Capítulo 11: Cinemática de Partículas - Movimento de Partículas e Problemas Resolvidos

Capítulo 11 Cinemática de partículas 111 Introdução à dinâmica 112 Posição velocidade e aceleração A velocidade instantânea também será expressa em ms Observando que o limite do quociente é igual por definição a derivada de x em relação a t escrevemos v fracdxdt 111 A velocidade v é representada por um número algébrico que pode ser positivo ou negativo Um valor positivo de v indica que x aumenta ou seja que a partícula se move no sentido positivo Fig 113a um valor negativo de v indica que x diminui ou seja que a partícula se move no sentido negativo Fig 113b 113 Determinação do movimento de uma partícula a fracdvdt 112 ou substituindo por v de 111 a fracd2xdt2 113 A aceleração a é representada por um número algébrico que pode ser positivo ou negativo Um valor positivo para a indica que a velocidade ou seja o número algébrico v aumenta 114 Movimento retilíneo uniforme x 6t² t³ onde t é expresso em segundos e x em metros A velocidade v em qualquer instante t é obtida derivandose x em relação a t v fracdxdt 12t 3t2 A aceleração a é obtida derivandose novamente em relação a t a fracdvdt 12 6t 115 Movimento retilíneo uniformemente acelerado 116 Movimento de muitas partículas 117 Solução gráfica de problemas de movimento retilíneo 118 Outros métodos gráficos PROBLEMA RESOLVIDO 112 Uma bola é arremessada a uma velocidade de 10 ms dirigida verticalmente para cima de uma janela de um prédio localizada 20 m acima do solo Sabendo que a aceleração da bola é constante e igual a 981 ms² para baixo determine a a velocidade e b a elevação y da bola acima do solo para qualquer instante t b a elevação máxima atingida pela bola e o correspondente valor de t c o instante em que a bola atinge o solo e a velocidade correspondente Desenhe as curvas vt e yt SOLUÇÃO a Velocidade e elevação O eixo y para pedir a coordenada de posição ou elevação é escolhido com sua origem O no solo e sem sentido positivo para cima O valor da aceleração e os valores iniciais de v e y são indicados na figura Substituindo a em a dvdt e notando que em t 0 v₀ 10 ms temos dc dt a 981 ms² c v₀10 dc 0 981 dt v 10 981t 1 Substituindo para v em v dydt e notando que para t 0 y₀ 20 m temos dy dt v 10 981t y y₀20 dy 0 10 981t dt yy₀20 10t 4905t²0 y 20 10t 4905t² 2 y 20 10t 4905t² b Elevação máxima Quando a bola atinge sua elevação máxima temos v 0 Substituindo em 1 obtemos 10 981t 0 t 1019 s Levando t 1019 s em 2 temos y 20 101019 49051019² 251 m c A bola atinge o solo Quando a bola atinge o solo temos y 0 Substituindo em 2 obtemos 20 10t 4905t² 0 20 10t 4905t² 0 t 1243 s c t 328 s Somente a raiz t 328 s corresponde a um instante posterior ao início do movimento Levando este valor de t para 1 temos v 10 981328 222 ms v 222 ms 119 Vetor posição velocidade e aceleração PROBLEMA RESOLVIDO 113 O mecanismo de freio usado para reduzir o recuo em certos tipos de armas consiste essencialmente em um pistão preso ao cano e que se move em um cilindro fixo cheio de óleo Quando o cano recua com uma velocidade inicial v₀ o pistão se movimenta e o óleo é forçado através de orifícios em seu interior causando uma desaceleração do pistão e do cano à uma taxa proporcional à velocidade de ambos isto é δ kx kv Expresse a e em termos de t b x em termos de t e c v em termos de x Desenhe as curvas de movimento correspondentes SOLUÇÃO a v em termos de t Substituindo a por kv na fórmula fundamental que define a aceleração a dvdt escrevemos kv dtdt dv v kd t 0 v₀ dv v k t 0 dt ln v v₀ kt v v₀ekt b x em termos de t Substituindo a relação obtida anteriormente para v em v dxdt escrevemos v₀ekt dx dt dt 0 x 0ektdt x v₀ektkekt 1 x v₀k1 ekt c v em termos de x Substituindo a por kv em a v dxdx escrevemos kv dtdx dv kx 0 v₀ v₀0 v kx v v₀ kx Verificação A parte c poderia ter sido resolvida eliminandose t das respostas obtidas para as partes a e b Esse método alternativo pode ser usado como uma verificação Da parte a obtemos ekt vv₀ substituindoa na resposta da parte b obtemos x v₀k1 ekt v₀k1 vv₀ v v₀ kx confere 1110 Derivadas de funções vetoriais METODOLOGIA PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Nos problemas desta seção você será solicitado a determinar a posição a velocidade ou a aceleração de uma partícula em movimento retilíneo À medida que que cada problema é importante que você identifique a variável independente tipicamente t ou x e também o que é pedido por exemplo a necessidade de expressar c como função de x Pode ser útil começar cada problema escrevendo a informação dada em um enunciado simples do que deve ser determinado 1 Determinando vt e at para um dado xt Como explicado na Seção 112 a primeira e a segunda derivadas de x em relação a t são respectivamente iguais à velocidade e à aceleração da partícula Eqs 111 e 112 Se a velocidade e a aceleração tiverem sinais opostos a partícula poderá parar e então mover no sentido oposto Problema Resolvido 111 Portanto quando estiver calculando a distância total percorrida por uma partícula você deve primeiro determinar se ela vai parar durante o intervalo de tempo especificado Construir um diagrama similar ao do Problema Resolvido 111 que mostra a posição e a velocidade da partícula em cada instante crítico v vₘin ou v 0 etc vai ajudálo a visualizar o movimento 2 Determinando vt e xt para um dado at A solução de problemas desse tipo é discutida na primeira parte da Seção 113 Usamos as condições iniciais t 0 e v₀ v₀ para os limites inferiores das integrais em t e v mas qualquer outra condição conhecida por exemplo t t₁ v v₁ poderia ter sido usada Além disso se a função dada at contém uma constante desconhecida por exemplo a constante k se a kt você vai ter que determinar primeiro essa constante substituindo um conjunto de valores conhecidos de t e na equação que define at 3 Determinando vx e xt para um dado at Esse é o segundo caso considerado na Seção 113 Notamos novamente que os limites inferiores de integração podem ser quaisquer condições conhecidas por exemplo x x₀ v v₀ Além disso como v vₘax quando a 0 as posições em que os valores máximos da velocidade ocorrem são facilmente determinadas escrevendose ax 0 e resolvendo para x 4 Determinando vx vt e xt para um dado av Esse é o último caso tratado na Seção 113 as técnicas apropriadas de solução para problemas desse tipo estão ilustradas no Problema Resolvido 113 Todos os comentários gerais para os casos anteriores aplicamse aqui mais uma vez Note que o Problema Resolvido 113 fornece um sumário de como e quando usar as equações v dxdt a dvdt e a v dxdx 1111 Componentes retangulares de velocidade e aceleração PROBLEMAS 1112 Movimento relativo a um sistema de referência em translação 111 O movimento de uma partícula é definido pela relação x 15t³ 30t² 5t 10 onde x e t são expressos em metros e segundos respectivamente Determine a posição a velocidade e a aceleração da partícula quando t 4 s 1113 Componentes tangencial e normal 1111 A aceleração de uma partícula é diretamente proporcional ao tempo t Quando t 0 a velocidade da partícula é v 16 ms Sabendo que v 15 ms e t 20 quando t 1 s determine a velocidade a posição e a distância total percorrida quando t 7 s 1114 Componentes radial e transversal 111 Introdução à dinâmica A cinemática que é o estudo da geometria do movimento usada para relacionar deslocamento velocidade aceleração e tempo sem referência às causas do movimento A cinética que é o estudo da relação existente entre as forças que atuam sobre um corpo a massa do corpo e seu movimento Movimentos dependentes Algumas vezes a posição de uma partícula vai depender da posição de outra partícula ou de várias outras partículas Os movimentos são então chamados de dependentes Por exemplo a posição do bloco A na Fig 118 depende da posição do bloco B Como a corda ACDEFG tem comprimento constante e como os comprimentos dos segmentos de corda CD e EF que envolvem as polias permanecem constantes temse que a soma dos comprimentos dos segmentos AC DE e FG é constante Observando que o comprimento do segmento AC difere de xA somente por uma constante e que semelhantemente os comprimentos dos segmentos DE e FG diferem de xB por uma constante escrevemos xA 2xB constante Como somente uma das duas coordenadas xA e xB pode ser escolhida arbitrariamente dizemos que o sistema ilustrado na Fig 118 tem um grau de liberdade Da relação entre as coordenadas de posição xA e xB seguese que se em xA for dado um incremento ΔxA isto é 6 e se o bloco A for baixado em uma quantidade ΔxA a coordenada xB receberá um incremento ΔxB 12 ΔxA Em outras palavras o bloco B vai subir a metade do mesmo valor isso pode ser facilmente verificado diretamente a partir da Fig 118 Na primeira parte do Cap 11 o movimento retilíneo de uma partícula será analisado ou seja a posição velocidade e aceleração de uma partícula serão determinadas a cada instante à medida que ela se move ao longo de uma linha reta PROBLEMA RESOLVIDO 114 Uma bola é arremessada verticalmente para o alto a partir do nível de 12 m de um poço de elevador com uma velocidade inicial de 18 ms No mesmo instante um elevador de plataforma aberta passa pelo nível de 5 m subindo com uma velocidade constante de 2 ms Determine a quando a bola vai atingir o elevador e b a velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando a bola a atinge SOLUÇÃO Movimento da bola Como a bola tem uma aceleração constante seu movimento é uniformemente acelerado Colocando a origem O do eixo y no nível do solo e escolhendo seu sentido positivo para o alto verificamos que a posição inicial é y0 12 m a velocidade inicial é v0 18 ms e a aceleração g 981 ms² Substituindo esses valores nas equações para o movimento uniformemente acelerado escrevemos vf v0 at yf y0 v0t 12at² vf v0 at yf y0 v0t 12at² yB 12 18t 4905t² 2 Movimento do elevador Como o elevador tem uma velocidade constante seu movimento é uniforme Novamente colocando a origem O no nível do solo e escolhendo o sentido positivo para o alto notamos que yE y0 5 t yE y0 vt e yE 5 2t 3 A bola atinge o elevador Primeiro notamos que neste tempo t a posição da bola e do elevador Vemos na figura que quando a bola encontra a plataforma yE yB 5 Substituindo yE e yB por 2 e 4 em 5 temos 5 2t 12 18t 4905t² t 039 s Somente a raiz t 365 s corresponde a um instante após o movimento ter começado Substituindo esse valor em 4 temos yE 5 2365 1230 m Elevção a partir do solo 1230 m A velocidade relativa da bola em relação ao elevador e vBE vB vE 18 981t 16 981t Quando a bola atinge o elevador no instante t 365 s temos v8E 16 981365 vBE 1981 ms para a solução de vários problemas que envolvem o movimento retilíneo de partículas PROBLEMA RESOLVIDO 115 O cursor A e o bloco B estão ligados por um cabo que passa sobre três polias C D E e E como mostrado na figura As polias C e E são fixas enquanto D está presa a um cursor que é puxado para baixo com uma velocidade constante de 75 mms No instante t 0 o cursor A começa a se mover para baixo a partir da posição K com uma aceleração constante e velocidade inicial nula Sabendo que a velocidade do cursor A é de 300 mms ao passar pelo ponto L determine a variação na elevação a velocidade e a aceleração do bloco B quando o cursor A passar por L SOLUÇÃO Movimento do cursor A Colocamos a origem O na superfície horizontal superior e escolhemos o sentido positivo para baixo Observando que quando t 0 o cursor A está na posição K xA0 200 mm quando o cursor passa por L escrevemos vA² vA0² 2aAxA xA0 O tempo para que o cursor A alcance o ponto L é obtido escrevendose vA vA0 aAt 300 0 225² t 1333 s Movimento da polia D Recordando que o sentido positivo é para baixo escrevemos aD 0 vB 75 mms xP xP0 vP0 t xPt Quando o cursor A alcança L em t 1333 s temos xP xP0 751333 xP0 100 Portanto xD xP 100 mm Movimento do bloco B Notamos que o comprimento total do cabo ACDEB difere da quantidade xA 2xD xB apenas por uma constante te Como o comprimento do cabo é constante durante o movimento essa quantidade também deve permanecer constante Portanto considerando os instantes t 0 e 1333 s escrevemos xA 2xD xB xA0 2xD0 xA0 xB xB0 0 Mas sabemos que xA0 200 mm e xB0 100 mm substituindo esses valores em 2 encontramos 200 2100 xB xB0 0 xB xB0 400 mm Portanto Mudança em elevação de B 400 mm Derivando 1 duas vezes obtemos equações que relacionam as velocidades e as acelerações de A B e D Substituindo os valores das velocidades e acelerações de A e D em t 1333 s temos vA 2vD vB 0 300 275 vB 0 vB 450 mms aA 2aD aB 0 225 20 aB 0 aB 225 mms² A velocidade média da partícula no intervalo de tempo Δt é definida como o quociente do deslocamento Δx pelo intervalo de tempo Δt Velocidade média ΔxΔt 1133 Uma motorista entra em uma autostrada a 45 kmh e acelera uniformemente até 99 kmh Pelo hodômetro do carro o motorista sabe que percorreu 02 km enquanto acelerava Determine a a aceleração do carro b o tempo necessário para chegar a 99 kmh Um policial em um carro de patrulha estacionado em uma zona de 70 kmh de limite de velocidade observa um automóvel que passa a uma velocidade lenta e constante Acreditando que o motorista desse automóvel possa estar embriagado o policial liga seu carro acelera uniformemente até 90 kmh em 8 s mantendo uma velocidade constante de 90 kmh ultrapassa o motorista 42 s depois desse automóvel ter passado por ele Sabendo que 18 s se passaram antes do policial começar a perseguir o motorista determine a a distância d entre C e D b o tempo requerido para o pacote alcançar D Em uma corrida de barcos o barco A está 36 m a frente do barco B e ambos estão viajando a uma velocidade escalar constante de 168 kmh Em t 0 os barcos aceleram a taxas constantes Sabendo que quando B ultrapassa A t 8 s e vA 216 kmh determine a a aceleração de A b a aceleração de B Caixas são colocadas em uma calha em intervalos uniformes de tempo p0 e t deslizam para baixo na calha com aceleração uniforme Sabendo que quando uma caixa B qualquer é liberada a caixa precedente A já deslizou 6 m e que a B desliza 10 m afterwards determine a o valor de t b a aceleração das caixas O elevador mostrado na figura se move para baixo com velocidade constante de 45 ms Determine a a velocidade do cabo C b a velocidade do contrapeso W c a velocidade relativa do cabo C em relação ao elevador d a velocidade relativa do contrapeso W em relação ao elevador O bloco B inicia em repouso o bloco A se movimenta com aceleração constante e o bloco deslizante C se movimenta para a direita com aceleração constante de 75 mms² Sabendo que em t 2 s as velocidades de B e C são 490 mms para baixo e 250 mms para a direita respectivamente determine a a aceleração de A e B b as velocidades iniciais de A e C c a variação de posição do bloco deslizante C após 3 s O sistema mostrado parte do repouso e cada um de seus componentes se move com uma aceleração constante Se a aceleração relativa do bloco B em relação ao bloco A é de 60 mms² para cima e a aceleração relativa do bloco em relação ao bloco C é de 110 mms² para baixo determine a a velocidade do bloco C depois de 3 s b a variação de posição do bloco D depois de 5 s 1136 Um grupo de estudantes lança um modelo de foguete na direção vertical Baseandose em dados registrados eles determinam que a altitude do foguete foi de 896 m ao final da porção propulsada do voo e que o foguete aterrisou 16 s depois Sabendo que o paraquedas de descida não se abriu e que o foguete caiu livresmente até o chão depois de atingir sua altitude máxima e considerando que g 981 ms² determine a a velocidade vf do foguete ao fim do voo propulsado b a altitude máxima atingida pelo foguete 118 Outros métodos gráficos Uma solução gráfica alternativa pode ser usada para determinar a posição de uma partícula em um dado instante diretamente a partir da curva at Representando os valores e v em t 0 por x₀ e v₀ e seus valores em t t₁ por x₁ e v₁ e observando que a área sob a curva vt pode ser decomposta em um retângulo de área φ₁ e elementos diferenciais horizontais de área t dφ escrevemos x₁ x₀ área sob a curva tv v₀t₁ v₀t t₁ t dφ Nese item Seções 117 e 118 revisamos e desenvolvemos várias técnicas gráficas para a resolução de problemas envolvendo o movimento retilíneo Essas técnicas podem ser usadas para solucionar problemas diretamente ou para complementar métodos analíticos de solução fornecendo uma descrição visual e assim uma melhor compreensão do movimento de um dado corpo Sugerimos que você esboce uma ou mais curvas de movimento para os vários problemas desta seção mesmo se estes problemas não façam parte de sua tarefa de casa 1 Desenhando as curvas xt vt e at e aplicando métodos gráficos As seguintes propriedades foram indicadas na Seção 117 e você deve têlas em mente quando usar um método gráfico de solução a As inclinações das curvas xt e vt em um instante t₁ são respectivamente iguais à velocidade e à aceleração nesse instante t₁ b As áreas sob curvas at e vt entre os instantes t₁ e t₂ são respectivamente iguais à variação Δv na velocidade e à variação Δx na coordenada de posição durante esse intervalo de tempo c Se uma das curvas de movimento é conhecida as propriedades fundamentais que residem nos parágrafos a e b vão permitirlhe construir as duas outras curvas Entretanto quando estivermos usando as propriedades do parágrafo a a velocidade e a coordenada de posição no tempo t₁ devem ser conhecidas para determinar a velocidade e a coordenada de posição no instante t₂ Se você estudou anteriormente os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para uma viga deve reconhecer a analogia que existe entre as três curvas do movimento e os três diagramas que representam respectivamente a carga distribuída o esforço cortante e o momento fletor na viga Assim quaisquer técnicas que você tenha aprendido em relação à construção desses diagramas podem ser aplicadas ao desenhar as curvas de movimento 2 Usando métodos aproximados Quando as curvas at e tv não estão representadas por funções analíticas ou quando elas são baseadas em dados experimentais é frequentemente necessário usar métodos aproximados para calcular as áreas sob essas curvas Nesse casos a área dada é aproximada por uma série de retângulos de largura Δt Quanto menor for o valor de Δt tanto menor será o erro introduzido pela aproximação A velocidade e a coordenada de posição são obtidas escrevendo v v₀ ΣamdΔt x x₀ ΣvmdΔt onde amd e vmd são as alturas de um retângulo de aceleração e de um retângulo de velocidade respectivamente 3 Aplicando o método da área Essa técnica gráfica é usada quando a curva at dada e a variação da coordenada de posição deve ser determinada Verificamos na Seção 118 que a coordenada de posição x₁ pode ser expressa por x₁ x₀ v₀t₁ área sob a curva att₁ t₀ 1113 Tenha em mente que quando a área sob a curva at for uma área composta o mesmo valor de t₁ deve ser usado para calcular a contribuição de cada uma das áreas componentes 4 Determinando a aceleração a partir de uma curva vx Você viu na Seção 118 que é possível determinar a aceleração a partir de uma curva vx por medição direta É importante notar entretanto que esse método somente é aplicável se a mesma escala linear for usada para os eixos v e x por exemplo 1 cm 10 m e 1 cm 10 ms Quando esta condição não for satisfeita a aceleração pode ainda ser determinada pela equação a v d v d x onde a inclinação dvdx é obtida como segue em primeiro lugar desenhe a tangente à curva no ponto de interesse A seguir usando escalas apropriadas meça ao longo dessa tangente os incrementos correspondentes Δx e Δe A inclinação desejada é igual à razão ΔvΔx PROBLEMAS 1161 Um vagaço do metrô parte da estação A e ganha velocidade a razão de 2ms² por 6 s e depois a razão de 3ms² até alcançar a velocidade de 24 ms O carro mantém a velocidade até aproximarse da estação B os freios são aplicados dando ao carro uma desaceleração constante e levandoo a parar em 6 s O tempo total do percurso de A a B é de 40 s Desenhe as curvas at vt e xt e determine a distância entre as estações A e B 1162 Para a partícula e o movimento do Problema Resolvido 116 construa as curvas tvx para 0 t 20 s e determine a o valor máximo de velocidade da partícula b o valor máximo da sua posição coordenada 1163 Uma partícula se move em uma linha reta com a velocidade mostrada na figura Sabendo que x 540 mm em t 0 a construa as curvas at e xt para 0 t 50 s e determine b a distância total percorrida pela partícula quando t 50 s e c os dois instantes em que x 0 1164 Uma partícula está em queda livre a uma taxa de 200 kmh quando abre seu paraquedas a uma altitude de 600 m Seguindose uma desaceleração rápida e constante ele então cai para uma taxa constante de 50 kmh de 586 m a 30 m onde manobra o paraquedas em direção ao vento para diminuir mais ainda a velocidade de sua descida Sabendo que o paraquedista aterrissa com uma velocidade de descendente desprezível determine a o tempo necessário para esse paraquedista aterrissar depois de abrir seu paraquedas b a desaceleração inicial 1165 Um componente de máquina é pulverizado com tinta enquanto está montado em uma plataforma móvel que percorre 4 m em 20 s A plataforma tem uma velocidade escalar inicial de 80 mms e pode ser acelerada a uma taxa máxima de 60 mms² Sabendo que o processo de pintura requer 15 s para ser completado e que é realizado a medida que a plataforma se move com uma velocidade constante determine o menor valor possível da velocidade máxima da plataforma Um sensor de temperatura está acoplado ao cursor AB que se desliza para frente e para trás ao longo de 60 cm As velocidades máximas do cursor são 12 cms para a direita e 30 cms para a esquerda Quando o cursor se desloca para a direita ele acelera e desacelera a uma taxa constante de 6 cms² quando se desloca para a esquerda acelera e desacelera a uma taxa constante de 20 cms² Determine o tempo necessário para o cursor completar um ciclo inteiro e construa as curvas tv e txt de seu movimento Como mostrado na figura de t 0 até t 4 a aceleração de uma dada partícula é representada por uma parábola Sabendo que x 0 e v 5 ms quando t 0 a construa curvas vt e xt para 0 t 4 s b determine a posição da partícula em t 3 s Dica Use a tabela das páginas finais do livro O carro A está viajando a uma velocidade escalar de 64 kmh quando entra em um trecho com limite de velocidade de 45 kmh A motorista do carro A desacelera a uma taxa de 48 ms² até atingir uma velocidade escalar de 48 kmh que ela então mantém Quando o carro B que estava inicialmente 18 m atrás do carro A e viajando a uma velocidade constante de 72 kmh entra nesse trecho de limite de velocidade seu motorista desacelera a uma taxa de 6 ms² até atingir uma velocidade de 45 kmh Sabendo que o motorista do carro B mantém essa velocidade de 45 kmh determine a a menor distância a que o carro B chega do carro A b o momento em que o carro A está 21 m à frente do carro B Um carro esta viajando em velocidade constante de 54 kmh quando o motorista vê uma criança correndo na estrada O motorista pisa nos freios até a criança retornar para a calçada e então acelera para retornar a sua velocidade de 54 kmh o registro da aceleração do carro é mostrado na figura Considerando t 0 quando t 0 determine a o tempo t₁ para que a velocidade seja novamente 54 kmh b a posição do carro nesse instante c a velocidade média do carro durante o intervalo 1 t t₁ Um avião de treinamento tem velocidade de 378 ms ao pousar em um portaaviões Quando o mecanismo de parada traz o avião ao repouso a velocidade e a aceleração do avião são registradas os resultados são mostrados curva sólida na figura Determine por meios aproximados a o tempo necessário para o avião chegar ao repouso e b a distância percorrida nesse tempo Na figura é mostrada uma parte da curva vx determinada experimentalmente para um carrinho de transporte Determine por métodos dos aproximados a aceleração do carrinho a quando x 025 m e b quando v 2 ms Usando o método da Seção 118 deduza a fórmula x x0 vt ½at² para a coordenação de posição de uma partícula em um movimento uniformemente acelerado 1110 Derivadas de funções vetoriais Vimos na seção anterior que a velocidade v de uma partícula em movimento curvilíneo pode ser representada pela derivada da função vetorial rt que caracteriza a posição da partícula Da mesma forma a aceleração a da partícula pode ser representada pela derivada da função vetorial vt Nesta seção vamos dar uma definição formal da derivada de uma função vetorial e estabelecer algumas regras que determinam a derivação de somas e produtos de funções vetoriais O produto de uma função escalar fu pelo uma função vetorial Pu da mesma variável escalar u será considerado agora A derivada do vetor fP é dfPdu limu0 f fP P u fP limu0 fu P f Pu Como vemos na Seção 1510 a taxa de variação de um vetor quando observado de um sistema de referência em movimento e em geral diferente da sua taxa de variação quando observado de um sistema de referência fixo Entretanto se o sistema Oxyz estiver em translação isto é e seus eixos permanecem paralelos aos eixos correspondentes do sistema de referência fixo Oxyz Fig 1117 os mesmos vetores unitários i j k são usados em ambos os sistemas e em qualquer instante dado o vetor P tem os mesmos componentes Px Py Pz em ambos os sistemas de referência Seguese da equação 1125 que a taxa de variação de P é a mesma em relação aos sistemas Oxyz e Oxyz Estabelecemos portanto a taxa de variação de um vetor é a mesma em relação a um sistema fixo e a um sistema em translação Esta propriedade vai simplificar muito nosso trabalho já que trataremos principalmente de sistemas em translação 1111 Componentes retangulares de velocidade e aceleração Quando a posição de uma partícula P for definida em qualquer instante por suas coordenadas retangulares x y e z é conveniente decompor a velocidade v e a aceleração a dessa partícula em componentes retangulares Fig 1118 Decompondo o vetor de posição r da partícula em componentes retangulares escrevemos r xi yj zk 1126 onde as coordenadas x y e z são funções de t Derivando duas vezes obtemos v dr dt xi yj zk 1127 a dv dt xi yj zk 1128 onde i j k representam respectivamente as primeira e segunda derivadas de x y e z em relação a t Seguese de 1127 e 1128 que os componentes escalares da velocidade e aceleração são vx x vy y vz z 1129 ax x ay y az z 1130 Um valor positivo para vx indica que o componente vetorial vs está dirigido para a direita e um valor negativo indica que ele está dirigido para a esquerda O sentido de cada um dos outros componentes vetoriais pode ser determinado do modo semelhante a partir do sinal do componente escalar correspondente Se desejado as intensidades e direções da velocidade e aceleração podem ser obtidas a partir de seus componentes escalares pelos métodos das Seções 27 e 212 O uso de componentes retangulares para descrever a posição a velocidade e a aceleração de uma partícula é particularmente eficaz quando o componente a da aceleração depende somente de t x eou vx e quando da mesma forma ade depende somente de t y eou vy e ade z eou vz As Eqs 1130 serão integradas independentemente