Capítulo 12: Cinética de Partículas e a Segunda Lei de Newton

CAPÍTULO 12 Cinética de partículas a segunda lei de Newton 121 Introdução A primeira e a terceira leis de Newton do movimento foram extensivamente empregadas na Estática para estudar corpos em repouso e as forças que atuam sobre eles Essas leis também são usadas em Dinâmica de fato elas são suficientes para o estudo do movimento de corpos que não têm aceleração Entretanto quando os corpos são acelerados isto é quando a intensidade ou a direção de suas velocidades mudam é necessário utilizar a segunda lei de Newton do movimento para relacionar o movimento do corpo às forças que atuam sobre ele Neste capítulo discutiremos a segunda lei de Newton e a aplicaremos à análise do movimento de partículas Como enunciamos na Seção 122 se a resultante das forças que atuam sobre uma partícula não for zero a partícula terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e à direção e sentido dessa força resultante Mais ainda a razão entre as intensidades da força resultante e da aceleração pode ser usada para definir a massa da partícula Na Seção 123 a quantidade de movimento linear de uma partícula é definida como o produto L mv da massa m pela velocidade v da partícula Também é demonstrado que a segunda lei de Newton pode ser expressa de forma alternativa relacionando a taxa de variação da quantidade de movimento linear com a resultante das forças que atuam nessa partícula A Seção 124 enfatiza a necessidade de um sistema consistente de unidades para a solução de problemas de Dinâmica e fornece uma revisão do Sistema Internacional de Unidades unidades do SI Nas Seções 125 e 126 e nos Problemas Resolvidos subsequentes a segunda lei de Newton é aplicada à solução de problemas de engenharia empregando tanto componentes retangulares quanto componentes tangencial e normal das forças e acelerações envolvidas Recordamos que um corpo real incluindo corpos tão grandes quanto um carro um foguete ou um avião pode ser considerado uma partícula para a finalidade de analisarse o seu movimento quando o efeito de rotação do corpo em torno de seu centro de massa possa ser ignorado A segunda parte deste capítulo é dedicada à solução de problemas em termos dos componentes radial e transversal com ênfase especial no movimento de uma partícula sob a ação de uma força central Na Seção 127 a quantidade de movimento angular H₀ de uma partícula em relação a um ponto O é definida como o momento em relação a O da quantidade de movimento linear da partícula H₀ r mv Seguese então da segunda lei de Newton que a taxa de variação temporal da quantidade de movimento angular H₀ de uma partícula é igual a soma dos momentos em relação a O das forças que atuam sobre essa partícula A Seção 129 trata do movimento de uma partícula sob a ação de uma força central isto é sob a ação de uma força direcionada para ou afastandose de um ponto fixo O Como tal força tem momento igual a zero em relação ao ponto O seguese que a quantidade de movimento angular da partícula em relação a O se mantém Essa abordagem simplificou muito a análise do movimento de uma partícula sob a ação de uma força central na Seção 1210 ela é aplicada à solução de problemas que envolvem o movimento orbital de corpos sob atração gravitacional As Seções 1211 e 1213 são opcionais Elas apresentam uma discussão mais ampla do movimento orbital e contêm um certo número de problemas relacionados à mecânica espacial Um sistema de eixos fixos na Terra não constitui um sistema de referência newtoniano pois a Terra gira em relação ao Sol Entretanto na maioria das aplicações da engenharia a aceleração pode ser determinada em relação a eixos ligados à Terra e as Eqs 121 e 122 podem ser usadas sem qualquer erro apreciável Por outro lado essas equações não valem se a representação a uma aceleração relativa medida em relação a eixos em movimento tais como eixos ligados a um carro acelerado ou a uma máquina rotativa de uma máquina 122 A segunda lei de Newton do movimento Decorre da Eq 123 que a taxa de variação da quantidade de movimento linear mv é zero quando ΣF 0 Portanto se a força resultante que atua sobre a partícula é zero a quantidade de movimento linear dessa partícula permanece constante tanto em intensidade quanto em direção e sentido A segunda lei de Newton pode ser enunciada como se segue Se a força resultante que atua sobre uma partícula não for nula a partícula terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e à mesma direção dessa força resultante Múltiplos e submúltiplos das unidades de comprimento massa e força são usados frequentemente na prática de engenharia Eles são respectivamente quilômetro km e milímetro mm megagrama Mg e grama g e quilonewton kN A segunda lei de Newton do movimento é mais bem compreendida se imaginarmos o seguinte experimento uma partícula está sujeita a uma força F₁ de direção e intensidade constantes F₁ Sob a ação dessa força a partícula se desloca em uma linha reta na direção e sentido da força Fig 121a Determinando a posição da partícula em vários instantes verificamos que sua aceleração tem uma intensidade constante a₁ Se o experimento for repetido com forças F₂ F₃ de diferentes intensidades ou direções Fig 121 b c constatamos que para cada caso a partícula se move na direção e sentido da força que atua sobre ela e que as intensidades a₁ a₂ da acelerações são proporcionais às intensidades F₁ F₂ F₃ das forças correspondentes F₁a₁ F₂a₂ F₃a₃ constante e os componentes da aceleração do projétil são ẋ 0 ẏ Wm g 0 7 e o problema em consideração pode ser resolvido pelos métodos desenvolvidos anteriormente em Estática 8 PROBLEMA RESOLVIDO 121 Um bloco de 80kg está em repouso sobre um plano horizontal Encontre a intensidade da força P necessária para dar ao bloco uma aceleração de 25 ms² para a direita O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é μk 025 O valor constante obtido para a relação entre as intensidades das forças e acelerações é uma característica da partícula que está sendo considerada ele é chamado de massa da partícula e é representado por m Quando uma força resultante atua sobre uma partícula de massa m a força F e a aceleração a da partícula portanto satisfazer a relação ΣF ma Essa relação fornece uma formulação completa da segunda lei de Newton ela expressa não somente que as intensidades de F e a são proporcionais mas também como m é um escalar positivo que os vetores F e a têm a mesma direção e sentido Fig 122 Devemos notar que a Eq 121 implica quando F não for constante mas varia com o tempo em intensidade ou direção As intensidades de F e a permanecem proporcionais e os dois vetores têm a mesma direção e sentido em geral tangentes à trajetória da partícula Quando uma partícula estiver sujeita simultaneamente a várias forças a Eq 121 deve ser substituída por ΣF ma PROBLEMA RESOLVIDO 122 Os dois blocos mostrados na figura partem do repouso Não há atrito no plano horizontal nem na roldana e a roldana é assumida como tendo massa desprezível Determine a aceleração de cada bloco e a tração em cada corda PROBLEMA RESOLVIDO 123 Um bloco B de 6kg parte do repouso e desliza sobre uma cunha A de 15kg que é suportada por uma superfície horizontal Desprezando atrito determine a a aceleração da cunha e b a aceleração do bloco B relativa à cunha PROBLEMA RESOLVIDO 124 A extremidade de um pêndulo de 2 m de comprimento descreve um arco de circunferência em um plano vertical Se a tração na corda é 25 vezes o peso do pêndulo para a posição mostrada na figura encontre a velocidade e a aceleração do pêndulo nessa posição O valor da aceleração da gravidade g em qualquer latitude φ pode ser dado pela fórmula g 970871 00053 sen²φ ms² Resolvendo problemas que envolvem movimento relativo Quando um corpo B se movimenta em relação a um corpo A como no Problema Resolvido 123 muitas vezes é conveniente expressar a aceleração de B como ab aa aba Uma balança de mola A e uma balança de alavanca B com braços de alavanca iguais estão presos ao teto de um elevador e pacotes idênticos estão sendo segurados por elas tal como mostra a figura Sabendo que quando o elevador desce com uma aceleração de 12 ms² a balança de mola indica uma carga de 3 kg determine a o peso dos pacotes e b a carga indicada pela balança de mola e a massa necessária para equilibrar a balança quando o elevador se move para cima com aceleração 12 ms² Um jogador de hockey bate no disco de maneira que este chega ao repouso 9 s depois de ter escorregado 30 m sobre o gelo Determine a a velocidade inicial do disco e b o coeficiente de atrito entre o disco e o gelo Os dois blocos mostrados na figura estão originalmente em repouso Desprezando as massas das polias e o efeito do atrito nessas rodas e considerando que os coeficientes de atrito entre ambos o bloco A e a superfície horizontal são μk 025 e μk 020 determine a a aceleração de cada bloco b a tração no cabo