Lista de Exercícios - Introdução à Otimização Não Linear - Pesquisa Operacional

LISTA 6 Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Departamento de Engenharia de Produção Disciplina Pesquisa Operacional II Tema Introdução à Otimização Não Linear Problemas em Uma Variável Professor Ormeu Coelho 1 Empregue o método da Secção Áurea para aproximar a solução ótima do programa não linear abaixo descrito considerando um intervalo de incerteza não superior a 𝜖 08 max 𝑓𝑥 𝑥2 2𝑥 s a 3 𝑥 5 2 Empregue o método da Secção Áurea para aproximar a solução ótima do programa não linear abaixo descrito considerando um intervalo de incerteza não superior a 𝜖 06 max 𝑓𝑥 𝑥 𝑒𝑥 s a 1 𝑥 3 3 Seriam necessárias no mínimo quantas iterações para aproximar as soluções dos exercícios 1 e 2 com um intervalo de incerteza 𝜖 01 4 Considere a função definida por 𝑓𝑥 48𝑥 60𝑥2 𝑥3 a Use as derivadas primeira e segunda para determinar um mínimo local de 𝑓𝑥 b Use as derivadas primeira e segunda para mostrar que 𝑓𝑥 não possui ponto extremo ℝ 5 O custo de produzir 𝑥 unidades de um produto durante um mês é 𝑥2 dólares Encontre o método de custo mínimo de produzindo 60 unidades durante os próximos três meses Você pode generalizar esse resultado para o caso em que o custo de produção 𝑥 unidades durante um mês é uma função convexa crescente 6 Empregue o método da Secção Áurea para aproximar as soluções dos problemas de PNL indicados abaixo considerando um intervalo de confiança não superior a 𝜖 004 a max 𝑓𝑥 6𝑥 𝑥2 s a 0 𝑥 48 b max 𝑓𝑥 6𝑥 7𝑥2 4𝑥3 𝑥4 s a 4 𝑥 1 7 Cinco dos principais clientes de uma loja estão localizados como na figura abaixo Determine a localização da loja de modo a minimizar a soma dos quadrados das distâncias que cada cliente teria que viajar para até ela Você pode generalizar esse resultado no caso de 𝑛 clientes localizados nos pontos 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 3 4 5 3 17 8 Acerca das funções abaixo descritas mostre que a 𝑓𝑥 𝑥2 é uma função convexa em ℝ b 𝑓𝑥 𝑒𝑥 é uma função convexa em ℝ c 𝑓𝑥 𝑥12 é uma função côncava em ℝ d 𝑓𝑥 𝑎𝑥 𝑏 é ao mesmo tempo convexa e côncava em ℝ 9 Diga se as funções abaixo são côncavas convexas ou se não se encaixam em nenhuma das duas definições a 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 2 3𝑥1𝑥2 𝑥2 2 tal que 𝑥1 𝑥2 ℝ2 b 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 2 𝑥2 2 tal que 𝑥1 𝑥2 ℝ2 c 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥1 2 𝑥1𝑥2 2𝑥2 2 tal que 𝑥1 𝑥2 ℝ2 d 𝑓𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥1 2 𝑥2 2 2𝑥3 2 1 2 𝑥1𝑥2 tal que 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ℝ3 10 Considere a função 𝑓𝑥 𝑎𝑥1 2 𝑏𝑥1𝑥2 𝑐𝑥2 2 definida em ℝ2 Para quais valores dos coeficientes a função 𝑓𝑥 𝑎𝑥1 2 𝑏𝑥1𝑥2 𝑐𝑥2 2 será convexa E para quais valores a mesma será côncava