Movimento Absoluto de Partículas e Projeções de Projetil

Considera duas partículas A e B que se movem no espaço Fig 1120 Os vetores r A e r B definem as suas posições em qualquer instante dado comorelativa ao sistema de referência fixo Oxyz Considere agora um sistema de eixos x y e z centrado em A paralelo aos eixos x e y e z Enquanto o origem desses eixos se desloca suas orientações permanecem as mesmas o sistema de referência Ayz está em translação em relação a Oyz O vetor r BA que une A e B define a posição de B relativa ao sistema móvel Ayz ou simplesmente a posição de B relativa a A Notamos a partir da Fig 1120 que o vetor de posição r B da partícula B é a soma do vetor de posição r A da partícula A com o vetor de posição r BA de relativo a A logo Um projétil é disparado da extremidade de um rochedo de 150 m de altura com uma velocidade inicial de 180 ms em um ângulo de 30 com a horizontal Desprezando a resistência do ar encontre a a distância horizontal da arma até o ponto onde o projétil atinge o solo e b a altura máxima em relação ao solo alcançada pelo projétil O movimento de B em relação ao referencial fixo Oxyz é denominado movimento absoluto de B As equações deduzidas nesta seção mostram que o movimento absoluto de B pode ser obtido pela combinação do movimento de A e do movimento relativo de B em relação ao referencial móvel preso em A A Eq 1133 por exemplo expressa que a velocidade absoluta v B da partícula B pode ser obtida pela adição vetorial da velocidade de A com a velocidade de B relativa ao referencial Ayz A Eq 1134 expressa uma propriedade semelhante em termos de acelerações Devemos ter em mente entretanto que o sistema Ayz está em translação isto é enquanto se move com A ele mantém a mesma orientação Como veremos Seção 1514 relações diferentes devem ser usadas no caso de um sistema de referência em rotação PROBLEMA RESOLVIDO 118 Um projetil é disparado com uma velocidade inicial de 240 ms contra um alvo B situado a 600 m acima da arma A e a uma distância horizontal de 3600 m Desprezando a resistência do ar determine o valor do ângulo de disparo α PROBLEMA RESOLVIDO 119 O automóvel A está trafegando para leste com uma velocidade constante de 36 kmh Quando ele passa pelo cruzamento mostrado na figura o automóvel B parte do repouso a 35 m ao norte do cruzamento e se dirige para o sul com uma aceleração constante de 12 ms² Determine a posição velocidade e aceleração de B 5 s depois de A ter passado pelo cruzamento METODOLOGIA PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Nos problemas desta seção você vai analisar o movimento bi e tridimensional de uma partícula Apesar de as interpretações físicas da velocidade e da aceleração serem as mesmas que nas primeiras lições deste capítulo você deve se lembrar de que essas quantidades são vetores Além do mais você deve compreender a partir de suas experiências com vetores em estática que é frequentemente vantajoso expressar os vetores de posição velocidades e acelerações em termos de seus componentes escalares retangulares Eqs 1127 e 1128 Além disso dados dos vetores A e B recorde que A B 0 se A e B forem perpendiculares entre si enquanto A B 0 se A e B forem paralelos O movimento de uma partícula é definido pelo vetor de posição r 4t 2 sen t i 4 2 cos t j onde x e y são expressos em milímetros e t é expresso em segundos Esboce a trajetória da partícula e determine a as intensidades da menor e da maior velocidade atingida pela partícula b os instantes de tempo posição e direção correspondentes à velocidade O movimento de uma partícula é definido pelas equações x 4t4 5t3 5t e y 5t2 15t onde x e y são expressos em milímetros e t é expresso em segundos Determine a velocidade e a aceleração quando a t 1 s b t 2 s O movimento tridimensional de uma partícula é definido pelo vetor de posição r Rt cos ωt i ct j Rt sen ωt k Determine as intensidades da velocidade e aceleração da partícula A curva espacial descrita pela partícula é uma hélice cônica Durante a entrega de jornais uma garota joga um jornal com uma velocidade horizontal v0 Determine o intervalo de valores de v0 para que o jornal caia entre os pontos B e C O leite é derramado no copo de vidro com altura de 140 mm e com diâmetro interno de 66 mm Se a velocidade inicial do leite é 12 ms em um ângulo de 40 com a horizontal determine o intervalo de valores de altura h para o qual o leite cairá dentro do copo Um jogador de vôlei lança uma bola com uma velocidade inicial v0 de intensidade 1340 ms com um ângulo de 20 com a horizontal Determine a se a bola raspáro o topo da rede b quão longe da rede a bola cairá 11109 Enquanto segura uma das extremidades o trabalhador lança um rolo de corda sobre o galho mais baixo da árvore Se ele joga a corda com uma velocidade inicial v0 a um ângulo de 65 com a horizontal determine a variação de valores de v0 para que a corda passe apenas sobre o galho mais baixo 11112 A velocidade inicial v0 de um disco de hockey é de 168 kmh Determine a o maior valor menor que 45 do ângulo θ que o disco entrará na rede e b o tempo correspondente necessário para o disco atingir a rede 11116 Um trabalhador usa água sob alta pressão para limpar o interior de uma longa canalização de drenagem Se a água é descarregada com uma velocidade inicial v0 de 115 ms determine a a distância d ao ponto mais remoto B no alto do cano que a água pode levar a partir de sua posição em A e b o ângulo α correspondente Um radar costeiro indica que uma barca sai de seu atracador com uma velocidade v 185 kmh 7º enquanto instrumentos a bordo da barca indicam velocidade de 19 kmh e direção 30º a este da direção sul relativa ao rio Determine a velocidade do rio Dica 1 nó 1852 kmh Sabendo que a velocidade do bloco B com relação ao bloco A é vBA 56 ms é 70º determine as velocidades de A e B As velocidades dos trens de passageiros A e B são como mostradas na figura Sabendo que a velocidade de cada trem é constante e que B atinge o cruzamento 10 min depois de A ter passado por ele determine a a velocidade relativa de B em relação a A b a distância entre A e B 3 min depois de A ter passado pelo cruzamento Quando um pequeno barco viaja para o norte a 5 kmh uma bandeira montada na sua popa forma um ângulo θ 50 com a linha central do barco como mostrado na figura Pouco depois quando o barco está viajando para leste a 20 kmh o ângulo θ é novamente de 50 Determine a velocidade escalar e a direção do vento Vimos na Seção 119 que a velocidade de uma partícula é um vetor tangente à trajetória dessa partícula mas que em geral a aceleração não é tangente a essa trajetória Algumas vezes é conveniente decompor a aceleração em seus componentes dirigidos respectivamente ao longo da tangente e da normal à trajetória da partícula Os passageiros no trem viajando ao longo do curva experimentarão uma aceleração normal em direção ao centro de curvatura do caminho o equipamento e causaram desconforto aos passageiros Uma seção reta da linha ferrea por exemplo nunca é diretamente seguida de uma seção circular Seções especiais de transição são usadas para suavizar a passagem de um raio de curvatura infinito do trecho reto para o raio fino do trecho circular Da mesma maneira no projeto de cabes de alta velocidade mudanças abruptas na aceleração são evitadas com o uso de curvas de transição que produzem uma variação contínua na aceleração Em certos problemas de movimento no plano a posição da partícula P é definida por suas coordenadas polares r e θ Fig 1125a É então conveniente decompor a velocidade e a aceleração da partícula em componentes paralelos e perpendiculares respectivamente à linha OP Esses componentes são denominados componentes radial e transversal É importante notar que a não é igual à derivada temporal de v e que a não é igual à derivada temporal de vθ PROBLEMA RESOLVIDO 1110 Um motorista está percorrendo uma seção curva de rodovia de raio de 750 m a uma velocidade escalar de 90 kmh O motorista de repente aciona os freios fazendo o automóvel reduzir sua velocidade escalard de forma constante Sabendo que após 8 s a velocidade escalar foi reduzida para 72 kmh determine a aceleração do automóvel imediatamente após os freios terem sido aplicados SOLUÇÃO Componente tangencial da aceleração Em primeiro lugar as velocidades escalares são expressas em ms 90 kmh 90 kmh 1000 km1 km 1 h3600 s25 ms Uma vez que a velocidade do veículo diminui a uma taxa constante temos at média ai ΔvΔt 20 ms25 ms 0625 ms² Componente normal da aceleração Imediatamente após os freios terem sido acionados a velocidade escalar ainda é de 25 ms e temos an v²ρ 25 ms²750 m0833 ms² Intensidade e direção da aceleração A intensidade e a direção da resultante a cujos componentes são a e na são tg α anat 0833 ms² 0625 ms² α 531 a aan² at² PROBLEMA RESOLVIDO 1111 Determine o raio de curvatura mínimo da trajetória descrita pelo projetil considerado no Problema Resolvido 117 SOLUÇÃO Como at v²ρ temos ρ v²at O raio será pequeno quando a for pequeno ou quando at for grande A velocidade é mínima no topo da trajetória visto que v0 no neste ponto at é máxima neste ponto uma vez que a direção vertical coincide com a direção da normal Portanto o raio mínimo de curvatura ocorre no topo da trajetória Nesse ponto temos v vx 1559 ms at g 981 ms² ρ 1559 ms²981 ms² ρ 2480 m METODOLOGIA PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Será pedido nos problemas a seguir que você dê a velocidade e a aceleração de partículas em termos de seus componentes normais e tangenciais ou em termos de seus componentes radiais e transversais Embora esses componentes possam não ser tão familiares para você quanto os componentes retangulares você vai descobrir que eles podem simplificar a solução de muitos problemas e que certos tipos de movimento são mais facilmente descritos quanto são utilizados 1 Usando componentes normais e tangenciais Esses componentes são mais frequentemente usados quando a partícula de interesse se movimenta ao longo de uma trajetória circular ou quando o raio de curvatura da trajetória precisa ser determinado Lembrese de que o vetor unitário et é tangente à trajetória da partícula e assim alinhado com a velocidade enquanto o vetor unitário en está dirigido ao longo do normal para a trajetória e sempre aponta na direção do seu centro de curvatura Seguese que à medida que a partícula se movimenta as direções dos dois vetores unitários estão em constante variação 2 Expressando a aceleração em termos de seus componentes tangenciais e normais Deduzimos da Seção 1113 a seguinte equação aplicável tanto ao movimento bidimensional como ao tridimensional de uma partícula a dvdt et v²ρ en As seguintes observações podem ajudálo a resolver os problemas desta seção a O componente tangencial da aceleração mede a taxa de mudança da velocidade escalar at adt Seguese que quando at é constante as equações para o movimento uniformemente acelerado podem ser usadas com a aceleração igual a a Além disso quando a partícula se movimenta a uma velocidade constante temos at 0 e a aceleração da partícula se reduz a seu componente normal b O componente normal da aceleração é sempre dirigido para o centro de curvatura da trajetória da partícula e sua intensidade é at v²ρ Portanto o componente normal pode ser facilmente determinado se a velocidade escalar da partícula e o raio de curvatura ρ da trajetória forem conhecidos Reciprocamente quando a velocidade escalar e a aceleração normal da partícula são conhecidas o raio de curvatura da trajetória pode ser obtido resolvendo essa equação para ρ Problema Resolvido 1111 c No movimento tridimensional um terceiro vetor unitário é usado eb en et que define a direção da binormal Como esse vetor é perpendicular tanto à velocidade quanto à aceleração ele pode ser obtido escrevendo eb v a v a 3 Usando componentes radiais e transversais Esses componentes são usados para analisar o movimento plano de uma partícula P quando a posição de P é definida pelas suas coordenadas polares r e θ Como mostrado na Fig 1125 o vetor unitário er que define a direção radial está preso a P e aponta em direção oposta ao ponto fixo O enquanto o vetor unitário eθ que define a direção transversal é obtido girandose er em 90 no sentido antihorário A velocidade e a aceleração de uma partícula foram expressas em termos de seus componentes radiais e transversais nas Eqs 1143 e 1144 respectivamente Você vai notar que as expressões obtidas contêm a primeira e a segunda derivadas em relação a t das coordenadas r e θ Nos problemas desta seção você vai encontrar os seguintes tipos de questões envolvendo componentes radiais e transversais a Tanto r como θ são funções conhecidas de t Neste caso você vai calcular a primeira e a segunda derivadas de r e θ e substituir as expressões obtidas nas Eqs 1143 e 1144 b Existe uma certa relação entre r e θ Primeiro você deve determinar essa relação a partir da geometria do sistema dado e usála para expressar r em função de θ Quando a função r fθ for conhecida você poderá aplicar a regra da cadeia para determinar r em termos de θ e θ e r em termos de θ θ e θ As expressões obtidas podem então ser substituídas nas Eqs 1143 e 1144 c O movimento tridimensional de uma partícula como indicado no final da Seção 1114 pode muitas vezes ser descrito efetivamente em termos das coordenadas cilíndricas R θ e z Fig 1126 Os vetores unitários devem então consistir de er e θ e k Os componentes correspondentes da velocidade e da aceleração são dados nas Eqs 1149 e 1150 Note que a distância radial R é sempre medida em um plano paralelo ao plano xy e tenha cuidado para não confundir o vetor de posição r com seu componente radial Rer PROBLEMAS 11133 Determinar a velocidade periférica de uma cabine de teste de centrifugação para que a componente normal da aceleração seja 10g 11134 Em um teste de desempenho dirigese um automóvel ao longo de uma pista de teste circular de diâmetro d Determine a o valor de d quando a velocidade do automóvel é 72 kmh e a componente normal da aceleração é 63 ms² b a velocidade escalar do automóvel se d 180 m e a componente normal da aceleração é calculada para ser 06g 11135 Determine o menor raio que deveria ser usado para a rodovia se a componente normal da aceleração do carro viajando a 72 kmh não pudesse exceder 07 ms² 11136 Determine a velocidade escalar máxima que os carros da montanharussa podem atingir ao longo da seção circular AB da pista se o componente normal de sua aceleração não pode exceder 3g 11137 O pino A que está fixado à haste de conexão AB tem seu movimento restrito à ranhura circular CD Sabendo que no instante t 0 o pino parte do repouso e se movimenta de tal modo que sua velocidade escalar aumenta a uma taxa constante de 20 mms² determine a intensidade da aceleração total quando a t 0 b t 2 s 11138 Um trem monorailho parte do repouso em uma curva de raio 400 m e acelera com uma taxa constante a Se a aceleração máxima total do trem não deve exceder 15 ms² determine a a distância mais curta em que o trem pode alcançar a velocidade de 72 kmh b a taxa constante da aceleração a correspondente 11139 Uma pista ao ar livre tem 125 m de diâmetro A corredora aumenta sua velocidade escalar máxima de 4 para 7 ms em uma distância de 28 m Determine a aceleração total da corredora 2 s depois dela iniciar o aumento de sua velocidade escalar 11140 Em um dado instante de uma corrida de aeronaves o avião A está voando horizontalmente em linha reta e sua velocidade escalar aumentada a uma taxa de 8 ms² O avião B está voando na mesma altitude que o avião A e à medida que ele contorna um marco segue uma trajetória circular de 300 m de raio Sabendo que em um dado instante a velocidade de B começa a decrescer para uma taxa de 3 ms² determine para as posições mostradas na figura a a velocidade de B em relação a A b a aceleração de B em relação a A 11141 Um motorista que dirige ao longo de um trecho de reta de uma rodovia diminui a velocidade de seu automóvel para uma taxa constante antes de sair da rodovia em direção a uma rampa de saída circular com um raio de 168 m Ele continua a desaceleração com a mesma taxa constante de tal forma que 10 s após ter entrado na rampa sua velocidade escalar diminui para 32 kmh uma velocidade escalar que ele então mantém Sabendo que essa velocidade constante a aceleração total do carro é igual a um quarto de seu valor antes de entrar na rampa determine o valor máximo da aceleração total do carro Os carros de corrida A e B se deslocam em trechos circulares de um autódromo No instante mostrado na figura a velocidade de A está decrescendo a uma taxa de 7 ms² e a velocidade de B está aumentando a uma taxa de 2 ms² Para as posições mostradas determine a a velocidade de B em relação a A b a aceleração de B em relação a A Um jogadora de golfe lança uma bola a partir do ponto A com uma velocidade inicial de 50 ms e um ângulo de 25 com a horizontal Determine o raio de curvatura da trajetória descrita pela bola a no ponto A b no ponto mais alto da trajetória A partir de uma fotografia do dono de uma casa utilizando um removedor de neve determinase que o raio de curvatura da trajetória da neve foi de 85 m a partir do momento em que deixa o cano de descarga em A Determine a a velocidade de descarga va da neve b o raio de curvatura no ponto mais alto da trajetória 11165 A trajetória de uma partícula P é um elipse definida pelas relações r 22 cos θ e θ πt onde r é expresso em metros t em segundos e θ em radianos Determine a velocidade e a aceleração da partícula quando a t 0 b t 05 s 11170 O pino P está ligado à haste BC e desliza livremente ao longo da ranhura existente na haste AO Determine a taxa de variação θ do ângulo θ sabendo que BC se move com velocidade escalar constante v0 Expresse sua resposta em termos de v0 h β e θ 11177 Mostre que dotr hdotθ sin θ sabendo que para o instante mostrado na figura o degrau AB do aparelho de ginástica está girando no sentido antihorário a uma taxa constante φ Na primeira metade do capítulo analisamos o movimento retilíneo de uma partícula isto é o movimento de uma partícula ao longo de uma reta Para definir a posição P da partícula sobre essa reta escolhemos uma origem fixa O e um sentido positivo Fig 1127 A distância d de O a P com o sinal apropriado define completamente a posição da partícula sobre a linha e é chamada de coordenada de posição da partícula Seção 112 Foi mostrado que a velocidade v da partícula é igual à derivada temporal da coordenada de posição x v dx dt 111 e a aceleração a foi obtida diferenciandose v em relação a t a dv dt 112 ou a d2x dt2 113 Notamos também que a aceleração a pode ser expressa como a dv dx 114 Observamos que a velocidade v e a aceleração a foram representados por números algébricos que podem ser positivos ou negativos Um valor positivo para v indica que a partícula se movimenta no sentido positivo e um valor negativo indica que ela se move no sentido negativo Porém um valor positivo de a pode indicar que a partícula está realmente acelerada isto é movendose cada vez mais rápido no sentido positivo ou que ela está sendo desacelerada ou seja movendose cada vez mais devagar no sentido negativo Um valor negativo para a tem uma interpretação análoga Problema Resolvido 1111 Na maioria dos problemas as condições de movimento de uma partícula são definidas pelo tipo de aceleração que essa partícula possui e pelas condições iniciais Seção 113 A velocidade e a posição da partícula podem então ser obtidas integrando duas das Eqs 111 e 114 A escolha de quais dessas equações devem ser selecionadas depende do tipo de aceleração envolvida Problemas Resolvidos 112 e 113 Dois tipos de movimentos são frequentemente encontrados o movimento retilíneo uniforme Seção 114 no qual a velocidade v da partícula é constante x x0 vt 115 e o movimento retilíneo uniformemente acelerado Seção 115 no qual a aceleração a da partícula é constante e temos v v0 at 116 x x0 v0t 12at2 117 v2 v20 2ax x0 118 Quando duas partículas A e B se movem ao longo da mesma linha reta podemos querer considerar o movimento relativo de B em relação a A Seção 116 Representando por xBA a coordenada de posição relativa de B em relação a A Fig 1128 temos xB xA xBA 119 Diferenciando a Eq 119 duas vezes em relação a t obtemos sucessivamente vB vA vBA 1110 aB aA aBA 1111 onde vBA e aBA representam respectivamente a velocidade relativa e a aceleração relativa de B em relação a A Quando vários blocos estão unidos por cordas inextensíveis é possível escrever uma relação linear entre as suas coordenadas de posição Relações similares podem então ser escritas entre suas velocidades e entre suas acelerações e podem ser usadas para analisar o movimento desses blocos Problema Resolvido 115 Algumas vezes é conveniente utilizar uma solução gráfica para problemas que envolvem o movimento retilíneo de uma partícula Seções 117 e 118 A solução gráfica de modo geral utilizada envolve as curvas xt vt e at Seção 117 Problema Resolvido 116 Foi mostrado que para qualquer instante dado t v inclinação da curva xt a inclinação da curva vt ao passo que para qualquer intervalo de tempo dado de t1 até t2 v2 v1 área sob a curva at x2 x1 área sob a curva vt na segunda metade do capítulo analisamos o movimento curvilíneo de uma partícula isto é o movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curvilínea A posição P da partícula num dado instante Seção 119 foi determinada pelo vetor de posição r que liga a origem O do sistema de coordenadas ao ponto P Fig 1129 A velocidade v da partícula foi definida pela relação v dr dt 1115 e foi visto ser um vetor tangente à trajetória da partícula com intensidade v chamada de velocidade escalar da partícula igual à derivada temporal do comprimento s do arco descrito pela partícula v ds dt 1116 A aceleração a da partícula foi definida pela relação a dv dt 1118 e notamos que em geral a aceleração não é tangente à trajetória da partícula Derivada de uma função vetorial Representando por x y e z as coordenadas retangulares de uma partícula P encontramos que os componentes retangulares da velocidade e aceleração de P são iguais respectivamente às primeiras e segundas derivadas em relação a t das coordenadas correspondentes vx x vy y vz z 1129 ax x ay y az z 1130 Quando o componente ax da aceleração depende apenas de t e quando analogamente ay da aceleração depende de t e z de t e z e a Eqs 1130 podem ser integradas independente Nesse caso a análise do movimento curvilíneo dado se reduz à análise de três movimentos componentes retilíneos independentes Seção 111 Esse procedimento é particularmente eficaz no estudo do movimento de projéteis Problemas Resolvidos 117 e 118 Para duas partículas A e B que se movem no espaço Fig 1130 consideramos o movimento relativo de B em relação a A ou mais precisamente em relação a um sistema móvel de coordenadas fixado em A e em translação com A Seção 1112 Representando por rBA o vetor de posição relativa de B em relação a A Fig 1130 obtemos rB rA rBA 1131 Representando por vBA e aBA respectivamente a velocidade relativa e a aceleração relativa de B em relação a A mostramos também que vB vA vBA 1133 e aB aA aBA 1134 Em alguns casos é conveniente decompor a velocidade e a aceleração de uma partícula P em termos de outros componentes que não os componentes retangulares x y e z Para uma partícula P que se move ao longo de uma trajetória plana fixamos P os vetores unitários et tangente à trajetória e n normal à trajetória e apontamos para o centro de curvatura dessa trajetória Seção 1113 Expressamos então a velocidade e a aceleração da partícula em termos de seus componentes tangencial e normal Escrevemos v vet 1136 e a d vt dt v² ρ en 1139 onde v é a velocidade escalar da partícula e ρ o raio de curvatura da sua trajetória Problemas Resolvidos 1110 e 1111 Observamos que enquanto a velocidade v é sempre dirigida ao longo da tangente para a trajetória a aceleração consiste em um componente tangencial a dirigido ao longo da tangente para a trajetória e um componente normal an apontando para o centro de curvatura da trajetória Fig 1131 Para uma partícula P que se desloca ao longo de uma curva no espaço definimos como plano osculador o plano que melhor se ajusta à trajetória nas redondezas de P Esse plano contém os vetores unitários ee e en que definem respectivamente a tangente e o normal principal à curva O vetor unitário eu que é perpendicular ao plano osculador define a binormal Quando a posição de uma partícula P que se move em um plano é definida por suas coordenações polares r e θ é conveniente usar as componentes radial e transversal dirigidas respectivamente ao longo do vetor de posição r da partícula e na direção obtida pela rotação do vetor r de 90 no sentido antihorário Seção 1114 Fixamos em P os vetores unitários er e eθ dirigidos respectivamente nas direções radial e transversal Fig 1132 Expressamos então a velocidade e aceleração da partícula em termos dos componentes radial e transversal v r er r θ eθ 1143 a r r θ²er r θ 2r θeθ 1144 onde os pontos são usados para indicar derivação em relação ao tempo Os componentes escalares da velocidade e aceleração nas direções radial e transversal são portanto vr r θ r 1145 ar i r θ² aθ r i θ 2i θ 1146 É importante notar que ar não é igual à derivada temporal de vr e que aθ não é igual à derivada temporal de θ Problema Resolvido 1112 O capítulo se encerra com uma discussão sobre o uso de coordenadas cilíndricas para definir a posição e o movimento de uma partícula no espaço 11182 O movimento de uma partícula é definido pela relação x 2t³ 15t² 24t 4 onde x e t são expressos em metros e segundos respectivamente Determine a quando a velocidade é zero b a posição x e a distância total percorrida quando a aceleração é zero 11183 A aceleração de uma partícula é definida pela relação a 60t⁵ onde a e x são expressos em ms² e metros respectivamente Sabendo que a partícula parte sem velocidade inicial em x 4 m determine a velocidade da partícula quando a x 2 m b x 1 m c x 100 m 11184 Um projétil entra em um meio resistente em x 0 com uma velocidade inicial v₀ 270 ms e percorre 100 mm antes de entrar em repouso Considerando que a velocidade do projétil é definida pela relação v v₀ kx onde x expressa em ms e x em metros determine a a aceleração inicial do projétil b o tempo requerido para que o projétil penetre 975 mm no meio resistente 11185 Um elevador de carga subindo com velocidade constante de 18 ms passa por um elevador de passageiros que está parado Quatro segundos depois o elevador de passageiros começa a subir com uma aceleração constante de 072 ms² Determine a onde os elevadores estarão na mesma altura b a velocidade escalada do elevador de passageiros naquele instante 11186 O bloco C parte do repouso em t 0 e movese para cima com aceleração constante de 25 ms² Sabendo que o bloco A movese para baixo com velocidade constante de 75 ms determine a o instante no qual a velocidade do bloco B zero b a posição do bloco B correspondente 11187 Os três blocos mostrados na figura movemse com velocidades constantes Encontre a velocidade de cada bloco sabendo que a velocidade relativa de A com relação a C é 300 ms para cima e que a velocidade relativa de B com relação a A é 200 ms para baixo 11188 Um irrigador de água oscilante é colocado no ponto A de uma inclinação que forma um ângulo α com a horizontal O irrigador libera água com uma velocidade ve em um ângulo φ com a vertical que varia de φ₀ até φ₀ Sabendo que ve 9 ms α 40 e α 10 determine a distância horizontal entre o irrigador e os pontos B e C que definem a área molhada 11189 Como o motorista de um automóvel viaja para o norte a 25 kmh em um estacionamento ele observa um caminho aproximado pelo noroeste Depois ele reduz sua velocidade escalar para 15 kmh e assim que gira viajando na direção noroeste o caminho parece estar se aproximando pelo oeste Considerando que a velocidade do caminho é constante durante o período de observação determine a intensidade e a direção da velocidade do caminho 11190 O motorista de um automóvel diminui sua velocidade escalara numa taxa constante de 72 kmh para 48 kmh em uma distância de 225 m ao longo de uma curva de raio 450 m Determine a intensidade da aceleração total do automóvel depois que o automóvel tiver percorrido 150 m ao longo da curva 11191 Um morador usa o removedor de neve para limpar a entrada de sua garagem Sabendo que a neve é lançada a um ângulo médio de 40 com a horizontal determine a velocidade inicial v₀ da neve 11192 A partir de medições de uma fotografia verificouse que o fluxo de água mostrado na figura deixa o bocal em A e tem raio de curvatura de 25 m Determine a a velocidade inicial vA do fluxo b o raio da curva do fluxo se ele alcançar sua altura máxima em B 11193 Na parte baixa do loop em um plano vertical um aeroplano tem velocidade de 150 ms e está acelerando a uma taxa de 25 ms² O raio de curvatura do loop é 2000 m O aeroplano está sendo controlado pelo radar em O Qual é o valor registrado de ṙ ṙ e θ para esse instante PROBLEMAS PARA RESOLVER NO COMPUTADOR A força experimentada pelos passageiros em um carro de montanharussa dependerá se o carro está subindo ou descendo uma colina em linha reta ou ao longo de uma trajetória curvilínea horizontal ou vertical A relação existente entre força massa e aceleração será estudada neste capítulo no text found