Parcial 2 Fisica - Resolucao de Problemas de Mecanica e Tensoes

Parcial 2 20132014 1 a S el modulo w wt es constante en el tiempo demostrar que w es ortogonal en d2dt para todo t b S v vx v1 x1 5x2 2x3 v2 5x1 x2 3x3 v3 2x1 3x2 x3 b1 Gradiente de v b2 Tr 1 b3 Parte sym y anti b4 Vector axial w b5 Mor Solido Rigido a w w w d w2 dt dw w dt dwdt w w dwdt 2 w dwdt 0 w orthogonal dwdt b S1 vi vx vij vixj v1x1 v1x2 v1x3 v2x1 v2x2 v2x3 v3x1 v3x2 v3x3 1 5 2 5 1 3 2 3 1 b2 v 1 Tr v 111 3 v vii v11 v22 v33 1113 b3 v vsym vanti vsym 12 v vT 1 0 0 0 1 0 0 0 1 vanti 12 v vT 0 5 2 5 0 3 2 3 0 b4 wij vantiij vijanti 0 i2 v1x2 v2x1 i2 v1x3 v3x1 i2v1x2 v2x1 0 i2 v2x3 v3x2 i2 v1x3 v3x1 i2 v2x3 v3x2 0 0 5 2 5 0 3 2 3 0 wij 0 w12 w13 w21 0 w23 w31 w32 0 0 w21 w13 w21 0 w31 w13 w31 0 w1 3 w2 2 w3 5 w 3 e1 2 e2 5 e3 b5 El det de la parte simétrica 1 0 0 0 1 0 0 0 1 es 0 NO mov de sólido rígido 2 Tensor de tensiones de Cauchy σij 37 24 0 24 50 0 0 0 43 en un pto P a Tensiones y direcciones principales en P b Tensiones tangencial y normal mínimas c Círculos de Mohr d Parte esférica y desviadora de σ e Autovalores y autovectores de la parte desviadora f Qué es la tensión normal octaédrica g El material rompe cuando σT 74MPa y σn 74MPa Rompe en el pto P h Estamos en un caso de tensión plana a σij 37 24 0 24 50 0 0 0 43 Sabemos que 43 es tensión principal y esta asociada a la dirección principal n3 0 0 1 57λ 24 24 50λ 0 λ2 107λ 2234 0 λ1 7775 λ2 2925 Para λ1 57λ1 24 24 50λ1 n1 n2 2075 n1 24 n2 0 n12 n22 1 2420752 n12 1 n22 09654 n1 0757 n1 0757 0654 0 Para λ2 57λ2 24 24 50λ2 n1 n2 2775 n1 24 n2 0 n12 n22 1 2427752 n12 1 n22 0757 n1 0654 n2 0654 0757 0 b σnn 7775 MPa τnn 7775 29252 2425 MP c d σ σesf σdev σesf Trσ3 1 30 0 0 0 50 0 0 0 50 σdev σ σesf 7 24 0 24 0 0 0 0 7 e σdev 7 24 0 24 0 0 0 0 7 Sabemos que 7 es autovalor y esta asociado a al autovector n3 0 0 1 7λ 24 24 λ 0 λ2 7λ 576 0 λ λ1 775 λ2 2075 autovalores Para λ1 7λ1 24 24 λ1 n1 n2 2075 n1 24 n2 0 mismo sistema que en a n1 0757 0654 0 Para λ2 7λ2 24 24 λ2 n1 n2 mismo sistema que en a n2 0654 0757 0 g Son las tensiones principales del plano cuya normal es n 1sqrt3 1sqrt3 1sqrt3 g No podemos saberlo no conocemos el estado tensional en el conjunto h No porque hay tensiones principales 3 Dado el campo de desplazamientos u1 k t x2 u2 0 u3 0 y el campo en Euler de temperatura Txt x1 x2 t Encontrar tasa de cambio en t t111 a En Eulerianas b En Lagrangianas ui xi Xi x u Xi x1 X1 k t x2 x2 X2 x3 X3 Txt x1 x2 t TXxtt X1 k t x2 X2 t X1 t X2 t X2 k t2 TXt En Lagr ṪXt X1 X2 2 X2 k t En Eul Ṫxt X1 k t X2 X2 2 X2 k t Sabemos que Px 111 x1 1 x2 1 x3 1 x1 1 k t x2 1 x3 1 En t1s Lagr Tase 1 k 1 2 k 2 k Eul Tase 1 k 1 2 k 2 k 4 a x σ q demostrar que si V x σv S x t σ ds V x q dV σ σ T T σ n b La aceleración de un partícula es descrita por xt1 DvDt vt x v v Demostrar que se puede escribir como DvDt vt x v²2 v x v vt x v²2 v rotv a S x ρ v t ds V x σ dV x t i εijk xj ti εijk xj σ nk εijk xj σkl nk x σip nip x σ n V x ρ v S x σ n ds V x q dV V x ρ v V x x σ dV V x q dV x x σ ε σᵀ x x σ V x ρ v ε σᵀ x x σ dV V x q dV V x ρ ε σᵀ x x σ x q dV 0 V x ρ x σ q ε σᵀ dV 0 V ε σᵀ dV 0 ε σᵀ i εijk σkj εiks σkj 0 Sabemos que ε es antisimétrico y sabemos que el doble producto escalar de un tensor simétrico y uno antisimétrico es 0 σ σ simétrico b vxt DvDt vt x v v DvDt vt x v²2 v x v DvDt vt x v v vt x v²2 v x v x v v x v²2 v x v x v²2 v x v 12 εi xi vj vj v εi xi εi vεi xi vj vj vj vjxi vjxi vj 2 vj vjxi v εi xi εi vεi v εi εκrsl vskxi eτ εκst εitk vi vsxi εκrsl vskxi eτ x v²2 v x v 12 εi 2 vj vjxi δκκδsi δri δsk vj vjxi eτ x v²2 v x v vj vjxi δκκ δsi vi vjxi δri Stk vj vjxi eτ