Matemática Discreta Avançada

Instituto de Matemática UFRJ Gabarito Lista 1 Integral Dupla Professora Selene Alves Maia Exercícios 42 Autor Hamilton Luiz Guidorizzi 1 Calcule a D x² 2y dxdy onde D é o círculo x² y² 4 Solução Etapa 1 Esboçar a região D A região D é esboçada na Figura 1 Etapa 2 Definir uma mudança de variáveis e estabelecer uma relação geométrica entre D e D A fronteira de D é a circunferência x²y² 4 Neste caso considere uma mudança de variáveis em coordenadas polares com o polo em 00 Logo x r cos θ y r sin θ 1 De terminar Jrθ De 1₁ e de 1₂ obtemos Jrθ xr xθ yr yθ cos θ r sin θ sin θ r cos θ Jrθ r cos² θ r sin² θ Jrθ r cos² θ sin² θ Jrθ r 2 Observação 1 Se x x₀r cos θ e y y₀r sin θ o determinante jacobiano Jrθ é igual a r 1 ou seja Jrθ é invariante com relação à translação Determinar a variação de r A fronteira de D é a circunferência x²y² 4 Logo substituindo 1₁ e 1₂ nesta equação obtemos r² cos² θ r² sin² θ 4 r² cos² θ sin² θ 4 r² 4 r 2 Logo 0 r 2 3 Determinar a variação de θ Como o polo 00 e não existe restrição sobre x e y obtemos que 0 θ 2π 4 De 3 e 4 temos que D r θ R² 0 r 2 0 θ 2π 5 A região D é esboçada na Figura 2 Etapa 3 Aplicar o teorema de mudança de variáveis na integral D x²2y dxdy Substituindo 1₁ 1₂ 2 e 5 na integral dada acima obtemos D x² 2y dxdy D r² cos² θ 2r sin θ Jr θ dr dθ D x² 2y dxdy ₀² r³ ₀²π cos² θ dθ dr 2 ₀² r² ₀²π sin θ dθ dr 6 Cálculo da integral ₀²π cos² θ dθ Temos que cos² θ 1 cos 2θ2 Logo ₀²π cos² θ dθ 12 ₀²π dθ 12 ₀²π cos 2θ dθ ₀²π cos² θ dθ 12 θ₀²π 14 sin 2θ₀²π ₀²π cos² θ dθ 12 2π 0 π 7 Cálculo da integral ₀²π sin θ dθ Temos que ₀²π sin θ dθ cos θ₀²π 11 0 8 Substituindo 7 e 8 em 6 resulta que D x² 2y dxdy π ₀² r³ dr π 14 r⁴₀² D x² 2y dxdt π 14 16 4π 9 1 Calcule b D x² y² dxdy onde D x y R² 1 x² y² 4 Solução Etapa 1 Esboçar a região D A região D é esboçada na Figura 3 Etapa 2 Definir uma mudança de variáveis e estabelecer uma relação geométrica entre D e D Analisando as fronteiras da região D devemos definir uma mudança de variáveis em coordenadas polares considerando o polo em 0 0 Logo x r cos θ y r sin θ 10 Determinar a variação de r Considere a circunferência x² y² 1 Substituindo 101 e 102 nesta equação obtemos r² cos² θ r² sin² θ 1 r² cos² θ sin² θ 1 r² 1 r 1 Considere a circunferência x² y² 4 Substituindo 101 e 102 nesta equação obtemos r² cos² θ r² sin² θ 4 r² cos² θ sin² θ 4 r² 4 r 2 Do que foi exposto concluise que 1 r 2 11 Determinar a variação de θ Como o polo 0 0 e não existe restrição sobre x e y obtemos que 0 θ 2π 12 De 11 e 12 temos que D r θ R² 1 r 2 0 θ 2π 13 A região D é esboçada na Figura 4 x ½ r cos θ y r sin θ 15 Determinar Jr θ De 151 e de 152 obtemos Jr θ xr xθ yr yθ ½ cos θ ½ r sin θ sin θ r cos θ Jr θ ½ r cos² θ ½ r sin² θ Jr θ ½ r cos² θ sin² θ Jr θ ½ r 16 Observação 2 Se x a r cos θ e y b r sin θ o determinante jacobiano Jr θ é igual a abr Por outro lado se x x₀ a r cos θ e y y₀ b r sin θ então Jr θ abr ou seja o jacobiano é invariante com relação à translação Determinar a variação de r Substituindo 151 e 152 na equação da elipse resulta que 4 ½ r cos θ² r sin θ² 1 4 r² cos² θ 4 r² sin² θ 1 r² cos² θ r² sin² θ 1 r² 1 r 1 Logo 0 r 1 17 Determinar a variação de θ Da definição da região D resulta que 0 θ 2π 18 De 17 e de 18 obtemos que Substituindo 2 101 102 e 13 na integral dada acima obtemos D x² y² dxdy D r² cos² θ r² sin² θ Jr θ dr dθ D x² y² dxdy 1² 0²π r² r dθdr D x² y² dxdy 1² r³ 0²π dθ dr D x² y² dxdy 1² r³ θ²π₀ dr D x² y² dxdy 2π 1² r³ dr D x² y² dxdy 2π ¼ r⁴²₁ 15π2 14 1 Calcule c D x² dxdy onde D x y R² 4x² y² 1 Solução Etapa 1 Esboçar a região D A região D é esboçada na Figura 5 Etapa 2 Definir uma mudança de variáveis e estabelecer uma relação geométrica entre D e D A fronteira da região D é a elipse de equação 4x² y² 1 Logo definimos D r heta in mathbbR2 0 leq r leq 1 0 leq heta leq 2pi A região D é esboçada na Figura 6 extbfEtapa 3 Aplicar o teorema de mudança de variáveis na integral iintD x2 dx dy Substituindo 151 e 16 na integral dada acima obtemos iintD x2 dx dy iintD left frac12 r cos heta right2 cdot Jr heta dr d heta implies iintD x2 dx dy iintD frac14 r2 cos2 heta cdot frac12 r dr d heta implies iintD x2 dx dy frac18 cdot int01 int02pi r3 cos2 heta d heta dr implies iintD x2 dx dy frac18 cdot int01 r3 left int02pi cos2 heta d heta right dr extCálculo da integral int02pi cos2 heta d heta Utilizando o resultado dado na equação 7 obtemos int02pi cos2 heta d heta pi Substituindo 21 em 20 obtemos iintD x2 dx dy fracpi8 cdot int01 r3 dr implies iintD x2 dx dy fracpi8 cdot frac14 left r4 right01 implies iintD x2 dx dy fracpi8 cdot frac14 fracpi32 1 Calcule d iintD sin4x2 y2 dx dy onde D xy in mathbbR2 4x2 y2 leq 1 e y geq 0 Solução Etapa 1 Esboçar a região D A D é esboçada na Figura 7 Etapa 2 Definir uma mudança de variáveis e estabelecer uma relação geométrica entre mathbfD e D Como fxy sin4x2 y2 é imperioso utilizar uma mudança de variáveis em coordenadas elípticas considerando begincases x frac12 r cos heta y r sin heta endcases extDeterminar a variação de r Substituindo 231 e 232 na equação da elípse resulta que 4 left frac12 r cos heta right2 r sin heta2 1 implies 4 cdot fracr2 cos2 heta4 r2 sin2 heta 1 implies r2 cos2 heta r2 sin2 heta 1 implies r2 1 implies boxed r 1 extLogo boxed 0 leq r leq 1 extDeterminar a variação de heta ext Da definição da região mathbfD ext e como y geq 0 ext resulta boxed 0 leq heta leq pi ext De 24 e de 25 obtemos que boxed mathbfD r heta in mathbbR2 0 leq r leq 1 0 leq heta leq pi A região D é esboçada na extbfFigura 8 Etapa 3 Utilizar o teorema de mudança de variáveis na integral iintD x2 dx dy De 16 231 e 232 resulta que iintD sin4x2 y2 dx dy iintD sin left 4 cdot frac14 r2 cos2 heta r2 sin2 heta right cdot Jr heta dr d heta implies iintD sin4x2 y2 dx dy int01 int0pi frac12 r cdot sin r2 dr d heta implies iintD sin4x2 y2 dx dy frac12 int01 r sin r2 left int0pi d heta right dr implies iintD sin4x2 y2 dx dy fracpi2 cdot int01 r sin r2 dr ext Cálculo da integral int01 r sin r2 dr Para resolver esta integral devemos fazer uma mudança de variáveis considerando u r2 implies du 2 r dr implies frac12 du r dr Por outro lado se r 0 u 0 r 1 u 1 Logo ₀¹ r sin r² dr 12 ₀¹ sin u du ₀¹ r sin r² dr 12 cos u₀¹ ₀¹ r sin r² dr 12 cos 1 1 28 Portanto substituindo 28 em 27 obtemos que D sin4x² y² dxdy π2 12 cos 1 1 D sin4x² y² dxdy π4 1 cos 1 29 1 Calcule e D ex² y² dxdy onde D x y ℝ² 1 x² y² 4 x y x x 0 Solução Etapa 1 Esboçar a região D A região D é esboçada na Figura 9 Etapa 2 Definir uma mudança de variáveis e estabelecer uma relação geométrica entre D e D Como fx y ex² y² é imperioso utilizar uma mudança de variáveis em coordenadas polares considerando o polo em 0 0 Logo x r cos θ y r sin θ 30 Determinar a variação de r Considere a circunferência x² y² 1 Substituindo 30₁ e 30₂ nesta equação obtemos r² cos² θ r² sin² θ 1 r² cos² θ sin² θ 1 r² 1 r 1 Considere a circunferência x² y² 4 Substituindo 30₁ e 30₂ nesta equação obtemos r² cos² θ r² sin² θ 4 r² cos² θ sin² θ 4 r² 4 r 2 Do que foi exposto concluise que 1 r 2 31 Determinar a variação de θ Considere a reta de equação y x Substituindo 30₁ e 30₂ nesta equação obtemos r sin θ r cos θ sin θ cos θ tan θ 1 θ π4 Considere a reta de equação y x Substituindo 30₁ e 30₂ nesta equação obtemos r sin θ r cos θ sin θ cos θ tan θ 1 θ π4 Do que foi exposto concluise que π4 θ π4 32 De 31 e de 32 obtemos que D r θ ℝ² 1 r 2 π4 θ π4 33 A região D é esboçada na Figura 10 Etapa 3 Utilizar o teorema de mudança de variáveis na integral D ex² y² dxdy De 2 30₁ e 30₂ resulta que D ex² y² dxdy D er² cos² θ r² sin² θ dr Jr θ dr dθ D ex² y² dxdy ₁² π4π4 er² r dθ dr D ex² y² dxdy ₁² er² r π4π4 dθ dr D ex² y² dxdy 2 ₁² er² r θ₀π4 dr D ex² y² dxdy π2 ₁² r er² dr 34 Cálculo da integral ₁² r er² dr Para resolver esta integral devemos fazer uma mudança de variáveis considerando u r² du 2r dr 12 du r dr Por outro lado se r 1 u 1 r 2 u 4 Logo ₁² r er² dr 12 ₁4 eu du ₁² r er² dr 12 eu₁4 ₁² r er² dr e⁴ e2 35 Substituindo 35 em 34 resulta que D ex² y² dxdy π4 e⁴ e 36 Cálculo da integral 02π cosθ dθ Temos que 02π cosθ dθ sin θ02π sin 2π sin 0 0 53 Cálculo da integral 02π cos² θ dθ Temos pela equação 7 que 02π cos² θ dθ π 54 Cálculo da integral 02π cos³ θ dθ Temos que 02π cos³ θ dθ 02π cos² θ cos θ dθ 02π cos³ θ dθ 02π 1 sin² θ cos θ dθ 02π cos³ θ dθ 02π cos θ dθ 02π sin² θ cos θ dθ 02π cos³ θ dθ sin θ02π 13 sin³ θ02π 02π cos³ θ dθ 0 55 Cálculo da integral 02π cos⁴ θ dθ Temos que 02π cos⁴ θ dθ 02π 1 cos 2θ2² dθ 02π cos⁴ θ dθ 14 02π 1 2 cos 2θ cos² 2θ dθ 02π cos⁴ θ dθ 14 02π dθ 12 02π cos 2θ dθ 14 02π cos² 2θ dθ r a1 cosθ ou r a1 sinθ Etapa 1 Esboçar a região D A região D esboçada na Figura 13 Etapa 2 Determinar e esboçar a região D A fronteira de D é o cardióide r 1 cosθ Portanto neste caso devemos definir uma mudança de variáveis definida por x r cosθ y r sinθ 47 Cálculo de Jθ r Considere θ no eixo das abscissas com o objetivo de visualizarmos de forma mais simples a região D Então Jθ r xθ xr r sinθ cosθ yθ yr r cosθ sinθ Jθ r r cos² θ r sin² θ Jθ r r cos² θ sin² θ Jθ r r 48 Determinar a variação de r Neste caso temos que 0 r 1 cosθ 49 Determinar a variação de θ Como não existe restrição sobre x e y temos que 0 θ 2π 50 De 49 e de 50 obtemos D θ r R² 0 θ 2π 0 r 1 cosθ 51 A região D é esboçada na Figura 14 Etapa 3 Utilizar o teorema de mudança de variáveis na integral D xd x dy Substituindo 47₁ e 48 na integral dada acima obtemos D xd x dy D r cosθ Jθ r dr dθ D xd x dy D r cosθ r dr dθ D xd x dy 02π cosθ 01cosθ r² dr dθ D xd x dy 02π cosθ 13r³01cosθ dθ D xd x dy 13 02π cosθ 1 cosθ³ dθ D xd x dy 13 02π cosθ 1 3 cosθ 3 cos² θ cos³ θ dθ D xd x dy 13 02π cosθ 3 cos² θ 3 cos³ θ cos⁴ θ dθ D xd x dy 13 02π cos θ dθ 3 02π cos² θ dθ 3 02π cos³ θ dθ 02π cos⁴ θ dθ 52 ₀²π cos⁴θ dθ ¼ θ₀²π ¼ sin 2θ₀²π ¼ ₀²π cos² 2θ dθ ₀²π cos⁴θ dθ π2 ⅛ ₀²π 1 cos 4θ dθ ₀²π cos⁴ θ dθ π2 ⅛ θ₀²π ⅟₃₂ sin 4θ₀²π ₀²π cos⁴ θ dθ π2 π4 0 3π4 56 Substituindo 53 54 55 e 56 em 52 obtemos D x dx dy ⅓ 0 3π 0 3π4 D x dx dy ⅓ 15π4 5π4 57 1 Calcule h D eyx²y x² dx dy onde D xy ℝ² 1 x² y 2 x² y x x² e x 0 Solução Etapa 1 Esboçar a região D A região D é esboçada na Figura 15 Etapa 2 Definir uma mudança de variáveis e estabelecer uma relação geométrica entre D e D Como fxy eyx²y x² e pela definição da região D definimos uma mudança não linear dada por u y x² v y x² x 58 Cálculo de Jxy De 58₁ e 58₂ obtemos que Jxy ux uy vx vy Jxy 2x 1 2x 1 1 Jxy 2x 2x 1 Jxy 1 Juv 1 59 Determinar as equações das fronteiras de D Afirmativa 1 Temos que y 1 x² y x x² é o ponto 12 De fato 1 x² x x² x 1 y 2 Afirmativa 2 Temos que y 2 x² y x x² é o ponto 26 De fato 2 x² x x² x 2 y 6 i Considere a parábola de equação y 1 x² 0 x 1 Substituindo y 1 x² em 58₁ e 58₂ segue que u 1 x² x² v 1 x² x² x u 1 v 1 x Por outro lado como v 1 x 0 x 1 0 v 1 Conclusão A parábola de equação y 1x² 0 x 1 é levada na reta de equação u 1 0 v 1 60 u 2 x² x² v 2 x² x² x u 2 v 2 x Por outro lado como v 2 x 0 x 2 0 v 2 Conclusão A parábola de equação y 2 x² 0 x 2 é levada na reta de equação u 2 0 v 2 61 iii Considere a parábola de equação y x x² 1 x 2 Substituindo y x x² em 58₁ e 58₂ segue que u x x² x² v x x² x² x u x v 0 Por outro lado como u x 1 x 2 1 u 2 Conclusão A parábola de equação y xx² 1 x 2 é levada na reta de equação v 0 1 u 2 62 iv Considere a reta de equação x 0 1 y 2 Substituindo x 0 em 58₁ e 58₂ segue que u y v y v u Por outro lado como u y 1 y 2 1 u 2 Conclusão A reta de equação x 0 1 y 2 é evada na reta de equação v u 1 u 2 63 De 60 61 62 e 63 obtemos D uv ℝ² 1 u 2 0 v u 64 A região D é esboçada na Figura 16 Etapa 3 Utilizar o teorema de mudança de variáveis na integral D eyx² yx²² dxdy Substituindo 581 582 e 59 na integral dada acima obtemos D eyx² yx²² dxdy D eu u Juv dudv D eyx² yx²² dxdy 12 eu u 0u dv du D eyx² yx²² dxdy 12 eu u v0u dv D eyx² yx²² dxdy 12 eu u udu D eyx² yx²² dxdy 12 eu du D eyx² yx²² dxdy eu12 e² e 65 1 Calcule i D x dxdy onde D é o círculo x² y² x 0 Solução Etapa 1 Esboçar a região D A região D é esboçada na Figura 17 Etapa 2 Definir uma mudança de variáveis e estabelecer uma relação geométrica entre D e D Como a fronteira de D é a circunferência x² x y² 0 considere uma mudança de variáveis em coordenadas polares com polo em 12 0 Logo x 12 r cos θ 66 y r sin θ Determinar Jrθ Pela Observação 1 temos que Jrθ r 67 Determinar a variação de r Temos que x² y² x 0 x 12² y² 14 68 Substituindo 661 e 662 em 68 resulta que r² cos² θ r² sin² θ 14 r² 14 r 12 Logo 0 r 12 69 Determinar a variação de θ Como o polo é o ponto 12 0 resulta que 0 θ 2π 70 De 69 e 70 a região D é definida por D rθ ℝ² 0 r 12 0 θ 2π 71 A região D é esboçada na Figura 18 Etapa 3 Utilizar o teorema de mudança de variáveis na integral D x dxdy Substituindo 661 67 e 71 na integral acima obtemos D x dxdy D 12 r cos θ Jrθ drdθ D x dxdy D 12 r cos θ rdrdθ D x dxdy 12 012 r 02π dθ dr 012 r² 02π cos θ dθ dr D x dxdy 12 012 r θ02π dr 012 r² sin θ02π dr D x dxdy π 012 rdr 012 r² 0 dr D x dxdy π 12 r²012 π8 72 1 Calcule j D x² y² dxdy onde D é o quadrado 0 x 1 0 y 1 Solução Etapa 1 Esboçar a região D A região D é esboçada na Figura 19 Etapa 2 Definir uma mudança de variáveis e estabelecer uma relação geométrica entre D e D Para resolvermos este exercício devemos considerar D D₁ D₂ onde D₁ xy ℝ² 0 x 1 0 y x D₂ xy ℝ² 0 x 1 x y 1 73 Logo de 731 e 732 temos que D D1 D2 Determinar a região D1 Como fx y x2 y2 é imperioso utilizar uma mudança de variáveis em coordenadas polares considerando o polo em 00 Logo x r cos θ y r sin θ 74 Determinar a variação de r Substituindo 741 na equação da reta de equação x 1 resulta que r cos θ 1 r 1cos θ Logo 0 r 1cos θ 75 Determinar a variação de θ Substituindo 741 e 742 na equação da reta de equação y x resulta que r sin θ r cos θ tan θ 1 θ π4 Logo 0 θ π4 76 Do que foi exposto temos que D1 r θ R2 0 r 1cos θ 0 θ π4 77 Determinar a região D2 De forma análoga ao caso acima é imperioso utilizar uma mudança de variáveis em coordenadas polares considerando o polo em 00 Determinar a variação de r Substituindo 741 e 742 na equação da reta de equação y 1 resulta que r sin θ 1 r 1sin θ Logo 0 r 1sin θ 78 Determinar a variação de θ Substituindo 741 e 742 na equação da reta de equação y x resulta que r sin θ r cos θ tan θ 1 θ π4 79 Logo π4 θ π2 80 Do que foi exposto temos que D2 r θ R2 0 r 1sin θ π4 θ π2 81 Etapa 3 Utilizar o teorema de mudança de variáveis na integral D x2 y2 dxdy Do que foi exposto temos que D x2 y2 dxdy D1 x2 y2 dxdy D2 x2 y2 dxdy 82 Cálculo da integral D1 x2 y2 dxdy Substituindo 2 e 77 na integral acima obtemos D1 x2 y2 dxdy D1 r2 dr dθ D1 x2 y2 dxdy 0π4 01cos θ r2 dr dθ D1 x2 y2 dxdy 13 0π4 r301cos θ dθ D1 x2 y2 dxdy 13 0π4 1cos3 θ dθ D1 x2 y2 dxdy 13 0π4 sec3 θ dθ 83 Cálculo da integral D2 x2 y2 dxdy Substituindo 2 e 81 na integral acima obtemos D2 x2 y2 dxdy D2 r2 dr dθ D2 x2 y2 dxdy π4π2 01sin θ r2 dr dθ D2 x2 y2 dxdy 13 π4π2 r301sin θ dθ D2 x2 y2 dxdy 13 π4π2 1sin3 θ dθ 84 Como objetivo de abreviarmos os cálculos faremos uma mudança de variáveis considerando θ w π2 dθ dw 85 Por outro lado se θ π4 w π4 θ π2 w 0 86 Portanto de 861 e 862 obtemos π4π2 1sin3 θ dθ π40 1sinw π23 dθ 87 Por outro lado temos que sinw π2 sin w cos π2 cos w sin π2 cos w 88 Substituindo 88 em 87 obtemos que π4π2 1sin3 θ dθ π40 1cos3 w dw π4π2 1sin3 θ dθ π40 sec3 dθ 89 Substituindo 89 em 84 resulta que D2 x² y² dxdy 13 ⁰π4 sec³ dθ 90 Substituindo 83 e 90 em 82 obtemos D x² y² dxdy 13 π4₀ sec³ θdθ 13 ⁰π4 sec³ dθ D x² y² dxdy 13 π4π4 sec³ θdθdθ 23 π4₀ sec³ θdθdθ D x² y² dxdy 23 12 sec θ tan θ⁰π4 12 lnsec θ tan θ⁰π4 D x² y² dxdy 13 2 ln2 1 91 1 Calcule k D y²dxdy onde D xy R²x² y² 1 y x e x 0 Solução Etapa 1 Esboçar a região D A região D é esboçada na Figura 20 Etapa 2 Definir uma mudança de variáveis e estabelecer uma relação geométrica entre D e D Analisando a região D considere uma mudança de variáveis em coordenadas polares com polo em 00 Logo x r cos θ y r sin θ 92 Determinar a variação de r Substituindo 921 e 922 em x² y² 1 resulta que r cos θ² r sin θ² 1 r² cos² θ r² sin² θ 1 r² cos² θ sin² θ 1 r² 1 r 1 Logo 0 r 1 93 Determinar a variação de θ i Considere a reta y x Substituindo 921 e 922 nesta equação obtemos r sin θ r cos θ sin θ cos θ tan θ 1 θ π4 ii Considere a reta x 0 Substituindo 921 e 922 nesta equação obtemos r cos θ 0 cos θ 0 θ π2 Portanto π4 θ π2 94 De 93 e 94 a região D é definida por D r θ R² 0 r 1 π4 θ π2 95 A região D é esboçada na Figura 21 Etapa 3 Utilizar o teorema de mudança de variáveis na integral D y² dxdy Substituindo 2 922 e 95 na integral acima temos que D y² dxdy D r² sin² θ Jθr drdθ D y² dxdy D r² sin² θ r drdθ D y² dxdy ¹₀ r³ π2π4 sin² θ dθ dr 96 Cálculo da integral π2π4 sin² θ dθ Temos que π2π4 sin² θ dθ π2π4 1 cos 2θ 2 dθ π2π4 sin² θ dθ 12 π2π4 dθ 12 π2π4 cos 2θ dθ π2π4 sin² θ dθ 12 θπ2π4 14 sin 2θπ2π4 π2π4 sin² θ dθ 12 π2 π4 14 sin π sin π2 π2π4 sin² θ dθ π8 14 97 Substituindo 97 em 96 resulta que D y² dxdy π8 14 ¹₀ r³ dr D y² dxdy π8 14 14 r⁴¹₀ D y² dxdy 116 π2 1 98 1 Calcule l D 2x y cosx y dx dy onde D é limitada pelo paralelogramo de vértices 00 π3 π3 2π3 π3 e π3 2π3 Solução Etapa 1 Esboçar a região D A região D é esboçada na Figura 22 Etapa 2 Definir uma mudança de variáveis e estabelecer uma relação geométrica entre D e D Analisando o integrando é imperioso fazer uma mudança de variáveis linear considerando u 2x y v x y 99 Cálculo de Jxy De 991 e 992 obtemos que Jxy ux uy vx vy Jxy 2 1 1 1 Jxy 2 1 Jxy 3 Juv 13 100 i Considere a reta que passa pelos pontos 00 e π3 π3 Temos que m π3 0π3 0 m 1 Logo a equação da reta é da forma y x 0 x π3 101 Substituindo a equação 101 em 991 e 992 obtemos u 2x x v x x u 3x v 0 Por outro lado como u 3x 0 x π3 0 u π Conclusão A reta de equação y x 0 x π3 é levada na reta de equação v 0 0 u π 102 ii Considere a reta que passa pelos pontos π3 π3 e 2π3 π3 Temos que m π3 π32π3 π3 m 2 Logo a equação da reta é da forma y π3 2 x π3 y 2x π π3 x 2π3 103 Substituindo a equação 103 em 991 e 992 obtemos u 2x 2x π v x 2x π u π v 3x π Por outro lado como v 3x π π3 x 2π3 0 v π Conclusão A reta de equação y 2x π π3 x 2π3 é levada na reta de equação u π 0 v π 104 iii Considere a reta que passa pelos pontos π3 2π3 e 2π3 π3 Temos que m π3 2π32π3 π3 m 1 Logo a equação da reta é da forma y 2π3 x π3 y x π π3 x 2π3 105 Substituindo a equação 105 em 991 e 992 obtemos u 2x x π v x x π u 3x π v π Por outro lado como u 3x π π3 x 2π3 0 u π Conclusão A reta de equação y x π π3 x 2π3 é levada na reta de equação v π 0 u π 106 iv Considere a reta que passa pelos pontos 00 e π3 2π3 Temos que m 2π3 0π3 0 m 2 Logo a equação da reta é da forma y 2x 0 x π3 107 Substituindo a equação 107 em 991 e 992 obtemos u 2x 2x v x 2x u 0 v 3x Por outro lado como v 3x 0 x π3 0 v π Conclusão A reta de equação y 2x 0 x π3 é levada na reta de equação u 0 0 v π Do que foi exposto temos que a região D é dada por D u v R² 0 u π 0 v π A região D é esboçada na Figura 23 Etapa 3 Utilizar o teorema de mudança de variáveis na integral D 2x y cosx y dx dy Substituindo 991 992 e 100 na integral acima temos que D 2x y cosx y dx dy D u cos v Ju v du dv D 2x y cosx y dx dy D u cos v 13 du dv D 2x y cosx y dx dy 13 ₀π u ₀π cos v dv du D 2x y cosx y dx dy 13 ₀π u sin v0π du D 2x y cosx y dx dy 13 ₀π u sin π sin 0 du D 2x y cosx y dx dy 13 0 0