Modelagem de Sistemas Discretos: Fundamentos e Aplicações

MODELAGEM DE SISTEMAS DISCRETOS MODELAGEM DE SISTEMAS DISCRETOS Copyright UVA 2021 Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição Texto de acordo com as normas do Novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa AUTORIA DO CONTEÚDO Izabel Cristina Corrêa Saldanha Matsuzaki REVISÃO Janaina Vieira Lydianna Lima PROJETO GRÁFICO UVA DIAGRAMAÇÃO UVA SUMÁRIO Apresentação Autora 6 7 Cadeias de Markov 33 Cadeias de Markov em tempo discreto Probabilidades de transição Classificação de estados Probabilidades de estados estáveis Cadeias ergódicas Tempos de Primeira Passagem Estados absorventes UNIDADE 2 8 Probabilidade condicional e aplicações Variáveis aleatórias e processos estocásticos Distribuições de probabilidade exponencial e de Poisson Revisão dos conceitos de probabilidade variável aleatória e distribuição probabilística UNIDADE 1 SUMÁRIO Fundamentos da simulação 88 Introdução à simulação Modelagem dos dados de entrada Criação do modelo conceitual UNIDADE 4 61 Introdução à Teoria de Filas Componentes básicos Processos de chegada e atendimento Processos de nascimento e morte Notação de Kendall Equações de Little Modelos de filas Teoria de Filas UNIDADE 3 6 Identificar e analisar os problemas que se apresentam no dia a dia é uma das habilidades mais exigidas de engenheiros Logo é de extrema importância que o profissional tenha uma base de conhecimento sólida e capacidade crítica para selecionar as ferramentas necessárias para a resolução dos problemas Pensando nisso apresentaremos alguns conceitos estatísticos fundamentais e que servirão como arcabouço para a compreen são dos sistemas discretos Além dos conceitosbase uma das premissas desta disciplina é proporcionar uma visão prática e totalmente alinhada ao que se propõe em Pesquisa Operacional isto é permitir que os engenheiros utilizem modelos matemáticos de forma aplicada auxiliando a toma da de decisões empresariais Com foco nestes objetivos e nos fundamentos da modelagem de sistemas discretos é condição indispensável que os futuros profissionais saibam identificar por exemplo processos estocásticos processos markovianos como ocorre o funcionamento de Sistemas de Filas e se é possível analisar por meio de indicadores o comportamento desses sistemas Dessa forma na dinâmica do cenário empresarial e com foco na filosofia de redução dos custos e maximização dos lucros o conhecimento aplicado é um ativo de grande valor Sendo assim esta disciplina tem o intuito de permitir ao discente uma experiência diferenciada para que os ganhos no aprendizado possam ser quantificados pela indústria e pelos profissionais que empregarão o conhecimento adquirido APRESENTAÇÃO 7 IZABEL CRISTINA CORRÊA SALDANHA MATSUZAKI Doutoranda no Programa de Planejamento Energético PPE do Instituto Alberto Luiz Coimbra de PósGraduação e Pesquisa em Engenharia COPPEUFRJ com início em 2018 É mestra em Engenharia de Produção com ênfase em Gerência da Produção pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUCRJ 2008 e tem Especialização Executiva em Petróleo e Gás pela COPPEUFRJ 2014 Graduada em Engenharia de Pro dução pela Universidade do Estado do Pará UEPA 2006 atuou como consultora de projeto e gestão Hope na Petrobras entre os anos de 2008 e 2016 Participou do projeto de implantação da Área de Gestão de Fornecedores de BioManguinhosFiocruz nos anos de 2016 e 2017 Tem experiência na área de Engenharia de Produção com ênfase em Avaliação de Projetos análise de projetos de investimentos e Supply Chain Compõe o quadro de professores do curso de Engenharia de Produção da Universidade Veiga de Almeida UVA desde 2016 AUTORA Revisão dos conceitos de probabilidade variável aleatória e distribuição probabilística UNIDADE 1 9 A partir de uma visão geral da Estatística e da importância da aplicabilidade de seus con ceitos muitos profissionais de Engenharia e de outras ciências têm buscado cada vez mais aprofundar seus conhecimentos nesse universo Entendimento dos princípios da probabilidade compreensão da influência entre os eventos e variáveis além da rapidez no correto tratamento dos dados para a solução de problemas e tomada de decisão são diferenciais em todas as vertentes profissionais Logo nesta unidade o conteúdo apre sentado dará subsídios para que você tenha familiaridade com terminologias e conceitos fundamentais não apenas com a disciplina de Modelagem de Sistemas Discretos mas igualmente como ferramenta para a futura profissão INTRODUÇÃO Nesta unidade você será capaz de Associar os conhecimentos de probabilidade e estatística no processo de modelagem matemática e na interpretação das informações associadas a problemas reais OBJETIVO 10 Probabilidade condicional e aplicações A Teoria da Probabilidade remonta ao início do século XVII com estudiosos como Pascal e Fermat mas na atualidade podemos diariamente aplicar e perceber seus princípios Ao acompanhar um noticiário você pode observar algumas declarações como a popu lação brasileira tem 60 de chance de ser totalmente vacinada até o final do segundo semestre ou se os investimentos no setor industrial aumentarem no próximo trimestre o PIB brasileiro aumentará 2 até o final do ano Ambas as afirmações são exemplos de aplicações de probabilidade no nosso cotidiano e que demonstram a importância e o uso desses conceitos Por isso veremos a seguir algumas definições para o entendimento das probabilidades Visão geral de alguns conceitos importantes A correta identificação dos problemas e a escolha das ferramentas adequadas são de extrema importância para a Engenharia bem como para outras ciências Agora vamos pensar que dependendo do escopo ou da dimensão do problema para que possamos tratálo de forma mais acertada eou mais fácil devemos buscar os meios que indiquem que as partes possuem representatividade em relação ao todo do problema Vamos entender melhor este assunto Apresentaremos a seguir as definições de alguns conceitos da Estatística Descritiva e da Matemática que são extremamente relevantes e que funcionam como alicerces para o conteúdo desta unidade São eles a População todo o conjunto ou agrupamento de dados ou informações que po dem ser consideradas para uma determinada análise de interesse que venha a ser entendida como população De modo mais simples por exemplo imagine uma fá brica de bebidas que produz três 03 famílias de produtos X Y e Z Se o interesse for analisar os dados de apenas uma dessas famílias o conjunto de informações desses produtos pertencentes a essa família será a população do nosso estudo b Amostra grupo de dados ou informações selecionados com o intuito de repre sentar uma determinada população em estudo Com base na definição anterior de população é possível observar que a depender da decisão do pesquisador ou das li mitações do estudo podese selecionar uma parcela de dados que traduzirão o com portamento da população Considerando o exemplo anterior podemos dizer que se lecionamos uma amostra de 2 duas marcas da família de produtos Z por exemplo 11 c Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experi mento aleatório e é denotado por S MONTGOMERY RUNGER 2021 Observase que um novo termo nesta definição foi introduzido isto é o termo aleatório mas o abordaremos de forma adequada mais à frente Para exemplificar esse conceito imagine que temos interesse em analisar uma ação que envolve a população e ou a amostra que estamos estudando Logo testar a produção de uma determi nada máquina de envase pode ser descrita como um experimento e o número de resultados desejáveis e indesejáveis durante esse teste de produção será o espaço amostral de estudo d Evento é uma subparte ou subconjunto do espaço amostral Considerando o exemplo mencionado anteriormente entendese que o evento são os resultados desejáveis ou indesejáveis do teste de produção da máquina de envase e Operações com conjuntos como abordamos os eventos como subconjuntos é importante revisar as operações com conjuntos tais como uniãointerseção entre conjuntos complemento de eventos entre outras Essa revisão irá proporcionar melhor entendimento das próximas etapas Vejamos a seguir detalhes de algumas operações com conjuntos 1 Sejam dois eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S dizse que a união entre esses dois conjuntos é a reunião de todos os resultadoselementos existentes em A e em B Denotase AB A representação gráfica pode ser visualizada por meio do diagrama de VennEuler como mostra a figura a seguir Podemos dizer que uma família de produtos é constituída por produtos que passam pelas mesmas etapas físicas de processo produtivo Exemplificando imagine uma fábrica de bebidas A linha de produção de bebidas gaseificadas pode gerar uma determinada família de produtos Vale ressaltar também que nessa família podemos ter diferentes marcas de bebidas Ampliando o foco 12 Representação da união entre os eventos A e B Fonte Elaboração própria 2021 2 Sejam dois eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S dizse que a interseção entre esses dois conjuntos são todos os resultadoselementos que são comuns a A e a B Denotase A B A representação gráfica é representada como mostra a figura a seguir Representação da interseção entre os eventos A e B Fonte Elaboração própria 2021 3 Seja um evento A pertencente ao espaço amostral S dizse que o complemento deste evento são todos os resultadoselementos que não são pertencentes ao evento A Deno tase Ā A representação gráfica é representada como mostra a figura a seguir Representação do complemento do evento A Fonte Elaboração própria 2021 A B S A B S A B S 13 4 Sejam dois eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S dizse que estes dois eventos são mutuamente exclusivos ou excludentes quando não há resultadoselemen tos comuns a estes dois eventos isto é não há simultaneidade na ocorrência deles De notase que A B A representação gráfica é representada como mostra a figura a seguir Representação de eventos mutuamente excludentes Fonte Elaboração própria 2021 Probabilidade e axiomas Agora veremos a definição de probabilidade e os respectivos princípios que embasam essa teoria Diante das diversas situações que se apresentam no dia a dia tentamos pre ver ou nos antecipar às possíveis consequências sejam elas desejáveis ou não Entre alguns exemplos de ocorrências podemos listar Incertezas associadas ao tempo ou seja se choverá ou não Incertezas das nossas decisões se devemos aceitar ou não aquela vaga de está gio ou decidir pelo intercâmbio Incertezas associadas a investimentos se teremos ganhos ou perdas na compra de determinadas ações na bolsa de valores Ou seja incertezas sempre existirão mas o interessante é como criar meios de trabalhar com elas ou utilizálas a favor de uma melhor compreensão do mundo e dos diversos desafios que possam surgir De modo geral em grande parte dos casos ao analisar um determinado fenômeno alea tório temos interesse na variabilidade dos dados desse fenômeno Contudo para que seja possível obter informações como média variância ou desviopadrão de uma quan tidade considerável de dados é importante aplicarmos as ferramentas utilizadas em Es A B S 14 tatística Descritiva tais como frequência relativa frequência acumulada ponto médio do intervalo de classes entre outras coisas Quando abordamos a definição de frequência relativa temos que é a razão entre a fre quência absoluta do elemento observado em relação ao número total de observações do experimento ou seja é o percentual de participação desse elemento em relação ao total de observações De modo análogo podemos dizer que a probabilidade de um evento qualquer é a razão entre o número de ocorrências desse evento em relação ao total de resultados possíveis no espaço amostral do experimento Vejamos um exemplo Fenômeno aleatório ou experimento aleatório é um experimento que pode for necer diferentes ou imprevisíveis resultados embora seja repetido toda vez da mesma maneira MONTGOMERY RUNGER 2021 Ampliando o foco Considere um escritório de um empreendimento logístico com cinco analistas sendo duas mulheres e três homens duas secretárias dois coordenadores um homem e uma mulher e uma gerente geral Ou seja ao todo temos 10 colabo radores nesse escritório Imagine que um colaborador foi escolhido ao acaso para participar de um feedback com o presidente da empresa Qual a probabilidade de o colaborador ser uma mulher Em primeiro lugar con solidaremos as informações em uma tabela conforme a imagem a seguir Total de colaboradores do empreendimento logístico Função Mulher Homem Total Secretárias 2 0 2 Analistas 2 3 5 Coordenadores 1 1 2 Exemplo 15 O exemplo anterior mostra a definição clara de probabilidade e a aplicação de modo semelhante do conceito de frequência relativa Contudo antes de falarmos sobre algu mas propriedades da Teoria de Probabilidades é importante destacar que a realização de operações com probabilidades de eventos apenas é possível ao fazerse uso da Teoria dos Conjuntos Já vimos algumas operações com conjuntos e especificamente vimos que um evento é tido como um subconjunto do espaço amostral Sendo assim a partir do exemplo ilustrado anteriormente veremos o emprego das operações para as proba bilidades de eventos Operações com probabilidade Seja M o evento já definido como colaborador selecionado é mulher e A o evento co laborador selecionado é analista Com base nessas informações e nos dados da tabela Total de colaboradores do empreendimento logístico podemos nos perguntar Gerente geral 1 0 1 Total 6 4 10 Fonte Elaboração própria 2021 Vamos considerar os seguintes dados seja M o evento colaborador selecio nado é mulher e analisando as informações da definição de probabilidade Então temos PM nº de resultados do evento M nº total de resultados do espaço amostral Com base na equação anterior e a partir dos dados podemos obter o seguinte resultado PM 6 06 ou 60 10 A partir do resultado é possível afirmar que a probabilidade de que o colabora dor selecionado seja uma mulher é igual a 06 ou 60 16 Qual a probabilidade de o colaborador selecionado ser uma mulher analista Dos cálculos já realizados sabemos que a PM 06 Contudo considerando os eventos como sub conjuntos do espaço amostral escritório exemplo anterior o que foi solicitado é a in terseção entre os eventos subconjuntos M e A ou seja conforme assinalado na Tabela Total de colaboradores do empreendimento logístico Total de colaboradores do empreendimento logístico Função Mulher Homem Total Secretárias 2 0 2 Analistas 2 3 5 Coordenadores 1 1 2 Gerente geral 1 0 1 Total 6 4 10 Fonte Elaboração própria 2021 Logo a probabilidade de o colaborador selecionado ser uma mulher analista é igual a PA M 2 02 ou 20 10 Outra pergunta Qual a probabilidade de o colaborador escolhido ser mulher ou analista Vale resgatar que a Teoria dos Conjuntos determina que dados dois conjuntos quaisquer A e B a união entre eles é obtida a partir da equação A B A B A B Lêse que a união entre o conjunto A e o conjunto B é igual à soma de todos os elementos contidos em A e em B subtraindose os elementos comuns a ambos os conjuntos De modo análogo podemos dizer que P A B P A P B P A B 17 Dessa forma com base na equação anterior podemos calcular PAM de acordo com sua aplicação P A M P A P M P A M PA M 5 6 2 9 ou 09 ou 90 10 10 10 10 Agora a partir do que foi visto apresentaremos as propriedades fundamentais para as aplicações da Teoria de Probabilidades Essas propriedades também são conhecidas como Axiomas da Probabilidade Ou seja quando efetuamos o cálculo da frequência re lativa simples fr de um determinado elemento observado em um experimento sabemos que por definição o valor obtido deve estar compreendido entre 0 e 1 Segundo Montgomery e Hunger 2021 probabilidade é um número que é atribuído a cada membro de uma coleção de eventos a partir de um experimento aleatório que sa tisfaça as seguintes propriedades a saber I Para qualquer evento E 0 PE 1 II Seja S a representação do espaço amostral então PS 1 III Para dois eventos E1 e E2 com E1 E2 por consequência P 0 sendo as sim PE1 E2 PE1 PE2 Adicionalmente podese dizer que para qualquer evento E a probabilidade do comple mento desse evento é dada por PE 1 PE Probabilidade condicional e aplicações Primeiramente vamos considerar os mesmos dados usados na tabela apresentada no exemplo do empreendimento logístico 18 Total de colaboradores do empreendimento logístico Função Mulher Homem Total Secretariado 2 0 2 Análise 2 3 5 Coordenação 1 1 2 Gerência geral 1 0 1 Total 6 4 10 Fonte Elaboração própria 2021 Porém agora considere um cenário em que a informação sobre o cargo do colaborador escolhido ao acaso vazou entre os funcionários A notícia é de que o colaborador sele cionado para o feedback é um analista Com base nisso temos a seguinte pergunta qual a probabilidade de o colaborador ser homem já que sabemos que é um analista Seja H o evento colaborador selecionado é homem e A o evento colaborador selecionado é analista logo P HA P HA sendo PA 0 PA A partir da equação é possível definir a probabilidade condicional do evento H dado o evento A Sendo assim temos P HA 310 3 ou 06 ou 60 510 5 19 Outra maneira de interpretar a probabilidade condicional a partir dos dados da tabela é da seguinte forma 1 Verifique se uma das informações de análise já foi fornecida ou seja no caso anterior o fato de que o colaborador é um analista 2 Considere que esta informação passa a restringir o espaço amostral de análise de escritório para função analista 3 O espaço amostral deixa de ser os 10 dez elementos e passa a ser os 05 cinco do total de analistas como mostra a tabela a seguir Dado que queremos conhecer analistas homens do problema temse então 35 resultado semelhante obtido a partir da fórmula Total de colaboradores do empreendimento logístico Função Mulher Homem Total Secretárias 2 0 2 Analistas 2 3 5 Coordenadores 1 1 2 Gerente geral 1 0 1 Total 6 4 10 Fonte Elaboração própria 2021 Independência Agora neste título pense no seguinte cenário o setor de pintura de uma fábrica de auto móveis está produzindo apenas duas 02 cores de carrocerias Contudo o controle de qualidade observou que alguns itens apresentam defeito na pintura O supervisor notou que os produtos saíam com defeito na pintura independentemente da ordem de produ ção ou seja o fato de uma carroceria não sair com defeito na pintura não garantia que o próximo item também sairia sem defeito 20 Apesar da observação do supervisor foi sugerido elaborar os cálculos que comprovas sem tal afirmação Dessa forma a partir da extração de duas peças ao acaso e seja A o evento segunda peça com defeito e B o evento primeira peça com defeito construire mos a seguinte árvore de probabilidades como mostra a figura a seguir Árvore de probabilidades do controle de qualidade Fonte Elaboração própria 2021 Observe que identificamos na árvore como D quando a peça apresenta defeito de pintura e SD quando a peça está sem defeito de pintura Adicionalmente indicamos as probabi lidades ao se extrair a 1ª peça e depois a 2ª Note Não há mudança no valor da probabilidade e as chances de sair com ou sem defeito continua sendo 50 ou ½ tanto na primeira extração quanto na segunda Calculemos PA PB e PAB PA 1 1 1 4 4 2 PB 1 1 1 4 4 2 1ª peça D 12 12 12 12 12 12 D D SD SD SD 2ª peça 21 Para o cálculo de PAB faremos uso da fórmula da probabilidade condicional de PAB ou seja PAB PAB PB PAB PAB PB Sabemos que a probabilidade de a segunda peça ser defeituosa independe do fato de a primeira ser ou não e que o valor desta probabilidade é ½ Logo PAB PA 12 Então PAB 1 1 1 2 2 4 Assim se diz que dois eventos A e B são independentes se e somente se PAB PA PB 22 Variáveis aleatórias e processos estocásticos Em matemática quando estudamos o tema relacionado às funções aprendemos sobre os domínios e imagens de uma determinada função Entre outras coisas vimos também que função é a relação entre dois conjuntos domínio e contradomínio e que a imagem é como chamamos o correspondente a cada elemento no domínio O real motivo para essa revisão de funções é o fato de que para todo experimento que realizarmos o con junto de resultados possíveis desse experimento que já definimos como espaço amos tral será o domínio da nossa função e a variável aleatória será a imagem Variável aleatória Imagine que um gerente irá analisar o número de peças defeituosas em uma linha de montagem de motores e observa que as peças A B e C que compõem o motor são as peças que geralmente apresentam problema de qualidade Com base nisso os motores montados podem apresentar problemas nas três peças em apenas uma ou em duas delas Analisando os resultados possíveis desse experimento ou seja o espaço amostral de possibilidades e considerando os índices D para as peças com defeito e L para as peças livres de defeitos temos os seguintes resultados possíveis S ADBDCD ADBDCL ADBLCD ADBLCL ALBLCL ALBLCD ALBDCD ALBDCL Com base na definição do espaço amostral do nosso exemplo imaginemos que seja in teressante para o gerente apresentar em termos numéricos o total de peças defeituosas nos motores ou seja é possível que a linha monte o motor com uma peça defeituosa duas nenhuma ou as três peças defeituosas Observe que podemos associar as infor mações do espaço amostral aos valores 0 1 2 e 3 Então podemos adotar tais valores às variáveis aleatórias do nosso exemplo A partir dessas informações podemos introduzir um novo conceito distribuição de pro babilidades de uma variável aleatória Montaremos agora uma tabela com todos os re sultados possíveis do nosso experimento a partir de uma árvore de probabilidades con forme mostra a figura a seguir 23 Árvore de probabilidades da linha de montagem Fonte Elaboração própria 2021 Considere que cada raiz da árvore de probabilidade corresponde a uma probabilidade de 50 de chance de ocorrência ou ½ Calculando os valores das probabilidades de cada resultado possível temos 12 12 12 18 A partir desse resultado montamos a distribuição de frequência ou distribuição de probabilidades da variável peças com defei to em questão Podese observar a tabela adiante Distribuição de probabilidades da VA peças com defeito Resultados Probabilidade X AD BD CD 18 3 AD BD CL 18 2 AD BL CD 18 2 AD BL CL 18 1 AL BL CL 18 0 AL BL CD 18 1 AL BD CD 18 2 AL BD CL 18 1 Fonte Elaboração própria 2021 AD BD BD CD CD CD CD AL BL BL CL CL CL CL 24 Com base nas informações apresentadas na tabela é possível identificar que atribuímos os valores da variável aleatória va chamada de X a cada resultado correspondente e à respectiva probabilidade de ocorrência Lembrando que a variável aleatória do nosso exemplo é referente ao número de peças com defeito Dessa forma podemos simpli ficar as informações da tabela a seguir somando as probabilidades de mesma va da seguinte forma Somatório das probabilidades das VA X Probabilidade 0 18 1 38 2 38 3 18 Fonte Elaboração própria 2021 Considere que X sempre representado em letra maiúscula é o valor da variável aleatória e a coluna das probabilidades passa a ser a distribuição de probabilidades ou função de probabilidade da variável aleatória X peças com defeito A função de probabilidade tam bém pode ser representada como PX x Sendo assim temos PX 0 1 ou 125 8 PX 2 3 ou 375 8 Existem duas classificações para as variáveis aleatórias sendo elas discretas ou contí nuas Segundo Bussab e Morettin 2013 Variável aleatória discreta é o caso em que a va pode assumir um número finito ou infinito de valores porém enumerável 25 Variável aleatória contínua são variáveis cujos valores resultam de algum proces so de mensuração Como exemplo temse o peso ou a altura de um grupo de pes soas o tempo de vida de uma lâmpada a produção de combustíveis em litros etc Processos estocásticos Dado que já entendemos como as variáveis aleatórias podem ser empregadas nos cená rios estudados vamos analisar agora o que vem a ser um processo estocástico Segundo Yates e Goodman 2017 o processo estocástico Xt é um mapeamento de resultados de um experimento para funções de tempo Xt é tanto o nome do processo quanto o nome da variável aleatória observada no tempo Esta definição ainda pode ser reforçada com a seguinte visão também dos respectivos autores Um processo estocástico Xt consiste em um experimento com uma medida de probabilidade P definida sobre um espaço amostral S e uma função que atribui uma função de tempo xt s a cada resultado s no espaço amostral do experimento Simplifi cando esta definição ou melhor aproximandoa da definição de variáveis aleatórias logo como uma va é um valor atribuído ao resultado de um experimento aleatório de modo análogo um processo estocástico é a atribuição de funções geralmente associadas ao tempo aos resultados de um determinado experimento Vejamos uma situação a seguir para entendermos melhor Um exemplo interessante abordado por Hillier e Liberman 2013 está associado aos aspectos climáticos de uma cidade chamada Centerville Neste exemplo são analisa das as chances de se ter tempo sem chuva tempo seco ou tempo chuvoso Os auto res atribuem a evolução do tempo dia a dia como sendo um processo estocástico em tempo discreto O tempo é notado em cada dia t para t 012O estado do sistema pode ser definido como uma variável aleatória Xt e em um determinado dia t pode ser Estado 0 Dia t é seco ou Estado 1 Dia t com chuva Dessa forma a variável alea tória Xt para t 012 assume valores Xt 0 se no dia t não estiver chovendo e Xt1 se o dia t estiver chuvoso Sendo assim uma forma de representar matematicamente a evolução do clima ao longo do tempo na cidade de Centerville é a partir do processo estocástico Xt X0 X1 X2 HILLIER LIBERMAN 2013 26 Distribuições de probabilidade exponencial e de Poisson Neste tópico veremos que a partir da classificação das variáveis aleatórias como dis cretas ou contínuas os modelos probabilísticos associados a estas variáveis também assim classificamse Entre as distribuições de probabilidade de va discretas podemos citar alguns modelos como os modelos de Bernoulli Binomial Geométrica Hipergeomé trica Poisson Já para os modelos probabilísticos de va contínuas podemos mencionar por exemplo as distribuições Uniforme Normal Exponencial Gama entre outras A ideia de aplicação das distribuições de probabilidade é justamente trabalhar a construção de exemplos teóricos a partir de modelos reais nos quais buscamos uma aproximação para estabelecer conjecturas De modo simplificado com base nos resultados dos experimentos é analisado como os sistemas se comportam Dessa forma vamos iniciar a apresentação do conteúdo des te tópico com os modelos probabilísticos discretos mas sem nos aprofundarmos nos modelos uma vez que o objetivo é abordar o modelo de distribuição de Poisson Porém é importante falar de algumas características das distribuições para o entendimento do modelo de Poisson Quando se tem um experimento em que uma determinada variável aleatória X pode assu mir valores 0 ou 1 sendo estes valores associados à ocorrência ou não de um determina do evento ou uma característica isto é de sucesso ou fracasso dizse que estamos tra tando de um experimento de variável aleatória de Bernoulli com parâmetro p designado para a probabilidade de sucesso Utilizando os axiomas da probabilidade e por se tratar de um experimento cujos resultados possíveis são binários sim não sucesso fracasso etc temos P X 1 p Sendo 1 a va atribuída a sucesso e P X 0 1 p sendo 0 a va atribuída a fracasso e p assumindo valores em 0 p 1 Agora imagine que este experimento com uma va de Bernoulli possa ser repetido n vezes ou seja podemos pegar uma amostra de tamanho n desse experimento Adicio nalmente podemos afirmar que o resultado de uma repetição independe do resultado de 27 outra Com base nisso atribuímos uma probabilidade q para a ocorrência de fracasso e p para a ocorrência de sucesso Logo temos p q 1 Seja então X uma va que representa o número de sucessos em n repetições ou tentati vas Podemos dizer que a probabilidade de obter k sucessos é dada por PX k n pk qnk Eq 1 k Em que k 012n e o número de fracassos é dado por n k Dessa forma caracteriza mos o que vem a ser uma distribuição binomial Distribuição de Poisson Com o intuito de apresentar as distribuições de uma variável aleatória de Bernoulli e Bi nomial abordarmos a chamada distribuição de Poisson Quando em um ensaio os re sultados se apresentam como uma distribuição Binomial mas o número n de repetições é muito grande n e a probabilidade de sucesso p é muito pequena p0 os cálcu los tornamse difíceis e complexos Sendo assim podemos fazer o que é chamado de aproximação da binomial pela distribuição de Poisson Por meio do cálculo do limite da equação 1 quando n é possível obter a equação 2 temos PX k eλ λk Eq 2 k Não apresentaremos a dedução da equação acima mas para maiores detalhes ver Mo rettin 2010 p 105 Esta equação caracteriza uma distribuição de Poisson É importante destacarmos que a letra e representa a base do sistema de logaritmo natural e seu valor numérico é de aproximadamente 271828 28 Com base nessas informações seja X o número de sucessos em um determinado inter valo sendo a probabilidade de sucesso neste intervalo proporcional ao tamanho deste Adicionalmente a possibilidade de ocorrer mais de um sucesso neste intervalo é peque na comparada à probabilidade de sucesso MORETTIN 2010 Então PX k eλ λk k Em que a variável X tem distribuição de Poisson e λ é a média desta distribuição Dessa forma temos EX λ e VARX σ2 λ Agora vejamos um exemplo de aplicação dessa distribuição de probabilidade Sabese que um telefone recebe em média cinco chamadas por minuto Supondo que a dis tribuição de Poisson seja adequada nesse cenário obtenha a probabilidade de que o telefone não receba chamadas em um intervalo de um minuto BUSSAB MORETTIN 2013 Temos px PX 0 e5 50 e5 00067 ou 067 0 Distribuição exponencial Até o momento falamos apenas de distribuições discretas mas no universo das distri buições contínuas uma em especial é de nosso interesse a chamada de modelo expo A distribuição de Poisson é largamente empregada quando se deseja contar o número de eventos de certo tipo que ocorrem em um intervalo de tempo ou superfície ou volume BUSSAB MORETTIN 2013 Importante 29 nencial Uma variável aleatória contínua X apresenta distribuição exponencial se a sua função densidade de probabilidade é dada por fx λ eλx se x 0 0 caso contrário Com parâmetro λ e λ0 Lembrando que a função de distribuição de X é obtida a partir do cálculo da integral da área do gráfico da função densidade de probabilidade isto é Função densidade de probabilidade de x Fonte Elaboração própria 2021 A partir da integração mencionada acima obtemos a função de distribuição acumulada exponencial Fx 1 eλx se x 0 0 caso contrário Dizemos que a variável X tem distribuição exponencial com parâmetro λ sendo a média e a variância dessa distribuição dadas por Ex 1 e VARX σ2 1 λ λ2 fx x λ λ 30 Para ampliar o seu conhecimento veja o material complementar da Unidade 1 disponível na midiateca MIDIATECA Imagine um cenário em que você foi convocado a participar de um projeto de melhorias nos processos de uma empresa do setor alimentício fastfood Os atuais gestores da empresa informaram que atualmente o principal problema é que por se tratar de um fastfood os clientes não podem esperar muito tem po pelo atendimento pois isso entra em conflito com a proposta desse tipo de modelo de negócio Desesperados com a situação eles estão dispostos a realizar as mudanças sugeridas pela equipe de projeto da qual você faz parte Neste contexto o que você faria Vamos pensar Analisando a situação observe que temos um evento ou fenômeno aleatório sobre o qual não temos controle algum que são as chegadas dos clientes para atendimento Outro ponto impor tante a ser destacado é que essas chegadas ocorrem em intervalos de tempo que podem ser horas minutos ou segundos Como as distribuições de proba bilidade se aplicam justamente para que possamos criar modelos teóricos a partir da realidade o ideal é que identifiquemos como os dados de chegada de clientes se comportam para selecionar a melhor distribuição de probabilidade que se aplicaria Com base nessas características do cenário percebemos que a distribuição de Poisson é a que melhor representa esses dados Dessa forma após algumas coletas de dados atribuímos valores possíveis à variável aleatória chegadas dos clientes e obtemos um valor médio delas A partir dessas infor mações é possível calcular a distribuição de probabilidades do número de clien tes que chegam ao estabelecimento no intervalo de tempo escolhido no estudo Esses dados auxiliariam na análise do comportamento dessa va e consequen temente subsidiariam a tomada de decisão gerencial por possíveis melhorias NA PRÁTICA 31 Resumo da Unidade 1 Nesta unidade os aspectos relacionados à incerteza no resultado de experimentos alea tórios foram reforçados abordando tais incertezas por meio da aplicação dos conceitos de probabilidade e das respectivas propriedades ou axiomas Também vimos aplicações das operações de conjuntos para possibilitar os cálculos entre probabilidades de even tos Fazendo uso dessas operações identificamos quando a ocorrência de um evento está condicionada à ocorrência de outro ou quando não há relação de dependência entre eles A partir do comportamento dos dados e do entendimento da Teoria de Probabilida de entendemos que é possível identificar a distribuição probabilística que pode represen tar esses dados em um modelo teórico Por fim exemplificando essas distribuições para um caso de variável aleatória discreta e outra contínua foram abordadas as distribuições de Poisson e Exponencial 32 Referências BUSSAB W O MORETTIN P A Estatística básica 8 ed São Paulo Saraiva 2013 HILLIER F S LIEBERMAN G J Introdução a pesquisa operacional 9 ed Tradução de Ariovaldo Griesi Revisão técnica de Pierre J Ehrlich Porto Alegre AMGH 2013 Ebook MONTGOMERY D C RUNGER G C Estatística aplicada e probabilidade para enge nheiros 7 ed Tradução e revisão técnica de Veronica Calado Antônio Henrique Monteiro da Fonseca Thomé da Silva Rio de Janeiro LTC 2021 MORETTIN L G Estatística básica probabilidade e inferência São Paulo Pearson Pren tice Hall 2010 YATES R D GOODMAN D J Probabilidade e processos estocásticos uma introdução amigável para engenheiros eletricistas e da computação 3 ed Tradução de Daniel Viei ra Rio de Janeiro LTC 2017 UNIDADE 2 34 É verdade que os processos estocásticos estão presentes na rotina de trabalho dos to madores de decisão A Cadeia de Markov sendo um caso tipicamente particular permite abordar e tratar cenários que se apresentam de modo desafiador como o comportamen to dos níveis de estoque de diversos produtos o próprio mercado financeiro e os siste mas de filas Dessa forma o tema que será visto nesta unidade é de extrema importância para a formação do profissional que pretende estar apto a compreender e atuar nesses contextos INTRODUÇÃO Nesta unidade você será capaz de Analisar com base nos conceitos relacionados às Cadeias de Markov a melhor alternativa para tomada de decisão diante dos problemas reais da modelagem de sistemas OBJETIVO 35 Cadeias de Markov em tempo discreto Probabilidades de transição Dentro do universo da Pesquisa Operacional PO temos muitas ferramentas criadas com o intuito de facilitar as análises e direcionar o pesquisador quanto ao melhor trata mento de problemas em cenários de tomada de decisão A partir disso e com base em um estudo de Eom e Kim 2006 apud Belfiore e Fávero 2013 temos três classificações principais das ferramentas voltadas para a Pesquisa Operacional Vejamos a seguir Classificação das ferramentas de PO Modelos Determinísticos Modelos Estocásticos Outras técnicass Programação Linear Programação em redes Programação Binária e Inteira Programação por Metas ou Multiobjetivos Programação Não Linear Programação Dinâmica Determinística Teoria das Filas Modelos de Simulação Programação Dinâmica Estocástica Cadeias de Markov Teoria dos Jogos Metodologia Multicritério de Apoio a Decisão AHP Análise Envoltória de Dados DEA Inteligência Artificial Inteligência Computacional Heurísticas e Metaheurísticas Outras Fonte Adaptado de Belfiore e Fávero 2013 Observando as informações apresentadas na tabela é possível perceber que um grupo de ferramentas em particular associadas à classificação Modelos Estocásticos possui como característica comum o uso de uma ou mais variáveis aleatórias em que pelo menos um de seus atributos é definido a partir de funções de probabilidade BELFIORE FÁVERO 2013 36 Dentro deste contexto podemos destacar um caso específico de Modelo de Programa ção Dinâmica Estocástica chamado de Cadeias de Markov Cadeias de Markov em tempo discreto Cadeias de Markov de Tempo Discreto são sequências aleatórias de valor discreto tais que o valor atual da sequência seja um estado do sistema Este estado resume o pas sado histórico da sequência com relação a previsão de valores futuros YATES GOOD MAN 2017 Vejamos um exemplo para melhor compreensão Agora além das situações apresentadas nos exemplos anteriores suponha que abor daremos os processos estocásticos ou seja situações em que os resultados do experi mento são funções do tempo Análogo à aplicação da definição de variáveis aleatórias Considerando um determinado espaço amostral S de resultados possíveis po dese dizer que a aplicação da variável aleatória é uma forma de atribuir valores numéricos aos resultados no espaço amostral S de um determinado experi mento aleatório Importante Imagine um experimento aleatório em que um supervisor de qualidade está avaliando as características de chapas de aço em processo de galvanização Esse supervisor percebeu que todas as vezes em que há superaquecimento em um equipamento específico A da galvanoplastia há alteração da tempera tura ideal do processo e consequentemente a qualidade do produto entregue fica comprometida No caso desse experimento podemos dizer que o evento produto final apresentar alteração na qualidade depende do evento há supe raquecimento no equipamento A Nesse cenário podese dizer que há relação de dependência entre os even tos Então nas várias tentativas de produção de chapas de aço a qualidade do produto depende de alterações no equipamento A ou seja têmse sequências aleatórias dependentes Exemplo 37 na qual são atribuídos valores numéricos a cada resultado do espaço amostral desse experimento no cenário dos processos estocásticos serão atribuídas funções amostrais a cada resultado do espaço amostral YATES GOODMAN 2017 Probabilidade de transição Para proporcionar o entendimento dos conceitos vistos até o momento e aplicarmos novas definições como a própria definição de probabilidade de transição primeira mente vamos analisar a situação a seguir Exemplos interessantes de processos estocásticos para os conceitos aborda dos são as oscilações das ações na bolsa de valores ao longo de semanas va riações nos patamares de estoque de uma fábrica ao término de uma semana entre outros Observe que nesses exemplos o tempo é abordado como um conjunto de inteiro não negativo A partir dessas informações introduzimos a definição de Cadeias de Markov em tempo discreto Segundo Hillier e Lieberman 2013 dizse que um proces so estocástico é uma cadeia de Markov quando possui a seguinte propriedade Um processo estocástico Xt é dito ter propriedade markoviana se PXt1 jX0 k0 X1 k1 Xt1 kt1Xt i PXt1 j Xt i para t 0 1 e toda a sequência i j k0 k1 kt1 Ou seja a probabilidade condicional de qualquer evento futuro considerando quaisquer eventos passados e o estado presente Xti é independente dos even tos passados e depende apenas do estado atual Exemplo Quando a probabilidade condicional de um evento A dada a ocorrência de outro evento B é a probabilidade do próprio evento A dizse que estes são eventos independentes ou seja PAB PA Importante 38 Imagine que um hospital está avaliando se disponibiliza ou não novos leitos para cirur gias eletivas Contudo nesse cenário existem casos mais graves de cirurgias que devem ser priorizados Sabese também que para facilitar a identificação do nível de gravidade dos pacientes estabeleceuse uma codificação de criticidade A e B ou seja os pacientes críticos B necessitam de extrema urgência na realização das cirurgias e os pacientes críticos A vêm em seguida em termos de urgência Com base nos dados coletados pelo hospital foi observado que em função da espera ocorre uma mudança no nível de criticidade dos pacientes e 40 dos que se encontra vam no nível A passam para o nível B Além disso 20 possuem melhora significativa saindo do nível B e migrando para o nível A de criticidade O hospital percebeu que nesse cenário de tomada de decisão o planejamento da semana seguinte só dependia dos dados da semana vigente Diante das informações prestadas temos alguns dados a Os períodos analisados são a semana vigente e a semana seguinte b A tomada de decisão está relacionada ao cenário futuro do hospital em termos de pacientes que demandam urgência em cirurgias para que se possa definir a abertu ra de novos leitos para cirurgias eletivas sabendo que estas não são urgentes c A probabilidade de pacientes migrarem na semana seguinte para o nível B dado que estavam no nível A é de 40 d A probabilidade de pacientes migrarem na semana seguinte para o nível A dado que estavam no nível B é de 20 Voltando à definição de propriedade markoviana podese dizer que o valor Xt resume o histórico do sistema necessário para prever a próxima variável Xt1 na sequência alea tória Chamase de Xt o estado do sistema no instante t já o espaço amostral de Xt é chamado de conjunto de estados ou espaço de estados Sendo assim há uma proba bilidade de transição Pij de que o próximo estado seja j dado que o atual é i YATES GOODMAN 2017 Adicionalmente lidamos com probabilidades e sabendo disso uma das propriedades que precisam ser satisfeitas pelas probabilidades de transição é Pij0 Pij1 j0 39 Matriz de transição e Diagrama de transição Uma cadeia de Markov pode ser representada por meio da forma matricial ou por meio de grafos nos quais os nós constituem os estados e os arcos as transições entre esta dos com a sinalização das respectivas probabilidades de transição Ou seja Nós constituem os estados Arcos constituem as transições entre os estados No caso das matrizes sumariamente associase a coluna ao estado futuro e a linha ao es tado atual da cadeia Retomando o exemplo do hospital mencionado na probabilidade de transição trabalhando com as informações que foram listadas anteriormente e atribuindo valores às variáveis aleatórias nível de criticidade A e nível de criticidade B temos Xt 0 para nível de criticidade A sendo t semana1 2 1 para nível de criticidade B Adicionalmente sabemos que PXt11 Xt004 ou 40 e que PXt10 Xt102 ou 20 De modo simplificado podemos representar também da seguinte forma p0104 ou 40 e p1002 ou 20 Representando estas informações na configuração matricial a qual também é chamada de Matriz de Transição de Estados ou Matriz Estocástica temos P p00 p01 p10 p11 Considerando que o somatório da probabilidade de transição do vetor linha cada linha precisa ser igual a 1 temos p00 p01 1 p00 04 1 logo p00 06 p10 p11 1 02 p11 1 logo p11 08 Dessa forma para o exemplo temos P 06 04 02 08 40 Nota A matriz de transição sempre será uma matriz quadrada ou seja o número de colunas sempre será igual ao número de linhas Observe que o que apresentamos anteriormente foi uma representação matricial Agora por meio de um grafo também chamado de Diagrama de Transição temos Diagrama de transição para o exemplo do hospital Fonte Elaboração própria 2021 Com base nessas informações uma forma de interpretarmos estes dados é que na se mana seguinte mesmo que em alguns casos haja evolução positiva na criticidade dos pacientes para a cirurgia migração do nível B para A há uma probabilidade alta de que os pacientes permaneçam no nível de máxima criticidade os que permanecem em B ou seja 80 41 Classificação de estados Probabilidades de estados estáveis Cadeias ergódicas Na definição de Cadeias de Markov é necessário que um processo estocástico apre sente propriedade markoviana para que seja caracterizado como uma Cadeia de Mar kov ou seja ter propriedade markoviana significa que a probabilidade condicional de qualquer evento futuro dados quaisquer eventos passados e o estado presente Xti é independente dos eventos passados e depende apenas do estado atual HILLIER LIE BERMAN 2013 Probabilidades de transição em n etapas Podemos atribuir valores numéricos às variáveis aleatórias e estas representam um de terminado estado no sistema que estamos analisando Por exemplo Xti pode represen tar o estado do sistema no instante t Agora imagine que essa mudança entre estados ocorra em várias etapas E essa transição pode ocorrer em n etapas unidades de tem po Dessa forma dado um determinado sistema analisado se para cada i e j temos PXt1 j Xti PX1 j X0i para todo t 1 2 Então dizse que as probabilidades de transição em uma etapa são estacionárias Dessa forma quando as probabilidades de transição não mudam ao longo do tempo temse o que podemos chamar de probabilidade de transição estacionária ou probabilidade de estado estável No entanto esta definição será abordada mais à frente Voltemos à análise das transições que podem ocorrer em um determinado sistema Seja P uma matriz de transição de estado Para uma Cadeia de Markov finita as probabi lidades de transição em n etapas são dadas pela matriz Pn que tem como elementos i e j sendo Pijn PXnm j Xm i Os elementos i j e n n 0 1 2 de Pn indicam a probabilidade de passar do estado i para o estado j em n etapas YATES GOODMAN 2017 Logo para n 1 a matriz de transição de estado será P1 P 42 Semelhante ao que mencionamos anteriormente como características a serem satisfei tas pelas probabilidades de transição dizemos que as probabilidades de transição em n etapas são probabilidades condicionais que precisam ser não negativas e o respectivo somatório grosso modo do estado de origem ao estado futuro precisa ser igual a 1 Logo p ij n 0 para todo i e j n 0 1 2 j0 k p ij n 1 para todo i e j n 0 1 2 Uma forma de calcular as probabilidades de transição em n etapas é a partir das equa ções de ChapmanKolmogorov em que p ij n k0 M p ik m p ik mn para todo i 0 1 M j 0 1 M e qualquer m 1 2 n 1 e n m 1 m 2 Ou seja a equação indica que ao ir do estado i para o estado j nas n etapas será possí vel encontrar o processo em algum estado k após m estados sendo m n Dessa forma para a equação anterior dado um ponto de partida de estado i o processo irá do estado k depois de m etapas e por conseguinte ao estado j em n m etapas Adicionalmente as expressões p ik m e p kj mn são apenas probabilidades condicionais HILLIER LIEBERMAN 2013 Considerando dois casos especiais em que m 1 e m n1 temos as expressões p ij n k0 M pik p kj n1 e p ik n1 pkj Ambas as expressões permitem a obtenção das probabilidades de transição em n etapas a partir das probabilidades de transição de uma etapa De forma simplificada podese dizer que as equações de ChapmanKolmogorov podem ser expressas por meio de multiplicação de matrizes a partir da matriz de transição P Sendo assim P n P n 43 Fazendo uso de um conhecimento prévio de cálculo vetorial e geometria analítica apre sentaremos a seguir a multiplicação entre matrizes Dessa forma considere uma matriz 3x3 isto é três linhas e três colunas com os seguintes elementos A α 11 α 12 α 13 α 21 α22 α 23 α 31 α 32 α 33 Sabendo que os índices dos elementos representam a posição linha x coluna respecti vamente para obtermos a matriz A2 é necessária a multiplicação A x A α 11 α 12 α 13 α 21 α22 α 23 x α 11 α 12 α 13 α 21 α22 α 23 α 31 α 32 α 33 α 31 α 32 α 33 Seguindo a partir da lógica de multiplicação ou seja obter o somatório da multiplicação dos termos de todas as linhas da primeira matriz com os termos de todas as colunas da segunda matriz temos A x A α11 α11 α12 α21 α13 α31 α11 α12 α12 α22 α13 α32 α11 α13 α12 α23 α13 α33 α21 α11 α22 α21 α23 α31 α21 α12 α22 α22 α23 α32 α21 α13 α22 α23 α23 α33 α31 α11 α32 α21 α33 α31 α31 α12 α32 α22 α33 α32 α31 α13 α32 α23 α33 α33 O intuito de apresentar a multiplicação de matrizes é justamente o de obter as matrizes de transição em n etapas Para melhor compreensão do que abordamos até o momento vamos a um exemplo Imagine agora um cenário em que o setor de Recursos Humanos de uma empresa foi de mandado para gerar um relatório de evolução dos funcionários a partir das promoções que já ocorreram entre os possíveis cargos disponíveis O intuito é avaliar se o plano de A x A α 11 α 12 α 13 α 21 α22 α 23 x α 11 α 12 α 13 α 21 α22 α 23 α 31 α 32 α 33 α 31 α 32 α 33 44 carreira vem sendo compatível com os objetivos estratégicos da empresa Sabendo que as próximas mudanças de cargo independem de promoções anteriores mas conside ram apenas a posição atual dos funcionários e que essas mudanças ocorrem anualmen te foi proposta a seguinte matriz de transição com as respectivas probabilidades de um funcionário migrar de um cargo a outro em uma etapa Estagiário 08 02 0 P Analista 0 095 005 Gerente 0 0 1 Dessa forma com o objetivo de sabermos qual a probabilidade de um analista se tornar um gerente daqui a dois anos multiplicaremos a matriz anterior para obtermos esta pro babilidade 08 02 0 x 08 02 0 064 035 001 P2 P x P 0 095 005 0 095 005 0 09025 00975 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Sendo assim a probabilidade de um analista se tornar um gerente daqui a dois anos é de 00975 ou 975 Classificação de estados Para que possamos entender como as Cadeias de Markov funcionam é importante des tacar alguns conceitos e definições fundamentais que permitem classificar os estados dessa cadeia Sendo assim considere dois estados i e j quaisquer Vejamos as situações a seguir a Podemos dizer que o estado j é acessível a partir do estado i se o estado j é al cançável a partir do estado i e pij n 0 n 0 Diagrama de transição para estado acessível Fonte Elaboração própria 2021 45 b Quando o estado j é acessível a partir do estado i e o estado i é acessível a partir do estado j dizse que os estados i e j se comunicam Observação se o estado i se comunica com um estado j e este se comunica com um estado k podese dizer que o estado i se comunica com k Diagrama de transição para estados comunicantes Fonte Elaboração própria 2021 c Se um processo partindo do estado i acessar outro estado j por exemplo e não retornar mais ao estado i podese dizer que i é dito um estado transiente Diagrama de transição para estado transiente Fonte Elaboração própria 2021 d Um estado i é considerado recorrente se e somente se ele não for transiente A recorrência é considerada uma propriedade de classe Diagrama de transição para estados recorrentes Fonte Elaboração própria 2021 46 e Quando dizemos que dois estados se comunicam entre si podemos afirmar que ambos pertencem à mesma classe Assim se em uma Cadeia de Markov todos os estados se comunicarem entre si todos pertencem à mesma classe Logo a cadeia é dita irredutível Diagrama de transição para Cadeia Irredutível Fonte Elaboração própria 2021 f Um estado j é considerado absorvente se e somente se uma vez que o processo tenha adentrado neste estado ele jamais o deixará novamente Para esses casos temos que pjj 1 É importante destacar que a definição de estado absorvente é uma particularidade de estados recorrentes pois consideramos que este estado se comunica com ele mesmo Sendo assim podemos dizer que todos os estados absorventes também são recorrentes mas o contrário não pode ser afirmado Diagrama de transição para estado absorvente Fonte Elaboração própria 2021 g Periodicidade um estado i é periódico com período t se o retorno a este estado é possível somente em t 2 t 3 t passos para t 1 e t é o maior inteiro com essa propriedade Isso implica em pii n 0 sempre quando n não é divisível por t Se há dois números consecutivos s e s1 tal que o processo pode estar no estado i nos tem pos s e s1 o estado é dito ter período 1 e é chamado estado aperiódico HILLIER LIEBERMAN 2013 47 h Estados recorrentes que são aperiódicos são chamados de estados ergódicos Uma Cadeia de Markov é dita ser ergódica se e somente se todos os estados per tencentes a essa cadeia forem ergódicos Para consolidarmos as informações apresentadas voltemos ao exemplo do setor de Re cursos Humanos com a seguinte matriz Estagiário 08 02 0 P Analista 0 095 005 Gerente 0 0 1 Desenhando o diagrama de transição deste cenário chamaremos de E para o esta do estagiário A para o estado analista e G para o estado gerente Dessa forma obtemos Diagrama de transição para o exemplo do RH Fonte Elaboração própria 2021 Analisando o cenário a classificação dos estados será feita com o intuito de sabermos se esta é uma cadeia ergódica ou não Podemos observar que 1 O estado G é acessível a partir de A e A é acessível a partir de E mas não o con trário Logo os estados não se comunicam e não pertencem à mesma classe 2 Uma vez que o processo saia dos estados E e A não é possível que retorne a es ses estados logo dizemos que estes estados são transientes 48 3 Uma vez que o processo adentre o estado G não há possibilidade de sair desse estado logo este estado é dito recorrente absorvente 4 O número de passos que leva para o processo sair do estado E por exemplo e re tornar a esse estado é igual a 1 logo este estado é dito aperiódico O mesmo ocorre para os estados A e G sendo estes também aperiódicos 5 Neste cenário temos então 3 três classes sendo cada classe composta por um estado Como todos os estados não se comunicam entre si esta cadeia não é irredutível 6 Para que tenhamos uma cadeia classificada como ergódica é necessário que todos os seus estados também sejam ergódicos isto é sejam recorrentes e ape riódicos Observe que isso não ocorre nesta cadeia logo não se trata de uma cadeia ergódica Probabilidade de estado estável Primeiramente vamos imaginar que talvez seja do nosso interesse saber as probabili dades de transição em um cenário de longo prazo Assim daqui a mais alguns anos meses dias quais seriam as probabilidades de transição de um determinado processo que apresente como característica a propriedade markoviana Precisaríamos efetuar in cansáveis cálculos de multiplicação entre matrizes para obter essa resposta conforme visto no tópico probabilidade de transição em n etapas Na verdade existe uma forma mais direta de encontrar essas informações Vejamos Considere uma Cadeia de Markov qualquer mas classificada como ergódica irredutível Existe um valor limite para as probabilidades de transição que satisfazem às seguintes equações de estado estável HILLIER LIEBERMAN 2013 πj i0 M πj pij para j 0 1 M j0 M πj 1 Dessa forma os valores de πj obtidos por meio das equações são chamados de pro babilidades de estado estável ou probabilidade de estado estacionário de uma cadeia markoviana Como veremos a seguir nos cálculos vamos considerar as informações da matriz e dia grama de transição do exemplo do hospital já abordado no primeiro tópico O objetivo é obter as probabilidades de estado estável aplicando as equações anteriores 49 P 06 04 02 08 π0 π1 Diagrama de transição para o exemplo do hospital Fonte Elaboração própria 2021 Sendo assim π0 06 π0 02 π1 π1 04 π0 08 π1 1 π0 π1 Resolvendo esse sistema obtémse que π0 03333 e π1 06667 A matriz com as proba bilidades de estado estável para este exemplo apresentase dessa forma P 03333 06667 03333 06667 Interpretação dessas informações passadas várias semanas estas serão as probabili dades de que os pacientes migrem entre níveis de criticidade A e B 50 Tempos de Primeira Passagem Estados Absorventes No Tópico 2 falamos da equação de ChapmanKolmogorov e como ela auxilia por exem plo a encontrar probabilidades de transição em várias etapas entre dois estados Agora porém imagine que haja interesse em saber em quantas etapas ou em quanto tempo um processo pode sair de um determinado estado e retornar a esse estado novamente pois de forma prática isso pode vir a auxiliar um tomador de decisão a fazer melhores escolhas Além do tempo de retorno também queira analisar um processo estocástico que ao atingir uma determinada condição não sofrerá mais mudanças ou migrações para novos estados Esses cenários que acabamos de narrar serão vistos neste tópico Tempos de primeira passagem e recorrência Sejam dois estados i e j analisados sob o ponto de vista de um processo estocástico podemos dizer que o número de migrações realizadas pelo processo para ir do estado i ao estado j pela primeira vez é denominado tempo de primeira passagem Adicio nalmente nos cenários em que j i o número de passagens ou transições até que o processo retorne ao estado inicial i é também chamado de tempo de primeira passa gem contudo mais precisamente denominado de tempo de recorrência para o estado i HILLIER LIEBERMAN 2013 Vejamos um exemplo para entender melhor a definição Pense em um cenário em que o proprietário de uma oficina mecânica precisa realizar o controle dos estoques das peças que são utilizadas nos serviços de manutenção presta dos pela oficina A partir de um levantamento dos dados da demanda semanal ele pôde observar a distribuição de probabilidade associada ao nível de estoque Sabese que exis te a possibilidade de reposição de peças apenas em situações em que não haja estoque disponível mas essa reposição está limitada a no máximo três peças Com base nos dados levantados pelo proprietário foi possível elaborar a seguinte matriz de probabilidades de transição em uma etapa bem como o respectivo diagrama Desta case que a variável aleatória Xt em análise está relacionada ao nível de estoque semanal 51 1 2 2 4 P 0 03535 03933 01266 01266 1 07055 02945 0 0 2 05808 03721 00472 0 3 04174 02567 02469 0076 Diagrama de transição para o exemplo da oficina mecânica Fonte Elaboração própria 2021 Para este exemplo podemos dizer que o tempo de primeira passagem está associado ao nível de estoque ao término de uma semana Faremos agora a apresentação das equa ções que facilitam a obtenção dessa estimativa Seja μij a representação do tempo de primeira passagem para o processo ir do estado i para o estado j Dessa forma μij pode ser definido por HILLIER LIEBERMAN 2013 uij se n1 f ij n 1 n1 nf ij n se n1 f ij n 1 Adicionalmente todas as vezes que n1 f ij n 1 μij pode ser calculado a partir da equação 52 μij 1 kj pik ukj Aplicando ao nosso exemplo podemos obter o tempo esperado até que o estoque se esgote considerando que o processo foi iniciado com duas peças Temos μ20 1 p21 μ10 p22 μ20 μ10 1 p11 μ10 p12 μ20 Substituindo os valores chegamos ao seguinte sistema μ20 1 03721 μ10 00472 μ20 μ10 1 02945 μ10 0 μ20 A partir das informações anteriores temos μ10 14174 semana μ20 16031 semana Ou seja o tempo esperado até que o estoque se esgote iniciando a partir do estado 2 duas peças no estoque é de 16 semana Este dado também se refere ao tempo de pri meira passagem do estado 2 para o estado 0 Para a obtenção do tempo de recorrência no nosso exemplo ou seja obter o valor de μij quando i j considere a seguinte equação μij 1 para i 0 1 M πi em que M representa o total de estados possíveis Seguindo a lógica de cálculos para obter a probabilidade de estado estável conforme visto no tópico anterior temse π0 048 π10373 π2 0081 π3 0066 Deixamos como exercício a obtenção dos valores das probabilidades de esta do estável a partir da aplicação das equações vistas no Tópico 2 desta unidade 53 A partir dos valores de π0 π1 π2 e π3 é possível obter o tempo de recorrência da seguinte forma μ00 1 1 208 semana π0 048 μ11 1 1 268 semana π1 0373 μ22 1 1 1234 semanas π2 0081 μ33 1 1 1515 semanas π3 0066 Sendo assim o tempo necessário para que o nível do estoque volte ao estado inicial uma vez que o processo tenha se iniciado nos estados 0 1 2 e 3 estão calculados acima respectivamente Probabilidade do tempo de primeira passagem Semelhante à análise para o cálculo das probabilidades de transição em n etapas em que fizemos uso de uma aplicação recursiva do modo de obtenção da probabilidade de transição em uma etapa aqui faremos o mesmo só que agora com o tempo de primeira passagem das probabilidades de transição em uma etapa Vejamos um exemplo a seguir Considere que n seja o tempo de primeira passagem do estado i para o estado j e que f ij n seja a probabilidade associada ao tempo de primeira passagem entre esses dois es tados i e j Podemos dizer que HILLIER LIEBERMAN 2013 f ij 1 pij 1 pij f ij 2 kj pik f kj 1 logo f ij n kj pik f kj n1 54 Em que esta última equação é satisfeita para um valor de n 1 Aplicandose esta equa ção para o exemplo anterior da oficina mecânica temos f 30 1 p30 04174 f 30 2 p31 f 10 1 p32 f 20 1 p33 f 30 1 f 30 2 02567 07055 02469 05808 0079 04174 03574 Ou seja pelo fato de o tempo de primeira passagem ser uma variável aleatória é possível calcular a distribuição probabilística de acordo com a fórmula acima e com base nas probabilidades de transição Probabilidade de estados absorventes Vimos no tópico anterior qual o critério para que um estado seja considerado absorvente ou seja se k for um estado absorvente então pkk 1 Dessa forma segundo Hillier e Lie berman 2013 se o processo iniciar no estado i a probabilidade de alguma vez ir para o estado k é conhecida como probabilidade de absorção no estado k dado que o sistema saiu do estado i Podemos representar essa probabilidade como fik Para calcularmos a probabilidade de absorção considere as seguintes equações fik j0 M pik fjk para i 0 1 M Sujeito a fkk 1 fik 0 se o estado i for recorrente de i k Vejamos agora a aplicação dessas equações por meio de um exemplo Imagine que você está reunidoa com um grupo de amigosas Para passar o tempo vocês resolveram organizar um jogo em que todos deveriam dispender valores monetá rios para participar Foi estabelecido que apenas em duas situações o participante pode deixar o jogo sendo elas quando atingir o montante de R 1500 ou quando perder tudo Como regra do jogo também foi proposto que em cada rodada que tem uma duração 55 de 1 hora o participante pode ganhar R 500 com probabilidade de 50 ou perder R 500 com o mesmo percentual de chance Sabendo que este cenário se configura como uma Cadeia de Markov montaremos a matriz de transição com todas as probabilidades correspondentes Considerando como possíveis valores às variáveis aleatórias deste problema 0 1 2 e 3 temos Xt 0 para cenários em que o participante não possui valor monetário 1 para o cenário em que o participante possui R 500 2 para o cenário em que o participante possui R 1000 3 para o cenário em que o participante possui R 1500 A partir dessas informações é possível apresentar a matriz de probabilidades de transição conforme a seguir 0 1 1 3 P 0 1 0 0 0 1 05 0 05 0 2 0 05 0 05 3 0 0 0 1 Observe que se o jogador não dispõe de valor monetário ele não participa do jogo Logo a probabilidade de que ele adquira R 500 estado 1 R 1000 estado 2 ou R 1500 estado 3 é nula permanecendo no mesmo estado inicial que é sem recurso para jogar estado 0 Algo semelhante ocorre quando o jogador atinge o estado 3 ou seja R 1500 pois ele sairá do jogo Dessa forma ao chegar no valor de R 1500 ele não continuará no jogo e consequentemente não poderá perder ou ganhar R 500 Note também que não existe a possibilidade de escolha de não participar caso o jogador possua recurso como pode ser visto nas probabilidades nulas p11 e p22 A seguir apresentamos o diagra ma de transição deste cenário 56 Diagrama de transição para o exemplo do jogo Fonte Elaboração própria 2021 Para este exemplo a probabilidade de absorção pelo estado 0 cenário em que o partici pante não possui recurso partindo do estado 1 pode ser calculada da seguinte forma f00 p00 1 f10 p10 f00 p11 f10 p12 f20 p13 f30 f20 p20 f00 p21 f10 p22 f20 p23 f30 f30 0 Substituindo os valores temos f00 1 f10 05 f00 0 f10 05 f20 0 f30 f20 0 f00 05 f10 0 f20 05 f30 f30 0 57 Dessa forma temos f10 05 1 05 f20 f20 05 f10 Substituindo temos f00 1 f10 06667 f20 03333 f30 0 Sendo assim a probabilidade de absorção pelo estado 0 partindo do estado 1 é de f10 06667 58 Para ampliar seu conhecimento veja o material complementar da Unidade 2 disponível na midiateca MIDIATECA Imagine que você faz parte de uma mesa de trading e que auxilia a proteção financeira de operações de compra e venda de petróleo e derivados Uma de suas atribuições é acompanhar as oscilações nos preços das commodities as sociadas a esse setor Com base nisso você foi informado de que a compra de uma determinada carga de diesel está condicionada ao fechamento do preço do Heating Oil HO no próximo dia Podemos nos fazer a seguinte pergunta será que estamos falando de uma Cadeia de Markov Primeiramente é importante analisar qual seria a variável aleatória em questão e se o processo que pretende estudar se enquadra nas propriedades de um processo markoviano Satisfeitas estas condições estabeleça faixas de varia ções no preço do Heating Oil e caracterize as faixas como sendo os estados da Cadeia de Markov em estudo Atribuir probabilidades às possíveis transições entre faixas de preços e aplicar os demais conceitos para auxiliar nas decisões subsequentes também serão necessários NA PRÁTICA 59 Resumo da Unidade 2 A identificação dos problemas e o direcionamento para o melhor tratamento pode pa recer uma atribuição da área de saúde mas a engenharia também cuida da saúde fi nanceira e operacional das organizações e dos processos Nesta unidade foi possível abordar aspectos relacionados ao tratamento de possíveis problemas quando estes se apresentam com algumas características que nos permitem abordar como Cadeias de Markov Caracterizar as variáveis aleatórias com os possíveis valores assumidos pelos estados da cadeia facilita o entendimento da matriz e das probabilidades de transição entre esses estados A classificação dessas condições estados é relevante para com preender as propriedades de uma cadeia e igualmente permitir nomeálas como irredu tíveis e ergódicas Por fim os cálculos com a aplicação das equações apresentadas nos exemplos servem como arcabouço para o entendimento e interpretação das situações construídas 60 Referências ANDERSON D R et al An Introduction to Management Science Quantitative Approa ches to Decision Making Revised Thirteenth Edition Mason USA SouthWestern Cengage Learning 2012 BELFIORE P FÁVERO L P Pesquisa operacional para cursos de Engenharia Rio de Janeiro CampusElsevier 2013 HILLIER F S LIEBERMAN G J Introdução a pesquisa operacional 9 ed Tradução de Ariovaldo Griesi Revisão técnica de Pierre J Ehrlich Porto Alegre AMGH 2013 Ebook YATES R D GOODMAN D J Probabilidade e processos estocásticos uma introdução amigável para engenheiros eletricistas e da computação 3 ed Tradução de Daniel Vieira Rio de Janeiro LTC 2017 UNIDADE 3 Teoria de Filas 62 Entre as diversas ferramentas abordadas em Pesquisa Operacional a Teoria de Filas é um dos exemplos de modelos estocásticos mais importantes a serem estudados En contramos muitas situações no dia a dia que se enquadram nas análises que serão vis tas nesta unidade e a proposta é justamente que você a partir do contato com este con teúdo possa enxergar novas possibilidades diante de situações que pareceriam triviais em um primeiro momento Dessa forma buscando um conhecimento aprofundado e o correto uso dos conceitos e definições associados à Teoria de Filas você aprenderá mais um mecanismo para subsidiar boas tomadas de decisão INTRODUÇÃO Nesta unidade você será capaz de Identificar os modelos básicos de Teoria das Filas e as principais aplicações com a ótica da otimização propondo soluções a partir de casos apresentados e dos conhecimentos adquiridos OBJETIVO 63 Introdução à Teoria de Filas Componentes básicos Processos de chegada e atendimento Geralmente na cultura brasileira e em muitos lugares do mundo há uma percepção ne gativa associada à imagem de filas Quando se pensa em resolver um problema no ban co e há a necessidade de atendimento direto no caixa as pessoas se preparam para perder horas de espera até serem atendidas Filas são vistas e presenciadas em pedá gios parques de diversão entradas de eventos para vacinação em uma ligação para o SAC Serviço de Atendimento ao Consumidor de uma empresa em ligações para opera doras de celulares Assim poderíamos listar uma infinidade de situações que permitem a formação de filas de espera Porém você pode se questionar se as filas são consideradas tão ruins por que elas existem Ou ainda por que não as eliminamos completamente se elas causam tanto desconforto Será que há uma razão para a existência de filas Estas são algumas das perguntas que serão respondidas ao longo deste tópico Então vamos lá Historicamente Agner Krarup Erlang no início do século XX 1908 foi o primeiro pesqui sador a abordar a temática de filas por meio de modelos matemáticos Como engenheiro e matemático Erlang trabalhava na época em uma companhia de telecomunicação em Copenhague Dinamarca e estudou o problema de redimensionamento de centrais te lefônicas com o intuito de propor possíveis soluções Após a Segunda Guerra Mundial a teoria foi estendida a outros problemas de filas PRADO 2017 Segundo Hillier e Lieberman a teoria das filas é o estudo da espera em diversas formas A teoria usa modelos de filas para representar os diversos tipos de sistemas sistemas que envolvem filas do mesmo tipo que surgem na prática As fórmulas para cada modelo indicam como o sistema de filas correspon dente deve funcionar inclusive o tempo de espera médio que ocorrerá em uma série de circunstâncias Podemos observar que a partir deste conceito informações novas surgem como fórmu las para cada modelo sistemas e tempo de espera médio De fato essas informações 64 estão diretamente relacionadas ao tipo de fila ou melhor ao perfil do sistema de filas que estudaremos Por exemplo imagine que não podemos tratar de forma semelhante uma fila para entrada em um evento de lazer e uma fila para atendimento médico de emergên cia Ou então imagine o impacto financeiro e para a programação de voos de uma com panhia aérea se os aviões precisarem esperar horas até que o abastecimento de com bustível ocorra ou até a realização de manutenção Cada cenário precisa ser analisado e interpretado corretamente para que os modelos matemáticos possam ser aplicados A grande vantagem de estudos anteriores na Teoria de Filas é que alguns componentes e processos básicos podem ser identificados em todos os sistemas Antes de apresentarmos algumas terminologias um ponto importante a ser destacado é a configuração geral de um sistema de filas A figura a seguir ilustra muito bem essa configuração Vejamos Processo de filas básico Fonte Hillier e Lieberman 2013 p 729 Independentemente do cenário a ser estudado a configuração básica de um sistema de filas se apresenta conforme a figura apresentada anteriormente Ou seja Apresenta uma fonte de entrada que fornece elementos ao sistema Acesso ao sistema os elementos representados por clientes na figura irão compor uma fila de espera Há um mecanismo de atendimento ou servidores Após o atendimento os elementos deixam o sistema 65 Processo de chegada Conforme já mencionado a partir da figura do Processo de filas básico para o sistema de filas haverá uma fonte de entrada de elementos Observe que estamos chamando de elementos pois as entradas podem ser clientes peças produtos ligações carros Ou seja utilizaremos o termo elemento por ser mais abrangente nesse contexto O processo de chegada se configura pelo intervalo de tempo entre chegadas sucessi vas de elementos no sistema Essa abordagem trabalha com a hipótese de que a distri buição probabilística desse tempo tem distribuição exponencial Contudo existe uma hi pótese mais comumente trabalhada que está associada ao fato de que os elementos são gerados ao longo de um determinado intervalo de tempo e a geração desses elementos segue uma distribuição de Poisson processo de Poisson HILLIER LIEBERMAN 2013 Dentro desse processo também devem ser ponderadas algumas condições MORABITO et al 2015 A saber Não será considerada a possibilidade de mais de um elemento chegar ao mesmo instante e caso isso ocorra será entendida como uma chegada em lote como um casal a um restaurante Não é afetado pelo número de elementos já existentes no sistema Tudo certo até aqui Vejamos a seguir um exemplo de aplicação do processo de chegada para entendermos melhor o conteúdo A distribuição de probabilidade de Poisson fornece a probabilidade de 𝑥 chegadas em um determinado intervalo de tempo e a função probabilística é dada por pX𝑥 eλ λ𝑥 para 𝑥 0 1 2 𝑥 Em que λ número médio de chegadas por intervalo de tempo ou taxa de chegada ou ritmo médio de chegadas 𝑥 número de chegadas no intervalo de tempo em estudo 66 Agora imagine um cenário em que estamos acompanhando os dados de chegadas de pessoas que irão realizar a compra de ingressos para um festival de música A partir de observações identificamos que em média chegam 48 pessoas ao guichê para efetuar a compra e isso ocorre no intervalo de uma hora Com base nessas informações vamos efetuar a distribuição de probabilidades dos dados de chegadas de pessoas ao guichê da bilheteria De acordo com o dado do cenário apresentado temos λ 48 pessoashora Faremos a conversão dessa informação para minuto pois preferimos analisála no inter valo de minutos Dessa forma temos λ 48 08 pessoashora 60 Sendo assim em um cenário em que não haja chegada de clientes temos pX 0 e08 080 04493 ou 4493 0 Quando houver a chegada de um cliente teremos pX1 e08 081 03595 ou 3595 1 Para os demais pX2 e08 082 01438 ou 1438 2 pX3 e08 083 00383 ou 383 3 P X4 1 P X3 1 PX0 PX1 PX2 PX3 PX4 1 04493 03595 01438 00383 00091 67 Dessa forma podemos montar uma tabela com a distribuição de chegadas ao guichê conforme mostra a tabela a seguir Distribuição de probabilidade para o número de chegadas de pessoas X PXx 0 04493 1 03595 2 01438 3 00383 4 ou mais 00091 Fonte Elaboração própria 2021 Processo de atendimento Vamos considerar novamente a figura do Processo de filas básico Podemos observar que o mecanismo de atendimento pode ser um atendente uma equipe responsável por um determinado serviço de manutenção uma máquina um guichê de pedágio O tempo decorrido entre o início do atendimento e o término para um elemento em uma estação de atendimento é denominado tempo de atendimento Considerando um mo delo de filas a distribuição de probabilidade mais comumente associada ao tempo de atendimento é a distribuição exponencial HILLIER LIEBERMAN 2013 Temos outras distribuições importantes tais como a degenerada e Erlang gama contudo abordare mos neste conteúdo de processo de atendimento apenas a distribuição exponencial A distribuição de probabilidade exponencial fornece a probabilidade do tempo de ser viço Dessa forma a partir da função acumulada da distribuição exponencial podemos obter a probabilidade de o tempo de serviço ou atendimento ser menor ou igual a um tempo de duração t ou seja P tempode de serviço t 1 e μt 68 Em que μnúmero médio de elementos que podem ser atendidos por período de tempo ou taxa de atendimento ou ritmo médio de antendimento Disciplina da fila Disciplina da fila é o critério estabelecido para selecionar os elementos em fila de modo que sigam uma ordem no processo de atendimento Segundo Chwif e Medina 2015 podem ser listadas as seguintes disciplinas FCFS fisrtcome firstserved primeiro a chegar primeiro a ser atendido Os ele mentos são atendidos na ordem em que chegam É a disciplina mais comum em sistemas que envolvem atendimento de pessoas por exemplo LCFS lastcome firstserved último a chegar primeiro a ser atendido Aparente mente pouco comum Ex atendimento do elevador para moradores do último andar Temos o guichê de vendas de ingressos para o festival de música no qual 60 clientes ou pessoas é o número médio de elementos que podem ser atendi dos no período de uma hora ou seja convertendo para minuto temos uma taxa de atendimento de μ 1 clienteminuto Logo podemos calcular a probabilidade de que uma pessoa possa ser atendida em dois minutos ou menos em um minuto ou menos em ½ minuto ou menos Essas probabilidades são dadas por Para t 05 minuto P tempo de serviço 05 minuto 1 e 1 05 03935 ou 3935 Para t 1 minuto P tempo de serviço 1 minuto 1 e 1 1 06321 ou 6321 Para t 2 minutos P tempo de serviço 2 minutos 1 e 1 2 08647 ou 8647 Exemplo 69 SIRO Served in random order atendido em ordem aleatória Atendimento aleatório dos elementos em fila Ex atendimento que às vezes ocorre em um balcão de bar GD Generic discipline Disciplina genérica de atendimento explicada por um con junto próprio de regras Ex regra das pulseiras coloridas Utilizada para priorizar o atendimento de pacientes em hospitais 70 Processos de nascimento e morte O processo de nascimento e morte dentro do contexto de Teoria das Filas se refere mais precisamente a uma lógica em que a chegada dos elementos ao sistema corresponde a uma entrada nascimento e em um determinado momento os elementos deixam o sis tema de filas e isso equivale à partida de um atendimento finalizado morte É importante ressaltamos que os processos de nascimentomorte recebem esse nome porque o estado pode representar o número de uma população Uma transição de i para i 1 é um nascimento pois a população aumenta em um Uma transição de i para i 1 é uma morte na população O modelo de nascimento e morte não depende do histórico do sistema e por esse motivo é um modelo markoviano ou sem memória Além disso a partir do processo de nascimento e morte é possível uma descrição probabilística de como o número de elementos no sistema de filas se modifica à medida que o tempo aumenta passagem do tempo Existem alguns aspectos importantes sobre os processos de nascimento e morte que devem ser destacados Vejamos a seguir alguns deles 1 Considere que Nt seja o número de elementos no sistema de filas no instante t sabendo que tanto nascimentos como mortes individuais ocorrem de forma alea tória e que as respectivas taxas médias de ocorrência dependem apenas do estado atual do sistema com base em uma taxa de chegada λn e de atendimento μn temse que HILLIER LIEBERMAN 2013 e MORABITO et al 2015 i Com n usuários no sistema as entradas nascimentos ocorrem de acordo com uma distribuição de Poisson com taxa de chegada λn n 012 ii Com n usuários no sistema a distribuição probabilística atual do tempo re manescente até o próximo atendimento finalizado morte é exponencial com parâmetro μn n012 iii A disciplina de atendimento da fila é FCFS FirstCome FirstServed De forma simplificada Yates e Goodman 2017 destacam que o processo de nascimen to e morte é uma Cadeia de Markov de tempo contínuo a qual tem estados 012 que rastreiam o tamanho de uma população Pelo estado i uma transição para o estado 71 i 1 é um nascimento e para o estado i 1 é uma morte Nascimentos e mortes sempre ocorrem um de cada vez É importante destacar que quando uma Cadeia de Markov representa um sistema de fi las algumas terminologias comumente utilizadas devem ser alteradas Vejamos a figura a seguir O modelo de nascimento e morte de uma fila Fonte Yates e Goodman 2017 A figura mostra que as probabilidades de transição passam a ser p01 λ0 e p10 μ1 Tam bém explicita exatamente o diagrama de transição de um sistema de filas representado por um processo de nascimento e morte de tempo contínuo O intuito de apresentar os processos de nascimento e morte é justamente facilitar o en tendimento da origem de alguns modelos elementares de filas Como o processo de nascimento e morte é entendido como um tipo especial de Cadeia de Markov de tempo contínuo conceitos importantes como proba bilidades de transição entre estados cadeia irredutível estados recorrentes probabilidades estacionárias etc são importantes para melhor compreensão das informações aqui apresentadas Sugerimos que você reveja estes conceitos Ampliando o foco 72 Probabilidades estacionárias Com o objetivo de apresentar as probabilidades limites de estado considere as probabi lidades estacionárias para uma fila seguindo o modelo de nascimentomorte com taxa média de chegada λi e taxa média de atendimento μi As probabilidades estacionárias devem satisfazer as seguintes equações pi1 λi1 pi μi i 0 pi 1 Considere A segunda equação já é conhecida uma vez que o somatório das probabilidades de transição do vetor linha deve ser igual a um Já a primeira equação tem origem no princípio básico também chamado de equa ção de equilíbrio para um determinado estado no caso acima estado i Este princí pio diz que para qualquer estado do sistema i i012 HILLIER LIEBERMAN 2013 taxa média de entrada taxa média de saída Para exemplificar considere novamente a figura a seguir O modelo de nascimento e morte de uma fila μ1 P1 0 1 P1 μ1 P1 Do mesmo modo a taxa média de saída tem que ser λ0 P0 Dessa forma a equação de equilíbrio para o estado 0 é dada por 73 μ1 P1 λ0 P0 A partir dessa equação se chega ao estado 0 P1 λ0 P0 μ1 Com a finalidade de encontrar as probabilidades de estado estável dos demais estados temos Ci λi1 λi2 λ0 para i 1 2 μi μi1 μi Definindo Ci 1 para i 0 as probabilidades de estado estacionário são Pi Ci P0 para i 0 1 2 Inicialmente destacamos que i 0 pi 1 Logo temos i 0 Ci p0 1 Dessa forma P0 1 i 0 Ci Se nos depararmos com um cenário em que o sistema de filas tem como base o pro cesso de nascimento e morte no qual o estado i do sistema corresponda ao número de clientes elementos no modelo podemos obter as características operacionais do siste ma de filas a partir das equações anteriormente mencionadas Veremos detalhes dessas características ou indicadores de desempenho no próximo tópico 74 Notação de Kendall Equações de Little Modelos de filas Nos tópicos anteriores vimos a configuração básica de um Sistema de Filas e como o processo de nascimento e morte aborda a dinâmica elementar dos modelos de fila Dan do continuidade à apresentação das informações mais relevantes relacionadas à Teoria de Filas neste tópico apresentaremos as terminologias associadas às classificações de seus modelos as relações entre algumas variáveis bem como sobre indicadores de de sempenho de filas Notação de KendallLee Já falamos anteriormente que as filas seguem uma configuração básica contudo cada cenário possui particularidades associadas ao tamanho da fila ao número de instalações de atendimento ou servidores à disciplina de fila adotada às distribuições de probabili dade associadas aos dados etc Dessa forma com o intuito de caracterizar as possíveis variações entre os modelos de filas utilizase a notação de KendallLee Podemos definir seis características do modelo por meio de siglas a saber MORABITO et al 2015 ABmCKN Em que A referese à distribuição de probabilidade do processo de chegada B referese à distribuição de probabilidade do processo de atendimento m especifica o número de servidores em paralelo C indica a disciplina da fila K especifica o número máximo de elementos no sistema N referese ao tamanho da população fonte de elementos ao sistema Agora vamos exemplificar uma notação com as respectivas características Seguindo as definições temse MM1FCFS8100 75 Sendo assim considere que a notação apresentada traz como informação Um sistema de filas cujo intervalo de tempo entre chegadas tem uma distribuição exponencial M de markoviana O tempo de atendimento segue também uma distribuição exponencial markoviana O sistema dispõe apenas de um canal de atendimento ou um servidor A disciplina da fila ou disciplina de atendimento segue a lógica de que o primeiro a chegar será o primeiro a ser atendido A capacidade do sistema está limitada a 8 elementos ou seja no máximo 7 em fila e 1 em atendimento Por fim 100 é o tamanho finito da população fonte de elementos Em determinados momentos serão observadas notações com características suprimi das por exemplo um sistema de filas MM1 Neste caso temos que a disciplina da fila é genérica GD ou seja pode ser qualquer disciplina o sistema possui capacidade ilimi tada isto é K e o tamanho da população também é infinito ou seja N Apenas nessas situações tais características podem ser suprimidas da notação Características operacionais dos sistemas de filas No início desta unidade fizemos algumas perguntas associadas à existência de filas Se as filas são tão ruins por que elas existem Por que não as eliminamos completamente se elas causam tanto desconforto Será que há uma razão para a existência de filas Para que seja possível respondêlas é necessário que tenhamos condições de analisar o desempenho do sistema de filas que estiver sob nosso estudo e um dos caminhos é conhecer alguns dos indicadores básicos de filas Segundo Chwif e Medina 2015 os indicadores são L número médio de elementos no sistema tanto em fila quanto em atendimento Lq número médio de elementos em fila Ls número médio de elementos sendo atendidos Sendo assim note que L Lq Ls 76 W tempo médio de espera no sistema Wq tempo médio de espera na fila Ws tempo médio de permanência em atendimento ou no canal de atendimento Note então que W Wq Ws P taxa de utilização do canal de atendimento P0 probabilidade de não haver elementos no sistema Agora a partir dessas informações e sabendo que λ número médio de chegadas por unidade de tempo taxa de chegadas µ número médio de atendimentos por unidade de tempo taxa de atendimento Podemos apresentar as fórmulas para o cálculo das principais características operacio nais de um sistema de filas Cálculo das principais características operacionais de um sistema de filas de canal único Veremos agora as fórmulas para o cálculo de um cenário de canal único apenas um servidor e com chegadas distribuídas a partir de Poisson e tempo de atendimento distri buído exponencialmente A probabilidade de que não haja elemento no sistema é dada por P0 1 λ μ A probabilidade de que um elemento ao chegar precise esperar por atendimento ou a taxa de utilização é dada por Pw λ μ 77 O número médio de clienteselementos esperando na fila é dado por Lq λ2 μ μ λ O número médio de clienteselementos no sistema é dado por L Lq λ μ O tempo médio que um clienteelemento espera na fila é dado por Wq Lq λ O tempo médio que um clienteelemento gasta no sistema é dado por W Wq 1 μ Cálculo das principais características operacionais de um sistema de filas de múltiplos canais As fórmulas para o cálculo das principais características operacionais de um sistema de filas de múltiplos canais mais de um servidor e com chegadas distribuídas a partir de Poisson e tempo de atendimento distribuído exponencialmente serão apresentadas a seguir Contudo neste caso além das informações grifadas outras condições também precisam ser satisfeitas sendo elas a O ritmo de atendimento μ é o mesmo para cada canal b A espera após a chegada no sistema ocorre em uma fila única e depois o cliente elemento segue ao primeiro canal aberto para o serviço c O termo k referese aqui ao número de canais de atendimento servidores 78 Fila de espera com dois canais de atendimento Fonte Adaptado de Anderson et al 2012 Dessa forma tendo estas condições satisfeitas a seguir apresentamos as fórmulas para o cálculo dos indicadores de desempenho de filas A probabilidade de que não haja elemento no sistema é dada por P0 1 n0 k1 λ μ n λ μ k kμ n k kμ λ A probabilidade de que um elemento ao chegar precise esperar por atendimento ou a taxa de utilização é dada por Quando estamos analisando um sistema de filas ao falarmos carcterísticas operacionais e indicadores de desempenho estamos falando de termos equi valentes pois os indicadores caracterizam o sistema Importante 79 Pw 1 λ kμ P0 k μ kμ λ O número médio de clienteselementos esperando na fila é dado por Lq λμ k λ μ P0 k1 k μ λ2 O número médio de clienteselementos no sistema é dado por L Lq λ μ O tempo médio que um clienteelemento espera na fila é dado por Wq Lq λ O tempo médio que um clienteelemento gasta no sistema é dado por W Wq 1 μ Você deve ter observado que as equações do número médio de elementos no sistema tempo médio de espera em fila e tempo médio que um elemento gasta no sistema são iguais independentemente de o modelo possuir apenas um canal ou múltiplos canais de atendimento Vamos à aplicação destas fórmulas para entendermos melhor o conteúdo Fique atento Imagine um cenário em que um gerente de uma farmácia está analisando o desempenho do sistema de filas de uma das unidades de uma cadeia de lojas A partir de observações ele pode perceber que a taxa de chegada e de atendimento são dados respectivamente pelos seguintes valores ANDERSON et al 2012 Adaptado λ 45 clienteshora ou 075 clientesminuto μ 45 clienteshora ou 075 clientesminuto k 80 Com base nessas informações e considerando que este sistema possui apenas um ca nal de atendimento disponível no momento calcularemos os indicadores de desempe nho desse cenário P0 1 075 025 ou 25 1 Pw 075 075 ou 75 1 Lq 0752 225 clientes 11 075 L 225 075 3 clientes 1 Wq 225 3 minutos 075 W 3 1 4 minutos 1 Analisando estas informações e sabendo que alguns clientes reclamaram do tempo de espera Wq 3 minutos o gerente resolveu disponibilizar mais um canal de atendimento Dessa forma o cenário passou a ter k dois servidores ou dois canais de atendimento Vamos então calcular os indicadores operacionais desse sistema P0 1 04545 ou 4545 075 1 0 075 1 1 075 1 2 2x1 0 1 2 2x1 075 Pw 1 075 2x1 x 04545 02045 ou 2045 2 1 2x1 075 Lq 075 12 075 x 1 x 04545 01227 clientes 21 2 x 1 0752 L 01227 075 08727 clientes 1 2 81 wq 01227 01636 minutos ou 98 segundos 075 w 01636 1 01636 minutos ou 698 segundos 1 A partir desses resultados podemos montar uma tabela para facilitar a análise do desem penho de ambos os sistemas com um e com dois servidores Vejamos a seguir Análise dos indicadores operacionais dos sistemas de fila Indicadores 1 canal de atendimento 2 canal de atendimento PO 025 ou 25 04545 ou 45 Lq 225 clientes 01227 clientes L 3 clientes 08727 clientes Wq 3 minutos 01636 minutos W 4 minutos 01636 minutos Pw 075 ou 75 02045 ou 2045 Fonte Elaboração própria 2021 Com base nas informações apresentadas na tabela anterior o gerente concluiu que a adição de mais um canal de atendimento não é interessante para o negócio uma vez que o tempo de espera para esse tipo de empreendimento é relativamente baixo apesar das reclamações de alguns clientes Outro ponto importante considerado pelo gerente é que a ociosidade do mecanismo de atendimento aumentará com a adição de mais um canal ou seja de 25 passará a 45 Adicionalmente uma média de 225 clientes aguardando por atendimento pareceu razoável ao gerente que decidiu manter apenas um canal nes se sistema Equações de Little John D C Little professor do Massachusetts Institute of Technology MIT a partir de um estudo de Pesquisa Operacional relacionado ao controle de sinais de tráfego apre 82 sentou a existência de várias relações entre alguns indicadores operacionais de sistemas de filas sendo eles Lq L Wq W Além disso em sua pesquisa identificou que essas relações se aplicam a vários modelos de fila de espera Duas dessas relações são chamadas de equações de fluxo de Little e estão listadas a seguir L λW Lq λWq A partir da segunda equação podese obter wq Lq λ Outra expressão que se aplica aos modelos de fila como já pôde ser verificado tanto no sistema com apenas um canal quanto para o sistema de múltiplos canais é a equação w wq 1 μ A grande importância das equações de Fluxo de Little é que se aplicam a qualquer mo delo de fila de espera independentemente de as chegadas seguirem uma distribuição de probabilidade de Poisson e dos tempos de serviçoatendimento seguirem uma distribui ção exponencial ANDERSON et al 2015 Análise econômica de filas Até o momento percorremos todo um caminho de definições e apresentação de novas terminologias associadas à Teoria de Filas Questionamos a existência das filas e com as informações consolidadas até agora você já deve ter compreendido que as filas se formam justamente porque a capacidade de atendimento é inferior ao ritmo de entrada ou demanda dos elementos por um determinado serviço no sistema Vimos alguns indicadores básicos que auxiliam a tomada de decisão Contudo para que a análise sobre o desempenho de um sistema de filas seja completa é importante levar mos em consideração os custos associados ao cenário estudado Embora muitas vezes 83 não se perceba em toda fila há embutido um problema econômico e esse problema exis te porque em qualquer fila há dois custos envolvidos o custo da fila e o custo do serviço Dessa forma para otimizarmos um determinado sistema de filas geralmente estamos buscando reduzir ou minimizar os custos totais associados ao modelo A seguir ob serve uma figura em que apresentamos a curva de custo total associada ao nível de serviço oferecido Curva de custo total em função do nível de serviço Fonte Morabito et al 2015 Por definição temos que Custo do serviço é o custo de construir e manter em funcionamento a estrutura necessária para o atendimento Quanto maior o nível de serviço oferecido maior esse custo Custo da fila é o custo associado ao tempo de espera na fila É inversamente proporcional ao custo de serviço Adicionalmente o cálculo do custo total é dado por meio da seguinte fórmula TC cwL cSk Em que TC custo total por período de tempo CW custo de espera por período de tempo para cada unidade L número médio de unidades no sistema CS custo do serviço por período de tempo para cada canal k número de canais Custos Custo total Nível de serviço Custos operacionais de oferecer o serviço Custos dos atrasos e perdas dos usuários 84 É importante destacarmos que para realizar uma análise econômica de um sistema de filas é imprescindível obtermos estimativas razoáveis do custo de espera e do custo do serviço Observe que desses dois custos o custo de espera é geralmente o mais difícil de estimar pois está relacionado ao impacto que a espera pode ter no negócio como vendas perdidas pela desistência de clientes entre outros Já o custo do serviço é geralmente mais fácil de determinar uma vez que está associado à operação de cada canal de serviço Por exemplo esse custo pode incluir custos diretos associados ao servidor salários benefícios etc e quaisquer outros custos diretos rela cionados à operação do canal de serviço 85 Para ampliar o seu conhecimento veja o material complementar da Unidade 3 disponível na midiateca MIDIATECA Vamos imaginar um cenário em que você é responsável pela liberação dos ber ços para atracação de navios cargueiros em um porto comercial Você obser vou que em determinados períodos do ano muitas embarcações aguardam alguns dias até que seja possível a atracação Buscando maiores informações sobre esses casos você descobre que a espera dessas embarcações não está associada à autorização de liberação mas a atrasos nos procedimentos de embarque e desembarque das cargas O que deve ser feito para resolver a situação O interessante neste caso é que estamos falando de um sistema de filas com diferentes proporções pois o custo associado à espera das embarcações demurrage ou sobre estadia é consideravelmente alto dependendo do que foi previsto em contrato Nesse cenário vale a pena analisar o processo de aten dimento para os embarques e desembarques identificando a taxa de serviço e a capacidade dos berços Após uma avaliação econômica dependendo dos impactos desses atrasos talvez seja interessante no futuro dispor de investi mentos para a construção de novos berços para o porto NA PRÁTICA 86 Resumo da Unidade 3 Nesta unidade vimos uma das ferramentas da Pesquisa Operacional mais empregadas no nosso cotidiano a Teoria das Filas No primeiro tópico foram apresentadas as princi pais terminologias e definições associadas a filas com o intuito de facilitar um entendi mento geral sobre alguns padrões utilizados tais como processos de chegadas proces sos de atendimento disciplinas de filas O segundo tópico aborda o princípio elementar para a formação de filas ou seja uma chegada está associada a um nascimento ou ao aumento na população do sistema en quanto uma saída está relacionada a uma morte ou redução na população do sistema A ideia do sistema de nascimento e morte é entender a origem de raciocínio para alguns modelos de filas No último tópico trabalhamos de forma prática todas as definições associadas a filas a partir da análise de indicadores operacionais bem como de uma avaliação econômica desses sistemas O objetivo é sempre desenvolvermos mecanismos que auxiliem a oti mização dos modelos para melhorar o processo de tomada de decisão 87 Referências ANDERSON D R SWEENEY D J WILLIAMS T A CAMM J D MARTIN K An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making Revised Thirteenth Edition Mason USA SouthWestern Cengage Learning 2012 CHWIF L MEDINA A C Modelagem e simulação de eventos discretos teoria e aplica ções 4 ed São Paulo CampusElsevier 2015 HILLIER F S LIEBERMAN G J Introdução a pesquisa operacional 9 ed Tradução de Ariovaldo Griesi Revisão técnica de Pierre J Ehrlich Porto Alegre AMGH 2013 Ebook MORABITO R ARENALES M ARMENTANO V YANASSE H Pesquisa Operacional 2 ed Rio de Janeiro CampusElsevierAbepro 2015 PRADO D S Teoria das filas e da simulação 6 ed Nova Lima Falconi 2017 YATES R D GOODMAN D J Probabilidade e processos estocásticos uma introdu ção amigável para engenheiros eletricistas e da computação 3 ed Tradução de Daniel Vieira Rio de Janeiro LTC 2017 UNIDADE 4 Fundamentos da simulação 89 Os desafios nem sempre se apresentam como problemas de desempenho ou falhas a serem corrigidas em processos de manufatura ou de serviços Os riscos associados a um novo empreendimento podem se tornar barreiras que precisarão ser identificadas e dimensionadas corretamente pelo engenheiro de produção No entanto como estimar todos os desafios em potencial para um novo empreendimen to por exemplo Como resposta a essa pergunta a simulação se apresenta como uma ferramenta fundamental Além de ser extremamente difundida no meio empresarial pe las várias aplicações ela permite ao profissional maior assertividade para a proposição de soluções INTRODUÇÃO Nesta unidade você será capaz de Aplicar os fundamentos básicos da Teoria da Simulação identificando as possi bilidades de utilização e elaboração de modelos como procedimento alternativo para a tomada de decisões empresariais OBJETIVO 90 Introdução à simulação No cotidiano quando abordamos a temática simulação grande parte das pessoas rela ciona de forma imediata o conceito ao uso de um software ou a algum tipo de sistema computacional Existe um risco nessa forma de pensar pois é algo simplista dentro do universo de possibilidades que a simulação na engenharia pode proporcionar Você entende o que é simulação É importante entender por definição o que é simulação Segundo o dicionário Michaelis 2021 simulação tem como significado ação ou efeito de simular reprodução do fun cionamento de um processo através de funcionamento de outro Essa referência ainda apresenta a definição conjugada da expressão simulação analógica como sendo teste experiência ou ensaio em que os modelos usados se comportam analogamente à reali dade Certamente você encontrará outras definições no dicionário mas aqui iremos nos ater a essas abordagens apresentadas O termo simulação está sendo associado à utilização de algum mecanismo com o intuito de representar algo certo Então vejamos alguns exemplos do cotidiano para exemplificar Exemplo 1 Você resolveu que agora é o momento de planejar a compra de uma casa mas para que isso um dia se realize sem muitos riscos ou dores de cabeça você precisa organizar seu orçamento e projetar para o futuro quanto em valores monetários será necessário para a aquisição da casa dos seus sonhos Daí você pensa Posso obter um financiamento mas quais seriam os juros para o pagamento desse financiamento Em quantas parcelas posso fi nanciar Posso financiar o valor integral ou apenas uma porcentagem do valor do imóvel Muitas dúvidas Para responder a essas perguntas você fará al gumas simulações utilizando os dados disponibilizados pelos bancos ou até mesmo por alguns simuladores habitacionais Vamos a outro exemplo Exemplo 91 Observe que em ambas as situações estamos simulando um sistema na tentativa de resolver um determinado problema e para resolver este e outros problemas estamos fazendo uso de exemplos ou modelos Os problemas apresentados são Exemplo 1 ter capital para a compra de uma casa Exemplo 2 estimar o dimensionamento de uma festa de formatura No exemplo 1 já existem softwares que auxiliam na simulação Já no exemplo 2 tratase de um sistema mais simples mas poderia se tornar algo complexo dependendo das pro porções que viesse a tomar no futuro Note que introduzimos dois termos importantes a partir desses cenários que são sistemas e modelos Ambos são termoschave que facilitarão a compreensão da lógica de simulação na engenharia Vamos a eles Sistemas e modelos Semelhantes ao termo simulação as palavras sistema e modelo possuem vários sig nificados mas aqui apresentaremos apenas os que estão relacionados ao objetivo deste tópico Segundo o dicionário Michaelis 2021 sistema é Conjunto de elementos distintos com características e funções especí ficas organizadas de forma natural ou por meios artificiais disposição de um conjunto de elementos organizada de forma a viabilizar mais fa cilmente seu estudo e compreensão interrelação de unidades partes etc responsáveis pelo funcionamento de uma estrutura organizada Exemplo 2 Você está a alguns meses de sua formatura e resolveu que organi zará uma pequena recepção para celebrar junto com os familiares Obviamen te você fará uma lista dos mais chegados para dimensionar a quantidade de bebida e comida o tempo de permanência das pessoas em seu evento a quan tidade de mesas cadeiras etc Você fará um planejamento prévio na tentativa de se aproximar o máximo possível da realidade considerando algumas even tualidades que possam surgir chuva falta de energia problemas com o for necedor de bebidas etc mas com o foco em evitar surpresas desagradáveis Exemplo 92 E modelo é Objeto que se destina a ser reproduzido por imitação protótipo de algo que se destina à produção industrial em série No contexto que pretendemos analisar os modelos serão utilizados na simu lação para auxiliar na compreensão do comportamento dos sistemas que serão estudados Vejamos a seguir uma ilustração com a relação entre sistemas e modelos do ponto de vista da Teoria da Simulação Relação entre sistema e modelo na simulação Fonte Elaboração própria 2021 Nesta ilustração é possível verificar que utilizaremos na simulação modelos para refle tir o comportamento dos sistemas mas um aspecto importante a ser destacado é a presença do analista A ideia é justamente enfatizar que a qualidade dos resultados que serão obtidos a partir da simulação dependerá da visão desse profissional Chwif e Medina 2015 listam tudo o que a simulação não é mas entre esses aspectos um deles se destaca em relação à importância do papel do analista pois segundo os Realidade Sistema Espelho visão do analista Modelo Simulação 93 autores a simulação não substitui o pensamento inteligente Apesar das várias aplica ções como será visto mais adiante a simulação não pode substituir o ser humano no processo de tomada de decisão A escolha das informações que irão compor o sistema em análise as variáveis envolvidas se será uma simulação computacional ou não todas essas definições dependerão do tomador de decisão representado pela visão do analis ta como visto na figura anterior Modelos de simulação Vimos que os modelos no contexto que estamos abordando são utilizados para re presentar os sistemas no ambiente da simulação Entre os tipos de modelos temos os simbólicos matemáticos e modelos de simulação CHWIF MEDINA 2015 Para Prado 2017 não há uma classificação específica para modelo de simulação mas um agrupa mento de características a partir das definições dos outros modelos ou seja a simulação no contexto da engenharia trata de modelos simbólicodiagramáticocomputacionais A seguir apresentaremos as definições de Chwif e Medina 2015 a Modelos simbólicos icônicos ou diagramáticos são modelos nos quais faze mos uso de figuras gráficos e imagens com o intuito de representar o sistema de forma estática sem considerar as alterações de comportamento ao longo do tem po Exemplos fluxogramas maquetes diagramas etc b Modelos matemáticos ou analíticos são modelos que apresentam soluções rápidas e exatas pelo fato de fazermos uso de fórmulas matemáticas e equações Exemplos modelos de programação linear e Teoria das Filas c Modelos de simulação são modelos que conseguem captar de forma mais fiel a complexidade dos sistemas reais como a randomização das variáveis e a dina micidade dos sistemas ou seja a variação do comportamento ao longo do tempo Dentro dessa classificação ainda subdividimos a simulação computacional em três categorias ou seja Simulação de Monte Carlo Simulação Contínua e Simulação de Eventos Discretos No que se refere aos campos de aplicação da simulação existem infinitas possiblidades É interessante fazermos uma relação com o que justifica em muitos casos a aplicação da simulação Segundo Prado 2017 existem duas situações que justificam o uso da si mulação a inviabilidade da interferência com o sistema real e a inexistência do sistema em estudo No primeiro caso o custo de parada e mudança de um sistema real é alto 94 e pode gerar impactos negativos No segundo a intenção é justamente mitigar riscos associados ao novo empreendimento ou processo Vejamos o quadro a seguir que ilustra exemplos de aplicações para a simulação Aplicações da simulação Área de aplicação Exemplo Serviços Portos e aeroportos bancos cadeias logísticas call centers hos pitais supermercados restaurantes parques de diversões etc Manufatura Linhas de montagem células automatizadas planejamento e controle da produção análise de estoques etc Fonte Adaptado de Chwif e Medina 2015 Metodologia da simulação Para que a prática da simulação seja efetiva é importante que algumas etapas sejam cumpridas Os autores de modo geral convergem na essência dos passos a serem se guidos e podese dizer que o que varia na literatura é o detalhamento dessas etapas Segundo Chwif e Medina 2015 fundamentalmente o modelo de simulação desenvol vese em três etapas sendo elas concepção implementação e análise de resultados 95 Figura 2 Metodologia da simulação Fonte Adaptado de Chwif e Medina 2015 A figura apresenta de forma geral o que está previsto em cada etapa e basicamente os outputs gerados Na primeira etapa temos como saída o modelo conceitual que servirá de base para a construção do modelo computacional da etapa seguinte Vale ressaltar que na etapa de implementação podese optar por codificar o modelo de simulação em uma linguagem de programação ou fazer uso de simuladores comerciais por exemplo Arena ou Promodel Vale ressaltar que neste material abordaremos apenas a primeira etapa a concepção Concepção Escopo modelo Hipóteses Nível de detalhamento Dados de entrada Modelo conceitual Implementação Modelo computacional Comparação modelo computacional x conceitual Validação computacional Análise de resultados Modelo operacional Rodadas do modelo Dados de saída Análise e documentação dos resultados 96 Modelagem dos dados de entrada Até o momento pudemos entender a abordagem dada quando falamos de simulação isto é se o que estamos abordando é uma simulação computacional ou não e o que analisar com base nos conceitos vistos no tópico anterior No entanto alguns cenários possuem tal complexidade que muitas vezes precisam de simplificação bem como de informações que requerem um tratamento inicial antes de serem utilizadas Nesse sentido apresentaremos neste tópico algumas ferramentas e procedimentos para tratamento dos dados reais de modo a tornálos inteligíveis e úteis para a representação por meio de um modelo de simulação Segundo Chwif e Medina 2015 são chamados de modelos de entrada os modelos probabilísticos responsáveis por representar a natu reza aleatória de um dado fenômeno e de modelagem de dados o processo de escolher a melhor representação desse fenômeno É importante destacar a necessidade de que algumas condições sejam satisfeitas para facilitar esse processo sendo elas NELSON YAMNITSKY 1997 apud CHWIF MEDINA 2015 p 1920 a Os dados de entrada podem ser representados por variáveis aleatórias indepen dentes e identicamente distribuídas b As variáveis aleatórias terão uma distribuição que poderá ser aproximada por um modelo de distribuição de probabilidade c Os dados estão disponíveis de modo que seus parâmetros possam ser estimados Com todas essas condições satisfeitas algumas etapas devem ser seguidas para que esse processo seja possível isto é Coleta dos dados realizar um levantamento dos dados Tratamento dos dados organizar as informações de modo a facilitar a respectiva interpretação A partir de uma amostragem poderemos tirar conclusões sobre os dados Vejamos a seguir cada etapa desse processo 97 Coleta de dados Imagine que estejamos observando a rotina de um restaurante muito requisitado no cen tro da cidade Então a partir das observações surgiu a dúvida quanto ao ritmo de che gadas dos clientes ao estabelecimento pois nunca se notou a formação de filas apesar da grande preferência dos clientes Fazendo um levantamento cronometrado do intervalo entre as chegadas dos clientes obtevese um total de 200 dados entre o horário do meio dia às 15 horas Os dados estão apresentados na tabela a seguir Intervalo entre as chegadas dos clientes no restaurante em segundos 41 37 77 70 64 91 5 57 21 80 42 54 74 10 42 41 11 55 75 15 53 4 72 53 22 47 18 29 27 77 33 2 42 12 47 84 43 52 11 51 98 96 5 11 60 56 53 25 67 11 100 62 81 58 28 60 98 5 39 2 64 17 68 59 95 88 62 51 14 31 89 60 12 20 90 74 44 38 42 99 30 50 92 90 94 85 71 8 22 98 89 44 27 14 20 12 54 4 26 89 84 73 7 29 36 89 16 83 13 73 16 58 7 69 70 63 39 49 90 76 85 27 16 83 36 80 96 15 44 46 73 82 82 86 14 5 10 18 47 65 45 18 99 85 52 22 22 14 84 83 79 69 99 30 94 84 93 100 80 30 99 24 73 25 6 17 31 33 93 67 98 21 16 36 81 16 68 13 77 94 44 23 56 23 26 99 32 22 76 80 74 30 68 59 75 16 31 13 92 33 43 Fonte Elaboração própria 2021 Iniciamos o conceito de coleta de dados falando em observação mas exis tem outras técnicas que podem ser usadas para isso tais como aplicação de questionários entrevistas análise do histórico dos eventos por meio de documentações entre outras Antes de coletarmos essas informações definimos o intervalo de tempo que foi consi derado mais representativo do fenômeno aleatório que estamos buscando analisar Há outro ponto importante a variável aleatória foi definida como chegadas de clientes A partir dessas informações tabularemos os dados e os organizaremos em classes para facilitar a visualização e a apresentação Lembrando que o número de classes será definido pela raiz quadrada do número de ele mentos coletados ou seja 200 141421 Descobrindo o intervalo de classe faremos a diferença entre os valores extremos 100 2 98 e dividiremos pelo número de classes obtido 98141421 693 7 Dessa forma temos Tabulação dos dados de chegadas dos clientes Classes Intervalos Frequência Absoluta fa Frequência Relativa fr 1 2 9 12 006 2 9 16 18 009 3 16 23 20 01 4 23 30 13 007 99 5 30 37 14 007 6 37 44 12 006 7 44 51 11 006 8 51 58 13 007 9 58 65 12 006 10 65 72 11 006 11 72 79 15 008 12 79 86 19 01 13 86 93 12 006 14 93 100 18 009 Total 200 1 Fonte Elaboração própria 2021 Vale ressaltar que as informações apresentadas referemse a uma amostra de 200 da dos de intervalos entre chegadas de clientes entre o universo possível de elementos Apresentamos também nessa tabela a frequência absoluta fa dos dados ou seja quan tas vezes os números pertencentes a uma determinada classe aparecem Depois calcu lamos a frequência relativa isto é fr fa n Considere Onde n é o tamanho da amostra 100 Tratamento dos dados Segundo Gregório e Lozada 2019 os dados podem ser tratados de forma qualitativa ou quantitativa O nosso foco aqui é o tratamento quantitativo fazendo uso de procedimen tos estatísticos com o intuito de Compreender os dados Organizar os dados Detectar erros e inconsistências dos dados Eliminar os erros e inconsistências encontrados Medir e determinar as respectivas características necessárias Anteriormente já vimos uma parte do conceito sobre tratamento dos dados especifi camente o levantamento deles por observação e a cronometragem in loco ao realizar a tabulação para a organização das informações Agora vamos falar sobre o uso de algu mas ferramentas estatísticas básicas para o devido tratamento dos dados AKAMINE YAMAMOTO 2013 Vejamos 1 Média aritmética é uma medida de posição dada pelo somatório dos dados dividido pelo tamanho da amostra ou da população A expressão é vista como x i1 n xi ou x i1 k fi xi n n Em que n é o tamanho da amostra xi é a representação do dado analisado k é o número de classes Para lembrar utilizamos o termo amostra quando tratamos de coleta de da dos Sugerimos que você revise as definições de amostra população frequên cia absoluta e frequência relativa pelo seu material de estudo ou por uma das referências indicadas ao final desta unidade Ampliando o foco 101 Para as informações do restaurante temos uma média calculada a partir dos dados da tabela dos quais adicionamos o valor do ponto médio do intervalo de classes e multipli camos pela frequência absoluta da classe isto é Tabulação dos dados para o cálculo da média Classes Intervalos Frequência Absoluta fa Frequência Relativa fr Ponto Médio x k x k fak 1 2 9 12 006 55 66 2 9 16 18 009 125 225 3 16 23 20 01 195 390 4 23 30 13 007 265 3445 5 30 37 14 007 335 469 6 37 44 12 006 405 486 7 44 51 11 006 475 5225 8 51 58 13 007 545 7085 9 58 65 12 006 615 738 10 65 72 11 006 685 7535 11 72 79 15 008 755 11325 12 79 86 19 01 825 15675 13 86 93 12 006 895 1074 14 93 100 18 009 965 1737 Total 200 1 10214 Fonte Elaboração própria 2021 102 Calculando o valor médio temos x 10214 5107 200 2 Mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenados exatamente ao meio Existe diferença para o cálculo no caso de uma amostra cujo tamanho é par e de uma amostra cujo tamanho é um número ímpar A posição da mediana é dada por BUSSAB MORETTIN 2013 mdX x n 1 se n ímpar 2 x n x n 1 se n par 2 2 2 A partir dessas fórmulas e sabendo que a nossa amostra é composta por um número par de elementos calculamos a mediana como mdX i n 100 i 2 100 101 1005 i n 1 101 2 2 Com base nesse resultado a mediana encontrase na posição 1005 Obtendo o valor da frequência absoluta acumulada para saber a classe em que o valor se encontra bem como o valor do elemento temos Tabulação dos dados para obtenção da mediana Classes Intervalos Frequência Absoluta fa Frequência Absoluta Acumulada 1 2 9 12 12 2 9 16 18 30 3 16 23 20 50 103 4 23 30 13 63 5 30 37 14 77 6 37 44 12 89 7 44 51 11 100 8 51 58 13 113 9 58 65 12 125 10 65 72 11 136 11 72 79 15 151 12 79 86 19 170 13 86 93 12 182 14 93 100 18 200 Somatório 200 Fonte Elaboração própria 2021 Observe que o elemento se encontra entre as classes 7 e 8 devido à posição 1005 Sabendo que o elemento 51 pertence à classe seguinte 8 calculamos a mediana pela divisão entre os elementos 50 pertencente à classe 7 e 51 Logo a mediana é igual a Med 50 51 505 2 3 Moda o elemento com maior frequência absoluta ou a classe com maior frequência é denominada moda ou classe modal No caso do exemplo apresentado se conhecem todos os dados que compõem a amos tra e optamos por organizálos em classes Ao observar os elementos notase que o 104 mais frequente é o 16 logo essa é a moda dessa amostra O mesmo ocorre com a clas se na qual esse elemento encontrase presente pois é considerada a classe modal por possuir maior frequência dos dados 4 Variância é uma medida de dispersão obtida pela média do quadrado dos desvios Dessa forma temos VARX S2 i1 k fi xi x 2 n 1 O cálculo da variância para o exemplo apresentado será feito em conjunto com o cálculo do desvio padrão a seguir 5 Desvio padrão é uma medida de dispersão representada pela raiz quadrada positiva da variância Logo temos Desvpad s S2 Para o exemplo utilizado calcularemos a variância por meio da tabela e posteriormente pelo desvio padrão Veja Tabulação dos dados para obtenção da variância e do desvio padrão Classes Intervalos Frequência Absoluta fa Ponto Médio x k x k x x k x 2 fi x k x 2 1 2 9 12 55 4557 207662 2491950 2 9 16 18 125 3857 148764 2677761 3 16 23 20 195 3157 99666 1993330 4 23 30 13 265 2457 60368 784790 5 30 37 14 335 1757 30870 432187 6 37 44 12 405 1057 11172 134070 7 44 51 11 475 357 1274 14019 105 8 51 58 13 545 343 1176 15294 9 58 65 12 615 1043 10878 130542 10 65 72 11 685 1743 30380 334185 11 72 79 15 755 2443 59682 895237 12 79 86 19 825 3143 98784 1876905 13 86 93 12 895 3843 147686 1772238 14 93 100 18 965 4543 206388 3714993 Total 200 17267502 Fonte Elaboração própria 2021 Dessa forma a partir do somatório calculamos a variância VARX S2 17267502 86771 200 1 Já o desvio padrão pode ser obtido da raiz quadrada da variância Logo temos Desvpad s 86771 2946 Com base em todos os cálculos vistos é possível efetuar uma análise sobre os dados de forma organizada e com um olhar mais técnico Esse tratamento inicial auxilia a inter pretação das informações de modo a estabelecer parâmetros que servirão de input aos modelos de simulação 106 Criação do modelo conceitual O modelo conceitual de simulação é de extrema importância para um projeto de simu lação Muitas informações relevantes que podem estar apenas nas ideias do solicitante o cliente ou até mesmo como possíveis proposições na mente do analista o enge nheiro podem se perder caso não sejam traduzidas de maneira explícita a todos os envolvidos Podemos observar que estamos falando da simulação como um projeto pois a depender da escala do problema e das dimensões do estudo muitas empresas enxergam na simulação possibilidades de melhorias a um custo reduzido devido à apli cação de uma boa estratégia de mitigação de riscos associada às mudanças Segundo Gregório e Lozada 2019 o plano do modelo conceitual de simulação deve prever a finalidade do modelo e estabelecer o grau de especificação as suposições que conduzirão as análises e as premissas Destacase que o modelo computacional de simulação dependerá do modelo conceitual ou seja erros ou pendências no modelo conceitual irão se refletir no modelo computacional hardware software verificação e validação do modelo Agora antes de abordamos o modelo conceitual é importante falarmos da definição do problema e dos objetivos de um projeto de simulação Compreender corretamente qual problema se pretende analisar é fundamental em qualquer área do conhecimento ou seja quando tratamos de um projeto de simulação a definição dos objetivos do pro jeto dependerá diretamente da correta interpretação do problema Vejamos a seguir um exemplo interessante da relação entre problema e objetivo do projeto Problemas e objetivos de um projeto de simulação Problema Objetivo do projeto Alto custo dos recursos de uma operação Determinar a quantidade mínima de recursos necessários para manter o desempenho do processo adequado 107 Problema Objetivo do projeto Alto tempo de espera em filas no banco Determinar o número mínimo de aten dentes de forma que o tempo de aten dimento não ultrapasse 15 minutos Fonte Gregório e Lozada 2019 p 74 No contexto dos sistemas produtivos os problemas estão relacionados às falhas no de sempenho ou à necessidade de melhorias nos processos É a partir dessa identificação e da familiaridade com o problema que são criados os objetivos do projeto Como etapa seguinte após definidos os objetivos do projeto está a representação abs trata do sistema real ou seja a formulação do modelo conceitual do projeto Segundo Chwif e Medina 2015 existe uma representação do modelo conceitual que pode ser elaborada com o nome de Especificação da Modelagem Conceitual Com base nos autores veja a seguir um quadro resumo com todas as informações relevantes a serem consideradas no modelo conceitual bem como exemplificações Especificação da Modelagem Conceitual Item Caracterização Exemplo Objetivos Identificação de pro blemas verificação de atendimento de metas Verificar se a capacidade de atendimento do terminal atende a cinca milhões de contêine res por ano Conteúdo Escopo do modelo detalhamento dos fluxos e processos envolvidos O modelo abrange as etapas de fabricação esmaltação e montagem do processo produ tivo excluindo os processos de recebimento e expedição 108 Entradas Parâmetros que ali mentam o simulador Tempo entre chegadas sucessivas de clientes que será de 10 minutos em média segundo uma distribuição exponencial Saídas Medidas de desem penho que represen tam as respostas do sistema Tempo de espera na fila taxa de utilização dos servidores produtos produzidos por hora Hipóteses e simplificações do modelo Premissa suposição que é assumida como verdadeira A lista de hipóteses permite sim plificar o modelo A planta da fábrica comporta no máximo 10 máquinas extrusora O maior navio a atracar terá 200 metros de comprimento Definições de rodadas Determinação dos cenários a serem simulados definição da otimização Cenário 1 cenáriobase com layout atual Cenário 2 cenáriobase acrescido de fluxo de clientes em situação de pico Conjunto fixo de dados de entrada Fonte Adaptado de Chwif e Medina 2015 Modelo conceitual sob uma visão de processos Para a criação de um modelo conceitual é necessária a aplicação de alguma ferramenta para facilitar o entendimento dos envolvidos Segundo Chwif e Medina 2015 as ferra mentas Activity Cycle Diagram ACD e Process Networks PN são algumas delas Devido ao fato de formarem a base da maior parte das linguagens de simulação apre sentaremos aqui as terminologias e uma exemplificação do Process Network PN 109 Assim descrevendo os objetos e as ações no modelo pelo Process Network temos a Entidade qualquer elemento que possa manter sua identificação ao longo do tempo b Atividade envolve a cooperação entre entidades c Estado ativo quando a entidade está participando de uma atividade d Estado passivo a entidade está aguardando o acontecimento de algo É consi derado um estado de fila A simbologia do PN está apresentada no quadro a seguir Observe que as informações se assemelham aos fluxogramas vistos em mapeamentos de processos e a ideia é justamente essa Blocos construtores do Simple Process Network SPN Nome do bloco Simbologia Chegada Fila Atraso O Activity Cycle Diagram ACD ou Diagrama do Ciclo de Vida DCA é uma ferramenta alternativa para a elaboração do modelo conceitual de simulação A título de curiosidade para leitura recomendamos o artigo Modelagem visual de simulação a eventos discretos baseado no DCA do Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional O conteúdo apresenta uma interessante aplicação para eventos discretos por meio da criação de novos ambientes Ampliando o foco 110 Processo com recurso Condicional Saída Fonte Chwif e Medina 2015 Vejamos um exemplo prático para facilitar a compreensão do assunto Fique atento Imagine uma lotérica com três guichês de atendimento Existe uma fila única por meio da qual o cliente é direcionado para o próximo guichê vazio de acordo com a finalização do atendimento do cliente anterior As chegadas seguem uma distribuição de Poisson com um ritmo médio de 075 clientesminuto Os atendimentos seguem uma distribuição exponencial com um ritmo de 1 clienteminuto Quando os clientes chegam à lotérica observam o tamanho da fila e se houver mais de seis pessoas esperando desistem e saem do sistema Observe a seguir o esquema do modelo conceitual fazendo uso do PN 111 Modelo conceitual da lotérica Process Networks Fila 6 Sim Não Guichê Chegada Condição Atraso Espera Processo Saída Fonte Adaptado de Chwif e Medina 2015 No caso desse exemplo as entidades envolvidas são os clientes e o guichê de atendi mento O cliente figura como entidade principal e o guichê como entidade secundária Para a entidade secundária o guichê de atendimento é um recurso Observe que o esta do ativo está relacionado à atividade solicitar atendimento indicada pelo processo no qual ocorre a interação entre as duas entidades cliente e guichê de atendimento Os clientes são exatamente a entidade que passa por todas as etapas do pro cesso que dessa forma não pode ser representada de forma estática Ampliando o foco 112 Para ampliar o seu conhecimento veja o material complementar da Unidade 4 disponível na midiateca MIDIATECA Imagine que você tenha sido alocado para um projeto de desenvolvimento de melhorias em um processo de laminação de alumínio O gerente da planta já si nalizou alguns problemas entre eles algumas ranhuras nas chapas de alumínio A fábrica trabalha em uma rotina exaustiva na qual as paradas ocorrem apenas com as programações de manutenção previstas Com base em algumas discussões iniciais todos concordaram em aplicar modelos de simulação para analisar algumas mudanças no processo pro dutivo No entanto o gerente da planta informou que possuía conhecimen to em alguns simuladores comerciais e que poderia apresentar resultados preliminares em razão de seu conhecimento prévio no processo caso todos estivessem de acordo Você como componente da equipe de projeto estaria de acordo com a pro posição do gerente Nesse caso o gerente está tentando suprimir uma etapa extremamente impor tante no projeto de simulação que é a construção do modelo conceitual Con forme visto no conteúdo desta unidade podemos elaborar um documento para especificar todos os aspectos relevantes do sistema real dados de entrada premissas objetivos entre outros elementos de modo a subsidiar a implemen tação do modelo Além disso problemas de interpretação que possam surgir no meio do caminho ou de dimensionamento de escopo poderão ser elimina dos caso se tenha o devido registro da concepção do modelo NA PRÁTICA 113 Resumo da Unidade 4 Vimos que saber a importância da simulação como ferramenta de suporte à tomada de decisão é um diferencial que pode ser obtido após a leitura dos principais conceitos e fundamentos relacionados a essa metodologia No tópico inicial estudamos a relação entre sistemas e modelos bem como as classificações dos modelos e as etapas neces sárias para um processo bemsucedido do emprego dos modelos de simulação Contudo saber as vantagens no uso de uma ferramenta não nos torna hábeis em seu melhor uso Assim compreender que a modelagem dos dados de entrada é fundamental para a correta interpretação dos parâmetros e dos inputs para o modelo foi o pontocha ve do segundo tópico deste módulo Por fim como fechamento da fase inicial do desenvolvimento de um projeto de simula ção a criação de um modelo conceitual de simulação mostrase de extrema importância para a devida compreensão de todos os envolvidos no projeto e como registro e base para o modelo computacional 114 Referências AKAMINE C T YAMAMOTO R K Estudo dirigido de estatística descritiva 3 ed São Paulo Érica 2013 BUSSAB W de O MORETTIN P A Estatística básica 8 ed São Paulo Saraiva 2013 CHWIF L MEDINA A C Modelagem e simulação de eventos discretos teoria e aplica ções 4 ed São Paulo CampusElsevier 2015 GREGÓRIO G F P LOZADA G Simulação de sistemas produtivos recurso eletrônico Porto Alegre SAGAH 2019 MODELO In MICHAELIS Dicionário Brasileiro da Língua Portuguesa São Paulo Me lhoramentos 2021 Disponível em httpsmichaelisuolcombrmodernoportugues buscaportuguesbrasileirosimulaC3A7C3A3o Acesso em 1 jul 2021 PRADO D S Teoria das filas e da simulação 6 ed Nova Lima Falconi 2017 SIMULAÇÃO In MICHAELIS Dicionário Brasileiro da Língua Portuguesa São Paulo Melhoramentos 2021 Disponível em httpsmichaelisuolcombrmodernoportugues buscaportuguesbrasileirosimulaC3A7C3A3o Acesso em 1 jul 2021 SISTEMA In MICHAELIS Dicionário Brasileiro da Língua Portuguesa São Paulo Me lhoramentos 2021 Disponível em httpsmichaelisuolcombrmodernoportugues buscaportuguesbrasileirosimulaC3A7C3A3o Acesso em 1 jul 2021 UVA UNIJORGE