Exercícios Resolvidos: Supremo, Ínfimo, Máximo e Mínimo de Conjuntos Numéricos

As questões 1 e 2 se referem aos conjuntos a seguir X 5n n N Y 3n 1n n N Z n 2n n N 1 Apresente caso existam o supremo e o ínfimo de cada conjunto Justifique suas respostas 2 Apresente caso existam o máximo e o mínimo de cada conjunto Justifique suas respostas 3 Seja A um subconjunto limitado de ℝ tal que infA a e supA b Sendo A x x A mostre que supA infA 1 Sobre o conjunto X ele possui supremo pois é limitado superiormente por exemplo por 5 E sup X 5 pois i 5 é cota superior já que se n N então n 1 1 1n 5 5n ii Dado ε 0 5 5 ε e 5 51 X logo 5 é a menor das cotas superiores Também X possui ínfimo pois é limitado inferiormente por exemplo por 0 E inf X 0 pois i 0 é cota inferior já que 5 0 e n 0 então 5n 0 ii Dado ε 0 0 ε ε 0 e tomando n com n 5ε ε 5n 0 logo 0 é a maior das cotas inferiores Sobre o conjut Y ele possui supremo pois é limitado superiormente por exemplo por 4 E sup Y 4 pois i 4 é cota superior pois n 1 yn 3n 1 4 3n 1n ii Dado ε 0 4 4 ε e 4 31 11 Y logo 4 é a menor cota superior Também Y possui ínfimo pois é limitado inferiormente por 3 por exemplo E inf Y 3 pois i 3 é cota inferior pois 1 0 3n 1 3n 3n 1n 3 ii Dado ε 0 3 ε 3 e tomando n 1ε ε 1n 3 ε 1n 3 3n 1n Logo 3 é a maior das cotas inferiores Sobre o conjunto Z ele não tem ínfimo nem supremo pois é ilimitado inferior e superiormente pois Dado M 0 tomando n par com n M então n M e 2n 1 n 2n M E com n ímpar e n M temos 2n 1 daí n M n2n M Queremos mostrar que supA a De fato a é cota superior de A pois como a inf A entao a x x A a x x A E a é a menor cota inferior de A pois se não fosse existiria c q com c a e c x x A mas c x x A e c a e daí a não seria inf A pois c seria uma cota inferior de A maior que a o que é uma contradição logo a é a menor cota superior de A Portanto supA a 2 Basta conferr se os infimos e supremos pertencem ao conjunto Em X como 5 X pois 5 55 X então max X 5 Mas não tem mínimo pois se 0 5n 50 o que é absurdo Em Y como 4 Y pois 4 31 1 3 Y então max Y 4 Mas não tem mínimo pois se 3 3n 1 3 3n 3n 1 1 0 o que é absurdo E Z não tem máximo ou mínimo pois é ilimitada superior e inferiormente