación Logarítmica Consideremos una barra sometida a una extensión donde definimos el diferencial de deformación según el eje de la barra como λ ε ε ln ln 0 0 0 0 1 L L L dL L dL d f L L axil axil f integrando 2416 A esta deformación εaxil denominamos de deformación logarítmica o deformación verdadera Observemos que en el caso que haya incrementos sucesivos de desplazamientos es decir 1 0 L Lf y f f L L 1 se cumple que la deformación logarítmica es aditiva 2 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 axial axial f f f f f f f Total axial L L L L L dL L dL dL L L L L L L L ε ε ε ln ln 2417 Luego partiendo de la definición de la deformación logarítmica 2416 podemos definir el Tensor de Deformación Logarítmica como λ 3 1 ˆ ˆ a a a a Ln Ln N N U U U ln ln Tensor de Deformación Logarítmica 2418 Análogamente podemos definir este tensor en la configuración actual recibiendo el nombre de Tensor de Deformación de Hencky λ 3 1 ˆ ˆ a a a a Ln Ln n n V V V ln ln Tensor de Deformación de Hencky 2419 X1 x1 X 2 x2 X 3 x3 0 B B 3 ˆe 2 ˆe 1ˆe O x r d F 1 B F 2 F xr d X r d 1 2 1 1 F E F E E T 1 X t E r 2 2 1 1 2 e F e F e T 2 x t e r 1 x t e r 2 x t E r Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 272 donde los tensores VLn y ULn tienen los mismos autovalores y además el primer invariante queda 3 2 1 3 2 1 λ λ λ λ λ λ ln ln ln ln Tr Tr Ln Ln V U 2420 2153 Tensor de Deformación de Biot Definimos el tensor de deformación de Biot H configuración de referencia como λ 3 1 ˆ 1 ˆ a a a a N N H 1 U H Tensor de Deformación de Biot Configuración Material 2421 y en la configuración espacial λ 3 1 1 ˆ ˆ 1 a a a a n n h V 1 h Tensor de Deformación de Biot Configuración Espacial 2422 2154 Unificación de los Tensores de Deformación Utilizando los conceptos anteriores podemos definir varios tensores según la base de los tensores U y V Luego definimos los tensores de deformación en la configuración material como 0 2 1 0 1 1 2 m para m para m m m m m C C E ln ln U 1 1 U U 2423 donde m es un número entero positivo Los tensores definidos anteriormente pueden ser representados por los valores principales del tensor U estiramientos principales resultando λ λ λ 0 ˆ ˆ 0 ˆ 1 ˆ 1 3 1 3 1 m para m para m a a a a a a a m a i m N N N N ln E 2424 Verificamos que m 2 1 1 U U C E E 2 1 2 1 2 2 Tensor material de deformación de GreenLagrange m 1 1 U H U E 1 Tensor de deformación de Biot Configuración Material 2425 m 0 U U U ln 0 Ln E Tensor de deformación Logarítmica Definimos ahora los tensores de deformación en la configuración espacial como Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 273 0 0 1 m para m para m m m V 1 V U ln e 2426 donde m es un número entero negativo O en función de los estiramientos principales λ λ λ 0 ˆ ˆ 0 ˆ 1 ˆ 1 3 1 3 1 m para m para m a a a a a a a m a i m n n n n ln e 2427 Verificamos que m 2 1 2 2 2 1 2 1 b e e 1 V 1 U Tensor material de deformación de Almansi m 1 1 1 V 1 h V e Tensor espacial de deformación de Biot configuración espacial 2428 m 0 V V V ln 0 Ln e Tensor de deformación de Hencky 2155 Las Medidas de Deformación en Una Dimensión 1D Hemos visto la forma general de obtener el tensor de deformación para el caso de deformación finita e infinitesimal en tres dimensiones Se han definido varias formas de expresar la deformación Pero todas deben cumplir el requisito de que la deformación pueda caracterizar la longitud final L una vez conocida la longitud inicial L0 Presentaremos a continuación las distintas formas de deformación en una dimensión 21551 Deformación de Cauchy o Ingenieril o Deformación Lineal 1 0 0 0 λ ε L L L L L C 2429 donde λ es el estiramiento 21552 Deformación Logarítmica o Deformación de Hencky o Deformación Verdadera 0 0 λ ε ln ln L L d L L H l l 2430 o también L ε ε ε ε 2 2 1 1 C C C H ln 2431 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 274 21553 Deformación de GreenLagrange En el caso general hemos obtenido la siguiente relación 2 2 2 2 2 2 1 1 2 dS dS ds D d d dS ds G ε X E X r r 2432 En una dimensión caso uniaxial tenemos que 2 2 2 2 0 2 0 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 C C C G L L L ε ε ε λ λ λ λ λ ε 2433 para régimen de pequeñas deformaciones podemos verificar que se cumple C G ε ε 2434 21554 Deformación de Almansi En el caso general hemos obtenido la siguiente relación 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ds dS ds D d d dS ds A ε x e x r r 2435 En una dimensión caso uniaxial tenemos que 2 2 2 0 2 2 1 1 2 λ ε L L L A 2436 Además se cumplen las siguientes relaciones 2 2 2 1 1 1 2 1 λ ε ε ε ε ε G C C C A A G ε λ ε 2 2437 21555 Deformación de Swaiger 1 0 1 λ ε L L L L L S 2438 Además se cumple la siguiente relación C C S ε ε ε 1 2439 21556 Deformación de Kuhn 1 2 2 0 3 0 3 3 1 3 λ λ ε L L L L K 2440 Para régimen de pequeñas deformaciones deformación infinitesimal se cumple que K S A G C H ε ε ε ε ε ε ε 2441 Podemos dibujar una gráfica donde la abscisa es el estiramiento λ y la ordenada representa las distintas deformaciones vistas anteriormente ver Figura 244 Podemos verificar que para valores de estiramientos próximos a la unidad se cumple 2441 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO 275 5 3 1 1 3 5 7 0 1 2 3 4 Ingenieril Logarítmica GreenLagrange Almansi Swaiger Kuhn Figura 244 Curva estiramiento x deformación Ejemplo 223 Considérese una barra sometida a sucesivos desplazamientos como se indica la Figura abajo Demostrar que la deformación Ingenieril deformación de Cauchy no es aditiva para incremento sucesivos de deformación es decir ε ε ε 2 1 Solución La deformación de Cauchy fue definida como 1 0 0 0 λ ε L L L L L C Luego la deformación total sufrida por el cuerpo es decir de la configuración 0 B hasta la configuración B es 0 L 0 L 0 B B B 1L 1L L 2 L 2 Lf 1 L L L 2 λ 0 ε Rango de deformación infinitesimal Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 276 1 0 2 0 0 2 ε L L L L L C En la configuración B la deformación Ingenieril queda 1 0 1 0 0 1 1 ε L L L L L C En la configuración B teniendo en cuenta solo el incremento de desplazamiento u2 tenemos que 1 1 2 1 1 2 2 ε L L L L L C Luego C C C L L L L L L ε ε ε 1 1 1 0 2 1 2 0 1 2 1 Un requerimiento esencial de toda deformación es que pueda caracterizar los desplazamientos reales en el caso la longitud final L L L L L L dx L L dx L L L dx L L dx L L C L L C ε ε 2 1 2 1 2 0 1 2 0 2 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 L L L dx L L dx L L C ε 0 0 0 0 0 0 1 Deformación de GreenLagrange Observemos que la deformación de GreenLagrange en la configuración B viene dado por 1 2 1 2 2 2 0 2 0 2 λ ε L L L G Podríamos haber obtenido esta misma expresión utilizando la relación obtenida en 2412 1 2 1 1 F E F E E T donde para el caso uniaxial tenemos que G E ε 1 1 εG E 2 2 εG E 0 1 1 1 L L λ F Luego 1 2 1 1 F E F E E T 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 L L L L L L L L L L L L L L G G G λ λ ε ε ε Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 Tensiones 31 Introducción Este capítulo está dedicado al estudio del tensor de tensiones Se hará una reseña de los tensores de tensiones usados en la literatura tanto en la descripción espacial como en la descripción material así como la obtención de una serie de propiedades necesarias para establecer las leyes constitutivas relación entre tensiones y deformaciones o tasa de deformación 32 Fuerzas Cuando las fuerzas externas actúan en un cuerpo los átomos o moléculas que lo constituyen se ven afectados por las mismas y sujetos a un cambio de posición hasta alcanzar un equilibrio Dependiendo de las características de los átomos moléculas variará la resistencia del cuerpo a dicho movimiento La acción interatómica que define esta resistencia a nivel macro ámbito de la mecánica del medio continuo se denomina fuerza interna que se puede entender como el promedio de las fuerzas interatómicas de un puñado de átomos partícula Las fuerzas que actúan en un cuerpo pueden estar aplicadas directamente al cuerpo denominadas fuerzas de superficie ej fuerzas de contacto entre dos cuerpos o indirectamente cuando el cuerpo está sometido a un campo ej fuerzas gravitatorias eléctricas magnéticas 3 Tensiones Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 278 321 Fuerzas de Superficie Las fuerzas de superficie tienen como unidad en el sistema internacional de unidades SI Pa N m 2 En la Figura 31 se representa una presa donde el agua ejerce una presión en la pared interna Podemos reemplazar la presión que el agua ejerce sobre la pared por fuerzas de superficie r xr t Si consideramos un diferencial de fuerza f r d que actúa en un diferencial de área dSσ este diferencial será σ t dS d x f r r r La fuerza resultante que actúa sobre la superficie σ S será σ σ t S S d S x f f r r r r d 31 Figura 31 Fuerzas de superficie 322 Fuerzas Gravitatorias Dado un campo gravitacional las fuerzas que actúan sobre los cuerpos sumergidos en este campo pueden ser representadas por fuerza por unidad de masa b r o por fuerza por unidad de volumen pr Estas dos fuerzas están relacionadas entre sí a través de la relación i i ρb p 32 donde ρ es la densidad de masa masa por unidad de volumen En el sistema internacional de unidades SI tenemos las siguientes unidades m3 ρ kg s2 m kg b N r m3 pr N En un diferencial de volumen dV actuará un diferencial de fuerza másicas F r d siendo la fuerza resultante que actúa en el cuerpo dV dm d V b b r r r r ρ B B F F 33 donde se ha considerado que el diferencial de masa es dV dm ρ r xr t σ S Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 279 Ejemplo 31 Ignorando la curvatura de la superficie de la tierra el campo gravitacional puede suponerse de la forma como se muestra en la Figura 32 donde g es la aceleración de la gravedad Obtener la fuerza resultante que actúa en el cuerpo B Figura 32 Campo gravitacional Solución Todos los cuerpos situados en este campo se encontrarán sometidos a la fuerza por unidad de masa g t i 0 0 b xr La fuerza másica que actúa sobre el cuerpo es V i V i g dV t dV 0 0 ρ ρ xr b F Podemos verificar la unidad de F 2 2 3 N Newton s kg m dV s m m kg V F 33 Tensor de Tensiones Consideremos un medio continuo 0 B que en la configuración material inicial ocupa el volumen 0 V y que está delimitado por la superficie 0 S En la configuración espacial actual el medio continuo t B ahora ocupa el volumen tV y estará delimitado por la superficie tS ver Figura 33 Si este medio continuo y por tanto sus propiedades son continuas se encuentra sometido a la acción de fuerzas externas sea de superficie gravitatoria o de otra naturaleza también estará sujeto a fuerzas internas A continuación definiremos un tensor continuo y diferenciable que representa esta fuerza interna en un punto P xr t del continuo 2 x B 1x 3x g Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 280 Figura 33 Configuración de referencia y actual 331 Tensor de Tensiones de Cauchy 3311 Vector Tensión Consideremos un medio continuo en la configuración actual deformada Figura 34 Seccionando el cuerpo en dos partes a través de un plano Π que pasa por el punto P xr t y considerando una superficie de área a con normal nˆ versor pasando por el punto P xr t la resultante de fuerzas actuando sobre el elemento de área a deformada es f Definimos el vector tensión en el punto P xr t asociado a la normal nˆ de la forma a im t a f x 0 ˆ ˆ l r r n t n Pa m N 2 34 El vector tensión ˆ tn r es función del punto P xr t y de la normal nˆ perpendicular al plano en este punto Este vector tensión representa la fuerza por unidad de área deformada y su límite existe porque el medio fue supuesto continuo En el sistema internacional de unidades SI la unidad de tensión es Newton por metro cuadrado Pa N m 2 Pascal Figura 34 Vector tensión t B P xr t 0 B 0 P t 0 t Configuración de Referencia Configuración Actual 1x 2x 3x 0 S tS a 0 t B ˆ tn r ˆ tn r nˆ nˆ P Π 1x 2x 3x xr Configuración Actual t Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 281 3312 Postulado Fundamental de Cauchy Postulado Fundamental de Cauchy El vector tensión ˆ tn r en un punto P xr t depende únicamente de la normal nˆ a la superficie en dicho punto Como ejemplo consideremos un plano 1 Π que pasa por el punto P xr t de normal ˆn 1 A este plano estará asociado un vector tensión ˆ t n1 r Figura 35a Si consideramos un segundo plano de normal ˆn 2 que pasa también por el mismo punto P xr t se tendrá otro vector tensión ˆ t n2 r asociado a este nuevo plano 2 Π como indica la Figura 35a Una consecuencia inmediata del Postulado Fundamental de Cauchy es el Principio de acción y reacción Figura 35b ˆ ˆ n t n t x x r r r r 35 Figura 35 Vector tensión El estado tensional en un punto P xr t estará completamente definido cuando dado cualquier plano que pase por este punto se pueda obtener el vector tensión ˆ t xr n r Eso implica que se debe obtener el estado tensional para infinitos planos pasando por el punto P xr t para que el estado de tensión esté completamente definido La respuesta es NO Cauchy demostró que si definimos el vector tensión en tres planos perpendiculares entre sí pasando por un punto P xr t el estado tensional en dicho punto estará completamente definido ver Figura 36 Adoptando tres planos perpendiculares a los versores 3 2 1 ˆ ˆ ˆ e e e obtendremos tres vectores tensiones asociados a cada dirección siendo respectivamente ˆ ˆ ˆ 3 2 1 e e e t t t r r r ver Figura 36 Descomponiendo cada vector tensión según las direcciones 3 2 1 x x x obtenemos 3 ˆ 3 2 ˆ 2 1 ˆ 1 ˆ 3 ˆ 3 2 ˆ 2 1 ˆ 1 ˆ 3 ˆ 3 2 ˆ 2 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 e e e t e e e t e e e t e e e e e e e e e e e e t t t t t t t t t r r r 36 Reagrupando en forma matricial ˆn 1 t n1 r ˆn 2 ˆ t n2 r P 1 Π 2 Π b a ˆ t n1 r ˆn 1 P 1 Π 1ˆn ˆ t n1 r Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 282 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ˆ 3 ˆ 3 ˆ 3 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 3 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e e e e e e e e t t t t t t t t t t t t r r r 37 Figura 36 Estado tensional en un punto P Haciendo un cambio de nomenclatura obtenemos que 33 32 31 23 22 21 13 12 11 ˆ 3 ˆ 3 ˆ 3 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 σ σ σ σ σ σ σ σ σ e e e e e e e e e t t t t t t t t t 38 donde ij σ son las componentes del tensor de tensión de Cauchy Con ello definimos el Tensor de Tensiones de Cauchy o Tensor de Tensiones Verdaderas σ como ˆ ˆ j i ij e e σ σ Tensor de Tensiones de Cauchy Pa 39 La representación de las componentes del tensor de tensiones de Cauchy se puede apreciar en la Figura 37a Como el punto debe estar en equilibrio ello implica que en las caras ocultas del elemento infinitesimal las componentes del tensor de tensiones deben ser las que se detallan en la Figura 37b OBS Se demostrará más adelante que el tensor de tensiones de Cauchy es un tensor simétrico σ σ sym luego se cumple que σ σT 1x 2x 3x ˆ t e2 r ˆ t e3 r ˆ t e1 r 2 ˆe 2 ˆe 3 ˆe 1 ˆe P 1x 2x 3x Configuración actual Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Figura 37 Estado tensional en un punto Los índices de las componentes verifican la siguiente regla El primer índice indica el eje hacia donde apunta la componente del vector tensión El segundo índice representa la dirección normal a la cara del vector tensión NOTA Es importante resaltar que muchos autores principalmente ingenieros invierten la conversión de los índices Figura 38 Estado tensional en un punto Notación ingenieril En la bibliografía podemos encontrar otras nomenclaturas para las componentes del tensor de tensiones distinguiéndose la Notación Científica y la Ingenieril Figura 38 310 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 284 Teniendo en cuenta la simetría del tensor de tensiones necesitamos sólo seis componentes independientes para definir el estado tensional en un punto Por ello podemos representar las componentes del tensor de tensiones en forma de matriz columna Notación de Voigt τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ xz yz xy z y x xz yz xy zz yy xx Voigt ij 13 23 12 33 22 11 33 23 13 23 22 12 13 12 11 σ 311 34 Relaciones entre el Vector Tensión y el Tensor de Tensiones El objetivo ahora es Dadas las nueve componentes del tensor de tensiones de Cauchy Cómo obtener el vector tensión en un plano arbitrario Es fácil responder ésta pregunta si consideramos que la proyección de un tensor de segundo orden σ según una dirección nˆ viene dado por σ n t n ˆ ˆ r ver capítulo 1 Vamos obtener el mismo resultado partiendo del equilibrio de un punto material Por ello definiremos un plano arbitrario plano ABC de normal 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e n n n n pasando por el punto P luego a este plano estará asociado un vector tensión ˆ tn r ver Figura 39 Figura 39 Vector tensión sobre un plano arbitrario Considerando las tensiones en las caras ocultas del tetraedro y considerando también que el punto está en equilibrio podemos aplicar el equilibrio de fuerzas Considerando en primer lugar la dirección 1x tenemos AT d v nˆ ˆ tn r 11 σ 21 σ 31 σ 33 σ 23 σ 13 σ σ22 32 σ 12 σ 1x 2 x 3 x Sˆn2 Sˆn3 S 1ˆn S A B C O n n ˆ ˆ 2 1 S d AC AB d T T A A v v ABC S i i S d e n ˆ ˆ AT v BOC S S d 1 1 1 ˆ ˆ ˆ n T n e A v AOC S S d 2 2 2 ˆ ˆ ˆ n T n e A v AOB S S d 3 3 3 ˆ ˆ ˆ n T n e A v Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 285 0 ˆ ˆ ˆ 13 3 12 2 11 1 ˆ 1 σ σ σ n n n t S S S n S 312 donde S es el área del triángulo ABC y las proyecciones del área S sobre los planos 3 2 x x 3 1 x x y 2 1 x x serán S 1ˆ n S ˆ n2 y S 3ˆ n respectivamente ver Figura 39 Simplificando la ecuación 312 resulta 13 3 12 2 11 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ σ σ σ n n n t n 313 Análogamente el equilibrio de fuerzas en la dirección 2x y 3x permite obtener respectivamente las siguientes relaciones 23 3 22 2 12 1 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ σ σ σ n n n t n 314 33 3 32 2 31 1 ˆ 3 ˆ ˆ ˆ σ σ σ n n n t n 315 Reagrupando las ecuaciones 313 314 y 315 en forma matricial σ σ σ σ σ σ σ σ σ 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 ˆ 3 ˆ 2 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ n n n t t t n n n 316 La relación anterior en notación indicial y tensorial viene dada respectivamente por Notación Indicial Notación Tensorial j ij i n t ˆ ˆ n σ σ n t n ˆ ˆ r 317 Considerando la simetría del tensor de tensiones de Cauchy σ el vector tensión en la notación de Voigt capítulo 1 puede escribirse de la siguiente manera N σ T σ σ σ σ σ σ ˆ ˆ 0 ˆ 0 0 0 ˆ ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 0 ˆ 13 23 12 33 22 11 1 2 3 3 1 2 3 2 1 ˆ 3 ˆ 2 ˆ 1 n n n n n n n n n t t t n n n 318 341 Convenio de Signos El signo del vector tensión normal N σr será positivo cuando éste sea una tensión de tracción σ N 0 Figura 310a y será negativo cuando éste sea de compresión σ N 0 Figura 310b OBS En general n σ n σ σ n ˆ ˆ ˆ T pero si σ es simétrico σ σT la relación n σ σ n ˆ ˆ se cumple Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 286 Figura 310 Convenio de signos para tensión normal 342 Tensión y Presión Media Estado Hidrostático Tensión media m σ valor medio de las tensiones 3 3 1 3 1 3 3 3 2 1 33 22 11 σ σ I kk m σ σ σ σ σ σ σ σ Tr 319 Presión media p tensión media cambiada de signo 3 3 3 2 1 33 22 11 σ σ σ σ σ σ σ m p 320 Estado de tensión hidrostático Es aquel donde cualquiera que sea la orientación del plano la tensión normal será siempre la misma ˆ ˆ ˆ ˆ i j ij p p n n σ n σ n 321 La ecuación anterior indica que cualquier vector será un autovector de σ esto implica que el estado de tensión hidrostático es esférico o isótropo independiente de la orientación resultando las tres tensiones principales iguales σ σ σ σ 3 2 1 ij ij σδ σ σ σ σ σ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 322 La representación del estado hidrostático en el círculo de Mohr viene dada por un punto ver Apéndice A OBS En mecánica de los suelos y de las rocas se adopta para el convenio de signos compresión si σ N 0 y tracción si σ N 0 ˆ tn r N σr S σr ˆ tn r N σr S σr TRACCIÓN σ N 0 COMPRESIÓN σ N 0 a b Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 287 Ejemplo 32 Las componentes del tensor de tensiones en el punto P son Pa ij 2 50 1 50 3 4 1 4 8 σ a Calcular el vector tensión en el punto P según la dirección del plano ABC como se indica en la Figura 311 b Obtener el vector tensión normal N σr y el vector tensión tangencial S σr ver Apéndice A Figura 311 Plano ABC Solución En primer lugar deberemos obtener la dirección normal a este plano para ello escogemos dos vectores pertenecientes al plano y hacemos el producto vectorial entre ellos 3 2 1 3 2 1 5ˆ 2ˆ 0ˆ 0ˆ 2ˆ 3ˆ e e e e e e OB OC BC OA OB BA El vector normal al plano ABC viene dado a través del producto vectorial de los vectores definidos anteriormente 3 2 1 3 2 1 6ˆ 15ˆ 10ˆ 0 2 3 5 2 0 ˆ ˆ ˆ e e e e e e n BA BC r El versor asociado a nr será 3 2 1 ˆ 19 6 ˆ 19 15 ˆ 19 10 ˆ e e e n n n r r Utilizando la ecuación 316 podemos obtener las componentes del vector tensión de la forma Pa 6 15 10 2 50 1 50 3 4 1 4 8 19 1 3 2 1 t t t Pa 5 29 8 26 19 1 3 2 1 t t t b El vector tensión ˆ tn r asociado a la dirección nˆ puede descomponerse en una componente normal N σr y en otra tangencial S σr tal como se indica en la Figura 312 La suma vectorial de estos vectores resulta s n t σ σ t n n ˆ ˆ ˆ ˆ S N S N ó σ σ r r r r donde N σ y S σ son los módulos de N σr y de S σr respectivamente Como visto en el Apéndice A N σ puede ser obtenido a través de las siguientes relaciones ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j i ij j ij i i j ij i i N n n n n n n n t σ σ σ σ n n n n σ n σ n n σ n n t r Luego Pa N i i N 54 1 6 15 10 29 5 8 26 19 1 ˆ 2 σ σ t n 020 B 500 C 003 A 1x 2 x 3x O Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 288 Figura 312 Componentes normal y tangencial del vector tensión La componente tangencial viene dada por ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j i ij j ij i i j ij i i S s n n s s n s t σ σ σ σ n n n n σ s σ n s σ n s t r La componente tangencial también puede ser obtenida a través del teorema de Pitágoras 2 ˆ ˆ 2 2 2 ˆ 2 N i i S S N σ σ σ σ n n t n t t r donde 46 4 5 29 8 26 29 5 8 26 19 1 2 ˆ ˆ n n ti ti Resultando que Pa N i i S 2 0884 2 3716 4 46 2 ˆ ˆ σ σ t n t n Ejemplo 33 El estado tensional en un punto del continuo viene representado a través de las componentes del tensor de tensiones de Cauchy como Pa ij σ 2 0 0 0 2 1 0 1 2 a Obtener las componentes de σ en un nuevo sistema 3 2 1 x x x donde la matriz de transformación viene dada por ij a ver Figura 313 b Obtener los invariantes principales de σ c Obtener los autovalores y autovectores de σ Verificar también si los autovectores forman una matriz de transformación de base entre el sistema original y el principal d Obtener la representación gráfica del tensor de tensiones de Cauchy ie el círculo de Mohr en tensiones ver Apéndice A e Obtener la parte esférica σ sph y la parte desviadora σ dev del tensor σ También obtener los invariantes principales de σ dev y los autovalores de σ dev 1ˆe 2 ˆe ˆ tn r nˆ N σr S σr 1x 2x 3x sˆ P 3 ˆe Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 289 f Obtener la tensión normal octaédrica oct σN y la tensión tangencial octaédrico o también conocida como tensión de corte octaédrica oct σS Figura 313 Matriz de transformación Solución a Como hemos visto en el capítulo 1 la ley de transformación de las componentes del tensor de segundo orden viene dada por T kl jl ik ij a a A A Forma Matricial σ σ σ σ Luego σ σ σ σ σ σ σ σ σ 2 80 0 80 2 60 0 60 2 3 0 4 0 5 0 4 0 3 2 0 0 0 2 2 0 1 1 3 0 4 0 5 0 4 0 3 5 1 2 33 23 13 23 22 12 13 12 11 T donde estas componentes se pueden apreciar en la Figura 314 b Los invariantes principales del tensor de tensiones de Cauchy stress tensor son obtenido a través de las expresiones 2 12 33 2 13 22 2 23 11 13 23 12 33 22 11 3 2 1 2 23 2 13 2 12 22 33 33 11 22 11 2 2 33 22 11 2 2 3 6 1 2 1 2 1 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ki jk ij jk jk ii kk jj ii k j i ijk ij ij jj ii ii III II I σ σ σ σ σ σ σ det Tr Tr Tr Reemplazando los valores del problema propuesto obtenemos que 6 11 2 1 1 2 2 0 0 2 2 0 0 2 6 σ σ σ III II I c Los valores principales autovalores i σ y direcciones principales nˆ i son obtenidos a través del siguiente sistema de ecuaciones σ σ σ 0 0 0 2 0 0 0 2 1 0 1 2 3 2 1 n n n 2x 1x 3x 1x 2x 3x 1 α 1 β 1 γ 2 ˆe 3 ˆe 1ˆe 3 ˆe 1ˆe 2 ˆe 3 0 4 0 5 0 4 0 3 1 5 A aij donde M 1 13 1 12 1 11 cos cos cos γ β α a a a Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 290 Para obtener las soluciones no triviales de nˆ i tenemos que resolver el siguiente determinante característico 0 2 0 0 0 2 1 0 1 2 σ σ σ σ σ ij ij δ Pero si nos fijamos en las componentes del tensor de tensiones de Cauchy verificamos que ya conocemos un autovalor y autovector ya que las componentes tangenciales según dirección 3x son iguales a cero luego σ Dirección principal 1 2 0 1 2 1 n1 n 1 1 3 n Para obtener los autovalores restantes es suficiente resolver el determinante σ σ σ σ σ 3 1 0 1 2 2 1 1 2 3 2 2 Expresando así las componentes del tensor de tensiones de Cauchy en el espacio principal Pa ij σ 3 0 0 0 1 0 0 0 2 Dirección principal asociada al autovalor σ2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 1 0 1 1 2 n n n n n n n n n Con 0 2 3 n y utilizando la restricción 1 2 2 2 2 2 1 n n obtenemos que 2 1 2 2 2 1 n n luego 0 2 1 2 1 ˆ in2 Dirección principal asociada al autovalor σ2 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 3 3 2 3 1 0 0 0 0 0 3 2 0 0 0 3 2 1 0 1 3 2 n n n n n n n n n Con 0 3 3 n y utilizando la restricción 1 3 2 2 3 2 1 n n obtenemos que 2 1 3 2 3 1 n n luego 0 2 1 2 1 ˆ in3 Como hemos visto en el capítulo 1 los autovectores del tensor constituye una matriz de transformación B del espacio original al espacio principal ie σ B σ BT Luego hay que cumplir que T σ σ σ 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 0 0 2 0 0 0 2 1 0 1 2 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 2 3 2 1 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 291 Figura 314 Ley de transformación de base d La representación gráfica de un tensor de segundo orden simétrico ie el círculo de Mohr puede ser obtenido tal y como se describe en el Apéndice A Para ello debemos reestructurar los autovalores de tal forma que III II I σ σ σ resultando 1 2 3 σ σ σ III II I Las tres circunferencias son definidas por 50 2 1 52 2 1 3 Círculo 01 2 1 02 2 1 2 Círculo 50 2 1 51 2 1 1 Círculo 3 3 2 2 1 1 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ II I II I III I III I III II III II radio R C centro radio R C centro radio R C centro Entonces el círculo de Mohr en tensiones viene representado en la Figura 315 P 1x 1x 3x 2x 3x 2x AT A σ σ A A σ σ T 11 σ 12 σ 13 σ 33 σ 23 σ 13 σ σ22 23 σ 12 σ 1x 2 x 3 x 11 σ 12 σ 13 σ 33 σ 23 σ 13 σ 22 σ 12 σ 1x 2x 3x 23 σ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 292 Figura 315 Círculo de Mohr en tensiones e Como definido en al capítulo 1 un tensor de segundo orden puede ser descompuesto de forma aditiva en una parte esférica y otra desviadora Notación Tensorial Notación Indicial dev m dev esf σ 1 σ σ σ σ dev ij ij m dev ij ij kk dev ij esf ij ij σ σ σ σ σ σ σ δ δ 3 1 323 La representación esquemática de estas componentes se puede apreciar en la Figura 316 El valor de m σ viene dado por 2 3 6 3 3 1 3 1 3 3 3 2 1 33 22 11 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ I kk m Tr Luego la parte esférica queda definida por σ σ 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 ij ij m esf ij δ δ Y la parte desviadora por σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 2 2 2 0 0 0 0 0 0 22 11 33 3 1 23 13 23 33 11 22 3 1 12 13 12 33 22 11 3 1 33 23 13 23 22 12 13 12 11 m m m dev ij Luego σ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 0 0 2 2 1 0 1 2 2 dev ij N σ σ III 1 σS max 1 S σ σ II 2 1 R 3 R 2 R 1 C 3 C max 3 N I σ σ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 293 Los tensores σ y σ dev son coaxiales ver capítulo 1 ie presentan las mismas direcciones principales Luego podemos obtener los autovalores de σ dev fácilmente si operamos en el espacio principal de σ σ σ σ σ σ σ σ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 m m m ijdev Los invariantes de σdev vienen dados por 0 1 0 dev dev dev III II I dev σ σ σ Tr σ Tradicionalmente los invariantes del tensor de tensiones desviador viene denotados por σ σ σ σ σ σ σ σ σ III II I I III II I II I dev dev dev 27 9 27 2 1 3 3 1 0 3 3 2 2 1 J J J Figura 316 Parte esférica y desviadora de σ f Las tensiones normal y tangencial octaédricas vienen dadas por m ii oct N I σ σ σ σ σ σ 3 3 1 3 1 3 2 1 σ σesf σdev 44444444 3 4 4444444 2 1 11 σ 12 σ 13 σ 33 σ 23 σ 13 σ σ22 23 σ 12 σ 1x 2 x 3 x m σ m σ m σ 1x 2 x 3 x dev σ11 12 σ 13 σ dev σ33 23 σ 13 σ dev σ22 23 σ 12 σ 1x 2 x 3 x Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 294 3 3 2 6 2 3 1 2 3 2 2 2 1 2 2 dev dev dev oct oct S II I σ σ σ τ σ J σ σ Reemplazando los valores del problema propuesto obtenemos que 3 2 3 2 6 2 τ σ σ J oct m oct N Ejemplo 34 El estado de tensión en un punto P del medio continuo se da esquemáticamente por Se pide Determinar el valor de la componente σ22 del tensor de tensiones para que exista al menos un plano que pase por P que esté libre de tensiones Determinar la dirección de dicho plano Solución Buscamos un plano cuya dirección es nˆ tal que 0 t n r r ˆ Podemos relacionar el tensor de tensiones con el vector tensión según expresión 317 σ n t n ˆ ˆ r σ 0 0 0 0 1 4 1 1 4 1 0 3 2 1 22 ˆ 3 ˆ 2 ˆ 1 n n n t t t n n n componentes Resultando en el siguiente sistema de ecuaciones σ 2 1 2 1 3 2 22 1 2 3 3 2 4 1 0 4 0 4 1 0 4 n n n n n n n n n n n Combinando las ecuaciones anteriores obtenemos que 0 4 1 4 1 0 2 2 22 2 3 2 22 1 σ σ n n n n n n 0 4 1 4 1 2 22 σ n Luego para 0 n r r tenemos que 2 1 0 4 1 4 1 22 22 σ σ 3 x 2 x 1x 1 1 4 σ22 4 1 1 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 295 Para determinar la dirección del plano partimos de la restricción nini 1 luego 6 2 3 2 2 1 4 1 4 1 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 n n n n n n n n n n n 2 2 2 i i Obteniendo así la dirección de la normal al plano cuando se cumple 0 t n r r ˆ 1 4 1 6 2 ˆ in 343 Otras Medidas de Tensión 3431 Primer Tensor de Tensiones de PiolaKirchhoff Como hemos visto el tensor de tensiones de Cauchy se obtiene en la configuración actual deformada pues es en esa configuración en la que se ha empleado el vector tensión En ciertos casos puede resultar conveniente adoptar la descripción Lagrangiana para definir los tensores de tensiones resultando necesario hacer una correlación del tensor de tensiones de Cauchy y el hipotético tensor de tensiones en la configuración de referencia ver Figura 317 Figura 317 Vector tensión Configuración de referencia y actual En la configuración de referencia adoptamos un elemento de área de módulo A r d con normal Nˆ y asociado a este plano un pseudo vector tensión ˆ 0 t N r Este elemento de área en la configuración deformada tiene módulo dar con normal nˆ y vector tensión ˆ tn r ver Figura 317 Utilizando la definición 34 podemos definir los vectores tensión ˆ 0 t N r ˆ tn r respectivamente de la forma ˆ 0 t N r Nˆ 0 P X 3 x3 X1 x1 X 2 x2 A r d ˆ tn r nˆ P A r d Configuración de Referencia 0 0 t t Configuración Actual t ar d ar d t B 0 B F Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 296 a f x A X r r l r r r r l r r d d a f im t d d A F im t a A 0 ˆ 0 0 ˆ ˆ ˆ n t t n N N 324 Partiendo del principio que f r r d d i i fd d 325 podemos obtener que a A r r r r d d ˆ ˆ 0 t n t N a A n N r r d d i i ˆ ˆ 0 t t 326 a A a A r r r r d d d d σ P σ n P ˆ ˆN k ik k ik k ik k ik da dA d n d N σ σ P P a A r r ˆ ˆ 327 donde hemos utilizado las relaciones A A r r d d Nˆ y a a r r d d nˆ Teniendo en cuenta la relación de Nanson A F a r r d J d T obtenida en el capítulo 2 donde el determinante del Jacobiano J ie J F podemos obtener que A F A F a A r r r r d J d J d d T T σ σ σ P 328 Con eso concluimos que T T J J F F P σ σ P 1 jk ik ij jk ik ij F J F J P P 1 1 σ σ 329 donde P es el Primer Tensor de Tensiones de PiolaKirchhoff o Tensor de Tensiones Nominales o Tensor de Tensiones Lagrangiano Este tensor representa la fuerza en la configuración actual medida por unidad de área no deformada definida en la configuración de referencia y se trata de un tensor no simétrico ie P PT Ya demostraremos que P es un pseudo tensor un tensor de dospuntos o tensor mixto es decir no está ni en la configuración de referencia ni en la actual A veces a la hora de plantear la ecuación constitutiva es conveniente expresarla en función de otras medidas de tensión A continuación expondremos algunos de ellos Los vectores tensiones ˆ 0 t N r ˆ tn r son geométricamente interpretados y se consideran vectores reales de tensiones Introduciremos otros vectores tensiones con el sentido puramente de transformaciones matemáticas ver Figura 319 definimos a continuación t t t R t t t r r r r r r 0 0 0 1 0 J T Θ Λ F 330 donde R es el tensor de rotación Luego podemos sacar las siguientes relaciones t R t R t R t t R t t t R t t t t r r r r r r r r r r r r Λ Θ Θ Λ Θ Λ T T T dA da dA da dA da 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 F F F F F 331 3432 Tensor de Tensiones de Kirchhoff Definimos el tensor de tensiones de Kirchhoff τ que está relacionado con el vector tensión t r configuración actual como Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 297 σ n σ n t t ˆ ˆ J J J τ τ r r 332 Como podemos verificar el tensor de tensiones de Kirchhoff es un tensor simétrico y está relacionado con el tensor de tensiones de Cauchy y el primer tensor de tensiones de Piola Kirchhoff a través de las siguientes relaciones τ τ τ 1 F F P P σ T J 333 NOTA El tensor τ no tiene sentido físico y se describe en la configuración actual 3433 Segundo Tensor de Tensiones de PiolaKirchhoff Podemos también definir el Segundo Tensor de Tensiones de PiolaKirchhoff S definido en la configuración material como Notación tensorial Notación indicial T T J F F F F F 1 1 1 σ P S τ 1 1 1 1 1 σ τ jl kl ik jl kl ik kj ik ij F F J F F F P S 334 O aún T T F F F F S P S P τ 335 El tensor de tensiones de Cauchy en función del segundo tensor de PiolaKirchhoff queda definido por T J F F 1 S σ 336 Podemos comprobar que el tensor S es un tensor simétrico S σ σ S T T T T J J F F F F 1 1 337 3434 Tensor de Tensiones de Biot El tensor de tensiones de Biot T en general un tensor no simétrico es un tensor definido en la configuración de referencia y está relacionado con el vector tensión Θ t0 r T N t ˆ 0 Θ r 338 Partiendo de 338 podemos obtener que P N R N T t R T N ˆ ˆ ˆ 0 T T r 339 Luego P T R T 340 Considerando que T J σ F P obtenemos que T T J σ F R T 341 Teniendo en cuenta las relaciones 340 335 podemos también expresar T como U S R U S R S R P T R T T T F 342 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 298 donde hemos aplicado la descomposición polar por la derecha F R U Observar que T será simétrico si U y S tienen las mismas direcciones principales es decir si son coaxiales 3435 Tensor de Tensión de Mandel Definimos el tensor de tensiones de Mandel M en general no simétrico como T T T T F F F F F F C 1 τ P P S M 343 donde C es el tensor derecho de deformación de CauchyGreen definido en el capítulo 2 Pudiendo así resumir las relaciones entre los tensores de tensiones como T T T T T J J J J J F F F F F F M R T S P σ 1 1 1 1 1 τ Tensor de tensiones de Cauchy 344 M R T S σ P 1 T T J F F F F τ Primer tensor de tensiones de Piola Kirchhoff 345 T T T T T J F F F F F F M R T S P σ τ Tensor de tensiones de Kirchhoff 346 M T U P σ S 1 1 1 1 1 C F F F F F T T J τ Segundo tensor de tensiones de Piola Kirchhoff 347 M U U S R P R σ R T 1 T T T T T J F F τ Tensor de tensiones de Biot 348 U T S P σ M C F F F F F T T T T T J τ Tensor de tensiones de Mandel 349 Podemos resumir los tensores de tensiones según como se muestra en la Figura 318 NOTA Si la configuración actual es igual a la configuración de referencia el tensor gradiente de deformación es aproximadamente igual al tensor identidad 1 1 1 F F F det J y 1 350 En estas condiciones los tensores de tensiones son iguales M T S P σ τ Figura 318 Tensores de tensiones T T T T T J J J F F F F F σ R T σ M σ S 1 X r xr F configuración de referencia configuración actual 0 B B Conf Actual Conf Ref S M T S C X X X t t t r r r σ σ J t t x x r r τ T J σ F P Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 299 Figura 319 Vectores de tensiones Configuración de referencia y actual Configuración de Referencia 0 0 t t Configuración Actual t ˆ da tn r nˆ ar d t B ˆ dA 0 t N r Nˆ A r d 0 B P N t ˆ 0 r P Primer tensor de tensiones de Piola Kirchhoff σ n t ˆ r σ Tensor de tensiones de Cauchy ˆ da tn r nˆ ar d t B ˆ dA 0 t N r A r d 0 B Λ dA t0 r F 1 S N t ˆ 0 rΛ S Segundo tensor de tensiones de Piola Kirchhoff n t t ˆ τ r r J τ Tensor de tensiones de Kirchhoff ˆ dA 0 t N r A r d 0 B Θ dA t0 r T R T N t ˆ 0 rΘ T Tensor de tensiones de Biot Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 344 Representación Espectral de los Tensores de Tensiones En general tensor de tensiones de Cauchy y tensor izquierdo de estiramiento no necesariamente son tensores coaxiales Para la próxima representación de los tensores de tensiones consideraremos que y son coaxiales ie presentan las mismas direcciones principales Luego la representación espectral del tensor de tensiones de Cauchy viene dado por 351 donde son los autovalores de y son los autovectores de y de y son los estiramientos principales Recordar del capítulo 2 que las siguientes representaciones espectrales son válidas 352 y también que el tensor de rotación de la descomposición polar 353 Teniendo en cuenta las relaciones entre tensores de tensiones 344 349 podemos obtener las representaciones espectrales de los tensores de tensiones Tensor de tensiones de Kirchhoff 354 Primer tensor de tensiones de PiolaKirchhoff 355 Como podemos verificar el primer tensor de tensiones de PiolaKirchhoff no está ni en la configuración actual ni en al la configuración de referencia Verificar también que no son los autovalores del tensor tan poco ni son los autovectores de Segundo tensor de tensiones de PiolaKirchhoff 356 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Tensor de tensiones de Biot T J RT σ FT U S J Σa13 Na na Σa13 σa na na Σa13 1λa na Na Σa13 Jσaλa Na Na Σa13 λa Na Na Σa13 Sa Na Na Σa13 Ta Na Na Σa13 Sa λa Na Na Tensor de tensiones de Mandel M J FT σ FT J Σa13 λa Na na Σa13 σa na na Σa13 1λa na Na Σa13 Jσa Na Na Σa13 Ma Na Na Podemos entonces obtener las siguientes relaciones Sa Jλa² σa 1λa² τa 1λa Pa 1λa Ta 1λa² Ma Ejemplo 35 Demostrar que se cumplen las siguientes relaciones P J σdev FT Jσm FT S JF1 σdev FT Jσm C1 donde P y S son el primer y segundo tensor de tensiones de PiolaKirchhoff respectivamente C es el tensor derecho de deformación de CauchyGreen F es el gradiente de deformación J es el determinante del Jacobiano y σm es la tensión media del tensor de tensiones de Cauchy Demostrar también que se cumplen las siguientes relaciones P F S C 3 J σm Solución Teniendo en cuenta que P J σ FT ver expresión 329 y la descomposición de σ como σ σesf σdev podemos obtener que P J σdev σm 1 FT J σdev FT Jσm 1 FT J σdev FT Jσm FT Consideremos ahora la definición del segundo tensor de tensiones de PiolaKirchhoff S JF1 σ FT ver expresión 334 y teniendo en cuenta la descomposición aditiva de σ como σ σsph σdev obtenemos MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 302 1 1 1 1 1 1 σ σ σ C F F F F F F F F F F m T dev T m T dev T m dev T J J J J J J σ 1 σ 1 σ σ S Aplicando en doble producto escalar entre los tensores S y C obtenemos que C C C F F C 1 1 σ m T dev J J σ S donde el término C F F T dev J 1 σ queda 0 0 1 1 1 1 1 σ σ σ 43 42 1 dev T dev pk dev pk dev pk qk qp qj qi jk dev pk ip ij T ij T dev T dev T dev J J J F F F J F J J J σ 1 σ σ σ σ Tr δ δ δ F F F F C F F C F F F F Luego m m m m J J J J σ σ σ σ 3 1 1 1 S Tr Tr C C C C C Ahora haciendo el doble producto escalar entre P y F obtenemos que F F F F F T m T dev J J σ σ P Analizando el término F F T dev J σ concluimos que 0 0 1 σ σ 43 42 1 dev dev ik dev ik ij jk dev ik ij ij T dev T dev J J F F J J J σ 1 σ σ σ Tr δ F F F F Luego m m T T m T m J J J J σ σ σ σ 3 1 P Tr Tr F F F F F 35 Ecuación de Equilibrio Consideremos un cuerpo tridimensional B en la configuración espacial de volumen V y con densidad de masa ρ Sea S el contorno de B y nˆ el vector normal a la superficie S Se considera que el cuerpo está en equilibrio bajo la acción de fuerzas másicas xr r b y fuerzas de superficie r xr t valor prescrito El contorno consiste en una parte u S donde los desplazamientos están prescritos y una parte σ S donde el vector tensión está prescrito fuerza de superficie tal que S S S σ u y σ u S S ver Figura 320 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 303 Figura 320 Cuerpo en equilibrio en la configuración actual Considerando que el cuerpo está en equilibrio la resultante de las fuerzas que actúan en el material es nula verificándose la siguiente relación Notación Tensorial 0 t b σ r r r S V dS dV ρ Notación Indicial 321 i dS dV i S i V i 0 t b σ ρ 360 Considerando j ij i n t ˆ σ n las ecuaciones anteriores pueden ser rescritas como 0 σ n b σ r r S V dS ρ dV i S j ij V i dS dV 0 n b σ σ ρ 361 Utilizando el teorema de la divergencia de Gauss capítulo 1 la segunda integral podrá expresarse como una integral de volumen resultando 0 σ b r r r V V dV dV x ρ i V i ij j dV 0 b σ ρ 362 lo cual será válido también para un volumen arbitrario por tanto 0 b σ r r r ρ x i i j ij i ij j x 0 b b σ σ ρ ρ 363 0 b σ r r r ρ x Ecuaciones de equilibrio descripción espacial 364 Este conjunto de ecuaciones 364 denominamos Ecuaciones de Equilibrio Explícitamente las ecuaciones anteriores se expresan de la forma σ σ σ σ σ σ σ σ σ 0 0 0 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b b b ρ ρ ρ x x x x x x x x x 365 B σ S u S r xr t nˆ 2x 1x 3x O Conf Actual xr xr r ρb dV Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 304 Resultando ser un sistema de tres ecuaciones en derivadas parciales O también se puede expresarse como σ σ σ σ σ σ σ σ σ 0 0 0 3 2 1 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 b b b ρ x x x 366 351 Ecuación de Equilibrio en Notación de Voigt Utilizando la notación ingenieril y la notación de Voigt las ecuaciones de equilibrio pueden expresarse de la siguiente forma τ τ τ σ σ σ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 b b b ρ ρ ρ xz yz xy z y x x y z z x y z y x M 0 L T σ 367 donde la matriz L se conoce como matriz operador diferencial 352 Ecuación de Equilibrio en la Descripción Material En la configuración de referencia la ecuación de equilibrio puede escribirse como 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ V S V S dV dS JdV dS 0 b N P 0 b t r r r r r ρ ρ 368 donde P es el primer tensor de PiolaKirchhoff Observemos que N P P N ˆ ˆ ya que P es no simétrico Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss a la primera integral resulta que 0 b P r r r 0 0 0 0 V dV ρ X 369 Las ecuaciones de equilibrio se escriben en la configuración material Lagrangiana como 0 b S 0 b P r r r r r r 0 0 0 0 ρ ρ F X X Ecuaciones de equilibrio descripción material 370 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 305 Ejemplo 36 Muestre que para el siguiente campo de tensión 0 2 2 2 2 1 33 2 1 2 2 2 1 22 13 23 2 1 12 2 2 2 1 2 2 11 x x x x x x x x x x ν σ ν σ σ σ ν σ ν σ Satisface las ecuaciones de equilibrio con fuerzas másicas iguales a cero Solución Ecuaciones de equilibrio i i i i i j ij i i j ij j i i 0 0 0 b 0 σ σ σ σ σ 33 2 2 11 321 ρ 3 2 1 i i i σ σ σ σ σ σ σ σ σ 0 0 0 33 3 322 1 31 23 3 222 1 21 13 3 122 11 1 σ σ σ σ σ σ σ σ σ 0 0 0 3 33 2 32 1 31 3 23 2 22 1 21 3 13 2 12 1 11 x x x x x x x x x Las ecuaciones de equilibrio quedan σ σ σ ν ν σ σ σ ν ν σ σ σ 0 0 2 2 0 2 2 33 3 232 1 13 2 2 23 3 222 1 12 1 1 31 3 122 11 1 x x x x Con lo cual se comprueba que el cuerpo está en equilibrio 36 Simetría del Tensor de Tensiones de Cauchy Sea un cuerpo B de volumen V donde actúan fuerzas de superficie r xr t y fuerzas másicas b r como indica la Figura 320 Para que el cuerpo se encuentre en equilibrio el momento resultante con respecto al origen O o cualquier otro punto de todas las fuerzas aplicadas debe ser cero balance de momento angular 0 t b σ n r r r r r S V dS dV ˆ x x ρ 371 y en notación indicial i S k j ijk V k j ijk dS x dV x 0 t b σ n ˆ ρ 372 Considerando el vector tensión l kl k n t ˆ ˆ n σ y reemplazándolo en la ecuación anterior obtenemos i S l kl j ijk V k j ijk dS x dV x 0 n b σ σ ˆ ρ 373 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 306 Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss en la segunda integral i V l kl j ijk V k j ijk dV x dV x 0 b σ ρ i V kl l j ijk kl j l ijk V k j ijk dV x x dV x 0 b σ σ ρ 374 Reagrupando los términos i V kl jl ijk k k kl l j ijk dV x 0 b σ σ 0 δ ρ 14243 375 Considerando las ecuaciones de equilibrio k k kl l b 0 σ ρ la ecuación anterior puede simplificarse aún más i V kj ijk dV 0 σ 376 lo cual será válido también para un volumen arbitrario por tanto i kj ijk 0 σ 377 Expandiendo la ecuación anterior resulta i i i i j ij i i i j ij i i i j ij kj ijk 0 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 123 123 3 2 1 33 33 32 23 31 13 3 3 23 32 22 22 21 12 2 2 13 31 12 21 11 11 1 1 378 Una vez que 0 33 22 11 i i i la expresión anterior resulta i i i i i i i kj ijk 0 σ σ σ σ σ σ σ 31 13 32 23 23 32 21 12 13 31 21 12 379 Expandiendo el índice i 12 21 21 312 12 321 13 31 31 213 13 231 23 32 32 123 23 132 0 3 0 2 0 1 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ i i i 380 Las expresiones dadas en 380 son equivalentes a jk kj σ σ 381 en otras palabras el Tensor de Tensiones de Cauchy es simétrico σ σ sym σ σT 382 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 307 Ejemplo 37 Obtener las ecuaciones de equilibrio en notación ingenieril partiendo de un elemento diferencial xr d donde la variación de las tensiones de punto a punto campo de tensiones es la que se muestra en la Figura 321 Figura 321 Tensiones en un elemento diferencial Solución Para obtener las ecuaciones de equilibro partiremos de que la suma de las fuerzas que actúan en el diferencial sea cero Haciendo el equilibrio de fuerzas según dirección x 0 Fx 0 τ τ τ τ τ τ σ σ σ dxdy z dz dxdy dxdz y dy dxdz dydz x dx dydz dxdydz xz xz xz xy xy xy x x x ρbx Simplificando la ecuación anterior resulta 0 τ τ σ z dxdydz y dxdydz x dxdydz dxdydz xz xy x ρbx yz τ xy τ y σ z σ yz τ xz τ xz τ x σ xy τ dz z xz xz τ τ dz z yz yz σ σ dz z z z σ σ dy y yz yz τ τ dy y xy xy τ τ dy y y y σ σ dx x xz xz τ τ dx x xy xy τ τ dx x x x σ σ z y x dz dx dy Cara oculta Cara oculta Cara oculta x b y b z b Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 308 0 τ τ σ z y x xz xy x ρbx Resultante de fuerzas según dirección y 0 Fy 0 22 τ τ τ τ τ τ σ σ σ dydz x dx dydz dxdy z dz dxdy dxdz y dy dxdz dxdydz xy xy xy yz yz yz y y ρb y Simplificando la ecuación anterior resulta 0 τ σ τ z yz y xy y x y x ρb Resultante de fuerzas según dirección z 0 Fz 0 τ τ τ τ τ τ σ σ σ dxdz y dy dxdz dzdy x dx dzdy dxdy z dz dxdy dxdydz yz yz yz xz xz xz z z z ρbz Simplificando la ecuación anterior resulta 0 σ τ τ z y x z yz xz ρbz Luego las ecuaciones de equilibrio son σ τ τ τ σ τ τ τ σ 0 0 0 z z yz xz y z yz y xy x xz xy x z y x x y x z y x b b b ρ ρ ρ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 309 37 Tensiones en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas En este apartado se obtienen las ecuaciones relacionadas con las tensiones en el sistema de coordenadas cilíndricas y esféricas cuyos sistemas se reseñaron en el capítulo 1 371 Coordenadas Cilíndricas La base ortonormal está esquematizada en la Figura 322 Figura 322 Sistema de coordenadas cilíndricas En esta nueva base z z r y x θ las componentes del tensor de tensiones son 4 4 4 3 4 2 1 Ingenieril Notación z z rz z r rz r r zz yz xz yz yy xy xz xy xx ij σ τ τ τ σ τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ θ θ θ θ θ 383 cuya representación gráfica podemos apreciar en la Figura 323 3711 Ecuación de Equilibrio en Coordenadas Cilíndricas Sea un elemento diferencial θ drdzd Figura 324 donde las fuerzas másicas por unidad de masa son r b θ b y z b correspondientes a las direcciones z r θ respectivamente El equilibrio de las fuerzas respecto a la dirección r resulta x x 1 x y 2 x z 3 z eˆ θ eˆ r eˆ r xr θ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición σr σrr dr r dr dθ dz σr r dθ dz τθr τθrθ dθ dθ dr dz τθr dr dz τzr τzrz dx τzr r dθ r dr dθ2 dr σθ dr dz sindθ2 σθ σθθ dθ dr dz sindθ2 ρ br dr dz r dθ r dr dθ2 0 Simplificando y considerando que sindθ2 dθ2 obtenemos que σrr 1r σθrθ σzrz σr σθr ρ br 0 Figura 323 Elemento infinitesimal Sistema de coordenadas cilíndricas Del mismo modo se establece el equilibrio de fuerzas para las otras dos direcciones resultando las ecuaciones de equilibrio para el elemento diferencial en coordenadas cilíndricas Equilibrio de fuerzas según la dirección r σrr 1r σθrθ σzrz σr σθr ρ br 0 Equilibrio de fuerzas según la dirección θ σrθr 1r σθθθ σzθz 2r σrθ ρ bθ 0 Equilibrio de fuerzas según la dirección z σrzr 1r σθzθ σzz 1r σrz ρ bz 0 3 TENSIONES 311 Figura 324 Elemento diferencial de volumen Sistema de coordenadas cilíndricas Ejemplo 38 Demuéstrese que un cilindro cerrado de pared delgada de radio interno r y espesor t sujeto a una presión interna p ver Figura 325 tiene como estado tensional t pr t pr z r 2 0 σ σ σ θ NOTA Las expresiones anteriores sólo son válidas para un cilindro de pared delgada Figura 325 Cilindro cerrado bajo presión Solución Una vez adoptados los ejes de referencia de la Figura 325 planteamos el equilibrio de fuerzas según las direcciones z y y r Equilibrio de fuerzas según dirección z t pr r t r p F z z z 2 2 0 2 σ π σ π θ d r dr θ z dz θ τz z θτ r σ θ σ r θτ θ τr zr τ rz τ dr r r r σ σ dr r r r τ τ θ θ dz z z z σ σ dz z zr zr τ τ dz z z z τ τ θ θ θ θ σ σ θ θ d θ θ τ τ θ θ r d r θ θ τ τ θ θ z d z z dr r rz rz τ τ θ dr d r θ rd y x z σ p z x y z z σ p r r2 p pA π Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 312 Equilibrio de fuerzas según dirección y Equilibrio de fuerzas según dirección r Podemos verificar que en la pared interna del cilindro la tensión radial r σ es igual a la presión p r σ y en la pared externa está libre de presión σ r 0 luego σ 0 r p para el caso σ σ σ σ θ z r r t r 1 luego σ r 0 cuando comparado con σ σθ z Experimentalmente se ha observado que la relación para despreciar r σ es t 10 r En esta situación p p t pr p t pr r z σ σ σ θ 10 5 2 Podemos verificar también que la tensión θ σ es más grande σθ σz es decir que para un material homogéneo un cilindro rompería según dirección de z σ como se indica en la figura siguiente t pr rL p Lt Fy σ σ θ θ 2 2 0 Pero si el material estuviera constituido por un material heterogéneo como por ejemplo matriz y fibras en la dirección de θ σ la forma de rotura ya no estaría tan definida Observemos también que las tensiones obtenidas anteriormente para el cilindro de pared delgada no serán válidas si t 10 r El error cometido ya será significativo 2 pA p rL θ σ θ σ r L y p r σ σ r 0 r p θ σ z σ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 313 372 Coordenadas Esféricas Adoptando el sistema de coordenadas esféricas el elemento infinitesimal de tensiones se representará según la Figura 326 En este sistema de coordenadas las componentes del tensor de tensiones serán 4 4 4 3 4 2 1 Ingenieril Notación r r r r r zz yz xz yz yy xy xz xy xx ij σ τ τ τ σ τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ θ θ θ θ θ φ φ φ φ φ 389 Figura 326 Elemento infinitesimal Sistema de coordenadas esféricas φ eˆ θ eˆ x x 1 x y 2 r eˆ φ θ x z 3 a Sistema de coordenadas esféricas 1x 2x 3x θ φ r r σ θ σ φ σ θ τr φ rτ φ θτ φ θτ θ τr a Elemento infinitesimal Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 314 3721 Ecuación de Equilibrio en Coordenadas Esféricas Considerando ahora un elemento diferencial drdθdφ Figura 327 el volumen de este diferencial viene definido de la forma rd dr dr d r d d r d d dr r d d r d d dr r dV θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 2 1 2 sin sin 2 sin sin 2 1 φ φ φ φ 390 Simplificando y despreciando los términos de orden superior a drdθdφ resulta drd dφ r dV θ θ 2 sin 391 Considerando ahora el estado tensional de este elemento diferencial esférico como muestra la Figura 328 y aplicando el equilibrio de fuerzas según la dirección r obtenemos 0 sin 2 sin 2 sin sin sin sin sin 2 2 θ θ θ θ θ θ σ σ σ θ θ σ σ σ θ τ θ θ θ θ τ τ θ τ τ τ θ θ θ σ θ σ σ θ θ θ θ θ drd d r d dr d r d rd dr d d d dr r d dr d r d rd dr d d d r dr d r d dr r r dr F r r r r r r r r r r r φ ρ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ b 392 Despreciando los términos superiores a drdθdφ y simplificando la expresión anterior hallamos 0 sin sin cos sin 1 2 sin θ θ τ θ τ θ τ σ σ σ θ σ θ θ θ r r r r r r r r ρb φ φ φ φ 393 Análogamente planteamos el equilibrio según las otras direcciones Pudiendo así resumir las ecuaciones de equilibrio como Equilibrio según dirección r 0 sin sin cos sin 1 2 sin θ θ τ θ τ θ τ σ σ σ θ σ θ θ θ r r r r r r r r ρb φ φ φ φ 394 Equilibrio según dirección θ 0 sin sin cos sin 1 3 sin θ θ θ θ σ σ σ θ τ τ θ τ θ θ θ θ θ θ ρb φ φ φ r r r r 395 Equilibrio según dirección φ 0 sin cos 2 sin sin 1 3 sin θ θ τ θ σ θ θ τ τ θ τ θ θ θ φ φ φ φ φ ρ φ b r r r r 396 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 315 Figura 327 Elemento diferencial de volumen Sistema de coordenadas esféricas Figura 328 Tensiones en el elemento diferencial esférico dφ dr r θ sin θ dr d r dφ d dr r sin θ θ dφ r sin θ dφ d r sin θ θ θ rd φ θ dr θ d φ x y dr r r r σ σ θ σ σ θ θ r d φ σ dr r r r τ τ θ θ dr r r r τ τ φ φ θ τ τ θ θ d r φ φ φ rτ θ τ τ θ θ d r r r r σ θ σ φ rτ θ τr φ φ φ φ d r r τ τ φ φ φ φ d τ τ θ θ φ φ φ φ d σ σ θ τr a caras vistas b caras ocultas τθφ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 316 Ejemplo 39 Demuéstrese que una esfera cerrada de pared delgada de radio interno r y espesor t sometida a una presión interna p ver Figura 329 presenta el estado tensional siguiente t pr t pr r 2 2 0 σ σ σ θ φ NOTA Las expresiones anteriores sólo son válidas para una esfera de pared delgada Figura 329 Esfera sometida a presión interna Solución Considerando los ejes adoptados en la Figura 329 planteamos el equilibrio de fuerzas según dirección x y r Equilibrio de fuerzas según dirección x Equilibro de fuerzas según dirección y x x 1 x y 2 x z 3 r eˆ φ eˆ θ eˆ r θ 1x 2x 3x φ t pr r t r p Fx 2 0 2 0 2 σ π σ π φ φ x r2 p pA π r eˆ θ eˆ φ σ r 2 y φ eˆ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 317 Equilibrio de fuerzas según dirección r Podemos verificar que en la pared interna de la esfera la tensión radial es igual a la presión p r σ y que la pared externa está libre de presión σ r 0 luego σ 0 r p Para el caso σ σ σ σ θ r r t r φ 1 luego σ r 0 comparado con σθσφ Experimentalmente se ha observado que la relación para despreciar r σ es t 10 r en esta situación σ σ σθ p p t pr p t pr r 5 2 5 2 φ t pr r t r p Fy 2 0 2 0 2 σ π σ π θ θ φ eˆ y r2 p pA π r eˆ θ eˆ θ σ x r 2 p r σ σ r 0 r p Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 318 38 Estado Tensional en Dos Dimensiones 381 Tensión Plana En muchas aplicaciones de ingeniería los elementos estructurares pueden ser idealizados como bidimensionales o unidimensionales debido a ciertas particularidades en la geometría y en las cargas aplicadas En el caso de Tensión Plana sólo ocurre cuando una de las dimensiones del elemento estructural es pequeña comparadas con las dos restantes y en esa dirección las tensiones son cero Figura 331 es decir cuando las tensiones y fuerzas de volumen son independientes de la coordenada z En estas circunstancias la tensión z σ es cero ver Figura 330 En general se adopta la dirección 3x como la dirección principal de tensión nula Luego las componentes del tensor de tensiones serán σ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ y xy xy x ij D 22 12 12 11 2 22 12 12 11 0 0 0 0 0 397 Figura 330 Círculo de Mohr tensión plana En el caso bidimensional el estado tensional plano en un punto viene caracterizado tal como se muestra en la Figura 331 En el caso 3D para definir completamente el estado tensional en un punto necesitamos definir el estado tensional en tres planos perpendiculares entre sí En el caso bidimensional 2D serán necesarios sólo 2 planos perpendiculares entre sí para definir el estado tensional en este punto ver Figura 331 N σ N σ N σ S σ S σ S σ I σ II σ III σ I σ II σ III σ I σ II σ III σ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 319 Figura 331 Estado de tensión en un punto tensión plana 382 Ecuaciones de Equilibrio en 2D Para el caso bidimensional 2D las ecuaciones de equilibrio dadas por las ecuaciones 363 se resumen a 21 σ j i i i ij j 0 ρb 398 y explícitamente σ τ τ σ σ σ σ σ 0 0 0 0 2 2 22 1 12 1 2 12 1 11 y y xy x xy x Ingenieril Notación y x y x x x x x b b b b ρ ρ ρ ρ 399 3821 Ecuaciones de Equilibrio en Coordenadas Polares Las ecuaciones de equilibrio en coordenadas polares serán las mismas que las definidas en coordenadas cilíndricas con la particularidad de que la cota z 0 En este caso tenemos x x 1 x y 2 x z 3 b r P u S σ S t r x x 1 x y 2 x z 3 x x 1 x y 2 y σ x σ xy τ xy τ y σ x σ xy τ xy τ x σ y σ u Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 320 σ θ σ σ θ σ σ σ σ θ θ θ θ θ θ 0 2 1 0 1 b b ρ ρ r r r r r r r r r r r r 3100 Figura 332 Elemento diferencial coordenadas polares 383 Ley de Transformación en 2D Supongamos ahora que necesitamos obtener las componentes de tensiones en otro sistema de coordenadas Es decir conocidas las tensiones x σ y σ xy τ en el sistema de coordenadas x y se desea obtener las componentes de este tensor en el sistema x y resultante de un giro de los ejes ver Figura 333 Figura 333 Transformación de coordenadas en dos dimensiones Análogamente a como planteamos en el apartado 37 la ley de transformación en el caso bidimensional viene dada por AT A σ σ 3101 θ d r θ y x r σ θ σ r θτ θ τr dr r r r σ σ dr r r r τ τ θ θ θ θ σ σ θ θ d θ θ τ τ θ θ r d r P y σ x σ x x 1 x y 2 xy τ x σ xy τ y σ P y σ x σ 1x 2x xy τ x σ xy τ y σ P θ AT A σ σ A A σ σ T x x 1 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 321 donde la matriz de transformación se reduce a la siguiente expresión θ θ θ θ cos sin sin cos 22 21 12 11 a a a a A 3102 Reemplazando la matriz de transformación A en la expresión 3101 obtenemos θ θ θ θ θ θ σ τ θ θ τ σ θ θ σ τ θ θ τ σ θ θ θ θ σ τ τ σ θ θ θ θ σ τ τ σ cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos y xy xy x y xy xy x y xy xy x y xy xy x 3103 θ θ σ θ τ θ θ τ θ σ σ θ θ θ σ θ τ θ θ τ σ τ θ θ θ σ θ τ θ θ τ σ σ cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos y xy xy x y y xy xy x xy y xy xy x x 3104 y tras manipulaciones algebraicas θ θ σ θ θ τ σ σ σ θ σ θ θ θ τ τ θ θ σ θ θ τ σ σ 2 2 2 2 2 2 cos cos sin 2 sin cos sin sin cos sin cos sin 2 cos y xy x y x y xy xy y xy x x 3105 Reagrupando en forma de matriz σ σ M τ σ σ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ τ σ σ xy y x xy y x sin cos cos sin cos sin sin 2cos cos sin 2cos sin sin cos 2 2 2 2 2 2 3106 que es la representación de la ley de transformación en notación de Voigt para el caso de dos dimensiones Observemos que la matriz M la podíamos haber obtenido utilizando directamente la relación obtenida en el Apéndice A para representar la ley de transformación de un tensor de segundo orden A esta matriz al eliminar filas y columnas relacionadas con la dirección 3x obtenemos que θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 2 2 2 2 2 2 21 12 22 11 12 22 11 21 22 21 2 22 2 21 12 11 2 12 2 11 sin cos cos sin sin cos 2cos sin cos sin 2cos sin sin cos 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a M 3107 Podemos expresar las ecuaciones 3105 de la forma θ θ σ θ τ θ σ σ σ θ σ θ θ θ τ τ θ τ θ σ θ σ σ 2 cos 2 1 cos sin 2 2 cos 2 1 cos sin sin cos sin 2 2 cos 2 1 2 cos 2 1 2 2 y xy x y x y xy xy xy y x x 3108 donde empleamos las siguientes relaciones trigonométricas θ θ θ sin 2 2cos sin θ θ θ cos 2 sin cos 2 2 2 cos2 1 sin 2 θ θ 2 cos2 1 cos2 θ θ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 322 Reestructurando la ecuación 3108 podemos escribir las tensiones ante un cambio de base θ θ τ σ σ σ σ σ θ θ τ σ σ τ θ θ τ σ σ σ σ σ sin 2 cos 2 2 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 2 2 xy x y y x y xy y x xy xy y x y x x 3109 Las ecuaciones anteriores son las mismas empleadas para obtener la tensión normal y tangencial en un determinado plano cuya normal forma un ángulo θ con respecto al eje x ver Figura 334 θ θ τ σ σ τ σ τ θ θ τ σ σ σ σ σ σ σ θ θ cos 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 2 2 xy y x S xy xy y x y x N x 3110 Para obtener y σ podemos utilizar directamente la ecuación 3109 o bien la ecuación correspondiente a x σ dada en 3110 pero con el ángulo θ θ 90º es decir y xy x y y x xy y x y x x σ θ θ τ σ σ σ σ θ τ θ σ σ σ σ σ σ θ sin 2 cos 2 2 2 90º sin 2 90º cos 2 2 2 90 º 3111 donde utilizamos las relaciones θ θ cos 2 90º cos 2 y θ θ sin 2 90º sin 2 Figura 334 Estado de tensión en un punto P σθ x x 1 x y 2 x σ xy τ y σ σ S τθ nˆ θ θ xy τ xy τ x σ y σ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 323 Ejemplo 310 Considérese un material compuesto constituido por matriz y fibras según dirección de º 45 tal como se indica en la Figura 335 Este material compuesto puede romper si la tensión de corte a lo largo de la fibra supera el valor de 10 83 2 6 Pa N m Para una tensión normal Pa x 106 82 σ determínese el valor máximo de y σ para que el material no rompa Figura 335 Material compuesto matrizfibra Solución Este es un ejemplo típico de transformación de coordenadas Es decir tenemos que considerar la tensión de corte máxima según la dirección θ 45º Para ello realizamos la transformación de coordenadas siguiente Pa y xy xy y x xy 6 6 45 º 10 83 sin 90º 2 10 82 cos 2 sin 2 2 σ τ τ θ θ τ σ σ τ τ θ θ Pa y 106 84 σ compresión x σ x σ y σ y σ º 45 x y nˆ 45º Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 324 384 Tensiones y Direcciones Principales en 2D Las direcciones principales están caracterizadas por la ausencia de tensiones tangenciales En el caso bidimensional se resume a 0 τ τ θ xy Figura 336 Figura 336 Direcciones principales Podemos utilizar la ecuación 3110 de transformación de coordenadas y buscar una dirección donde se cumpla que 0 τ τ θ xy es decir 0 cos 2 sin 2 2 θ θ τ σ σ τ θ xy y x 3112 y x xy σ σ τ θ 2 tg2 3113 donde θ es el ángulo que proporciona las direcciones principales ver Figura 336 Para obtener las tensiones principales autovalores ver apartado 38 resolvemos la siguiente ecuación 0 0 2 12 12 1 σ σ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ y xy xy x Ingenieril Notación 3114 El desarrollo del determinante 3114 proporciona la ecuación característica ecuación cuadrática 0 2 2 τ σ σ σ σ σ σ xy y x y x 3115 cuyas raíces son 4 4 2 1 2 1 4 2 2 2 2 2 1 xy y x y x y x xy y x y x y x τ σ σ σ σ σ σ τ σ σ σ σ σ σ σ 3116 P x x 1 x y 2 x σ xy τ y σ θ σx σ1 σy σ2 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 325 Reestructurando la ecuación anterior obtenemos las Tensiones Principales para el caso bidimensional 2 2 1 2 2 2 xy y x y x τ σ σ σ σ σ Tensiones principales para 2D 3117 Considerando el espacio de las tensiones principales la obtención de la tensión normal σβ y tensión tangencial τβ en un plano cuya normal nˆ forma un ángulo β con la dirección principal 1 σ vienen dadas a través de las ecuaciones de transformación obtenidas en 3110 σ σ τ σ σ σ σ σ β β β β sin 2 2 cos2 2 2 2 1 2 1 2 1 3118 Figura 337 Tensiones en un plano genérico Consideremos ahora tres sistemas de coordenadas x1 x2 x1 x2 y x1 x2 cuyas matrices de transformación son 2 1 2 1 x x x x 2 1 2 1 x x x x θ θ θ θ cos sin sin cos B β β β β cos sin sin cos C 3119 Podemos demostrar ver capítulo 1 que la matriz de transformación del sistema x1 x2 al sistema x1 x2 viene expresada de la forma θ θ θ θ cos sin sin cos β β β β CB A 3120 Un caso particular interesante se produce cuando los ejes x1 x2 constituyen las direcciones principales y el ángulo β 45º el cual caracteriza la tensión de corte máxima ver Figura 338 1 σ 1 σ 2 σ 2 σ 1 σ β β σβ τβ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 326 Figura 338 Tensión en un punto 1x 1x 2x 2x 2x 1x P y σ x σ x x 1 x y 2 xy τ x σ xy τ y σ P 2 σ 1 σ 1x 2x 1 σ 2 σ θ P 1x 2x τmax β 45º x σ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 327 Ejemplo 311 Las tensiones que actúan en dos planos que pasan por el punto P están indicadas en la Figura 339 Determínese el valor de la tensión de corte τ en el plano a a y las tensiones principales en este punto Figura 339 Estados tensionales en un punto según los planos a y b Solución Para obtener el estado de tensión en un punto en el caso de dos dimensiones determinamos las tensiones x σ y σ xy τ como se indica en la Figura 340 Figura 340 Estados tensionales en un punto según los planos a y b Según la Figura 340 podemos determinar directamente x σ y xy τ descomponiendo el vector tensión 60Pa ver Figura 340b ie Pa Pa xy x 30 cos60º 60 51962 cos30º 60 τ σ a a b b º 60 60Pa 80Pa y x º 45 τ a a b b º 60 60Pa 80Pa y x º 45 x σ xy τ xy τ y σ τ a a b b º 60 60Pa 80Pa y x º 45 x σ xy τ xy τ y σ τ x σ a b xy τ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 328 Para determinar la componente y σ emplearemos las ecuaciones 3110 obtenidas anteriormente para determinar las tensiones normal y tangencial en un plano dado θ θ τ σ σ τ σ τ θ θ τ σ σ σ σ σ σ σ θ θ cos 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 2 2 xy y x S xy xy y x y x N x Reemplazando los valores numéricos en las expresiones anteriores 30cos90º sin90º 2 962 51 80 30sin90º cos90º 2 962 51 2 962 51 45 º 45 º σ τ σ σ σ θ θ y y y Pa La primera ecuación nos proporciona el valor de y σ Pa y σ 48038 Una vez determinado y σ podemos determinar 45 º τ θ 1 96Pa 45 º τ θ Las tensiones principales pueden determinarse a través de las componentes x σ y σ xy τ tal como se indica en las ecuaciones 3117 por tanto σ σ σ τ σ σ σ σ σ Pa Pa xy y x y x 9 19 80 1 30 2 48038 51962 2 48038 962 51 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 329 385 Círculo de Mohr en 2D El círculo de Mohr sirve para obtener gráficamente la tensión normal y tangencial en cualquier plano para un estado tensional dado así como constituir una herramienta que permite definir algunos modelos constitutivos Para determinar el círculo de Mohr introducido por Otto Mohr en 1882 partimos de las ecuaciones de transformación 3110 θ θ τ σ σ τ θ τ θ σ σ σ σ σ cos2 sin 2 2 sin 2 cos 2 2 2 xy y x xy xy y x y x x 3121 Elevando los dos miembros al cuadrado y sumando ambas ecuaciones resulta 2 2 2 2 cos2 sin 2 2 sin 2 cos2 2 2 θ θ τ σ σ θ θ τ σ σ τ σ σ σ xy y x xy y x xy y x x 3122 Simplificando la expresión anterior resultará una ecuación de circunferencia Figura 341 dada por la siguiente ecuación 2 2 2 R xy m x τ σ σ 3123 donde m σ es el centro de la circunferencia y R el radio dados por 2 y x m σ σ σ 2 2 2 2 xy y x R τ σ σ Figura 341 Círculo de Mohr 2D Para un estado tensional dado los puntos factibles xy x τ σ son los puntos pertenecientes a circunferencia del círculo de Mohr ver Figura 341 64748 xy τ II σ I σ θ 2 N σ σS τ R max II I 2 τ R σ σ 2 II I σ σ τmax y σ x σ xy τ m σ 2 x σy σ COMPRESIÓN TRACCIÓN Circunferencia Estado tensional posible Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 330 Observemos que un giro φ 2 en el círculo de Mohr se corresponde con un giro φ en el elemento infinitesimal Figura 342 Figura 342 Círculo de Mohr 2D La tensión de corte máxima τmax ver Figura 341 puede obtenerse de la forma 2 II I max σ σ τ 3124 Gráficamente podemos observar que la tensión de corte máxima es igual al radio del círculo de Mohr Figura 341 2 2 2 2 II I max R radio xy y x τ σ σ σ σ τ 3125 Ejemplo 312 Hacer la representación del círculo de Mohr para los siguientes casos 1 Caso unidimensional estado de carga de tracción 2 Caso unidimensional estado de carga de compresión 3 Caso bidimensional estado de carga de tracción 4 Caso triaxial 5 estado de corte puro Solución 1 Caso unidimensional estado de carga de tracción τxy σy II σ I σ φ 2 N σ σS τ x τxy σ τxy σx τxy σy P x x 1 x y 2 x σ xy τ y σ φ xy τ xy τ x σ y σ II I σ σ x σ x σ N σ τ I σ σ 0 0 0 0 0 0 0 0 x Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 331 2 Compresión uniaxial 3 Caso biaxial 4 Caso triaxial 5 Corte puro N σ τ II σ I σ I σ III σ II σ N σ τ I σ II σ III σ x σ x σ N σ τ II σ σ 0 0 0 0 0 0 0 0 II σ σ 0 0 0 0 0 0 0 y x II σ I σ σ σ σ III II I 0 0 0 0 0 0 N σ σS τ σ σ σ σ σ σ 0 0 0 0 0 0 0 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 332 Ejemplo 313 Dado el estado de tensiones Pa x σ 1 Pa xy 4 τ y Pa y σ 2 Obtener una gráfica de ángulotensiones xy y x τ σ θ σ siendo θ el ángulo de giro de la cuña dada en la Figura 343 Figura 343 Estado tensional en un punto Solución Calculemos los distintos valores de x σ y σ xy τ utilizando las ecuaciones 3109 Podemos calcular el ángulo correspondiente a la dirección principal a través de la ecuación 3113 41437 º 8 2 1 4 2 2 tan 2 θ σ σ τ θ y x xy y las tensiones principales σ σ τ σ σ σ σ σ Pa P xy y x y x 5311 2 5 5311 2 2 2 1 2 2 1 2 Considerando las leyes de transformación 3109 podemos obtener los distintos valores de xy y x σ σ τ para distintos valores de θ Haciendo θ variar de 0 hasta º 360 podemos representar las tensiones xy y x σ σ τ en función del ángulo ver Figura 344 Observamos que cuando θ 41437º la tensión tangencial es cero τ xy 0 y las tensiones principales son σI 5 5311Pa y 2 5311Pa II σ P Pa y σ 2 Pa x σ 1 x y Pa xy 4 τ x σ xy τ y σ Pa xy 4 τ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 3 TENSIONES 333 Figura 344 Tensiones en función del ángulo θ 6 4 2 0 2 4 6 8 0 50 100 150 200 250 300 350 θ σ1 5 5311 y σ xy τ x σ y σ xy τ x σ θ 41437º 2 σ τmax 4 0311 Tensiones x θ 131437º 2 σ θ 86437º º 45 x x 2 5311 2 σ 1 σ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 334 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 4 Objetividad de Tensores 41 Introducción Toda cantidad física debe ser invariante para distintos observadores Por ejemplo supongamos que dos observadores situados en distintas posiciones deben detectar la misma tensión que actúa en el sólido ver Figura 41 Figura 41 Objetividad de tensores 4 Objetividad de Tensores X x r r r t t Q c 44444444444444444 8 4 4444444444444444 7 6 44444444444444444 3 44444444444444444 2 1 σ B observador 1 Configuración actual σ σ B B observador Configuración actual observador 2 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 336 Lo equivalente es que un único observador al detectar una tensión en la configuración actual deberá detectar la misma tensión si el medio continuo sufre un movimiento de sólido rígido Como veremos en general los tensores son objetivos ya que por el hecho de que tengan sentido físico deben ser invariantes bajo una rotación pero las tasas de los tensores en general no son objetivas Por ello deberemos formular algunas tasas de tensores que sean objetivas Es importante que durante la integración de las ecuaciones constitutivas en el contexto de deformación finita obtengamos objetividad de los incrementos tasas es decir mantener correctas las propiedades de transformación rotacionales durante los pasos de tiempo 42 Objetividad de Tensores Consideremos dos movimientos posibles F y F donde el segundo movimiento F sólo difiere del primero F por un movimiento de cuerpo rígido ver Figura 42 Luego un tensor será objetivo cuando su contraparte pueda ser obtenida por la transformación ortogonal correspondiente Puesto que un movimiento F genera a un estado tensional σ el hecho de que el movimiento F genere el estado Q σ QT σ es conocido como el principio de la objetividad o principio de la invariancia frente a cambios de coordenadas materiales material frame indifference Figura 42 Movimiento de un cuerpo F Q G r F F Q X r gr A xr φ gr A xr φ Configuración de referencia Configuración actual Configuración actual rotada Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 4 OBJETIVIDAD DE TENSORES 337 Escalares Es de fácil demostración que todo escalar es objetivo φ φ 41 Vectores Si gr es un vector Euleriano producido por el movimiento F luego decimos que es objetivo si su contraparte gr producida por F está relacionada con gr por la relación g g r r Q 42 NOTA Aprovechamos esta oportunidad para mencionar que la ley de transformación para los tensores de dos puntos pseudotensores de segundo orden tiene la misma ley de transformación que los vectores Como ejemplo de tensores de dos puntos podemos mencionar el gradiente de deformación F F Q el primer tensor de tensiones de PiolaKirchhoff Q P P Como ejemplo de vector objetivo podemos citar el elemento diferencial de área A r d Para probar este hecho consideremos la Figura 43 donde el diferencial de área en la configuración actual rotada viene definido por a x x x x x x X F X F X F X F x x a r r r r r r r r r r r r r r d d d d d d d d d d d d d d T Q Q Q Q Q Q Q Q 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 cof 43 Con lo cual demostramos que ar d es objetivo Figura 43 Elemento de área F Q F X 1 r d Configuración de referencia Configuración actual rotada X 2 r d A r d dxr 1 dxr2 ar d dxr2 dxr 1 dar Configuración actual Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 338 La velocidad que viene definida como la tasa del desplazamiento no es objetiva Luego la aceleración también no es objetiva Para probar estos hechos consideraremos por simplicidad un movimiento homogéneo X F x r r r c 44 La velocidad viene dada por X F v x r r r r c 45 Aplicando una transformación ortogonal a la expresión anterior obtenemos que X F v x r r r r Q Q c Q Q 46 También se cumple en la configuración actual rotada que X F X F x X F X F x X F X F x X F x r r r r r r r r r r r r r r r r Q Q c Q Q c Q c c c Dt D Dt D Dt D 47 Si comparamos las expresiones 47 y 46 podemos concluir que la velocidad no es objetiva La velocidad solo será objetiva si 0 c r r y Q 0 La aceleración puede ser obtenida a través de la derivada material de 45 resultando X F a x r r r r c 48 Aplicando una transformación ortogonal a la expresión anterior obtenemos que X F a x r r r r Q Q c Q Q 49 Aplicando también la derivada material de la expresión 47 obtenemos que X F X F X F X F x r r r r r r Q Q Q Q c 410 Si comparamos las expresiones 49 y 410 podemos concluir que la aceleración tan poco es objetiva La aceleración solo será objetiva se y solo si 0 c r r y Q 0 Tensores de Segundo Orden Si A xr t es un tensor Euleriano de segundo orden generado por la transformación F luego A es objetivo A si viene relacionado con A por T t t Q Q A A x x r r Tensor Euleriano de segundo orden 411 Para los tensores de dos puntos pseudotensor de segundo orden el cual no se encuentra ni en la configuración actual ni en la configuración de referencia la ley de transformación viene dada por Q A A Tensores de dos puntos 412 Si X t A r es un tensor Lagrangiano de segundo orden éste será objetivo si t t X X r r A A Tensor Lagrangiano de segundo orden 413 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 4 OBJETIVIDAD DE TENSORES 339 421 Gradiente de Deformación Como vimos en el capítulo 2 la relación entre los vectores diferenciales de posición viene dada por X F x r r d d ver Figura 44 o en componentes por j j i j ij i dX X x F dX dx 414 Las componentes del tensor gradiente de deformación F en la nueva base Euleriana son kj ik j k k i j i ij F X x x x X x F Q F F Q 415 Debemos resaltar que F es objetivo aunque la transformación no tenga la forma de transformación de un tensor de segundo orden dado por la ecuación 411 ya que F es un tensor de dos puntos tensor mixto y respecta la ley de transformación de vectores De F F Q obtenemos que X F x r r d d es un vector objetivo ya que x X F X F x r r r r d d d d Q Q 416 Es de fácil demostración ver Figura 44 que la siguiente relación es válida F F F F Q Q Q T T 417 Figura 44 Gradiente de Deformación objetividad La inversa de 415 viene dada por 1 1 F F Q QT 1 1 F F 418 Partiendo de la definición del determinante del Jacobiano J detF también se cumple que J J 1 F F F F det det det det det 23 1 Q Q 419 B X X r r xr Q F configuración de referencia configuración actual 0 B B X X r r d d xr d X F x r r d d F F Q dxr xr x x r r d d Q X F X F x r r r d d d Q T Q configuración actual rotada Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 340 422 Tensores de Deformación El tensor derecho de deformación de CauchyGreen U2 F F C T en la nueva base viene dado por 2 U Q Q Q Q C F F F F F F F F C T T T T T 420 Ya que C C como consecuencia el tensor de deformación de GreenLagrange 1 C E 2 1 y el tensor derecho de estiramiento vienen dados por la siguiente ley de transformación U U E E C C 421 Observemos que C E y U son tensores objetivos ya que están definidos en la configuración de referencia Teniendo en cuenta el tensor izquierda de deformación de CauchyGreen b F F T concluimos que T T T T T Q Q Q Q Q Q b F F F F F F b 422 Observemos que el tensor b está relacionado con el tensor C a través de la siguiente relación 1 F C F b definida en el capítulo 2 Luego también hay que cumplir que T T T T T T T Q Q Q Q Q Q Q Q b F F F F F F F F F F C F F F F F F F F F C F b 1 1 1 1 1 1 423 Como consecuencia el tensor de deformación de Almansi 1 2 1 b e 1 tras la transformación queda QT Q e e 424 Partiendo de la descomposición polar definida en el capítulo 2 ver Figura 45 R V U R V R R U F F 425 donde R es un tensor de rotación U tensor derecho de estiramiento y V es el tensor izquierdo de estiramiento Considerando que F F Q obtenemos que RT R Q R Q R U R R U Q U U 426 También se cumple que T T Q Q V Q Q V 1 2 1 2 b b b b 427 Utilizando la descomposición polar por la izquierda Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 4 OBJETIVIDAD DE TENSORES 341 V R Q V R 428 Además partiendo de la definición que RT Q R ver ecuación 426 concluimos que T T T Q V Q V Q V V Q R R V V R R Q R V V R Q 429 Observemos que los tensores b V e son objetivos ya que estando definidos en la configuración actual deben respectar la ley de transformación dada por 411 Figura 45 Tensores de deformación objetividad 423 Tensores de Tensiones El tensor de tensiones de Cauchy σ es objetivo ya que se cumple que Q σ QT σ 430 Podemos comprobar la relación 430 partiendo de la siguiente relación ˆ ˆ t n n σ r definida en la configuración transformada t B ver Figura 46 B X r xr Q F configuración de referencia configuración actual 0 B B F F Q xr 1 C F F b 2 2 E E C C U U 1 F C F b b e QT Q b b U U Q R R B B T Q R Q R T Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 342 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n σ n n t σ n t Q n σ Q Q t Q n σ t n σ r r 14243 r r T 431 El primer tensor de tensiones de PiolaKirchhoff definido en el capítulo 3 viene dado por la expresión T F σ F P det Luego el tensor P para un nuevo observador debe cumplir que T F F σ P det 432 Considerando las expresiones Q σ QT σ ecuación 430 F F Q ecuación 415 la ecuación 432 puede ser rescrita como 4243 1 P σ Q Q Q σ Q Q Q σ Q Q Q Q σ Q Q σ P T T T T T T T T T J F F F F F F F F F 1 det det det det det Q P P 433 Observemos que el primer tensor de tensiones de PiolaKirchhoff es un tensor mixto es decir no está ni en la configuración de referencia y ni en la configuración actual y observemos también que la transformación es análoga al gradiente de deformación F Figura 46 Tensores de tensiones objetividad La ley de transformación para el segundo tensor de tensiones de PiolaKirchhoff viene dada por ˆ dA 0 t N r Nˆ A r d 0 B da ˆ t n r ˆn t B Q F F F Q σ σ τ J T T M M S S T J σ F P Q P P σ Q σ Q σ J T τ nˆ ar d t B ˆ da tn r Configuración de referencia Configuración actual Configuración actual rotada Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 4 OBJETIVIDAD DE TENSORES 343 T T T T T F F F F F F F F F σ Q Q σ Q Q Q σ S 1 1 1 det det det S S 434 El tensor S S está definido en la configuración de referencia y es también objetivo Consideremos ahora el tensor de tensiones de Kirchhoff τ J σ luego su transformada viene dada por T T T J J J Q Q σ Q Q Q σ Q σ τ τ 435 Comprobando que τ también es objetivo Análogamente podemos verificar las objetividades de los tensores de tensiones de Mandel P M F T y de Biot T U S M P Q P Q P M T T T F F F T U S S U T 436 43 Tasas de Tensores La tasa del tensor gradiente de deformación F viene dada por F F F Q Q 437 y su inversa T T Q Q Q Q Q Q 1 1 1 1 1 1 1 1 1 F F F F F F F 438 El tensor gradiente espacial de velocidad l en la nueva base Euleriana viene dado por T T T Q Q Q Q Q Q Q 1 1 1 1 F F F F F F F F F l 439 T T Q Q Q Q l l 440 Con lo que comprobamos que l es no objetivo A través de 440 podemos obtener la tasa del tensor spin y de su transpuesta T T T T T Q Q Q Q Q Q l l l l 441 Considerando que 1 Q Q T obtenemos que T T T Dt D Q Q Q Q 0 Q Q 442 Luego la expresión 440 aún puede ser reescrita como T T Q Q Q Q l l 443 A través de 443 podemos obtener otra forma de expresar la tasa del tensor spin y de su transpuesta Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 344 l l l l T T T T T Q Q Q Q Q Q 444 Consideremos la parte simétrica de l que por definición es D T 2 1 l l D 445 Reemplazando l dado por la expresión 440 en la expresión anterior 445 obtenemos que T T T T T Q Q Q Q Q Q Q Q D l l 2 1 446 Teniendo en cuenta la relación 442 la expresión anterior resulta en T T T T T Q Q Q Q Q Q D l l l l 2 1 2 1 447 Q D QT D 448 Con lo que comprobamos que D es objetivo Retomando la expresión 440 y considerando la descomposición del tensor l en una parte simétrica D tensor tasa de deformación y en una antisimétrica W tensor spin ie l D W podemos decir que T T T Q W Q Q D Q Q Q l 449 y considerando que Q D QT D concluimos que W es no objetivo y viene dado por T T Q W Q Q Q W 450 Partiendo de la ecuación 450 podemos obtener que Q W Q W Q W Q W Q Q Q T T 451 o aún considerando T T T T Q Q Q Q Q Q obtenemos que W Q W Q Q W Q W Q Q Q Q Q T T T T T T 452 431 Tasas Objetivas de Tensores Para problemas nolineales es necesario el planteamiento de las ecuaciones constitutivas en tasas Como hemos vistos en general las tasas de tensores no son objetivas resultando un problema a la hora de la formulación de la ecuación constitutiva ya que ésta por definición tiene que ser objetiva Por ello muchos investigadores introdujeron algunas tasas de tensores que sí son objetivas Consideremos un vector arbitrario ar luego su ley de transformación viene dada por Q a a r r 453 Su tasa vendrá dada por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición å 𝑸 ā 𝑸 ȧ 454 Resultando que la tasa de ȧ no es objetiva Como hemos visto anteriormente un tensor de segundo orden definido en la configuración actual es objetivo si se cumple que A 𝑸 A 𝑸ᵀ 455 y su tasa viene dada por Ȧ 𝑸 A 𝑸ᵀ 𝑸 Ȧ 𝑸ᵀ 𝑸 A 𝑸ᵀ 456 Con lo que concluimos que Ȧ no es objetivo ya que en la transformación de base aparecen dos términos adicionales al término 𝑸 A 𝑸ᵀ A continuación definimos algunas tasas que sí son objetivas 4311 Tasa Convectiva Considerando la expresión de 𝑸 dada por la relación 444 y reemplazando en la ecuación 454 obtenemos que å 𝑸 ā 𝑸 ȧ å ℓᵀ 𝑸 ā 𝑸 ℓ ā 𝑸 ȧ å ℓᵀ 𝑸 ā 𝑸 ℓ ā ȧ å ℓᵀ ȧ 𝑸 ā ℓᵀ ā åᶜ 𝑸 āᶜ La tasa ᶜ indica tasa convectiva Con lo cual definimos un nuevo vector āᶜ que sí es objetivo y viene dado por āᶜ ā ℓᵀ ā Tasa convectiva 458 4312 Tasa de Oldroyd Si consideramos 𝑸 y 𝑸ᵀ dados en función de ℓ según la expresión 441 es decir 𝑸 ℓ 𝑸 𝑸 ℓ y 𝑸ᵀ 𝑸ᵀ ℓᵀ ℓᵀ 𝑸ᵀ y reemplazando en la expresión 456 obtenemos que Ȧ ℓ 𝑸 𝑸 ℓ A 𝑸ᵀ 𝑸 Ȧ 𝑸ᵀ 𝑸 A 𝑸ᵀ ℓᵀ ℓᵀ 𝑸ᵀ 459 o aún Ȧ ℓ 𝑸 A 𝑸ᵀ 𝑸 A 𝑸ᵀ ℓᵀ 𝑸 ℓ A 𝑸ᵀ 𝑸 Ȧ 𝑸ᵀ 𝑸 A ℓᵀ 𝑸ᵀ Ȧ ℓ 𝑸 A 𝑸ᵀ 𝑸 A 𝑸ᵀ ℓᵀ 𝑸 Ȧ ℓ A A ℓᵀ 𝑸ᵀ Ȧ ℓ A A ℓᵀ 𝑸 Ȧ ℓ A A ℓᵀ 𝑸ᵀ Ȧ 𝑸 Ȧ 𝑸ᵀ Definimos así una nueva tasa la tasa de Oldroyd que es objetiva A A ℓ A A ℓᵀ Tasa de Oldroyd 461 Ejemplo 41 Obtener la tasa de Oldroyd del tensor izquierdo de deformación de CauchyGreen b Solución Partiendo de la definición de la tasa de Oldroyd 461 obtenemos la tasa de Oldroyd del tensor b como b b ℓ b b ℓᵀ Teniendo en cuenta que b F Fᵀ su tasa viene dada por b F Fᵀ F Fᵀ ℓ F Fᵀ F ℓ Fᵀ ℓ b b ℓᵀ Con lo cual concluimos que b b ℓ b b ℓᵀ ℓ b b ℓᵀ ℓ b b ℓᵀ 0 4313 Tasa de CotterRivlin Si en lugar de utilizar las expresiones de Q y Qᵀ dadas por 441 utilizamos las expresiones dadas por 444 y las reemplazamos en 456 obtenemos que A Q ℓᵀ ℓᵀ Q A Qᵀ Q A Qᵀ Q A ℓ Qᵀ Qᵀ ℓ A ℓᵀ Q A Qᵀ Q A ℓ Qᵀ Q ℓᵀ A Qᵀ Q A Qᵀ Q A ℓ Qᵀ A ℓᵀ Q A Qᵀ Q A ℓ Qᵀ Q A ℓᵀ A A ℓ Qᵀ A ℓᵀ A A ℓ Q A ℓᵀ A A ℓ Qᵀ A Q A Qᵀ Obteniendo así una nueva tasa objetiva la tasa de CotterRivlin A A ℓᵀ A A ℓ Tasa de CotterRivlin 463 Ejemplo 42 Obtener la tasa de CotterRivlin del tensor de deformación de Almansi e en función del tensor tasa de deformación D Solución Partiendo de la definición de la tasa de CotterRivlin 463 la tasa de CotterRivlin del tensor e queda e e ℓᵀ e e ℓ Recordemos del capítulo 2 que la tasa del tensor de deformación de Almansi e está relacionada con el tensor tasa de deformación D por la relación D e ℓᵀ e e ℓ e D ℓᵀ e e ℓ Reemplazando e en la tasa de CotterRivlin obtenemos que e D Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 4314 Tasa de JaumannZaremba Si consideramos ahora Q dado por la ecuación 451 y Qᵀ dado por la ecuación 452 en la ecuación 456 hallamos que A Q A W A A W Qᵀ W A A W 464 Reestructurando la ecuación anterior obtenemos A W A A W Q A W A A W Qᵀ A Q A Qᵀ 465 Concluimos que el término A denominado tasa de JaumannZaremba sí es objetivo y viene dado por A A W A A W Tasa de JaumannZaremba 466 A continuación relacionaremos las tasas A A y A entre sí Por ello consideremos las siguientes relaciones A A ℓ A A ℓᵀ A A ℓ A A ℓᵀ 467 A A W A A W A A W A A W 468 A A ℓᵀ A A ℓ A A ℓᵀ A A ℓ 469 Combinando 467 y 468 obtenemos que A W A A W T ℓ A A ℓᵀ A A ℓ A A ℓᵀ W A A W 470 A A D W A A D Wᵀ W A A W Luego relacionamos la tasa de JaumannZaremba con la tasa de Oldroyd po A A D A A D Relación entre las tasas de JaumannZaremba y de Oldroyd 471 Combinando 468 y 469 obtenemos que A W A A W A ℓᵀ A A ℓ A A ℓᵀ A A ℓ W A A W 472 A A D W A A D Wᵀ W A A W Luego la relación entre la tasa de JaumannZaremba y la tasa de CotterRivlin viene dada por A A D A A D Relación entre las tasas de JaumannZaremba y de CotterRivlin 473 Ahora combinando 471 y 473 obtenemos que 2 A A A 474 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 4315 Tasa de GreenNaghdi o Tasa Polar Recordemos que en el capítulo 2 en el apartado de Descomposición Polar obtuvimos la siguiente expresión para el tensor spin W 12 R U U¹ U¹ U Rᵀ R Rᵀ 475 Si U 0 luego W R Rᵀ consecuentemente ℓ W R Rᵀ y reemplazando en la expresión 463 obtenemos que A ℓ W A A A Wᵀ A A W A W A A W 476 que es la misma expresión obtenida en 466 Con eso definimos la tasa de GreenNaghdi o tasa Polar o aún tasa de GreenMcInnis como Tasa de GreenNaghdi o Tasa Polar o Tasa de GreenMcInnis A A R Rᵀ A A R Rᵀ 477 432 Tasas Objetivas de Tensores de Tensiones La tasa del primer tensor de tensiones de PiolaKirchhoff transformado ecuación 433 viene dada por P Q P P Q P Q P 478 Reemplazando Q Q ℓᵀ ℓᵀ Q en la expresión anterior hallamos que P Q P Q P P Q ℓᵀ ℓᵀ Q P Q P P Q ℓᵀ P ℓᵀ Q P Q P P ℓᵀ P Q P ℓᵀ P 479 Observemos que la ley de transformación ortogonal para el tensor P viene dada según la ley de vectores luego la tasa P ℓᵀ P es objetiva porque presenta la misma estructura que la tasa convectiva presentada en 458 Haciendo la derivada material de la relación P J σ F ᵀ obtenemos que DDtP P J σ F ᵀ J σ F ᵀ J σ F ᵀ 480 Utilizando las relaciones demostradas en el capítulo 2 para la tasa del determinante del Jacobiano Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición j J Trl J TrD W J TrD J C1 E J2 C1 C JFT F 481 y considerando que F1 F1 l donde l es el gradiente espacial de la velocidad y sustituyendo estas relaciones en la ecuación 480 obtenemos P J Trl σ FT J σ FT J σ lT FT 482 o aún P J TrD σ σ σ lT FT 483 Tasa de Tensiones de Truesdell Consideremos ahora el tensor de tensiones de Kirchhoff τ J σ luego su transformada viene dada por τ J σ J σ su tasa viene dada por τ j σ J σ J TrDσ Jσ J TrDσ JQ σ QT Q σ QT Q σ QT 484 donde hemos reemplazado σ por la expresión 456 Reemplazando Q y QT dados por la expresión 441 es decir Q l Q Q l y QT QT lT lT QT obtenemos que τ J TrD σQ σQT l Q σ QT Q l σ QT Q σ QT Q σ QT lT Q σ lT QTσ 485 τ J l σ σ lT Q σ TrD l σ σ σ lT QT 486 Teniendo en cuenta que τ J TrDσ Jσ ver expresión 484 con lo cual obtenemos que TrDσ σ lT σ σ l Q TrDσ l σ σ σ lT QT 487 Obtenemos así una nueva tasa objetiva la tasa de tensiones de Truesdell σT σ l σ σ lT σ TrD Tasa de tensiones de Truesdell 488 Relaciones entre las Tasas Objetivas de los Tensores de Tensiones Consideremos la tasa del Oldroyd del tensor de tensión de Cauchy σ σ l σ σ lT podemos decir que σT σ TrDσ 489 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición También podemos relacionar la tasa de tensión de Kirchhoff de Oldroyd τ τ l τ τ lT con la de tensión de Cauchy de Oldroyd σ σ l σ σ lT como τT J σ 490 Podemos demostrar esta relación partiendo de 486 τ J lT σ σ l Q σ TrD l σ σ σ lT QT τ J lT τ J τ J l Q σ TrD l σ σ σ lT QT 491 τ lT τ τ l Q Jσ TrD l σ σ σ lT QT luego QT τ lT τ τ l Q Jσ TrD l σ σ σ lT τT J σ 492 Consideremos la relación entre el segundo tensor de tensiones de PiolaKirchhoff y el tensor de tensiones de Kirchhoff S F1 τ FT capítulo 3 la tasa viene dada por S F1 τ FT F1 τ FT F1 τ FT F1 l τ FT F1 τ FT F1 τ lT FT F1 τ l τ τ lT FT 493 donde hemos considerado la relación F1 F1 l obtenida en capítulo 2 Teniendo en cuenta la tasa de Oldroyd del tensor de tensiones de Kirchhoff τ τ l τ τ lT la expresión 493 queda ST F1 τ τ FT J F1 σT FT 494 Partiendo de la relación τ Jσ y que σ Q σ QT obtenemos que τ jσ Jσ jσ JDDt Q σ QT jσ JQ σ QT Q σ QT Q σ QT 495 Además considerando la relación Q W Q Q W y que j J TrD en la expresión anterior τ J TrDσ JW Q Q W σ QT Q σ QT Q σ W Q Q WT 496 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 4 OBJETIVIDAD DE TENSORES 351 T T T T T T T T T T T T T T J J J J J J Q Q σ W σ Q Q Q W σ Q D σ W σ Q Q σ Q Q W Q Q σ W W σ Q Q Q σ Q Q W σ Q Q σ Q W σ D Tr Tr τ τ 497 o aún T T T J T Q σ W W σ σ D σ Q W W Q Q 4444 3 4 444 2 1 o Tr τ τ τ τ 498 Resultando así la relación entre las tasa de JaumannZaremba de los tensores de tensiones de Kirchhoff y de Cauchy o o σ σ D σ W W σ σ σ D Tr Tr J J T τ 499 Ejemplo 43 Considérese la siguiente ecuación constitutiva ρ l ρ f p σ 1 σ 4100 donde p es la presión ρ es la densidad de masa y l es el tensor gradiente espacial de la velocidad Qué condiciones deben satisfacer para que sea objetiva Solución Partiendo de la descomposición del tensor de tensiones en dos partes f p σ σ σ donde 1 σ pρ p y ρ l f f σ σ Y además el tensor de tensiones para una transformación ortogonal viene representado por l ρ ρ f f p p σ 1 σ σ σ Como toda ecuación debe ser objetiva debe cumplir que T f T f T p T f p T p Q Q σ 1 Q Q σ Q σ Q Q σ σ Q Q σ Q σ ρ l ρ donde se cumple que ρ ρ p p escalar Y además considerando que T T Q Q Q Q l l σ sólo será objetivo si se cumple que T f f Q Q σ l l ρ ρ T f T T f Q Q σ Q Q Q Q σ l l ρ ρ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 352 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 Ecuaciones Fundamentales de la Mecánica del Medio Continuo 51 Introducción Las ecuaciones fundamentales de la mecánica del continuo se basan en el principio de la conservación de ciertas cantidades físicas Consideraremos cinco principios para establecer las ecuaciones básicas que gobiernan un Problema de Valor de Contorno Inicial PVCI Principio de la conservación de la masa Principio de la conservación del momento lineal Principio de la conservación del momento angular Principio de la conservación de la energía Principio de la irreversibilidad Plantearemos los principios fundamentales de la mecánica en las configuraciones de referencia y actual Ya veremos que estos principios no son suficientes para establecer el conjunto de ecuaciones en derivadas parciales del PVCI A continuación introduciremos algunos conceptos y teoremas para el desarrollo del capítulo Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 354 52 Densidad La densidad f xr t es una función escalar que mide la cantidad de una propiedad por unidad de volumen alrededor de un punto en el tiempo t Como ejemplos de función densidad podemos citar la densidad de masa denotada por ρ xr t muchas veces denominada simplemente por densidad la densidad de energía que mide la energía almacenada energía térmica energía de deformación energía química etc por unidad de volumen El término específico será utilizado para medir la cantidad de una propiedad por unidad de masa 521 Densidad de Masa Como visto anteriormente a cualquier medio continuo se le asigna una cantidad escalar positiva denominada masa Se considera que la masa está distribuida de forma continua en el medio continuo A continuación revisamos el concepto de densidad de masa introducido en el capítulo2 Consideremos una esfera ver Figura 51 de radio infinitesimal centrada en el punto P en la configuración de referencia El material contenido en esta esfera tiene masa m Considerando V0 el volumen de la esfera la densidad de masa 0 ρ viene definida por el límite 0 0 0 0 0 0 dV dm V m im t V l r r X x ρ ρ 51 Figura 51 Densidad de masa Análogamente la densidad de masa de una partícula en el tiempo t configuración actual viene dada por dV dm V m im t V 0 l ρ rx ρ 52 Las funciones ρ xr t y 0 X r ρ son funciones densidades continuas y están relacionadas entre sí ver capítulo 2 por ρ ρ 0 J 53 La cantidad de la masa de una parte del medio continuo que ocupa un volumen V en el instante de tiempo t viene dada por 4243 1 r 0 0 0 X ρ V 2x 3x 1x 0 0 t t t 43 42 1 r 0 t V ρ x Conf de referencia Conf actual 0 0 JdV dV J ρ ρ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 355 0 t dV dm m V t xr ρ B 54 Consideremos una variable Σ xr t sea un escalar un vector o un tensor de orden superior por unidad de masa se cumple que dV JdV0 Σ Σ Σ Σ 0 0 0 0 0 V V t f f V dV t t dV t J t dV t t dm X X x x x x x X r r 4 4 4 3 4 2 1 r r r r r r ρ ρ ρ B 55 Observemos que t t J x x r r ρ Σ está siendo integrada en el volumen de referencia luego el resultado del integrando tiene que estar en la configuración de referencia y además 0 ρ ρ Σ Σ t t J x x r r luego X t r Σ Σ Es decir cuando una variable está expresada por unidad de masa no haremos distinción entre configuración de referencia y actual 53 Flujo Las propiedades masa energía etc atribuidas por la densidad pueden moverse La tasa y dirección del flujo están asociadas por el vector flujo normalmente denotado por rq xr t Con eso definimos que cierta cantidad atraviesa un elemento área da ver Figura 52 cuya normal a esta superficie es nˆ que viene dada por da da da n cos ˆ q α q q n r r 56 donde α es el ángulo que forman los vectores qr y n q ˆ r Observemos que sólo la componente normal n q ˆ r a la superficie atraviesa la superficie La componente tangencial s q ˆ r se queda en la superficie da Como ejemplo de flujo tenemos el flujo de masa cuyo vector viene representado por vr r q ρ Con lo que respecta a las unidades tenemos que si qr representa flujo de masa m s kg 2 qr si qr representa flujo de energía m s J 2 qr Figura 52 Flujo a través de la superficie da 1x 2x 3x t B qr nˆ n qˆ r da α Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 356 54 Teorema del Transporte de Reynolds Supongamos que tenemos un campo escalar en la configuración espacial Φ xr t describiendo alguna cantidad física de una partícula en el espacio por unidad de volumen en el tiempo t Si Φ xr t es continua y diferenciable podemos decir que Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ V V V V dV t t Dt D dV t t Dt D dV Dt dV D t t Dt dV D t dV Dt D v x x v x x x x x x x r r r r r r r r r r r 57 en notación indicial Φ Φ Φ V k k V dV x v t t Dt D t dV Dt D x x x r r r 58 Utilizando el operador de derivada material podemos aún decir que Φ Φ Φ Φ Φ Φ V p p V k k p p V dV t v x t t dV x v t x t v t t t dV Dt D x x x x x x r r r r r r 59 Esta última expresión es conocida como Teorema del Transporte de Reynolds y puede ser representado por las siguientes expresiones Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ t t S V V V V dS t dV t t dV t t t dV t t Dt D t dV Dt D ˆ v n x x v x x v x x x x x r r r r r r r r r r r r Teorema del transporte de Reynolds 510 donde tV es el volumen de control tS es la superficie de control y nˆ es el versor normal exterior a la frontera El primer término del lado derecho de la igualdad denominamos la tasa local del campo escalar Φ en el dominio V mientras que el segundo término caracteriza la tasa de transporte de vr Φ que sale del dominio V a través de la superficie S Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 357 Figura 53 Volumen material Ejemplo 51 Demostrar el teorema del transporte de Reynolds partiendo de la siguiente expresión Φ Φ 0 0 V V JdV Dt D dV Dt D 511 Solución Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ V V V V dV Dt D dV J Dt J D Dt dV DJ Dt J D JdV Dt D v v x x r r r r 0 0 0 0 0 0 541 Teorema del Transporte de Reynolds para un Volumen con Discontinuidades Consideremos un volumen material que es intersecado por una superficie discontinua Σt que se mueve en el tiempo con velocidad ωr ver Figura 54 La superficie Σt divide el volumen material en dos partes B y B La discontinuidad móvil Σt viene definida por la ecuación de superficie 0 t t f Σ Σ x x r r 512 El versor nˆ normal a la superficie Σt viene dado por la relación Σ Σ f f t ˆ xr n 513 Las velocidades normales n ω de los puntos pertenecientes a Σt según dirección nˆ vendrán definidas por Σ Σ ω f t f n 514 Combinando las relaciones 513 y 514 obtenemos nˆ vr φ t t φxr xr tV tS nn v ˆ ˆ r r φ qn superficie de control volume de control Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 358 ω ω ω r r r Σ Σ Σ Σ ω f f f t f n n n ˆ ˆ 515 o también 0 0 Σ Σ Σ Dt Df f t f ω r 516 Figura 54 Volumen material con discontinuidades Consideremos el valor de una variable representada por un tensor A en el contorno Σ y Σ dadas por A y A respectivamente El salto de esta variable viene representado por A A A 517 Aplicando el teorema de Gauss para los dos volúmenes B y B obtenemos Σ Σ dS dS dV dS dS dV S V S V ˆ ˆ ˆ ˆ n A A n A n A A n A 518 Sumando estas dos ecuaciones resulta que Σ Σ dS dS dS dV S S V V ˆ ˆ ˆ n A n A A n A 519 Considerando que n n n ˆ ˆ ˆ y A A A aún podemos decir que 444444444444 3 4 44444444444 2 1 B Σt B B S nˆ S Σ Σ nˆ ωr Σt nˆ nˆ nˆ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 359 Σ dS dS dV S S V V ˆ ˆ n A A n A 520 El Teorema del Transporte de Reynolds puede ser modificado para cuando haya una superficie discontinua Σt que se mueve con velocidad ωr ver Figura 54 Aplicando la ecuación 510 para los dos volúmenes B y B cuyos contornos son Σ S y Σ S respectivamente obtenemos que Σ Σ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ dS t dS t dV t t t dV Dt D dS t dS t dV t t t dV Dt D S V V S V V ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n ω ω r r r r r r r r r r r r x v x x x x v x x x 521 Sumando las dos ecuaciones anteriores y una vez más considerando que n n n ˆ ˆ ˆ y que Φ Φ Φ concluimos que Σ Φ Φ Φ Φ dS dS t dV t t t dV Dt D S S V V V V ˆ ˆ n n ωr r r r r v x x x 522 Utilizando la definición 520 podemos decir que Σ Φ Φ Φ dS t dV t dS t V V S S ˆ ˆ n n v x v x v x x r r r r r r r 523 Reemplazando este término en la expresión 522 obtenemos que Σ Φ Φ Φ Φ Φ dS t dV t t t t dV Dt D V V V V ˆ n ω r r r r r r r r v x v x x x x 524 Resultando así el Teorema del Transporte de Reynolds para volumen con discontinuidades Σ Σ Σ Σ Σ Σ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ dS dV t Dt t D t dV Dt D dS dV t t t t dV Dt D V V V V ˆ ˆ n n ω ω r r r r r r r r r r r r r r v v x x x v v x x x x x 525 55 Ley de Conservación La ley de conservación de una determinada propiedad física por unidad de volumen en una parte del dominio establece que ninguna propiedad física densidad de masa densidad de energía etc puede ser creada o destruida y sí que se mueve de un sitio a otro La ley de conservación en su forma global débil viene establecida a partir del teorema del transporte de Reynolds Φ Φ Φ V sumidero fuente V dV t t t t dV Dt D 0 v x x x x r r r 4 4 4 3 4 2 1 r r 526 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 360 Si el término de la izquierda de la igualdad es distinto de cero podemos interpretar que hay una fuente o sumidero de la propiedad y podemos representar de forma local a través de una variable Q Luego Q 0 nos indica que hay una fuente y Q 0 hay un sumidero Por ejemplo si la propiedad en cuestión es la densidad de masa masa por unidad de volumen en general Q 0 Pero si en un órgano biológico hay un tumor células con crecimiento anormal podemos establecer una ley a nivel macroscópico que indique de como la masa evoluciona con el tiempo fuente sin preocuparnos con las células individualmente Otro ejemplo que podemos citar es la generación interna de calor debido a alguna reacción química por ejemplo la hidratación del cemento cuyo efecto de dicha reacción química podemos representar a nivel macroscópico a través de una variable que nos proporcione la cantidad de calor generada por unidad de volumen y por unidad de tiempo fuente interna de calor Observemos que el término vr Φ representa el flujo de la propiedad Luego si vr Φ representa flujo de energía la unidad será m s J 2 Φvr y si estamos tratando de transporte de masa m s kg 2 Φvr Como visto anteriormente el flujo en general viene representado por la variable qr Luego podemos establecer la forma local fuerte de la ley de conservación y denominada de ecuación de continuidad t t t Q x x x r r r r q Φ Ecuación de continuidad s Φ 527 donde Φ es igual a la unidad de la cantidad física por unidad de volumen 56 Principio de Conservación de la Masa Ecuación de Continuidad de Masa La ley de conservación de la masa establece que la masa total de un medio continuo no cambia Eso implica que la masa total en la configuración de referencia es igual a la masa total en la configuración actual V V dV dV m 0 0 ρ ρ kg 528 Como consecuencia de la conservación de la masa la derivada material de la masa total es nula Dt m 0 D 0 0 V V V V dV t t Dt D Dt dV D t t Dt dV D t dV Dt D t dV Dt D Dt m D v x x x x x x x r r r r r r r r ρ ρ ρ ρ ρ ρ 529 o en notación indicial Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 361 0 dV x v t Dt D V k k ρ ρ xr s kg 530 Si la ecuación anterior es válida para todo el dominio luego debe ser satisfecha localmente 0 kv k Dt D ρ ρ sm3 kg 531 La ecuación anterior es la conocida ecuaciones de continuidad de masa en la descripción espacial Euleriana y viene expresada en notación tensorial como 0 x v r ρ r ρ Dt D Ecuación de continuidad de masa descripción Euleriana 532 Utilizando el operador de la derivada material k k x v t Dt D la ecuación de continuidad de masa 531 queda 0 k k k k k k p p k k v t v x t x v x v t v Dt D ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 533 Resultando así otra manera de representar la ecuación de continuidad de masa 0 v x r r ρ ρ t Ecuación de continuidad de masa descripción Euleriana 534 Podríamos haber obtenido la misma ecuación 534 aplicando directamente el teorema del transporte de Reynolds donde en la ecuación 510 reemplazamos t t x x r r ρ Φ resultando así 0 0 v x x v x x x x x r r r r r r r r r t t t dV t t t t dV Dt D V V ρ ρ ρ ρ ρ 535 También podríamos haber obtenido la ecuación de continuidad de masa 532 partiendo del principio de conservación de la masa para un elemento diferencial 3 2 1 dx dx dx Figura 55 cuyo principio establece que La tasa de masa que entra en la cara A es 3 2 1 1 dx dx v x ρ mientras que la tasa de masa que sale en la cara B es 3 2 1 1 1 1 dx dx dx x v v ρ ρ Análogamente podemos obtener las tasas de masa en las otras caras Aplicando la conservación de la masa para todo el diferencial de volume podemos decir que Tasa de acumulación de masa Tasa de masa que entra Tasa de masa que sale Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 362 2 1 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 3 2 1 1 1 1 2 1 3 3 1 2 3 2 1 3 2 1 dx dx dx x v v dx dx dx x v v dx dx dx x v v v dx dx v dx dx v dx dx t dx dx dx ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 536 Figura 55 Conservación de masa en un elemento diferencial de volumen Simplificando la ecuación anterior obtenemos que 3 3 2 2 1 1 x v x v x v t ρ ρ ρ ρ 537 Usando la regla de la cadena de la derivación y reestructurando la relación anterior hallamos que 0 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 v x v v r 3 2 1 4243 1 r r r ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Dt D x v x v t x v x v x v x v x v x v t i i i i Dt D Tr 538 561 Ecuación de Continuidad en la Descripción Material La ecuación de continuidad de masa 532 también se puede expresar en la forma Lagrangiana material Para ello partiremos de la conservación de la masa que exige que 0 0 0 0 0 V V V t J dV t dV dV t f 4243 1 r r r r X x x X ρ ρ ρ 539 Puesto que la ecuación anterior es válida para cualquier volumen 0 V también será válida localmente ρ ρ 0 X J r 540 Ya que 0 ρ es independiente del tiempo y ρ J también lo es Resultando así en la forma diferencial Lagrangiana de la ecuación de continuidad de masa 3 dx 1x 1 dx cara A cara B 3 2 1 ρv dx dx 1x 2x 3x 2 dx 3 2 1 1 1 1 dx dx dx x v v ρ ρ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 363 0 J Dt D ρ Ecuación de continuidad de masa en forma Lagrangiana 541 Ejemplo 52 Si t Pij L xr representa alguna propiedad escalar vectorial o tensorial cualquiera por unidad de masa de un medio continuo probar que la siguiente expresión es siempre válida V ij V ij dV Dt t DP t dV P Dt D x x r r L L ρ ρ 542 Solución Fue demostrado ecuación 58 que dV x v t t Dt D t dV Dt D V p p V Φ Φ Φ x x x r r r Haciendo que ρ PijL Φ y reemplazando en la ecuación anterior resulta dV x v Dt D P Dt P D dV x v P Dt D P Dt P D dV x v P P Dt D dV P Dt D V de continuidad de masa ecuación k k ij ij V k k ij ij ij V p p ij ij V ij 043 42 1 K K K K K K K K ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Con lo que concluimos que dV Dt DP dV P Dt D V ij V ij K K ρ ρ Ejemplo 53 Probar que la siguiente relación es válida v v v a x r r r r r ρ ρ ρ t 543 Solución Partiendo del teorema del transporte de Reynolds Φ Φ Φ S V V dS t dV dV Dt D ˆ vr n y considerando que vr ρ Φ obtenemos que S V V dS dV t dV Dt D ˆ v n v v v r r r r ρ ρ ρ en notación indicial queda S k k i V i V i i S k k i V i V i dS v v dV t v Dt v dV D dS v v dV t v v dV Dt D a ˆ ˆ n n ρ ρ ρ ρ ρ ρ 3 2 1 Aplicando el teorema de la divergencia para la integral de superficie obtenemos que V k k i i V k k i V i V i dV v v t v dV v v dV t v dV a ρ ρ ρ ρ ρ En notación tensorial V V dV t dV v v v a x r r r r r ρ ρ ρ v v v a x r r r r r ρ ρ ρ t cqd cqd Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 364 562 Medio Incompresible La capacidad que un medio continuo tiene para cambiar el volumen denominamos de compresibilidad Es sabido que los gases son más compresibles que los líquidos Pero para efectos prácticos los líquidos pueden ser considerados como incompresibles Un medio incompresible está caracterizado por un movimiento isocórica J 1 y la densidad de masa de cada partícula es independiente del tiempo Para el caso en que la densidad de masa sea constante medio incompresible tenemos que 0 0 3 3 2 2 1 1 Tr D Tr l x v x v x v Dt D x v r ρ r ρ 544 donde l es el tensor gradiente espacial de la velocidad y D tensor tasa de deformación es la parte simétrica del tensor l ver capítulo 2 Con lo que un medio incompresible podrá venir caracterizado por las siguientes relaciones 1 0 0 0 J Dt D J Dt D ρ ρ ρ ρ det F 545 Para esta situación la densidad de masa deja de ser una incógnita del problema y además la ecuación de continuidad de masa 532 se resume a 0 kv k o en notación tensorial x v 0 r r Ecuación de continuidad de masa para un medio incompresible 546 563 Ecuación de Continuidad de Masa para Volumen con Discontinuidades Consideremos un volumen V que presenta una superficie discontinua Σt ver Figura 54 Partiendo de la conservación de la masa 0 V dV Dt D ρ y considerando el teorema del transporte de Reynolds con discontinuidades ecuación 525 con Φ ρ obtenemos 0 ˆ Σ Σ Σ dS dV Dt D dV Dt D V V n ω r r r r v x v ρ ρ ρ ρ 547 Asumiendo que la densidad de masa ρ xr t y la velocidad x t v r r son funciones diferenciables continuas en V Σ y que r ωr ρ v también es una función diferenciable continua en Σ La ley del balance global es válida para las partes arbitrarias del volumen y de la superficie discontinua luego hay que satisfacer que Σ Σ en V en Dt D 0 ˆ 0 n ω r r r r v v x ρ ρ ρ Ecuaciones de continuidad con superficie discontinua 548 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 365 Ejemplo 54 Para un campo de velocidad dado por t x v i i 1 para t 0 Se pide 1 Encontrar la densidad de masa de una partícula en función del tiempo 2 Probar que para el movimiento dado se cumple que 3 2 1 0 3 2 1 X X X x x x ρ ρ Solución 1 Por la conservación de masa sabemos que k k k k x v dt d x v dt d ρ ρ ρ ρ 0 Utilizando el campo de velocidad dado hallamos que t t x x t x v ii i i i i 1 3 1 1 1 δ luego t dt d t dt d 1 3 1 3 ρ ρ ρ ρ Integrando la relación anterior obtenemos que t dt d 1 3 ρ ρ 1 1 3 t C ln lnρ La constante de integración 1 C se obtiene con la condición inicial t 0 donde se cumple que la densidad de masa es igual a la densidad de masa de referencia ρ ρ0 0 1 1 0 0 1 3 ρ ρ ln ln ln C C 3 0 0 3 0 1 1 1 1 3 t t t ρ ρ ρ ρ ln ln ln ln ln ln Con lo que concluimos que 3 0 1 t ρ ρ 2 Utilizando la definición de velocidad y aplicando el campo de velocidad obtenemos t x dt dx v i i i 1 t dt x dx i i 1 Integrando la ecuación anterior resulta t dt x dx i i 1 i i C t x ln 1 ln 549 Aplicando la condición inicial donde se cumple que t 0 i i x X luego i i i i X C C X ln ln ln 0 1 Reemplazando el valor de i C en la ecuación 549 obtenemos 1 1 t X x X t x i i i i ln ln ln ln ln con lo que concluimos que 1 t X x i i Expandiendo la relación anterior Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 366 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X x t t X x X x t t X x X x t t X x y considerando que 3 0 1 t ρ ρ ver apartado 1 de este ejemplo obtenemos 0 3 3 2 2 1 1 1 1 1 ρ ρ 3 2 31 2 31 2 1 X x X x X x t t t 3 2 1 0 3 2 1 X X X x x x ρ ρ 57 Principio de la Conservación del Momento Lineal Ecuaciones de Movimiento 571 Momento Lineal Consideremos un cuerpo en movimiento donde actúan fuerzas másicas xr t r b fuerzas de superficie ˆ n t t xr r ver Figura 56 y que las partículas del medio continuo están sometidas a un campo de velocidad x t v r r Definimos Momento Lineal total del sistema másico contenido en V por V dV dm t v v L r r r ρ B Momento lineal s kg m 550 572 Principio de la Conservación del Momento Lineal El principio de la conservación del momento lineal basado en la segunda Ley de Newton establece que la variación del momento lineal por unidad de tiempo de una parte arbitraria de un medio continuo es igual a la fuerza resultante fuerzas másicas y fuerzas de superficie que actúa sobre esta parte considerada luego V V S dV Dt D dV dS vr r r ρ ρ b t σ V V i i S i v dV Dt D dV dS ρ ρ b t σ 551 cqd Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 367 Figura 56 Medio continuo en movimiento La expresión 551 representa la forma global del principio de la conservación del momento Aplicando j ij i n t ˆ σ en la ecuación 551 resulta que ρ σ σ V V i V i i Divergencia de la Teorema V j ij S j ij v dV dV v dV Dt D dV dS 14243 4243 1 4748 6 4 4 48 647 ˆ ρ ρb n σ 552 o aún i V i i ij j v dV 0 b σ ρ ρ N s m kg 2 553 Si la ecuación anterior es válida para todo el volumen también será válida localmente i i i ij j v 0 b σ ρ ρ m Pa m N s m kg 3 2 2 554 Obteniendo así las conocidas ecuaciones de movimiento o primera ley de Cauchy del movimiento a v x r r r r ρ ρ ρ b σ Ecuaciones de movimiento descripción espacial 555 En el caso particular de equilibrio estático las componentes de la aceleración son nulas obteniendo así las ecuaciones de equilibrio Notación Tensorial Notación indicial 0 b σ r r r ρ x i i ij j b 0 σ ρ 556 A veces es útil expresar las ecuaciones de movimiento en la configuración de referencia En la configuración de referencial la ecuación 551 puede ser escrita como 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ V V V S V V V S dV dV Dt D dV dS J dV J dV Dt D dV dS A V A V r r r r r r r ρ ρ ρ ρ ρ ρ b N P b t 557 t B dS ˆ n t t xr r nˆ 1x 2x 3x xr xr t r ρb x t v r ρr dV O Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición donde V v x t es la velocidad Lagrangiana A a x t es la aceleración Lagrangiana P es el primer tensor de PiolaKirchhoff P Jσ FT y b₀ x t es el vector de fuerzas másicas por unidad de masa en la configuración de referencia Recordar que P N N P ya que P es un tensor no simétrico Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss a la primera integral obtenemos que x P ρ₀ b₀ ρ₀ A dV₀ 0 Las ecuaciones de movimiento local en la configuración material Lagrangiana son x P ρ₀ b₀ ρ₀ A x F S ρ₀ b₀ ρ₀ A Ecuaciones de movimiento descripción material Podemos expresar las ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricas Figura 57a y en coordenadas esféricas Figura 57b Ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricas σrrr 1r σrθθ σrzz σrr σθθr ρ₀ br ρ₀ ²urt² σθθr 1r σθθθ σθzz 2σrθr ρ₀ bθ ρ₀ ²uθt² σrzr 1r σθzθ σzzz σrzr ρ₀ bz ρ₀ ²uzt² Ecuaciones de movimiento en coordenadas esféricas σrrr 1r σrθθ 1r sin θ σrφφ 2r σrr cotgθr σθr σθθr σφφr ρ₀ br ρ₀ ²urt² σrθr 1r σθθθ 1r sin θ σθφφ 3r σrθ cotgθr σθθ cotgθr σφφ ρ₀ bθ ρ₀ ²uθt² σrφr 1r σθφθ 1r sin θ σφφφ 3r σrφ 2 cotgθr σθφ ρ₀ bφ ρ₀ ²uφt² Los ángulos de las expresiones anteriores están indicados en la Figura 57 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 369 Figura 57 Sistema de coordenadas cilíndricas y esféricas 573 Ecuaciones de Movimiento para Volumen con Discontinuidades Consideremos una vez más un volumen V que presenta una superficie discontinua Σt Figura 54 El principio de la conservación del momento lineal resulta ser Σ Σ Σ V S V dV dS dV Dt D b n σ r r ˆ ρ ρ v 562 Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss con discontinuidades ver ecuación 520 obtenemos Σ Σ Σ dV dS dV Dt D V V n σ b σ ˆ r r r ρ ρ x v 563 Utilizando el teorema del transporte de Reynolds ecuación 525 con Φ ρvr obtenemos Σ Σ Σ dS dV Dt D dV Dt D V V ˆ n ω r r r r r r r r v v v v v v x ρ ρ ρ ρ 564 Reemplazando esta última ecuación en la ecuación 563 y considerando que Dt D Dt D Dt D v v v r r r ρ ρ ρ obtenemos que 0 n σ b σ r r r r r r r r r r Σ Σ dS dV Dt D Dt D V ˆ ω v v v v v x x ρ ρ ρ ρ ρ 565 Teniendo en cuenta la ecuación de continuidad de masa 0 x v r ρ r ρ Dt D La ecuación anterior 565 resulta 1x 2x 3x r eˆ φ eˆ θ eˆ r θ 1x 2x 3x φ 1x 2x 3x z eˆ θ eˆ r eˆ r xr θ a coordenadas cilíndricas b coordenadas esféricas Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 370 0 n σ b σ r r r r r r r Σ Σ dS dV Dt D V ˆ ω v v v x ρ ρ ρ 566 La relación anterior fue postulada para todas partes del continuo eso implica que Σ Σ en V en 0 n σ b σ r r r r r r r ˆ ω v v a x ρ ρ ρ Ecuaciones de movimiento con superficie discontinua descripción espacial 567 Para un problema estático o casiestático las ecuaciones 567 se reducen a Σ Σ en V en n σ n σ 0 n σ 0 b σ ˆ ˆ ˆ r r r r ρ x Ecuaciones de equilibrio con superficie discontinua descripción espacial 568 Ejemplo 55 Las componentes del campo del tensor de tensiones de un medio continuo en equilibrio vienen dadas por 0 2 13 31 32 23 2 1 21 12 2 2 2 1 33 2 2 22 2 1 11 σ σ σ σ σ σ σ σ σ x x x x x x Encontrar la fuerza másica que actúa en el continuo Solución Aplicando las ecuaciones de equilibrio podemos obtener que 0 b σ r r r ρ x σ σ σ σ σ σ σ σ σ 0 0 2 2 0 2 2 0 0 0 3 2 2 2 1 1 1 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b b b b b b ρ ρ ρ ρ ρ ρ x x x x x x x x x x x x x Con lo que concluimos que para satisfacer las ecuaciones de equilibrio hay que cumplir que 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 x x x x b b b b ρ ρ ρ ρ 3 0 ρb ˆ ˆ 4 2 2 1 1 e e b x x r ρ Ejemplo 56 Sea el movimiento del continuo dado por las siguientes ecuaciones 2 1 3 3 3 2 2 3 1 1 X t X X x tX X x tX X x α α α donde α es una constante Encontrar la densidad de masa en la configuración actual ρ en función de la densidad de masa en la configuración de referencia ρ0 Solución Queremos encontrar una función densidad de masa tal que ρ ρ ρ0 Sabemos que la ecuación de continuidad de masa en la forma Lagrangiana ρ ρ 0 J donde el determinante del Jacobiano puede ser obtenido directamente de las ecuaciones de movimiento Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 371 2 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 0 1 t t t t t X x X x X x X x X x X x X x X x X x X x F J j i α α α α α Resultando así 2 0 0 2 1 t J α ρ ρ ρ 58 Principio de Conservación del Momento Angular Simetría del Tensor de Tensiones de Cauchy 581 Momento Angular Considerando una vez más la Figura 56 el momento angular de un sistema másico respecto al origen viene dado por dV v x t H dV V k j ijk i O V O ρ ρ v x H r r r Momento angular 569 La unidad de HO r en el SI viene dada por s kg m O 2 H r y su tasa Nm s kg m O 2 2 Hr 582 Principio de la Conservación del Momento Angular El principio de la conservación del momento angular establece que la variación del momento angular por unidad de tiempo de cualquier parte de un medio continuo y respecto a un punto arbitrario es igual al momento resultante con respecto a este punto de todas las fuerzas que actúan en la parte del cuerpo en consideración Obteniendo el momento resultante con respecto al origen de las fuerzas actuantes en el cuerpo de la Figura 56 y aplicando el principio del momento angular podemos decir que dV Dt D dV dS V V S v x x x r r r r r r ρ ρb t σ Nm 570 NOTA La ecuación 570 es válida para aquellos medios continuos en los que las fuerzas entre partículas son iguales opuestas y colineales y en las que no existen momentos distribuidos En notación indicial la ecuación 570 queda Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 372 dV x v v x dV x v Dt D dV v x Dt D dV x dS x V k j ijk i k j j ijk V k j ijk V k j ijk V k j ijk S k j ijk v 0 4243 1 ρ ρ ρ ρb t σ 571 Reemplazando l kl k n t ˆ σ en la primera integral de 571 y aplicando el teorema de la divergencia de Gauss resulta dV a x dV x dV x V k j ijk V k j ijk V l kl ijk j σ ρ ρ b 572 dV a x dV x x x V k j ijk V k j ijk kl l j ijk kl jl ijk j l σ σ ρ ρ δ b 573 i V Ecuaciones de movimiento k k k kl l j ijk kj ijk dV a b x 0 σ σ 0 44 3 44 2 1 ρ ρ 574 i kj ijk V dV 0 σ 575 c i kj ijk 0 σ kj jk σ σ 576 Obteniendo así la segunda ley de Cauchy del movimiento simetría del tensor de tensiones de Cauchy también conocida como Postulado de Boltzmann σ σT Segunda ley de Cauchy del movimiento 577 Teniendo en cuenta la relación T J F P σ 1 el postulado de Boltzmann en la configuración de referencia queda T T T T J J F F P P σ σ 1 1 T T P P F F 578 y considerando que S P F donde S es el segundo tensor de tensiones de Piola Kirchhoff obtenemos también que T T T T T F F F F F F F F S S S S 579 Luego S ST 580 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 373 Ejemplo 57 Obtener el momento lineal y el momento angular para un sólido sometido a un movimiento de cuerpo rígido Solución Según Ejemplo 219 del capítulo 2 obtuvimos que la velocidad para un medio continuo sometido a un movimiento de cuerpo rígido viene dada por c c r r r r r x v ω donde ωr es el vector axil velocidad angular asociado al tensor antisimétrico W tensor spin Momento lineal V V V V V V V V dV dV dV dV dV dV dV dV ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ c c c c c c r r r r r r r r r r r r r r r r ω ω ω ω ω x x x v L Por definición el término x x r r m dV V ρ se denomina de momento de primer orden siendo m la masa total y xk r el vector posición del centro de masa G CM El momento de primer orden es igual a cero si el sistema de referencia pasa por el centro de masa es decir 0 r r r x x m dV V ρ v x L r r r r r r m m c c ω Momento lineal de sólido rígido donde c c r r r r r x v ω es la velocidad del centro de masa Momento angular c c c c c c r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ω ω ω ω ω dV dV dV dV dV dV dV dV V V V V V V V V O x x x x x x x x x x v x H ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 581 A continuación analizaremos el segundo término de la expresión anterior t B 1x 2x 3x x r v r G O 1x 3x 2x Sólido rígido G centro de masa CM 1F r F 2 r Fn r Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 374 Del capítulo 1 obtuvimos que dados tres vectores ar b r cr la relación a b c a c b c b a r r r r r r r r r se cumple Luego a b a a a b a b a r r r r r r r r r si c a r r Con eso dV dV V V x x x x x x r r r r r r r r r ω ω ω ρ ρ y en notación indicial p ip O p V i p pi k k p V i p pi k k V i p p pi p k k V i p p i k k dV x x x x dV x x x x dV x x x x dV x x x x ω ω ω ω ω ω ω I δ ρ δ ρ δ ρ ρ En notación tensorial queda ω ω ω r r r r r r r r r O V V dV dV I 1 x x x x x x ρ ρ donde dV V O x x x x r r r r 1 I ρ es el tensor de inercia según sistema de origen en O y tiene como unidad en el SI IO kg m2 Como podemos observar O I es un pseudo tensor de segundo orden y simétrico cuyas componentes son x x dV x x V j i ij k k O ij δ ρ I y explícitamente x dV x dV x x dV x x dV x x x x x x x x V O V O V V O 2 2 2 1 33 2 3 2 1 22 2 3 2 2 1 1 11 3 3 2 2 1 1 11 ρ ρ ρ δ ρ I I I 12 2 1 2 1 12 3 3 2 2 1 1 12 O V V O dV x x dV x x x x x x x x I ρ δ ρ I 13 3 1 13 O V O dV x x I ρ I 23 3 2 23 O V O dV x x I ρ I donde IO11 IO 22 IO 33 son conocidos como momentos de inercia y IO12 IO13 IO 23 son conocidos como productos de inercia en la Mecánica Clásica Retomando la ecuación 581 podemos decir que ω ω ω ω ω ω r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r O O V V V O m m m dV dV dV I c c c I c c c x x x x x x x H ρ ρ ρ Sumando y restando el término x x r r r ω m en la relación anterior obtenemos Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 375 G O O O O O m m m m m m m m m H v x v x x x x x v x x x x x v x x x x x x H r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ω ω ω ω ω ω ω ω ω I I 1 I 1 I c c I c c donde 1 I I x x x x r r r r m O es el pseudotensor de inercia con respecto al sistema que pasa por el centro de masa A través de esta expresión podemos calcular el tensor de inercia en cualquier sistema si conocemos el tensor de inercia en el sistema que pasa por el CM ij j i ij O ij x x x m x x δ 2 3 2 2 12 I I explícitamente estas componentes vienen dadas por 3 1 13 13 2 2 2 1 33 33 3 2 23 23 2 3 2 1 22 22 2 1 12 12 2 3 2 2 11 11 m x x x x m m x x x m x m x x x x m O O O O O O I I I I I I I I I I I I Observemos que las expresiones anteriores constituyen el teorema de los ejes paralelos Teorema de Steiner de la Mecánica Clásica Ejemplo 58 Obtener el principio de la conservación del momento lineal y del momento angular para un sólido sometido a un movimiento de cuerpo rígido Solución Partiendo de la definición de principio de la conservación del momento lineal que afirma que L v r r r V dV Dt D ρ F Recurrimos ahora la expresión del momento lineal para un movimiento de sólido rígido obtenido en el ejemplo anterior como v L r r m luego a v L v r r r r r m m dV Dt D V ρ F Resultando a r r F m Consideremos ahora el principio de la conservación del momento angular que establece que O O V O Dt D dV Dt D H H v x M r r r r r ρ Resultando O O H M r r ó G G H M r r donde la expresión del momento angular HO r para un movimiento de sólido rígido fue obtenida en el ejemplo anterior Los conjuntos de ecuaciones anteriores a r r F m y G G H M r r nos informan que los siguientes sistemas son equivalentes Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 376 59 Principio de la Conservación de la Energía Ecuación de Energía El principio de la conservación de energía establece que La variación de la energía cinética más la variación de la energía interna por unidad de tiempo es igual a la suma de la variación del trabajo más la variación de cualquier otra energía suministrada ó extraída por unidad de tiempo 582 Energía suministrada puede ser la energía térmica la eléctrica la química la electromagnética etc En este capítulo sólo consideraremos como energía administrada al sistema la energía térmica Matemáticamente el principio de la conservación de la energía para un medio continuo termomecánico viene dado por Dt Q D Dt D Dt DU Dt D W K s W J 583 donde K es la energía cinética U es la energía interna W es el trabajo y Q es la energía suministrada o extraída del sistema A continuación introduciremos las energías involucradas en la ecuación de energía 591 Energía Cinética La energía cinética del sistema representado por la Figura 56 viene dada por v v dV dV t V i i V 2 1 2 1 ρ ρ v v r r K Energía cinética J 584 La unidad de energía cinética en el SI es joule J Nm dV m Nm s dV m s m m kg V V 3 3 K La tasa de la energía cinética derivada material viene dada por v v dV v v Dt v v dV D v v dV Dt D t Dt D V i i i i V i i V i i 2 1 2 1 2 1 ρ ρ ρ K K 585 G centro de masa G 1F r F 2 r Fn r G a r m G Hr Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 377 Luego v v dV t Dt D V i i ρ K K 586 592 Potencia Mecánica Potencia Tensional Consideremos las ecuaciones de movimiento i i ij j ρv ρ σ b y reemplacemos en la tasa de la energía cinética dada por 586 dV v V i ij j i σ ρb K 587 El término ij j iv σ puede ser reemplazado por ij i j j ij i ij j i ij j i ij i j j ij i ij v v v v v v σ σ σ σ σ σ l 588 Recordemos que x v l r r es el tensor gradiente espacial de la velocidad definido en el capítulo 2 que puede ser descompuesto en un tensor tasa de deformaciónD simétrico y en un tensor velocidad de rotación o tensor spin W antisimétrico cumpliendo que l D W donde las componentes de este tensor son 4 4 4 3 14 2 4 4 4 3 4 2 1 ij i j j i ij i j j i i j ij x v x v x v x v v W D 2 1 2 1 l m s m 589 Retomando la tasa de la energía cinética 587 y considerando la relación 588 y 589 podemos decir que dV dV v dV v v dV v dV v v v ij V V ij V j ij i i i V i i ij ij ij j ij i V i i ij i j j ij i D b b W D b σ σ σ σ σ σ ρ ρ ρ K 590 donde se ha considerado que el doble producto escalar de un tensor simétrico y uno antisimétrico es cero es decir 0 σ ijWij o σ W 0 Utilizando el teorema de la divergencia de Gauss para la segunda integral de la relación anterior 590 hallamos que dS v dS v dV v i S i j ij S i V j ij i ˆ t n σ σ σ σ 591 Teniendo en cuenta la relación anterior aún podemos expresar la tasa de la energía cinética como 4243 1 444 3 444 2 1 Potencia Tensional t ij V ij Potencia Mecánica t S i i V i i int ext dV dS v dV v P P D t b σ σ ρ K t t Dt D int ext P P K 592 o aún Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 378 t t Dt D ext int P P K 593 Definimos así la potencia mecánica Pext t que es la tasa del trabajo de las fuerzas externas Dt DW que actúan en el cuerpo v dV v dS t dV dS t i V i i S i ext V S ext b t ρ ρ σ σ b t P P v v r r r r Potencia mecánica s W J 594 y la potencia tensional que indica la tasa del trabajo de las fuerzas internas por unidad de tiempo dV dV dV dV V V T V ij V ij int σ σ D D σ σ D Tr Tr D P Potencia tensional 595 NOTA La unidad de potencia en el sistema internacional es el Vatio Watts s segundos W J Joules ie W s J dV m s J m sdV m m N m sdV m Pa V V V int 3 2 P Podemos también definir la potencia tensional por unidad de volumen wint t σ D σ D Tr w int t Potencia tensional por unidad de volumen 596 Podemos expresar la potencia tensional en función de otros tensores de tensiones y de tensores tasa de deformación Si consideramos la potencia tensional en la configuración actual las siguientes relaciones son válidas 0 0 0 0 V V V dV dV J dV D σ D σ D τ τ 597 Considerando que jk ik ij τ P F componentes del tensor de tensiones de Kirchhoff T T P P F F segunda ley de Cauchy del movimiento en la configuración de referencia y que 1 1 lj pl pi ij F E F D obtenemos que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 379 δ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 1 1 V V V V V V pk pk V ik ik V pk ik pi V jk ij ik V pk pi ik V ij ij jk ik V lk jk lj pl pi ik V ij jk ik V lj pl pi jk ik V dV dV dV J dV dV dV E F dV dV E F dV F dV E F dV F dV E F F F dV F dV F F E F dV C F F E F 3 2 1 τ S P P S P D ρ ρ S P P P P W P P D P P l l 598 Demostrando así que la tasa del tensor gradiente de deformación y el primer tensor de tensiones de PiolaKirchhoff son cantidades conjugadas P F Otras cantidades conjugadas son el segundo tensor de PiolaKirchhoff con la tasa del tensor de deformación de GreenLagrange S E el tensor de tensiones de Kirchhoff con el tensor tasa de deformación τ D Podemos demostrar que T U es un par conjugado Para demostrar este hecho consideremos la relación P R T donde T U S es el tensor de tensiones de Biot R es el tensor de rotación de la descomposición polar y U UT es el tensor derecho de estiramiento Y además teniendo en cuenta la descomposición polar por la derecha R U R U R U F F podemos obtener que T U T U R R S U U T U R R T U R U R T R U T R R U R U R T P T T T T F kj kj kj kj ik ip kj qj pq kj kj ik ip kj pj kj ik pj ip kj ik pj ip kj ik kj ik pj ip ij ijF U T T U R R S U U T U R R U T R T R U T R U R R U R U R T P 599 Observar que 0 R R U S U T T ya que el tensor U S U U S U U S U T T T es simétrico y el tensor R R T es antisimétrico luego la expresión 599 también puede ser expresada como T H T U P F 5100 donde 1 U H es el tensor de deformación de Biot ver capítulo 2 Teniendo en cuenta que U es simétrico también es posible expresar la relación anterior como U T U T T P sym anti sym F 5101 Teniendo en cuenta todas relaciones anteriores Podemos resumir así que las siguientes relaciones para la potencia tensional por unidad de volumen son válidas Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 380 F F P P σ D J int 1 0 ρ ρ w Potencia tensional por unidad de volumen actual 5102 T H T U S P S D τ C F E 2 1 wint Potencia tensional por unidad de volumen de referencia 5103 593 Teorema de las Fuerzas Vivas Si comparamos la expresión dada por 593 con la expresión de la energía 583 0 Dt DQ Dt D Dt DU Dt D t t Dt D ext int W K K P P 5104 concluimos que la expresión 593 es un caso especial de la ecuación de energía para un caso puramente mecánico donde no se ha tenido en cuenta otras energías suministradas al sistema A este caso especial de la energía denominamos de Teorema de las Fuerzas Vivas Considerando solamente el balance de energía para proceso puramente mecánico resultado 592 podemos definir el Teorema de las Fuerzas Vivas en el que la potencia mecánica es igual a la suma de la tasa de la energía cinética más la potencia tensional 4243 1 4 4 4 3 14 2 4 444 3 4 444 2 1 r r r r Potencia Tensional Energía Cinética Tasa de la Potencia Mecánica σ V V S V V ij ij V S i i V i i dV v dV Dt D dS dV dV v dV Dt D dS v dV v σ D t b σ σ 2 2 2 1 2 1 ρ ρ ρ ρ v v D t b Teorema de las fuerzas vivas 5105 Ejemplo 59 Obtener la energía cinética para un sólido sometido a un movimiento de cuerpo rígido ver Ejemplo 57 y Ejemplo 58 Solución Para un movimiento de un cuerpo la velocidad podemos representar por la siguiente expresión c c r r r r r x v ω ver capítulo 2 ver Ejemplo 219 Luego la energía cinética viene dada por dV dV t V V 2 1 2 1 c c c c r r r r r r r r r r x x v v ω ω ρ ρ K Haciendo la siguiente suma de vectores x x x r r r donde x r es el vector posición del centro de masa y xr es el vector posición de las partículas del sólido con respecto al sistema que tiene como origen el centro de masa OBS Para un movimiento de cuerpo rígido ie D 0 se cumple que K Pext t es decir la potencia tensional es cero 0 Pint t Si K es despreciado caracterizando un proceso estático o cuasiestático se cumple que t t int ext P P Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 381 dV dV t V V 2 1 2 1 x x x x x x x x r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ω ω ω ω ω ω c c c c c c c c ρ ρ K Observemos que c c r r r r r x v ω es la velocidad del centro de masa resultando así que dV t V 2 1 x v x v r r r r r r ω ω ρ K Resultando así que 2 1 2 1 2 1 2 1 V V V V dV dV dV dV t x x v x x v v v r r r r r r r r r r r r ω ω ω ω ρ ρ ρ ρ K Simplificando 2 1 2 1 V V V dV dV dV t x x x v v v r r r r r r r r r ω ω ω ρ ρ ρ K A continuación analizaremos separadamente los términos de la expresión anterior 1 2 2 2 1 2 1 2 1 mv dV dV V V ρ ρ v v v r r r 2 0 0 r r r r r r r r r r x v x v x v m dV dV V V ω ω ω ρ ρ Observemos que el sistema xr pasa por el centro de masa G luego el vector posición del centro de masa para el sistema xr es el vector nulo 3 V dV x x r r r r ω ρ ω p jp j p V p j k k jp j V p j p k k jp j V p q k kp jq q k kq jp j V q p k j kp jq kq jp V q p ipq k j ijk V dV x x x x dV x x x x dV x x x x x dV x x dV x dV ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω I δ ρ δ ρ δ δ δ δ ρ δ δ δ δ ρ ρ ρ x x r r r r ω ω En notación tensorial ω ω ω ω ω ω r r r r r r r r r r r r I 1 dV dV V V x x x x x x ρ ρ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 382 donde I es el tensor de inercia según el sistema que pasa por el centro de masa ver Ejemplo 57 Resultando así que la expresión de la energía cinética para un movimiento de sólido rígido 2 1 2 2 1 2 1 0 V V V dV dV dV t x x x v v v r r r r 444 3 444 2 1 r r r r r ω ω ω ρ ρ ρ K ω ω r r I 2 1 2 1 mv 2 K t Representando las componentes del tensor de inercia como 33 23 13 23 22 12 13 12 11 2 2 2 1 3 2 3 1 3 2 2 3 2 1 2 1 3 1 2 1 2 3 2 2 I I I I I I I I I dV x x dV x x dV x x dV x x dV x x dV x x dV x x dV x x dV x x V V V V V V V V V ij ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ I La forma explícita de la energía queda 3 2 23 3 1 13 2 1 12 2 3 33 2 2 22 2 1 11 2 3 2 1 33 23 13 23 22 12 13 12 11 3 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω I I I I I I I I I I I I I I I v m v m mv t j k Ikj K 3 2 23 3 1 13 2 1 12 2 3 33 2 2 22 2 1 11 2 2 2 2 2 1 2 1 ω ω ω ω ω ω ω ω ω I I I I I I mv K t 594 Energía Interna Si tomamos un puñado de átomos punto material y evaluamos el promedio a nivel macroscópico de todas las formas de energía presente obtenemos la conocida energía interna En un medio termodinámico se suele presentar la variación de la energía interna como V V u dV u dV Dt D Dt DU ρ ρ s J 5106 donde u es la energía interna específica por unidad de masa kg u J Por ejemplo para un gas ideal la energía interna específica es ρ η p c T c T u p v donde T la temperatura vc el calor específico a volumen constante η la entropía específica p c el calor específico a presión constante p la presión termodinámica y ρ la densidad de masa Otro ejemplo que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición podemos mencionar es el problema puramente mecánico obtenido previamente donde se cumple que DUDt V σD dV 595 Potencia Calorífica La potencia calorífica entrante es la cantidad de calor que entra por unidad de tiempo en el medio continuo sistema que puede ser del tipo Flujo de calor no convectivo sin transporte de masa Fuente de calor en el interior del medio continuo 1 Flujo de Calor No Convectivo Conducción Vamos asumir que hay un gradiente de temperatura en el continuo con eso hay una evidencia física de transferencia de energía calor de región más caliente hacia región más fría Luego podemos representar ésta transferencia de energía por unidad de área por unidad de tiempo por el vector flujo de calor q x t también conocido como vector del flujo no convectivo Ahora vamos considerar un dominio Bt delimitado por la superficie S ver Figura 58 La cantidad de energía que pasa por la superficie dS por unidad de tiempo viene representada por q x t n dS donde n es la normal versor exterior a la superficie La componente tangencial de q x t se queda en la superficie Luego denotamos el flujo neto de calor a través del contorno del volumen material como S q x t n dS Cantidad de calor saliente por unidad de tiempo S q x t n dS Cantidad de calor entrante por unidad de tiempo Figura 58 Vector flujo de calor y fuente interna de calor 2 Fuentes internas de calor Si un cuerpo presenta fuente de calor reacción química nuclear eléctrica etc este calor contribuye para el aumento de la temperatura en el medio continuo ver Figura 58 Postulamos la cantidad de calor generado dentro del volumen V por unidad de tiempo como Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 384 V ρ r dV s W J 5107 donde r xr t es una función escalar que describe en forma espacial el calor generado por las fuentes internas por unidad de masa y por unidad de tiempo kg s J t r xr Considerando el flujo de calor entrante y las fuentes internas de calor la potencia calorífica viene definida como S V dS r dV Dt DQ ˆ qr n ρ Potencia calorífica s W J 5108 NOTA Un medio continuo que involucra energía térmica y mecánica es denominado continuo termodinámico 596 Primer Principio de la Termodinámica Ecuación de Energía Una vez conocidas las formas de energía en un sistema podemos establecer la ecuación de energía partiendo de la expresión 583 Dt Q D Dt D Dt DU Dt D W K 5109 La potencia mecánica y la potencia calorífica no son diferenciales exactas Dt D Hay evidencias experimentales que prueban que la suma de la potencia mecánica más la potencia calorífica es decir potencia total entrante en el sistema es efectivamente una diferencial exacta Mase 1977 Considerando solo la energía mecánica y térmica el principio de la energía pasa a ser denominado de Primera Ley de la Termodinámica que postula la intercambiabilidad de las energías térmicas y mecánicas Aplicando la ecuación 5109 tenemos S i i V dS rdV Dt DQ n q ˆ ρ V i i S i i dV v v dS Dt D b t ρ σ W y resulta que σ q σ S i i V V i i S i j ij i V V i i dS rdV dV v v dS udV v v dV Dt D q n b t n ˆ 2 ˆ ρ ρ ρ ρ 5110 Si utilizando el teorema de la divergencia de Gauss para transformar la integral de superficie en una integral de volumen obtenemos σ σ σ σ V i i i i i i i j ij i ij j V V i i i i j i ij V V i i V i i V V i i V j i ij V V i i dV v v r v v v dV u dV r v v udV v dV v dV rdV dV v dV v udV v v dV Dt D 2 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ q b q b q b 5111 Reestructurando la ecuación anterior podemos decir que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 385 σ σ V i i i j ij Movimiento Ecuaciones de i i i ij j i V dV r v v v udV q b 0 ρ ρ ρ ρ 4 44 3 4 44 2 1 5112 y aún considerando que ij ij iv j W D obtenemos que σ σ V i i ij ij V V i i ij ij ij V dV r u dV dV r u dV q D q W D ρ ρ ρ ρ 5113 La forma local de la ecuación anterior es conocida como la ecuación de energía i i ij ij r u q D σ ρ ρ 3 3 m W m s J 5114 En notación tensorial r u ρ ρ q σ D r rx Ecuación de energía configuración actual 5115 Para un problema puramente mecánico donde no haya producción interna de calor r 0 y considerando un proceso adiabático en el cual el sistema no intercambia calor con su entorno 0 q r r la ecuación de energía queda ρ σ D u 1 5116 NOTA Las suposiciones procesos isotérmicos y adiabáticos son unas de las aproximaciones adoptadas para el planteamiento y desarrollo de la teoría de la elasticidad lineal capítulo 7 5961 Ecuación de Energía en la Descripción Material La ecuación de energía 5115 también puede ser planteada en la descripción Lagrangiana material Partiendo de la ecuación 5113 la integral relacionada con la energía interna puede ser escrita en la configuración de referencia como 0 0 0 0 0 V V V t dV u J u dV t dV t u X X x x r r r r ρ ρ ρ 5117 La integral relacionada con la potencia tensional descrita en la configuración actual y de referencia ver ecuaciones 5102 5103 vienen dadas por V V V V V V V dV dV dV dV dV dV J dV 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F C E τ τ P P S S D σ D σ D ρ ρ 5118 La integral relacionada con la fuente interna de calor en la configuración de referencia y actual viene dada por 0 0 0 0 0 V V V t dV r r dV J r dV X r ρ ρ ρ 5119 Por último abordemos la integral relacionada con el flujo de calor Una cantidad de calor que atraviesa un elemento diferencial da en la configuración actual tiene que ser la misma Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 386 cantidad que hipotéticamente atravesaría un elemento diferencial dA en la configuración de referencia ver Figura 59 por lo tanto la siguiente relación es válida a A r r r r d d q q0 5120 donde 0 qr es el flujo de calor en la configuración de referencia Utilizando la relación de Nanson A F a r r d J d T deducida en el capítulo 2 en la relación 5120 obtenemos que T T T J J d J d F F A F A 0 1 0 0 q q q q q q r r r r r r r r 5121 Figura 59 Vector flujo de calor configuración de referencia y actual Así la integral podrá ser escrita en la configuración de referencia como 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 V ik i k ik i k V ik k i V i i V i i V dV J F x J J F x J dV F J x J x dV J dV dV q q q q q rx qr 5122 Fue demostrado en el capítulo 2 que 0 r r F x J 1 luego 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 V V k k V k i i k V ik i k V dV dV X dV X x x dV J F x J dV q q r r r r X x q q q 5123 Considerando las ecuaciones 5117 5118 5119 y 5123 la ecuación de energía en la configuración de referencia queda 0 0 0 0 0 0 0 V V r dV u dV ρ ρ q S r r X E 5124 o en su forma local 0 0 0 t r t u X E X X r r r r ρ ρ q S Ecuación de energía configuración de referencia 5125 Conf de Referencia Conf Actual A r d ar d 0 qr qr T T J d J d F A F a 1q0 q r r r r F Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 387 597 Ecuación de Energía para Volumen con Discontinuidades La ecuación de energía para un volumen que presenta discontinuidad como indica la Figura 54 viene dada por Dt Q D Dt D Dt DU Dt D W K Σ Σ Σ Σ S S V S S V V V dS rdV dS dV udV dV Dt D ˆ 2 1 q n σ n b r r r r r r ρ ρ ρ ρ v v v v 5126 A los términos de la izquierda de la ecuación 5126 podemos aplicar el teorema del transporte de Reynolds con ρu ρ Φ v v r r ecuación 525 Σ Σ Σ dS u dV u Dt u D u dV Dt D V V ˆ 2 1 2 1 2 1 2 1 n ω r r r r r r r r r r r r v v v v v v v v v v x ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 5127 Haciendo unas manipulaciones matemáticas sobre los términos de la integral de volumen observamos que v v v v v v v v v v v v x x r r r r r r r r r r r r r r u Dt Du Dt D u Dt D Dt D u Dt u D ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 5128 Reestructurando la expresión anterior hallamos que Dt D Dt Du Dt D u u Dt Du u Dt D Dt D u Dt u D 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 v v v v v v v v v v v v v v v v v x x x r r 4 4 4 3 4 2 1 r r r r r r r r r r r r r r r r r r ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 5129 Resultando así que v v v v v v v x r r r r r r r r ρ ρ ρ ρ ρ ρ Dt Du u Dt u D 2 1 2 1 5130 Retomando la expresión 5127 concluimos que Σ Σ Σ dS u dV Dt Du u dV Dt D V V ˆ 2 1 2 1 n ωr r r r r r r r v v v v v v v ρ ρ ρ ρ ρ 5131 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 388 Para las integrales de superficie del lado derecho de la ecuación 5126 podemos utilizar el teorema de Gauss para un volumen con discontinuidad ec 520 resultando Σ dS dV dS V V S S ˆ ˆ n q σ q σ n q σ r r r r r r r v v v x 5132 Sabiendo que v v v x x x r r r r r r σ σ σ σ σ σ i j ij i ij j j i ij v v v y además teniendo en cuenta la descomposición del gradiente espacial de velocidad en una parte simétrica y en una parte antisimétrica obtenemos que σ D σ W σ D σ v x r r así concluimos que Σ Σ dS dV dS dV dS V V V V S S ˆ ˆ ˆ n q σ q σ D σ n q σ q σ σ q σ r r r r r r r r r r r r r r r r v v v v v n v x x x x x 5133 Reemplazando las expresiones 5131 5133 en la expresión de la energía 5126 tenemos que Σ Σ Σ Σ V V V V rdV dV dS dV dS u dV Dt Du ˆ ˆ 2 1 ρ ρ ρ ρ ρ v v v v v v v v x x r r r r r r r r r r r r r r b n q σ q σ D σ n ω 5134 o también 0 ˆ 2 1 Σ Σ dS u r dV Dt Du V n q σ b q σ D σ r r r r r r r r r r r r r r v v v v v v v v x x ω ρ ρ ρ ρ ρ 5135 0 ˆ 2 1 Σ Σ dS u dV r Dt Du V n q σ b σ q D σ 0 r r r r r r 444 3 4 44 2 1 r r r r r r r v v v v v v x x ω ρ ρ ρ ρ ρ ρ 5136 donde concluimos que 0 ˆ 2 1 Σ Σ dS u rdV u V n q σ q σ D r r r r r r r r v v v v x ω ρ ρ ρ ρ 5137 Así resultan las ecuaciones de energía para un volumen con discontinuidad 0 en ˆ en V 2 1 Σ n q σ q σ D r r r r r r r r v v v v x ω u r u ρ ρ ρ ρ Ecuación de Energía para volumen con discontinuidad 5138 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 510 Principio de la Irreversibilidad Desigualdad de Entropía 5101 Consideraciones Termodinámicas La termodinámica juega un papel muy importante a la hora de formular y validar las ecuaciones constitutivas A continuación presentamos algunos conceptos termodinámicos útiles Sistema Termodinámico Es una cantidad de materia continua sometida a procesos térmicos y mecánicos Unidades Termodinámicas Son variables macroscópicas μi μi x t que caracterizan el sistema e intervienen sobre los procesos físicos del sistema Ej εij σij ρ temperatura Obs conocidas todas ellas el sistema queda perfectamente definido Variables de estado independientes o libres Son independientes entre sí y permiten por sí solas caracterizar perfectamente el estado del sistema termodinámico Todas las demás variables termodinámicas son funciones de las variables de estado Estado termodinámico Es cada uno de los posibles valores que pueden tomar las variables de estado Proceso termodinámico Es el cambio que experimenta un sistema termodinámico cuando las variables de estado cambian de un valor inicial a otro final Caso particular Ciclo cerrado Proceso termodinámico en el que el estado termodinámico final coincide con el estado termodinámico inicial Función de estado Es una función de las variables de estado que queda definida unívocamente a partir de dichas variables 5102 Segundo Principio de la Termodinámica Antes de postular el segundo principio de la termodinámica definiremos la entropía que es una función de estado En termodinámica la entropía es la magnitud física que mide la parte de la energía que no puede utilizarse para producir trabajo En un sentido más amplio se interpreta como la medida del desorden de un sistema La unidad de la entropía en el Sistema Internacional es el JK o Clausius definido como la variación de entropía que experimenta un sistema cuando absorbe el calor de 1 Julio unidad a la temperatura de 1 Kelvin 1K Un proceso caracterizado por la entropía constante denominamos de proceso isentrópico La segunda ley de la termodinámica impone restricciones en la posible dirección del proceso termodinámico Por ejemplo la primera ley de la termodinámica no establece la dirección del flujo de calor Dicha dirección será establecida a través del segundo principio de la termodinámica El segundo principio de la termodinámica establece que la tasa de cambio de la entropía total H de un medio nunca es menor que la suma del flujo de entropía s que entra a través de la superficie del medio más la entropía creada interiormente B en el medio Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 390 La entropía total del sistema H viene dada por 0 0 0 V V t dV t dV H t X x r r ρ η ρ η K J 5139 donde η xr t es la entropía específica por unidad de masa kgK J η La entropía suministrada B al sistema viene dada por 0 0 0 V V t dV t dV X x r r b b B ρ ρ sK J 5140 donde b es el manantial de entropía local por unidad de masa y por unidad de tiempo El flujo de entropía que entra en el sistema a través de la superficie material viene definido por s s r r S ˆn dS sK J 5141 pudiendo así establecer la desigualdad de entropía como Γ s s s b s b r r r r r r r r S V V S V V dS t dV dV t dS t dV t dV Dt D t ˆ ˆ n n x x x x ρ η ρ ρ η ρ 5142 Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss a la ecuación anterior podemos decir que Γ V V V dV dV dV t s b r r x ρ ρ η Segunda ley de la termodinámica o desigualdad de entropía 5143 NOTA La desigualdad de entropía anterior de forma global implica que si hay producción de entropía el proceso es irreversible es decir no podemos retornar al sistema original sin adicionar trabajo al sistema La igualdad de la expresión 5143 representará procesos reversibles La representación local de la expresión 5143 viene dada por s b r r r x x ρ ρη t 5144 y considerando que 1 1 b b s s T r T r r r q 5145 donde 0 t T T xr es la temperatura absoluta T K Asumiendo que sr 1 y b 1 son iguales a cero la desigualdad 5144 de entropía queda T T T T r T T r x x x r r r r r r q q q 2 1 1 ρ ρ ρη 5146 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 391 La forma local de la desigualdad de entropía en la configuración espacial ecuación 5146 viene dada por 0 1 1 0 2 T T T T t r t T T t r t x x x x x x x r r r r r r r r r r q q q ρ η ρ ρ ρη Desigualdad de entropía configuración actual 5147 Podemos también expresar la desigualdad de entropía dada por la expresión 5144 en la configuración de referencia por 0 0 t t t X X X X r r r r r S b ρ ρ η 5148 donde S r es el vector flujo de entropía en coordenadas materiales Para procesos térmicos el vector flujo de entropía y fuente de entropía pueden ser establecidos respectivamente en función del vector flujo de calor y de la fuente de calor generado internamente es decir 1 1 0 b b S S T t r t T t X X X r r r r r r q 5149 Reemplazando las expresiones dadas por 5149 y asumiendo S1 r y 1 b iguales a cero en la expresión 5148 obtenemos que T T T T t r t T T t r t X X X X X X X r r r r r r r r r r 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 q q q ρ η ρ ρ η ρ Desigualdad de Entropía configuración de referencia 5150 Teniendo en cuenta la expresión 5121 T J q F q r r 0 o en notación indicial 1 0 ik k i J q F q r r también se cumple la siguiente relación k k p pk k pi p ik k i p p ik k i i x T J x T J F x T F J X x x T F J X T T q q q q q r r r r r r r 1 1 0 0 δ X q Luego hemos demostrado la siguiente relación T J T x X r r r r q q 0 5151 5103 Desigualdad de ClausiusDuhem Si en la desigualdad de entropía 5147 combinamos con la ecuación de energía en la configuración actual ecuación 5115 q σ D q σ D r r r r x x r u r u ρ ρ ρ ρ obtenemos que 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 2 2 T T u T T T r T T T T T r x x x x x r r r r r r r r r r q D σ q q q q ρ η ρ ρ η ρ ρ η ρ 5152 En esta situación la desigualdad de entropía recibe el nombre de desigualdad de Clausius Duhem y viene dada por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 392 0 1 1 1 2 T T u T T t x x r r r q σ D ρ ρ η Desigualdad de ClausiusDuhem configuración actual 5153 Podemos también expresar la desigualdad de ClausiusDuhem en la configuración de referencia De la ecuación 5125 sacamos que E X X r r r S q u t r 0 0 0 ρ ρ y reemplazando en la desigualdad de entropía en la configuración de referencia dada por 5150 obtenemos que T T u T t T T t r T t X X X E X X X r r r r r r r r r 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 1 q S q q ρ η ρ ρ ρ η 5154 o aún 0 1 1 1 0 1 1 1 0 2 0 0 0 2 0 0 T T u T T t o T T u T T t X X F X E X r r r r r r q P q S ρ η ρ ρ η ρ Desigualdad de ClausiusDuhem configuración de referencia 5155 5104 Desigualdad de ClausiusPlanck Si consideramos un proceso caracterizado por η 0 D 0 u 0 la desigualdad de ClausiusDuhem ver ec 5153 queda 0 r xrT q ó 0 r xrT q es decir el sentido del vector flujo de calor qr es siempre contrario al sentido del gradiente de temperatura xrT ver Figura 510 además es un hecho comprobado físicamente Así podemos formular la desigualdad de la conducción de calor 0 r xrT q configuración actual Desigualdad de la conducción de calor 0 0 X T r r q configuración de referencia 5156 El conjunto de esta restricción 5156 la desigualdad de ClausiusDuhem 5153 y 5155 da lugar a una desigualdad menos restrictiva a la Desigualdad de ClausiusPlanck 0 1 1 t u T T t int x x r r ρ ρη σ D D configuración actual Desigualdad de ClausiusPlanck 0 1 1 0 0 t u T T t int X F X r r ρ ρ η P D configuración de referencia 5157 donde Dint es la disipación interna o producción local de entropía la cual requiere que sea nonegativa para cualquier partícula del medio continuo en todo instante de tiempo Dint 0 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 393 Figura 510 Gradiente de temperatura y vector flujo de calor 5105 Forma Alternativa de la Desigualdad de Clausius Duhem Una forma alternativa de la desigualdad de entropía es expresarla en función de la energía libre de Helmholtz específica ψ que es un potencial termodinámico por unidad de masa y que viene dado en la descripción Euleriana por η ψ u T Energía libre de Helmholtz específica kg J 5158 NOTA Un potencial termodinámico nos indica la cantidad de energía disponible en el sistema En este capítulo solo trabajamos con los potenciales u u E η y ψ E T donde E es el tensor de deformación de GreenLagrange asociado al volumen También podemos trabajar con otros potenciales por ejemplo la energía libre de Gibbs específica G S T o la Entalpía específica H S η donde S es el segundo tensor de tensiones de PiolaKirchhoff asociado a la presión termodinámica La elección de un potencial u otro dependerá de que variables libres vayamos a considerar Para mayores detalles ver Capítulo 3 Termoelasticidad del volumen 2 Obteniendo la derivada material tasa de la energía libre de Helmholtz tenemos ψ ρ η ρ ρψ ρη ρ ρη ψ η η η η ψ T u T u T T u T T T u 5159 Teniendo en cuenta que T 0 temperatura absoluta y considerando la desigualdad de entropía obtenida en 5146 concluimos que T T r T T T T T r x x x x r r r r r r r r q q q q 1 1 1 2 ρ ρ η ρ ρη 5160 Reemplazando esta ecuación en la ecuación 5159 obtenemos T T r T u x x r r r r q q 1 ρ ψ ρ η ρ 5161 3 2 1 T T T xrT n q ˆ r 3 T 2 T 1T nˆ q n q n n q q n n q n n ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ r r r r r r r r r T T T T x x x x qr T T T x x x r r r r r r r n s n q q q q ˆ ˆ ˆ sˆ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 394 Considerando también la ecuación de energía 5115 r u ρ ρ q σ D r rx podemos obtener que T T T T T r T r x x x x r r r r r r r r q D σ q q q D σ 1 1 ψ η ρ ρ ψ ρ η ρ 5162 Obteniendo así la desigualdad de ClausiusDuhem configuración actual en función de la energía libre de Helmholtz 0 1 T T xr r q σ D ψ η ρ Τ Desigualdad de ClausiusDuhem configuración actual 5163 La desigualdad de ClausiusDuhem 5155 también puede ser escrita en función de la energía libre de Helmholtz ψ en la configuración de referencia 0 1 0 1 0 0 0 0 0 T T T u T T u T X X E E r r r r q S q S η ρ ρ η ρ 5164 Considerando la energía libre en la configuración material dada por t t T t u X X X r r r η ψ y su tasa η ψ η η η ψ T T u T T u la desigualdad de ClausiusDuhem en la configuración de referencia queda 0 1 0 1 0 0 0 0 T T T T T T X X F E r r r r q P q S η ψ ρ η ψ ρ Desigualdad de ClausiusDuhem configuración de referencia 5165 Expresamos la energía libre de Helmholtz por unidad de volumen de referencia por ψ ρ Ψ 0 X r y se cumple que ρ ψ Ψ 0 ie ρ ψ ψ ρ ρ ψ ρ ψ Ψ Ψ 23 1 0 0 0 0 0 Dt D Dt D Dt D Dt D 5106 Forma Alternativa de la Desigualdad de Clausius Planck La desigualdad de ClausiusPlanck también se puede expresar en función de la energía libre de Helmholtz Considerando la desigualdad de la conducción de calor la expresión 5163 se reduce a 0 ψ ρ η T int σ D D 5166 o en la configuración de referencia 0 0 ψ ρ η T int S E D 5167 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5107 Procesos Reversibles Un proceso termomecánico se denomina reversible si durante este proceso no hay producción de entropía luego Γt 0 ver ecuación 5143 Un proceso conservativo reversible la energía libre de Helmholtz es un potencial termodinámico y este proceso viene caracterizado por El trabajo realizado por las fuerzas entre dos puntos es independiente del camino El trabajo realizado en un ciclo cerrado es nulo Para el caso sin producción de entropía proceso reversible tenemos que Dint σ D ρ ψ 0 ρ ψ σ D 5168 donde ρ ψ Ψ es la densidad de energía de deformación por unidad de volumen En la configuración de referencia las expresión de 5168 quedan Dint S Ė ρ0 ψ 0 12 S Ċ ρ0 ψ 0 ρ0 ψ 12 S Ċ S Ė 5169 5108 Desigualdad de Entropía para Volumen con Discontinuidad Aplicando la desigualdad de entropía 5142 para un volumen con discontinuidad obtenemos que Γt DDt V V ρ ηxt dV V V ρ bxt dV S S s n dS 5170 Para la integral de superficie del lado derecho de la desigualdad 5170 podemos aplicar el teorema de Gauss para un volumen con discontinuidad ec 520 y obtener que S S s n dS V V s dV Σ s n dS 5171 Para la integral de volumen de la izquierda de la desigualdad 5170 podemos aplicar el teorema del transporte de Reynolds con Φ ρ η ec 525 DDt VΣ ρ η dV VΣ Dρ ηDt ρ η x v dV Σ ρ η v ω n dS 5172 Reemplazando los resultados obtenidos en 5172 y 5171 en 5170 obtenemos que VΣ Dρ ηDt ρ η v dV Σ ρ η v ω n dS V V ρ bxt dV VΣ x s dV Σ s n dS 5173 Reagrupando los integrandos relacionados con la integral de volumen y con la integral de superficie obtenemos que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 396 0 ˆ Σ Σ dS dV Dt D Dt D V n s b s r r r r r r r ω v v x x ρ η ρ ρ η ρ η η ρ 5174 Teniendo en cuenta la ecuación de continuidad de masa concluimos que 0 v v x x r r r r ρ ρ η ρ η ρ η Dt D Dt D luego 0 ˆ Σ Σ dS dV Dt D V n s b s r r r r r ω v x ρ η ρ η ρ 5175 Así resultan las siguientes desigualdades para un volumen con discontinuidad Σ Σ en V en Dt D 0 ˆ n s b s r r r r r ω v x η ρ ρ η ρ Desigualdad de entropía para volumen con discontinuidad 5176 Ejemplo 510 1 Obtener la ecuación de energía para un sistema caracterizado por potencia tensional nula Considérese que el flujo de calor viene dado por T T xr r K q donde KT es un tensor de segundo orden denominado de tensor de conductividad térmica propiedad del material y considérese también que T u c donde c es el calor específico propiedad del material Proporcionar también la unidad del tensor K 2 Si ahora consideramos un material heterogéneo donde K Kxr es un campo tensorial de conductividad térmica tensor de segundo orden arbitrario no necesariamente simétrico a Demostrar que el tensor de conductividad térmica es un tensor semidefinido positivo b Verificar en que situación la parte antisimétrica de Kxr no afecta en el resultado del problema de conducción de calor Considerar la potencial tensional igual a cero y el medio no presenta fuente interna de calor c Que formato presentaría K si el material es isótropo Solución Teniendo en cuenta que la potencia tensional es nula σ D 0 la ecuación de energía se resume a r T T t T c r t T c r r t T T u u ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ x x x x x r r r r r r r r 0 K q q q D σ Resultando así que t c T r T T ρ ρ x x r r K La ecuación anterior se obtiene a través del principio de la conservación de energía y se denomina de ecuación de flujo de calor que se aplica a problema de conducción térmica Observemos que la ecuación anterior podría haber sido obtenida partiendo directamente de la ecuación de continuidad de energía 527 donde Φ ρcT y la fuente viene representada por r Q ρ con eso tenemos que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 397 q q r r r r x x t c T t c T t cT Q ρ ρ ρ Si el proceso termodinámico viene caracterizado de tal forma que las propiedades del material no cambian significativamente con el tiempo tenemos que 0 t ρc luego T t c T r t c T t c T t c T Q x x x x r r r r r r K q q ρ ρ ρ ρ ρ Teniendo en cuenta las siguientes unidades 2 2 m W m s J qr m K T T x x r r podemos verificar que para que haya compatibilidad de unidades hay que cumplir que m K m K W s m K J m W m s J T 2 2 xr r K q Luego concluimos que m K W s m K J K NOTA También es interesante destacar que cuando la potencia tensional es nula podemos desacoplar el problema mecánico del problema térmico es decir podemos analizar los dos problemas separadamente 2 a Partimos de la desigualdad de conducción de calor que hay que cumplir siempre 0 0 0 T T T T T x x x x x x x r r r r r r r r K K q ó 0 0 0 j ij i i j ij i i K T T T T K q T Recordar que un tensor arbitrario A será semidefinido positivo si se cumple que 0 x x r A r para todo 0 r r x Demostrando así que Kxr es un tensor semidefinido positivo Luego como consecuencia los autovalores de Kxr serán todos valores reales mayores o iguales a cero ie K1 0 K2 0 K3 0 También recordar que ya que Kxr no es simétrico el espacio principal de Kxr no constituye una base ortonormal Es interesante observar que la parte antisimétrica no afecta en la desigualdad de conducción de calor ya que 0 0 0 0 T T T T T T T T T T T T anti sym anti sym anti sym x x x x x x x x x x x x x r r r r r r r r r r r r r K K K K K K K Notar que 0 T T anti x x r r K ya que el doble producto escalar entre un tensor antisimétrico Kanti y otro simétrico T T x x r r resulta ser igual a cero luego 0 0 T T T T sym x x x x x r r r r r K K Es decir siempre se cumplirá la desigualdad de conducción de calor sea Kxr simétrico o no b Para el problema planteado la única ecuación de gobierno que queda es la ecuación de energía q q σ D r r r r x x r u Dt Du ρ ρ ρ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 398 donde u es la energía interna específica σ D es la potencial tensional y r ρ es la fuente interna de calor por unidad de volumen Luego T T T T T T T T T T T T sym T anti sym T anti sym T T ji ij j ij i i j ij i i u x x x x x x x x x x x x x x x x x x r r r r r r r r r r r r r r r r r r K K K K K K K K K K K K K q ρ donde hemos considerado la simetría de ji ij ij T T T x x r r Si el material es homogéneo eso implica que el campo de K no dependerá de xr con lo cual el término j ij i 0 K En esta situación quedamos con T sym u x x r r ρ K Luego cuando el material es homogéneo la parte antisimétrica de K no afecta en el resultado c Un material isótropo tiene la característica que sus propiedades en un punto no cambian si hacemos un cambio de base Un tensor de segundo orden isótropo será un tensor esférico ver capítulo 1 luego el tensor K tiene que ser del tipo 1 K K donde K es un escalar 511 Ecuaciones Fundamentales de la Mecánica del Medio Continuo Podemos entonces resumir las ecuaciones fundamentales de la mecánica del medio continuo en la configuración actual como Ecuaciones Fundamentales de la Mecánica del Medio Continuo Configuración Actual Ecuación de continuidad de masa Principio de la conservación de la masa 0 x v r ρ r ρ Dt D 1 ecuación 5177 Ecuaciones del Movimiento Principio de la conservación del momento lineal v x r r r ρ ρ b σ 3 ecuaciones 5178 Simetría del tensor de Tensiones de Cauchy Principio de la conservación del momento angular σ σT 5179 Ecuación de Energía Principio de la conservación de la Energía r u ρ ρ q σ D r rx 1 ecuación 5180 Desigualdad de Entropía Principio de la Irreversibilidad 0 1 1 1 2 T T u T T t x x r r r q σ D ρ ρη 5181 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 399 La desigualdad de entropía no se considera como una ecuación más del problema y sí sirve como restricción de las ecuaciones básicas y la simetría del tensor de tensiones reduce de 9 incógnitas de ij σ a 6 Las ecuaciones de continuidad ecuaciones del movimiento y ecuación de la energía nos proporcionan 5 ecuaciones Las incógnitas son tres componentes de la velocidad vr la temperatura T la densidad de masa ρ seis componentes del tensor de tensiones de Cauchy σ la energía interna específica u tres componentes del vector flujo de calor qr y la entropía η con un total de 16 incógnitas Para que el problema esté bien planteado debemos añadir once ecuaciones al problema Añadiremos ecuaciones que conecten la tensión Ley Constitutiva el calor Ley de Conducción de Calor la energía Ley Termodinámica de Estado con los demás campos Estas ecuaciones se denominan Ecuaciones Constitutivas que es el tema del próximo capítulo 5111 Casos Particulares 51111 Movimiento de Sólido Rígido Cuando estamos tratando con movimiento de sólido rígido sin considerar el efecto de la temperatura los únicos principios necesarios para establecer el conjunto de ecuaciones son El principio de la conservación del momento lineal y el principio de la conservación del momento angular Con eso las ecuaciones de gobierno del problema vienen definidas por a r r F m y G G H M r r ó O O H M r r ver Ejemplo 58 El problema queda completamente definido cuando se introducen las adecuadas condiciones de contorno e iniciales Un ejemplo muy sencillo de la aplicación de estas ecuaciones es a la hora del cálculo de las reacciones de apoyo en una viga isoestática en equilibrio ver Figura 511 Figura 511 Viga isoestática Aunque en la viga haya deformación régimen de pequeñas deformaciones y tensión para efecto de cálculo de las reacciones de apoyo podemos considerar que de un cuerpo rígido se tratara y las ecuaciones necesarias son α α α α sin 0 sin cos 0 cos P V V P V V P H P H m B A B A y A A x F F 0 F r r r a 2 sin 0 2 sin α α P V L P V L M B B z A A 0 r r r H M pudiendo ahora determinar 2 sin sin α α P P V V B A B A α P A B A H α P A V B V 2 L 2 L Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 400 51112 Problemas de Flujo Para problemas donde solamente involucra transporte de una cantidad física masa energía o de otra naturaleza el único principio necesario para establecer las ecuaciones de gobierno es la ley de conservación de la cantidad física o en su forma fuerte la ecuación de continuidad de la cantidad física ver ecuación 527 t t t t t Q x x v x x x r r r r r r r q Φ Φ Φ s Φ 5182 El caso planteado en el Ejemplo 510 estaba relacionado con transporte de energía sin transporte de masa Este transporte de energía existe debido a la agitación de los átomos donde este grado de agitación lo caracterizamos a nivel macroscópico a través de la temperatura Si una partícula un puñado de átomos empieza a aumentar su grado de agitación las partículas vecinas serán afectadas aumentando así sus grados de agitación De esta forma se transporta la energía sin que haya transporte de masa Este transporte de energía lo representamos a nivel macroscópico a través del flujo vr r q Φ Cuando estamos en el ámbito de la mecánica del medio continuo no solimos ir al nivel atómico y medir la velocidad media de un puñado de átomos vibración para sacar el flujo Lo que hacemos es vamos al laboratorio con el material en lo cual queremos establecer el flujo de calor flujo de energía y aplicamos una variación de temperatura con lo cual podemos verificar macroscópicamente que el flujo puede ser caracterizado por la siguiente ley fenomenológica k T q en una dimensión donde k es una propiedad térmica del material Este procedimiento fue realizado por Fourier estableciendo así la ley de Fourier de conducción de calor Fourier también verificó en laboratorio que el sentido del flujo de calor es contrario al sentido del gradiente de temperatura hecho comprobado a través del segundo principio de la termodinámica La ley k T q es una ley fenomenológica ecuación constitutiva de flujo de calor y relaciona dos variables térmicas También es interesante verificar que en las ecuaciones fundamentales de la mecánica del medio continuo 5177 5178 5180 carecen de dicha relación En el Ejemplo 510 la cantidad física en cuestión viene dada por Φ ρcT Según el SI de unidades tenemos que T K m3 ρ kg kg K J c Con eso verificamos las siguientes unidades 3 3 m J kg K K J m kg cT Φ ρ unidad de energía por unidad de volumen m s J s m m J 2 3 Φ vr rq unidad de flujo de energía Hay varios problemas en ingeniería en los cuales vienen caracterizados por la ecuación de continuidad a continuación citamos algunos de ellos Problema de conducción de calor flujo de energía Problema de Filtración en Medio Poroso transporte de masa Problema de Difusión transporte de contaminante en un medio acuoso Problema de torsión de SaintVenant flujo de tensión Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 401 512 Problemas de Flujo 5121 Transferencia de Calor El flujo de calor es una transferencia de energía en un medio continuo y puede suceder de tres formas distintas a saber Conducción Convección Radiación 51211 Conducción Térmica Conducción térmica Transferencia de energía en forma de calor a través de colisión y vibración de moléculas y átomos no hay transporte de masa Temperatura La temperatura 0 T xr t no es una forma de energía y sí una medida de cuanto caliente está una partícula A través de experimentos se comprueba que las partículas más calientes tienden a dar calor a partículas más frías En el sistema internacional de unidades la temperatura absoluta tiene como unidad el Kelvin T K El cero absoluto C K T 27315º 0 es una temperatura teórica cuando hasta los átomos electrones no se mueven Cuando un medio continuo sufre variación de temperatura nouniforme el calor se transfiere de una región más caliente hacia una región más fría Cuando este fenómeno se produce sin que haya transporte de masa decimos que estamos ante un problema de conductividad térmica La ley fenomenológica ley constitutiva que gobierna la conductividad térmica viene definida a través de la ley de Fourier de Conducción de Calor que establece que el flujo de calor es proporcional al gradiente de temperatura T T x x r r r K K q Ley de Fourier de conducción de calor m s J 2 5183 donde qr es el flujo de calor por unidad de área por unidad de tiempo y su unidad 2 2 m W m s J qr xrT es el gradiente de temperatura m K xrT y K es el tensor de conductividad térmica tensor de segundo orden simétrico cuya unidad en el SI es mK K W ver Ejemplo 510 NOTA La ley de Fourier de conducción de calor no es universal Existen materiales en el cual el flujo de calor viene gobernado por leyes más complejas El signo negativo en la ley de Fourier es debido a que el vector flujo de calor es siempre contrario al gradiente de temperatura El gradiente de temperatura apunta de la región más fría hacia la región más cálida y el flujo de calor fluye de la zona más cálida hacia la zona más fría un hecho físico ver Figura 510 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 402 Figura 512 Conducción térmica El tensor de conductividad térmica contiene las propiedades térmicas del material que se obtiene en laboratorio que depende de la porosidad densidad de masa composición etc Explícitamente las componentes de K son material isótropo ij 33 32 31 23 22 21 13 12 11 K K K K K K K K K K 1 0 0 0 1 0 0 0 1 K K ij 5184 Para un material isótropo es decir misma propiedad en cualquier dirección el tensor de conductividad térmica viene representado por el tensor esférico ver Ejemplo 510 Si además el material es homogéneo K no dependerá de xr Para un material isótropo las componentes del vector flujo de calor xrT r q K quedan definidas por 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x T x T x T x T x T x T i K K q q q qr 5185 Y la componente normal q ˆn r qn ver Figura 52 viene dada por 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n K n K n K q n q n q n q n q x T x T x T i i n 5186 51212 Convección Térmica La transferencia de calor por convección se produce en fluidos donde hay un desplazamiento de partículas entre regiones con diferentes temperaturas ver Figura 513 En otras palabras es la transferencia de energía calor debido al movimiento de las partículas del fluido Este fenómeno viene gobernado por la Ley de Newton del Enfriamiento dada por q α T Text Ley de Newton del Enfriamiento 5187 conducción conducción Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 403 donde q es el flujo de calor convectivo α es el coeficiente de transferencia de calor convectivo por unidad de área T es la temperatura en la superficie del cuerpo y Text es la temperatura externa al medio continuo Si consideramos una habitación con un radiador debido a que la superficie del radiador está caliente habrá un calentamiento de las partículas del fluido Esta con el aumento de la temperatura su densidad de masa disminuye y ascienden moviendo así las partículas de menor temperatura ver Figura 513 Debido a este movimiento de las partículas el calor será transferido a toda la habitación Figura 513 Convección térmica 51213 Radiación Transferencia de calor por radiación es el proceso por el cual la energía térmica es intercambiada entre dos superficies obedeciendo leyes electromagnéticas transporte de fotón Como ejemplo podemos citar la transferencia de calor del sol hacia la tierra La ley fundamental que gobierna este fenómeno es la Ley de StefanBoltman de Radiación Térmica 51214 Ecuación de Flujo de Calor En muchos problemas de ingeniería y de otras áreas es importante conocer la distribución de temperatura en el medio continuo A continuación deduciremos la ecuación diferencial que gobierna el problema de transferencia de calor Podemos formular la ecuación de calor partiendo del equilibro de energía considerando solamente los términos relacionados con el calor Consideremos un elemento diferencial de volumen ver Figura 514 donde tenemos los flujos entrantes y salientes de calor Y además consideremos una energía generada internamente r Q ρ por unidad de volumen y por unidad de tiempo debido a reacción química eléctrica o nuclear u otro fenómeno cuya unidad es m s J Q 3 La función escalar r describe el calor generado por las fuentes internas por unidad de masa y por unidad de Calor generado internamente Cambio de la energía interna Calor que sale del sistema Calor que entra en el sistema aire caliente aire frío radiador Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 404 tiempo kg s J r Con el aumento de la temperatura de un cuerpo una parte de la energía térmica es almacenada en el cuerpo Para un diferencial de volumen 3 2 1 dx dx dx esta energía almacenada viene gobernada por la ley 3 2 1 t dx dx dx T c ρ v 5188 donde ρ es la densidad de masa del material vc es el calor específico del material cuya unidad es kg K J cv Figura 514 Fuente y flujo de calor en un elemento diferencial Para la siguiente demostración consideraremos el siguiente cambio de nomenclatura coordenadas x x 1 x y 2 x z 3 componentes del flujo de calor q qx 1 q qy 2 q qz 3 es decir utilizamos la notación ingenieril Aplicando la conservación de energía en todo elemento diferencial tenemos que t T c z y x Q dxdydz t T c z dz dxdy dy dxdz y x dx dydz Q dx dy dz dx dy dx dz dz dy z y x v z z y y x x z y x v ρ ρ q q q q q q q q q q q q 5189 Resultando así en la ecuación de flujo de calor t T c T Q t T c Q v x x v x ρ ρ r r r r K q Ecuación de flujo de calor 5190 donde hemos considerado la ley de Fourier j ij i x T q K Observar que la ecuación anterior fue obtenida en el Ejemplo 510 z q z x q dy y y y q q dx x x x q q dz z z z q q y q x y Q dy dx dz Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Considerando el material homogéneo e isótropo la ecuación flujo de calor ecuación 5190 queda Q K x Tx K y Ty K z Tz ρ cv Tt 5191 QK 2Tx2 2Ty2 2Tz2 1κ Tt 5192 donde κ es la difusividad térmica dada por κ K ρ cv m2s 5193 Casos Particulares Campo de temperatura estacionario T Tx Tt 0 5194 La ecuación 5192 queda QK 2Tx2 2Ty2 2Tz2 0 QK x2 T 0 Ecuación de Poisson 5195 La ecuación anterior desde un punto de vista matemático es conocida como ecuación de Poisson Campo de temperatura estacionario y sin generación interna de calor Tt 0 Q 0 5196 En esta situación la ecuación 5192 se transforma en la ecuación de Laplace 2Tx2 2Ty2 2Tz2 0 x2 T 0 Ecuación de Laplace 5197 Problema transitorio T Txt pero en la ausencia de generación interna de calor Q 0 la ecuación 5192 reduce a la ecuación de Fourier 2Tx2 2Ty2 2Tz2 1κ Tt x2 T 1κ Tt Ecuación de la Difusión 5198 Coordenadas Cilíndricas y Esféricas En coordenadas cilíndricas la ecuación 5192 viene dada por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 406 t T z T T r r T r r T Q θ κ 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 K 5199 En coordenadas esféricas la ecuación de flujo de calor queda t T T r T r r T r r r Q θ θ θ θ θ κ φ 1 sin 1 sin sin 1 1 2 2 2 2 2 2 2 K 5200 Condiciones de Contorno e Iniciales Como la ecuación en derivadas parciales que gobierna el problema es de segundo orden hacen falta una condición de contorno y una condición inicial La condición de contorno puede ser del tipo Dirichlet y del tipo Neumann Considerando un material homogéneo e isótropo tenemos las siguientes condiciones de contorno 1 Valor prescrito de la temperatura 1 0 en S t para T T x y z t 5201 Matemáticamente esta condición es conocida como condición de contorno de Dirichlet 2 Condición de contorno de flujo 2 0 0 ˆ ˆ ˆ en S t para z T y T x T Q z y x n K n K n K 5202 Matemáticamente esta condición es conocida como condición de contorno de Neumann También se puede prescribir una condición de Robin combinación de Dirichlet y de Neumann 3 0 0 ˆ ˆ ˆ en S t para T T z T y T x T Q ext z y x α n K n K n K 5203 donde z y x n n n ˆ ˆ ˆ son los cosenos directores de la normal a la superficie Condiciones Iniciales 0 0 T T x y z t 5204 Figura 515 Flujo de calorcondición de contorno γ β α cos ˆ cos ˆ cos ˆ z y x n n n Text 3 S 1 S qr B r ρ T 2x 1x 3x O t dV x z y nˆ α β γ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 407 5122 Flujo de Fluido en Medio Poroso filtración Consideremos un embalse como se muestra en la Figura 516 Para obtener la ecuación diferencial que representa el problema de flujo de fluido en medio poroso haremos el mismo planteamiento hecho para el problema de flujo de calor pero considerando el caso bidimensional Figura 516 Flujo de fluido en medio poroso La ecuación diferencial que gobierna el problema de flujo de fluido estacionario en medio poroso filtración puede ser obtenida haciendo el equilibrio del elemento diferencial ver Figura 516 0 0 y dxdy dxdy x dx y dy dy dx x y x y y y x x x q q q q q q q q 5205 La ley fenomenológica ecuación constitutiva del flujo de masa en medio poroso viene gobernada por la ley de Darcy ie xrφ r q K donde φ es un potencial total nivel de agua Las componentes qr en 2D vienen dadas por y x y x φ φ K q K q 5206 donde hemos considerado un material isótropo misma permeabilidad en todas las direcciones Reemplazando las componentes del vector flujo en la ecuación 5205 resulta dx x x x q q impermeable 2 h 1h b x y dx dy suelo permeable Flujo P x q y q L Roca impermeable dy y y y q q Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición x K φx y K φy 0 5207 K 2φx2 2φy2 0 Ecuación de Laplace 5208 2 φ 0 Las condiciones de contorno son No hay flujo para x y x φxx 0 φxx 0 5209 No hay flujo en la frontera interfase sueloroca φyy0 0 5210 No hay flujo en la interfase suelopresa φy xL 0 b2 x b2 5211 Adicionalmente el potencial total está prescrito en la interfase aguasuelo φxLx b2 h1 φxLx b2 h2 5212 5123 Ecuación ConvecciónDifusión Difusión Proceso físico irreversible donde las partículas que están en una región de alta concentración se mueven para una región de baja concentración En general este proceso viene gobernado por la Ley de Fick de difusión J D x c Ley de Fick de difusión molm2 s 5213 donde D 0 es el tensor de difusividad contiene los coeficientes de difusión y cxt es la concentración del soluto cuya unidad es c molm3 La concentración definimos como c masa de la solución masa del fluido 5214 o aún podemos expresar la concentración como c 1ρf masa de la solución volumen ρsρf 5215 donde ρf ρs son las densidades de masa del fluido y de la solución respectivamente En general en un transporte de masa fluidosoluto dos mecanismos son llevados en consideración convección y difusión Tratando así de una forma de conservación de masa apropiada para transporte de moléculas solución materia en fluidos En este caso la materia viene definida por una concentración c y debemos considerar la difusión de la Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 409 materia a través del fluido Una suposición esencial es que la cantidad de concentración es suficientemente pequeña tal que no afecta en la velocidad del fluido Consideremos el flujo de masa vr r q ρ y para el soluto el flujo viene dado por vr r q c término convectivo A este añadimos el término difusivo resultando así el flujo 3 2 1 r r r difusivo Término convectivo Término c c x v D q 5216 Para la obtención de la ecuación diferencial conveccióndifusión consideraremos el caso unidimensional Figura 517 Figura 517 Transporte de masa soluto Aplicando la ley de conservación Resultando así t c x Q t dxdy c x dx dy Qdxdy dy x x x x q q q q 5217 Reemplazando el flujo dado por 5216 en la ecuación anterior obtenemos que t c x c x x c v Q t c x x c c v Q x x D D 5218 Pudiendo generalizar la ecuación de conveccióndifusión para 3 dimensiones como t c c c Q x x x v r r r r D Ecuación Convección Difusión 5219 donde c caracteriza la variación de la concentración con respecto al tiempo x c v r r es la convección debido al movimiento del fluido y x c x r r D es la difusión Vamos suponer que en un punto material hay dos tipos de materiales que vienen representado por una cantidad física por unidad de volumen tal que s f c c c y donde se cumple que s f v v v r r r ver Figura 518 Partiendo de la ecuación de continuidad de esta cantidad física s f s f s f c c t c c Q t Q v v x v x r r r r r Φ Φ 5220 o aún x x q dx x x x q q x dx soluto generado internamente Cambio del soluto internamente soluto que sale del sistema soluto que entra en el sistema Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 410 s s s f f s s f f f s s f s s f f f s f s s f s s f f f s f s f s f s f c c c t c c t c Q c c c c t c t c Q c c c c t c c Q c c t c c Q v v v v v v v v v v v v x v v x x x x x r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 5221 Si suponemos que para el material f no hay fuente luego 0 f f f c t c v x r r que es la ecuación de continuidad de la cantidad f c Con eso quedamos con s f s f s s f s s s f s s f s s s s s f f s s c c c c t c Q c c c t c Q c c c t c Q v v v v v v v v v v x x x x x x x x x r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 5222 Si la cantidad física f c no cambia con xr luego el gradiente 0 r r x c f Si además para el medio s lo consideramos incompresible 0 v s x r r Estas simplificaciones nos indican que el material s no afecta en las propiedades y ni en el campo de velocidad del material f Lógicamente si la cantidad del material s es significativa esta aproximación ya no será válida Con estas aproximaciones quedamos con D f s s s s f s s c t c c c t c Q qr r r r r r r r x x x x v v v 5223 Observemos que el término D cs s qr r v representa el flujo debido a la concentración del material s término difusivo El término C f cs qr r v está relacionado con transporte de masa término convectivo Si qr D viene definido por la ley de Fick recaemos en la expresión 5219 Figura 518 Medio heterogéneo s c dV f c s vr f vr vr P V P punto material Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 411 5124 Generalización del Problema de Flujo Los problemas de campo escalar se pueden encontrar en muchas ramificaciones de la física o de ingeniería Estos problemas están gobernados por la ecuación de continuidad a veces llamada de ecuación de transporte t c Q φ ρ φ x x r r D 5224 donde 3 2 1 t x φ x x es la variable escalar a determinar Dependiendo del problema las variables asumirán los siguientes significados 0 xφ x r r D Q Ecuación Campo escalar φ D Q Vector flujo qr leyes fenomenológicas Flujo de calor Temperatura T Conductividad Térmica Calor generado Q Vector Flujo de Calor qr Ley de Fourier xrT r q K Flujo de fluido a través de medio poroso altura piezométrica h Coeficiente de permeabilidad Fuente de agua Vector Flujo de volumen Ley de Darcy xrφ r q K Difusión Concentración de iones c Matriz constitutiva para coeficiente de difusión Fuente de iones Vector Flujo de iones J r Ley de Fick xr c r J D Torsión de Saint Venant Función de tensión de Prandtl θ G 1 θ 2 Ley de Hooke NOTA El problema de torsión de SaintVenant será presentado en capítulo Elasticidad Lineal 513 Problema de Valor de Contorno Inicial PVCI y la Mecánica Computacional Un Problema de Valor de Contorno Inicial PVCI está constituido por las ecuaciones de gobierno ecuaciones en derivadas parciales conjuntamente con las condiciones de contorno y las condiciones iniciales estas condiciones son restricciones a las ecuaciones de gobierno La solución del PVCI es aquella que sea la solución de las ecuaciones y que también satisfaga las condiciones de contorno e iniciales La solución del PCVI será única si el problema está bien planteado es decir dada unas condiciones de contorno e iniciales solo habrá una única solución del problema Las ecuaciones de gobierno vienen definidas por las ecuaciones básicas 51775180 para la configuración actual y por las ecuaciones constitutivas Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 412 Para que una ecuación constitutiva pueda representar el comportamiento real de un material dicha ecuación constitutiva tiene que ser calibrada con los parámetros macroscópicos representativos de cada material Estos parámetros son obtenidos en el laboratorio Recordemos que la escala de estudio de la mecánica del medio continuo es la macroscópica luego tenemos que obtener parámetros macroscópicos representativos de los fenómenos que ocurren en la escala microscópica Digamos que éste es el Tendón de Aquiles de la Mecánica del Medio Continuo porque no siempre podremos caracterizar ciertos fenómenos que están ocurriendo a nivel micro al nivel macroscópico De hecho la evolución de los modelos constitutivos está directamente ligada a la precisión de la instrumentación y a las nuevas técnicas empleadas en los ensayos de laboratorio de dichos materiales Resumimos así que las ecuaciones constitutivas utilizadas para modelar un material deben ser capaces de simular cualquier fenómeno que pueda surgir en el material durante el proceso de carga o al menos los fenómenos más significativos Las ecuaciones constitutivas como vimos anteriormente completan el conjunto de ecuaciones que gobiernan un determinado problema físico Es decir complementa el Problema de Valor de Contorno Inicial PVCI para obtener la solución numérica del problema físico La Mecánica Computacional resuelve problemas específicos mediante la simulación a través de herramientas numéricas implementadas en el ordenador De forma general podemos decir que la mecánica computacional no es un bloque independiente es decir para su completa aplicación depende directamente de tres bloques Análisis Teórico PVCI Análisis Experimental Laboratorio y del Análisis Numérico método numérico implementado en el ordenador para la obtención de la solución numérica del PVCI ver Figura 519 En esta figura también podemos apreciar como encajan los modelos constitutivos que completan el conjunto de ecuaciones del PVCI dentro de la Mecánica Computacional Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 413 Figura 519 El modelo constitutivo dentro de la Mecánica Computacional Problema de Valor de Contorno Inicial ESTRUCTURA LABORATORIO Propuesta de un MODELO CONSTITUTIVO IBVP SOLUCIÓN NUMÉRICA Datos de entrada SI NO MECÁNICA COMPUTACIONAL NO Nueva propuesta de ensayo Propuesta de ensayo Simula de forma precisa los ensayos de laboratorio Opción 2 Simulación numérica Opción 3 Otro método numérico Si posible Opción 4 Nueva propuesta p IBVP La teoría del continuo no es válida La simulación es realista Opción 1 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 414 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 Introducción a las Ecuaciones Constitutivas 61 Introducción Matemáticamente el propósito de las ecuaciones constitutivas es establecer conexiones entre los campos cinemáticos térmicos y mecánico Como ejemplo Figura 61 muestra la relación entre tensióndeformación para un problema mecánico a través de ley constitutiva de tensión Luego en este caso la ecuación constitutiva debe ser entendida como una relación biunívoca entre tensión y deformación Físicamente las ecuaciones constitutivas representan las distintas formas de idealizar la respuesta de un material Figura 61 Relación tensióndeformación 6 Introduccion a las Ecuaciones Constitutivas fuerzamomento tensión deformación desplazamiento Ley constitutiva σ ε Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 416 A continuación resumimos las ecuaciones obtenidas de los principios fundamentales de la mecánica del medio continuo Ecuaciones Básicas de la Mecánica del Medio Continuo Configuración Actual Ecuación de continuidad de masa Principio de la conservación de la masa 0 x v r ρ r ρ Dt D 61 Ecuaciones del Movimiento Principio de la conservación del momento lineal v x r r r ρ ρ b σ 62 Simetría del tensor de Tensiones de Cauchy Principio de la conservación del momento angular σ σT 63 Ecuación de Energía Principio de la conservación de la Energía r u ρ ρ q σ D r rx 64 Desigualdad de Entropía Principio de la Irreversibilidad 0 1 1 1 2 T T u T T t x x r r r q σ D ρ ρη 65 Ecuaciones Básicas de la Mecánica del Medio Continuo Configuración de Referencia Ecuación de continuidad de masa 0 Dt Jρ D 66 Ecuaciones del Movimiento V F V X X r r r r r r 0 0 0 0 0 0 ρ ρ ρ ρ b S b P 67 Simetría del segundo tensor de Piola Kirchhoff S ST ó T T P P F F 68 Ecuación de Energía 0 0 0 t r t u X E X X r r r r ρ ρ q S ó 0 0 0 t r t u X F X X r r r r ρ ρ q P 69 Desigualdad de Entropía 0 1 1 1 0 2 0 0 T T u T T X E r r q S ρ ρ η ó 0 1 1 1 0 2 0 0 T T u T T X F r r q P ρ ρ η 610 La desigualdad de entropía no se considera como una ecuación más del problema y sí sirve como restricción de las ecuaciones básicas y la simetría del tensor de tensiones reduce de 9 incógnitas de tensión a 6 Las ecuaciones de continuidad ecuaciones del movimiento y ecuación de la energía nos proporcionan 5 ecuaciones Las incógnitas son tres componentes de la velocidad vr la temperatura T la densidad de masa ρ seis componentes del tensor de tensiones de Cauchy σ la energía interna específica u tres componentes del vector flujo de calor qr y la entropía η con un total de 16 incógnitas Para que el problema esté bien planteado debemos añadir once ecuaciones al problema Añadiremos ecuaciones que conecten la tensión Ley Constitutiva el flujo de calor Ley de Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Conducción de Calor la energía Ley Termodinámica de Estado con los demás campos Estas ecuaciones se denominan Ecuaciones Constitutivas Ecuaciones Constitutivas Leyes Constitutivas de Tensión Relación entre tensión y las variables de estado 611 Ley de Conducción de Calor Relación entre flujo de calor y las variables de estado 612 Leyes Termodinámicas de Estado Relación entre la energía potencial y las variables de estado Relación entre la entropía potencial y las variables de estado 613 donde las Leyes Constitutivas proporcionan seis ecuaciones la Ley de conducción de Calor proporciona tres ecuaciones y las Leyes Termodinámicas de Estado proporcionan dos ecuaciones estas últimas dependerán del potencial termodinámico adoptado Resultando así en un sistema bien planteado con 16 incógnitas y 16 ecuaciones Las ecuaciones que relacionan funciones de estado y variables de estado variables libres son denominadas ecuaciones de estado o ecuaciones constitutivas o aún leyes constitutivas No serán considerados los efectos al cambio químico o al electromagnético Para establecer las ecuaciones constitutivas de un material termoelástico simple adoptaremos la energía libre de Helmholtz la entropía específica el flujo de calor y el tensor de tensiones de Cauchy como las funciones de estado ya que en sólido se suele utilizar como variables libre Luego la respuesta de un material queda completamente definida por los campos Dependiendo del problema puede resultar más conveniente adoptar otros potenciales termodinámicos entre energía interna específica energía libre de Helmholtz H entalpía G energía libre de Gibbs ver capítulo 3Vol2 NOTA Es interesante enfatizar que las ecuaciones constitutivas basados en evidencias experimentales describen la constitución del material desde un punto de vista macroscópico luego por naturaleza las ecuaciones constitutivas son aproximaciones 62 Principios Constitutivos Puede resultar eficiente el planteamiento de ciertos principios restricciones a la hora de la formulación de las ecuaciones constitutivas ya que su formulación desde un punto de vista muy generalista puede resultar muy compleja A continuación citamos algunos principios Chadwick1976 Gurtin1963 Truesdell Noll 1965 que utilizaremos para establecer las ecuaciones constitutivas de materiales termoelásticos simples Principio del Determinismo Principio de la Acción Local Principio de Equipresencia Principio de la Objetividad Principio de la Disipación Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 418 621 El Principio del Determinismo Este principio establece que los campos ψ σ η qr en un punto X r depende de toda la historia del movimiento x X t r r y de la historia de la temperatura t T X r es decir hasta el tiempo actual t pero nunca de valores futuros de xr T En un proceso termodinámico puede resulta irreal que los valores de los campos ψ σ η qr actuales dependan de valores que estén demasiado alejados de los valores actuales De esta manera se establece el Principio de la Memoria Limitada La historia de los campos que esté muy alejada de la actual no le afecta Entonces hay que considerar los valores recientes de los campos esto implica que es necesario definir previamente el concepto de tiempo reciente 622 El Principio de la Acción Local Este principio establece que el estado de los campos ψ σ η qr en un punto material cualquiera dependen del estado de dichos campos en la proximidad del punto La información del movimiento de forma local viene dada por el gradiente de deformación F X t r y para la temperatura por su gradiente T Los materiales que satisfacen el Principio del Determinismo y de la Acción Local son denominados de Materiales Termoelásticos Simples 623 El Principio de la Equipresencia A priori no hay razón de excluir una variable de estado variable independiente de las ecuaciones constitutivas Por ejemplo no tiene mucho sentido si la tensión es sólo función del gradiente de deformación y el flujo de calor sólo función de la temperatura 624 El Principio de la Objetividad Este principio establece que las ecuaciones constitutivas deben ser las mismas para cualquier observador En consecuencia toda ecuación constitutiva debe satisfacer el principio de la objetividad ver capítulo 4 Como ejemplo de objetividad consideremos que un observador detecta una tensión o tasa de tensión en el cuerpo B si este sistema sufre un movimiento de cuerpo rígido este observador deberá detectar la misma tensión o tasa de tensión en el cuerpo B ver Figura 62 625 El Principio de la Disipación Las ecuaciones constitutivas deben cumplir la desigualdad de entropía para todo proceso termodinámicamente admisible Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 419 Figura 62 Movimiento de cuerpo rígido 63 Caracterización de las Ecuaciones Constitutivas para un Material Simple Para un material termoelástico simple las variables de estado son el gradiente de deformación X t F r la temperatura T y el gradiente de temperatura X T r Asumimos que ψ η 0 qr y P configuración de referencia son determinados por la historia de F T y X T r y por sus valores actuales Principio del Determinismo y por el Principio de la Acción Local Estas cantidades vienen expresadas a través de un conjunto de Funcionales ˆ ˆ 0 0 ˆ ˆ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ T T t T T t T T t T T t X X X X F X F X F X F X r r r r r r r r r r P P q q η η ψ ψ 614 donde τ representa la historia de hasta el tiempo actual t τ t Además verificamos que ψˆ ηˆ son funcionales de valorescalar qˆr es un funcional de valorvector y Pˆ es un funcional de valortensor de segundo orden Teniendo en cuenta el Principio de la Disipación la desigualdad de ClausiusDuhem debe ser satisfecha para todo proceso termodinámico Para un sistema homogéneo los funcionales descritos en 614 serán independientes de X r ˆ ˆ 0 0 ˆ ˆ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ T T t T T t T T t T T t X X X X F F F F r r r r r r P P q q η η ψ ψ Respuesta de un material termoelástico simple homogéneo 615 σ σ B B observador X x r r r t t Q c Configuración actual Configuración actual rotada Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 420 NOTA Las funciones con sombrero ˆ funcionales son distintas de las funciones que están a la izquierda de la igualdad es decir ˆ proporciona el valor actual de t teniendo en cuenta toda la historia de los argumentos de ˆ Según el principio de la objetividad las ecuaciones constitutivas deben ser invariantes bajo un movimiento de cuerpo rígido del material en un intervalo dado de tiempo Luego las ecuaciones constitutivas deben cumplir que ˆ ˆ 0 0 ˆ ˆ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ T T t T T t T T t T T t X X X X F F F F r r r r r r P P q q η η ψ ψ 616 donde representa el tensor bajo la ley de transformación entre los dos sistemas ver Objetividad de Tensores capítulo 4 Consideremos la tasa de la energía libre de Helmholtz 614 T T T T T T X X F F F r r ψ ψ ψ ψ ψ ψ 617 La forma alternativa de la desigualdad de ClausiusDuhem desigualdad de entropía en la configuración de referencia fue obtenida en el capítulo 5 como 0 1 0 0 T T T X F r r q P η ρ ψ 618 donde ψ es la energía libre de Helmholtz por unidad de masa η es la entropía específica ie entropía por unidad de masa y P es el primer tensor de tensiones de Piola Kirchhoff Reemplazando 617 en la desigualdad de entropía 618 obtenemos que 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 T T T T T T T T T T T T T X X F F F F F r r r r q P q P ψ ρ η ψ ρ ψ ρ η ψ ψ ψ ρ 619 Cuya desigualdad debe cumplir para todo proceso termodinámico admisible Consideremos un proceso tal que F 0 y un sistema con temperatura uniforme 0 r r X T 0 r r X T Para este proceso termodinámico la desigualdad 619 queda 0 0 T T η ψ ρ 620 Observemos que la desigualdad 620 también debe cumplir para todo proceso termodinámico Luego si para un determinado proceso se cumpla esta condición y a continuación aplicamos un proceso tal que T T violando así la desigualdad de entropía De esta manera la única forma que satisface la desigualdad 620 es cuando T T ψ η η ψ 0 621 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 421 Teniendo en cuenta 621 podemos entonces reescribir la desigualdad 619 como 0 1 0 0 0 T T T T X F F r r q P ψ ρ ψ ρ 622 Consideremos ahora un proceso tal que F 0 la desigualdad 622 se reduce a 0 1 0 0 T T T T X r r q ψ ρ 623 Observemos que el término 0 1 0 T T X r r q siempre se cumple ya que el vector flujo siempre tiene sentido contrario al sentido del gradiente de temperatura Si 0 X T r ψ podemos adoptar X T r tal que viole la condición 623 con lo cual comprueba que ψ no debe depender del gradiente de temperatura es decir ψ ψ F T Luego la desigualdad de entropía 622 se reduce a 0 1 0 0 T T X F F r r q P ψ ρ 624 Consideremos ahora un proceso tal que 0 r r X T la desigualdad 624 queda 0 0 F F ψ ρ P 625 Partiendo de este estado adoptamos otro estado tal que F F resultando 0 0 F F ψ ρ P 626 La única forma de que las dos expresiones 625 626 siguen siendo válidas es que se cumpla que F F ψ ρ ψ ρ 0 0 0 P P 627 Resultando así que las ecuaciones constitutivas para un material termoelástico simple vienen establecidas por 0 0 0 T T T T T T T T X F F F F F F F r r r q q P ψ η ψ ρ ψ ψ Ecuaciones constitutivas para un material termoelástico simple 628 Las ecuaciones constitutivas tienen que cumplir el Principio de la Objetividad Un escalar cumple el principio de la objetividad por ejemplo la energía y la entropía pero podemos aprovechar de este principio y expresar los parámetros de estos campos escalares en función de otros parámetros más convenientes por ejemplo la energía libre de Helmholtz ψ F T que está en función del gradiente de deformación F que no está ni en la Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 422 configuración de referencia ni en la actual Aplicando el principio de la objetividad a la energía tenemos que T T F F ψ Q ψ ψ 629 donde hemos aplicado que F F Q T T ver capítulo 4 Partiendo de la descomposición polar F R U y del hecho que el principio de la objetividad se debe cumplir para todo tensor ortogonal Q hacemos que Q RT ver Figura 63 obteniendo T T T T U R U R Q ψ ψ ψ ψ F 630 Es decir para cumplir el principio de la objetividad la energía tiene que ser una función del tensor derecho de estiramiento Teniendo en cuenta las relaciones C U2 1 E C 2 ver capítulo Cinemática del Continuo aún podemos expresar la energía como ˆ ˆ T T E C ψ ψ ψ ψ 631 Para evitar exceso de simbolismo omitiremos los símbolos superpuestos Para la entropía tenemos que η η ψ η η ψ ψ η η ˆ T T T T T T T T T T E E C C F F F 632 Figura 63 Descomposición polar por la derecha Análogamente pasa con un vector por ejemplo el vector flujo de calor 0 0 0 0 0 0 ˆ q q q q q q r r r r r r r r r T T T T T T X X X E C F 633 X r xr X r U F R U configuración de referencia configuración actual 0 B B B R Q R T ψ ψ F T 1 U ψ ψ U T ˆ ˆ T T E C ψ ψ ψ ψ S C E τ Jσ be Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 423 Observemos que aunque la potencia tensional P F se encuentra en la configuración de referencia ni P ni F están en la configuración de referencia mas bien es como si tuviera un pie en la configuración de referencia y otro en la configuración actual Pero como vimos en el capítulo 3 P está relacionado con un tensor de tensiones segundo tensor de tensiones de PiolaKirchhoff S que sí está en la configuración de referencia Luego partiendo de la relación P S F 1 y teniendo en cuenta 628 concluimos que ij ij ji pj ip jq iq kp pj ik kq jq ik qj rk rp rq pj rk pq ik kj rq rp rq kj rp pq ik kj rq rp pq ik kj pq pq ik kj ik kj ik ij C T C T C T C T C T F C T F F C T F F F C T F F F F F F F C T F F F F C T F F C C T F F T F F 2 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 C C C C C C C C C C C F ψ ρ ψ ψ ρ ψ δ ψ δ ρ ψ ψ ρ δ δ δ δ ψ ρ ψ ρ ψ ρ ψ ρ ψ ρ P S 634 Análogamente podemos demostrar que también se cumple que E E C C 2 0 0 T T ψ ρ ψ ρ S 635 Con lo cual las ecuaciones constitutivas pueden ser expresadas en función de variables Lagrangianas como ˆ 0 0 0 ˆ T T T T T T T X E E E E E E r r r q q S ψ η ψ ρ ψ ψ Ecuaciones constitutivas para un material termoelástico simple Configuración de referencia 636 Podemos expresar las ecuaciones constitutivas en la configuración actual deformada Teniendo en cuenta que el primer tensor de tensiones de PiolaKirchhoff P está relacionado con el tensor de tensiones de Cauchy T J F P σ 1 T T T T T T T J J T F F F F F F F F F F F F 1 1 0 0 0 0 ψ ρ ψ ρ ρ ρ ψ ρ ψ ρ σ P P 637 Además teniendo en cuenta que se cumple la relación T T J J F F 0 1 0 q q q q r r r r De esta manera expresamos las ecuaciones constitutivas en la configuración actual como Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 424 0 1 0 1 T T J T T J T T T T T T T X X F F F F F F F F F F r r r r r q q q σ ψ η ψ ρ ψ ψ Ecuaciones constitutivas para un material termoelástico simple Configuración actual 638 Aplicando el principio de la objetividad donde la energía libre de Helmholtz puede ser escrita en función de ψ C T La ecuación constitutiva de tensión jk ik ij F F T σ ρ ψF queda como jk ik pq pq jk ik ij F F C C T F F T σ C F C ρ ψ ρ ψ 639 Aplicando la definición del tensor derecho de deformación de CauchyGreen rq rp pq F F C aún podemos decir que jp qp iq jq pq ip jp qp iq jq pq ip jp pq iq jq ip jp iq pq jk qk ri rp jk rq pk ri pq jk ik rq rp rq ik rp pq jk ik rq rp pq jk ik pq pq ij F C T F F C T F F C T F F C T F F C T F F F F F C T F F F F C T F F F F F F F C T F F F F C T F F C C T σ 2 C C C C C C C C C C ψ ρ ψ ρ ψ ρ ψ ρ ψ ρ ψ ρ δ δ δ δ ψ ρ ψ ρ ρ ψ ψ ρ 640 donde hemos considerado la simetría del tensor C qp pq C C En notación tensorial la ecuación constitutiva de tensión queda T T F C C F 2 ψ ρ σ 641 Teniendo en cuenta que ρ ρ 0 J aun podemos decir que T T T T J T J T J T J F F F C C F F C C F F C C F S σ 1 2 1 2 1 2 0 0 Ψ ψ ρ ψ ρ 642 donde S es el segundo tensor de tensiones de PiolaKirchhoff configuración de referencia y Ψ C T es la energía por unidad de volumen de referencia Para la ecuación constitutiva flujo de calor obtenemos que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 425 T T T T T J T T J T T J Q R U Q R U q Q Q Q q Q q q 0 1 0 1 0 1 X X X F F F F r r r r r r r 643 Adoptando que Q RT y considerando la simetría del tensor U UT resulta F X X X X X 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 T T J T T J T T J T T J T T J T T T T T T r r r r r r r r r r r U q R U U q U U q R R U R R U R q R Q R U Q R U Q q q 644 Luego para cumplir el principio de la objetividad las ecuaciones constitutivas pueden ser expresadas como F C F C C F C C F C X X 2 0 1 1 0 T T J T T J T T T T T T r r r r r q U q q σ ψ η ψ ρ ψ ψ Ecuaciones constitutivas para un material termoelástico simple Configuración actual 645 Ejemplo 61 Para un determinado material elástico se conoce la expresión de la densidad de energía por unidad de volumen y viene dada por E 2 E E E II I II I µ µ Ψ 2 2 2 1 λ donde λ µ son constantes del material E E E I I E E E II II son los invariantes principales el primer y segundo invariante principal del tensor de deformación de Green Lagrange respectivamente Cuales son las ecuaciones constitutivas para este problema Obtener también las expresiones explícitas de las ecuaciones constitutivas en función de λ µ E I II E Formulario 1 E IE T II E E E E 1 Tr Solución La expresión de la energía está solamente en función del tensor de deformación de Green Lagrange grandes deformaciones Sabemos que las ecuaciones constitutivas son ˆ 0 0 0 ˆ T T T T T T T X E E E E E E r r r q q S ψ η ψ ρ ψ ψ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición El problema planteado es independiente de la temperatura ya que la expresión de la energía no está en función de la temperatura Luego solamente nos quedamos con la ecuación constitutiva de tensión y que podemos obtener como Simplificando la expresión anterior y teniendo en cuenta que obtenemos 64 Caracterización de las Ecuaciones Constitutivas para un Material Termoviscoelástico Consideremos un material Romano et al 2006 que tenga el siguiente comportamiento El estado de tensión depende de la deformación local y de la temperatura Fenómeno de disipación fricción interna surge cuando una parte del sistema está en movimiento relativo de corte con otra parte del sistema ver Figura 64 En este caso la respuesta del material dependerá del gradiente espacial de la velocidad y de la temperatura Figura 64 Fricción interna disipación de energía Observemos ahora que los funcionales dependerán también de la historia de 646 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 427 Para la obtención de las ecuaciones constitutivas utilizaremos una demostración alternativa Romano et al 2006 a la realizada para un material termoelástico simple Una vez más aplicaremos la desigualdad de ClausiusDuhem 0 1 0 0 T T T X F r r q P η ρ ψ 647 Calculando la tasa de la energía T T X F F r ψ obtenemos que T T T T X X F F F F r r ψ ψ ψ ψ ψ 648 Reemplazando 648 en 647 obtenemos que 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T T T T T o T T T T T T T X X X X F F F F F F F F r r r r r r q P q P ψ ρ η ψ ρ ψ ρ ψ ρ ψ ρ η ψ ρ ψ ρ ψ ρ Tr 649 donde hemos aplicado que dado dos tensores A B se cumple que A BT A B Tr Podemos reestructurar la expresión anterior como a T u b 0 650 donde T T T T T T T T T b X X X F F F u F a r r r r 0 0 0 0 0 1 q P ψ ρ ψ ρ η ψ ρ ψ ρ Tr 651 Dado que a y b son independientes de u la desigualdad 650 se cumple para cualquier valor arbitrario de u si y sólo si a 0 y b 0 Con eso concluimos que 0 F ψ ρ 0 La energía no es una función de F T T ψ η η ψ ρ 0 0 Ecuación constitutiva de entropía 0 r r X T ψ ρ 0 La energía no es función del gradiente de temperatura X T r 652 Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores 652 podemos rescribir la desigualdad de ClausiusDuhem como 0 1 0 0 T T X F F r r q P ψ ρ 653 Podemos descomponer el tensor P en una componente de equilibrio estático y otro de equilibrio dinámico luego Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 428 0 1 0 1 0 0 0 0 T T T T d e d e X X F F F F F r r r r q P P q P P ψ ρ ψ ρ 654 Aplicando proceso termodinámico y para que se cumpla 654 se debe cumplir que F F F F X 0 T T T e e ψ ρ 0 0 P P r r 655 Con lo cual podemos rescribir la desigualdad de ClausiusDuhem como 0 1 0 T T d X F r r q P 656 Que debe cumplirse para todo proceso termodinámico admisible De esta forma se puede resumir todas las ecuaciones constitutivas para un material termoviscoelástico como 0 1 0 0 T T T T T T d e X F F F F F r r q P P ψ ρ ψ η ψ ψ Ecuaciones constitutivas para un materiales termovicoelástico y restricciones termodinámicas Configuración de referencia 657 Observemos que Pd es función de T T d X F F r P y teniendo en cuenta que F F F W D l podemos decir que Pd es función de T T d X F r D W P Aplicando el principio de la objetividad hay que cumplir que Q Q W Q Q Q Q D Q Q P Q D W P Q W D P Q D W P Q D W Q P W D P P 4444444444 3 4 444444444 2 1 r r r r r r d T T T d T d d T d T d d T T T T T T T T T T T T X X X X X X F F F F F F 658 Recordemos del capítulo 4 que se cumple que T T Q W Q Q Q W y Q D QT D ver capítulo 4 La ecuación 658 debe cumplir para todo tensor ortogonal incluyendo para el caso particular Q 1 En esta situación para T T Q W Q Q Q W tenemos que 0 W W W Q W resultando T T T T d d X X F F r r D 0 P D W P 659 Con lo cual nos garantiza que Pd no es función de W es decir T T d X F r D P También podemos expresar el tensor Pd en la configuración de referencia a través del tensor T T d X E E r S donde se cumple la relación F F E C D T 2 1 La demostración de la obtención de las relaciones anteriores en la configuración actual es análoga a la desarrollada para el material termoelástico simple Para la restricción termodinámica en la configuración actual partimos del hecho de que se cumple que Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 429 T J T x X r r r r q q 0 y su demostración podemos obtener partiendo de la relación T J q F q r r 0 o en notación indicial 1 0 ik k i J q F q r r luego k k p pk k pi p ik k i p p ik k i i x T J x T J F x T F J X x x T F J X T T q q q q q r r r r r r r 1 1 0 0 δ X q También se cumplen las siguientes relaciones para la potencia tensional V V V V V V V dV dV dV dV dV dV J dV 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F C E τ τ P P S S D σ D σ D ρ ρ 660 Así podemos expresar las ecuaciones constitutivas para un material termoviscoelástico en la configuración actual como 0 T T J J T T T T T d T e x F F F F F F r r q D σ σ ψ η ψ ρ ψ ψ Ecuaciones constitutivas para un material termoviscoelástico Configuración actual 661 La tensión σd en la configuración actual la podemos obtener a través de una analogía con la expresión 642 T J F F S σ 1 luego T d d J F F 1 S σ resultando T d d T T J F E E F X 1 r S σ 662 Resultando que F E C F E E F C C F C C F C X X ˆ 1 2 0 T T T T J T T T T T T d d T e r r q q S σ σ ψ η ψ ρ ψ ψ Ecuaciones constitutivas para un material termoelástico simple Configuración actual 663 o aun F E E F E E F E E F E E F E X X ˆ 1 0 ˆ T T T T J T T T T T T d d T e r r q q S σ σ ψ η ψ ρ ψ ψ Ecuaciones constitutivas para un material termoelástico simple Configuración actual 664 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición con 641 Ecuaciones Constitutivas con Variables Internas Las ecuaciones constitutivas 614 escritas en términos de Funcionales a través de la historias de y son muy generales Una alternativa eficaz al del Funcional basado en la historia es adoptar lo denominado termodinámica con variables internas Este método postula que el estado actual de un sólido inelástico deformado puede ser determinado por los valores actuales de y y por un conjunto de variables internas La historia de deformación es indirectamente incluida en la evolución de las variables internas De esta forma las ecuaciones constitutivas quedan definidas por 665 donde es un conjunto de variables internas ie Estas variables pueden ser escalares vectores o tensores de orden superior La consistencia de la teoría con variables internas conjuntamente con la desigualdad de ClausiusDuhem proporcionan condiciones que deben cumplir las ecuaciones constitutivas en los procesos que envuelven disipación de energía Partiendo ya del principio de que la energía libre de Helmholtz no depende del gradiente de temperatura la energía libre 665 viene expresada como 666 La presencia de variables internas obliga a incluir nuevas ecuaciones en el modelo Estas ecuaciones adicionales al igual que el resto de las que gobiernan el fenómeno solo dependen del estado termodinámico del punto en cuestión por lo tanto son de naturalezas locales La tasa de la expresión 666 viene dada por 667 El operador será reemplazado por el número de contracciones del orden de Es decir si es una escalar no tiene ninguna contracción si es un vector producto escalar si es un tensor de segundo orden doble producto escalar y así sucesivamente Reemplazando la expresión 667 en la desigualdad de entropía obtenemos que 668 Partiendo ahora de las consideraciones obtenidas en el apartado anterior 669 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición plato acero hierro hormigón Figura 611 Curva tensióndeformación Dependiendo del comportamiento del material tradicionalmente se clasifican en dos categorías a saber Materiales Frágiles y Materiales Dúctiles Las características más relevantes de estos dos tipos de categorías de materiales se presentan a continuación Materiales Frágiles presentan pequeñas deformaciones y no hay un aviso previo de fallo ruptura abrupta Ejemplo hormigón cerámicas vidrio hielo rocas etc Materiales Dúctiles presentan grandes deformaciones hay un aviso previo de fallo y de la ruptura del material y presentan deformación plástica Ejemplo acero aluminio etc NOTA Algunos aceros pueden tener el comportamiento de materiales frágiles dependiendo del proceso de fabricación y dependiendo también de la cantidad de carbono implicada en su fabricación Figura 612 Idealizaciones de la curva tensióndeformación a Comportamiento perfecto b Comportamiento con endurecimiento lineal c Comportamiento con endurecimiento bilineal d Comportamiento con ablandamiento Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 432 donde e Ψ es la densidad de energía también conocida como densidad de energía de deformación Verificamos a través de la desigualdad de entropía que es un proceso sin disipación de energía es decir toda energía que se almacena debido al incremento de ε se recuperará cuando ε 0 3 De las Ecuaciones Constitutivas 636 solo quedamos con σ ε ε ε ε ε σ S ε Ψ e ψ ρ ψ ψ es decir la energía ψ y la tensión son funciones solamente de la deformación Si calculamos la tasa de la energía libre de Helmholtz ε ε ε ε ψ ψ y reemplazamos en la expresión de la energía ε σ Ψ e ρψ concluimos que ε ε σ σ ε ε ε ε ε ε ε e e Ψ Ψ ρ ψ Luego la ecuación de energía es una ecuación redundante es decir si conozco la tensión puedo conocer la energía y viseversa Resumimos así las ecuaciones de gobierno para el problema propuesto Ecuaciones de Movimiento u b σ r r r ρ ρ ρ v 3 ecuaciones Ecuación Constitutiva en Tensión ε ε σ ε Ψ e 6 ecuaciones Ecuaciones Cinemáticas u ε sym r 6 ecuaciones 674 Como incógnitas tenemos σ 6 ur 3 ε 6 un total de 15 incógnitas y 15 ecuaciones con lo cual el problema queda bien planteado Para que el conjunto de ecuaciones en derivada parciales anteriores tenga solución única es necesario introducir las condiciones de contorno e inicial constituyendo así en un Problema de Valor de Contorno Inicial El problema que acabamos de plantear es el Problema Elástico Lineal que es el tema del próximo capítulo NOTA Aunque la ecuación de energía es una ecuación redundante a la hora de establecer un método analítico o numérico para obtener la solución del problema siempre partiremos de principios energéticos por ello la importancia del estudio de expresión de la energía de un sistema En el apartado Serie de Tensores capítulo 1 hemos visto que podemos aproximar un tensor a través de la serie L L 2 1 1 2 1 1 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 ε ε ε ε σ ε ε ε ε ε ε σ ε σ ε ε ε ε σ ε ε ε ε ε ε σ ε σ ε ε σ Considerando el punto de aplicación ε 0 0 y 0 σ σ ε 0 0 y además teniendo en cuenta que la relación σ ε es lineal podemos despreciar los términos de orden superior obteniendo entonces que ε ε ε ε ε ε ε σ σ ε e e C 2Ψ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 433 donde ε ε ε 2Ψ Ce es un tensor de cuarto orden simétrico y es conocido como tensor constitutivo elástico que contiene las propiedades mecánicas del material Observemos que la energía tiene que ser de orden cuadrática para que la relación σ ε sea lineal ver ecuación 674 Utilizamos la expansión en serie para representar la densidad de energía obtenemos que ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε σ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e e e e e e e e C 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 0 1 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ L L donde también hemos considerado que 0 σ 0 ε 0 0 0 0 Ψ e Para una mejor ilustración del problema planteado consideremos un caso particular caso unidimensional donde las componentes del tensor de tensiones y de deformaciones vienen dadas por ε σ ε σ ε ε σ σ E e ij ij 1111 11 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C En este caso la relación lineal tensióndeformación viene dada por ε σ E y la densidad de energía ε ε σε E e 2 1 2 1 Ψ y E e ε εε σ Ψ 2 NOTA Es interesante comprobar que en el caso de un proceso elástico la ecuación constitutiva σε es solo dependiente del estado actual de ε ie es un proceso que es independiente de la historia de deformación b La funcióndetensor σε será isótropa si se cumple que kl ij kl ij kl e kl e ε σ σ ε ε ε Ψ Ψ Teniendo en cuenta que la relación entre σ ε viene dada en notación indicial por kl e ijkl ij ε σ C ε concluimos que e ijkl e ijkl kl e ijkl kl e ijkl kl ij kl ij C C C C ε ε ε σ σ ε ε σ0 0 Ψe ε ε ε σε ε σ Energía almacenada 2 σε 1 Ψ e ε0 0 e Ψ Estado actual 1 E 0 0 Ψ e ε ε E e 2 1 Ψ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 434 Es decir el tensor de cuarto orden e C es un tensor isótropo Un tensor de cuarto orden isótropo simétrico tiene el formato jk il jl ik kl ij e ijkl δ δ µ δ δ δ δ λ C o I 1 1 µ λ 2 Ce y los parámetros λ y µ son conocidos como las constantes de Lamé En la Figura 65 se muestra la relación tensióndeformación para un material isótropo Es interesante observar que debido a que e C es independiente de la dirección los tensores σ y ε comparten las mismas direcciones principales Figura 65 Relación tensióndeformación material isótropo 11 σ 11 ε 1x 1x P 11 ε 22 ε 12 ε 11 σ σ22 σ12 1x P P P P P P 22 ε 12 ε 22 σ 12 σ 11 ε 22 ε 11 σ 22 σ kl e ijkl ij ε σ C kl e ijkl ij ε σ C kl e ijkl ij ε σ C pq jq ip ij a a σ σ Material isótropo e ijkl e ijkl e ijkl C C C kl e kl e ε ε Ψ Ψ kl e ijkl ij ε σ C Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 435 65 Evidencias Experimentales 651 Comportamiento de los Sólidos En 1660 el investigador inglés Robert Hooke descubrió que para muchos materiales sólidos los desplazamientos eran proporcionales a la fuerza aplicada estableciendo así la noción de elasticidad lineal pero no en el sentido de tensióndeformación Dicha obra sólo fue publicada en 1678 Fue el suizo matemático Jacob Bernoulli quien observó que la manera adecuada de describir el cambio de longitud era proporcionando una fuerza por unidad de área tensión como una función del alargamiento por unidad de longitud deformación ver Figura 61 En un ensayo uniaxial de sólidos caracterizado por un proceso de cargadescarga podemos observar los siguientes comportamientos Figura 66 Comportamiento elástico lineal Comportamiento elástico nolineal Comportamiento inelástico Figura 66 Comportamiento del material Un proceso elástico no supone disipación de energía es decir toda energía de deformación durante el proceso de carga es almacenada Una vez retirada toda la carga la energía total se recupera En la curva tensióndeformación de un proceso elástico lineal Figura 66a el ε σ ε σ a Comportamiento elástico lineal b Comportamiento elástico nolineal Energía almacenada recuperable Energía recuperable carga descarga carga descarga σ ε c Comportamiento inelástico Energía disipada Energía almacenada recuperable carga descarga Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 436 camino de la descarga será el mismo que el recorrido por la carga no presentando así el conocido fenómeno de histéresis que está caracterizado por el proceso en el que el camino de carga y de descarga no coinciden Materiales que se comportan según la Figura 66a cuando están en el régimen de pequeñas deformaciones proceso isotérmico pueden ser caracterizados a través del Modelo de Elasticidad Lineal capítulo 7 Un proceso elástico nolineal Figura 66b tiene como diferencia respecto al elástico lineal que la curva tensióndeformación no es lineal tampoco presenta fenómeno de histéresis Los materiales que se comportan de esta forma suelen presentar grandes deformaciones Los modelos que se aplican son los modelos de Hiperelasticidad elástico nolineal Un comportamiento inelástico está caracterizado por presentar disipación de energía debido a la energía liberada para la reestructuración de los átomos presentando así el fenómeno de histéresis El ensayo mostrado en la Figura 67 es un ejemplo típico de un comportamiento inelástico en particular de un comportamiento elastoplástico A los materiales que se comportan según estas características los caracterizaremos a través de los Modelos de Plasticidad Un comportamiento elastoplástico está caracterizado por el hecho de que una vez que la tensión ha sobrepasado un cierto umbral tensión de fluencia el material adquiere una deformación permanente deformación plástica p ε es decir cuando el material éste esté libre de tensión ya no recupera su estado inicial Figura 67 Comportamiento plástico E eε σ ε Y σ p ε p ε deformación permanente eε deformación elástica Y σ Y σ I II III I zona elástica II zona de plastificación III completa descarga II I III E Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 437 Otro modelo inelástico que puede presentar algunos materiales se presenta en la Figura 68 y este comportamiento será caracterizado según los Modelos de Daños que básicamente se caracterizan por presentar una degradación del módulo elástico ver Figura 68 En este tipo de comportamiento cuando se retira la carga el material no presenta deformación permanente pero internamente el material ya ha sufrido una degradación interna En la Figura 68 se puede apreciar este hecho si consideramos un proceso de cargadescarga carga donde los pasos 123 representan un proceso de carga el punto 4 un proceso de descarga y a continuación efectuamos un proceso de carga 5 Los materiales frágiles en general presentan estas características Figura 68 Comportamiento inelástico tipo daño NOTA Es importante tener en cuenta que los materiales no tienen estrictamente que estar en una de las clasificaciones anteriores Pueden existir materiales cuya representación real sea una combinación de los modelos descritos anteriormente Por ejemplo supongamos que existe un material que presenta deformación permanente y además se observa que hay una degradación del módulo secante a este material lo caracterizaremos según un modelo de dañoplástico 6511 Efecto de la Temperatura Es sabido que cuando los materiales están sometidos a cambio de temperatura sus propiedades mecánicas cambian Hay dos posibilidades de tener en cuenta el efecto de la temperatura La primera es cuando el efecto de la temperatura no afecta significativamente las propiedades mecánicas del material En este caso podemos tratar el problema desacoplado es decir podemos tratar los efectos térmicos y mecánicos independientemente La otra posibilidad que existe es cuando la temperatura tiene un efecto significativo en las propiedades mecánicas en este caso las variables térmicas y las variables mecánicas tienen que ser consideradas simultáneamente en las ecuaciones constitutivas 6512 Ensayos y Propiedades Mecánicas del Material Para determinar ciertas propiedades mecánicas del sólido una forma sencilla es a través de los ensayos Hay ensayos destructivos que consisten en utilizar una muestra del material y ensayarlo y ensayos nodestructivos a través de aparatos especiales del tipo ultra sónicos con los que se puede obtener las propiedades mecánicas del material en estructuras ya construidas sin que se origine ningún daño a la estructura Dentro de la clase de ensayos destructivos podemos citar ensayo de tracción simple ensayo de compresión simple ensayo de compresión triaxial entre otros 1 E ε ε σ d E E d E 2 3 4 5 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 438 Ensayo de Tracción Simple El ensayo de tracción simple consiste en una probeta constituida por el material de análisis que se somete a una fuerza de tracción en sus extremidades tal y como muestra la Figura 69 Figura 69 Probeta sometida a tracción simple Conocidas las dimensiones de la sección de la probeta b h y la fuerza aplicada F es posible obtener la tensión nominal aplicada A0 σnom F A través de un aparato conocido como extensómetro se puede obtener el alargamiento de la probeta l Conocido l medido previamente al ensayo se puede obtener la deformación ε caracterizando así una curva tensióndeformación tal y como muestra la Figura 610 De la curva tensióndeformación Figura 610 podemos obtener el módulo de elasticidad longitudinal E también conocido como módulo de Young Definimos también el módulo de rigidez tangente Etan y el módulo secante s E donde se cumple para un determinado estado tensional que ε σ Es y ε σ Etan Observemos que en la fase elástica estos módulos son coincidentes es decir ε ε σ E s E y ε ε σ E E tan Si además de tener el extensómetro según la dirección en la que se aplica la fuerza tuviéramos un extensómetro para medir el acortamiento de la sección podríamos obtener otra propiedad mecánica del material el coeficiente de Poisson ν Recordemos que para un material elástico lineal e isótropo el tensor constitutivo elástico C es función de dos variables independientes E ν En el capítulo 7 veremos como estas variables están relacionadas con las constantes de Lamé λ µ De la observación de la curva σ ε podemos destacar algunos puntos importantes Punto de límite elástico o límite de proporcionalidad Este punto está caracterizado por la tensión e σ La región comprendida entre el estado libre de tensiones y el punto de límite elástico caracteriza la zona elástica del material En esta zona el material no sufre ninguna modificación interna de su estructura luego no hay disipación de energía Punto de fluencia Caracterizado por la tensión Y σ En la región comprendida entre e σ y Y σ el comportamiento del material puede ser elástico pero no presentado b h l l F F extensómetro Área inicial de la sección A bh 0 probeta l l ε σ A0 F S Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 439 proporcionalidad entre σ y ε Para algunos materiales el punto de límite elástico y el punto de fluencia coinciden Punto de tensión última Caracterizado por la tensión u σ En la región comprendida entre Y σ y u σ el material tiene comportamiento inelástico es decir la estructura interna ha sufrido cambios permanentes y como consecuencia hay disipación interna de energía Punto de ruptura Caracterizado por la tensión r σ Es el punto donde hay ruptura del material Entre los puntos de tensión última y el punto de ruptura ocurre un fenómeno de concentración de deformación en ciertas partes del cuerpo esta concentración de deformación se conoce como localización En la Figura 611 podemos apreciar gráficas típicas de curvas tensióndeformación para el acero hierro y hormigón Hay materiales en los que la tensión de fluencia Y σ está muy bien definida porque se puede observar en la curva tensión deformación que sin un incremento de la tensión la deformación sigue creciendo definiéndose así un plato ver Figura 611 Este tipo de comportamiento es característico de algunos tipos de aceros Para materiales donde el punto de fluencia no está muy bien definido se adopta como tal el punto de intersección de una recta de pendiente igual al módulo de Young y desplazada 20 ver Ejemplo 63 A la hora de plantear las ecuaciones constitutivas de los materiales podemos hacer idealizaciones simplificaciones de la curva tensióndeformación adoptando la que más se adecue al comportamiento real del material en análisis ver Figura 612 Como por ejemplo en la Figura 612a podemos destacar un comportamiento perfecto en la Figura 612b un comportamiento con endurecimiento lineal en la Figura 612c un comportamiento con endurecimiento bilineal y en la Figura 612d un comportamiento con ablandamiento Figura 610 Curva tensióndeformación 1 1 e σ σnom u σ ε Y σ s E E 1 r σ IV III II I I Zona elástica lineal II Zona elástica nolineal III Zona inelástica IV Zona con localización Etan ε σ ε σ tan S E E Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición La desigualdad de entropía resulta rho0 fracpartial psipartial alphai dotalphai frac1T mathbfq0 cdot ablamathbfx T geq 0 Ai dotalphai frac1T mathbfq0 cdot ablamathbfx T geq 0 donde Ai son las fuerzas termodinámicas y vienen dadas por Ai rho0 fracpartial psipartial alphai Para la completa caracterización del modelo constitutivo las leyes complementarias asociadas con el mecanismo disipativo deben ser introducidas es decir las ecuaciones para las variables frac1T mathbfq0 y dotalphai Una forma de asegurar que las ecuaciones relacionadas con mathbfq0 y dotalphai satisfacen la condición 670 es a través de la existencia de un pseudopotencial disipativo de valorescalar de la forma Phi Phi Ai ablamathbfx T 672 Cuyo potencial es convexo para cualquier valor de Ai y de ablamathbfx T Luego las variables vienen determinadas por las leyes dotalpha fracpartial Phipartial Ai frac1T mathbfq0 fracpartial Phipartial ablax T 673 Ejemplo 62 a Hacer el planteamiento de las ecuaciones de gobierno para un problema de sólidos con las siguientes características proceso isotérmico y adiabático régimen de pequeñas deformaciones y relación lineal entre tensión y deformación b Una vez establecida la relación lineal entre tensióndeformación obtener dicha relación para que cumpla que mathbfsigma mathbfepsilon sea una funcióndetensores isótropa de valor tensor de segundo orden Solución Para un proceso isotérmico y adiabático la temperatura y la entropía no juega ningún papel Para un régimen de pequeña deformaciones tenemos que Tensor de deformaciones mathbfE approx mathbfepsilon ablasym mathbfu Tensor de Tensiones mathbfP approx mathbfS approx mathbfsigma mathbfF approx mathbf1 rho approx rho0 ablamathbfx approx ablamathbfx approx abla con esta aproximación la densidad de masa deja de ser incógnita Teniendo en cuenta las ecuaciones básicas 6669 sólo quedamos con las siguientes ecuaciones 1 Ecuaciones de Movimiento abla cdot mathbfsigma rho mathbfb rho dotmathbfv 2 Ecuación de Energía rho0 dotumathbfX t mathbfS dotmathbfE ablamathbfx cdot mathbfq0 rho0 rmathbfX t Rightarrow rho dotu mathbfsigma dotepsilon o en función de la energía libre de Helmholtz fracD uD t fracDD t psi T eta dotpsi rho doteta dotpsie mathbfsigma dotepsilon Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 441 Ejemplo 63 En un ensayo de tracción simple los siguientes valores fueron obtenidos para la tensióndeformación 63 22 5 3 24 4 2 20 3 1 33 13 3 2 0 667 6 67 1 10 3 ε σ Pa Punto Determinar el módulo de Young E y los puntos límites Solución Podemos verificar que los tres primeros puntos mantienen la misma proporcionalidad kPa Pa E 10 10 000 10 2 20 3 3 3 2 2 1 1 ε σ ε σ ε σ La gráfica tensióndeformación con los puntos dados se puede apreciar en la Figura 613 En esta figura se señalan los punto e σ límite elástico Y σ punto de fluencia u σ punto de tensión última r σ punto de ruptura Figura 613 Curva tensióndeformación Ensayo Brasileño Un ensayo directo para obtener la tensión de tracción fallo de materiales frágiles fue propuesto por el ingeniero Brasileño Fernando Lobo Carneiro Este ensayo consiste en la compresión de un cilindro tal y como se indica en la Figura 614 y tiene su ventaja cuando se trata de materiales frágiles hormigón cerámicas etc ya que la obtención de una probeta tipo hueso puede resultar laboriosa y poco realista Ensayo de Compresión Simple En teoría el ensayo de compresión Figura 615 es el opuesto del ensayo de tracción En el ensayo de compresión la muestra es comprimida durante la aplicación de la carga Las 0 0 0667 667 133 133 2 20 3 24 36 22 0 5 10 15 20 25 30 0 05 1 15 2 25 3 35 4 e σ u σ r σ Y σ 20 σPa 10 3 ε Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 442 propiedades mecánicas de compresión incluyen el módulo de elasticidad a compresión la tensión de fluencia a compresión y la tensión última de compresión Figura 614 Ensayo directo de tracción Figura 615 Ensayo de compresión simple Algunos materiales presentan propiedades idénticas sea cuando estén sometidos a tracción sea cuando lo estén a compresión como por ejemplo el acero Otros materiales como el hormigón presentan propiedades distintas de tracción y de compresión En la Figura 616 podemos apreciar la forma que tiene la curva tensióndeformación del hormigón Observamos claramente que es un material de baja resistencia a tracción ε σ t Y σ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 443 Figura 616 Curva tensióndeformación del hormigón Un fenómeno detectado en los metales aunque tengan la tensión de fluencia de tracción igual a la de compresión es cuando estos materiales están sometidos a cargas cíclicas viéndose alterados sus límites de fluencia Por ejemplo supongamos que un metal tenga como límites de fluencia de tracción y compresión Y σ y σY respectivamente ver Figura 617 Cuando el material pasa del límite de fluencia Y σ y a continuación es sometido a una descarga el límite de fluencia a compresión ha cambiado pasando ahora a ser σY Este fenómeno fue detectado por Bauschinger y por eso se conoce como efecto Bauschinger Luego a la hora de establecer un modelo para representar el comportamiento de un material es importante tener en cuenta un proceso completo es decir cargadescargacarga Figura 617 Efecto Bauschinger ε σ Y σ σY σY tE c E ε σ Tracción Compresión t Y σ c Y σ Hormigón t Y c Y σ σ 10 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 444 Ensayo de Compresión Triaxial El ensayo de compresión triaxial convencional se utiliza para obtener propiedades de los suelos cohesivos pudiendo el suelo estar saturado o no Un ensayo triaxial Figura 618 se esboza a continuación 1 El espécimen es una muestra cilíndrica 2 El espécimen está encerrado por una membrana plástica goma y ambas extremidades del espécimen están apoyadas en placas rígidas 3 La muestra es colocada en una cámara de presión y confinada a una presión 3 σ 4 La deformación se calcula a través de un instrumento que mide la variación de la longitud fijada previamente en la muestra Figura 618 Ensayo de compresión triaxial convencional Con una presión hidrostática fija se aumenta la tensión normal hasta verificar cuando el material por ejemplo un suelo rompe por cortante Se repite el mismo ensayo variando la presión hidrostática Para cada ensayo se hace una representación tensional en el círculo de Mohr en el momento del fallo Trazando una tangente o envolvente a éstos se determinan los parámetros ángulo de fricción interna φ y la cohesión c ver Figura 619 Figura 619 Círculos de Mohr para varias probetas Ensayo triaxial NOTA En Mecánica de Suelo y de Rocas la convención de signo es distinta a la adoptada en Mecánica de Suelo En Mecánica de Suelos se adopta la compresión como positiva τ N σ φ c probeta 1 probeta 2 probeta 3 presión media membrana flexible drenaje presión de cámara suelo F placa rígida líquido Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 445 Algunas propiedades de los materiales cohesivos En suelos materiales cohesivos la tensión de corte es dependiente de la fuerza normal de la cohesión de la fricción interna y de la presión de poro A continuación presentamos algunos parámetros significativos de los materiales cohesivos Dilatancia El ángulo de dilatancia viene represento por ψ Figura 620 Dilatancia Ángulo de fricción interno El ángulo de fricción es el mayor ángulo que un material no consolidado puede aguantar El ángulo de fricción interno o ángulo de rozamiento interno viene representado por φ Generalmente está comprendido entre º 50º 15 Figura 621 Ángulo de fricción interno En la Figura 622 podemos observar que el ángulo de fricción interno de la sílice es mayor que de la arena debido que las partículas de sílice por ser mas finas tienen más área de contacto luego mayor fricción a arena gruesa b sílice Figura 622 Ángulo de fricción interno Q P dy dx tg ψ y φ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 446 Cohesión Algunos suelos están formados por sedimentos que están unidos a través de fuerzas electrostáticas de las partículas finas arcillasagua Las arcillas con cargas negativas cohesionan con el agua que es una molécula bipolar La cohesión tiene la misma unidad que la tensión En la Tabla 61 se puede apreciar las propiedades densidad de masa cohesión y ángulo de fricción para las arenas Tabla 61 Arena densidad de masa cohesión ángulo de fricción Material Densidad de masa kg m3 Cohesión Pa Ángulo de fricción arena 80 200µm 1560 2 40 31 2 º 35 5 º arena 400µm 1670 28 10 35 9 º 28 º3 arena 200 400µm 1650 49 15 29 2 º 34 4 º Presión de Poro Los suelos formados por sedimentos presentan vacíos dichos vacíos pueden estar llenos de líquido o de gas en general aire ver Figura 623 La presión de poro actuará disminuyendo el contacto entre los granos Figura 623 Material poroso Cuando este material está sometido a carga aparece una tensión debido a la presencia del agua Dependiendo de la permeabilidad del material esta tensión podrá dejar de existir o ser agua aire o gas sólido V f V Vaire Vagua Vsólido punto material Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición función del tiempo Definimos así la tensión efectiva mathbfsigmaeff tensión de contacto de grano a grano y viene dada por mathbfsigmaeff mathbfsigma Pp 675 donde mathbfsigma es la tensión total Pp es la presión de poro 652 Comportamiento de los Fluidos Tantos los gases como los líquidos son materiales constituidos por moléculas aglomeración de dos o más átomos Básicamente podemos decir que los sólidos pueden resistir a una tensión tangencial y almacenar energía mecánica mientras que los líquidos tienen muy poca resistencia a la tensión tangencial y no tienen ninguna capacidad de almacenar energía Esta resistencia a la tensión tangencial está directamente ligada a una propiedad de los fluidos la viscosidad Los fluidos pueden estar clasificados en viscosos y noviscosos Si el líquido no tiene ninguna resistencia a tensión tangencial lo clasificamos como fluido no viscoso por ejemplo el agua en caso contrario tenemos un fluido viscoso por ejemplo el aceite 6521 Viscosidad La viscosidad puede ser estática o dinámica La viscosidad estática vartheta no es dependiente de la densidad de masa del fluido mientras que la viscosidad dinámica es altamente dependiente de la densidad de masa Definimos así la viscosidad dinámica etav como etav frac audotgamma left fracNm2 s frackgms2 fracsm2 Pa imes s right 676 donde au es la tensión tangencial y dotgamma es la tasa de la deformación tangencial La viscosidad tiene como unidad Pa imes s Pascal x segundo o frackg ms Una forma de medir la viscosidad estática sería con un tubo lleno del líquido del que se quiera medir la viscosidad y medir el tiempo que una burbuja de aire tarda en recorrer un determinado trayecto La forma más precisa para medir la viscosidad dinámica es a través de los aparatos llamados viscosímetros que miden el tiempo de paso del fluido a través de un tubo capilar de diámetro muy preciso Las dos viscosidades están relacionadas entre sí por la relación vartheta fracetavrho left fracm2s right 677 donde vartheta es la viscosidad estática etav la viscosidad dinámica y rho la densidad de masa La viscosidad es muy dependiente de la temperatura disminuyendo a medida que aumenta la temperatura En la Tabla 62 se muestran las viscosidades de algunos materiales Dependiendo de la relación constitutiva los fluidos pueden ser clasificados como Fluido Newtoniano Un fluido Newtoniano se caracteriza por presentar una relación lineal de la tensión tangencial viscosa con el tensor tasadedeformación Como ejemplo de fluidos Newtonianos podemos citar agua aceite Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición Fluido NoNewtoniano Stokesianos Un fluido NoNewtoniano se caracteriza por presentar una relación no lineal de la tensión tangencial viscosa con el tensor tasa de deformación Como ejemplo de fluidos NoNewtonianos podemos citar sangre salsas Tabla 62 Viscosidad de materiales Material Viscosidad Pas Gas Hidrógeno 00000006 Aire K Kelvin 0000017 Hidrógeno líquido 000001 Agua 100ºC 00003 Agua 0ºC 00018 Aceite de máquinas 15ºC 066 Miel 20ºC 16 Lava basáltica 1000 Roca de sal 10¹⁴ Mármol 10¹⁸ 10²⁰ Granito 10¹⁹ 10²⁰ 653 Materiales Viscoelásticos Para entender el comportamiento viscoelástico podemos hacer un experimento muy sencillo Por ejemplo cogemos un chicle usado y los estiramos de tal forma que en una extremidad se concentre la mayor parte del chicle Lo situamos en posición vertical de manera que la única fuerza del sistema sea la gravitatoria ver Figura 624 Vamos a observar que con el tiempo el chicle empezará a deformarse y sin haber añadido ninguna fuerza al sistema Tras un cierto tiempo deformándose cortamos la extremidad quitamos la fuerza y observamos que hay una parte de la deformación que se recupera instantáneamente y además verificamos que con el tiempo que hay una parte de la deformación que se recupera lentamente Figura 624 Comportamiento viscoelástico Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 449 Es decir estos materiales tienen la capacidad de almacenar energía mecánica como los sólidos elásticos y también tienen la capacidad de disipar energía según las leyes de fluidos debido a la viscosidad Luego a la hora del planteamiento de la ley constitutiva de estos materiales tenemos que tener en cuenta estos fenómenos simultáneamente En otras palabras los materiales viscoelásticos son aquellos en los que la relación tensión deformación es dependiente del tiempo Los fenómenos viscoelásticos más relevantes los presentamos a continuación Fluencia Cuando la tensión se mantiene constante la deformación aumenta con el tiempo Como ejemplo podemos citar el pilar de un edificio que cuando la tensión está aplicada obtenemos una deformación inicial con el paso del tiempo se puede verificar que la deformación aumenta sin que haya incremento de la tensión ver Figura 625 Relajación Cuando la deformación es mantenida constante y la tensión disminuye con el tiempo Como ejemplo tenemos un cable pretensado de un puente que sometido a una deformación inicial surge una tensión inicial con el paso del tiempo esta tensión va disminuyendo ver Figura 626 Figura 625 Fenómeno de fluencia Figura 626 Fenómeno de relajación 654 Modelos Reológicos A continuación introduciremos algunos modelos reológicos sencillos que nos ayudarán a interpretar los modelos constitutivos y que también nos ayudarán a formular modelos constitutivos más complejos 0 ε c Tensión total en el tiempo 0 ε 0 ε e σ σ σe 0 ε a Estructura sin carga b Deformación impuesta 0t t 0t F F a estructura sin carga b deformación instantánea c deformación en el tiempo 0t t 0t Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 450 Consideremos una barra una dimensión sometida a tracción donde el estado tensional en un punto material viene representado por σ Si estamos tratando de un material elástico lineal la relación tensióndeformación viene dada por ε σ E ley de Hooke Si hacemos una analogía con la ley de gobierno de un muelle que viene dada por F ku donde k es la constante elástica y u es el desplazamiento impuesto podemos decir que modelo reológico de ε σ E viene representado a través de un dispositivo muelle ver Figura 627 Figura 627 Dispositivo tipo muelle Supongamos ahora que el material cuando alcanza una determinada tensión Y σ a nivel atómico hay un fenómeno de dislocación y que es permanente es decir si quitamos la carga el material ya no recupera su estado inicial A nivel macroscópico representaremos este fenómeno a través de una variable que denominamos de deformación plástica p ε y el modelo reológico que representa dicho fenómeno viene representado por el dispositivo de ficción de parámetro mecánico Y σ ver Figura 628 Ahora supongamos un fenómeno tal que inicialmente tiene una rama elástica y que al alcanzar el umbral Y σ se compuerta como un modelo plástico perfecto El modelo reológico que representa este fenómeno puede estar constituido por un dispositivo tipo muelle y uno de ficción dispuesto en serie ver Figura 629 Hemos visto anteriormente que el fenómeno de viscosidad viene caracterizado por mantener un tensión constante el material sufre una deformación que evoluciona con el tiempo Este fenómeno puede ser representado a través de modelo reológico tipo pistón cuyo parámetro mecánico viene caracterizado por la viscosidad v η ver Figura 630 Energía F E dispositivo de muelle σ σ ε σ ε σ F ε σ E material point E Nivel Nanoscópico 109 m Nivel Mesoscópico 106 m Nivel Macroscópico 103 m Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS 451 Figura 628 Dispositivo de ficción Figura 629 Modelo reológico de plasticidad perfecta Figura 630 Dispositivo tipo pistón NOTA Los tipos de dispositivos empleados y sus disposiciones serie yo paralelo dependerán del tipo de material y también como estos materiales se comportan durante un proceso de cargadescargacarga En este capítulo no entraremos en detalles en la formulación matemática de dichos modelos ya que serán establecidos en los capítulos correspondientes Y σ dispositivo de fricción σ σ p ε σ Y σ Cargadescarga εp 1 carga v η ε ε Dt D σ v η 1 Dipositivo tipo pistón ε σ ε σ ηv Y σ E σ σ σ ε Y σ 1 E Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 452 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 Elasticidad Lineal 71 Introducción La aproximación al problema a través de la teoría de la elasticidad lineal es bastante aceptable en muchos casos prácticos en ingeniería Se utiliza la elasticidad lineal en casos donde se cumpla que los desplazamientos y los gradientes de los desplazamientos son suficientemente pequeños comparados con la unidad En esta situación se da lugar a la deformación infinitesimal pequeñas deformaciones estudiada en el capítulo 2 En esta aproximación los tensores de deformación material GreenLagrange y de deformación espacial Almansi coinciden u u u ε r r r r sym T t 2 1 x j i i j i j j i ij x x 2 1 2 1 u u u u ε 71 donde ε xr t es el tensor de segundo orden simétrico denominado tensor de pequeñas deformaciones o tensor de deformación infinitesimal Explícitamente sus componentes vienen dadas por ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε 3 3 2 3 3 2 1 3 3 1 2 3 3 2 2 2 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 1 33 23 13 23 22 12 13 12 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x ij u u u u u u u u u u u u u u u 72 Las expresiones anteriores 72 en notación ingenieril se escriben respectivamente como 7 Elasticidad Lineal Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 454 ε γ γ γ ε γ γ γ ε ε z w y w z v x w z u y w z v y v x v y u x w z u x v y u x u z yz xz yz y xy xz xy x ij 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 73 Se observa que en el campo de desplazamientos ha tenido el siguiente cambio de variable u1 u u2 v u3 w y en el campo de deformaciones ε11 εx ε 22 ε y ε33 εz 2ε12 γxy 2ε 23 γ yz 2ε13 γ xz ver Deformación Infinitesimal en el capítulo 2 Debido a la linealización de las ecuaciones la respuesta de varias acciones es equivalente a la suma de las respuestas de las acciones independientemente como veremos más adelante éste es el principio de la superposición de los efectos Por ejemplo podemos desacoplar los procesos térmicos y mecánicos es decir podemos tratar de forma independiente Las ecuaciones de gobierno de la elasticidad lineal fueron obtenidas en el Ejemplo 62 Para completar el Problema de Valor de Contorno e Inicial debemos añadir las condiciones de contorno e iniciales del problema 72 Planteamiento del Problema Elástico Lineal Consideremos un cuerpo tridimensional B en la configuración espacial de volumen V y con densidad de masa ρ Sea S el contorno de B y nˆ el vector normal a la superficie S Consideramos que el cuerpo esté en movimiento bajo la acción de fuerzas másicas xr r b y fuerzas de superficie r xr t valor prescrito El contorno consiste en una parte u S donde los desplazamientos están prescritos y una parte σ S donde el vector tensión está prescrito fuerza de superficie tal que S S S σ u y σ u S S ver Figura 71 Figura 71 Medio continuo en movimiento 721 Ecuaciones de Gobierno El problema elástico lineal ver Ejemplo 62 viene gobernado por las siguientes ecuaciones B σ S u S r xr t nˆ xr r ρb 2x 1x 3x O xr dV Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 455 1 Ecuaciones de movimiento 2 2 t t t t x x x r r r r r u b σ ρ ρ 2 2 t x i i j ij σ u b ρ ρ 74 Proporcionando 3 ecuaciones 2 Ecuaciones constitutivas ε σ C kl ijkl ij ε σ C 75 Proporcionando 6 ecuaciones 3 Ecuaciones Cinemáticas o Geométricas t t sym x x r r r u ε ε i j j i ij x x u u 2 1 76 Proporcionando 6 ecuaciones Para el problema planteado tenemos un total de 15 ecuaciones y las incógnitas son los desplazamientos ru xr t 3 incógnitas las deformaciones ε xr t 6 incógnitas y las tensiones σ 6 incógnitas Resultan un total de 15 incógnitas luego el problema queda determinado cuando se le provee de las adecuadas condiciones de contorno e iniciales 722 Condiciones de Contorno e Iniciales Condiciones de contorno en desplazamiento en u S t t x x r r r r u u t t i i x x r r u u 77 Condiciones de contorno en tensiones en σ S ˆ ˆ t t n n t σ x x r r r t j jk k xr σ n t 78 Condiciones iniciales t 0 0 0 0 0 0 0 x v x x x r r r r r r r r r t t t t t u u u u i i i i v t 0 0 0 0 x x x r r r u u u 79 En el caso de un problema estático o casiestático las ecuaciones de Cauchy recaen en las ecuaciones de equilibrio y las condiciones iniciales son redundantes 73 Ley de Hooke Generalizada La ley que relaciona tensióndeformación σ ε en su forma general es conocida como ley de Hooke generalizada dada por la siguiente expresión Notación Tensorial Notación Indicial ε σ C kl ijkl ij ε σ C 710 donde C es un tensor de cuarto orden simétrico que contiene las constantes elásticas En el Ejemplo 62 hemos demostrado que C presenta simetría menor ijlk jikl ijkl C C C y Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 456 también simetría mayor klij ijkl C C presentando así un total de 21 componentes independientes Se dice que un material es homogéneo cuando las propiedades elásticas no varían de punto a punto en el medio continuo A los materiales que obedecen la ley de Hooke se les denomina materiales Hookeanos 731 Ley de Hooke Generalizada en la Notación de Voigt Aprovechando la simetría del tensor de tensiones podemos utilizar la notación de Voigt para almacenar sus componentes 3 2 1 Ingenieril Notación xz yz xy z y x xz yz xy zz yy xx Voigt ij τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 13 23 12 33 22 11 33 23 13 23 22 12 13 12 11 σ 711 Cada componente del tensor de tensiones 11 σ σ22 σ33 σ12 σ23 13 σ puede ser obtenida explícitamente utilizando la relación constitutiva 710 Expandiendo esta relación para la componente 11 σ hallamos 4243 1 4243 1 43 42 1 33 1133 32 1132 31 1131 3 113 23 1123 22 1122 21 1121 2 112 13 1113 12 1112 11 1111 1 111 11 11 11 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε σ ε σ C C C C C C C C C C C C C l l l l l l kl kl 712 Debido a la simetría menor ijlk ijkl lk kl C C ε ε la relación anterior resulta 13 1113 23 1123 12 1112 33 1133 22 1122 11 1111 11 2 2 2 ε ε ε ε ε ε σ C C C C C C 713 Análogamente podemos obtener las expresiones para σ22 σ33 σ12 σ23 y 13 σ y agruparlas en forma matricial resultando ε ε ε ε ε ε σ σ σ σ σ σ 13 23 12 33 22 11 1313 1323 1312 1333 1322 1311 2313 2323 2312 2333 2322 2311 1213 1223 1212 1233 1222 1211 3313 3323 3312 3333 3322 3311 2213 2223 2212 2233 2222 2211 1113 1123 1112 1133 1122 1111 13 23 12 33 22 11 2 2 2 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C σ C ε 714 donde C es la matriz con las propiedades elásticas Si además aplicamos la simetría mayor ie klij ijkl C C podemos representar el tensor constitutivo elástico en notación de Voigt como Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 457 66 56 46 36 26 16 56 55 45 35 25 15 46 45 44 34 24 14 36 35 34 33 23 13 26 25 24 23 22 12 16 15 14 13 12 11 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 715 La relación 714 nos indica que la representación del tensor de deformaciones en la notación de Voigt tiene el siguiente formato 3 2 1 Ingenieril Notación xz yz xy z y x xz yz xy zz yy xx Voigt ij γ γ γ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε 2 2 2 2 2 2 13 23 12 33 22 11 33 23 13 23 22 12 13 12 11 ε 716 Observemos que el doble producto escalar σ ε tiene dimensión de energía almacenada en el sólido luego esta energía tiene que ser la misma obtenida por σ ε o bien por σ T ε 4243 1 Voigt Tensorial T ε 2 1 2 2 2 2 1 2 1 13 13 23 23 12 12 33 33 22 22 11 11 σ σ ε ε σ σ ε σ ε ε σ σ ε σ ε 717 732 Ley de Transformación para la Ley de Hooke Generalizada Considerando un sistema de coordenadas 1x 2x 3x la relación tensióndeformación en componentes se establece a través de la ley de Hooke generalizada como Notación Indicial Notación de Voigt kl ijkl ij ε σ C σ C ε 718 Estas componentes están afectadas por cualquier cambio del sistema de coordenadas Luego dado un nuevo sistema de coordenadas 1x 2x 3x la ley de Hooke generalizada estará definida en función de las componentes de los tensores en dicho sistema por Notación Indicial Notación de Voigt kl ijkl ij ε σ C ε C σ 719 donde ij σ kl ε y ijkl C son las componentes de los tensores de tensión deformación y de las propiedades elásticas respectivamente en el sistema 1x 2x 3x y dichas componentes en la notación de Voigt vienen explícitamente dadas por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 458 τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ γ γ γ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε xz yz xy z y x xz yz xy zz yy xx xz yz xy z y x xz yz xy zz yy xx 13 23 12 33 22 11 13 23 12 33 22 11 2 2 2 2 2 2 σ ε 720 y 66 56 46 36 26 16 56 55 45 35 25 15 46 45 44 34 24 14 36 35 34 33 23 13 26 25 24 23 22 12 16 15 14 13 12 11 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 721 A continuación estableceremos las leyes de transformación para dichos tensores en la notación de Voigt 7321 Matriz de Transformación de los Tensores de Tensión y de Deformación Si en un determinado punto del medio continuo las componentes del tensor de tensión y de deformación asociadas al sistema de coordenadas 1x 2x 3x están representadas por ij σ ij ε respectivamente las nuevas componentes de estos tensores de segundo orden en un nuevo sistema caracterizado por una rotación del sistema original serán ij σ y ij ε cuyas leyes de transformación son Notación Indicial Notación Matricial kl jl ik ij a a σ σ AT A σ σ 722 Notación Indicial Notación Matricial kl jl ik ij a a ε ε AT A ε ε 723 donde la matriz de transformación A viene explícitamente representada por 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a aij A 724 En la Notación de Voigt las leyes de transformación 722 y 723 ver capítulo1 quedan dadas respectivamente por σ σ σ σ 1 M M inversa 725 ε ε ε ε 1 N N inversa 726 donde M es la matriz de transformación de las componentes del tensor de tensiones en Notación de Voigt y viene dada explícitamente por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 459 13 31 11 33 13 32 12 33 11 32 12 31 13 33 12 32 11 31 23 31 21 33 23 32 22 33 21 32 22 31 23 33 22 32 21 31 23 11 21 13 23 12 22 13 21 12 22 11 23 13 12 22 11 21 33 31 33 32 32 31 2 33 2 32 2 31 23 21 23 22 22 21 2 23 2 22 2 21 13 11 13 12 12 11 2 13 2 12 2 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a M 727 y N es la matriz de transformación de las componentes del tensor de deformación 13 31 11 33 13 32 12 33 11 32 12 31 13 33 12 32 11 31 23 31 21 33 23 32 22 33 21 32 22 31 23 33 22 32 21 31 23 11 21 13 23 12 22 13 21 12 22 11 23 13 12 22 11 21 33 31 33 32 32 31 2 33 2 32 2 31 23 21 23 22 22 21 2 23 2 22 2 21 13 11 13 12 12 11 2 13 2 12 2 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a N 728 Se puede demostrar que las matrices M y N no son matrices ortogonales es decir MT M 1 y T 1 N N y además se puede demostrar que M T N 1 729 7322 Matriz de Transformación del Tensor de Propiedades Elásticas Como ya se ha visto en el capítulo 1 la ley de transformación para las componentes de un tensor de cuarto orden es pqrs ls kr jq ip ijkl a a a a C C 730 La transformación anterior se puede expresar en Notación de Voigt para ello partimos de la relación 718 ε ε ε ε ε ε 1 1 C M C M C N M M C N M C σ σ σ σ σ T 4748 6 731 donde C es la matriz constitutiva elástica en el nuevo sistema 1x 2x 3x Luego podemos obtener la ley de transformación para las componentes del tensor constitutivo elástico en la notación de Voigt como MT M C C Ley de transformación de la matriz elástica en Notación de Voigt 732 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 460 74 Tensor Constitutivo Elástico 741 Anisotropía e Isotropía Los materiales en general son anisótropos es decir en un punto del material las propiedades del mismo presentan valores distintos para distintas direcciones Ciertas clases de materiales en una escala microscópica presentan propiedades anisótropas pero a un nivel macroscópico estas propiedades pueden ser consideradas como un promedio de dichas propiedades pudiéndose así considerar el material como isótropo macroscópicamente es decir las propiedades del material son independientes de la transformación del sistema de coordenadas Como ejemplo podemos citar el hormigón que está formado por la mezcla de distintos materiales Hay materiales como la madera o materiales fabricados por el hombre como por ejemplo materiales compuestos que pueden estar constituidos por fibras direccionalmente embebidas en una matriz presentando así una clara anisotropía incluso a un nivel macroscópico La mayoría de los materiales poseen algún tipo de simetría sobre uno o más ejes es decir estos ejes se pueden invertir sin cambiar las propiedades del material Por ejemplo en la Figura 72b tenemos un plano de simetría el plano 2 1 x x ya que podemos hacer el cambio de sistema de coordenadas del sistema 1x 2x 3x al sistema 1x 2x 3x sin alterar las propiedades elásticas del material En la Figura 72c tenemos dos planos de simetría 2 1 x x y 3 2 x x Recordar que la ley de transformación del sistema 1x 2x 3x al sistema 1x 2x 3x viene dada por la relación 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 2 1 x x x a a a a a a a a a x x x 733 Figura 72 Planos de simetría A continuación estudiaremos las distintas simetrías que pueden presentar los materiales El material puede presentar un plano de simetría simetría monoclínica dos planos de simetría simetría ortótropa simetría tetragonal simetría transversalmente ortótropa simetría cúbica y por último una simetría en todas las direcciones isotropía 2x 3x 1x 2x 2x 3x 1x 1x 2x 2 x 3x 1x a Sistema de coordenadas original b Un plano de simetría c Dos planos de simetría 3x 1x Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 461 742 Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico 7421 Simetría Triclínica La simetría triclínica es el caso más general de anisotropía para un material El tensor elástico presenta 21 componentes independientes a determinar 66 56 46 36 26 16 56 55 45 35 25 15 46 45 44 34 24 14 36 35 34 33 23 13 26 25 24 23 22 12 16 15 14 13 12 11 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C Simetría Triclínica 21 componentes independientes 734 NOTA El mayor inconveniente cuando tratamos con materiales con alto grado de anisotropía es debido a la complejidad que aparece en el momento de obtener las propiedades mecánicas en el laboratorio 7422 Simetría Monoclínica Un Plano de Simetría Considerando el material con un único plano de simetría plano 2 1 x x la ley de transformación entre los sistemas de las Figura 72a y Figura 72b viene dada por 3 2 1 3 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x x x x x x 4243 1 A 735 con esto podemos obtener la matriz de transformación M definida en 727 como 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 M 736 Para obtener la matriz constitutiva elástica en este nuevo sistema efectuamos la siguiente operación de matrices MT M C C 737 resultando Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 462 66 56 46 36 26 16 56 55 45 35 25 15 46 45 44 34 24 14 36 35 34 33 23 13 26 25 24 23 22 12 16 15 14 13 12 11 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 738 Ya que para esta transformación la matriz constitutiva elástica debe presentar simetría es decir C C podemos concluir que los términos que presentan signo negativo deben ser cero para satisfacer la condición de simetría Luego para materiales que presentan un plano de simetría la matriz constitutiva elástica contiene 13 constantes independientes almacenadas como 66 56 56 55 44 34 24 14 34 33 23 13 24 23 22 12 14 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C Simetría Monoclínica 13 constantes independientes 739 7423 Simetría Ortótropa Dos Planos de Simetría La ley de transformación entre los sistemas de la Figura 72b y Figura 72c viene dada por 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 M A 740 donde se ha considerado la relación 727 para obtener la matriz M Para obtener las componentes del tensor constitutivo elástico en el sistema x efectuamos la siguiente operación de matrices MT M C C 741 resultando 66 56 56 55 44 34 24 14 34 33 23 13 24 23 22 12 14 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 742 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 463 Para esta transformación particular se debe cumplir que C C C luego la matriz constitutiva elástica se reduce a 9 constantes independientes a determinar 66 55 44 33 23 13 23 22 12 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C Simetría Ortótropa 9 constantes independientes 743 Si consideramos un tercer plano de simetría vamos a obtener la misma matriz constitutiva C definida anteriormente en 743 NOTA Materiales como los huesos presentan un alto grado de anisotropía Pero algunos investigadores consideran sólo dos planos de simetría simetría ortótropa para modelarlos numéricamente 7424 Simetría Tetragonal Este tipo de simetría presenta 5 planos de simetría Un plano de simetría plano 2 1 x x y sobre éste otros 4 planos de simetría como los mostrados en la Figura 73 Figura 73 Simetría tetragonal Para determinar las constantes de la matriz constitutiva elástica es suficiente considerar dos planos de simetría simetría ortótropa obteniendo así la matriz constitutiva elástica dada por 743 y además considerar el plano de simetría según dirección 1x Primero debemos obtener las componentes de la matriz elástica en el sistema 2 1 x x Para ello consideramos las matrices de transformación 1x 2x 3x 4 π 4 π 4 π 4 π 4 π 1x 2x 4 π 4 π 4 π Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 464 π π π π 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 50 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 50 50 0 0 1 0 50 50 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos 4 4 4 4 M A 744 Las componentes de la matriz constitutiva elástica en este nuevo sistema vendrán dadas por la relación MT M C C resultando así que 444444444444444444444 3 4 44444444444444444444 2 1 C 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 4 2 2 4 4 0 0 2 2 2 0 0 4 2 4 2 4 2 0 0 4 2 4 2 4 2 66 55 66 55 66 55 66 55 12 22 11 13 23 11 22 11 22 13 23 33 23 13 23 13 11 22 23 13 44 12 22 11 44 12 22 11 11 22 23 13 44 12 22 11 44 12 22 11 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 745 Si en esta dirección x1 x2 presenta un plano de simetría cuyo plano se puede apreciar en la Figura 73 las componentes de 745 tienen que ser iguales para la siguiente transformación de coordenadas 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 M A 746 Aplicando una vez más la transformación 732 podemos obtener la siguiente matriz Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 465 444444444444444444444 3 4 44444444444444444444 2 1 C 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 4 2 2 4 4 0 0 2 2 2 0 0 4 2 4 2 4 2 0 0 4 2 4 2 4 2 66 55 55 66 55 66 66 55 12 22 11 23 13 11 22 11 22 23 13 33 23 13 23 13 22 11 23 13 44 12 22 11 44 12 22 11 22 11 23 13 44 12 22 11 44 12 22 11 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 747 y comparando las dos matrices 745 y 747 concluimos que 22 11 C C 66 55 C C 23 13 C C Luego la matriz constitutiva elástica para un material que presenta simetría tetragonal posee 6 constantes independientes a determinar 55 55 44 33 13 13 13 11 12 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C Simetría Tetragonal 6 constantes independientes 748 7425 Simetría Transversalmente Ortótropa Simetría Hexagonal En la simetría transversalmente ortótropa además de presentar simetría ortótropa presenta isotropía según el plano 2 1 x x ver Figura 74 es decir que el material presenta las mismas propiedades para cualquier transformación de base en este plano Figura 74 Simetría transversalmente ortótropa x3 x3 1x 2x 2x 1x α Matriz de Transformación 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos α α α α A Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 466 Podemos partir de la matriz constitutiva elástica de simetría ortótropa 743 y a través de algunas transformaciones de coordenadas en el plano 2 1 x x obtener las constantes Inicialmente consideramos la transformación en el plano 2 1 x x ver Figura 74 cuyo ángulo α 90º resultando así la siguiente matriz de transformación 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 M A 749 Utilizando la relación 732 podemos obtener la matriz constitutiva elástica en este nuevo sistema 55 66 44 33 13 23 13 11 12 23 12 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C 750 y si comparamos 743 y 750 deducimos que 22 11 C C 13 23 C C 66 55 C C Considerando ahora un ángulo α 45º para la ley de transformación la matriz de transformación M queda 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 50 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 50 50 0 0 1 0 50 50 1 0 0 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 M A 751 Utilizando la relación 732 podemos obtener la matriz constitutiva elástica C en este nuevo sistema 55 55 12 11 2 1 33 13 13 13 44 12 22 2 1 44 12 22 2 1 13 44 12 22 2 1 44 12 11 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 752 Comparando 752 con 750 concluimos que 12 11 2 1 44 C C C quedando así 5 constantes independientes Cualquier otra transformación de coordenadas en este plano no reducirá el número de componentes Así la matriz con las propiedades elásticas para un material que presenta simetría transversalmente ortótropa viene dada por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 467 55 55 12 11 2 1 33 13 13 13 11 12 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C C Simetría Transversalmente Ortótropa 5 constantes independientes 753 7426 Simetría Cúbica Los metales en general están formados por cristales que presentan simetría cúbica Es decir el material presenta dos planos de simetría simetría ortótropa y además presenta las mismas propiedades si hacemos una rotación según el eje 3x con α 90º y según el eje 1x con β 90º ver Figura 75 Figura 75 Simetría cúbica Como punto de partida utilizaremos la matriz constitutiva con simetría ortótropa expresión 743 Sometemos esta matriz a una transformación caracterizada por un giro alrededor del eje 3x con α 90º podemos obtener igualmente la matriz 750 y consecuentemente 55 55 44 33 13 13 13 11 12 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C 754 Partiendo de esta relación 754 y haciendo el giro al rededor del eje 1x con β 90º la matriz de transformación queda Rotación según eje 1x β 90º Rotación según eje 3x α 90º 1x 2 x 3x α 3x 1x 2 x 1x 3x 2 x β Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 468 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 M A 755 Reemplazando 755 en la ley de transformación 732 obtenemos la matriz constitutiva elástica C 44 55 55 11 13 12 13 33 13 12 13 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C 756 Con lo que concluimos que 11 33 C C 44 55 C C 12 13 C C ya que C C resultando así 3 constantes independientes a determinar 44 44 44 11 12 12 12 11 12 12 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C Simetría Cúbica 3 constantes independientes 757 7427 Simetría en Todas Direcciones Isotropía Finalmente si el material presenta simetría en todas las direcciones se denomina material isótropo La matriz constitutiva elástica estará constituida por 2 constantes elásticas a determinar 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 11 2 1 12 11 2 1 12 11 2 1 11 12 12 12 11 12 12 12 11 C C C C C C C C C C C C C C C C Isotropía 2 constantes independientes 758 Haciendo un cambio de variables λ C12 y 12 11 2 1 C C µ la matriz constitutiva elástica se puede representar como Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 469 λ λ λ λ λ λ λ λ λ µ µ µ µ µ µ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 C 759 donde las constantes λ µ son conocidas como constantes de Lamé Podemos descomponer la matriz C como 444 3 444 2 1 444 3 444 2 1 I λ 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 µ C 760 Verificamos que I es la matriz con las componentes del tensor identidad de cuarto orden simétrico jk il jl ik ijkl δ δ δ δ 2 1 I en la notación de Voigt ver capítulo 1 Luego el tensor con las propiedades elásticas para un material isótropo viene representado en notación tensorial e indicial como Notación Tensorial Notación Indicial I 1 1 2µ Ce λ jk il jl ik kl ij e ijkl δ δ µ δ δ δ δ λ C 761 Considerando 3 µ λ κ 2 donde κ es el módulo de deformación volumétrico el tensor constitutivo también puede ser escrito como κ 1 1 I 1 1 3 1 2µ Ce 762 Recordar que en el capítulo 1 hemos visto que cualquier tensor de cuarto orden isótropo puede ser escrito en función de los siguientes tensores jk il jl ik ij kl δ δ δ δ δ δ jk il jl ik kl ij ijkl a a a δ δ δ δ δ δ 2 1 0 C 763 La inversa de la matriz constitutiva elástica 759 viene dada por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 470 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 1 0 0 0 2 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 0 0 0 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 1 C 1 764 Podemos descomponer la matriz 1 C como 444 3 444 2 1 444 3 444 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2 3 2 λ λ I µ µ µ C 765 Verifiquemos que la segunda matriz de 765 es la inversa del tensor identidad simétrico de cuarto orden en la notación de Voigt y además se cumple que 1 ijkl ijkl I I luego la inversa del tensor constitutivo isótropo en notación tensorial e indicial puede ser escrita como Notación Tensorial Notación Indicial I 1 1 µ µ µ 2 1 2 3 2 1 λ λ Ce jk il jl ik kl ij e ijkl δ δ µ δ δ µ δ δ µ λ λ 4 1 2 3 2 1 C 766 Se puede aún demostrar que I sym e e I C C 1 75 Material Isótropo 751 Ley Constitutiva La ley de Hooke generalizada 710 para un material elástico lineal homogéneo e isótropo puede ser escrita utilizando la ecuación 761 resultando ε ε 1 I ε 1 ε 1 ε I 1 1 σ ε ε ε µ µ µ 2 2 2 λ λ λ Tr Tr sym 767 luego Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 471 Notación Tensorial Notación Indicial ε ε 1 σ 2µ λ Tr ij ij kk ij ε σ λε µ δ 2 768 La forma inversa de 768 se puede obtener como Notación Tensorial Notación Indicial ε 1 σ ε ε 1 σ ε ε ε 1 σ 2 2 1 2 2 Tr Tr Tr µ µ µ µ λ λ λ ij kk ij ij ij kk ij ij ij ij kk ij δ µ µ δ µ µ δ λ ε σ ε λε σ ε ε λε σ 2 2 1 2 2 769 Tenemos que obtener la siguiente traza kk ε para ello obtenemos la traza de ij σ Notación Tensorial Notación Indicial 2 3 1 2 3 2 σ ε ε ε σ ε 1 ε 1 1 1 σ Tr Tr Tr Tr Tr Tr µ µ µ λ λ λ kk kk kk kk kk kk ii ii kk ii ij ij kk ij σ λ ε ε λ σ ε λε ε λε σ ε λε σ 2 3 1 2 3 2 3 2 2 µ µ µ µ δ µ δ 770 Reemplazando Trε dada por 770 en la expresión 769 obtenemos que Notación Tensorial Notación Indicial σ σ 1 ε µ µ µ 2 1 2 2 3 λ λ Tr ij ij kk ij σ σ λ λ ε µ δ µ µ 2 1 2 2 3 771 La expresión podría haber sido obtenida también teniendo en cuenta que σ σ 1 σ I 1 1 σ ε µ µ µ µ µ µ 2 1 2 2 3 2 1 2 3 2 1 λ λ λ λ Tr Ce 772 Partiendo de la definición de autovalor y autovector del tensor de tensiones n n σ σ ˆ ˆ γ n n ε n ε n ε ε n n ε ε n n n ε n ε n n ε n ε n 1 n ε n n ε 1 ε ε σ σ σ σ σ σ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 γ λ γ λ γ λ γ γ λ γ λ γ λ µ µ µ µ µ µ Tr Tr Tr Tr Tr Tr 773 Con lo cual concluimos que los tensores σ y ε tienen las mismas direcciones principales y sus autovalores vienen relacionados por 2µ ε σ ε λTr γ γ Si denominamos por 1 1 γ ε ε 2 2 γ ε ε 3 3 γ ε ε y 1 1 γ σ σ 2 2 γ σ σ 3 3 γ σ σ los autovalores de σ y ε viene relacionados por Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición ε₁ 0 0 1 σ₁ 0 0 λTrε 1 0 0 0 ε₂ 0 0 σ₂ 0 0 1 0 0 0 ε₃ 2μ 0 0 σ₃ 2μ 0 0 1 774 donde también se cumple que σ₁ 0 0 1 0 0 ε₁ 0 0 λTrε 0 σ₂ 0 0 1 0 2μ 0 ε₂ 0 775 0 0 σ₃ 0 0 1 0 0 ε₃ 752 Determinación de las Constantes Elásticas 7521 Módulo de Elasticidad Longitudinal Coeficiente de Poisson Para un cuerpo homogéneo e isótropo las siguientes suposiciones observadas experimentalmente son válidas Tensiones normales σₓ σᵧ σ𝓏 no pueden producir distorsiones angulares con respecto al mismo sistema de referencia es decir sólo producen deformaciones longitudinales Tensiones tangenciales de corte sólo producen distorsiones angulares Tensiones tangenciales de corte no pueden producir extensiones o acortamientos Partiendo de estas suposiciones podemos concluir que las deformaciones serán funciones de εₓ εₓσₓ σᵧ σ𝓏 εᵧ εᵧσₓ σᵧ σ𝓏 ε𝓏 ε𝓏σₓ σᵧ σ𝓏 γ𝓍ᵧ γₓᵧτₓᵧ γ𝓎𝓏 γᵧ𝓏τᵧ𝓏 γ𝓍𝓏 γₓ𝓏τₓ𝓏 776 Podemos suponer que la deformación normal es una función lineal de las tensiones normales εₓ α₁σₓ α₂σᵧ α₃σ𝓏 777 Debido a que el material es isótropo el efecto que produce σᵧ en εₓ es el mismo que σ𝓏 produce en εₓ Figura 76 y que α₂ α₃ 0 observado experimentalmente 778 donde α₁ 1E α₂ α₃ νE 779 donde E es el Módulo de Young o Módulo de elasticidad longitudinal unidad de tensión ν es el coeficiente de Poisson adimensional Los valores E ν son obtenidos experimentalmente Podemos entonces escribir las tres primeras ecuaciones de 776 como εₓ 1E σₓ νσᵧ σ𝓏 εᵧ 1E σᵧ νσₓ σ𝓏 ε𝓏 1E σ𝓏 νσₓ σᵧ 780 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 473 Figura 76 Deformaciones normales en un punto x σ x σ z x y E νσx E νσx E x σ νσ ε νσ ε σ ε E E E x z x y x x y σ y σ z x y E y σ E νσy E νσy νσ ε σ ε νσ ε E E E y z y y y x z σ z σ z x y σ ε νσ ε νσ ε E E E z z z y z x E νσz E z σ E νσz σ ν σ σ ε ν σ σ σ ε σ σ ν σ ε y x z z z x y y z y x x E E E 1 1 1 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 474 7522 Módulo de Elasticidad Transversal Módulo de Deformación Volumétrica Las relaciones entre las tensiones tangenciales y las deformaciones transversales distorsiones angulares vienen dadas por zx zx yz yz xy xy G G G τ γ τ γ τ γ 1 1 1 781 donde G es el módulo de elasticidad transversal que está relacionado con los parámetros E y ν a través de la relación 2 1 ν E G 782 Para definir el módulo de deformación volumétrico o módulo volumétrico κ partiremos de la traza del tensor de deformación dada por m z y x y x z z x y z y x z y x E E E I ν σ σ ν σ σ σ ν σ σ ν σ σ σ σ σ ν σ ε ε ε 2 13 2 1 1 ε 783 Para el régimen de deformación infinitesimal la traza del tensor de deformación es igual al cambio de volumen por unidad de volumen εI dV V z y x v ε ε ε ε 0 784 Igualando las dos relaciones 783 y 784 obtenemos v m m v E p E ν ε σ ν σ ε 2 13 2 3 1 785 donde E 2 3 1 ν es el factor de compresibilidad Pasamos entonces a definir el módulo de deformación volumétrica κ dado por el inverso del factor de compresibilidad 2 13 ν κ E 786 Si nos fijamos en el factor de compresibilidad ecuación 785 en el caso en que el material sea incompresible sin variación de volumen implica que 0 2 3 1 ν E lo que es equivalente a 50 ν Luego materiales con el coeficiente de Poisson igual a 50 ν son considerados como incompresibles Como ejemplo de medio incompresible podemos citar el agua También podemos mencionar la goma que es un material casiincompresible y en algunos casos es considerada como incompresible Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 475 Figura 77 Propiedades mecánicas del material Podemos reagrupar las ecuaciones 780 y 781 en forma matricial resultando τ τ τ σ σ σ ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε zx yz xy z y x zx yz xy z y x G G G E E E E E E E E E 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 787 con 2 1 ν E G La inversa de 787 viene dada por γ γ γ ε ε ε ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν τ τ τ σ σ σ zx yz xy z y x zx yz xy z y x E 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 788 La relación anterior en la notación tensorial e indicial viene dada por x ε γxy v ε G Módulo transversal p 1 1 1 x σ x y x σ xy τ x y p x y p p xy τ x σ xy τ E µ G κ v ε deformación volumétrica E Módulo de Young κ Módulo volumétrico Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 476 Notación Tensorial Notación Indicial ε 1 ε σ 1 2 1 1 ν ν ν ν E E Tr ij ij kk ij E E ν ε ν ε ν ν σ 1 2 1 1 δ 789 Comparando las relaciones 789 y 768 podemos deducir que las constantes de Lamé λ µ están relacionadas con los parámetros ν E mediante de las siguientes relaciones 2 1 2 1 1 ν ν ν ν λ E G E µ 790 La forma inversa de 789 es Notación Tensorial Notación Indicial σ σ 1 ε E E ν ν 1 Tr ij ij kk ij E E ν σ ν σ ε 1 δ 791 Comparando las relaciones 791 y 771 podemos obtener 2 2 3 µ µ µ µ λ λ ν λ λ E 792 En la Tabla 71 tenemos las relaciones entres las variables mecánicas E módulo de Young ν coeficiente de Poisson κ módulo volumétrico G módulo de deformación transversal y las constantes de Lamé λ µ Utilizando la Tabla 71 podemos escribir el tensor constitutivo elástico en función de los parámetros E ν λ µ G κ µ G κ ν ν ν ν 1 1 I 1 1 I 1 1 I 1 1 3 1 2 2 1 2 1 1 µ µ λ e e e E E C C C Tensor constitutivo elástico 793 y respectivamente los tensores inversos κ ν ν 1 1 I 1 1 I 1 1 I 1 1 3 1 2 1 9 1 2 1 2 3 2 1 1 1 1 µ µ µ µ λ λ e e e e e e E E D C D C D C 794 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 477 Tabla 71 Relaciones entre variables mecánicas G µ E κ λ ν f G E G E E G GE 3 9 E G G G E 3 2 G G E 2 2 f G κ G G G κ κ 3 9 κ 3 κ 2G G G κ κ 2 3 2 3 f G λ G G G G λ λ 2 3 3 G λ 2 λ λ G λ 2 f G ν G 2G 1 ν ν ν 2 3 1 2G 1 1 2ν 2G ν f E κ E E κ κ 9 3 E κ E E κ κ κ 9 3 9 κ κ 6 3 E f E ν 2 1 ν E E 3 1 2ν E ν ν ν 2 1 1 E ν f κ λ 2 3 κ λ κ λ κ κ λ 3 9 κ λ κ λ λ 3 f κ ν ν ν κ 2 1 2 3 1 ν κ 2 3 1 κ ν κν 1 3 ν 753 Tensor Acústico Elástico Un tensor importante en la elasticidad es el Tensor Acústico Elástico Qe N definido a continuación N N N ˆ ˆ ˆ e e C Q 795 el cual es utilizado para encontrar las restricciones de las propiedades mecánicas Las componentes de e Q para un material elástico lineal e isótropo son l j jl j l jl k k l j k jk il i k jl ik i k kl ij i k jk il jl ik kl ij i k e ijkl i jl e N N N N N N N N N N N N N N N N N N ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ µ λ µδ µ δ µ λ δ δ µ δ δ µ δ λδ δ δ µ δ δ δ λδ C Q 796 luego λ λ N N N N N N N ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ µ µ µδ µ 1 e jl l j k e ijkl i e jl e e Q Q Q N N N N C C 797 y la forma inversa λ λ N N ˆ ˆ 2 1 1 µ µ µ 1 Qe λ λ l j jl e Qjl N N ˆ ˆ 2 1 1 µ µ µ δ 798 o en función de las variables Eν ν ν N N ˆ ˆ 2 1 1 2 1 1 1 E Qe 799 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 478 El determinante del tensor acústico e Q en tres dimensiones es µ µ 2 2 λ Qe 7100 y en dos dimensiones 2D µ µ λ 2 Qe 7101 Para obtener los autovalores de e Q es suficiente resolver el siguiente determinante 0 3 3 3 2 3 1 3 2 2 2 2 1 3 1 2 1 1 1 ς λ λ λ λ ς λ λ λ λ ς λ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ N N N N N N N N N N N N N N N N N N 7102 que da lugar a la ecuación característica Utilizando la restricción 1 2 3 2 2 2 1 N N N se puede obtener los siguientes autovalores µ λ µ µ 2 0 0 0 0 0 0 Qe ij 7103 La presencia de raíces nulas o negativas representa inestabilidad para pequeñas perturbaciones La condición necesaria y suficiente para la condición de elipticidad fuerte tiene lugar cuando 0 2 0 λ µ µ 7104 Si la condición de elipticidad fuerte es violada el material presentará inestabilidad asociada con banda de deformación homogénea Las desigualdades 7104 se pueden expresar de la siguiente forma ν ν ν 1 0 1 0 0 2 1 E E E µ ν ν ν ν λ 1 50 0 2 1 1 2 2 µ µ 7105 Podemos resumir que en lugar de satisfacer la condición de elipticidad fuerte es necesario satisfacer las siguientes proposiciones 1 0 1 50 1 0 ν ν E E 7106 Para que tenga sentido físico el módulo volumétrico κ TruesdellNoll 1965 tiene que ser positivo La condición de estabilidad punto a punto estará garantizada por ν λ κ 0 2 1 3 0 3 2 E µ µ 7107 Para un material elástico lineal e isótropo la condición para que la energía de deformación sea positiva será satisfecha cuando 50 1 0 ν E 7108 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 479 La mayoría de los materiales el coeficiente de Poisson está comprendido entre el intervalo 50 0 ν Los materiales que presentan coeficiente de Poisson negativos son denominados de materiales augéticos 76 Energía de Deformación Como hemos visto en el Ejemplo 62 la ecuación de energía es una ecuación redundante Pero a la hora de la solución del PVCI analítica o numérica partiremos de principios energéticos por ello la importancia de estudiar la energía de deformación La energía de deformación para un material elástico lineal ya fue obtenida en el Ejemplo 62 La demostración desde un punto de vista ingenieril sigue a continuación y viene descrita utilizando notación ingenieril Para la interpretación física de la energía de deformación consideraremos un elemento diferencial dxdydz donde actúa la tensión normal x σ ver Figura 78 Figura 78 Energía almacenada tensión normal La energía almacenada debida a la tensión normal x σ será igual al área de la Figura 78b dxdydz dx dydz U x x x x σ ε ε σ 2 1 2 0 0 7109 Análogamente podemos obtener la energía de deformación para las tensiones normales y σ y z σ Considerando la tensión tangencial ver Figura 79 la energía de deformación será Ángulo Momento U 0 7110 dz dx dy x y z x ε x σ Energía almacenada x σ x σ a b x ε x σ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 480 Figura 79 Energía de deformación tensión de corte dxdydz dy dxdz U xy xy xy xy τ γ γ τ 2 1 2 0 0 7111 Considerando las 6 componentes la energía de deformación almacenada en un elemento diferencial será dxdydz U yz yz xz xz xy xy z z y y x x τ γ τ γ γ σ ε τ 2 σ ε σ ε 1 0 7112 Denominamos así e Ψ la energía de deformación por unidad de volumen densidad de energía de deformación y viene dada por yz yz xz xz xy xy z z y y x x e γ τ τ γ γ σ ε τ 2 σ ε σ ε 1 Ψ m3 J 7113 Verifiquemos que la unidad de la densidad de energía de deformación es la unidad de energía dividido por unidad de volumen J m3 La energía de deformación total U en todo el medio continuo viene dada por la integración de la densidad de energía en todo el volumen V edV U Ψ Nm J 7114 e Ψ es un funcional denominado potencial elástico Notación indicial 2 ε σ 1 Ψ e ij ij e 2 σ ε 1 Ψ 7115 Utilizando la ley de Hooke generalizada ε σ Ce el potencial elástico queda Notación Tensorial Notación indicial Notación de Voigt ε ε e e C 2 Ψ 1 ijkl kl ij e 2 ε ε C 1 Ψ ε ε T C e 2 Ψ 1 7116 Considerando las ecuaciones 789 y reemplazando en la ecuación 7115 resulta γxy dx x y z dz dy xy τ x y xy τ dy dx Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 481 γ γ γ ν ε ν ε ε ε ε ε ν ν ν 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 zx yz xy z y x z y x e E Ψ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 zx yz xy z y x z y x e γ γ γ ε ε ε ε λ ε ε µ µ Ψ 7117 Si derivamos en función de la deformación x ε resulta x x z y x x e E σ ν ε ε ε ε ν ν ν ε 1 2 2 2 1 1 2 Ψ 7118 Análogamente podemos obtener que x x e σ ε Ψ y y e σ ε Ψ z z e σ ε Ψ xy xy e τ γ Ψ yz yz e τ γ Ψ zx zx e τ γ Ψ 7119 con lo cual concluimos que Notación indicial ε σ Ψ e ij ij e σ ε Ψ 7120 La derivada segunda nos proporciona e e e C C ε ε ε ε ε ε 2 1 2 2Ψ 7121 761 Descomposición de la Energía de Deformación Podemos descomponer la energía de deformación en una parte desviadora y en otra volumétrica Considerando la energía de deformación para un material elástico lineal ε σ ε ε 2 1 2 1 e e C Ψ 7122 Podemos reemplazar el valor de la tensión para un material isótropo dada por la ecuación 768 resultando 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε 1 ε ε ε 1 ε σ ε ε Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr µ µ µ µ µ µ Ψ λ λ λ λ λ λ T e 3 2 1 7123 Descomponiendo el tensor de deformaciones en una parte esférica y en otra desviadora Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 482 ε 1 ε ε 3 Tr dev 7124 y reemplazando en la ecuación 7123 resulta dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev dev e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε 1 1 ε 1 ε ε 1 ε ε ε ε ε ε 1 ε ε 1 ε ε ε ε ε ε ε 2 2 3 2 3 2 9 3 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 0 µ µ µ µ µ µ µ µ Ψ κ λ λ λ λ λ κ Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr 4243 1 123 23 1 7125 donde 4 4 43 142 4243 1 desviadora puramente energía dev dev volumétrica puramente energía e ε ε ε 2 2 µ Ψ κ Tr 7126 Considerando ahora que en vez de reemplazar la tensión reemplazamos la deformación dada por 771 en la ecuación de la energía resulta σ σ σ σ 1 σ σ 1 σ ε σ σ µ µ µ µ µ µ Ψ 4 1 2 4 3 2 1 2 2 3 2 1 2 1 λ λ λ λ Tr Tr Tr e 7127 El doble producto escalar σ σ es un invariante ya que el resultado de esta operación es un escalar Utilizando el espacio de las tensiones principales por comodidad podemos obtener que 2 3 2 2 2 1 σ σ σ σ σ ij ij σ σ 7128 Teniendo en cuenta que 3 2 1 σ σ σ σ σ I Tr podemos obtener que 2 3 2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 444 3 444 2 1 σ σ II I σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 7129 luego σ σ II I 2 2 2 3 2 2 2 1 σ σ σ 7130 Considerando también el valor del segundo invariante del tensor desviador de tensión II σdev J2 dado por 3 3 2 2 σ σ σ σ σ σ I II II I II II dev dev ver capítulo 1 Reemplazando está relación en 7130 resulta Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 483 σ σ σ σ σ σ σ σ 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 3 3 2 J J I I I 7131 y reemplazando en la expresión de la energía 7127 obtenemos λ λ 2 2 2 2 3 4 1 2 4 3 J σ σ I I e µ µ µ Ψ 7132 o aún 3 2 1 4 4 4 3 4 2 1 al cambio de forma Energía asociada al cambio de volumen asociada Energía 2 2 2 1 2 63 1 µ J µ Ψ λ Iσ e 7133 Ejemplo 71 Dado un material elástico lineal homogéneo e isótropo con las siguientes propiedades elásticas GPa G GPa E 6 26 71 Determinar las componentes del tensor de deformación y la densidad de energía de deformación en un punto del cuerpo si las componentes del tensor de tensiones en este punto son MPa ij σ 15 10 5 10 0 4 5 4 20 Solución Obtenemos el coeficiente de Poisson partiendo de la relación 2 1 ν E G 0 335 1 2 ν G E 6 6 9 22 11 33 33 6 6 9 33 11 22 22 6 6 9 33 22 11 11 10 117 0 10 0 335 20 15 71 10 1 1 10 165 15 10 0 335 20 0 71 10 1 1 211 10 15 10 0 335 0 20 71 10 1 1 σ ν σ σ ε σ ν σ σ ε σ ν σ σ ε E E E 6 6 9 23 23 6 6 9 13 13 6 6 9 12 12 10 188 10 10 71 10 0 335 1 1 10 94 5 10 71 10 0 335 1 1 10 75 10 4 71 10 0 335 1 1 ν σ ε ν σ ε ν σ ε E E E luego 6 10 117 188 94 188 165 75 94 75 211 εij Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 484 La densidad de energía de deformación ver ecuación 7122 para un material elástico lineal e isótropo viene dada por ε σ ε ε 2 1 2 1 e e C Ψ En notación indicial ij ij e 2 ε σ 1 Ψ Considerando la simetría de los tensores de tensión y de deformación la densidad de energía de deformación resulta 3 13 13 23 23 12 12 33 33 22 22 11 11 5 5637 2945 218810 2 75 4 11715 1650 2 21120 1 2 2 2 2 1 m J e ε σ σ ε ε σ ε σ σ ε ε σ Ψ Podemos también obtener la energía de deformación utilizando la ecuación 7133 2 2 2 2 1 2 63 1 2 1 2 63 1 µ J µ µ µ Ψ λ λ σ σ σ I II I dev e y considerando que 107 53 Iσ 2 4933 1014 II σ 1010 Pa 5 3804 λ µ G obtenemos 3 563803 m J Ψ e La diferencia entre los resultados obtenidos es debida a la aproximación numérica Ejemplo 72 Expresar la energía de deformación en función de los invariantes principales de ε Solución 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε 1 ε ε ε 1 ε σ ε ε Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ Ψ T e 3 2 1 Podemos sumar y restar el término µ Trε2 sin alterar la expresión 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ε ε ε ε ε ε ε Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr λ λ µ µ µ µ µ Ψ e Considerando que los invariantes principales de ε son ε ε I Tr 2 1 2 2 ε ε ε Tr Tr II obtenemos que ε ε II I e µ µ Ψ 2 2 2 1 2 λ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 485 77 Ley Constitutiva para Material Ortótropo Para un material ortótropo la relación tensióndeformación viene dada por la siguiente expresión τ τ τ σ σ σ ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε zx yz xy z y x zx yz xy z y x G G G E E E E E E E E E 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 13 23 12 3 2 23 1 13 3 32 2 1 12 3 31 2 21 1 7134 Tenemos 12 constantes 1 E 2 E 3 E ν12 ν13 ν23 ν21 ν31 ν32 12 G 23 G 13 G pero sólo 9 constantes independientes ver ecuación 743 debido a que 2 23 3 32 1 13 3 31 1 12 2 21 E E E E E E ν ν ν ν ν ν 7135 La inversa de la relación 7134 nos proporciona la ley de Hooke generalizada γ γ γ ε ε ε ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν τ τ τ σ σ σ zx yz xy z y x zx yz xy z y x G G G E E E E E E E E E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 13 23 12 12 21 3 31 12 32 2 21 32 31 1 31 12 32 2 31 13 2 31 23 21 1 21 32 31 1 31 23 21 1 23 32 1 χ χ χ χ χ χ χ χ χ 7136 donde 1 2 32 13 21 12 21 13 31 32 23 ν ν ν ν ν ν ν ν χ ν Observar que cuando 3 2 1 E E E 23 31 21 23 13 12 ν ν ν ν ν ν 13 23 12 G G G estamos en el caso isótropo obteniendo así las relaciones 787 y 788 78 Material Transversalmente Ortogonal Podemos representar la matriz constitutiva elástica para un material transversalmente ortogonal de la siguiente forma Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 486 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 λ λ λ λ λ λ λ λ λ µ µ µ µ µ µ C 7137 Descomponiendo la matriz constitutiva elástica en una parte isótropa y otra anisótropa λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 C 7138 donde denotamos que λ λ λ0 y µ0 µ µ La energía de deformación e Ψ también podrá ser descompuesta en un parte isótropa y otra anisótropa e Ani e iso e Ψ Ψ Ψ 7139 La energía de deformación de la parte isótropa es análoga a la vista anteriormente Para la parte anisótropa consideremos la relación tensión deformación ε ε ε ε ε ε λ λ λ λ λ σ σ σ σ σ σ 13 23 12 33 22 11 13 23 12 33 22 11 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 µ µ µ 7140 Luego la energía de deformación para la parte anisótropa viene dada por 13 13 23 23 12 12 33 33 22 22 11 11 2 2 2 2 1 2 1 σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε e Ani ij ij e Ani Ψ Ψ 7141 Reemplazando las tensiones dadas por 7140 obtenemos 13 13 23 23 33 33 22 11 22 33 11 33 4 4 0 2 2 1 σ ε σ ε ε ε λ λε λε λε ε λε ε µ µ µ Ψ e Ani 7142 Podemos simplificar la expresión anterior y obtener que 2 23 2 13 2 33 33 2 2 ε ε ε λ ε λ µ µ Ψ Tr ε e Ani 7143 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 487 79 Teorema de la Superposición Principio de SaintVenant El principio de la superposición de los efectos establece que el equilibrio de un sistema donde actúan varias acciones es igual a la suma de las acciones independientes Figura 710 Este principio es válido ya que en la elasticidad lineal las ecuaciones son lineales Figura 710 Superposición de los efectos Si consideramos dos sistemas de fuerzas equivalentes como el indicado en la Figura 711 El principio de SaintVenant nos garantiza que para un punto suficiente alejado zona amortiguada del punto de perturbación los dos sistemas son equivalentes Figura 711 Principio de SaintVenant σ ε ur σ ε u ε ε u r r T T T σ ε ε ε ur A σ F Zona con misma respuesta para ambos sistemas Zona no perturbada Zona perturbada A σ F F F SISTEMA DE FUERZAS I SISTEMA DE FUERZAS II Zona con respuesta diferenciada Zona perturbada Zona con respuesta diferenciada Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 488 710 Deformación y Tensión Iniciales Algunos fenómenos físicos se pueden añadir directamente a las ecuaciones constitutivas debido al principio de la superposición El efecto de estos fenómenos pueden ser computados simplemente sumándolos a la ecucación constitutiva bien sea en deformación o bien en tensión 7101 Deformación Térmica Con el cambio de temperatura hay un aumento en la energía interna luego los átomosmoléculas vibran más intensamente Esta vibración es la causante del estiramiento entre los ligamentos entre moléculas por lo que el cuerpo aumenta de volumen ver Figura 712 Figura 712 Cuerpo bajo cambio de temperatura NOTA Las propiedades del material en general cambian con el aumento de la temperatura En la aproximación de la elasticidad lineal las propiedades se consideran constantes con el aumento de la temperatura En la teoría de la elasticidad lineal los procesos térmico y mecánico pueden ser tratados desacoplados es decir se pueden obtener independientemente Podemos obtener el campo de deformación utilizando el principio de la superposición es decir obtenemos el campo de deformación debido solamente a la carga mecánica ur εij considerando un proceso de carga isotérmico y adicionamos el campo de deformación debido al efecto térmico εij T ij T ij ij ε ε ε ur 7144 donde ur εij es la deformación de la parte mecánica función del campo de desplazamiento ur εij T es la deformación debido al fenómeno térmico función de la temperatura T Para obtener la deformación térmica es necesario hallar la distribución de temperatura dentro del cuerpo Para ello debemos resolver el problema de conducción térmica ver capítulo 4 Para un cambio de temperatura solo surgirán deformaciones normales si se trata de un material isótropo y vienen representadas por ij ij T T T δ α 0 ε 7145 calentamiento Volumen inicial Volumen final Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 489 donde 0 T es la temperatura inicial T es la temperatura final y α es el coeficiente de dilatancia térmica A continuación presentamos algunos coeficientes de dilatancia térmica para algunos materiales C acero º 1 10 12 6 α C aluminio º 1 10 23 6 α C cobre º 1 10 17 6 α Utilizando las ecuaciones 7144 y 791 podemos obtener ij ij ij kk ij ij ij ij kk ij T T E E T T δ α δ δ α µ δ µ µ 1 2 1 2 3 0 0 ν σ ν σ ε σ σ λ λ ε 7146 La ley de Hooke para un material isótropo añadido el fenómeno térmico viene dada por la inversa de la expresión 7146 ij ij ij kk ij ij ij ij kk ij T T E E E T T δ α δ δ µ α µ δ 2 1 1 2 1 1 2 3 2 0 0 ν ν ε ν ε ν ν σ λ ε σ λε 7147 Ejemplo 73 Considérese una barra de 57 m de longitud y 10 m de diámetro que está constituida por un material cuyas propiedades son Pa E 1011 02 y º C 1 10 20 6 α Inicialmente la barra está a 15º C y la temperatura aumenta a 50º C Se pide 1 Determinar el alargamiento de la barra considerando que la barra pueda expandirse libremente 2 Suponga que la barra ya no puede alongarse libremente porque en sus extremos se han colocado bloques de hormigón ver Figura 713b Obtener la tensión en la barra Nota Considerar el problema en una dimensión Figura 713 Barra bajo efecto térmico Solución 1 Para obtener el alargamiento debemos calcular previamente la deformación según la dirección del eje de la barra ij ij T δ α ε Como se trata de un caso unidimensional sólo consideraremos la componente de la deformación según el eje x ε11 εx luego 4 6 11 7 10 15 50 10 20 ε ε x El alargamiento se obtiene según la integral a b L L x Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 490 m L dx L x L x 3 4 0 10 5 25 57 10 7 ε ε Observar que como la barra puede expandirse libremente ésta está libre de tensión 2 Si las extremidades no pueden moverse surgirán tensiones uniformes que vienen dadas por Pa E T E x ij x 8 4 11 10 41 7 10 10 02 ε σ δ α Observemos que en el caso 2 no hay deformación ya que L 0 No obstante es equivalente a una barra de longitud L L en la cual aplicamos una tensión de compresión hasta obtener la longitud final igual a L 711 Ecuaciones de Navier A través de la ley constitutiva ver ecuación 75 podemos obtener la divergencia del tensor de tensiones de Cauchy ij j ij kk j ij j ij ij kk ij 2 2 ε λε σ ε σ λε µ δ µ δ 7148 Además utilizando las ecuaciones cinemáticas 76 podemos obtener los términos εij j y consecuentemente εkk j k kj kk j j ij i jj ij j j i i j ij 2 2 1 u u u u u ε ε ε 7149 Remplazando 7149 en 7148 obtenemos i jj ji j j ij i jj ij k kj j ij u u u u u µ µ µ δ λ λ σ 7150 Reemplazando la expresión 7150 en las ecuaciones del movimiento 74 i i ij j u b ρ ρ σ obtenemos que 2 2 2 t t i i i jj ji j λ λ X r r r r r u b u u ρ ρ µ µ ρ ρ µ µ u b u u Ecuaciones de Navier 7151 que son las Ecuaciones de Navier Observar que el problema inicialmente planteado ver ecuaciones 7476 con 15 ecuaciones y 15 incógnitas pasa a tener 3 ecuaciones con 3 incógnitas Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 491 Ejemplo 74 Considérese una barra donde en una de las extremidades se aplica una fuerza igual a 6000N como se indica en la figura siguiente Determinar z y x ε ε ε y el cambio de longitud en las dimensiones de la barra Considere que la barra está constituida por un material cuyas propiedades elásticas son Módulo de Young Pa E 107 Coeficiente de Poisson 30 ν Solución Utilizando las expresiones de las deformaciones normales 0 00018 1 0 0006 10 6000 1 0 00018 10 30 6000 1 7 7 ν σ σ σ ν σ ε σ σ ν σ σ ε ν σ σ ν σ σ ε y y x z z y z x y y y z y x x E E E E E E Los cambios de longitud en las dimensiones de la sección son m w u 10 4 81 1 0 00018 y de la longitud m v 10 2 06 100 0 0006 m 1 N F 6000 u x v y zw m 1 100m 1 1 6000 σ y Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 712 Elasticidad Bidimensional Las estructuras tridimensionales a veces presentan ciertas características geométricas y de cargas que posibilitan tratarlas como problemas bidimensionales 2D simplificando así enormemente los cálculos y facilitando la interpretación de los resultados numéricos Básicamente podemos mencionar dos clases de simplificaciones 1 Simplificación a nivel conceptual Dentro de esta clase de simplificación podemos considerar dos tipos de aproximaciones Estado de tensión plana Estado de deformación plana Dichas simplificaciones son aproximaciones del problema real en muchos casos tales aproximaciones son bastantes satisfactorias es decir el error cometido al utilizar estas aproximaciones no es relevante 2 Simplificación a nivel matemático Utilizamos dichas simplificaciones en estructuras que presentan simetría radial Esta clase de estructuras se denominan como Sólidos de revolución El resultado obtenido utilizando esta simplificación es exactamente el mismo que si consideráramos el problema tridimensional A continuación estudiaremos en detalle cada tipo de aproximación 7121 Estado de Tensión Plana En este tipo de aproximación los elementos estructurales presentan una de las dimensiones muy pequeña cuando se compara con las otras dos dimensiones ver Figura 714 y además la carga está aplicada perpendicularmente a esta dirección Como consecuencia las componentes del tensor tensión según esta dirección es cero Un ejemplo en ingeniería civil es una viga de gran canto ver Figura 715 Figura 714 Placa delgada Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 493 Figura 715 Viga de gran canto El estado de tensión plana está caracterizado por la ausencia de tensión en una dirección y adoptaremos dicha dirección por x z 3 Luego las componentes del tensor de tensión serán σ τ τ σ σ σ σ σ σ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 12 12 11 y xy xy x ij 7152 Considerando la suposición anterior la relación 787 queda τ τ τ σ σ σ ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε zx yz xy z y x zx yz xy z y x G G G E E E E E E E E E 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 7153 Eliminando columnas y filas correspondientes a la tensión cero la relación tensión deformación para el caso de tensión plana viene dada por τ σ σ ν ν ν γ ε ε τ σ σ ν ν γ ε ε ν xy y x xy y x E G xy y x xy y x E G E E E E 2 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 2 1 7154 La inversa de la relación anterior resultará la ley de Hooke para el caso de tensión plana 0 0 0 q 2D h L x y t Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 495 de Deformación Plana Como ejemplos podemos citar muro de contención cilindros bajo presión Figura 716 túneles Figura 717 presas Figura 718 zapatas corridas Es importante resaltar que para considerar un estado de deformación plana las variables involucradas carga sección material deben ser constantes a lo largo del eje prismático Figura 716 Cilindro bajo presión Figura 717 Túnel 2D 2D x y z Sección por unidad de longitud x y p p presión Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 496 Figura 718 Presa En el caso de deformación plana se cumple que ε γ γ ε ε ε ε ε ε 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 22 12 12 11 y xy xy x ij 7161 Partiendo de la ley de Hooke generalizada 788 y eliminando columnas y filas correspondientes a deformaciones cero resulta γ γ γ ε ε ε ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν τ τ τ σ σ σ zx yz xy z y x zx yz xy z y x E 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 7162 resultando γ ε ε ν ν ν ν ν ν ν τ σ σ xy y x xy y x E 2 2 1 0 0 0 1 0 1 2 1 1 7163 La tensión según la dirección z viene dada por y x z E ε ε ν ν ν σ 2 1 1 7164 La inversa de la relación 7163 es τ σ σ ν ν ν ν ν γ ε ε xy y x xy y x E 2 0 0 0 1 0 1 1 7165 0 0 0 Sección de la presa 1 2D Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 498 Ejemplo 75 Una roseta a º 45 como se indica en la Figura 719 destinada a medir la deformación en una parte de una estructura proporciona las siguientes lecturas 3 3 3 10 05 0 10 22 0 10 33 0 ε ε ε y x x Cuál es la tensión de corte máxima en el punto en cuestión Sabiendo que el material elástico lineal e isótropo que constituye la estructura tiene las siguientes propiedades elásticas Pa E 29000 Módulo de Young 30 ν Coeficiente de Poisson Se pide a Determinar las deformaciones principales y las direcciones principales de las deformaciones b Determinar las tensiones principales y las direcciones principales de las tensiones c Que conclusión se puede sacar de las direcciones principales de las tensiones y de las deformaciones Nota Considerar el caso de deformación plana Figura 719 Roseta Solución Primero tenemos que obtener las componentes del tensor de deformación en el sistema x y z Para ello utilizaremos la ley de transformación de coordenadas para obtener la componente γ xy 2ε12 Recordando que en el caso bidimensional la componente normal puede obtenerse como sin2 cos2 2 2 12 22 11 22 11 11 θ θ ε ε ε ε ε ε cuya expresión fue obtenido a través de una transformación de coordenadas La expresión anterior en notación ingenieril 2 sin2 cos2 2 2 θ γ θ ε ε ε ε ε xy y x y x x Despejando γ xy obtenemos 10 3 0 16 cos2 2 2 sin2 2 θ ε ε ε ε ε θ γ y x y x x xy Luego 3 10 0 0 0 0 0 05 0 08 0 0 08 33 0 εij Las tensiones y x x º 45 º 45 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 499 Pa E Pa E Pa E Pa E y x z xy xy x y y y x x 4 684 2 1 1 1 7846 1 2 3 5692 2 2 1 1 1 120462 2 2 1 1 1 ε ε ν ν ν σ ν γ τ νε ν ε ν ν σ νε ν ε ν ν σ Tensión de corte máxima Pa xy y x 4 5988 2 2 2 max τ σ σ τ a La ecuación característica 2D para el tensor de deformación es 10 0 10 2 29 0 28 3 2 2 λ λ Los autovalores las deformaciones principales vienen dados por 3 2 3 1 10 0 06615528 10 0 346155 ε ε Los autovectores del tensor de deformación ε ε ε 1 0 0 0 0 9802 0 1979 0 0 1979 9802 0 3 2 1 b Dadas las componentes del tensor de tensión Pa ij σ 4 684 0 0 0 3 5692 1 7846 0 1 7846 120462 A través del determinante característico podemos obtener los autovalores tensiones principales 208843 3 40654 12 2 1 σ σ Los autovectores del tensor de tensiones son σ σ σ 1 0 0 0 0 9802 0 1979 0 0 1979 9802 0 3 2 1 Comparando los autovectores del tensor de tensiones y de deformaciones concluimos que son los mismos 7123 Sólidos de Revolución En los sólidos de revolución podemos usar el sistema de coordenadas polares para expresar las deformaciones r u r ε z w z ε r w z u rz γ 7173 donde rε es la deformación radial z ε es la deformación axial y rz γ es la deformación tangencial Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 500 Definimos la deformación circunferencial θ ε como P P P P r u r r u r π π π εθ 2 2 2 7174 Reagrupando así las componentes del tensor de deformación tenemos γ ε ε ε θ r w z u z w r u r u rz z r 7175 La ley de Hooke generalizada para un sólido de revolución viene dada por γ ε ε ε ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν τ σ σ σ θ θ rz z r rz z r E 2 2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 1 1 7176 Figura 720 Deformación tangencial Ejemplo 76 Considérese una sección de una presa que presenta el campo de desplazamiento dado por 5 2 4 2 2 4 2 2 2 2 xy x y x y v xy y x u x y θ σ z σ rz τ r σ u x v y Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 501 El material que constituye dicha estructura presenta las siguientes propiedades elásticas MPa E 100 MPa G 35 7 40 ν y está sometido a un nivel de carga tal que se puede considerar que está en el régimen de pequeñas deformaciones Se pide a Obtener el campo de tensión b Demostrar que si se cumplen las ecuaciones de equilibrio para el campo de desplazamiento dado Solución a Cálculo de las componentes del tensor de deformación 0 2 8 2 8 γ ε ε x v y u x y y v y x x u xy y x Luego las componentes del tensor de deformación quedan ε 0 0 0 0 2 8 0 0 0 2 8 x y y x ij b Para una presa como ya hemos visto podemos analizarla según la aproximación del estado de deformación plana x MPa y y x E xy y x xy y x γ ε ε ν ν ν ν ν ν ν τ σ σ 0 2 8 2 8 30 0 0 0 60 40 0 40 60 1428 357 2 1 0 0 0 1 0 1 2 1 1 y MPa x y x xy y x τ σ σ 0 4 2 2 4 3571428 2 8 2 8 3571428 2 1 1 x y y x E y x z ε ε ν ν ν σ Las ecuaciones de equilibro quedan σ σ τ τ τ σ τ τ τ σ 0 0 0 0 0 No cumple 0 0 4 0 0 No cumple 0 0 0 4 0 0 0 z z y x z y x z y x z z z yz xz y yz y xy x xz xy x b b b ρ ρ ρ Lo que indica que el campo de desplazamientos dado no cumple las ecuaciones de equilibrio Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 502 713 Aplicaciones de la Elasticidad Lineal a Elementos Estructurales Algunos elementos estructurales por presentar ciertas características de geometría y de cargas pueden asumir ciertas simplificaciones en las ecuaciones que gobiernan el problema sin acarrear un error significativo en el resultado En este apartado serán esbozados algunos de estos elementos estructurales Dichos elementos estructurales están formados por material homogéneo elástico lineal e isótropo 7131 Elementos Estructurales Unidimensionales Los elementos estructurales que presentan una de las dimensiones mucho más grande que las otras dos dimensiones presentan ciertas características que pueden simplificar enormemente el problema Es decir un problema que por naturaleza es tridimensional se puede tratar como un problema unidimensional Dentro de esta clase de problema podemos citar vigas celosías arcos entre otros Como las dimensiones son más pequeñas que la tercera dimensión y además estando en el régimen de pequeñas deformaciones nos garantiza que la sección de la barra cuando se deforme permanezca plana y como resultado la variación de la deformación en la sección es lineal y consecuentemente la tensión ya que la tensión varía linealmente con la deformación Figura 721 Figura 721 Vigas Diagrama de deformación Diagrama de tensión σx z εx z x y z a viga b sección de la viga eje neutro y z Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 503 Si hacemos un corte en una sección según la orientación del plano Π el estado tensional de un punto situado en esta sección será el indicado en la Figura 722 Figura 722 Tensiones en un sección de viga La integración de las tensiones sobre el área nos proporciona los esfuerzos N Normal M Momento flector Q Cortante T M Momento torsor A continuación esbozaremos cómo obtener estos esfuerzos 71311 Esfuerzo Normal y Momento Flector Como la sección permanece plana tras la deformación la distribución de tensión en la sección varía según ecuación de un plano Figura 723 Podemos descomponer la tensión normal x σ como se indica en la Figura 723 Solamente debido a la tensión normal podemos obtener el esfuerzo normal N y los momentos flectores y M y z M Π x y z x σ xz τ xy τ A área de la sección Π Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 504 Figura 723 Esfuerzo normal y momento flector Considerando Figura 724 también podemos decir que el momento flector y M puede ser expresado como y S A S A S A x y c I z dA c zdA c z zdA M σ σ σ σ 2 7177 donde yI es el momento de inercia respecto al eje y Teniendo en cuenta que z c x S σ σ obtenemos que z I M z y y x σ 7178 Análogamente podemos obtener que y I M y z z x σ 7179 444444444444444444 3 444444444444444444 2 1 x y z σx y z x y z N σ A x dA N 1 x y z z M σ A x z dA y M 3 x y z σ A x y dA z M 2 y M σx 1 2 σx 3 σx 444 3 444 2 1 0 2 σ A x dA 444 3 444 2 1 0 3 σ A x dA Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 505 Figura 724 Distribución de tensión en una sección de viga 71312 Esfuerzo Cortante y Momento Torsor Debido a las tensiones tangenciales puede surgir esfuerzo cortante y Qz Q Figura 725 y momento torsor T M Figura 726 τ τ A yz xz T z dA y M 7180 Figura 725 Tensiones tangenciales Esfuerzo cortante El alabeo de la sección es un fenómeno que surge debido al aumento de las tensiones tangenciales en un punto y disminución en otro ver Figura 727a En secciones circulares no hay alabeo ya que la distribución de la tensión tangencial en la sección varía como se muestra en la Figura 727b Figura 726 Tensiones tangenciales Momento torsor x y z x y z z Q τ A xzdA τ A xydA y Q τxz y z τxy y z x σ eje neutro S σ h c z y z xy τ xz τ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 506 Figura 727 Distribución de tensiones tangenciales 71313 Energía de Deformación La energía de deformación asociada a la tensión normal 1 1 x x Eε σ Figura 723 puede ser expresada en función del esfuerzo normal σ σ ε L A L V x V x x EA dx N dAdx EA N dV E dV U 0 2 0 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 7181 Análogamente podemos obtener la energía de deformación asociada a la tensión normal 2 2 x x Eε σ ε σ L y y A L y y A y y y y L V x x dx EI M z dAdx EI M zdAdx EI z M I M dV U 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 7182 Análogamente si consideramos 3 σx obtenemos L z z dx EI M U 0 2 2 1 7183 Siguiendo el mismo procedimiento podemos obtener que la energía de deformación de una barra en función de los esfuerzos viene dada por ς ς L T T z y z z y y dx EJ M GA Q GA Q EI M EI M EA N U 0 2 2 2 2 2 2 2 1 7184 donde ς es el factor de forma de la sección T J es el momento de inercia a torsión b Sección circular a Sección rectangular r τ y z τmax τr Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 507 7132 Placas a Flexión Definimos las placas como sólidos limitados por dos superficies generalmente planas La distancia entre estas dos superficies se denomina espesor t que será considerado constante y esta dimensión es pequeña cuando es comparada con las otras dos dimensiones ver Figura 728 Figura 728 Elemento estructural de placa Varias hipótesis han sido establecidas para la teoría de placas Teoría de Reissner Reissner Mindlin y la Teoría de Kirchhoff Esta última es válida sólo para placas delgadas 71321 Hipótesis y Relaciones Básicas de la Teoría de Kirchhoff Las hipótesis básicas de la teoría de Kirchhoff son las siguientes 1 El material que constituye la placa es homogéneo elástico lineal e isótropo y obedece la ley de Hooke 2 Los desplazamientos transversales son pequeños comparados con el espesor de la placa 3 No hay deformación en el plano medio de la placa 4 Dada una sección plana y perpendicular a la superficie media tras la deformación esta sección permanece plana y perpendicular a la superficie media de la placa Partiendo de estas hipótesis podemos determinar las ecuaciones fundamentales de la Teoría de Kirchhoff para placas delgadas sometidas a flexión 71322 Campo de Desplazamientos Los desplazamientos 1 u 2 u 3 u en cualquier punto de la placa se expresan en función de la deflexión de la placa w y de las rotaciones de la superficie media 1x θ θx2 Dicha superficie media coincide con el plano 2 1 x x ver Figura 729 1x 3x 2x t superficie media g Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 508 Figura 729 Desplazamientos y rotaciones positivas de un punto de la placa De las hipótesis básicas presentadas anteriormente con respecto a las componentes de deformación 3 iε se puede decir que 321 0 3 ε i i 7185 Considerando 33 ε dado por 72 y la hipótesis anterior 0 3 3 33 ε x u 7186 Integrando la relación anterior obtenemos que la componente del desplazamiento 3 u es sólo función de 1x y 2x es decir no varía con 3x 2 1 3 u f x x 7187 Considerando la segunda y la cuarta hipótesis básicas vistas anteriormente se puede concluir que dado un punto p que dista de 3x de la superficie media tras la deformación Figura 730 se desplaza según dirección 1x de 1 3 1 3 1 x w x w x u 7188 Análogamente en la dirección 2x 2 3 2 3 2 x w x w x u 7189 Pudiendo resumir que 21 3 3 i x w x w x i i iu 7190 1 u t 2 t 2 2x 3x 3 u 2 u g 1x θ θx2 w 1x Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 509 Figura 730 Placa antes y después de la deformación 71323 Campo de Deformación Diferenciando la ecuación 7190 resulta 21 3 i j x w ij iu j 7191 Sustituyendo la ecuación 7191 en la ecuación que relaciona desplazamientodeformación dada por 71 hallamos que 21 2 1 3 ε i j x w ij j i i j ij u u 7192 71324 Campo de Tensión Las componentes de tensión 11 σ σ22 y 12 σ son obtenidas directamente de la relación constitutiva 789 Ya las componentes σ33 13 σ y σ23 no pueden ser obtenidas a partir de la ecuaciones constitutivas 789 ya que éstas están relacionadas con las componentes de la deformación 33 ε 13 ε y 23 ε cuyas componentes fueron despreciadas como resultado de las hipótesis básicas No obstante las componentes de la tensión σ33 13 σ y σ23 pueden ser obtenidas utilizando las ecuaciones de equilibrio A través de la integración de estas ecuaciones podemos obtener 21 2 1 2 3 2 3 3 σ i t x t qi i 7193 σ 3 3 3 33 2 3 1 2 3 2 4 3 t x t x q k k 7194 donde iq son los esfuerzos cortantes 1x t 1x w Tras la deformación 1 3 1 u x w w Antes de la deformación 3x A m n 3x p A m n p Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 512 y los momentos Notación Ingenieril 21 0 i j q m i i ji j 0 0 y y xy x xy x Q y M x M Q y M x M 7203 Figura 733 Esfuerzos en un elemento diferencial de placa Derivando la ecuación 7199 se obtiene ijj ijj ijj kki ijj kkj ij j ij w w D w w D i j k w w D m 1 1 21 1 ν ν ν ν ν ν δ 7204 Resultando ijj ij j D w m 7205 Sustituyendo ecuación 7205 en la ecuación 7203 resulta 21 i j D w q jji i 7206 Derivando la ecuación anterior y reemplazando en la ecuación 7202 obtenemos la ecuación diferencial de placas en notación indicial 21 i j D g w iijj D g x w x x w x w 4 2 4 2 2 2 1 4 4 1 4 2 D g 4 w 7207 1x 3x 2x 21 m 22 m 2 q 1 11 1 m m dx 1 12 1 12 dx m m 2 212 21 dx m m 2 2 2 2 dx m m g 1 11 1 q q dx 2 2 2 2 dx q q 11 m 1q 12 m 2 dx 1 dx Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 513 También podemos expresar la ecuación diferencial de placas en función de momentos 0 g m ij ij 7208 71327 Esfuerzo Cortante Equivalente Para la solución de la ecuación diferencial de placas es necesario que sean satisfechas dos condiciones de contorno del problema En los problemas usuales estas condiciones se refieren a los desplazamientos transversales del plano medio a sus rotaciones a fuerzas momentos flectores y a los momentos torsores en la esquina de la placa Como la ecuación diferencial de la placa es de cuarto orden deben ser satisfechas dos condiciones a lo largo del borde involucrando sólo cuatro variables del problema KIRCHHOFF 1850 utilizando la expresión de la energía demostró que las condiciones de contorno relativas a fuerzas cortantes 21 qi i y al momento de torsión 21 i j mij deben ser agrupadas en una única condición relativa al esfuerzo 21 Vi i denominada fuerza cortante equivalente o fuerza de Kirchhoff De acuerdo con el principio de St Venant esta sustitución afecta la distribución de tensiones sólo en la vecindad del contorno Estáticamente el momento de torsión 21 i j mij de la Figura 732b puede ser representado por un binario de fuerzas horizontales o verticales Figura 734a Consideremos dos elementos sucesivos de longitud 2 dx en la borde x a como muestra en la Figura 734b Conforme se ilustra en la Figura 734c en un elemento el momento envolvente m12dx2 es sustituido por un binario estáticamente equivalente con fuerzas iguales a 12 m separados por 2 dx y en el elemento adyacente el binario es formado por fuerzas de valores 2 122 12 dx m m La suma de estas fuerzas resulta en m122 y adicionando a esta el esfuerzo 1 q se obtiene la fuerza cortante equivalente Luego se puede escribir que 1 211 2 2 2 122 1 1 dx m q V dx m q V 7209 Un fenómeno interesante ocurre en los cantos de la placa donde concentraciones de fuerzas son generadas debido al momento envolvente adyacente al canto Figura 735 Esto significa que cuando una placa está simplemente apoyada las fuerzas de reacción incluye no sólo las fuerzas cortantes equivalentes a lo largo del borde pero también la reacción de canto c R Si no hay soporte en el canto éste tiende a levantar o a bajar dependiendo del signo de 12 m Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 514 Figura 734 Condiciones en la esquina Figura 735 Reacción de canto 71328 Condición de Contorno En este apartado abordaremos las distintas condiciones de restricciones del contorno de la placa siendo las más usuales 1 Borde empotrada 1x a b 1x 2x 2 122 12 dx m m 12 m 1 21 1 21 dx m m 21 m c 2 dx 2 dx 2x 2 2 122 12 dx dx m m m12dx2 a b 2 dx 1 dx 1x 3x 2x m12dx2 m21dx1 21 m 12 m Rc 2m12 a b c Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 515 El borde tiene los desplazamientos nulos 0 2 1 θ θ x x w 7210 2 Borde simplemente apoyada Se admiten dos posibilidades 21 Condición fuerte Los desplazamientos transversales y las rotaciones en la dirección del borde son nulos θ 0 s w 7211 donde s es la dirección del borde apoyado 22 Condición débil Son restrictos sólo a los desplazamientos transversales w 0 7212 3 Borde libre 0 0 i i V M 7213 Figura 736 Placa con condición de contorno 71329 Esfuerzos según un Sistema Genérico de Coordenadas Los momentos de flexión y envolvente y las fuerzas cortantes pueden ser escritos también con relación a otro sistema cualquiera de coordenadas s n ortogonales como se indica la Figura 737 La ley de transformación entre los sistemas x1 x2 y s n puede ser escrita en la forma matricial como p p T p p inversa p p p p x x x x s n s n A A 2 1 2 1 7214 donde la matriz de transformación A viene dada por los cosenos directores α α α α cos sin sin cos 2 1 2 1 s s n n A 7215 Borde Libre Borde Empotrada Borde Apoyada Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 516 Figura 737 Sistema de coordenadas x1 x2 y s n Figura 738 Tensiones y esfuerzos en el elemento abc Consideremos un elemento de placa abc de la Figura 738a cuyo plano es paralelo al plano medio y dista este de 3x Haciendo el equilibrio del elemento mostrado en la Figura 1x 2x n s P p n p s p x1 p x2 α 1x 2x 12 m 11 m 21 m 22 m ns m n m n s 1q 2 q n q n s ds dsn2 dsn1 c n σ ns σ g c a b 3x 1x 2x 22 σ 12 σ 11 σ 12 σ n s α nx2ds nx1ds ds a b 1x 2 x 3x d Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 517 738b y utilizando convenientemente las expresiones 7214 se obtienen las tensiones normales y tangenciales en el sistema s n a partir de las tensiones conocidas en el sistema x1 x2 Luego 21 σ σ σ σ σ σ j i j i ij s j i ij ns j i ij n s s s n n n 7216 Los momentos actuantes en la cara ac del elemento n M s M y M ns Figura 738c son obtenidos por σ 2 2 3 3 t t n n dx x M σ 2 2 3 3 t t s s dx x M σ 2 2 3 3 t t ns ns dx x M 7217 Utilizando las ecuaciones 7216 y considerando las ecuaciones 7197 se obtiene que j i ij ns j i ij s j i ij n m M m M m M s n s s n n 7218 De la misma forma que las tensiones la fuerza cortante actuante en la cara ac puede ser relacionada con la fuerza cortante relativa a los ejes 1x y 2x a través del equilibrio de las fuerzas verticales Figura 738d resultando en i i n q q n 7219 y con eso la fuerza cortante equivalente de este sistema queda s ns n n M q V 7220 Figura 739 Momento envolvente en el borde a b c d Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 518 713210 Ecuaciones de Placas en Coordenadas Polares En la solución de ciertos problemas es conveniente que la ecuación diferencial así como las otras relaciones estén referidas a un sistema de coordenadas polares Es el caso de la solución fundamental para el problema de placas Para eso se consideran los sistemas de coordenadas cartesianos y polares definidos sobre el plano Figura 740 Las coordenadas 2 1 x p x p de un punto P pueden ser definidas en función de rr y θ Figura 740 Sistema de coordenadas cartesianas y polares De la Figura 740 podemos sacar las siguientes relaciones θ cos 1 1 r r x θ sin 2 2 r r x riri x x r 2 2 2 1 2 θ θ 1 2 1 2 x x x x arctan tan 7221 Derivando r dado por 7221 con relación a 1x y a 2x se obtiene respectivamente θ cos 1 1 r r r θ sin 2 2 r r r 7222 Derivando θ dado por 7221 con respecto a 1x y a 2x se obtiene que r r r r x θ θ sin 2 2 2 2 1 r r r r x θ θ cos 2 1 2 1 2 7223 Considerando la función de los desplazamientos transversales w como una función de r y de θ la derivada de w r θ con respecto a ix viene dada por 21 θ θ i w r r w w i i i 7224 A partir de 7224 se puede definir el operador diferencial de primer orden como θ θ i i i r r x 7225 Con eso la segunda derivada se puede expresar como 1x 2x tˆ p x1 p x2 rr θ p Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 519 21 θ θ θ θ i j w r r w r r w j j i i ij 7226 Desarrollando las derivadas se obtiene que j i i j i j j i ij r r r w r r w r r r w w 2 2 2 θ θ θ θ θ j i i j i j w r r w 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ 7227 donde sin 1 θ θ r cos 2 θ θ r 2 1 sin r r θ θ 2 2 cos r r θ θ Sumando las expresiones 7227 para i j 1 y i j 2 y haciendo las debidas simplificaciones se obtiene que w r r r r w x x w θ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 7228 Por lo tanto la ecuación diferencial de placas en coordenadas polares viene dada por D g w r r w r r w r r r r w θ θ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 7229 Sustituyendo la ecuación 7226 en la ecuación 7199 y en la ecuación 7206 obtenemos los momentos flectores y fuerzas cortantes en coordenadas polares ν ν ν ν j i ij j i ij ij dr dw r r r dr D d w m t t 1 1 1 2 2 δ δ 7230 θ θ w w r D r w D x q i i i i 2 2 2 7231 donde it son los cosenos directores del versor tˆ indicado en la Figura 740 dados por sin 2 1 θ t r cos 1 2 θ t r 7232 Para todo problema que presenta simetría con relación al origen del sistema de coordenadas polares como ocurre en el problema fundamental de placas puede ser demostrado que el desplazamiento w no es función de θ El desplazamiento w es función solamente de r y la ecuación diferencial de placas en coordenadas polares 7229 se reduce a D g dr dw r dr d w dr d r dr d w 1 1 2 2 2 2 22 7233 o aún D g dr dw r dr d w r dr d w r dr d w 3 2 2 2 3 3 4 4 1 1 2 7234 Utilizando el operador dr d r dr d 1 2 2 2 se obtiene Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 520 dr d r dr d r dr d dr d r dr d dr d 2 2 2 3 3 2 2 1 1 1 7235 Posibilitándonos obtener 21 1 1 2 2 2 3 3 i k dr dw r dr d w r dr d w r w i kki 7236 Luego el esfuerzo cortante viene dado por 21 1 1 2 2 2 3 3 i dr dw r dr d w r dr d w Dr q i i 7237 Obtenidas las expresiones de los momentos y de la fuerza cortante en coordenadas polares es interesante expresar estos valores en función de las coordenadas s n ˆ ˆ n M Mns y n V como definían el subapartado precedente Figura 741 Versores s n ˆ ˆ en el punto P del contorno de la placa Sustituyendo la ecuación 7230 en la ecuación 7218 y la ecuación 7237 en la ecuación 7219 obtenemos las siguientes ecuaciones ν ν ν ν 2 2 2 2 1 1 1 i i i i n r dr dw r r dr D d w M s n 7238 ν dr dw r dr d w r r D M j j i i ns 1 1 2 2 s n 7239 dr dw r dr d w r dr d w D r q i i n 2 2 2 3 3 1 1 n 7240 Aún considerando cos β i r i n y β β sin cos 2 π j r j s La ecuación 7239 queda R rr nˆ θ sˆ tˆ nˆ rr α β Contorno de la Placa 1x 2x P Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 521 ν dr dw r dr d w D M ns 1 sin cos 1 2 2 β β 7241 Derivando la ecuación 7239 que es función de rr y β con respecto a coordenadas sˆ del contorno se obtiene que s s s β β ns ns ns M r r M M 7242 Las derivadas con respecto a sˆ pueden ser escritas como sin β i r i s r s r R s β β 1 cos 7243 donde R es el radio de curvatura del contorno en el punto P mostrado en la Figura 741 De la ecuación 7241 obtenemos las derivadas de Mns con relación a rr y β cuyas expresiones sustituidas en la ecuación 7242 conjuntamente con las ecuaciones 7243 generan las siguientes ecuaciones ν dr dw r dr d w r dr d w D M ns 2 2 2 3 3 2 1 1 cos sin 1 β β s ν dr dw r dr d w R D dr dw r dr d w r 1 2sin 1 1 1 1 sin 4 2 2 2 2 2 2 β β 7244 Una vez conocidas las expresiones de n q y de s M ns dadas en 7240 y 7244 respectivamente se obtiene la fuerza cortante equivalente n V en coordenadas polares ν ν dr dw r dr d w r dr d w r r D V j j i i n 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 1 s n ν dr dw r dr d w r r D dr dw r dr d w r r i i j j 1 2 1 1 1 4 1 2 2 2 2 2 2 s s 7245 Además de los esfuerzos de contorno es interesante obtener la expresión de n w en coordenadas polares Recordemos que para casos que presentan simetría w es función solamente de rr y su derivada direccional viene dada por n n r dr dw w r R 1 cos β β s 7246 Considerando también ir i n r n la ecuación anterior resulta dr dw r n w ni i 7247 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición 7 ELASTICIDAD LINEAL 523 Consideremos un punto 1P situado en la sección fija 1 S cuyo vector posición es rr como se indica en la Figura 742 Si consideramos otra sección 2 S libre de girar y alabear que dista de z de la sección 1 S y proyectamos el punto 1P en la sección 2 S obtendremos el punto 2 P Tras la aplicación del momento de torsión la sección 2 S podrá girar y alabearse libremente luego el punto originalmente representado por 2 P pasa a ocupar el lugar de 2 P como indicado en la Figura 743 Figura 743 desplazamiento en la sección del cuerpo prismático Geométricamente Figura 743 podemos obtener que los desplazamientos vienen dados por θ θ θ θ z x z r z x z r cos sin 1 2 2 1 α α u u 7248 con cosα 1 x r sin α 2 x r Siendo 1 u el desplazamiento según dirección 1x y 2 u el desplazamiento según dirección 2x El desplazamiento del punto 2 P según dirección 3x puede ser cualquiera luego podemos decir que 2 1 3 1 2 2 1 x f x z x z x θ θ u u u 7249 Los desplazamientos 3 u son denominados desplazamientos por alabeo siendo independientes de z Las relaciones desplazamientodeformación dadas por las expresiones 72 quedan 0 1 1 11 ε x u 0 2 2 22 ε x u 0 3 3 33 ε x u 0 2 1 2 1 1 2 2 1 12 θ θ ε z z x x u u θ ε 2 3 1 2 3 3 2 23 2 1 2 1 x u x x x u u θ ε 1 3 2 1 3 3 1 13 2 1 2 1 x u x x x u u 7250 Reemplazando las deformaciones en las ecuaciones constitutivas dadas por 7251 ij ij ij kk ij E E E ν ε ν ε ν ε ν ν σ 1 1 2 1 1 δ 7251 α 1x 2x 2P 2P 2 u 1 u r z θ z rθ Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 524 ya que ε kk 0 resultando las siguientes componentes 0 1 11 11 ν ε σ E 0 1 22 22 ν ε σ E 0 1 33 33 ν ε σ E 0 1 12 12 ν ε σ E θ θ ν ν ε σ 2 3 1 2 3 1 23 23 1 2 1 x u x G x u x E E θ θ ν ν ε σ 1 3 2 1 3 2 13 13 1 2 1 x u x G x u x E E 7252 Utilizando las ecuaciones de equilibrio sin considerar las fuerzas másicas resulta σ σ σ σ 0 0 0 2 23 1 13 3 13 3 23 x x x x 7253 y reemplazando las componentes de tensión σ13σ23 en la última ecuación de equilibrio podemos obtener 0 2 3 1 2 1 3 2 1 θ θ x x G x x x G x u u 7254 0 2 2 3 2 2 1 2 3 x x G u u 7255 0 2 3 u 7256 que es la Ecuación Diferencial de Torsión Ecuación de Laplace Observar que esta ecuación es la ecuación de Helmholtz para el caso particular de un material homogéneo Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición ALEXANDER H 1968 A constitutive relation for rubberlike material Int J Eng Sci Vol 6 pp 549563 ANTMAN SS 1995 Nonlinear Problems of Elasticity SpringerVerlag New York ARRUDA EM BOYCE MC 1993 A threedimensional constitutive model for the large stretch behavior of rubber elastic materials J Mech Phys Solids Vol 41 Nº 2 pp 389 412 ASARO RJ LUBARDA VA 2006 Mechanics of solids and materials Cambridge University Press New York USA BAşAR Y WEICHERT 2000 Nonlinear continuum mechanics of solids fundamental concepts and perspectives Springer Verlag Berlin BATRA R C 2006 Elements of Continuum Mechanics John Wiley Sons Ltd United Kingdom BAŽANT ZP KIM SS 1979 PlasticFracturing Theory for Concrete J Engng mech Div ASCE 105 407 BAŽANT ZP PLANAS J 1997 Fracture and size effect in concrete and other quasibrittle materials CRC Press LLC USA BIGONI D 2000 Bifurcation and instability of nonassociative elastoplastic solids CISM Lecture Notes Material Instabilities in elastic an plastic Solids H Petryk IPPT Warsaw Coordinator BIOT MA 1954 Theory of stressstrain relations in anisotropic viscoelasticity and relaxation phenomena Jour Appl Phys pp 13851391 BIOT MA 1955 Variational principles in irreversible thermodynamics with application to viscoelasticity The Physical Reviwe 97 pp 14631469 BIOT MA 1956 Thermoelasticity and irreversible thermodynamics Jour Appl Phys pp 240253 BLATZ PJ KO WL 1962 Application of finite elasticity theory to the deformation of rubbery material Transactions of the Society of Rheology Vol VI pp 223251 BONET J WOOD RD 1997 Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis Cambridge University Press USA BUECHE F 1960 Molecular basis for the Mullins effect J Appl Poly Sci 410 107114 Bibliografia Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 526 BUECHE F 1961 Mullins effect and rubberfiller interaction J Appl Poly Sci 515 271 281 CAROL I WILLAM K 1997 Application of analytical solutions in elastoplasticity to locaization analysis of damage models In Owen DRJ Oñate E and Hinton E Eds Computational Plasticity COMPLAS V pp 714719 Barcelona Pineridge Press CAROL I RIZZI E WILLAM K 1998 On the formulation of isotropic and anisotropic damage Computational Modelling of Concrete Structures de borst Bićanić Mang Meschke eds Balkema Rotterdam ISBN 9054109467 pp 183192 CERVERA RUIZ M BLANCO DÍAZ E 2001 Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de materiales Edicions UPC Barcelona Eapaña CHABOCHE JL 1979 Le concept de contrainte effective appliqué à lélasticité et à la viscoplasticité en presence dun endommagement anitrope Colloque EUROMECH 115 Grenoble Edition du CNRS CHADWICK P 1976 Continuum mechanics concise theory and problems George Allen Unwin LtdGreat Britain CHANDRASEKHARAIAH DS DEBNATH L 1994 Continuum mechanics Academic Press San Diego CA USA CHAVES EWV2003 A three dimensional setting for strong discontinuities modelling in failure mechanics PhD Thesis Universitat Politecnica de Catalunya CHAVES EWV2009 Mecánica del Medio Continuo Modelos Constitutivos CIMNE Centro Internacional de Métodos Numéricos en la IngenieríaBarcelona ISBN 97884 96736689 CHEN A CHEN WF1975 Constitutive relations for concrete J Eng MechASCE 101465481 CHEN WF HAN DJ1988 Plasticity for Structural Engineers SpringerVerlag New Yor Inc CHEN WF 1982 Plasticity in reinforced concrete McGrawHill Inc USA CHUNG TJ KIM JY 1984 Twodimensional combinedmode heat transfer by conduction convective and radiation in emitting Absorbing and scattering media ASME Trans J Heat Transfer 106 pp448452 CHUNG TJ 1996 Applied continuum mechanics Cambridge University Press COLEMAN BD GURTIN ME 1967 Thermodynamics with internal sate variables J Chem Phys 47 pp 597613 COLEMAN BD 1964 Thermodynamics of materials with memory Arch Rat Mech Anal 17 pp 146 CRISFIELD MA 1997 NonLinear Finite Element Analysis of Solids and Structures volume 12 John Wiley and Sons New York USA CRISTENSEN R M 1982 Theory of Viscoelasticity second edition Dover Publications Inc New York USA DESAI CS SIRIWARDANE HJ 1984 Constitutive laws for engineering materials with emphasis on geological materials PrenticeHall IncUSA DÍAZ DEL VALLE J 1984 Mecánica de los Medios Continuos I Servicio de publicaciones ETS de Ingenieros de Caminos C y P Santander Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición BIBLIOGRAFÍA 527 DOBLARÉ M ALARCÓN M 1983 Elementos de Plasticidad Sevicio de publicaciones de la ETSI Industriales Madrid DRAGON A MRÓZ Z 1979 A Continuum Model for PlasticBrittle Behavior of Rock and Concrete Int J Engng Sci 17 121 DRUCKER DC 1950 Stressstrain relations in the plastic range A survey of the theory and experiment Report to the Office of Naval Research under contact N7onr358 Division of Applied Mathematics Brown University Providence RI FARIA R OLIVER X 1993 A rate dependent plasticdamage constitutive model for large scale computations in concrete structures Monograph CIMNE Nº17 International Center for Numerical Methods in Engineering Barcelona Spain FELIPPACA 2002 Introduction to Finite Element Methods Course Notes see World Wide Web FINDLEY WN LAI JS ONARAN K1989 Creep and relaxation of nonlinear viscoelastic materials with an introduction to linear viscoelasticity Dover Publications Inc NY FUNG YC 1965 Foundations of solids mechanics Prentice Hall Inc New Jersey FUNG YC 1977 A first course in continuum mechanics Prentice Hall Inc New Jersey GENT AN 1996 A new constitutive relation for rubber Rubber Chem Technol Vol 69 pp 5961 GREEN AE NAGHDI PM 1965 A general theory of an elastoplastic continuum Arch Rat Mech Anal 18 GREEN AE NAGHDI PM 1971 Some remarks on elasticplastic deformation at finite strain Int J Engng Sci Vol 9 pp 12191229 GURTIN M E 1996 An introduction to continuum mechanics NY Academic Press Inc GURTIN ME FRANCIS EC 1981 Simple rateindependent model for damage J Spacecraft 183 pages 285286 HAUPT P 2002 Continuum mechanics and theory of materials SpringerVerlag Gemany HILL R 1950 The mathematical theory of plasticity Oxford University Press HILL R 1959 Some Basic Principles in the Mechanics of Solids without a natural Time J Mech Phys Solids 7 209 HOLZAPFEL GA 2000 Nonlinear solid mechanics John Wiley Sons Ltd England IORDACHE MM 1996 Failure Analysis of Classical and Micropolar Elastoplastic Materials PhD Dissertation University of Colorado at Bolder JIRÁSEK M 1998 Finite elements with embedded cracks LSC Internal Report 9801 April JU JW 1989 Energybased coupled elastoplastic damage models at finite strains Journal of Engineering Mechanics Vol115 No 11 pp25072525 KACHANOV L M 1986 Introduction to Continuum Damage Mechanics Nijhoff Dordrecht The Netherlands KOITER WT 1953 Stressstrain relations uniqueness and variational theorems for elasticplastic material with singular yield surface Q Appl Math 11 35054 LAI WM RUBIN D KREMPL E1978 Introduction to Continuum Mechanics Pergamon Press Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 528 LANCZOS C 1970 The variational principles of mechanics Dover Publications Inc New York LEE EH 1969 ElasticPlastic deformation at finite strains Journal of Applied Mechanics Vol 36 pp 16 LEE EH 1981 Some comments on elasticplastic analysis Int J Solids Structures Vol 17 pp 859872 LEMAITRE J CHABOCHE JL 1990 Mechanics of Solids materials Cambridge University Press Cambridge LINDER C 2003 An arbritary lagrangianEulerian finite element formulation for dynamics and finite strain plasticity models Masters Thesis University Stuttgart LOVE AEH 1944 A treatise on the Mathematical Theory of Elasticity Cambridge University Press London LU SCH PISTER KS 1975 Descomposition of deformation and representation of the free energy function for isotropic solids Int J of Solids and Structures 11 pages 927 934 LUBARDA VA BENSON DJ 2001 On the partitioning of the rate of deformation gradient in phenomenological plasticity Int J of Solids and Structures 38 pages 6805 6814 LUBARDA VA KRAJCINOVIC D 1995 Some fundamental issues in rate theory of damageelastoplasticity Int J of Plasticity Vol 11 Nº 7 pp 763797 LUBARDA VA 2004 Constitutive theories based on the multiplicative decomposition of deformation gradient Thermoelasticity elastoplasticity and biomechanics Appl Mech Rev Vol 57 no 2 March LUBLINER J 1990 Plasticity Theory Macmillan Publishing Company New York MALVERN LE 1969 Introduction to the mechanics of a continuous medium PrenticeHall Inc Englewood Cliffs New Jersey MARSDEN J E HUGHES T JR 1983 Mathematical foundations of elasticity Dover Publications Inc New York MASE GE 1977 Mecánica del Medio Continuo McGrawHill USA MAZARS J LEMAITRE J 1984 Application of continuous damage mechanics to strain and fracture behavior of concrete Advances of Fracture Mechanics to Cementitious Composites NATO Advanced Research Workshop 47 September 1984 Northwestern University Edited by SP Shah pp 375388 MAZARS J 1982 Mechanical damage and fracture of concrete structures Advances in Fracture Research Fracture 81 Vol 4 pp 14991506 Pergamon Press Oxford MENDELSON A 1968 Plasticity Theory and application New York Robert E Krieger Publishing Company MOONEY M 1940 A theory of large elastic deformation Journal of Applied Physics Vol 11 pp 58292 MORMAN KN 1986 The generalized strain measure with application to nonhomegeneous deformation in rubberlike solids J Appl Mech Vol 53 pp 726 728 MORZ Z 1967 On the description of anisotropic work hardening J Mech Phys Solids 15 163 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición BIBLIOGRAFÍA 529 MULLINS L 1969 Softening of rubber by deformation Rubber Chemistry and Tecnology 42 339351 NAGHDI PM 1960 Stressstrain relations in plasticity and thermoplasticity in EH Lee P Symonds eds Plasticity Pergamon Oxford pp 12169 NEMATNASSER S 1982 On finite deformation elastoplasticity Int J Solids Structures Vol 18 pp 857872 NOWACKI W 1967 Problems of thermoelasticity Progress in Thermoelasticity VIIIth European Mechanics Colloquium Warszawa OGDEN RW 1984 Nonlinear elastic deformations Dover Publications Inc New York OLIVER J AGELET DE SARACÍBAR C 2000 Mecánica de medios continuos para ingenieros Ediciones UPC Barcelona España OLIVER J 2000 On the discrete constitutive models induced by strong discontinuity kinematics and continuum constitutive equations Int J Solids Struct 3772077229 OLIVER J 2002 Topics on Failure Mechanics Monograph CIMNE Nº 68 International Center for Numerical Methods in Engineering Barcelona Spain OLIVER JO CERVERA M OLLER S LUBLINER J 1990 Isotropic damage models and smeared crack analysis of concrete SCIC Second Int Conf On Computer Aided Design of Concrete Structure Zell am See Austria Pg 945 957 OLLER S 1988 Un modelo de daño continuo para materiales friccionales PhD thesis Universidad Politécnica de Cataluña Barcelona España OLLER S 2001 Fractura mecánica Un enfoque global CIMNE Barcelona España OLLER S OÑATE E OLIVER J LUBLINER J 1990 Finite element nonlinear analysis of concrete structures using a plasticdamage model Engineering Fracture Mechanics Vol 35 pp 219231 OÑATE E 1992 Cálculo de estructuras por el método de elementos finitos análisis estático lineal Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería Barcelona España ORTIZ BERROCAL L 1985 Elasticidad ETS de Ingenieros Industriales Litoprint UP Madrid ORTIZ M 1985 A Constitutive theory for inelastic behavior of concrete Mech Mater Vol 4 67 PABST W 2005 The linear theory of thermoelasticity from the viewpoint of rational thermomechanics Ceramics Silikáty 49 4 242251 PARKER DF 2003 Fields Flows and Waves An introduction to continuum models Springer Verlag London UK PILKEY W WUNDERLICH W 1992 Mechanics of structures Variational and computational methods CRC Press Inc Florida USA POWERS JM 2004 On the necessity of positive semidefinite conductivity and Onsager reciprocity in modeling heat conduction in anisotropic media Journal of Heat Transfer Vol126 pp 670675 PRAGER W 1945 Strain hardening under combined stress J Appl Phys 16 83740 PRAGER W 1955 The theory of plasticity A survey of recent achievements Proc Inst Mech Eng 16941 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 530 PRANDTL L 1924 Spannungverteilung in plastischen korpen in Proceedings of the First International Congress of Applied Mechanics Delft The Netherlands Vol 43 RABOTNOV YN 1963 On the equations of state for creep Progress in Applied Mechanics Prager Anniversary Volume page 307 New York MacMillan RANKINE WJM 1951 Laws of the elasticity of solids bodies Cambridge Dublin Math J 6 4180 REUSS A 1930 Berrucksichtingung der elastischen formanderungen in der plastizitatstheorie Z Angew Math Mech 10 266 ROMANO A LANCELLOTA R MARASCO A 2006 Continuum Mechanics using Mathematica fundamentals applications and scientific computing Birkhauser Boston USA RUNESSON K MROZ Z 1989 A note on nonassociated plastic flow rules Int J Plasticity 5 639658 RUNESSON K OTTOSEN N 1991 Discontinuity bifurcation of elasticplastic solutions at plane stress and plane strain Int J Plasticity 799121 SALOMON RO 1999 Un modelo numérico para el análisis de estructuras con aislamiento sísmico Tesis doctoral Universitat Politecnica de CatalunyaEspaña SANSOUR C 1998 Large strain deformations of elastic shell Constitutive modeling and finite element analysis Comp Mech Appl Mech Engrg 161 pp118 SANSOUR C FEIH S WAGNER W 2003 On the performance of enhanced strain finite elements in large strain deformations of elastic shells Comparison of two classes of constitutive models for rubber materials Report Universitat Karlsruhe Institut für Baustatik SCECHLER E 1952 Elasticity in Engineering John Willey Sons Inc new York ŠILHAVÝ M 1997 The mechanics and thermodynamics of continuous media Springer Verlag Germany SIMO J HUGHES TJR 1998 Computational Inelasticity SpringerVerlag New York SIMO JC JU JW 1987a Strain and Stress Based Continuum damage Models I Formulation International Journal Solids Structures Vol 23 pp 821840 SIMO JC JU JW 1987b Strain and Stress Based Continuum damage Models II Computational aspects International Journal Solids Structures Vol 23 pp 841869 SIMO JC 1988a A framework for finite strain elastoplasticity based on maximum plastic dissipation Part I Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Vol 66 pp 199 219 SIMO JC 1988b A framework for finite strain elastoplasticity based on maximum plastic dissipation Part II Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Vol 68 pp 1 31 SIMO JC 1992 Algorithms for static and dynamic multiplicative plasticity that preserve the classical return mapping schemes of the infinitesimal theory Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Vol 99 pp 61112 SOKOLNIKOFF IS 1956 Mathematic theory of elasticity New York McGrawHill SOUZA NETO EA PERIĆ D OWEN DRJ 1998 A phenomenological three dimensional rateindependent continuum damage model for highly filled polymers Formulation and computational aspects J Mech Phys Solids 4210 pp 15331550 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición BIBLIOGRAFÍA 531 SOUZA NETO EA PERIĆ D OWEN DRJ 1998 Continuum Modelling and Numerical Simulation of Material Damage at Finite Strains Archives of Computational Methods in Engineering Vol54 pp 311384 SPENCER AJM 1980 Continuum Mechanics Longmans HongKong TIMOSHENKO S GOODIER JN 1951 Theory of elasticity 2nd edition McGrawHill TRELOAR LRG 1944 Stressstrain data for vulcanized rubber under various types of deformation Proc of the Faraday Soc 405970 TRELOAR LRG 1975 The physics of rubber elasticity Clarendon Press Oxford TRESCA H 1864 Mémire sur lEcoulement des corps solids soumis a de fortes pressions comptes rendua academie de sciences Paris France Vol59 p754 TRUESDELL CA NOLL W 1965 The nonlinear field theories of mechanics in Handuch der Physik Vol III3 S Flügge Ed SpringerVerlag Berlin UGURAL AC 1981 Stress in Plates and Shells McGraw Hill VALVERDE GUZMÁN QM2002 Elementos estabilizados de bajo orden en mecánica de sólidos PhD Thesis Universitat Politecnica de Catalunya España VON MISES R 1930 Über die bisherigen Ansätze in der lassischen MEchanik der Kontinua in Proceedings of the Third Intenational Congress for Applied Mechanics Vol2 pp19 VUJOŠEVIĆ L LUBARDA VA 2002 FiniteStrain thermoelasticity based on multiplicative decomposition of deformation gradient Theoretical and Applied Mechanics vol 2829 pp 379399 Belgrade WILLAM K 2000 Constitutive models for materials Encyclopedia of Physical Science Technology 3rd edition Academic Press YEOH OH 1993 Some forms of the strain energy function for rubber Rubber Chem Technol Vol 66 pp 75471 ZIEGLER H 1959 A modification of Pragers hardening rule Q Appl Math 17 5564 ZIENKIEWICZ OC TAYLOR RL 1994a El método de los elementos finitos Volumen 1 Formulación básica y problemas lineales CIMNE Barcelona 4ª edición ZIENKIEWICZ OC TAYLOR RL 1994b El método de los elementos finitos Volumen 2 Mecánica de sólidos y fluidos Dinámica y no linealidad CIMNE Barcelona 4ª edición Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 532 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición A Aceleración 170 Alargamiento Unitario 184 211 infinitesimal 259 Ángulos de Euler 70 Anisotropía material 460 Anisótropo Tensor 87 Autovalor 72 Autovector 72 Axioma de la impenetrabilidad 171 B Base ortonormal 18 C Campo Escalar 114 Cantidad de movimiento lineal 384 CayleyHamilton 84 Círculo de Mohr en 2D 330 en deformaciones 266 en tensiones 330 Coaxial Tensor 88 Coeficiente de Poisson 472 Compresibilidad 382 Conducción 419 Configuración actual 167 de referencia 167 deformada 167 Constantes de Lamé 469 476 Convección 419 Coordenadas Espaciales 169 materiales 169 D Definido positivo Tensor 58 Deformación de área 241 43 del Volumen241 244 Finita 198 Homogénea 216 Infinitesimal 255 Inicial 494 Isocórica246 382 Plana 265 Térmica 488 497 Volumétrica 246 infinitesimal 264 Delta de Kronecker 25 Densidad de Masa168 372 Derivada Material 176 operador 178 Descomposición Aditiva 44 Polar 220 Descripción Espacial o Euleriana 171 Euleriana 170 Lagrangiana 170 Desigualdad de ClausiusDuhem 409 430 de ClausiusPlanck 410 de entropía para volumen con discontinuidad 414 de la conducción de calor 410 de la entropía 408 Desviador Tensor 95 Determinante característico 72 Determinante de un tensor 50 Divergencia 119 Doble contracción 34 Doble Producto Escalar 34 E Ecuación de continuidad con superficie discontinua 382 descripción Euleriana 379 descripción Lagrangiana 381 Ecuación de flujo de calor 422 Ecuación de Fourier 423 Ecuación de la energía configuración actual 403 configuración de referencia 404 Indice Tematico Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 534 volumen con discontinuidad 406 Ecuación de Laplace 423 426 Ecuación de Poisson 423 Ecuación de transporte 429 Ecuaciones cinemáticas o Geométricas 455 Ecuaciones constitutivas415 417 455 Ecuaciones de equilibrio descripción espacial 303 descripción material 304 en 2D 320 Ecuaciones de estado 417 Ecuaciones de Euler del movimiento 385 Ecuaciones de movimiento 455 Ecuaciones de movimiento con superficie discontinua 388 descripción espacial 385 descripción material 386 Ecuaciones de Navier 490 Ecuaciones Termodinámicas de Estado 417 Eje hidrostático 158 Elipsoide del tensor 154 Energía cinética 394 de deformación 480 interna específica 400 libre de Helmholtz 411 Escalar 11 Esférico Tensor 95 Estado de deformación plana 492 494 de tensión plana 492 de tensión hidrostático 286 termodinámico 407 Estiramiento 184 211 infinitesimal 259 principales 215 220 F Factor de compresibilidad 474 Flujo 373 de masa 373 Fuerza interna 277 gravitatorias 277 278 superficie 277 278 Función de estado 407 G Gradiente 114 Gradiente de deformación espacial 186 material 185 H HaighWestergaard espacio 161 Homogéneo 164 I Incompresibilidad246 382 Integración por partes 125 Invariantes principales73 Inversa de un tensor53 Irrotacional 195 Isotropía Material460 468 Isótropo Tensor87 J Jacobianodeerminante171 196 L Laplaciano 120 Ley de conducción de Calor417 de Conservación359 de Fick426 de Fourier de conducción de calor419 de Hooke 455 457 470 de StefanBoltman de Radiación Térmica421 del Enfriamiento de Newton420 constitutiva415 de transformación61 Líneas de Corriente179 M Material ortótropo485 transversalmente ortogonal485 Hookeano 456 Matriz de transformación63 Módulo de deformación volumétrica469 74 de elasticidad longitudinal472 de elasticidad transversal474 de Young472 Módulo del vector20 Momento Angular 389 Movimiento con deformación165 de cuerpo rígido165 205 216 estacionario 179 N Nanson relación de242 Notación de Einstein23 Notación de Voigt Ley de transformación108 Producto escalar 108 Tensor identidad106 O Objetividad de Tensores353 354 Operador de sustitución25 Laplaciano120 nabla114 Ortogonalidad14 57 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición ÍNDICE TEMÁTICO 535 P Partícula 164 Plano de Nadai 158 desviador 158 octaédrico 158 Polinomio característico 73 Postulado de Boltzmann 390 fundamental de Cauchy 281 Potencia Calorífica 401 402 de Tensores 33 Mecánica 396 Tensional 396 Presión media 286 Primer Tensor de Tensiones de PiolaKirchhoff 295 296 Primera identidad de Green 131 Primera ley de Cauchy del movimiento 385 Principio de acción y reacción 281 de la acción local 417 de la conservación de la energía 371 394 de la conservación de la masa 371 378 de la conservación del momento angular 371 de la conservación del momento lineal 371384 de la irreversibilidad 371 de la memoria limitada 417 de la objetividad 417 de la superposición 487 de SaintVenant 487 del determinismo de tensión 417 Proceso termodinámico 407 reversible 413 Producto escalar 12 20 33 tensorial 31 vectorial 14 20 2835 Pseudo vector tensión 295 Punto material 164 R Radiación 419 Relación de Nanson 242 Representación espectral 79 80 Resta de dos vectores 20 Rotacional 121 S Segunda identidad de Green 131 Segunda ley de Cauchy del movimiento 390 Segunda ley de la termodinámica 408 Segundo principio de la termodinámica 407 Segundo Tensor de PiolaKirchhoff 297 Series de Tensores 100 Símbolo de permutación 26 Simetría Cúbica 468 Hexagonal 465 mayor 40 menor 40 Monoclínica 462 Ortótropa 463 Tetragonal 465 Transversalmente Ortogonal 467 Triclínica 461 Sistema termodinámico 407 Sólidos de revolución 492 Subíndices libres 24 mudos 24 Suma de dos vectores 20 Superficie material 247 T Tasa convectiva 363 de CotterRivlin 365 de GreenMcInnis 366 de GreenNaghdi 366 de JaumannZaremba 365 de Oldroyd 364 de tensiones de Truesdell 368 Polar 366 Temperatura 419 Tensión de corte máxima141 144 media 286 normal 287 normal octaédrica 155 tangencial 287 tangencial octaédrica 155 Tensión Plana 319 492 Tensiones principales autovalores 289 en 2D325 326 Tensor 11 Tensor acústico elástico 477 de permutación 50 de propiedades elásticas 459 476 esférico 74 identidad 48 ortogonal 56 166 Tensor deformación de deformación de Almansi 204 de deformación de Biot 272 de deformación de Cauchy 204 de deformación de Finger 199 de deformación de Green 200 de deformación de GreenLagrange 200 de deformación de Piola199 208 de deformación finita Euleriana 204 de deformación GreenStVenant 200 de deformación infinitesimal256 453 de estiramiento Euleriano 220 de estiramiento Lagrangiano 220 de estiramiento material 220 derecho de deformación de CauchyGreen 199 206 derecho de estiramiento 220 estiramiento 193 gradiente de velocidad espacial 193 gradiente espacial de los desplazamientos 189 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO CONCEPTOS BÁSICOS 536 gradiente material de los desplazamientos 189 izquierdo de deformación de CauchyGreen 199 izquierdo de estiramiento 220 spin 193 tasa de deformación 193 tasa de deformación de Almansi 208 tasa de deformación Euleriana 193 tasa del tensor de rotación material 229 velocidad de deformación 193 velocidad de rotación 193 Tensor de Tensiones de Biot 297 de Cauchy280 282 306 de Kirchhoff 296 de Mandel 298 Lagrangiano 296 nominales 296 verdaderas 282 desviador 282 esférico 292 Teorema de Gauss 125 Teorema de las fuerzas vivas 398 Teorema del Transporte de Reynolds 374 377 378 418 volumen con discontinuidad 377 Transpuesta 38 Trayectoria de la partícula 164 Traza de un tensor 47 Triple producto escalar 15 20 28 Triple producto vectorial 21 U Unidades Termodinámicas 407 V Variables de estado 407 internas 430 Variación de ángulo 213 Vector 11 desplazamiento 170 nulo 20 tensión 139 280 284 unitario 13 20 Velocidad 170 Chaves EWV 2007 Mecánica del Medio Continuo Conceptos Básicos CIMNE Barcelona España 3er Edición