Sinais e Sistemas de Tempo Discreto - Notas de Aula PDS

Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 1 Processamento Digital de Sinais Notas de Aula Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Ricardo Tokio Higuti Departamento de Engenharia Eletrica FEIS Unesp Observacao Estas notas de aula estao baseadas no livro DiscreteTime Signal Processing AV Oppenheim and RW Schafer Prentice Hall 19891999 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 2 Sinais Carregam alguma informacao voz dados imagem Representacao por uma funcao ou sequˆencia de valores Variacao no tempo conteudo de frequˆencia Tempofrequˆencia contınuo ou discreto 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 0 5 10 15 20 25 30 2 0 2 tempo s amostra n Amplitude V Amplitude V sinal de tempo contınuo xct sinal de tempo discreto xn Sinais de tempo contınuo tempo discreto digital Um sinal de tempo contınuo e definido para todos os instantes de tempo ao passo que um sinal de tempo discreto e definido apenas para alguns instantes de tempo em geral uma sequˆencia de numeros que pode ser representada na forma xn x2 x1 x0 x1 x2 O sinal pode ser de natureza discreta um ındice de inflacao ou pode ser obtido a partir de amostras de um sinal de tempo contınuo como na figura acima xn xcttnT xcnT n inteiro Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 3 Sinais de Tempo Discreto e Digital Sinal de tempo discreto amplitude contınua 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 mês 05 0 05 1 15 2 25 Índice de inflação INPC 2003 Sinal digital amplitude e tempo discretos 0 2 4 6 8 amostra 0 2 4 6 8 10 Amplitude Sinal digital Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 4 Operacoes Basicas Soma subtracao mulltiplicacao divisao amostra a amostra xn yn x1 y1 x0 y0 x1 y1 xn yn x1 y1 x0 y0 x1 y1 Multiplicacao por escalar a xn a x1 a x0 a x1 Manipulacao da variavel independente 6 4 2 0 2 4 6 0 1 2 3 xn amostra n 6 4 2 0 2 4 6 0 1 2 3 xn 2 amostra n 6 4 2 0 2 4 6 0 1 2 3 xn 2 amostra n Manipulação da variável independente cont xn xn xn2 xn2 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 7 Sequˆencias Basicas cont Senoide xn A cosω0n φ A amplitude ω0 frequˆencia rad φ fase rad Exponencial complexa xn Aejω0nφ A cosω0n φ jA sinω0n φ cosω0n ejω0n ejω0n 2 sinω0n ejω0n ejω0n 2j Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 8 Decomposicao Simetrias Se xn xn entao xn e par Se xn xn entao xn e ımpar Se xn xn entao xn e conjugado simetrico Se xn xn entao xn e conjugado antissimetrico Partes par e ımpar xn xen xon xen xn xn2 parte par xon xn xn2 parte ımpar Partes real e imaginaria magnitude e fase xn xRn jxIn xRn xn xn2 parte real xIn xn xn2j parte imaginaria xn xnejφxn xn x2 Rn x2 In12 magnitude φxn xn arctanxInxRn Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 9 Periodicidade e Frequˆencia de Sinais Um sinal e periodico com perıodo N se satisfizer para qualquer n a xn xn N xn 2N N inteiro 0 1 2 3 4 5 n N N 2N Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 10 Periodicidade e Frequˆencia de Sinais Para o caso particular de um sinal senoidal xn A cosω0n xn N A cosω0n ω0N xn xn N ω0N 2πk N k inteiros ω0 2π k N 0 5 10 15 20 25 30 35 1 05 0 05 1 0 5 10 15 20 25 30 35 1 05 0 05 1 ω0 2π7 rad ω0 12 rad Amostra n Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 11 Periodicidade e Frequˆencia de Sinais Seja um sinal senoidal na freq ω0 rad xn A cosω0n φ Considerando agora um outro sinal senoidal com freq ω1 ω02π rad yn A cosω1n φ A cosω0n φ 2πn A cosω0n φ xn Portanto ω0 e ω0 2π rad sao frequˆencias iguais Ou seja as frequˆencias do sinal discreto se repetem a cada 2π rad diferentemente do que ocorre com frequˆencias de sinais de tempo contınuo Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 12 Frequˆencias Altas e Baixas A frequˆencia de um sinal pode ser avaliada pela variacao da amplitude de amostra a amostra 0 5 10 15 20 1 0 1 0 5 10 15 20 1 0 1 0 5 10 15 20 1 0 1 0 5 10 15 20 1 0 1 ω0 0 2π ω0 π4 9π4 ω0 π2 5π2 ω0 π 3π Amostra n Algumas observacoes Notase assim que a maxima freq de um sinal de tempo discreto e igual a π rad Regioes no eixo de ω ao redor de zero e 2π 4π rad relacionam se com sinais de baixa frequˆencia Regioes ao redor de π rad e π 3π relacionamse com sinais de alta frequˆencia Sequências Básicas Impulso δn 1 n0 0 n0 Degrau un 1 n0 0 n0 un k0 to δnk δn un un1 Caso geral xn k to xk δnk Sistemas de Tempo Discreto Um sistema pode ser um filtro um amplificador um sistema de controle onde há uma entrada xn que é processada produzindo uma saída yn Exemplos Sistema atraso yn xn nd Filtro de média móvel yn 1M1 M2 1 kM1 to M2 xnk Acumulador ou integrador yn k to n xk Diferenciador yn xn xn 1 yn xn 1 xn Para n 2 Set of 3 graphs labeled xk hk h2k y2k xkh2k y2 sum from k to of y2k 3 2 1 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 25 Propriedades de SLITs E muito comum a associacao de sistemas em cascata e em paralelo e por isso e importante se conhecer a resposta impulsiva apos a associacao Comutativa yn xn hn hn xn Associativa conexao em cascata yn xn hn xn h1n h2n xn h1n h2n xn h2n h1n xn xn xn yn yn yn h1n h1n h2n h2n h1n h2n Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 26 Propriedades de SLITs cont Distributiva conexao em paralelo yn xn hn xn h1n h2n xn h1n xn h2n xn xn yn yn h1n h2n h1n h2n Propriedades de SLITs Estabilidade BIBO xn com amplitude limitada xn Bx yn sum from k to hkxnk yn sum from k to hkxnk Bx sum from k to hk Portanto para que a saída tenha amplitude limitada devese ter que sum from n to hn Causalidade A saída num instante n0 é yn0 sum from k to hkxn0k h2xn0 2 h1xn0 1 h0xn0 h1xn0 1 Logo se o sistema é causal a saída no instante n0 não pode depen der da entrada para instantes n n0 Ou seja não pode haver de pendência de xn0 1 xn0 2 e para isso a resposta impulsiva hn deve ser igual a zero para n 0 SLIT causal hn 0 para n 0 Dessa forma as condições de estabilidade e causalidade são facilmente determinadas em SLITs se for conhecida a resposta impulsiva Exemplo cont Se xn Bδn e y1 a para n 0 ficase com y0 x0 05y1 B a2 y1 x1 05y0 12 B a2 y2 x2 05y1 14 B a2 yn 12n B a2 n 0 Para n 1 y2 2y1 2x1 2a y3 2y2 2x2 4a yn 2n1 a 12n1 a n 2 3 yn a2 12n un 2 n 2 Logo a expressão geral da saída é yn B 12n un a2 12n un a2 12n un 1 B 12n un a2 12n Resposta em frequência de SLITs Considere um SLIT cuja entrada é uma exponencial complexa na frequência ω0 xn ejω0n yn xn hn k hkxn k k hkejω0nk ejω0nk hkejω0k Definindose a seguinte função complexa Hejω k hkejωk ficase com yn Hejω0ejω0n Caso Hejω0 A0ejϕ0 a saída yn para esta entrada específica fica yn A0ejω0nϕ0 Ou seja a saída é outra exponencial complexa na mesma frequência que da entrada cuja magnitude e fase são modificadas pela função Hejw na frequência ω ω0 A entrada ejω0n é uma autofunção do sistema e o autovalor associado é Hejω0 A função Hejw descreve a mudança imposta na entrada ejωn em função da frequência ω e por isso é chamada de resposta em frequência do sistema Resposta em frequência Exemplo Sistema atraso yn xn nd Se a entrada for uma exponencial complexa xn ejωn a saída é yn ejωnnd ejωnejωnd Logo a resposta em frequência é Hejω ejωnd O resultado poderia também ser obtido a partir da resposta impulsiva Hejω k hkejωk k δk ndejωk ejωnd A magnitude e a fase são dadas por Hejω 1 magnitudeganho constante Hejω ωnd fase linear Logo um sistema que produz um atraso no tempo tem resposta em frequência com magnitude constante e fase linear Exemplos resposta impulsiva Sistema atraso yn xn nd hn δn nd Filtro de média móvel yn 1M1 M2 1 Σ kM1 to M2 xn k hn 1M1 M2 1 Σ kM1 to M2 δn k Acumulador ou integrador yn Σ k to n xk hn Σ k to n δk un Diferenciador yn xn xn 1 hn δn δn 1 yn xn 1 xn hn δn 1 δn Resposta em frequência Exemplo Filtro de média móvel hn δn δn 1 A resposta em freq é Hejω n hnejωn 1 ejω ejω2ejω2 ejω2 ejω22 cosω2 Portanto um filtro de média móvel tem ganho que diminui com o aumento da frequência sendo um tipo de filtro passabaixas Exercício Calcule a expressão da resposta em frequência do filtro de média móvel de ordem M hn 1M1ununM1 Determine a frequência do primeiro zero da resposta em frequência de magnitude em função de M e esboce as respostas em frequência de magnitude e de fase Exemplo Convolução Linear yn xn hn Σ k to xkhn k x1hn 1 x0hn x1hn 1 ŷ1n ŷ0n ŷ1n A convolução pode ser vista como a soma de diversas funções respostas ao impulso sendo que cada função está escalonada e deslocada no tempo de acordo com as amostras de xn entrada xn cos π4 n entrada xn cos π2 n Exemplo Convolução Linear Método gráfico Outra maneira de interpretar a somatória de convolução é através do cálculo da saída yn para cada instante n yn Σ k to xkhn k Para cada instante n fazse a multiplicação de duas funções xk e hn k onde n é uma constante Para se obter a saída naquele instante fazse a somatória de todas as amostras da função resultante y0 Σ k to xkh0 k Σ k to y0k y1 Σ k to xkh1 k Σ k to y1k y1 Σ k to xkh1 k Σ k to y1k Para n 0 y0k xkh0 k y0 Σ k to y0k 4 1 5 Exemplos DTFT Impulso xn δn Xejω n xnejωn n δnejωn 1 ω Exemplos DTFT Exponencial xn anun a 1 Xejω n anunejωn n0 anejωn n0 aejωn 11 aejω Para n 1 y1k xkh1 k y1 Σ k to y1k 2 Convergência da DTFT Nem todas as sequências têm DTFT que converge de forma absoluta ou seja a somatória Xejω n xnejωn pode não convergir para todo ω Podemse determinar sequências tais que a somatória seja convergente ou seja tenha um valor finito Xejω para todo ω Assim temse que Xejω n xnejωn Xejω n xnejωn Xejω n xn Dessa forma uma condição suficiente para a existência da DTFT é que a somatória acima convinja é que a sequência xn obedeça a n xn No entanto existem sequências cuja somatória do módulo não converge mas que possuem DTFT caso do degrau e da senóide Fenômeno de Gibbs Seja a resposta em freq de um filtro passabaixas ideal Hejω 1 ω ωc 0 ωc ω π Sua resposta impulsiva é hn 12π ππ Hejωejωn dω 12π ωcωc 1 ejωn dω 12π ejωc n ejωc n jn j2 sinωc n j2 π n sinωc n π n ωc π sinc ωc n π n Voltando ao domínio da frequência observemos o gráfico da magnitude do sinal HMejω nMM hnejωn para diversos valores de M Esperase que HMejω seja uma aproximação da função original Hejω à medida que se aumenta o número de componentes de frequência Para n 2 y2k xkh2 k y2 Σ k to y2k 0 Fenômeno de Gibbs Notase que a função original em tracejado não é reconstruída perfeitamente havendo oscilações que aumentam de freq à medida que se aumenta o número de componentes do sinal Na descontinuidade as funções assumem valor igual à metade da amplitude da descontinuidade 05 nesse caso e nessas imediações há um erro na aproximação uma espécie de sobressinal Nesse caso não é possível a síntese da função original pois não se pode obter uma função descontínua a partir de funções contínuas exponenciais complexas Este é o chamado fenômeno de Gibbs Apesar de que a função HMejω não converge para Hejω para todas as frequências Σn hn2 é finito e a energia do erro HMejω HMejω2 tende a zero Este é um caso no qual há convergência relativa ao erro quadrático médio ou seja limM ππ Hejω HMejω2 dω 0 Para n 1 y1k xkh1 k y1 Σ k to y1k 6 2 1 7 Propriedades Linearidade axn byn aXejω bYejω Atraso no tempo xn nd ejωndXejω Deslocamento em freq ejω0nxn Xejωω0 Inversão no tempo xn Xejω Xejω xn real Diferenciação em freq nxn j dXejωdω Convolução no tempo yn xn hn Y ejω Xejω Hejω Janelamento xn vn 12π ππ XejθV ejωθ dθ Teorema de Parseval Σn xnyn 12π ππ XejωY ejωdω Σn xn2 12π ππ Xejω2 dω Exemplos Impulso e Senóide Impulso Considere o sinal com DTFT Xejω Σk 2πδω ω0 2πk cujo espectro é A DTFT inversa é xn 12π ππ Xejωejωndω 12π ππ 2πδω ω0ejωndω ππ δω ω0ejωndω ejω0n Logo ejω0n 2π Σk δω ω0 2πk Exemplos Impulso e Senóide Sinal senoidal Um cosseno pode ser escrito como xn cosω0n 12 ejω0n ejω0n Usando o resultado anterior a DTFT do sinal é cosω0n DTFT ejω0n2 DTFT ejω0n2 cosω0n π Σk δω ω0 2πk δω ω0 2πk Para n 3 Set of 3 graphs labeled xk hk h3k y3k xk h3k y3 sum from k to y3k 3 Para n 4 yn 0 One graph labeled yn Exemplos Convolução Linear e Multiplicação de Polinômios Considere os polinômios dados por ax a0 a1 x a2 x2 a3 x3 cdots aN xN bx b0 b1 x b2 x2 b3 x3 cdots bM xM A multiplicação entre os polinômios resulta em cx a0 b0 a0 b1 a1 b0 x a0 b2 a1 b1 a2 b0 x2 cdots aN bM xNM Chamando de an e bn as sequências relacionadas aos polinômios em que ai ai i 0 1 cdots N e bi bi i01 cdots M e chamando cn an bn temse que as amostras de cn são iguais aos coeficientes ci para i 0 1 cdots NM Exemplo ax 1 x x2 Rightarrow an 1 1 1 0 leq n leq 2 bx 2 x2 x3 Rightarrow bn 2 0 1 1 0 leq n leq 3 A convolução linear resulta na sequência cn 2 2 3 0 0 1 0 leq n leq 5 que corresponde ao polinômio cx 2 2x 3x2 x5 Exemplos Convolução periódica Calcule o espectro de x3n x1n cdot x2n com x1n fracsinpi 2 npi n x2n fracsinpi 4 npi n Usando a propriedade da modulação ou janelamento X3ej omega frac12 pi intpipi X1ej heta X2ejomega heta d heta Os espectros de x1n e x2n são Para calcular X3ej omega devese multiplicar X1ej heta e X2ejomega heta para omega variando entre pi e pi Para omega 0 temse A área destacada dá o valor da integral que deve ser dividida por 2 pi resultando em X3ej0 14 Exemplos Convolução periódica cont Para omega pi 4 a área permanece a mesma pois a sobreposição entre as funções se mantém A partir desse ponto diminuindo mais omega a área começa a diminuir Para omega pi 2 a sobreposição cai pela metade Exemplos Convolução periódica cont Para omega 3 pi 4 não há mais sobreposição entre as funções e a área é nula Para valores de omega positivos temse resultados parecidos e a função resultante fica Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 55 Exercıcios Propriedades Considere os seguintes sinais x1n 1 0 n L 1 0 caso contrario x2n 1 M n M 0 caso contrario 1 Obtenha as expressoes das DTFTs de x1n e x2n em funcao de L e M 2 Obtenha as sequˆencias e os espectros para L 5 e M 2 3 Verifique como se relacionam as sequˆencias em termos de um atraso no tempo e os espectros em termos de uma fase linear em frequˆencia Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 56 Exercıcios Propriedades Usando os resultados do exemplo anterior calcule a DTFT de um sinal senoidal truncado vn x1n cosω0n 1 Obtenha a expressao da DTFT de vn 2 Verifique como o espectro se relaciona com a duracao do pulso L 3 Faca alguns graficos vn V ejω V ejω para a L 10 ω0 π2 b L 20 ω0 π2 Dica Use a propriedade do janelamento no tempo convolucao em frequˆencia Equação de Diferenças Em alguns sistemas a saída e a entrada podem estar relacionadas por uma equação de diferenças a coeficientes constantes sum k0 to N ak ynk sum k0 to M bk xnk No caso geral temse yn sum k1 to N ak a0 ynk sum k0 to M bk a0 xnk Exemplo Considere o sistema yn 05yn1 xn Considerando condições iniciais nulas y1 0 a resposta impulsiva é obtida de maneira recursiva por y0 x0 05y1 1 0 1 y1 x1 05y0 0 051 05 y2 x2 05y1 0 0505 025 y3 x3 05y2 0 05052 0125 yn 05n un Exercícios Propriedades Seja xn uma sequência cuja DTFT é do tipo e considere a sequência modificada zn xn pn Esboce os espectros Zejω e interprete os resultados para 1 pn cosπn 2 pn cosπn2 3 pn sinπn2 4 pn k to δn2k Avalie também este efeito no MATLAB Para isto siga o diagrama de blocos 1 A conversão AD pode ser feita com o comando wavrecord ou podese trabalhar com um sinal gravado em arquivo WAV utilizando o comando wavread 2 O filtro passabaixas serve para limitar a frequência do sinal a π2 Para isto use o seguinte código NWnellipord04 06 01 40 baellipN 01 40 Wn x filterbav z xp O sinal pn deve ter as mesmas dimensões de xn Para ouvir o resultado use a função sound Exercícios Propriedades Calcule a DTFT do sinal Dica escreva xn como a convolução entre dois pulsos retangulares e use a propriedade da convolução no tempo Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 59 Exercıcios Resposta em frequˆencia a Um sistema linear invariante no tempo tem resposta impulsiva hn real Prove que a resposta em frequˆencia tem magnitude par e fase ımpar Hejω Hejω Hejω Hejω Alternativamente dizse que Hejω tem simetria hermitiana Hejω Hejω Dica escreva a expressao de Hejω a partir da definicao e aplique o conjugado com plexo b Num SLIT a resposta a uma entrada xn ejω0n e da forma yn Hejω0ejω0n Obtenha a saıda do sistema para uma entrada senoidal xn A cosω0n φ0 Considere que o sistema tem resposta impulsiva hn real Dicas 1 Escreva xn como a soma de duas exponenciais complexas com frequˆencias ω0 e ω0 2 Obtenha as saıdas para cada uma das exponenciais complexas 3 Usando a informacao de que hn e real como deve ser sua DTFT agrupe as respostas individuais para obter um sinal senoidal na saıda 4 Qual a relacao entre as amplitudes da saıda e da entrada 5 Qual a diferenca de fase entre a saıda e a entrada