Slide - Transformada Z - 2024-1

ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 1/24 Processamento Digital de Sinais ELF51 - EL66D - Engenharia Eletrônica Transformada z Prof. Daniel R. Pipa danielpipa@utfpr.edu.br ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 2/24 Motivação Em geral, ao passar por um sistema LTI um sinal tem seu “formato” alterado. x[n] y[n] = H{x[n]} Input signal Output signal Pergunta Existe algum sinal que não altere seu “formato” ao passar por um sistema LTI? ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 3/24 Motivação cont. Considere-se a exponencial complexa x[n] = zn, n ∈ Z, z ∈ C. A saída de um sistema é y[n] = h[n] ∗ x[n] = ∞ 󳕗 k=−∞ h[k]zn−k = 󰀣 ∞ 󳕗 k=−∞ h[k]z−k 󰀤 zn Definindo-se H(z) = ∞ 󳕗 k=−∞ h[k]z−k chamada de transformada z de h[n]. A saída é dada por y[n] = H(z)zn ◮ zn: autofunções de sistemas LTI. ◮ H(z) ∈ C: autovalor associado. Modifica amplitude e fase de zn. ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 4/24 Transformada z Se entrada puder ser represent. por soma de exponenc. complexas x[n] = 󳕗 k ckzn k por linearidade y[n] = 󳕗 k ckH(zk)zn k Decomposição de sinais em exponenciais complexas pela transformada z X(z) = ∞ 󳕗 n=−∞ x[n]z−n, z ∈ C, X(z) ∈ C Zeros de X(z) Valores de z tais que X(z) = 0. Polos de X(z) Valores de z tais que X(z) → ∞. ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 5/24 Representações gráficas z ∈ C Plano z 0 z-plane ω rcos ω r sin ω z-plane 0 1 Unit circle ω r ◮ Representação polar: z = re jω ◮ Representação retangular: z = r cos (ω) + jr sin (ω) ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 6/24 Magnitude de X(z) X(z) = z(z−1) z2−1.27z+0.81: zeros z1 = 0, z2 = 1; polos p1,2 = 0.9e± jπ/4 ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 7/24 Exemplo Calcular a transformada z de x[n] = anu[n]. X(z) = ∞ 󳕗 n=−∞ anu[n]z−n = ∞ 󳕗 n=0 󰀓 az−1󰀔n = 1 1 − az−1 = z z − a Somatório não converge para qualquer valor de z. Região de convergência: ROC (region of convergence) Valores de z que existe a transformada z (o somatório converge, ou seja, 󲧰 ∞). No exemplo acima ROC: |z| > |a| pois garante PG com razão −1 < r < 1. ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 8/24 Pares de transformada z Table 3.1 Some common z-transform pairs Sequence x[n] z-Transform X(z) ROC 1. δ[n] 1 All z 2. u[n] 1 1 − z−1 |z| > 1 3. anu[n] 1 1 − az−1 |z| > |a| 4. −anu[−n − 1] 1 1 − az−1 |z| < |a| 5. nanu[n] az−1 (1 − az−1)2 |z| > |a| 6. −nanu[−n − 1] az−1 (1 − az−1)2 |z| < |a| 7. (cos ω0n)u[n] 1 − (cos ω0)z−1 1 − 2(cos ω0)z−1 + z−2 |z| > 1 8. (sin ω0n)u[n] (sin ω0)z−1 1 − 2(cos ω0)z−1 + z−2 |z| > 1 9. (rn cos ω0n)u[n] 1 − (r cos ω0)z−1 1 − 2(r cos ω0)z−1 + r2z−2 |z| > r 10. (rn sin ω0n)u[n] (sin ω0)z−1 1 − 2(r cos ω0)z−1 + r2z−2 |z| > r ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 9/24 Transformada z inversa Pela definição formal x[n] = 1 2π j 󳕁 C X(z)zn−1dz Porém, observando-se que x[n] = N 󳕗 k=1 Ak (pk)n Z ←→ X(z) = N 󳕗 k=1 Ak 1 − pkz−1 tenta-se escrever X(z) nesse formato usando frações parciais X(z) = b0 + b1z−1 + · · · + bMz−M 1 + a1z−1 + · · · + aN z−N = M−N 󳕗 k=0 Ckz−k + N 󳕗 k=1 Ak 1 − pkz−1 , com Ck → div. polinomial se M ≥ N e Ak = (1 − pkz−1)X(z)|z=pk ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 10/24 Exemplo Achar a transformada z inversa por frações parciais de H(z) = 6 − 10z−1 + 2z−2 1 − 3z−1 + 2z−2 Solução H(z) = 6 − 10z−1 + 2z−2 1 − 3z−1 + 2z−2 = 2 1 − z−1 + 3 1 − 2z−1 + 1 Pela tabela x[n] = 2u[n] + 3 · (2)nu[n] + δ[n] Exemplo Python Propriedades ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa X(z) Ry X1(z) Ry, SECU eNOS xX? (z) Rx, aX (z) +.a2X2(z) —- At least Ry, (Rx z*X(2) Ry except z = 0 or 00 X(a7!2) lalRx dX(z) ss R Zz dz Xx X*(z*) Ry 4X@ +X*(c*)] At least Ry 4X@ — X*(z*)] At least Ry X(1/z) 1/Rx X1(z)X2(z) At least Ry, (Ro x[0] = lim X(z) Ico ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 12/24 Função de transferência Para sistemas LTI y[n] = ∞ 󳕗 k=−∞ h[k]x[n − k] Pela propriedade da transformada z Y(z) = H(z)X(z) Função de Transferência A função H(z) (transformada z da resposta ao impulso h[n]) é chamada de função de transferência do sistema. Pode-se usar a propriedade da convolução para calcular a saída do sistema. X(z) Y(z) = H(z)X(z) H(z) x[n] y[n] h[n] z-transform z-transform Inverse z-transform ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 13/24 Equações a diferenças com coeficientes constantes Sistemas LTI no tempo discreto podem ser caracterizados por equações a diferenças com coeficientes constantes y[n] + N 󳕗 k=1 aky[n − k] = M 󳕗 k=0 bkx[n − k] Supondo condições iniciais nulas 󰀣 1 + N 󳕗 k=1 akz−k 󰀤 Y(z) = 󰀣 M 󳕗 k=0 bkz−k 󰀤 X(z) tem-se como função de transferência H(z) = Y(z) X(z) = 󳕐M k=0 bkz−k 1 + 󳕐N k=1 akz−k ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 14/24 Exemplo Achar a equação a diferenças correspondente ao sistema com função de transferência H(z) = 6 − 10z−1 + 2z−2 1 − 3z−1 + 2z−2 = Y(z) X(z) Multiplicando em cruz 󰀓 1 − 3z−1 + 2z−2󰀔 Y(z) = 󰀓 6 − 10z−1 + 2z−2󰀔 X(z) e fazendo a transformada z inversa y[n] = 3y[n − 1] − 2y[n − 2] + 6x[n] − 10x[n − 1] + 2x[n − 2] Exemplo Python ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 15/24 Comprimento da resposta ao impulso Das tabelas de transformada z e propriedades h[n] = M−N 󳕗 k=0 Ckδ[n − k] + N 󳕗 k=1 Ak (pk)n Z ←→ H(z) = M−N 󳕗 k=0 Ckz−k + N 󳕗 k=1 Ak 1 − pkz−1 ◮ Se H(z) tiver pelo menos um polo pk fora da origem, a resposta ao impulso terá h[n] = · · · + Ak (pk)n u[n] + · · · com duração infinita. Portanto será um sistema IIR (infinite impulse respose). ◮ Se N = 0 h[n] = b0δ[n] + b1δ[n − 1] + · · · + bMδ[n − M] que tem duração finita e corresponde a um sistema FIR (finite impulse response). ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 16/24 Sistemas FIR e IIR Sistemas FIR Possuem zeros em qualquer lugar e polos somente na origem. Exemplos H(z) = 1 − z−1 + 3z−2, H(z) = 1 z4 = z−4 H(z) = 1 + z Sistemas IIR Possuem polos fora da origem. Exemplos H(z) = 1 1 − z−1 + 3z−2, H(z) = 1 1 + z4 ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 17/24 Polos e comportamento temporal: Sistemas de 1ª ordem Teorema (Fundamental) Algebra Polinômios com coeficientes reais têm raízes reais ou complexas conjugadas. Sistemas de 1ª e 2ª ordens Frações parciais com polos reais ou complexos conjugados corresponde a uma soma de sistemas de 1ª e/ou 2ª ordens. Um sistema de 1ª ordem H(z) = b 1 − az−1 = bz z − a possui um polo real p = a e resposta ao impulso h[n] = banu[n] ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 18/24 Sistemas de 1ª ordem cont. 0 z-plane Unit step 0 n ... ... 1 Unit alternating step 0 n ... ... 1 Decaying exponential 0 n ... ... 1 Decaying alternating exponential 0 n ... ... 1 Growing alternating exponential 0 n ... ... 1 Growing exponential 0 n ... ... 1 1 ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 19/24 Sistemas de 2ª ordem Um sistema de 2ª ordem H(z) = b0 + b1z−1 1 + a1z−1 + a2z−2 = z(b0z + b1) z2 + a1z + a2 tem dois polos p1,2 = −a1 ± 󰁴 a2 1 − 4a2 2 e as possibilidades Polos Condições Reais e distintos a2 1 > 4a2 Reais e iguais a2 1 = 4a2 Complexos conjugados a2 1 < 4a2 ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 20/24 Sistemas de 2ªordem cont. Respostas ao impulso 1. Reais e distintos (dois sistemas de 1ª ordem) h[n] = A1 (p1)n u[n] + A2 (p2)n u[n] 2. Reais e iguais h[n] = Anpnu[n] 3. Complexos conjugados h[n] = Apnu[n] + A∗ (p∗)n u[n] = |A| e jθrne jω0nu[n] + |A| e− jθrne− jω0nu[n] = |A| rn 󰁫 e j(ω0n+θ) + e− j(ω0n+θ)󰁬 = 2 |A| rn cos (ω0n + θ) u[n] ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 21/24 Sistemas de 2ªordem cont. - póloes complexos conjugados 0 z-plane 1 0 n ... ... z-plane 0 n ... ... 0 1 z-plane 0 ... n ... 0 1 r ω0 Pole locations Impulse response Stable system Marginally stable system Unstable system rn h[n] r= 1 h[n] h[n] rn ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 22/24 Exemplo: Oscilador senoidal digital Dada uma excitação inicial (impulso), deseja-se que a saída seja h[n] = sin (ω0n) u[n] que tem transformada z H(z) = Y(z) X(z) = sin (ω0) z−1 1 − 2 cos (ω0) z−1 + z−2 que pode ser implementado recursivamente como y[n] = sin (ω0) δ[n − 1] + 2 cos (ω0) y[n − 1] − y[n − 2]. Exemplo Python Na prática, também se usam numerically controlled oscillators. ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 23/24 Causualidade Na resposta ao impulso: h[n] = 0, n < 0 Condição na função de transferência Numerador não pode ter potências positivas quando denominador estiver no formato 1 + a1z−1 + · · · + aN z−N. Prova: H(z) = Y(z) X(z) = βQzQ · · · + β1z1 + b0 + b1z−1 + · · · + bMz−M 1 + a1z−1 + · · · + aN z−N y[n] = −a1y[n − 1] − · · · − aN y[n − N]+ + βQδ[n + Q] · · · + β1δ[n + 1]+ + b0δ[n] + b1δ[n − 1] + · · · + bMδ[n − M] ELF51 - EL66D - PDS Prof. Daniel R. Pipa Transformada z Motivação Transformada z Transformada z inversa Função de transferência Sistemas LTI Localização dos polos 24/24 Exemplo Polos Zeros FIR/IIR? Recursivo? Causal? Estável? H(z) = 1 − z−1 1 + 4z−2 ±2 j 0; 1 IIR Sim Sim Não H(z) = z2 + 1 ∅ ± j FIR Não Não Sim H(z) = z − 1 4 z−1 1 − 1 2 z−1 1/2 ±1/2 FIR Sim Não Sim Solução H(z) = z(z − 1) z2 + 4 y[n] + 4y[n − 2] = x[n] − x[n − 1] y[n] = x[n + 2] + x[n] H(z) = z2 − 1 4 z − 1 2 y[n] − (1/2)y[n − 1] = x[n + 1] − (1/4)x[n − 1]