Slide - Sistemas no Tempo Discreto -2024-1

ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 1/17 Processamento Digital de Sinais ELF51 - EL66D - Engenharia Eletrônica Sistemas no Tempo Discreto Prof. Daniel R. Pipa danielpipa@utfpr.edu.br |KO) EOL-LeCeN MOLI TLIC NITELS ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa xtn] KS yal xx[n] ame yeln] Dg carl] ae De cele] x[n — ng] mae y[n — ng] {nll <M <0o = -S [yfnl] < My < 00 x[n] = 0 forn < ng nin y[n] = 0 forn < ng ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 3/17 Diagrama em blocos Unit delay Unit delay branch Block Diagram Elements Adder Multiplier Splitter Pick-off node Gain branch Summing node Signal Flow Graph Elements ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 4/17 Exemplo Sistema que implementa diferença finita de primeira ordem y[n] = x[n] − x[n − 1] –1 x[n] y[n] z–1 * O bloco z−1 é funciona como um retentor ou memória. A cada chegada de nova amostra por x[n], ele libera a amostra anteriormente armazenada. ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 5/17 Soma de convolução Seja uma sequência discreta decomposta em impulsos x[n] = ∞ 󳕗 k=−∞ x[k]δ[n − k] aplicada à entrada de um sistema linear y[n] = H 󰀫 ∞ 󳕗 k=−∞ x[k]δ[n − k] 󰀬 = ∞ 󳕗 k=−∞ x[k]H {δ[n − k]} definindo hk[n] = H {δ[n − k]} e impondo invariância no tempo h[n − k] = hk[n] y[n] = ∞ 󳕗 k=−∞ x[k]h[n − k] Soma de convolução Só funciona para sistemas LTI. ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 6/17 Resposta ao impulso ◮ Única informação necessária (além da entrada) para calcular a saída dum sistema LTI. ◮ Maneira unificada de caracterizar qualquer sistema LTI. n n 0 Unit impulse Impulse response 0 1 1 LTI system δ[n] h[n] ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 7/17 Exemplo cont. Representação matricial 󰀵󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀷 y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5] y[6] y[7] 󰀶󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀸 = 󰀵󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀹󰀷 x[0] 0 0 x[1] x[0] 0 x[2] x[1] x[0] x[3] x[2] x[1] x[4] x[3] x[2] x[5] x[4] x[3] 0 x[5] x[4] 0 0 x[5] 󰀶󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀺󰀸 · 󰀵󰀹󰀹󰀹󰀹󰀷 h[0] h[1] h[2] 󰀶󰀺󰀺󰀺󰀺󰀸 Diagonais com elementos iguais = matriz Toeplitz. ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 8/17 Propriedades da convolução Table 2.3 Summary of convolution properties. Property Formula Identity x[n] ∗ δ[n] = x[n] Delay x[n] ∗ δ[n − n0] = x[n − n0] Commutative x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n] Associative (x[n] ∗ h1[n]) ∗ h2[n] = x[n] ∗ (h1[n] ∗ h2[n]) Distributive x[n] ∗ (h1[n] + h2[n]) = x[n] ∗ h1[n] + x[n] ∗ h2[n] ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 9/17 Propriedades da convolução cont. x[n] y[n] h1[n] h2[n] x[n] y[n] h[n] x[n] y[n] h[n] h[n] = h1[n] h2[n] * x[n] y[n] y[n] y[n] y[n] h1[n] h2[n] x[n] h1[n] h2[n] x[n] x[n] h2[n] h1[n] y[n] x[n] h[n] = h1[n]+h2[n] ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Resposta do sistema a entradas de teste ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa xn] = d{n] yin) = rln] n x[n] = u[n] mn yn] = sin] = DY AK] k=—00 x[n] = a", alln iN y[n] = A(aja”, all n x[n] = eJ@", all n a. y[n] = H(i) elon, alln H(a) =) h[nja~" ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 11/17 Causalidade e estabilidade Sistema causal Um sistema é dito causal se h[n] = 0, n < 0, ou seja, a saída atual não depende de valores futuros da entrada. Sistema estável Um sistema é dito estável se ∞ 󳕗 n=−∞ |h[n]| < ∞ ou seja, a saída é limitada caso a entrada seja limitada (não infinito). ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 12/17 Sistemas FIR e IIR Classificação de sistemas conforme tipo da resposta ao impulso. Sistemas FIR FIR - finite impulse response - Sistemas com resposta ao impulso finita. ◮ Dada uma excitação inicial (impulso), saída vai a zero num tempo finito. ◮ Exemplo: h[n] = {1 ↑, −1} Sistemas IIR IIR - infinite impulse response - Sistemas com resposta ao impulso infinita. ◮ Dada uma excitação inicial (impulso), saída se mantém diferente de zero por tempo indefinido. ◮ Exemplo: h[n] = anu[n] ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 13/17 Implementação de um sistema FIR Num sistema de processamento digital, dados estão constantemente chegando por x[n] ... ... ... x[n] y[n] h[0] h[1] h[2] h[M] z−1 z−1 z 1 x[n−1] x[n−2] x[n−M] ... e constantemente saindo por y[n]. ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 14/17 Sistemas recursivos A saída atual depende de saídas passadas. São descritos por equações linear a diferenças com coeficientes constantes y[n] = − N 󳕗 k=1 aky[n − k] + M 󳕗 k=0 bkx[n − k] Sistemas IIR São implementados de maneira recursiva. Caso contrário, seriam necessárias memória e multiplicações infinitas, já que a resposta ao impulso é infinita. Sistemas FIR Em geral, são implementados de maneira não recursivo. Porém, podem ser implementados recursivamente. ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 15/17 Exemplo Um filtro média móvel é dado por y[n] = 1 M + 1 M 󳕗 k=0 x[n − k] considerando sua implementação não recursiva. Porém, y[n] = y[n − 1] + 1 M + 1 {x[n] − x[n − 1 − M]} que é uma implementação recursiva e mais eficiente (menos operações). ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 16/17 Exemplo: Eco e reverberação Eco simples y[n] = x[n] + αx[n − D], −1 < α < 1 D: atraso (em amostras) Múltiplos ecos y[n] = x[n] + αx[n − D] + α2x[n − 2D] + α3x[n − 3D] + · · · mas αy[n − D] = αx[n − D] + α2x[n − 2D] + α3x[n − 3D] + · · · subtraindo as equações y[n] = αy[n − D] + x[n] * Implementação recursiva de um sistema IIR. ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Sistemas no Tempo Discreto Sistemas no Tempo Discreto Convolução Classificações Implementações 17/17 Implementação recursiva de um sistema IIR O sistema descrito pela equação a diferenças y[n] = ay[n − 1] + bx[n] tem a seguinte representação em diagrama de blocos z−1 a b x[n] y[n] As saídas são calculadas da seguinte forma y[0] = ay[−1] + bx[0] y[1] = ay[0] + bx[1] y[2] = ay[1] + bx[2] ...