Dimensionamento de Lajes em Concreto Armado - Estudo de Caso e Verificação ELS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL ESTRUTURAS DE CONCRETO II 1ª AVALIAÇÃO 1 Dada a estrutura apresentada na Figura 1 dimensione as lajes do pavimento e verifique a L2 para o ELS de deformação excessiva Dados Uso residencial Contrapiso de 3 cm revestimento inferior da laje de 2 cm Piso porcelanato Classe de Agressividade II blocos 9 x 19 x 19 cm com espessura da parede externa de 23 cm e da parede interna de 13 cm 325 m de altura sobre todas as vigas e sobre o trecho indicado na L2 concreto C25 brita 1 de granito Considerar e descrever todas as informações necessárias e referentes aos cálculos FORMA PAV SUPERIOR Figura 1 Planta baixa 7 ARMADURAS Tabela 9 Valores mínimos para armaduras passivas aderentes Armadura Elementos estruturais sem armaduras ativas Armaduras negativas ρsρmin Armaduras negativas de bordas sem continuidade ρs067ρmin Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções ρs 067ρmin Armadura positiva principal de lajes armadas em uma direção ρs ρmin Armadura positiva secundária de lajes armadas em uma direção Ass 20 da armadura principal Ass 09 cm2m ρs 05 ρmin ρs Asbw h Os valores de ρmin constam da Tabela 10 1 DADOS Concreto C25 fck 25 MPa Brita 1 dagreg 19 mm Aço CA50 fyk 50 kNcm² Classe de Agressividade Ambiental II c 25 mm 25 cm Contrapiso econtr3cm γ contr21kN m 3 Revestimento Inferior erev2cm γ rev19kNm ³ Piso e por7mm γ por23kN m ³ Parede e13cm eext23cm γ alv13kNm ³ halv325m Carga Variável Qsob15kNm 2 2 VÃO EFETIVOS E VINCULAÇÃO DAS BORDAS Laje lx ly λ lylx Tipo Arm Principal L1 219 364 166 3 L2 314 458 146 3 L3 214 239 112 6 L4 150 239 159 5A L5 137 364 266 Armada em uma direção L6 314 526 168 2A 3 PRÉDIMENSIONAMENTO DA ALTURA DAS LAJES l l x 07l y d2501nl hdcϕ2 Laje lx cm ly cm λ 07ly l n d cm h cm L1 219 364 166 2548 219 2 504 9 L2 314 458 146 3206 314 2 722 11 L3 214 239 112 1673 1673 4 351 8 L4 150 239 159 1673 150 3 330 8 L5 12 L6 314 526 168 3682 314 1 754 11 Para as lajes L3 e L4 considerouse a espessura mínima das lajes de piso apoiadas que é de 8 cm pelo fato de o prédimensionamento ter resultado em valores inferiores 4 CÁLCULO DAS AÇÕES ATUANTES grev inferevγ rev0 02m19 kN m 3 0 38 kN m 2 gcontrecontr γcontr003m21 kN m 3063 kN m 2 gpisoe porγ por0007m23 kN m 3 0161 kN m 2 gparγ alvealvhalv Lpar lxl y gtotgLgrevinf gcontrgpisogparse houver pgtotq 41 Laje L1 gL1γcahL 125 kN m 3 009m225 kN m 2 Não há paredes sobre a laje L1 logo gpar0 gtot2250380630 160342 kN m 2 p1gtotq34215 p14 92 kN m 2 42 Laje L2 gL2γcahL 225 kN m 3 011m275 kN m 2 Lparlx 2 2 lx 3 2 ealv314 2 4 58 2 386m gparγ alvealvhalv Lpar lx 2l y 2 13 kN m 3013m325m386 m 314m4 58 m 147 kN m 2 gtot3000380630161475 40 kN m 2 p2gtotq54015 p2690 kN m 2 43 Laje L3 gL3γcahL325 kN m 30 08m20 kN m 2 Não há paredes sobre a laje L1 logo gpar0 gtot2000380 630160317 kN m 2 p3gtotq31715 p3467 kN m 2 44 Laje L4 gL4γ cahL 425 kN m 30 08m20 kN m 2 Não há paredes sobre a laje L1 logo gpar0 gtot2000380 630160317 kN m 2 p4gtotq31715 p44 67 kN m 2 45 Laje L5 gL5γcahL525 kN m 30 12m30 kN m 2 Não há paredes sobre a laje L5 porém á parapeito nas extremidades da laje em balanço com um peso próprio de 05 kNm além de uma sobrecarga de 20 kNm² Lpar2lx5274 m gpar pparapLpar l x6l y 6 05 kN m 274 m 137m364m 028 kN m 2 gtot300038063016028445 kN m 2 p5gtotq44515 p5595 kN m 2 46 Laje L6 gL6γ cahL625 kN m 3 011 m275 kN m 2 Não há paredes sobre a laje L6 logo gpar0 gtot2000380 630160392 kN m 2 p6gtotq39215 p6542 kN m 2 5 REAÇÕES DE APOIO As reações de apoio pelo método da tabela são expressas pela seguinte expressão Rv pl x 10 51 Laje L1 p1lx 10 4 92 kN m 2 219m 10 107 vx306V x306107V x330kN m vx 448V x 448107V x 483kN m v y217V y217107V y234 kNm v y 317V y 317107 V y 342kN m 52 Laje L2 p2lx 10 690 kN m 2 314 m 10 217 vx284V x284217 V x6 15kN m vx 415V x 4 15217V x 899kN m v y217V y217217V y4 70kN m v y 317V y 317217 V y 686kN m 53 Laje L3 p3lx 10 467 kN m 2 214m 10 100 vx 283V x 283100 V x 283kN m v y 250V y 250100V y 250kN m 54 Laje L4 p4l x 10 4 67 kN m 2 150m 10 070 vx261V x261070V x183kNm vx 383V x 383070V x 268kNm v y 317V y 317070 V y 222kNm 55 Laje L5 A norma recomenda a aplicação de um parapeito na extremidade da laje em balanço com peso de 50 kgm ou 05 kNm e uma sobrecarga de 20 kNm sobre esse parapeito Como a análise da laje em balanço é feita sobre uma viga em balanço que equivale a um trecho de laje cm largura de 100 cm ppar20 kN m 05 kN m 25 kN m V xp5lx 5 ppar595 kN m 2137m25 kN m V x1065kNm 56 Laje L6 p6lx 10 542 kN m 2 314 m 10 170 vx299V x299170 V x509kN m v y289V y289170V y492kN m v y4 33V y433170V y737kN m 6 MOMENTOS FLETORES O cálculo dos momentos fletores pela tabela é feita através da expressão a seguir Mμ c l x 2 100 61 Laje L1 p1lx 2 100 4 92 kN m 2 219m 2 100 0236 μx521 M x5480236 M x1230 kN mm μx 1116M x 11550236 M x 2634kN mm μy191M y1720236 M y0451kN mm μy 815 M y 8170236 M y 1924kN mm 62 Laje L2 p2lx 2 100 690 kN m 2 314 m 2 100 0680 μx4 58 M x4580680 M x3114 kN mm μx 1017 M x 10170680 M x 6914 kN mm μy232M y2320680 M y1577kN mm μy 800 M y 8000680 M y 5439kN mm 63 Laje L3 p3lx 2 100 467 kN m 2 214m 2 100 021 μx265 M x2650 21 M x0567kN mm μx 614M x 614021 M x 1313kN mm μy194 M y194021 M y0415kN mm μy 5 51M y 551021 M y 1179kN mm 64 Laje L4 p4l x 2 100 4 67 kN m 2 15m 2 100 011 μx4 55 M x455011 M x0478kN mm μx 991 M x 991011 M x 1042kN mm μy234 M y234011 M y0246kN mm μy 802 M y 802011 M y 0843kN mm 65 Laje L5 Novamente considerando a laje L5 como sendo em balanço calculase os esforços na mesma considerando seções de 1 metro de largura cada M x p5l x 2 2 ppar l x595 kN m 2137m 2 2 25 KN m 137m M x901kN mm 66 Laje L6 p6lx 2 100 542 kN m 2 314 m 2 100 053 μx749M x749053 M x4003 kN mm μy374 M y374053 M y1999kN mm μ y1179 M y1179053 M y6302kN mm 71 Armaduras Laje L1 d1h1cϕ 2 92510 2 6cm As1minρminbw h1015 100 1009135c m 2m As1minpos067 ρminbwh10 67 015 100 100909045cm 2m Direção x positiva kc bwd1 2 14 M x 1 1006 2 141232091 ks0023 Asx1ks 14 M x 1 d1 0023 1 4123 6 066 cm²m Direção y positiva kc bw d1 2 14 M y 1 1006 2 144515704 ks0023 Asy1ks 14 M y 1 d1 0023 14 451 6 0242cm ²m Direção x negativa kc bwd1 2 14 M x 1 1006 2 142634 976 ks0024 A sx1ks 14 M x1 d1 0024 142634 6 1475cm²m Direção y negativa kc bw d1 2 14 M y 1 1006 2 1419241337 ks0024 A sy1ks 14 M y1 d1 0024 14 1924 6 108cm ²m 72 Armaduras Positivas Laje L2 d2h2cϕ 2112510 2 8cm As2minρminbw h2015 100 10011165c m 2m As1minpos067 ρminbwh10 67 015 100 1001111055c m 2m Direção x positiva kc bwd2 2 14 M x 2 1008 2 143114 1468 ks0024 Asx2ks 14 M x 2 d2 0024 143114 8 1308cm²m Direção y positiva kc bw d2 2 14 M y 2 1008 2 1415772898 ks0023 Asy2ks 14 M y 2 d2 0023 14 1577 8 0635cm²m Direção x negativa kc bwd2 2 14 M x 2 1008 2 146914 612 ks0024 A sx2ks 14 M x 2 d2 0024 14691 4 8 3025cm²m Direção y negativa kc bw d2 2 14 M y 2 1008 2 145439841 ks0024 A sy2ks 14 M y2 d2 0024 1 45439 8 2284 cm ²m 73 Armaduras Positivas Laje L3 d3h3cϕ 282510 2 5cm As3minρminbw h3015 100 1008120c m 2m As1minpos067 ρminbwh10 67 015 100 10080 804 cm 2m Direção x positiva kc bwd3 2 14 M x 3 1005 2 14567315 ks0023 Asx3ks 14 M x 3 d3 0023 14567 5 0365cm ²m Direção y positiva kc bw d3 2 14 M y 3 1005 2 144154303 ks0023 Asy3ks 14 M y 3 d3 0023 14415 5 0267cm²m Direção x negativa kc bwd3 2 14 M x 3 1005 2 1413131360 ks0024 A sx3ks 14 M x 3 d3 0024 141313 5 0883 cm²m Direção y negativa kc bw d3 2 14 M y 3 1005 2 1411791515 ks0024 A sy3ks 14 M y3 d3 0024 14117 9 5 0792cm²m 74 Armaduras Positivas Laje L4 d4h4cϕ 282510 2 5cm As4minρminbwh40 15 100 1008120cm 2m As1minpos067 ρminbwh10 67 015 100 10080 804 cm 2m Direção x positiva kc bwd4 2 14 M x 4 1005 2 144783734 ks0023 Asx4ks 14 M x 4 d4 0023 14478 5 0308cm²m Direção y positiva kc bw d 4 2 14 M y 4 1005 2 1 424 67261 ks0023 Asy4ks 1 4M y 4 d4 0023 1424 6 5 0158cm ²m Direção x negativa kc bwd4 2 14 M x 4 1005 2 1410421715 ks0024 A sx4ks 1 4M x 4 d4 0024 141042 5 07cm²m Direção y negativa kc bw d4 2 14 M y 4 1005 2 1 48432119 ks0023 A sy4ks 14M y 4 d4 0023 1484 3 5 0543cm²m 75 Armaduras Positivas Laje L5 d5h5cϕ 2122510 2 9cm As4minρminbwh40 15 100 10012180 cm 2m Direção x negativa kc bwd5 2 14γ n M x 5 1009 2 14 135900 447597 ks0025 A sx 5ks 14M x5 d5 0025 1 49004 9 35016cm ²m Na laje em balanço L5 não há necessidade de colocar armadura negativa perpendicular à armadura principal negativa No entanto convém colocar uma armadura construtiva próxima à superfície inferior da laje na direção do balanço e ancorada na viga de apoio da laje 76 Armaduras Positivas Laje L6 d6h6cϕ 2112510 2 8cm As6minρminbw h6015 100 10011165c m 2m As1minpos067 ρminbwh10 67 015 100 1001111055c m 2m Direção x positiva kc bwd6 2 14 M x 6 1008 2 14 400311 42 ks0024 Asx6ks 14 M x 6 d6 0024 14 4003 8 168cm ²m Direção y positiva kc bw d6 2 14 M y 6 1008 2 1419992287 ks0023 Asy6ks 14 M y 6 d6 0023 141999 8 0805cm ²m Direção y negativa kc bwd6 2 14 M x 6 1008 2 14 6302725 ks0024 A sy6ks 14 M y 6 d6 0024 146302 8 2647cm ²m Os espaçamentos das barras devem obedecer aos valores s 2h e s 20 cm A norma não especifica um espaçamento mínimo para as barras de armaduras de lajes maciças mas podese indicar por motivos construtivos um espaçamento mínimo de 8 cm para a armadura negativa e um valor um pouco inferior para a armadura positiva O ideal muitas vezes é que o espaçamento de ambas armaduras fique entre 8 e 20 nas lajes correntes Mx Mx My My h L1 123 2634 0451 1924 9 Área de aço nec cm²m 09045 a 1475 09045 a 135 b φ e espaçamento 5 c 20 63 c 20 5 c 20 5 c 14 Área de aço efet cm²m 100 158 1 143 L2 3114 6914 1577 5439 11 Área de aço nec cm²m 1308 3025 11055 b 2284 φ e espaçamento 5 c 15 63 c 10 5 c 18 63 c 13 Área de aço efet cm²m 133 315 111 242 L3 0567 1313 0415 1179 8 Área de aço nec cm²m 0804 a 12 b 0804 a 12 b φ e espaçamento 5 c 24 5 c 16 5 c 24 5 c 16 Área de aço efet cm²m 083 125 083 125 L4 0478 1042 0246 0843 8 Área de aço nec cm²m 0804 a 12 b 0804 a 12 b φ e espaçamento 5 c 24 5 c 16 5 c 24 5 c 16 Área de aço efet cm²m 083 125 083 125 L5 901 12 Área de aço nec cm²m 35016 φ e espaçamento 8 c 14 Área de aço efet cm²m 357 L6 4003 1999 6302 11 Área de aço nec cm²m 168 11055 a 2647 φ e espaçamento 63 c 18 5 c 18 63 c 11 Área de aço efet cm²m 175 111 286 a Armadura mínima para ρmin015C25 b Armadura mínima para 067 ρmin Todas as armaduras positivas foram estendidas 100 até os apoios O critério utilizado para definir o comprimento foi de estender as barras 5 cm além do eixo das vigas internas e até a face externa das vigas de periferia do edifício menos 2 cm para considerar o cobrimento c na extremidade ponta da barra pelo concreto Portanto considerando 5 cm de cada lado acrescentaremos 10 cm no comprimento das barras Detalhamento das armaduras positivas Calculo do comprimento das armaduras negativas Para definir o comprimento da barra inicialmente podese calcular c025l xlb c comprimento da barra de um lado da viga lx maior vão entre os menores vãos das duas lajes lb comprimento de ancoragem da barra região de boa aderência e C25 determinado na Tabela A27 φ 5 25 cm φ 63 17 cm Comprimento da barra de L1L2 c025 314 25 c1035cm O valor calculado para c deve ser preferencialmente arredondado para múltiplo de 10 mais proximo de modo que a barra terá 100 cm de comprimento de um lado da viga e a metade desse valor do outro O comprimento total da barra será C100100 2 6585C165cm onde 65 e 85 são os comprimentos dos ganchos nas extremidades da barra O comprimento do gancho deve ser definido em função do cobrimento da armadura No caso foi adotado como lgancho h 25 cm Comprimento da barra de L1L3 c025 219 17c7175cm C70702 65 55 C 117 cm Comprimento da barra de L1L4 c025 219 17c7175cm C70702 65 55 C 117 cm Comprimento da barra de L2L6 c025 314 17955cm C100 100 2 8585C167cm Comprimento da barra de L2L3 c025 314 17955cm C100 100 2 8555C164 cm Comprimento da barra de L3L4 c025 214 25c785cm C80 80 2 5555C131cm Comprimento da barra da L5 Colocamos o valor do comprimento da laje menos o valor do cobrimento mínimo o mesmo comprimento deve passa para o outro lado assim temos C2 137255595284 cm Detalhamento das armaduras negativas 8 VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 81 Flecha em L2 Cálculo do Módulo de Elasticidade α E10 Eciα E5600f ck1056002528000 MPa α i0802 f ck 80 0802 25 800863 Ecsα i Eci08632800024150 MPa2145kNcm ² f ct03 3f ck 2 03 325 22565MPa02565kN cm ² Cálculo do Momento de Fissuração h212cm lx 2314 cm gtot 2540kPa α15 I c2100cm h2 3 12 100cm11 cm 3 12 1109167c m 4 yth2 2 11cm 2 55cm M r2α f ctI c 2 yt 15025651109167 55 77590kN cm Momento Fletor Combinação rara Fd serv raragtot 2q540156 90kNm ² Momentos Fletores A combinação rara tem o mesmo valor da combinação usada no cálculo dos momentos fletores logo esses momentos já são os momentos da combinação rara Assim M x 2311 37kN cm M y 215772kN cm M amaiorM x2 M y 231137kN cm Verificação de Fissuração M aM r2Nãoocorre fissuraçãonaLaje L2 Flecha Imediata Pela Tabela A1 com λ 146 e laje do Tipo 3 temse α431 Fd serv quasegtot 203q5400315585kN m² ai α 12 Fd serv quasel x2 4 EcsI c 2 340 12 58510 4314 4 214511091 67 006cm Fluência ξ t20 pt 70meses ξ t0068 pt1mês Δ ξ20068 Δξ132 α fΔξ132 Flecha Total atai 1α f 006 11320139cm Verificação das Flechas Máximas Aceitabilidade Sensorial amax AS lx 2 250 314 cm 250 126cm atamax ASok Vibração devida a cargas móveis amaxVCM lx 2 350314 cm 350 090cm atamaxVCM ok Paredes amax PAR lx 2 500314 cm 500 063cm atamax PARok