Exercícios Resolvidos de Equações Diferenciais e Séries - Cálculos Avançados

PERGUNTA 1 Considere a equação diferencial xyx yx e as seguintes afirmações sobre suas soluções não nulas I Todas são monótonas yx 0 para x 0 II Todas são tais que y0 0 III Todas são tais que y0 0 IV Todas são tais que lim x yx Estas afirmações são respectivamente O a falsa verdadeira falsa e verdadeira O b verdadeira falsa falsa e falsa O c verdadeira falsa falsa e verdadeira O d verdadeira falsa verdadeira e verdadeira O e falsa falsa verdadeira e verdadeira PERGUNTA 2 As equações diferenciais yx 2yx yx y²x e yx 2yx admitem como solução respectivamente O a yx e ²ˣ yx 0 e yx 2e ²ˣ O b yx e ²ˣ yx 0 e yx 2e ²ˣ O c yx 0 yx 2e ²ˣ e yx e ²ˣ O d yx e ²ˣ yx e ²ˣ yx 0 O e yx 2e ²ˣ yx e ²ˣ yx 0 PERGUNTA 3 Tendo em vista que lnx1 x x²2 x³3 x⁴4 n1 até 1ⁿ¹ xⁿn julgue se as afirmativas a seguir são verdadeiras V ou falsas F I A expressão em série numérica de ln 2 1 12 13 14 II A série de Taylor da função fx lnx1 para a 0 está definida para todo x real III O desenvolvimento em série da derivada de primeira ordem da função fx lnx1 é dado por fx n1 até 1ⁿ¹ n xⁿ¹ Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta O a V F V O b F F V O c V F F O d F V F O e F V V PERGUNTA 4 Considere a equação diferencial ordinária dada por y y3x Agora avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas I A solução particular da equação quando y0 ³e é dada por y e²³3x³13 PORQUE II A solução geral da equação é dada por y Ce²³3x³3 sendo C uma constante Com base na análise das asserções concluise que O a as duas asserções são verdadeiras mas a segunda não justifica corretamente a primeira O b ambas as asserções são falsas O c a primeira asserção é falsa e a segunda asserção é verdadeira O d as duas asserções são verdadeiras e a segunda justifica corretamente a primeira O e a primeira asserção é verdadeira e a segunda asserção é falsa PERGUNTA 5 Avalie as afirmativas a seguir I A função y e 2x é a solução da equação 2 II A solução particular da equação yx y y 0 para y0 e é y e ˣ²²ˣ 12 III A solução particular da equação y e 𝑦 0 para y0 1 é y lnx e Está correto o que se afirma em O a I e II apenas O b II e III apenas O c III apenas O d I e III apenas O e I II e III PERGUNTA 6 Uma equação diferencial ordinária é uma equação que envolve a função e as derivadas de ordem n dessa função Logo a solução de uma equação diferencial é a função que satisfaz a equação Considerando as definições de equações diferenciais ordinárias analise as afirmativas a seguir I A função fx sen x é a solução da equação diferencial 2y y 2y y 0 II A função fx e ²ˣ 1 é a solução da equação y y y 1 0 III A solução particular da equação diferencial ordinária 3yy 2x² 0 que satisfaz y1 13 é igual a y 4x³ 33 Está correto o que se afirma em O a I e III apenas O b I e II apenas O c I apenas O d II apenas O e II e III apenas 1Q raiz x yx yx x y y2 y y2 1x x dydx y2 integra 1y2 dy integra dxx integra y2 dy ln x c1 y2121 c2 ln x c1 1y c2 ln x c2 ln x c1 c2 1y y 1ln x c y 1x ln x c2 y 1xln x c2 I Verdadeira Pois y é sempre crescente II Falso pois para x0 a função lnx não está definida III falso pelo mesmo motivo do item II IV falso lim x yx 0 Letra B 2Q yx 2 yx yx y2x yx 2 yx dydx 2 y integra dyy integra 2 dx ln y c1 2x c2 ln y 2x c y e2xc y e2x ec y K e2x dydx 2 y integra dyy integra 2 dx ln y c2 2 x c ln y 2 x c y e2xc y e2x ec y K e2x yx0 é solução além de dydx y2 integra 1y2 dy integra dx 1y c1 x c2 1y c1 c2 x y 1c x elimina letra B eliminamos as letras C D e E logo resposta letra A 3Q sabese que ln x1 x x22 x33 x44 n1 até 1n2 xn n I Verdadeira Basta fazer x1 II Raio Conv lim n n1n lim n 11n Falso Raio Conv 1 III fx 1x1 1 x x2 x3 x4 fx n1 até 2n2 xn2 Verdadeira Letra A y y 3x dy dx y 3x 1y dy 13x dx ln y c1 13 x 12 dx ln y c2 13 x 12 1 12 c2 ln y c1 2 3 x 12 c2 ln y 2 3 x C y e 2x 3 e c y k e 2x 3 y K e 23x 3 y0 K e 3e yx e 113 2x 3 yx e 43 2x 3 Falso Letra B falso y y y 0 y y x y dydx y x y y x 1 dyy x 1 dx ln y c1 x2 2 x c2 ln y x2 2 x c y e x2 2 x c y k e x2 2 x y0 e k e y e 12 e x2 2 x 12 correta y ey 0 dydx ey 1ey dy dx e y dy x c1 e y c2 x c1 1 ey x c ey 1 x c y ln 1 x c y ln 1 x c y ln 1 lnxc y ln xc y0 1 1 lnc e1 c c 1e y ln x 1e para x 0 Falso Letra A fx sen x é solução de 2y y 2y y3 0 y sen x y cos x y sen x y3 cos x 2 senx cos x 2 senx cos x 0 Logo fx sen x é solução V fx e2x 1 é solução de y3 y y 1 0 y e2x 1 y 2 e2x y 4 e2x y3 8 e2x 8 e2x 4 e2x 2 e2x 1 6e2x 1 0 Logo não é solução F IV 3yy 2x2 0 y1 13 3y dydx 2x2 0 3y dy 2x2 dx 3 y12 C1 2 x33 C2 3 y22 2x33 C y1 13 3 132 2 23 13 C 16 23 C C 16 46 c 12 Daí 3 y2 2 2 x3 3 12 18 y2 2 4 x3 3 9 y2 4 x3 3 y 4x3 3 3 V Letra A