Exercícios Resolvidos - Leis de Newton e Aplicações da Dinâmica

1 Três corpos A B e C de massas mA 1 kg mB 3 kg e mC 6 kg estão apoiados numa superfície horizontal perfeitamente lisa A força horizontal F de intensidade constante F 5 N é aplicada ao primeiro bloco A Determine a a aceleração adquirida pelo conjunto b a intensidade da força que A exerce em B c a intensidade da força que B exerce em C 2 Dois corpos A e B de massas iguais a mA 2 kg e mB 4 kg estão apoiados numa superfície horizontal perfeitamente lisa O fio que liga A a B é ideal isto é de massa desprezível e inextensível A força horizontal F tem intensidade igual a 12 N constante Determine a a aceleração do sistema b a intensidade da força de tração do fio 3 Os corpos A e B da figura têm massas respectivamente iguais a mA 6 kg e mB 2 kg O plano de apoio é perfeitamente liso e o fio é inextensível e de peso desprezível Não há atrito entre o fio e a polia considerada sem inércia Adote g 10 ms2 Determine a aceleração do conjunto e a tração do fio 4 No arranjo experimental da figura os corpos A B e C têm respectivamente massas iguais a mA 5 kg mB 2 kg e mC 3 kg A aceleração da gravidade é 10 ms2 Os fios são inextensíveis e de inércia desprezível não há atrito entre os fios e as polias o plano horizontal é perfeitamente liso Determine a a aceleração do sistema de corpos b as trações nos fios SITUAÇÃO A força que atua sobre você é constante logo sua aceleração também é constante Podemos usar as equações cinemáticas dos Capítulos 2 e 3 para encontrar ā e depois obter a força a partir de Σ F ma Escolhemos a orientação x como a orientação de F Figura 45 de forma que F Fi e Fx ma a Aceleração 2ª lei de Newton 𝐹𝑀𝑎𝑚𝐴𝑚𝐵𝑚𝐶𝑎 𝑎 𝐹 𝑚𝐴𝑚𝐵𝑚𝐶 5 𝑁 1𝑘𝑔3𝑘𝑔6𝑘𝑔 5 𝑁 10𝑘𝑔05 𝑚 𝑠 2 b Somatório das forças para A 𝐹 𝐹 𝐴𝐵𝑚 𝐴𝑎 𝐹 𝐴𝐵𝐹 𝑚 𝐴𝑎5 𝑁 1𝑘𝑔05 𝑚 𝑠 245 𝑁 c Somatório das forças em B 𝐹 𝐴𝐵 𝐹 𝐵𝐶𝑚𝐵𝑎 𝐹 𝐵𝐶𝐹 𝐴𝐵𝑚𝐵𝑎45 𝑁 3𝑘𝑔05 𝑚 𝑠 23 𝑁 5 No arranjo experimental da figura ao lado os corpos A e B têm respectivamente massas iguais a 6 kg e 2 kg Os fios e as polias têm massas desprezíveis Não há atrito entre o fio e a polia Adote g 10 ms2 Determine a a aceleração do conjunto b as trações nos fios Considere que o sistema partiu do repouso a Aceleração 𝑎 𝐹 𝑚𝐴𝑚𝐵 12 𝑁 2𝑘𝑔4𝑘𝑔12𝑁 6𝑘𝑔 2 𝑚 𝑠 2 b Tração Para o corpo A somatório de forças 𝐹𝑚𝐴𝑎𝑇𝑚𝐴𝑎 𝑇𝑚𝐴𝑎2𝑘𝑔2 𝑚 𝑠 24 𝑁 6 Determine a força que o homem deve exercer no fio para manter em equilíbrio estático o corpo suspenso de 120 N Os fios são considerados inextensíveis e de massas desprezíveis entre os fios e as polias não há atrito As polias são ideais isto é não têm peso No endereço eletrônico httpwwwwalterfendtdeph11brpulleysystembrhtm acesso em 1322007 você pode analisar um sistema constituído de duas quatro e seis polias Aceleração Em y vertical 𝐹𝑚𝐵𝑎𝑇 𝑚𝐵𝑔𝑚𝐵𝑎𝑇𝑚𝐵 𝑎𝑔 Em x horizontal 𝐹𝑚𝐴𝑎𝑇𝑚𝐴𝑎 Igualando as duas expressões para T 𝑚𝐵 𝑎𝑔 𝑚 𝐴𝑎 𝑎 𝑚𝐵 𝑚 𝐴𝑚𝐵𝑔 2𝑘𝑔 6𝑘𝑔2𝑘𝑔10 𝑚 𝑠 25 𝑚 𝑠 2 Tração 𝑇𝑚𝐴𝑎6𝑘𝑔5 𝑚 𝑠 230 𝑁 7 Um homem de 70 kg está no interior de um elevador que desce acelerado à razão de 2 ms2 Adote g 10 ms2 e considere o homem apoiado numa balança calibrada em newtons Determine a intensidade da força indicada pela balança Solução O elevador desce verticalmente com aceleração a 2 ms2 em relação a um observador externo em repouso no solo Esse observador externo que é um referencial inercial vê atuarem no homem dentro do elevador as forças FP ação da Terra e FN ação da balança no homem O homem atua na balança exercendo a força de intensidade FN que é a indicação da balança pois esta está calibrada de modo a medir intensidades de forças Bloco A forças na vertical direção y 𝑇 𝐴𝐵𝑚𝐴𝑔𝑚𝐴𝑎𝑇 𝐴𝐵𝑚 𝐴𝑎𝑚 𝐴𝑔 Bloco C forças na vertical direção y 𝑇 𝐵𝐶𝑚𝐶𝑔𝑚𝐶 𝑎𝑇 𝐵𝐶𝑚𝐶𝑎𝑚𝐶 𝑔 Bloco B forças na horizontal direção x 𝑇 𝐴𝐵𝑇 𝐵𝐶𝑚𝐵𝑎 𝑇 𝐴𝐵𝑇 𝐵𝐶𝑚𝐵𝑎0 Temos 3 equações e 3 incógnitas Matricialmente Usando os valores numéricas das massas e da aceleração da gravidade Usando o método de redução de Gauss 8 Um corpo de peso P desliza num plano inclinado perfeitamente liso que forma um ângulo θ em relação à horizontal Determine a a aceleração do corpo b a intensidade da força normal que o plano exerce no corpo É dada a aceleração da gravidade g Então 10𝑎20𝑎2 𝑚 𝑠 2 𝑇 𝐵𝐶3𝑎30𝑇 𝐵𝐶36 𝑁 𝑇 𝐴𝐵5𝑎50𝑇 𝐴𝐵40 𝑁 9 No arranjo experimental da figura os corpos A e B têm massas iguais a 10 kg O plano inclinado é perfeitamente liso O fio é inextensível e passa sem atrito pela polia de massa desprezível Determine a a aceleração do sistema de corpos b a tração no fio dado sen 30 05 Só há movimento na vertical Bloco A 𝑚𝐴𝑔𝑇𝑚 𝐴𝑎𝑇𝑚𝐴 𝑔𝑎 Bloco B 𝑇 𝑚𝐵𝑔𝑚𝐵𝑎𝑇𝑚𝐵 𝑎𝑔 Igualando as duas expressões para T 𝑚𝐴 𝑔𝑎𝑚𝐵 𝑎𝑔 𝑎𝑚𝐵𝑚 𝐴𝑔𝑚𝐴𝑚𝐵𝑎 𝑚 𝐴𝑚𝐵 𝑚𝐴𝑚𝐵 𝑔 6 𝑘𝑔2𝑘𝑔 6𝑘𝑔2𝑘𝑔 10 𝑚 𝑠 2 𝑎 4𝑘𝑔 8𝑘𝑔10 𝑚 𝑠 25 𝑚 𝑠 2 Tração 𝑇𝑚𝐵𝑎𝑔 2𝑘𝑔5 𝑚 𝑠 2 10 𝑚 𝑠 230 𝑁 10 Um ponto material de massa m e peso P está suspenso por um fio de massa desprezível ao teto de um vagão hermeticamente fechado figura a O vagão parte uniformemente acelerado e o corpo suspenso deslocase para trás em relação a um observador em repouso no interior do trem até atingir o ângulo de 35 em relação à vertical figura b Adote g 10 ms2 e tg 35 07 Determine a aceleração do trem para um observador externo em repouso na Terra A força é 𝐹 𝑃 2 𝑁 1 N é o número de polias e P 120 N 𝐹 𝑃 2 𝑁 1120 𝑁 2 4 1 120 𝑁 8 15 𝑁 A força peso de 120 N se divide em 60 N para cada parte da corda da polia 4 Ao chegar na polia 3 P é divido por 2 e se torna 30 N para cada parte da corda P é divido novamente e se torna 15 N que são transferidos para cada parte da corda 15 N para o ponto de apoio e os outros 15 para a polia fixa Na polia fixa se encontra uma corda que está sendo segurada pelo homem que levanta o objeto ao aplicar uma força maior que 15 N 11 Você está à deriva no espaço afastado de sua nave espacial Por sorte você tem uma unidade de propulsão que fornece uma força resultante constante F por 30 segundos Após 30 s você se moveu 225 m Se sua massa é 68 kg encontre F Somatório de forças na vertical 𝑚𝑔 𝐵𝑚𝑎 𝐵𝑚𝑔𝑚𝑎𝑚 𝑔𝑎70𝑘𝑔10 𝑚 𝑠 2 2 𝑚 𝑠 2560 𝑁 A leitura da balança apresenta um valor menor do que aquele comparado ao que seria medido se o homem estivesse fora do elevador 𝐵𝑓𝑜𝑟𝑎70𝑘𝑔10 𝑚 𝑠 2700 𝑁 18090𝑘𝜃𝑘180º90º 𝜃90º 𝜃 a Aceleração Forças em x 𝑚𝑔cos 𝑘𝑚𝑎 𝑚𝑔cos 90º𝜃 𝑚𝑎𝑎𝑔cos 90º 𝜃 𝑎𝑔cos 90º𝜃 𝑔cos 90º cos 𝜃sin 90º sin 𝜃𝑔0 cos 𝜃1sin 𝜃 𝑎𝑔sin 𝜃 b Força normal forças em y 𝑁 𝑚𝑔 sin 𝑘0 𝑁𝑚𝑔sin 𝑘𝑚𝑔sin 90 𝜃𝑚𝑔 sin90cos 𝜃cos 90 sin 𝜃 𝑁𝑚𝑔1cos 𝜃 0sin 𝜃 𝑚𝑔cos𝜃 a Aceleração Bloco A 𝑁 𝑚 𝐴𝑔 cos 𝜃 0 direção oposta ao movimento 𝑚 𝐴𝑔 sin 𝜃𝑇𝑚𝐴𝑎𝑇𝑚𝐴 𝑎𝑔sin 𝜃 direção do movimento Bloco B 𝑚𝐵𝑔𝑇𝑚𝐵𝑎𝑇𝑚𝐵 𝑔𝑎 direção do movimento Igualando as equações para a tensão 𝑚𝐴 𝑎𝑔sin 𝜃 𝑚𝐵 𝑔𝑎 𝑎𝑚𝐴𝑚𝐵𝑔𝑚𝐵𝑚 𝐴sin 𝜃𝑎 𝑔𝑚𝐵𝑚 𝐴sin 𝜃 𝑚𝐴𝑚𝐵 𝑎10 𝑚 𝑠 210𝑘𝑔 10𝑘𝑔sin 30º 10𝑘𝑔10𝑘𝑔 25 𝑚 𝑠 2 b Tração 𝑇𝑚𝐵𝑔𝑎10𝑘𝑔10 𝑚 𝑠 2 25 𝑚 𝑠 275 𝑁 Somatório de forças tan 𝜃𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑎𝑑𝑗 𝐹 𝑚𝑔 𝐹𝑚𝑎tan 35º 𝐹 𝑚𝑔𝑚𝑎 𝑚𝑔 𝑎 𝑔 𝑎𝑔 tan 35º 10 𝑚 𝑠 2077 𝑚 𝑠 2 Aceleração 𝑠𝑣𝑡 1 2 𝑎𝑡 2225𝑚0𝑡 1 2 𝑎30𝑠 2 2259 2 𝑎𝑎05 𝑚 𝑠 2 Força 𝐹𝑚𝑎68𝑘𝑔05 𝑚 𝑠 234 𝑁 a Aceleração 2ª lei de Newton 𝐹 𝑀𝑎 𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑚𝐶𝑎 𝑎 𝐹 𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑚𝐶 5 𝑁 1 𝑘𝑔 3 𝑘𝑔 6 𝑘𝑔 5 𝑁 10 𝑘𝑔 05 𝑚 𝑠2 b Somatório das forças para A 𝐹 𝐹𝐴𝐵 𝑚𝐴𝑎 𝐹𝐴𝐵 𝐹 𝑚𝐴𝑎 5 𝑁 1 𝑘𝑔 05 𝑚 𝑠2 45 𝑁 c Somatório das forças em B 𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐵𝐶 𝑚𝐵𝑎 𝐹𝐵𝐶 𝐹𝐴𝐵 𝑚𝐵𝑎 45 𝑁 3 𝑘𝑔 05 𝑚 𝑠2 3 𝑁 a Aceleração 𝑎 𝐹 𝑚𝐴 𝑚𝐵 12 𝑁 2 𝑘𝑔 4 𝑘𝑔 12 𝑁 6 𝑘𝑔 2 𝑚 𝑠2 b Tração Para o corpo A somatório de forças 𝐹 𝑚𝐴𝑎 𝑇 𝑚𝐴𝑎 𝑇 𝑚𝐴𝑎 2 𝑘𝑔 2 𝑚 𝑠2 4 𝑁 Aceleração Em y vertical 𝐹 𝑚𝐵𝑎 𝑇 𝑚𝐵𝑔 𝑚𝐵𝑎 𝑇 𝑚𝐵𝑎 𝑔 Em x horizontal 𝐹 𝑚𝐴𝑎 𝑇 𝑚𝐴𝑎 Igualando as duas expressões para T 𝑚𝐵𝑎 𝑔 𝑚𝐴𝑎 𝑎 𝑚𝐵 𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑔 2 𝑘𝑔 6 𝑘𝑔 2 𝑘𝑔 10 𝑚 𝑠2 5 𝑚 𝑠2 Tração 𝑇 𝑚𝐴𝑎 6 𝑘𝑔 5 𝑚 𝑠2 30 𝑁 Bloco A forças na vertical direção y 𝑇𝐴𝐵 𝑚𝐴𝑔 𝑚𝐴𝑎 𝑇𝐴𝐵 𝑚𝐴𝑎 𝑚𝐴𝑔 Bloco C forças na vertical direção y 𝑇𝐵𝐶 𝑚𝐶𝑔 𝑚𝐶𝑎 𝑇𝐵𝐶 𝑚𝐶𝑎 𝑚𝐶𝑔 Bloco B forças na horizontal direção x 𝑇𝐴𝐵 𝑇𝐵𝐶 𝑚𝐵𝑎 𝑇𝐴𝐵 𝑇𝐵𝐶 𝑚𝐵𝑎 0 Temos 3 equações e 3 incógnitas Matricialmente Usando os valores numéricas das massas e da aceleração da gravidade Usando o método de redução de Gauss Então 10𝑎 20 𝑎 2 𝑚 𝑠2 𝑇𝐵𝐶 3𝑎 30 𝑇𝐵𝐶 36 𝑁 𝑇𝐴𝐵 5𝑎 50 𝑇𝐴𝐵 40 𝑁 Só há movimento na vertical Bloco A 𝑚𝐴𝑔 𝑇 𝑚𝐴𝑎 𝑇 𝑚𝐴𝑔 𝑎 Bloco B 𝑇 𝑚𝐵𝑔 𝑚𝐵𝑎 𝑇 𝑚𝐵𝑎 𝑔 Igualando as duas expressões para T 𝑚𝐴𝑔 𝑎 𝑚𝐵𝑎 𝑔 𝑎𝑚𝐵 𝑚𝐴 𝑔𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑎 𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑔 6 𝑘𝑔 2 𝑘𝑔 6 𝑘𝑔 2 𝑘𝑔 10 𝑚 𝑠2 𝑎 4 𝑘𝑔 8 𝑘𝑔 10 𝑚 𝑠2 5 𝑚 𝑠2 Tração 𝑇 𝑚𝐵𝑎 𝑔 2 𝑘𝑔 5 𝑚 𝑠2 10 𝑚 𝑠2 30 𝑁 A força é 𝐹 𝑃 2𝑁1 N é o número de polias e P 120 N 𝐹 𝑃 2𝑁1 120 𝑁 241 120 𝑁 8 15 𝑁 A força peso de 120 N se divide em 60 N para cada parte da corda da polia 4 Ao chegar na polia 3 P é divido por 2 e se torna 30 N para cada parte da corda P é divido novamente e se torna 15 N que são transferidos para cada parte da corda 15 N para o ponto de apoio e os outros 15 para a polia fixa Na polia fixa se encontra uma corda que está sendo segurada pelo homem que levanta o objeto ao aplicar uma força maior que 15 N Somatório de forças na vertical 𝑚𝑔 𝐵 𝑚𝑎 𝐵 𝑚𝑔 𝑚𝑎 𝑚𝑔 𝑎 70 𝑘𝑔 10 𝑚 𝑠2 2 𝑚 𝑠2 560 𝑁 A leitura da balança apresenta um valor menor do que aquele comparado ao que seria medido se o homem estivesse fora do elevador 𝐵𝑓𝑜𝑟𝑎 70 𝑘𝑔 10 𝑚 𝑠2 700 𝑁 180 90 𝑘 𝜃 𝑘 180º 90º 𝜃 90º 𝜃 a Aceleração Forças em x 𝑚𝑔 cos𝑘 𝑚𝑎 𝑚𝑔 cos90º 𝜃 𝑚𝑎 𝑎 𝑔 cos90º 𝜃 𝑎 𝑔cos90º 𝜃 𝑔cos90º cos𝜃 sin90º sin𝜃 𝑔0 cos𝜃 1 sin𝜃 𝑎 𝑔 sin𝜃 b Força normal forças em y 𝑁 𝑚𝑔 sin𝑘 0 𝑁 𝑚𝑔 sin𝑘 𝑚𝑔 sin90 𝜃 𝑚𝑔sin90 cos𝜃 cos90 sin𝜃 𝑁 𝑚𝑔1 cos𝜃 0 sin𝜃 𝑚𝑔 cos𝜃 a Aceleração Bloco A 𝑁 𝑚𝐴𝑔 cos𝜃 0 direção oposta ao movimento 𝑚𝐴𝑔 sin𝜃 𝑇 𝑚𝐴𝑎 𝑇 𝑚𝐴𝑎 𝑔 sin𝜃 direção do movimento Bloco B 𝑚𝐵𝑔 𝑇 𝑚𝐵𝑎 𝑇 𝑚𝐵𝑔 𝑎 direção do movimento Igualando as equações para a tensão 𝑚𝐴𝑎 𝑔 sin𝜃 𝑚𝐵𝑔 𝑎 𝑎𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑔𝑚𝐵 𝑚𝐴 sin𝜃 𝑎 𝑔𝑚𝐵 𝑚𝐴 sin𝜃 𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑎 10 𝑚 𝑠2 10 𝑘𝑔 10 𝑘𝑔 sin30º 10 𝑘𝑔 10 𝑘𝑔 25 𝑚 𝑠2 b Tração 𝑇 𝑚𝐵𝑔 𝑎 10 𝑘𝑔 10 𝑚 𝑠2 25 𝑚 𝑠2 75 𝑁 Somatório de forças tan𝜃 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗 𝐹 𝑚𝑔 𝐹 𝑚𝑎 tan35º 𝐹 𝑚𝑔 𝑚𝑎 𝑚𝑔 𝑎 𝑔 𝑎 𝑔 tan35º 10 𝑚 𝑠207 7 𝑚 𝑠2 Aceleração 𝑠 𝑣𝑡 1 2 𝑎𝑡2 225 𝑚 0𝑡 1 2 𝑎30 𝑠2 225 9 2 𝑎 𝑎 05 𝑚 𝑠2 Força 𝐹 𝑚𝑎 68 𝑘𝑔 05 𝑚 𝑠2 34 𝑁