Análise Dinâmica da Frequência Vibratória de um Automóvel

Trabalho 4 Vibrações o grau de liberdade 1 movimentação vertical do carro x 2 angular θ 3 vertical de suspensão dianteira x₁ 4 traseira x₂ Cax l₂ θ x₂ kₐ₂ x l₂ θ x₂ kₐ₁ x l₁ θ x₁ C₁x l₁ θ x₁ x l₁ sin θ x l₁ θ Cax l₂ θ x₂ kₐ₂ x l₂ θ x₂ C₁ x l₁ θ x₁ ma kₐ₂ x₂ y₂ 1 ΣFₓ m aₓ kₐ₁ x l₁ θ x₁ C₁ x l₁ θ x₁ kₐ₂ x l₂ θ x₂ C₂ x l₂ θ x₂ m x 1 kₐ₁ x l₁ θ x₁ C₁ x l₁ θ x₁ kₐ₁ x₁ y₁ m₁ x₁ 2 kₐ₂ x l₂ θ x₂ C₂ x l₂ θ x₂ kₐ₂ x₂ y₂ m₂ x₂ 3 Ø ΣM CG I CG α ro velocidade angular 4 kₐ₁ x l₁ θ x₁ l₁ C₁ x l₁ θ x₁ l₁ k₂ x l₂ θ x₂ l₂ C₂ x l₂ θ x₂ l₂ IG θ 1 2 3 e 4 são as equações de movimento 2 1 INTRODUÇÃO O presente relatório tem como objetivo o estudo dinâmico de um automóvel tendo em vista as componentes de rigidez e amortecimento do sistema de suspensão O sistema em estudo é caracterizado por quatro graus de liberdade e o desenvolvimento das equações para caracterização do movimento é realizado a partir de um problema de autovalor método para resolução de sistemas com vários graus de liberdade utilizado nas aulas Figura 1 representação do automóvel e os parâmetros físicos analisados Fonte Prof Dr Juliano Gonçalves Iossaqui 3 2 DESENVOLVIMENTO A partir dos parâmetros iniciais primeiramente foi analisado o sistema de forças ao qual foram considerados os quatro graus de liberdade 𝑋 e θ como mostra a figura 2 𝑋1 𝑋2 Para a realização do equacionamento foi considerado X como deslocamento vertical do centro de gravidade como deslocamento da roda dianteira como deslocamento da roda 𝑋1 𝑋2 traseira e a inércia rotacional do sistema 𝐼𝐺 Para a análise realizada foi considerado deslocamentos angulares de ângulos muito pequenos permitindo tratar este problema de forma linear considerando e 𝑠𝑒𝑛θ θ 𝑐𝑜𝑠θ 1 Figura 2 Diagramas de corpo livre do automóvel e dos conjuntos pneurodasuspensão dianteira e traseira Fonte Autor Para a realização do cálculo das equações de movimento foi considerado que 𝑥1 𝑦1 e 𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑙1θ 𝑥1 𝑥 𝑙2θ 𝑥2 Com o diagrama livre foi encontradas as equações de movimento representadas nas Equações 14 com somatório de forças Σ 𝑚 e somatório de momentos Σ𝑀 𝐽 𝐹𝑥 𝑎𝑥 α sendo α a aceleração angular 4 1 2 3 4 Definidas as equações de movimento elas foram escritas na forma matricial presente na Equação 5obtendo as matrizes de massa M de amortecimento C e de rigidez K representadas pelas Equações 6 e 7 sabendo que 𝑚 400𝑘𝑔 𝑚1 55𝑘𝑔 𝑚2 60𝑘𝑔 𝐼𝑔 1100𝑘𝑔 𝑚 2 𝑙1 1 4𝑚 𝑙2 1 5𝑚 𝑘1 14 000𝑁𝑚 𝑘2 10 000𝑁𝑚 e 𝑘𝑡1 200 000𝑁𝑚 𝑘𝑡2 200 000𝑁𝑚 𝑐1 1 300𝑁 𝑠𝑚 𝑐2 1 200𝑁 𝑠𝑚 5 5 6 7 Com a Equação 8 foram obtidas as frequências naturais ω𝑖 det 0 8 𝐾 ω𝑖² 𝑀 𝑤1 6 4736 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑤2 7 7863 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑤3 59 1793 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑤4 62 3826 𝑟𝑎𝑑𝑠 Após encontrados os valores das frequências utilizando a Equação 9 foram calculados as formas modais primeiro segundo terceiro e quarto modo presentes nas Equações 1013 e os modos de vibrações com i variando de 1 a 4 𝑥𝑖 𝑖 0 9 𝐾 ω𝑖² 𝑀𝑋 𝑖 10 6 11 12 13 Para a obtenção da matriz modal foi aplicado o processo de ortonomização pela Equação 14 assim se obtendo a matriz representada pela Equação 15 14 15 7 Após conseguir a matriz nodal foram desprezados os amortecimentos e considerados os valores de e nulos foi utilizado o método das equações desacopladas representados 𝑦1 𝑦2 pelas Equações 1516 para determinar os deslocamentos nos quatro graus de liberdade Foi montando um sistema com as equações desacopladas representado pelas Equações 1718 15 16 17 Substituindo as frequências naturais obtémse 18 A partir das soluções das equações desacopladas Equação 19 e das condições iniciais definidas como e as quatro 𝑥0 0 1 𝑚 𝑥 1 0 0 05 𝑚 𝑥2 0 0 05 𝑚 θ0 1 velocidades iniciais nulas foi possível encontrar os valores das coordenadas generalizadas 𝑞𝑖 Equação 20 8 19 20 Assim a partir da substituição destas coordenadas generalizadas na Equação 15 foi possível obter os deslocamentos em e como visto nas Equações 𝑥𝑡 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 θ𝑡 2124 21 22 23 24 9 DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DO PERFIL DA LOMBADA A solicitação foi para que a lombada tivesse um perfil senoidal Pesquisas na internet mostraram que quebramolas possuem uma altura de e um comprimento de Deste 0 1𝑚 1𝑚 modo para que o quebramola fosse modelado em perfil senoidal estipulouse os parâmetros para função seno de tal modo que Outra informação importante é a 𝐴 0 1 𝑚 𝑒 λ 2 𝑚 velocidade do carro analisada para Além disso a distância entre eixos 40 𝐾𝑚ℎ 𝑒 80 𝐾𝑚ℎ do carro é de 2 9 𝑚 Com todos os dados foi escrita a função senoidal da lombada na forma 25 𝑦 𝐴 𝑠𝑒𝑛 2π𝑣 λ 𝑡 Para velocidade de a equação é dada por 40 𝐾𝑚ℎ 11 11 𝑚𝑠 26 𝑦 0 1 𝑠𝑒𝑛34 9 𝑡 Para velocidade de a equação é dada por 80 𝐾𝑚ℎ 22 22 𝑚𝑠 27 𝑦 0 1 𝑠𝑒𝑛69 8 𝑡 Fazendo uma análise do tempo que o pneu dianteiro leva para passar pela lombada bem como o tempo pro eixo traseiro alcançar a lombada levando em conta a distância entre eixos e a velocidade foi possível escrever um par de equações para no MatLab para 𝑦1 𝑒 𝑦2 cada velocidade em estudo na forma 10 3 RESULTADOS E CONCLUSÃO As figuras a seguir apresentam as descrições gráficas do problema equacionado considerando o amortecimento Figura 3 Deslocamento vertical do centro de gravidade do carro com velocidade 40kmh Fonte Autor Figura 4 Deslocamento vertical do conjunto pneurodasuspensão dianteiro com velocidade 40kmh Fonte Autor 11 Figura 5 Deslocamento vertical do conjunto pneurodasuspensão traseiro com velocidade 40kmh Fonte Autor Figura 6 Deslocamento angular do carro com velocidade 40kmh Fonte Autor 12 Figura 7 Deslocamento da roda dianteira passando sobre a lombada com velocidade 40kmh Fonte Autor Figura 8 Deslocamento da roda traseira passando sobre a lombada com velocidade 40kmh Fonte Autor 13 Figura 9 Deslocamento vertical do centro de gravidade do carro com velocidade 80kmh Fonte Autor Figura 10 Deslocamento vertical do conjunto pneurodasuspensão dianteiro com velocidade 80kmh Fonte Autor 14 Figura 11 Deslocamento vertical do conjunto pneurodasuspensão traseiro com velocidade 80kmh Fonte Autor Figura 12 Deslocamento angular do carro com velocidade 80kmh Fonte Autor 15 Figura 13 Deslocamento da roda dianteira passando sobre a lombada com velocidade 80kmh Fonte Autor Figura 14 Deslocamento da roda traseira passando sobre a lombada com velocidade 80kmh Fonte Autor 16 A partir dos gráficos é possível observar que o equacionamento condiz com os resultados esperados para o sistema de suspensão do automóvel os gráficos apresentam o deslocamento das rodas sobre o obstáculo e da mesma forma a oscilação a qual o centro de gravidade do carro é submetido após a perturbação que é amortecida pelo sistema de suspensões até que o conjunto retorne à sua posição inicial Para os dois cenários o automóvel a 40 e 80 kmh os gráficos de deslocamento das rodas atingem os mesmos valores de pico confirmando a conformidade da equação de movimento Os deslocamentos vertical e angular do centro de gravidade do veículo e dos conjuntos pneurodasuspensão por sua vez possuem um intervalo de variação menor à medida que sua velocidade de deslocamento aumenta comportamento esperado para um carro 17 4 REFERÊNCIAS IOSSAQUI J G Vibrações Sistemas com vários graus de liberdade Disponível emhttpsmoodleutfpredubrpluginfilephp2751263modresourcecontent5au la20vibpdf Acesso em 02 set 2024 IOSSAQUI J G Vibrações Análise modal de sistemas não amortecidos Disponível emhttpsmoodleutfpredubrpluginfilephp3075651modresourcecontent6au la22vibpdf Acesso em 02 set 2024 ANEXO CÓDIGO PRINCIPAL clc clear Parâmetros m 400 m1 55 m2 60 Jg 1100 k1 14000 k2 10000 kt1 200000 kt2 200000 c1 1300 c2 1200 l1 14 l2 15 18 data structmmm1m1m2m2JgJgk1k1k2k2kt1kt1kt2kt2c 1c1c2c2l1l1l2l2 tspan 000013 t 000013 x0 00000000x0 01000500050001750 Para V40kmh 1111ms y1 01sin349tt0t009 y2 01sin349t02310t02310t02310009 Para V80kmh 2222ms y1 01sin698tt0t0045 y2 01sin698t01305t01305t013050045 Integrador Numérico tx ode45txode45t4txdatatspanx0 Respostas x1num x1 x2num x3 x3num x5 x4num x7 Plot figure1 plottspanx1numb xlabelTempo s ylabelDeslocamento m titlext figure2 plottspanx2numb 19 xlabelTempo s ylabelDeslocamento m titlex1t figure3 plottspanx3numb xlabelTempo s ylabelDeslocamento m titlex2t figure4 plottspanx4numb xlabelTempo s ylabelDeslocamento rad titlethetat figure5 plottspany1b xlabelTempo s ylabelDeslocamento m titley1t figure6 plottspany2b xlabelTempo s ylabelDeslocamento m titley2t CÓDIGO ODE 45 function dxdt ode45t4txdata 20 Parâmetros m datam m1 datam1 m2 datam2 Jg dataJg k1 datak1 k2 datak2 kt1 datakt1 kt2 datakt2 c1 datac1 c2 datac2 l1 datal1 l2 datal2 Variáveis x1 x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 x5 x5 x6 x6 x7 x7 x8 x8 dxdt zeros81 Para V40kmh 1111ms y1 01sin349tt0t009 y2 01sin349t02310t02310t02310009 21 Para V80kmh 2222ms y1 01sin698tt0t0045 y2 01sin698t01305t01305t013050045 Equações de Movimento dxdt1 x2 dxdt2c1c2x2c1x4c2x6c2l2c1l1x8k1k2x1 k1x3k2x5k2l2k1l1x7m dxdt3 x4 dxdt4 kt1y1c1x2c1x4c1l1x8k1x1k1kt1x3k1l1x7 m1 dxdt5 x6 dxdt6 kt2y2c2x2c2x6c2l2x8k2x1k2kt2x5k2l2x7 m2 dxdt7 x8 dxdt8 c1l12c2l22x8c1l1c2l2x2c1l1x4c2 l2x6k1l1k2l2x1k1l1x3k2l2x5k1l12k2 l22x7Jg EQUACIONAMENTO À MÃO mx e1 x C1 x C1 x1 C0 x1 x Ca2 θ Ca2 θ 16 X1 16 X1 θ W2 x1 16 X2κ Ka1 θ Ka2 θ 0 m1 x C1 x C1θ C1 X1 W1 X1 k1 X1 kW1 Y1 0 m2 x Ca θ Ca X2 k2 X kW2 X2 kY2 X2 kW2 Y2 0 I6 θ C1θ C1θ C1 θ1 Ca2 θ Ca X2 θ Ca X2 k1θ1 k1 θ kY1 X1 kL2 X2 X kX2 θ kW2 X2 0 In forma matricial matriz de massa M Matriz de amortecimento m 0 0 0 0 m1 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 IG x x1 x2 θ C1 Ca C1 Ca2 C1 θ1 Ca2 θ C1 C1 0 C1 θ1 Ca 0 Ca Ca2 C1θ1 Ca2 Ca2 Ca2 C1 θ1 Ca2 θ k1 k12 k12 k12 k12 k12 k1 k1 k12 0 k12 k12 0 k12 k12 k12 k1 θ1 k12 θ2 k1 θ1 k12 θ12 k12 θ12 X X1 X2 θ 0 kθ1 Y1 kθ2 Y2 0 to matriz de rigidez k Valores m 450 kg l1 17 m k1 200000 Nm m1 55 kg l2 15 m k12 200000 Nm m2 600 kg k11 70000 Nm C1 13000 N sm I6 1100 kg m2 k12 10000 C2 1200 N sm Frequências naturais dt k w2 M 0 M 400 0 0 0 0 55 0 0 0 0 60 0 0 0 0 1100 k 24 14 10 46 14 210 0 196 10 0 210 15 46 196 15 4994 103 det 24 07 w2 14 10 46 14 210 0055 w2 0 196 10 0 210 0056 w2 15 46 196 15 4994 114 w2 Matlab 1452 w8 1088 w7 2089 37 790 20 w4 205 6365 99 20 000 w4 50279910000000 0 Eq característica w1 64776 rads w2 77863 rads freqnaturais w3 591793 rads w4 623826 rads Abaixo os modos k W2 M X1 0 6 i 1 wi 2410075 7240 14000 10000 4600 14000 241700 0 19600 10000 0 207490 15000 4600 19600 15000 3840 X1a X2a X3a X4a 0 0 0 0 2224 X11 14 X21 10 X31 46 X41 0 14 X11 2417 X21 196 X41 0 10 X11 20779 X31 15 X41 0 46 X11 196 X21 15 X31 3840 X41 0 Somando I II e IV x 142417 IV x 1020779 775 X1 14 X2 10 X3 46 X4 0 0925 X1 414 X4 0 4296 X2 X4 0 0919 X1 0 10 X3 07229 X4 0 58323 X1 40267 X4 0 X11X11 174884 Mexendo em IV 14X1 2117 X2 196174884X1 0 X31X11 00680 Mexendo em II 10X1 20779 X2 15 157979X1 0 X31X11 01529 X1 1 00680 01529 174884 X11 Primeiro modo wi 2 wa2 6006265 250 14000 10000 4600 14000 210670 0 19600 10000 0 206360 15000 4600 19600 15000 18750 X1a X2a X3a X4a 0 0 0 0 Somando E II III IV x 14210670 III x 10206360 025 X1 14 X2 10 X3 46 X4 0 09850 X1 414 X4 0 13025 X4 0 0985 X1 0 10 072697 X4 0 16694 40257 X4 0 X4aX1a 04137 Mexendo em II 14 X1 21067 X2 196 04137 X1 0 X2aX1a 01049 Mexendo em III 10 X1 206360 X3 150 4137 X1 0 X3aX1a 001839 X2 1 01049 001839 014137 X12 segundo modo w1 3 w32 350219 1376200 14000 10000 4600 14000 241400 0 19600 10000 0 100 15000 4600 19600 15000 3802500 X13 X23 X33 X43 0 0 0 0 Somando IIIIIIIV x 1421X1 III x 100 1376X1 14X0 10X3 146X40 91589X1 14X2 0 1288024X40 1000X1 0 10X3 1500X40 14X1 2217X2 196 15995X10 X23X11 21192 23860589X1 14911776X40 X40X13 15995 10X1 01X8 15 15995X1 0 X33X11 139925 X3 1 21192 139925 15995 X13 terceiro modo w1 4 w42 38915888 1532600 14000 10000 4600 14000 0 0 19600 10000 0 23500 15000 4600 19600 15000 4238600 X14 X24 X34 X44 0 0 0 0 II 14X1 196X40 X44X14 07143 III 10X1 235X3 15 07143X10 X34X44 08815 I 15326X1 14X3 10 08815X1 416 07143X1 0 X24X14 1090765 ORTONORMALIZAÇÃO XiiT M Xii 1 Para i1 1 00658 01529 147479 X11 500 0 0 0 0 55 0 0 0 0 60 0 0 0 0 1100 1 00658 01529 147479 X11 1 270788 X1ii2 1 X1i 00192 Para i2 1 01049 001839 014137 X12 M 1 01049 001839 014137 X12 1 589688 X1221 X12 00412 Para i3 1 21192 139925 15995 X13 u 1 21192 139925 15995 1 1175200 X1321 X13 000009213 Para i4 1 1090765 08815 97143 X14 M 655380 X1421 X14 0002235 MATRIZ MODAL X X0 X2 X3 Xw X0 00192 00013056 0000973568 0002789288 X2 00412 0005920188 0000757668 0017074444 X3 00009213 0001952184 0128912908 0001473619 X4 0001235 01384709477 0001088652 000088216 X 00192 00412 00009213 0001235 00013056 000543219 00019524 01387095 0000973568 00007577 01289129 00010866 00027893 001707444 00014736 00008822 Matriz modal Desprezando o amortecimento e considerando q10 e q40 determine os deslocamentos xt x1t x3t x4t e θt usando o método de desacoplamento de equações Defina as condições iniciais justificando a motivação Xt Xq2 t ou θt X1 Xt θ é o vetor de coordenadas generalizadas q Ω2 q 0 com q q1 q2 q3 q4 Ω w12 0 0 0 0 w22 0 0 0 0 w32 0 0 0 0 w42 q1 q2 q3 q4 w12 0 0 0 0 w22 0 0 0 0 w32 0 0 0 0 w42 q1 q2 q3 q4 0 0 0 0 q1 w12 q10 q2 w22 q20 q3 35021759 q30 q4 38915888 q40 eq desacoplada Solução q1 q10 cos w1t q10 w1 sen w1t q2 q20 cos w2t q20 w2 sen w2t q3 q30 cos w3t q30 w3 sen w3t q4 q40 cos w4t q40 w4 sen w4t Condições iniciais x0 01m x10 005m x20 005m θ0 1º Velocidades iniciais nulas q10 q20 q30 q40 q10 q20 q30 q40 X X1 X0 X10 X20 θ0 0 0 0 0 q10 06690 q20 21328 q30 03574 q40 03144 q10 0 q20 0 q30 0 q40 0 Jogando nas eq de solução q1 06690 cos 64736 t q2 21328 cos 77863 t q3 03574 cos 591793t q4 03144 cos 623826t X 001922 q1 024128q2 00009813q3 002128q4 X1 000129q1 000543q2 00020q3 018470q4 X20 0002291q1 00007577q2 012879q3 00011 q4 θ0 0002789q1 001709q2 00015q3 00007622q4 X 00128 cos 64736 t 00879 cos 77863 t 0000329 cos 591793t 0000377 cos 623826 t X1 00008697 cos 64736t 0009171 cos 77863t 00007418 cos 591793 t 001810 cos 623826t X20 0001941 cos 64736 t 0001615 cos 77863t 0014607 cos 591793 t 00003458 cos 623826 t θ0 001863 cos 64736 t 0002626 cos 77863t 00005361 cos 591793 t 00002771 cos 623826 t Instruções gerais Entregar relatório em papel A4 até 19022025 Trabalho deve ser realizado em grupo de 3 at 5 estudantes Critérios de Avaliação Modelo matemático e hipóteses adotadas 40 pontos Resultados e discussões 30 pontos Organização e clareza 30 ponto Problema Considere o automóvel e seu modelo mostrado na figura abaixo Considere que m é a massa do carro Ix é o momento de inércia de massa em relação ao CG do automóvel representado pelo ponto C m1 e m2 são respectivamente as massas dos conjuntos pneu rodasuspensão direito e esquerdo do automóvel kt é a constante de rigidez dos pneus k é a constante de rigidez das suspensões kR é a constante de rigidez torcional da barra de torção c é a constante de amortecimento das suspensões b1 e b2 são respectivamente as distâncias da suspensão direita e esquerda ao CG ϕ é o deslocamento angular do CG do automóvel x é o deslocamento vertical do CG do automóvel x1 e x2 são respectivamente os deslocamentos verticais das massas m1 e m2 enquanto y1 e y2 são os desníveis do solo sob os pneus direito e esquerdo respectivamente Considerando o modelo mostrado na figura acima Determine as frequências naturais e formais modais para m 400 kg m1 m2 50 kg Ix 800 kgm2 b1 0 7 m b2 0 75 m k 10000 Nm kt 200000 Nm kR 25000 Nmrad e c 1200 Nsm SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 3 2 MODELAGEM MATEMÁTICA 4 3 SOLUÇÃO NUMÉRICA 6 31 Parâmetros 6 32 Resultados 6 321 Frequências Naturais 6 322 Modos de vibração 6 4 CONCLUSÃO 9 REFERÊNCIAS 10 ANEXOS 11 ANEXO A CÓDIGOS IMPLEMENTADOS NO MATLAB 12 A1 Código Principal 12 No text present in image 3 1 INTRODUÇÃO Este trabalho tem como objetivo determinar as frequências naturais e os modos de vibração associados a dinâmica lateral de um veículo com base em um modelo com 4 graus de liberdade Essa análise por mais simplificada que possa ser gera resultados de extrema importância para o projeto de um veículo dado que permite ao projetista conhecer o comportamento do veículo sem a necessidade de simulações computacionais custosas com modelos complexos com muitos graus de liberdade O modelo a ser levado em consideração está exposto na Figura 1 Figura 1 Modelo de carro completo com 7 graus de liberdade extraído de JAZAR 2017 2 MODELAGEM MATEMÁTICA De acordo com JAZAR 2017 e RAO 2008 a forma mais simples de se obter as equações de movimento de um veículo é através da utilização da Equação de Lagrange Para utilizar esta equação é necessário construir as equações da energia cinética potencial e da energia dissipada nos amortecedores Assumindo a hipótese de pequenos deslocamentos angulares serão pequenos essas energias estão expostos nas Equações 21 22 e 23 obtidas através da simplificação do modelo exposto em JAZAR 2017 T 1 2m x2 1 2Ix φ2 1 2m1 x2 1 1 2m2 x2 2 21 V 1 2K x b1φ x12 1 2K x b2φ x22 1 2Kt x1 y12 1 2Kt x2 y22 1 2KRφ2 22 D 1 2C x b1 φ x12 1 2C x b2 φ x22 23 Aplicando esses funcionais na equação para cada coordenada generalizada do sistema nas Equações 24 e 26 são obtidas as equações de movimento que podem ser expressas na forma matricial conforme as Equações 27 28 29 210 e 211 L T V 24 d dt qL qL qD 0 25 d dt qT qV qD 0 26 M x φ x1 x2 K x φ x1 x2 C x φ x1 x2 F 27 M m 0 0 0 0 Ix 0 0 0 0 m1 0 0 0 0 m2 28 K 2K Kb1 b2 K K Kb1 b2 Kb2 1 b2 2 KR Kb1 kb2 K Kb1 K 0 K Kb2 0 K 29 5 C 2C Cb1 b2 C C Cb1 b2 Cb2 1 b2 2 Cb1 Cb2 C Cb1 C 0 C Cb2 0 C 210 F 0 0 Ky1 Ky2 211 As frequências naturais são a solução da equação K ω2 nM 0 212 ou seja são a raiz quadrada dos autovalores da matriz M 1K E os modos normais são obtidos através da solução do seguinte sistema linear K ω2 nMX 0 213 3 SOLUÇÃO NUMÉRICA 31 Parâmetros Os parâmetros apresentados em na Tabela 1 serão utilizados para o cálculo das frequências naturais e modos de vibração Tabela 1 Parâmetros utilizados Parâmetro Valor Parâmetro Valor m 400 Kg Ix 900 Kgm2 m1 50 Kg m2 50 kg K 10000 Nm Kt 200000 Nsm KR 25000 Nsm C 1200 Nsm b1 07 m b2 075 m 32 Resultados 321 Frequências Naturais Aplicando os valores da Tabela 1 temos que a matriz M 1K será dada por M 1K 50 125 25 25 0 625 13 1562 8 75 9 375 200 140 200 0 200 150 0 200 31 Com o auxílio do software MATLAB os autovalores da matriz acima são dados por ω2 n 250 0212 213 1351 0 0 32 322 Modos de vibração A equação anteriormente exposta será aplicada para cada das 4 frequências calcu ladas na seção anterior 32 Resultados 7 ω2 1 250 0212 Aplicando os valores na equação temos que K ω2 nMV 0 0 8001 0 005 0 1 0 1 0 005 0 005 0 07 0 075 0 1 0 07 0 025 0 0 1 0 075 0 0 025 V1 0 33 Diagonalizando essa matriz com o auxílio do algoritmo de Euler temos que 1 0 0 0 247 0 1 0 0 0042 0 0 1 0 9757 0 0 0 0 V1 0 34 Assumindo que V 4 1 1 temos que V1 0 247 0 0042 0 9757 1 35 Normalizando este vetor temos que X1 0 1741 0 003 0 6877 0 7048 36 ω2 2 213 1351 Aplicando os valores na equação temos que K ω2 nMV 0 0 6525 0 005 0 1 0 1 0 005 1 5998 0 07 0 075 0 1 0 07 0 0066 0 0 1 0 075 0 0 0066 V2 0 37 Diagonalizando essa matriz com o auxílio do algoritmo de Euler temos que 1 0 0 0 0031 0 1 0 0 0917 0 0 1 1 0249 0 0 0 0 V2 0 38 Assumindo que V 4 2 1 temos que V2 0 0031 0 0917 1 0249 1 39 8 Capítulo 3 Solução numérica Normalizando este vetor temos que X2 0 0022 0 0638 0 7143 0 6969 310 ω3 0 Aplicando os valores na equação temos que K ω2 nMV 0 2 0 05 1 1 0 05 1 0525 0 7 0 75 1 0 7 1 0 1 0 75 0 1 V3 0 311 Diagonalizando essa matriz com o auxílio do algoritmo de Euler temos que 1 0 0 5712 0 4828 0 1 0 6897 0 6897 0 0 0 0 0 0 0 0 V3 0 312 Esse sistema possui posto 2 conforme esperado dado que ω3 ω4 Assumindo que V 4 3 2 75 e V 3 3 1 temos que V3 1 8989 1 207 1 2 75 313 Normalizando este vetor temos que X2 0 5144 0 327 0 2705 0 745 314 ω4 0 Como os autovetores são normais entre si o último autovetor deve ser obtido de tal forma que seja perpendicular aos outros 3 vetores Portanto aplicando o processo de ortogonalização de GrahamSchimidt podemos obter um 4º vetor vetor unitário e normal aos outros 3 já calculados Desta forma temos que X4 0 1586 0 675 0 6311 0 3477 315 Desta forma estão definidos as frequências e modos de vibração do sistema em questão 9 4 CONCLUSÃO Portanto podese concluir que através de contas simples e plausíveis de serem realizadas a mão podem ser obtidas informações importantes sobre o comportamento dinâmico de um sistema relativamente complexo Ratificandose a importância do emprego de modelos simplificados mesmo que suas hipóteses não sejam sempre válidas REFERÊNCIAS JAZAR R N Vehicle dynamics Springer 2017 tm Citado 2 vezes nas páginas 3 e 4 RAO S Vibracoes mecanicas Pearson 2008 tm Citado na página 4 Anexos ANEXO A CÓDIGOS IMPLEMENTADOS NO MATLAB A1 Código Principal clear all clc D e f i n i o dos p a r m e t r o s vel 1536 ms velocidade em metros por segundo m 1108 Kg Ix 235 Iy 830 kf 211180 Nm kr 270000 Nm cf 2015 Nsm cr 935 Nsm a1 1945 a2 2115 b1 058 b2 116 g981 M m 0 00 Ix 00 0 Iy K 2kf2kr kfb1 kfb2 krb1krb2 2kfa12kra2 kfb1 kfb2 krb1krb2 b12kfb22kfb12krb22kr a1b1kfa1b2kf a2b1kra2b2kr 2kfa12kra2 a1b1kfa1b2kf a2b1kra2b2kr 2 a12kf2a22kr C 2cf2cr b1cf b2cf b1crb2cr 2a1cf2a2cr b1cf b2cf b1crb2cr b12cfb22cfb12crb22cr a1b1cfa1b2cf a2b1cra2b2cr 2a1cf2a2cr a1b1cfa1b2cf a2b1cra2b2cr 2a1 2cf2a22cr A1kf kf kr krb1kf b2kf b1kr b2kra1kf a1kf a2kr a2kr A2cf cf cr crb1cf b2cf b1cr b2cra1cf a1cf a2cr a2cr A1 Código Principal 13 g981 S o l u o do problema ty ode45 eqcarrocomp 0 18 000000 s o l u o da e q u a a o diferencial no intervalo de t0 a tt210s figure 1 plotty2 grid xlabelTempo s ylabel Deslocamento Vertical do v e c u l o m titleDeslocamento vertical do centro de massa do v e c u l o printxdepsc figure 2 plotty1 grid xlabelTempo s ylabel Velocidade vertical do centro de massa do v e c u l o ms titleVelocidade vertical do centro de massa do v e c u l o printxpdepsc for i11 lengtht th deg2rad 30 y1 y2 y3 y4 y1p y2p y3p y4p pistativel a1 a2 b1 b2 th qp yi1yi3yi5 q yi2yi4yi6 qpp M1KqM1Cqp M1mg00M1A1y1y2 y3y4M1A2y1py2py3py4p Ai qpp 1 Fmdei kfyi2y1b1yi4a1yi6 Fmddi kfyi2y2 b2yi4a1yi6 Fmtei kryi2y3 b1yi4a2yi6 Fmtdi kryi2y4b2yi4a2yi6 end figure 3 plottA10 14 ANEXO A Códigos implementados no MATLAB grid xlabelTempo s ylabel A c e l e r a o vertical do v e c u l o ms2 title A c e l e r a o vertical do centro de gravidade v e c u l o printxppdepsc figure 4 plottrad2degy4 grid xlabelTempo s ylabel ngulo title ngulo de rolagem printroldepsc figure 5 plottrad2degy6 grid xlabelTempo s ylabel ngulo title ngulo de arfagem printarfdepsc figure 6 plottFmdd tFmde tFmtd tFmte legendDiant DirDiant EsqTras DirTras Esq grid xlabelTempo s ylabel F o r a N title F o r a nas molas do v e c u l o printFmoldepsc C l c u l o das f r e q u n c i a s naturais omg eigM1K frequencias naturais em rads omgsqrtomg function dydx eqcarrocomptx D e f i n i o dos p a r m e t r o s A1 Código Principal 15 vel 1536 ms velocidade em metros por segundo m 1108 Kg Ix 235 Iy 830 kf 211180 Nm kr 270000 Nm cf 2015 Nsm cr 935 Nsm a1 1945 a2 2115 b1 058 b2 116 g981 th deg2rad 30 y1 y2 y3 y4 y1p y2p y3p y4p pistatvel a1 a2 b1 b2 th M m 0 00 Ix 00 0 Iy K 2kf2kr kfb1 kfb2 krb1krb2 2kfa12kra2 kfb1 kfb2 krb1krb2 b12kfb22kfb12krb22kr a1b1kfa1b2kf a2b1kra2b2kr 2kfa12kra2 a1b1kfa1b2kf a2b1kra2b2kr 2 a12kf2a22kr C 2cf2cr b1cf b2cf b1crb2cr 2a1cf2a2cr b1cf b2cf b1crb2cr b12cfb22cfb12crb22cr a1b1cfa1b2cf a2b1cra2b2cr 2a1cf2a2cr a1b1cfa1b2cf a2b1cra2b2cr 2a1 2cf2a22cr A1kf kf kr krb1kf b2kf b1kr b2kra1kf a1kf a2kr a2kr A2cf cf cr crb1cf b2cf b1cr b2cra1cf a1cf a2cr a2cr qp x1x3x5 q x2x4x6 qpp M1KqM1Cqp M1mg00M1A1y1y2y3y4 M1A2y1py2py3py4p dydx 1 qpp 1 dydx 2 x1 dydx 3 qpp 2 dydx 4 x3 dydx 5 qpp 3 16 ANEXO A Códigos implementados no MATLAB dydx 6 x5 dydxdydx function y1 y2 y3 y4 y1p y2p y3p y4p pistatvel a1 a2 b1 b2 th Altura dos degraus d 15 m comprimento do o b s t c u l o y0 008 m altura do o b s t c u l o v velcosth w 2pivd Velocidade do veiculo d0 50 m d i s t n c i a inicial entre o v e c u l o e o o b s t c u l o d1 d0 m d i s t n c i a entre o pneu dianteiro direito e o o b s t c u l o d2 d1a1a2costh m d i s t n c i a entre o pneu dianteiro esquerdo e o o b s t c u l o d3 d1b1b2sinth m d i s t n c i a entre o pneu traseiro direito e o o b s t c u l o d4 d3a1a2costh m d i s t n c i a entre o pneu dianteiro esquerdo e o o b s t c u l o Tempos referentes as m u d a n a s de pista t1 d1v s tempo para chegar no o b s t c u l o do lado direito roda dianteira t1f d1d2v instante de afastamento t2 d2v s tempo para chegar no o b s t c u l o do lado esquerdo t2f d2d2v instante de afastamento t3 d3v s tempo para chegar no o b s t c u l o do lado direito roda traseira t3f d3d2v instante de afastamento t4 d4v s tempo para chegar no o b s t c u l o do lado esquerdo roda traseira t4f d4d2v instante de afastamento D e f i n i a o da pista y10 y20 y30 y40 A1 Código Principal 17 y1p 0 y2p 0 y3p 0 y4p 0 D e f i n i a o da pista if t t1 tt1f y1 y021 coswtt1 y1p y0w2 sinwtt1 end if t t2 tt2f y2 y021 coswtt2 y2p y0w2 sinwtt2 end if t t3 tt3f y3 y021 coswtt3 y3p y0w2 sinwtt3 end if t t4 tt4f y4 y021 coswtt4 y4p y0w2 sinwtt4 end