Rodrigo Peres Ortogonalidade - Álgebra Linear 2

Lembremos primeiro que dois vetores não nulos u e v definidos por meio de segmentos orientados são ortogonais se, e somente se, seu produto escalar é zero.\n\nDefinição 4 – Seja V um espaço euclidiano. Dizemos que dois vetores u, v ∈ V são ortogonais se, e somente se, <u, v> = 0. Um conjunto S = {u₁, ..., uᵣ} ⊂ V se diz ortonormal se, e somente se, (I) ||uᵢ|| = 1 (i = 1, 2, ..., r) e (II) dois vetores quaisquer de S, distintos entre si, são ortogonais.\n\nNota: As condições (I) e (II) da definição acima podem ser substituídas pela seguinte: <uᵢ, uⱼ> = δᵢⱼ (símbolo de Kronecker), i, j = 1, ..., n, cujo significado é δᵢⱼ = 1 se i = j e δᵢⱼ = 0 se i ≠ j. Exemplo – No espaço euclidiano IR³ o conjunto S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é ortonormal. Por exemplo, a norma de g₁ = || (1, 0, 0) || = √(1² + 0² + 0²) = 1 e o produto interno de g₁ por g₂ é <g₁, g₂> = 1 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 = 0.\n\nEm geral, para todo n ≥ 2, o conjunto:\n{(1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, ..., 0, 1)}\né ortonormal no espaço euclidiano IRⁿ. Proposição 3 – Todo conjunto ortonormal S = {g₁, g₂, ..., gₖ} contido num espaço vetorial euclidiano é necessariamente L.I.\n\nProposição 4 – Seja S = {g₁, ..., gₖ} um subconjunto ortonormal do espaço euclidiano V. Então, ∀u ∈ V, o vetor v = u - <u, g₁>g₁ - ... - <u, gₖ>gₖ é ortogonal a todo vetor do sub-espaço gerado pelos vetores de S.\n\nDefinição 5 – Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Se um conjunto B = {g₁, ..., gₙ} for uma base de V e simultaneamente for um conjunto ortonormal, então diremos que B é uma base ortonormal de V. Teorema 1 – (Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt) – Todo espaço vetorial euclidiano de dimensão finita (≠ 0) admite uma base ortonormal.\n\nSe dim V = 1 e se {u} é uma base de V, então o vetor g₁ = u / ||u|| é L.I. e tem norma igual a 1. Logo {g₁} é uma base ortonormal de V.\n\nSe dim V = 2, seja {u₁, u₂} uma base de V. Façamos g₁ = u₁ / ||u₁||. Então o vetor v₂ = u₂ - <u₂, g₁>g₁ é ortogonal a g₁ devido à proposição 4. Logo o vetor g₂ = v₂ / ||v₂|| também é ortogonal a g₁ além de ser unitário. Dã podemos afirmar que {g₁, g₂} é um subconjunto ortonormal de V com dois vetores. É pois uma base ortonormal de V.\n\nO mesmo raciocínio nos permitirá construir uma base ortonormal em qualquer caso de dimensão finita n, utilizando-se o mesmo método usado na proposição 4. Exemplo – Aplicar o processo de Gram-Schmidt do teorema 1 acima à base B = {u₁ = (1, 0, 0), u₂ = (0, 1, 1), u₃ = (0, 1, 2)} do R³, considerando o produto interno usual nesse espaço.\n\nÉ claro que g₁ = u₁ / ||u₁|| = u₁ = (1, 0, 0). Por outro lado, v₂ = u₂ - <u₂, g₁>g₁ = (0, 1, 1) - 0(1, 0, 0) = (0, 1, 1). Logo g₂ = v₂ / ||v₂|| = (0, 1, 1) / √2 = (0, √2/2, √2/2).\n\nFinalmente,\nv₃ = u₃ - <u₃, g₁>g₁ - <u₃, g₂>g₂ = (0, 1, 2) - 0g₁ - 3√2/2(0, √2/2, √2/2) = (0, -1/2, 1/2) Exemplo - Aplicar o processo de Gram-Schmidt do teorema 1 acima à base B = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 1, 2)} do \\mathbb{R}^3, considerando o produto interno usual nesse espaço.\n\nDai:\n\ng3 = \\frac{\\sqrt{3}}{||v_3||} = \\left(\\frac{\\left(0, -\\frac{1}{2}, 1\\right)}{\\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{1}{4}}}, \\left(0, -\\frac{1}{2}, 1\\right)\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right) = \\left(0, -\\frac{\\sqrt{2}}{2}, \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)\n\nLogo:\n\\{(1, 0, 0), \\left(0, \\frac{\\sqrt{2}}{2}, 0\\right), \\left(0, -\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)\\}\n\ne uma base ortonormal do \\mathbb{R}^3, construída a partir da base B, seguindo-se a demonstração do teorema 1. Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dado um sub-espaço vetorial U de V, indiquemos por U^\\perp o seguinte subconjunto de V:\n\nU^\\perp = \\{v \\in V | <v, u> = 0, \\forall u \\in U\\}.\n\nDefinição 6 - O sub-espaço U^\\perp acima definido recebe o nome de complemento ortogonal de U.\n\nProposição 5 - Seja U um sub-espaço vetorial de um espaço euclidiano de dimensão finita V. Então V = U \\oplus U^\\perp, ou seja, V = U + U^\\perp e U \\cap U^\\perp = \\{0\\}.\n\nExemplo - Seja V = \\mathbb{R}^3, U = \\{(x, y, 0) : x, y \\in \\mathbb{R}\\}. Então U^\\perp = \\{(0, 0, z) : z \\in \\mathbb{R}\\}. Verifique.