Prova de Álgebra Linear - Centro Federal de Educação Tecnológica

Centro Federal de Educação Tecnológica Unidade de Nova Iguaçu Ensino de Graduação Matemática Álgebra Linear EPRO Prova PR Prof Rildo Soares Nome completo Duração da prova 2 horas Data 08122016 O aluno deverá desenvolverAPENAS DEZ pontos da prova isto é a soma de todas as questões resolvidas NÃO PODE ultrapassar dez pontos ATENÇÃO Todos os raciocínios contas resultados matemáticos usados na resolução da prova devem aparecer na prova Sob pena da questão não ser considerada Nota Para as questões 1 e 2 considere os sistema a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 an1x1 an2x2 annxn bn e a transformação Tx1 x2 xn a11x1a12x2a1nxn a21x1a22x2a2nxn an1x1an2x2annxn 1 20Explique claramente usando a relação entre o sistema e a transformação Se o determinante da matriz A a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann é diferente de zero o que podemos armar sobre o sistema e sobre o vetor b b1 b2 bn 2 20Se a préimagem do vetor b b1 b2 bn é não nula e está no núcleo de T o que podemos armar sobre o determinante da matriz A acima E sobre o vetor b Justique 3 20 Encontre uma base ortogonal na qual a transformação T R3 R3 dado por Tx y z 2x 3y z 3x y x z seja representada por uma matriz diagonal 4 20 Determine o espaço imagem da transformação Tx y z w 2x z w 2y z w x y 3w z 2w 5 20 Diagonalize a matriz do operador Tx y z x 2y z x y z x z 6 20 Sabendo que o operador Tx y z w 2x z w 2y z w x y 3w z 2w quando escrito na base β 3 2 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 1 1 6 6 5 1 tem como associada uma matriz diagonal D usando autovalores e autovetores calcule seu determinante 1 7 20 Determine o núcleo da transformação Tx y z w 2xzw 2yzw xy3w z2w 8 20 Classique a cônica 5x2 4xy 8y2 4 5x 16 5y 4 0 9 20Considere o operador T R3 R3 denido na base canônica por Tx y z x y z x 3y z x y z Escreva a matriz do operador T na base β 1 0 1 1 1 1 1 2 1 10 20 Considere o CORPO dos números reais R Abaixo está uma sequência de implicações lógicas que APARENTEMENTE estão corretas Identique que propriedade está sendo usada em cada passagem e justique se a conclusão é falsa ou verdadeira a b R com a b aa ab a2 b2 ab b2 a ba b ba b a b b a b b b b 2b b 2 1 2