Slide - Filtros Fir - 2024-1

ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Distorção de sinais passando por sistemas LIT Filtros FIR com fase linear Filtros ideais e práticos 1/15 Processamento Digital de Sinais ELF51 - EL66D - Engenharia Eletrônica Filtros FIR Prof. Daniel R. Pipa danielpipa@utfpr.edu.br Sistemas sem distor¢ao Seen Para nao haver distor¢des na “forma” do sinal Prof. Daniel R. Pipa y[n] = Gx[n - a], — onde G € constante e representa um ganho e a um atraso. No dominio Fourier Y(e!®) = Ge J°°X(el”). Portanto a resposta em frequéncia é . Y(e/”) . H(e!?) = ——— = Ge 10%, |H(e!”)|=G LH(e}”) = —wa Importancia da Fase Linear Para nao gerar distorcao, apenas atraso, um filtro deve ter resposta em frequéncia com magnitude constante G e fase linear em fungao de w com inclinagao —a. Ilustragao da Fase Linear i nein Seja o sinal composto por 3 componentes de frequéncia Prof. Daniel R. Pipa (2 on An Demet tee x[n] = cos | =n] +cos | —n] +cos|—n nents 5 5 5 Um atraso de todo o sinal em 3 amostras é nT 20 An x[n — 3] =cos (Ze - 3)) + cos | —(n —3)] + cos | —(n - 3) 5 5 5 1 3 + 20 67 + An 12x = cos {| =n — —] + cos | —n — —] +cos | —n —- — 5 5 5 5 5 5 Atraso em numero de amostras versus atraso em angulo/fase Componentes com maior frequéncia tém que ter atrasos maiores em dngulo/fase para ter 0 mesmo atraso em amostras. Ou seja, so necessarios mais ciclos de atraso para frequéncias maiores. Distorgao de magnitude ELF51 - EL66D - PDS Quando Prof. Daniel R. Pipa |H(e}”)| *+G LH(e3”) = -—wa nT al ha apenas distorc%o de magnitude. Filtros de fase linear Sem distor¢ao de fase. Caracteristicas determinadas apenas por mudancas de magnitude. Filtros de fase linear sao desejados, pois nao ha distorgdes do sinal na banda de passagem. Original signal High-frequency attenuation 1 1 x[n] yn] n n -1 -l Distor¢ao de fase ELF51 - EL66D - PDS Quando Prof. Daniel R. Pipa |H(e}”)| =e! LH(e3}”) + —wa ct al ha apenas distor¢ao de fase. Filtros passa-tudo Sem distorgao de magnitude. Caracteristicas determinadas apenas por mudangas de fase. Sao usados para corrigir distorgdes de fase gerados por outros subsistemas. Original signal Constant phase shift 1 1 x[n] y3[n] n n -1 -l ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Distorção de sinais passando por sistemas LIT Filtros FIR com fase linear Filtros ideais e práticos 6/15 Tipos de filtro FIR a partir de ℎ[푛] Teorema Um filtro FIR apresenta fase linear (portanto sem distorção de fase) se a resposta ao impulso é simétrica ou antissimétrica, ou seja, ℎ[푛] = ±ℎ[푀 − 푛]. O teorema será provado para os 4 casos abaixo: Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Simétrica Simétrica Antissimétrica Antissimétrica 푀 par 푀 ímpar 푀 par 푀 ímpar 554 Design of FIR filters 2 4 6 8 0 n 8 Type I: Symmetric Impulse Response, Even Order M = 8 Center of symmetry Unit circle π 2π 3π 4π −5 0 5 10 15 ω 0 π 2π 3π 4π −5 0 5 10 15 ω h[n] 0 3 4 7 7 Center of symmetry Unit circle Permanent zero π 2π 3π 4π −10 −5 0 5 10 ω 4π −10 −5 0 5 10 ω Type II: Symmetric Impulse Response, Odd Order M = 7 −2 2 2π Figure 10.4 Impulse response, pole-zero pattern, magnitude response, and amplitude response for type-I and II FIR filters with linear phase. 554 Design of FIR filters 2 4 6 8 0 n 8 Type I: Symmetric Impulse Response, Even Order M = 8 Center of symmetry Unit circle π 2π 3π 4π −5 0 5 10 15 ω 0 π 2π 3π 4π −5 0 5 10 15 ω h[n] 0 3 4 7 7 Center of symmetry Unit circle Permanent zero π 2π 3π 4π −10 −5 0 5 10 ω 4π −10 −5 0 5 10 ω Type II: Symmetric Impulse Response, Odd Order M = 7 −2 2 2π Figure 10.4 Impulse response, pole-zero pattern, magnitude response, and amplitude response for type-I and II FIR filters with linear phase. 555 10.2 FIR filters with linear phase 2 4 6 8 n −2 −2 2 2 8 π 2π 3π 4π −10 −5 0 5 10 ω −10 −5 0 5 10 ω Type III: Anti-Symmetric Impulse Response, Even Order M = 8 h[n] Center of antisymmetry 0 π 2π 3π 4π Permanent zero Permanent zero Unit circle 3 1 4 5 7 0 n −2 2 7 π 2π 3π 4π −10 −5 0 5 10 ω −10 −5 0 5 10 ω Type IV: Anti-symmetric Impulse Response, Odd Order M = 7 h[n] Center of antisymmetry π 2π 3π 4π Permanent zero Unit circle Figure 10.5 Impulse response, pole-zero pattern, magnitude response, and amplitude response for type-III and IV FIR filters with linear phase. 555 10.2 FIR filters with linear phase 2 4 6 8 n −2 −2 2 2 8 π 2π 3π 4π −10 −5 0 5 10 ω −10 −5 0 5 10 ω Type III: Anti-Symmetric Impulse Response, Even Order M = 8 h[n] Center of antisymmetry 0 π 2π 3π 4π Permanent zero Permanent zero Unit circle 3 1 4 5 7 0 n −2 2 7 π 2π 3π 4π −10 −5 0 5 10 ω −10 −5 0 5 10 ω Type IV: Anti-symmetric Impulse Response, Odd Order M = 7 h[n] Center of antisymmetry π 2π 3π 4π Permanent zero Unit circle Figure 10.5 Impulse response, pole-zero pattern, magnitude response, and amplitude response for type-III and IV FIR filters with linear phase. sbieen mal BSB EP ea eps > Tipo I: simétrico, M = 4 par H(e!”) = h[0] + A[lJe 3° + h[2]e?° + h[3]e" 8° + h[4]e 4 1 = {h[0Je?” + h[1]Je!? + h[2] + h[1Je J? + h[O]e PY fe Pe = {h[2] + 2h[1] cos w + 2h[0] cos 2w}e M/2 u = {a[0] + a[1] cosw + a[2] cos 2whe Po = {: a[k] cos tol e Jer k=0 > Tipo II: simétrico, M = 3 impar H(e3®) = h[0] + h[1Je 3? + h[2]e?° + h[3]Je BO = {h[d]ei3/” + h{ lei + hfe Ie + A[OJe ICM le ICPMe = {2h[1] cos(w/2) + 2h[0] cos(3w/2)}eI3/¢ (M+1)/2 Ml wo (M-1)/2 u = | » b[k] cos[w(k — vy] e Jer = fe (=) » b[k] cos tol e Jee k=l k=0 Tipo IIe IV ELFS1 - EL66D - PDS Deducg6es similares levam a HsiMRewsesTiey > Tipo III: antissimétrico, M = 4 par M/2 M /2 H(e!®) = {> c[k] sin ko} joes = {sine » é[k] cos iol jeer k=0 k=0 > Tipo IV: antissimétrico, M = 3 impar Mel M-1 He”) = {> d[k] sin[w(k — ven} je ie% = fr (=) y dk] cos | joie k=l k=0 ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Distorção de sinais passando por sistemas LIT Filtros FIR com fase linear Filtros ideais e práticos 9/15 Restrições Tipo Ordem Simetria 퐻(e j0) 퐻(e j휋) Tipo I Par Simétrico Sem restrição Sem restrição Tipo II Ímpar Simétrico Sem restrição 0 Tipo III Par Antissimétrico 0 0 Tipo IV Ímpar Antissimétrico 0 Sem restrição Atenção! Deve-se selecionar a ordem adequada conforme o tipo do filtro. Ordem par Como critério de projeto, escolhe-se sempre Tipo I por não ter restrições. Se for necessário, incrementa-se a ordem por 1. Filtros ideais IBILIFSH = TELA = FBS Um filtro passa-baixas ideal (protdétipo) Prof. Daniel R. Pipa |H(e”) | 1 ; 1, |al<ow STO Tee ae Teed A (e/®) = , . 0, We <|w| <2 —t —-®, 0 @, rT oO tem resposta ao impulso sin(we.n) h[n] = ——— mn 03 0.2 = 0.1 0 a@ 7 8», »@p@tit. ££ »s~iititltiiliia. £.=m9 _»piit.,. £.™—_. SF @ . 20-15-10 -5 0 5 10 15 20 n Filtros ideais ELFS1 - EL66D - PDS , Porém Prof. Daniel R. Pipa ~ h[n] #0,n<0O = nao causal CO een etee rte » |h [n] | = Cc => instavel n=-0o Filtros ideais Filtros ideais nao sao realizaveis, pois sua resposta ao impulso é nao causal (depende de valores futuros) e instavel (nao é absolutamente somavel). Filtros praticos Serio necessdrias aproximagoes que tornem h[n] estavel e causal, para que o filtro possa ser usado na pratica. ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Distorção de sinais passando por sistemas LIT Filtros FIR com fase linear Filtros ideais e práticos 12/15 Filtros práticos Uma aproximação é o truncamento e atraso de ℎ[푛] de modo a tornar o filtro estável e causal e ao mesmo tempo manter a simetria (fase linear) ℎ[푛] =   sin[휔푐(푛 − 푀/2)] 휋(푛 − 푀/2) , 0 ≤ 푛 ≤ 푀 0, caso contrário. Devido ao fenômeno de Gibbs, haverá oscilações (ripple) na resposta em frequência. ▶ Exemplo Python ▶ O que acontece com o aumento da ordem 푀 do filtro? Filtros multi-faixa ELFS1 - EL66D - PDS Abordagem — Filtros passa-altas, passa-faixa, rejeita-faixa e multi-faixa podem ser projetados combinando filtros passa-baixas, chamados de filtros prototipo. |Ha(es”)| t P| 0 WW] W2 TT W Ha(e!®) = Aip.o.(e!”) - yp [in| sin[w2(n-M/2)] — sin[wy(n- M/2)] 2a) = Fs bp a(n — M/2) a(n — M/2) Filtros multi-faixa cont. HEIUFSH AUC 1B Genericamente, filtros multi-faixa podem ser obtidos por Prof. Daniel R. Pipa H, (ce?) B Aol A wp =0 oi op 3 4 Ws = x sin [wy (n — M/2)] (n- hmv(n| = Ar, —-A a mb [7] D, k ~ Ans) aay onde |Hmp(e3”)| = Ax para We_-1 < W < We, k = 1,2,---,K, Any, =OeK €0 numero de faixas. ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Distorção de sinais passando por sistemas LIT Filtros FIR com fase linear Filtros ideais e práticos 15/15 Exemplos Python 1. Passa-altas 2. Passa-faixa 3. Rejeita-faixa 4. Faixas arbitrárias