Cinética de Partículas: Métodos de Energia e Quantidade de Movimento

CAPÍTULO 13 Cinética de partículas métodos de energia e quantidade de movimento 131 Introdução No capítulo anterior a maioria dos problemas que tratavam do movimento de partículas foi resolvida com o uso da equação fundamental do movimento F ma Dada uma partícula submetida à ação de uma força F podemos resolver essa equação para a aceleração a então aplicando os princípios da Cinemática podemos determinar a partir de a a velocidade e a posição da partícula em qualquer instante U12 s2s1 F dr 132 O emprego da equação F ma em conjunto com os princípios da cinemática permitenos obter dois métodos adicionais de análise o método de trabalho e energia e o método de impulso e quantidade de movimento Trabalho da força exercida por uma mola Considere um corpo A conectado a um ponto fixo B por meio de uma mola admitese que a mola não esteja deformada quando o corpo está em A0 Fig 135a Evidências experimentais mostram que a magnitude da força F exercida pela mola sobre o corpo é proporcional à deflexão x da mola medida em relação à posição A0 Temos F kx 135 A vantagem desses métodos reside no fato de que eles tornam desnecessária a determinação da aceleração De fato o método de trabalho e energia relaciona diretamente força massa velocidade e deslocamento ao passo que o método de impulso e quantidade de movimento relaciona força massa velocidade e tempo U12 x2x1 kx dx 12 kx22 12 kx12 136 O método de trabalho e energia será considerado em primeiro lugar O primeiro membro do lado esquerdo da Eq 138 representa o trabalho U12 do força F exercido sobre a partícula durante o seu deslocamento de A1 até A2 conforme indicado na Seção 132 o trabalho U12 é uma grandeza escalar A expressão 12mv² também é uma grandeza escalar ela é definida como a energia cinética da partícula sendo representada por T Escrevemos Nas Seções de 132 a 134 o trabalho de uma força e a energia cinética de uma partícula são discutidos o princípio de trabalho e energia é aplicado à solução de problemas de engenharia Os conceitos de potência e eficiência de uma máquina são introduzidos na Seção 135 A aplicação do princípio de trabalho e energia simplifica bastante a solução de muitos problemas que envolvem forças deslocamentos e velocidades Considero por exemplo o pêndulo A que consiste em um corpo A de peso W preso à corda de comprimento l Fig 138 O pêndulo é liberado do repouso em uma posição horizontal OA e posto para oscilar em um plano vertical Queremos determinar a velocidade escalar do corpo quando ele passar por A2 exatamente abaixo de O As Seções de 136 a 138 são dedicadas ao conceito de energia potencial de uma força conservativa e à aplicação do princípio de conservação de energia a diversos problemas de interesse prático Na Seção 139 os princípios de conservação de energia e de conservação da quantidade de movimento angular são usados em conjunto para resolver problemas de mecânica especial Mas a velocidade escalar em A2 foi determinada anteriormente pelo método de trabalho e energia Substituindo v₂² 2gL e resolvendo para P escrevemos A segunda parte do capítulo é dedicada ao princípio de impulso e quantidade de movimento e suas aplicações ao estudo do movimento de uma partícula Como você verá na Seção 1311 o princípio é particularmente eficaz no estudo do movimento impulsivo de uma partícula onde grandes forças são aplicadas durante um intervalo de tempo muito curto Potência fracdUdt F cdot fracdrdt e relembrando que fracdrdt representa a velocidade v do ponto de aplicação de F Potência F cdot v 1313 Como a potência foi definida como a taxa temporal de realização de trabalho ela deve ser expressa em unidades obtidas dividindose as unidades de trabalho pela unidade de tempo Logo no SI a potência deve ser expressa em Js essa unidade é denominada watt W Temos 1 W 1 Js 1 N cdot ms Lembrando que se utiliza comumente a unidade hp cavalopotência para representar potência temse que 1 hp 550 ft cdot lbs Recordando da Sec 132 que 1 ft cdot lb 1356 Js verificamos que 1 ft cdot lbs 1356 Js 1356 W 1 hp 5501356 W 746 W 0746 kW A eficiência mecânica de uma máquina foi definida na Seção 105 como sendo a razão entre o trabalho de saída e o trabalho de entrada η fractrabalho de saídatrabalho de entrada 1314 Essa definição baseiase na hipótese de que o trabalho é realizado a uma taxa constante Logo a razão entre os trabalhos de saída e de entrada é igual à razão das taxas de realização dos trabalhos de saída e de entrada e temos η fracpotência de saídapotência de entrada 1315 Por causa das perdas de energia devidas ao atrito o trabalho de saída é sempre menor que o trabalho de entrada e consequentemente a potência de saída é sempre menor que a potência de entrada Logo a eficiência mecânica de uma máquina é sempre menor que 1 Quando uma máquina é usada para transformar energia mecânica em energia elétrica ou energia térmica em energia mecânica sua eficiência global pode ser obtida a partir da Eq 1315 A eficiência global de uma máquina é sempre menor que 1 ela fornece uma medida das diversas perdas de energia envolvidas perdas de energia elétrica ou térmica assim como perdas por atrito Observe que é necessário expressar a potência de saída e a potência de entrada nas mesmas unidades antes de aplicar a Eq 1315 Nas Seções de 1312 a 1314 o impacto central de dois corpos é considerado Mostrarseá que existe uma certa relação entre as velocidades relativas dos dois corpos em colisão antes e depois do impacto Essa relação juntamente com o fato de que a quantidade de movimento total dos dois corpos se conserva pode ser usada para resolver várias problemas de interesse prático PROBLEMA RESOLVIDO 131 Um automóvel de massa 1000 kg é conduzido em um declive de 5 a uma velocidade de 72 kmh quando os freios são usados causando uma força total de frenagem constante de 5000 N aplicada pela estrada sobre os pneus Determine a distância percorrida pelo automóvel até e parar SOLUÇÃO Energia cinética vi frac72 kmh1000 kgfrac1 h1 kmfrac13600 s 20 ms Trabalho Ui o f 5000 cdot 1000 kg981 ms²sen 5x 4145x Princípio de trabalho e energia Ti Ui o f Tf 200000 4145x 0 x 4825 m Finalmente na Seção 1315 você aprenderá a selecionar dentre os três métodos essenciais apresentados nos Caps 12 e 13 o mais adequado à solução de um dado problema Você também verá como o princípio de conservação da energia e o método de impulso e quantidade de movimento podem ser combinados para a solução de problemas que envolvem apenas forças conservativas exceto por uma fase de impacto curta em que as forças impulsivas também precisam ser levadas em consideração PROBLEMA RESOLVIDO 132 Dois blocos estão conectados por um cabo inextensível como mostrado na figura Se o sistema é liberado do repouso determine a velocidade do bloco A depois que ele se desloca 2 m Admita que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco A e o plano seja de muk 025 e que a roldana não tenha peso nem atrito SOLUÇÃO Trabalho e energia para o bloco A Representamos a força de atrito por FA e a força exercida pelo cabo por FC e escrevemos mA 200 kg quad WA mAg 200 kg981 ms² 1962 N FA mukNA mukWA 0251962 N 490 N Ti Ui o f Tf 0 FC2 m FA2 m frac12200 kgv2 FC2 m 490 N2 m frac12200 kgv2 2940 N2 m 490 N2 m frac12300 kgv2 e 1 Trabalho e energia para o bloco B Escrevemos mB 300 kg quad WB 300 kg981 ms² 2940 N Ti Ui o f Tf 0 WB2 m FC2 m frac12300 kgv2 2940 N2 m FC2 m 1 frac12300 kgv2 Adicionando os primeiro e segundo membros de 1 e 2 observamos que o trabalho das forças exercidas pelo cabo sobre A e B se anula 2940 N2 m 490 N2 m frac12200 kg 300 kgv2 4900 frac14500 kgv2 v 443 ms 132 Trabalho de uma força PROBLEMA RESOLVIDO 134 Um carrinho de montanharussa de 1000 kg parte do repouso no ponto 1 e movese pista abaixo sem atrito a Determine a força exercida pela pista sobre o carrinho no ponto 2 onde o raio de curvatura da pista é de 6 m b Determine o valor mínimo de segurança do raio de curvatura no ponto 3 SOLUÇÃO a Força exercida pela pista no ponto 2 O princípio de trabalho e energia é usado para determinar a velocidade do carrinho quando ele passa pelo ponto 2 Energia cinética T1 0 T2 12 mv2 2 Trabalho A única força que realiza trabalho é o peso W Como o deslocamento vertical do ponto 1 ao ponto 2 é de 12 m para baixo o trabalho do peso é U12 W12 m mg12 m Princípio de trabalho e energia T1 U12 T3 0 mg12 m 12 mv2 2 v2 2 24g24 m981 ms2 1531 ms Segunda lei de Newton no ponto 2 A aceleração a2 v2 2ρ e é orientada para cima Como as forças externas que agem sobre o carrinho são W e N escrevemos Fyn ma2 W N ma2 m v2 2ρ m 24g6 4mg 4W N 5W 51000 kg981 ms2 N 4905 kN b Valor mínimo de ρ no ponto 3 Princípio de trabalho e energia Aplicando o princípio de trabalho e energia entre o ponto 1 e o ponto 3 obtemos T1 U13 T3 0 mg75 m 12 mv2 3 v3 2 15g 15 m981 ms2 v3 1213 ms Segunda lei de Newton no ponto 3 O valor mínimo de segurança de ρ ocorre quando N 0 Nesse caso a aceleração a3 v3 2ρ e escrevemos Fyn ma3 mg m v3 2ρ ρ v3 2g ρ 15 m Definiremos em primeiro lugar os termos deslocamento e trabalho da maneira como são usados em Mecânica Considera uma partícula que PROBLEMA RESOLVIDO 135 O elevador D e sua carga têm uma massa combinada de 300 kg enquanto o contrapeso C tem massa de 400 kg Determine a potência liberada pelo motor elétrico M quando o elevador a se move para cima com uma velocidade constante de 25 ms e b se move com uma velocidade instantânea de 25 ms e aceleração de 1 ms2 ambas orientadas para cima SOLUÇÃO Como a força F exercida pelo cabo do motor tem o mesmo sentido da velocidade v0 do elevador a potência é igual a Fv0f sendo v0f 25 ms Para obter a potência devemos antes determinar F em cada uma das duas situações dadas a Movimento uniforme Temos ac ap 0 ambos os corpos estão em equilíbrio Corpo livre C Fy 0 2T 400 g 0 T 200 g 1962 N Corpo livre D Fy 0 F T 300 g 0 F 300 g T 300 g 200 g 981 N FvD 981 N25 ms 2452 W Potência 2450 b Movimento acelerado Temos axD 1 ms2 ac 13aD 05 ms2 As equações de movimento são Corpo livre C Fy mcac 400 g 2T 400 05 400981 400 05 T 2 T 1862 N Corpo livre D Fy mdad F T 300 g 300 1 F 1862 300 981 300 F 1381 N FvD 1381 N25 ms 3452 W Potência 3450 se move de um ponto A em direção a um ponto vizinho A Fig 131 Se r representa o vetor posição correspondente ao ponto A o pequeno vetor que liga A ao A pode ser representado pela diferencial dr o vetor dr é denominado deslocamento da partícula Vamos agora admitir que uma força F esteja atuando sobre a partícula O trabalho da força F correspondente ao deslocamento dr é definido pela grandeza METODOLOGIA PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS No capítulo anterior você resolveu problemas que tratam do movimento de uma partícula usando a equação fundamental F ma para determinar a aceleração Aplique os princípios da cinemática voce foi então capaz de determinar a partir de a a velocidade e o deslocamento da partícula em um instante qualquer Nesta ligação combinamos F ma os princípios da cinemática para obter um método adicional de análise denominado método de trabalho e energia Esse método elimina a necessidade de calcular a aceleração e possibilitará que você relacione as velocidades da partícula em dois pontos ao longo de sua trajetória Para resolver um problema pelo método de trabalho e energia você deverá seguir os seguintes passos 1 Calcular o trabalho de cada força O trabalho U12 de uma força dada F durante um deslocamento finito da partícula de A1 até A2 é definido como U12 F dr ou U12 F cos α ds onde α é o ângulo entre F e o deslocamento dr O trabalho U12 é uma grandeza escalar e é expresso em N m ou joules J no SI Observe que o trabalho realizado é nulo para uma força perpendicular ao deslocamento α 90 O trabalho realizado é negativo para 90 α 180 em particular para uma força de atrito que sempre é oposta à direção do deslocamento α 180 O trabalho U12 pode ser facilmente avaliado nos seguintes casos que você encontrará a Trabalho de uma força constante em movimento retilíneo U12 F cos α Δx onde α ângulo entre a força e a direção do movimento Δx deslocamento de A1 até A2 Fig 133 b Trabalho da força da gravidade U12 W Δy onde Δy é o deslocamento vertical do centro de gravidade do corpo cujo peso é W Observe que o trabalho é positivo quando Δy é negativo isto é quando o corpo movese para baixo Fig 134 dU F dr d Trabalho de uma força gravitacional U12 GMmr2 GMmr1 para um deslocamento do corpo de A1r r1 até A2r r2 Fig 136 2 Calcular a energia cinética em A1 e A2 A energia cinética T é T ½mv² onde m é a massa da partícula e v é a intensidade da velocidade As unidades de energia cinética são iguais às unidades de trabalho isto é N m ou joules J no SI 3 Substituir os valores do trabalho realizado U12 e das energias cinéticas T1 e T2 na equação T1 U12 T2 Você terá agora uma equação que pode resolver para uma incógnita Observe que essa equação não fornece diretamente o tempo de percurso ou a aceleração Todavia se você conhece o raio de curvatura da trajetória da partícula em um ponto onde tenha obtido a velocidade v você pode expressar o componente normal da aceleração como an v²ρ e o componente normal da força exercida sobre a partícula escrevendo Fn mv²ρ 4 A potência foi introduzida nesta lição como sendo a taxa temporal de realização de trabalho P dUdt A potência é medida em Js ou watts W no SI Utilizase comumente como alternativa o hp cavalopotência Para calcular a potência você pode aplicar a fórmula equivalente P F v onde F e v representam respectivamente a força e a velocidade em um certo instante Problema Resolvido 135 Em alguns problemas ver por exemplo o Problema 1350 será solicitado que você calcule a potência média que pode ser obtida dividindose o trabalho total pelo intervalo de tempo durante o qual o trabalho é realizado obtida efetuandose o produto escalar entre a força F e o deslocamento dr Representando por F e ds respectivamente os módulos da força e do deslocamento e por α o ângulo formado por F e dr e relembrando a definição do produto escalar de dois vetores Seção 39 escrevemos PROBLEMAS 131 Um pequeno carro híbrido de 1300 kg está viajando a 108 kmh Determine a a energia cinética do veículo b a velocidade escalar para um caminhão de 9000 kg que tem a mesma energia cinética que o carro 132 Um satélite de 450 kg é posto em uma órbita circular a 6360 km acima da superfície da Terra Nessa elevação a aceleração da gravidade é de 24 ms² Determine a energia cinética do satélite sabendo que sua velocidade orbital é de 20000 kmh 133 Partindo do repouso uma pedra de 1 kg cai de uma altura h e bate no chão com uma velocidade de 15 ms a Encontre a energia cinética da pedra quando ela bate no chão e a altura h da queda b Resolva o item a admitindo que a mesma pedra caia na Lua Aceleração da gravidade na Lua 162 ms² 134 Partindo do repouso uma pedra de 4 kg cai de uma altura h e bate no chão com uma velocidade de 25 ms a Encontre a energia cinética da pedra quando bate no chão e a altura h da queda b Resolva o item a admitindo que a mesma pedra caia na Lua Aceleração da gravidade na Lua 162 ms² dU F ds cos α 139 Um pacote é lançado 10 m para cima em um aclive de 15 de forma que alcança o topo da inclinação com velocidade nula Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre o pacote e a inclinação é 012 determine a a velocidade inicial do pacote em A b a velocidade do pacote quando este retornar a sua posição original 1310 Um pacote é lançado para cima num aclive de 15 em com velocidade de 8 ms Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre o pacote e a inclinação é 012 determine a a máxima distância d que o pacote se moverá para cima na inclinação b a velocidade do pacote quando este retornar a sua posição original 1311 As caixas são transportadas por uma esteira com uma velocidade v0 até o início de um plano inclinado fixo em A onde elas deslizam e finalmente caem em B Sabendo que μk 040 determine a velocidade da esteira transportadora para que as caixas tenham velocidade nula em B 1312 As caixas são transportadas por uma esteira com uma velocidade v0 até o início de um plano inclinado fixo em A onde elas deslizam e finalmente caem em B Sabendo que μk 040 determine a velocidade da esteira transportadora para que as caixas tenham velocidade nula em B 1313 Os pacotes são descarregados em um declive em A com velocidade de 1 ms Eles deslizam ao longo da superfície ABC para a esteira transportadora que se move com velocidade de 2 ms Sabendo que μk 025 entre os pacotes e a superfície ABC determine a distância d de só pacotes alcançam C com velocidade de 2 ms 1314 Os pacotes são descarregados em um declive em A com velocidade de 1 ms Eles deslizam ao longo da superfície ABC para a esteira transportadora que se move com velocidade de 2 ms Sabendo que d 75 m e μk 025 entre os pacotes e todas as superfícies determine a a velocidade do pacote em C b a distância que um pacote deslizará na esteira transportadora antes de ficar em repouso com relação à esteira Usando a Eq 330 podemos também expressar o trabalho dU em termos dos componentes retangulares da força e do deslocamento Um trem de metrô está viajando numa velocidade escalar de 48 kmh quando os freios são plenamente aplicados nas rodas dos carros B e C causando então o deslocamento nos trilhos mas não são aplicados nas rodas do carro A Sabendo que o coeficiente de atrito cinético é 035 entre as rodas e o trilho determine a a distância necessária para produzir a parada do trem b a força em cada engate dU Fx dx Fy dy Fz dz Dois blocos idênticos são liberados em repouso Desprezando a massa das polias e sabendo que os coeficientes de atrito estático são μs 030 e μk 020 determine a a velocidade do bloco B depois deste ter movimentado 2 m b a tração no cabo Por ser uma grandeza escalar o trabalho tem uma intensidade e um sinal mas não uma direção Notemos também que ele pode ser expresso em unidades obtidas do produto das unidades de comprimento pelas unidades de força No SI o trabalho deve ser expresso em N m e não em joules pois o momento de uma força não é uma forma de energia Um caminhãobaú entra em um declive com 2 de inclinação deslizandose a 108 kmh e deve reduzir para 72 kmh em 300 m O cavalo mecânico tem uma massa de 1500 kg e o baú 5400 kg Determine a a força média de frenagem que deve ser aplicada b a força média exercida no engate entre o cavalo mecânico e o baú se 70 da força de frenagem é suportada pelo baú e 30 pelo cavalo mecânico Resultado da 131 que o trabalho dU é positivo se o ângulo α for agudo e negativo se α for obtuso Três casos particulares são de especial interesse Um bloco de 5 kg é fixado a uma mola indefinida de constante k 2100 Nmm Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e o plano são 060 e 040 respectivamente Se a força F é lentamente aplicada no bloco até a tração na mola alcançar 100 N e então subitamente retirada determine a a velocidade do bloco quando este volta à sua posição inicial b a máxima velocidade alcançada pelo bloco Se a força F possui o mesmo sentido que dr o trabalho dU reduzse a F ds Se F tem um sentido oposto ao de dr o trabalho dU F ds Finalmente se F é perpendicular a dr o trabalho dU é nulo Um bloco de 5 kg é fixado a uma mola indefinida de constante k 2100 Nmm Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e o plano são 060 e 040 respectivamente Se a força F é lentamente aplicada no bloco até a tração na mola alcançar 100 N e então subitamente retirada determine a a que distância o bloco irá se mover para a esquerda antes de parar b se o bloco irá então se mover para a direita Um automóvel desgovernado deslocandose a 100 kmh bate de frente com um sistema rodoviário de absorção de impacto amortecedor do tipo mostrado na figura no qual o automóvel é levado ao repouso pelo esmagamento sucessivo de tambores de aço A intensidade F da força necessária para espremer os tambores é mostrada como uma função da distância d de deslocamento do automóvel dentro do amortecedor Sabendo que a massa do automóvel é 1100 kg e desprezando o efeito do atrito determine a a distância que o automóvel percorrerá dentro do amortecedor antes de atingir o repouso e b a desaceleração máxima do automóvel Capítulo 13 Cinética de partículas métodos de energia e quantidade de movimento 783 1339 A esfera em A é empurrada para baixo com velocidade v₀ e oscila em um fio vertical de raio l e centro O Determine a menor velocidade v₀ para que a corda atinja o ponto B oscilando em torno do ponto O a se AO for uma corda b se AO for uma barra delgada de massa desprezível 1340 A esfera em A é empurrada para baixo com velocidade v₀ de intensidade 5 ms e oscila em um plano vertical na extremidade de uma corda de comprimento l 2 m presa a um apoio em O Determine o ângulo θ no qual a corda irá romperse sabendo que ela pode resistir a uma tração máxima igual ao dobro do peso da esfera 1341 Um trecho da pista de uma montanharussa consiste de dois arcos de círculo AB e CD unidos por um trecho reto BC O raio de AB é 27 m e o raio de CD é 72 m O carrinho e seus ocupantes de massa total de 280 kg alcançam o ponto A praticamente sem velocidade e então caem livremente ao longo da pista Determine a força normal exercida pela pista sobre o carro quando este alcança o ponto B Ignore as resistências do ar e de rolamento Figura P1339 e P1340 1342 Um trecho da pista de uma montanharussa consiste de dois arcos de círculo AB e CD unidos por um trecho reto BC O raio de AB é 27 m e o raio de CD é 72 m O carrinho e seus ocupantes de massa total de 280 kg alcançam o ponto A praticamente sem velocidade e então caem livremente ao longo da pista Determine os valores máximo e mínimo da força normal exercida pela pista sobre o carro durante o percurso de A até D Ignore as resistências do ar e de rolamento 1343 Uma pequena esfera B de massa m é liberada do repouso na posição mostrada na figura e oscila livremente em um plano vertical primeiramente em torno do ponto O e em seguida em torno do pino A depois que a corda entra em contato com o pino Determine a tração na corda a logo antes dela entrar em contato com o pino b logo após dela entrar em contato com o pino Figura P1343