Dimensionamento de Sistema de Vibração

Vibrações Trabalho 03 Problema Considere uma máquina de lavar roupa industrial suportada por duas colunas de aço e por duas barras de aço conforme mostrado na figura Considere também que a massa da máquina vazia é 50 kg e que a massa da roupa a ser lavada é 25 kg Assumindo que a máquina opera a 2000 x rpm no qual x é a soma dos dois últimos dígitos do registro acadêmico de todos os integrantes do grupo dimensione as barras e as colunas para que a frequência de operação seja 20 superior à frequência natural do sistema Além disso determine a máxima força transmitida para cada suporte das barras na condição de operação Neste trabalho faremos o dimensionamento das barras e colunas do suporte de uma máquina de lavar roupa industrial A meta é que a frequência natural do sistema seja 20 inferior à frequência de operação da máquina para evitar problemas de ressonância que poderiam danificar o equipamento Além disso será calculada a força máxima transmi tida aos suportes durante a operação levando em consideração a massa da roupa e a velocidade de rotação da máquina Dados do Problema disponibilizados pelo professor Para iniciar o dimensionamento é necessário conhecer os dados fornecidos Massa da máquina vazia mmáquina 50 kg Massa da roupa mroupa 25 kg Frequência de operação fop 2000 317 rpm Módulo de elasticidade do aço E 200 109 Pa O valor do modulo de elasticidade do aço foi tirado da internet e é um valor normalmente usado para a constante de rigidez do mesmo Dados do Problema Escolhidos arbitrariamente Raio de rotação do centro de gravidade da roupa r 03 m Comprimento das barras Lbarra 15 m Comprimento das colunas Lcoluna 20 m Determinação da Frequência de Operação A frequência de operação é a frequência em que a máquina de lavar opera medida em rotações por minuto rpm Para converter essa frequência para Hertz Hz usamos a relação fopHz 2000 317 60 Portanto fop 2317 60 3862 Hz Essa é a frequência com a qual a máquina de lavar estará girando durante sua opera ção normal 1 Frequência Natural do Sistema A frequência natural de um sistema mecânico é a frequência na qual o sistema tende a vibrar quando perturbado Para evitar ressonância a frequência natural deve ser diferente geralmente menor da frequência de operação No nosso caso para garantir a segurança e o funcionamento adequado da máquina a frequência natural deve ser 20 inferior à frequência de operação fn fop12 386212 3218 Hz Isso significa que a estrutura deve ser projetada de tal maneira que sua frequência natural seja de aproximadamente 3218 Hz Cálculo da Rigidez do Sistema A rigidez k do sistema é uma medida de quão resistente ele é à deformação quando sujeito a uma força A rigidez está relacionada à frequência natural fn e à massa total m pela equação fn 12πkm Podemos reescrever essa equação para determinar a rigidez k k 2π fn2 m A massa total do sistema é a soma da massa da máquina e da massa da roupa m 50 kg 25 kg 75 kg Substituindo os valores k 2π 32182 75 6126944 Nm Essa é a rigidez total que a estrutura de suporte deve ter para garantir que a frequência natural seja adequada Dimensionamento das Barras e Colunas As barras e colunas que suportam a máquina devem ter uma rigidez que em conjunto atenda ao valor calculado A rigidez de uma barra ou coluna é dada pela fórmula k EAL onde E é o módulo de elasticidade do material aço A é a área da seção transversal da barra ou coluna L é o comprimento da barra ou coluna A rigidez total é a soma das rigidezes das duas barras e das duas colunas ktotal 2kbarra 2kcoluna 2 EALbarra 2 EALcoluna Substituindo os valores conhecidos 6126944 2 200 109 A15 2 200 109 A2 Resolvendo para A 6126944 400 109 A15 400 109 A2 Simplificando 6126944 40015 4002 109 A A 612694440015 4002 109 2298 105 m² 2298 mm² Portanto as barras e colunas devem ter uma área de seção transversal mínima de 2298 mm² para garantir a rigidez necessária Cálculo da Força Centrífuga Durante a operação a massa da roupa gera uma força centrífuga que atua no sistema de suporte Essa força centrífuga Fc é dada por Fc mroupa r ω² onde mroupa é a massa da roupa 25 kg r é o raio de rotação 03 m ω é a velocidade angular que pode ser calculada por ω 2π fop Substituindo os valores ω 2π 3862 rads Fc 25 03 2π 38622 37083 N Essa é a força centrífuga gerada pela rotação da roupa dentro da máquina Força Transmitida para os Suportes A força centrífuga gerada é distribuída entre os quatro suportes duas barras e duas colunas Assim a força transmitida para cada suporte é dada por Ftransmitida Fc4 370834 9271 N Dessa forma cada suporte precisa ser capaz de suportar uma força de aproximadamente 9271 N durante a operação da máquina finalizando nossa analise