Lista de Exercícios Resolvidos Calculo Diferencial e Integral II

Considere o sistema linear S x1 3x2 x3 4x4 x5 x6 4x7 3 x1 3x2 2x3 6x4 x5 x6 2x7 6 x1 3x2 x3 4x4 3x5 x6 8x7 1 2x1 6x2 2x3 8x4 2x5 3x6 11x7 9 x1 3x2 x3 4x4 x5 x6 6x7 1 Calcule o posto da matriz dos coeficientes PostoA Calcule o posto da matriz associada ao Sistema Linear Matriz ampliada PostoM Calcule a nulidade da matriz dos coeficientes NulA Quanto ao espaçosolução do sistema linear se pode afirmar que O sistema linear é Atenção Responda I para impossível não tem soluções PD para possível e determinado tem uma única solução PI para possível e indeterminado tem infinitas soluções Apliquese a sequência de operações elementares L2 L2 1L1 L3 L3 1L2 L3 L3 1L2 L2 L2 3L3 L1 L1 2L2 L1 L1 2L2 à matriz A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 transformandoa na matriz D 0 0 0 5 0 3 0 5 0 a Calcule a Matriz inversa de A A1 é igual a b Calcule a Matriz A A é igual a Considere o sistema linear S 2x1 6x2 4x3 8x4 8 2x1 6x2 3x3 7x4 7 2x1 6x2 5x3 9x4 9 8x1 24x2 15x3 31x4 31 Escalone o sistema linear encontrando a forma de GaussJordan Em seguida calcule a solução do sistema linear colocando as soluções na forma x1 x2 x3 x4ᵀ P0 tu sv t s R onde P0 ᵀ u ᵀ v ᵀ Uma dada matriz A é transformada na matriz B abaixo através da sequência de operações elementares L1 L1 2L4 L2 L2 3L4 L3 L3 2L4 L3 1021L3 L4 L4 L3 L2 L2 L3 L1 L2 L1 L1 3L2 B 1 0 0 0 1 2 0 0 2 3 4 0 1 1 2 5 Calcule o detA Assinale a resposta até a SEGUNDA casa decimal detA Considere o sistema linear S x1 3x2 x3 2x4 x5 8 x1 3x2 2x3 x4 x5 5 3x1 9x2 x3 3x4 x5 1 2x1 6x2 2x3 2x4 3x5 16 Escalone o sistema linear encontrando a forma de GaussJordan Em seguida calcule a solução do sistema linear colocando as soluções na forma x1 x2 x3 x4 x5t P0 tu t R onde P0 t u t 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II LISTA DE EXERCÍCIOS III 1 Calcule o limite caso exista 2 2 2 0 1 lim sen x x e x Resolução O limite existe se lim lim x a x a g x g x e se lim x a Observando o limite 2 2 2 0 1 lim sen x x e x e substituindo 0 x já percebemos que 0 lim 0 x f x Logo o limite é diferente de infinito e existe Portanto pode ser calculado Calculando o limite 1º Aplicando a regra de LHopital TEOREMA DE LHOPITAL Para lim x a f x g x se 0 lim 0 x a f x g x ou lim x a f x g x então lim lim x a x a f x f x g x g x 2º Provando a condição de LHopital 2 2 2 0 1 lim sen x x e x aplicando a condição no numerador e no denominador temos 2 2 2 20 0 0 lim 1 1 1 1 1 0 x x e e e 2 2 2 0 limsen sen 0 0 0 x x 3º Então atende à condição de LHopital de 00 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 lim lim sen sen x x x x e e x x 2 4º Derivando o numerador e o denominador 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Aplicação da regra da somadiferença 1 1 1 4 0 4 x x x x x d d d e e e e x xe dx dx dx 2 2 sen sen Aplicar a regra da cadeia d df u df du x x dx dx du dx 2 sen f u u x 2 2 2 2 1 sen sen sen 2 cos d d d x x u x u x dx du dx 2 cos 2sen cos u x x x 5º Utilizando a identidade trigonométrica do arco duplo 2sen cos sen2 x x x Temos 2 2 2 2 2 0 0 1 4 lim lim sen sen2 x x x x e xe x x 6º Com este limite ainda temos a condição de LHopital Prova 2 2 0 0 lim 4 4 0 0 x x xe e 0 lim sen2 0 x x 7º Aplicando novamente LHopital 2 2 2 2 0 0 4 4 lim lim sen2 sen2 x x x x xe xe x x 8º Derivadas 2 2 2 2 2 2 2 2 Regra do produto 4 4 4 x x x x d d d xe xe e x x e dx dx dx 3 9º Derivando 2 2 d e x dx e aplicando a regra da cadeia 2 u f e u x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 x u u x x d d d d d e e x e x e x e x dx du dx dx dx 10º Derivando d x dx 1 d x dx 11º Substituindo no passo 8º 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 1 4 4 44 x x x x x x x x d d e x x e e x x e e x e x e e dx dx 13º Derivada do denominador sen2 sen2 sen sen2 cos 2 cos2 2 d d d x x u x u x dx du dx 14º Novo limite a ser calculado 2 2 2 2 2 2 2 0 0 4 44 lim lim sen2 cos2 2 x x x x x xe x e e x x 15º Agora sim calculando o limite 2 2 2 2 2 2 2 2 20 20 0 44 440 40 1 1 40 1 4 lim 2 cos2 2 cos2 0 2 cos0 2 1 2 2 x x x x e e e e x Portanto 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 44 lim lim 2 sen cos2 2 x x x x x e x e e x x 4 2 Um circuito elétrico tem uma resistência de R ohms uma indutância de L henrys e uma força eletromotriz de E volts em que R L e E são positivos Se i ampères for a corrente passando no circuito t segundos depois que foi ligado então 1 Rt L E i e L Se t E e L são constantes ache 0 lim R i OBSERVAÇÃO Este exercício é do livro O cálculo com geometria analítica de Louis Leithold No livro a equação está como 1 Rt L E i R e Vou resolver das duas formas Mas acredito que a equação no enunciado da sua lista esteja incorreta CONFIRA COM SEU PROFESSOR QUAL A EQUAÇÃO CORRETA Resolução com a equação da forma que está na sua lista QUE EU ACREDITO ESTAR INCORRETO 0 0 lim lim 1 Rt L R R E i e L lim c x a c 1 Rt L E e L RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO DO LIVRO EQUAÇÃO 1 Rt L E i R e 0 0 lim lim 1 Rt L R R E i e R Note que de primeira vista tanto o numerador quanto o denominador se aplicarmos o limite o resultado será zero ou seja teremos uma indeterminação Quando caímos em indeterminações aplicamos LHopital 5 Então lembrando de derivar em relação a R não a t temos 1 Rt L d E e dR R lembrando de tratar E L e t como constantes 1 1 1 Rt Rt Rt L L L d E e d e e E E dR R dR R R Derivadas 1 1 1 0 0 Rt Rt Rt u u L L L d d d d d Rt d Rt e e e e e dR dR dR du dR L dR L 0 0 0 1 0 Rt Rt Rt Rt Rt L L L L L d Rt t d t te te e e R e dR L L dR L L L 1 d R R dR Portanto 0 0 lim 1 lim Rt Rt L L R R E t e E e R L Aplicando o limite 0 0 0 lim 1 Rt t L L R t t t t t E e E e E e E E L L L L L Resposta 0 lim R t i E L 6 3 Ache os valores de a e b tais que 3 3 0 limsen3 0 x x ax bx x Resolução Novamente iremos aplicar o LHopital 3 3 2 sen3 sen3 cos3 3 3 d d d d d x ax bx x ax bx x x a bx dx dx dx dx dx 2 2 cos3 3 3 3cos3 3 x a bx x a bx 3 2 3 d x x dx Logo 3 2 3 2 0 0 sen3 3cos3 3 lim lim 3 x x x ax bx x a bx x x Este limite novamente dá uma indeterminação Devese aplicar LHopital novamente 2 2 3cos3 3 3cos3 3 3 cos3 0 6 d d d d d x a bx x a bx x bx dx dx dx dx dx 3 sen3 3 6 3 sen3 3 6 9sen3 6 d x x bx x bx x bx dx 3 2 3 2 6 d x x x dx Logo 2 2 0 0 3cos3 3 9sen3 6 lim lim 3 6 x x x a bx x bx x x Por LHopital novamente 9sen3 6 9sen3 6 9 sen3 6 d d d d x bx x bx x b dx dx dx dx 7 9cos3 3 6 9cos3 3 6 27cos3 6 x d x b x b x b dx 6 6 d x dx Logo 0 0 9sen3 6 27cos3 6 lim lim 6 6 x x x bx x b x Aplicando o limite 0 27cos3 6 27cos3 0 6 27cos0 6 271 6 27 6 lim 6 6 6 6 6 x x b b b b b Lembrando no enunciado o limite é igual a zero então 27 6 0 6 b 27 6 0 6 b 27 6 0 b 6 27 b 27 9 45 6 2 b Portanto o limite dado é 0 para a e 9 2 b 8 4 Dada a função prove que f é contínua e diferenciável em 0 calcule f 0 cos 1 0 0 0 x se x f x x se x Resolução 1º Caso provar que f é contínua 0 limcos 1 0 x x e 0 lim 0 x x Pela regra de LHopital 0 0 0 cos 1 sen lim lim lim 0 0 1 x x x x x f x f x Portanto f é contínua em 0 2º Caso Provar que f é diferenciável 2 0 0 0 0 0 cos 1 0 cos 1 sen 0 lim lim lim lim 0 2 x x x x f x f x x x x f x x x x 0 cos 1 lim 2 2 x x Como 2 0 0 limcos 1 0lim 0 x x x x e 0 0 lim sen 0lim2 0 x x x x usamos a regra de LHopital duas vezes Portanto provamos que é diferenciável e calculamos f 0 9 5 Calcule o limite se existir ln lim x x x Resolução Sempre que formos calcular um limite nesse formato devemos olhar o limite da parte de cima e o limite da parte de baixo para ver se ele se encaixa em um dos formatos para aplicar a regra de LHopital xlim ln x e lim x x Então aplicando diretamente a regra de LHopital 12 12 12 1 ln ln 2 2 lim lim lim lim lim 1 2 x x x x x d x x x x dx x d x x x dx x x 1 2 lim 2 lim 2 0 x x x x x Portanto lim ln 0 x x x 10 6 Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente Calcule em caso de ser convergente 2 16 dx x Resolução 0 2 2 2 2 0 1 1 1 lim lim 16 16 16 16 b a b a dx dx dx dx x x x x Para que a integral seja convergente os dois limites devem existir 1º Calcular a primitiva 2 1 16 dx x 2º Fazendo 4 x t temos que 4 dx dt 2 2 2 1 4 1 1 4 16 4 16 16 4 1 dt dt dt t t t Aplicando as regras de integração 2 1 1 1 1 arctan arctan 4 1 4 4 4 x dt t t Dessa forma 0 0 2 1 1 1 0 1 1 arctan arctan arctan arctan arctan 16 4 4 4 4 4 4 4 4 4 a a x a a a dx x 2 0 0 1 1 1 0 1 1 arctan arctan arctan arctan arctan 16 4 4 4 4 4 4 4 4 4 b b x b b b dx x Aplicando os limites Primeiro para a 0 2 1 1 1 1 lim lim arctan arctan 16 4 4 4 4 4 2 8 a a a a dx x Para b 2 0 1 1 1 1 lim lim arctan arctan 16 4 4 4 4 4 2 8 b b b b dx x 11 Portanto os dois limites existem e são finitos de modo que a integral converge 0 2 2 2 0 1 1 1 2 lim lim 16 16 16 8 8 8 4 b a b a dx dx dx x x x Resposta 4 7 Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente Calcule em caso de ser convergente 2 4 sec d Resolução 2 4 4 2 sec lim sec t t d d A integral será convergente se o limite existir e for finito Primitiva sec ln sec tan d 4 4 sec ln sec tan t t d 4 sec ln sec tan ln sec 4 tan 4 ln sec tan ln 2 1 t d t t t t Tomando o limite 2 t temos que sect e tant Assim temos que ln sec tan t t Logo 12 4 sec ln 2 1 t d Dessa forma o limite não vai existir Portanto a integral imprópria é DIVERGENTE 8 Ache o polinômio de Taylor do nésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada 2 0 3 x f x e a n Resolução O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por 2 1 2 n n n f a f a f a P x f a x a x a x a n Já o resto de Lagrange é dado por 1 1 1 n n n f R x x a n onde está entre a e x Assim a função da fx dada fica 3 2 3 3 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 f f f P x f x x x Agora calculase a primeira segunda e terceira derivada aplicada no número 0 a Como 2 x f x e temos que 02 0 0 1 f e e 1ª Derivada 2 2 x f x xe e 0 0 f 13 2ª Derivada 2 2 2 1 x f x e x e 02 0 0 2 20 1 2 0 1 2 1 2 f e e 3ª Derivada 2 3 4 2 3 x f x e x x e 02 3 0 4 20 30 40 0 4 0 0 f e Substituindo no polinômio de Taylor 2 3 3 0 2 0 0 0 0 0 1 2 3 P x x x x 2 3 2 0 0 2 P x x 2 2 3 1 P x x x Como para o cálculo do resto precisamos da quarta derivada 2 4 4 2 4 4 12 3 x f x e x x Substituindo 2 4 4 2 4 4 12 3 f e Resto de Lagrange 2 4 4 2 4 4 4 4 12 3 0 0 4 4 n f e R x x x 9 Calcule o valor de e exato até a quinta casa decimal e prova que sua resposta tem a precisão pedida Resolução x f x e De acordo com a fórmula de Taylor temos que para todo n x n f x e temse 0 1 n f n n 14 Lembrando que 0 a e que o polinômio de Taylor é dado por 2 1 2 n n n f a f a f a P x f a x a x a x a n Temos 2 3 1 2 3 n n x x x P x x n Para obter uma melhor aproximação temos que considerar um número alto para n Portanto escolhendo o polinômio como n 9 tomando x 1 pois e e1 Temos 2 3 4 5 6 7 8 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 P 91 2718281526 P Até a quinta casa decimal temos então que 91 271828 P 10 Ache o polinômio de Taylor de terceiro grau da função seno em 4 e o resto na forma de Lagrange Resolução 3 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 1 2 3 f f f P x f x x x Agora calculase a primeira segunda e terceira derivada aplicada no número 4 a Como sen f x x temos que 2 4 sen 4 2 f 15 1ª Derivada cos f x x e 2 4 cos 4 2 f 2ª Derivada sen f x x e 2 4 sen 4 2 f 3ª Derivada cos f x x e 2 4 cos 4 2 f Substituindo no polinômio de Taylor 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 1 2 3 P x x x x 2 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 4 3 3 2 2 2 6 2 2 4 2 16 4 16 64 1 1 x x x x P x x x 2 3 2 2 3 2 3 2 24 2 264 48 12 2 8 4 2 16 768 x x x x x P x x Como para o cálculo do resto precisamos da quarta derivada 4 sen f x x Substituindo 4 sen f Resto de Lagrange 4 4 4 sen 4 4 4 4 n f R x x x