Lista de Exercicios - Series de Potencias, Transformada de Laplace e Equacao do Calor

1 2 Pontos Dada a série Σ n1 1n x2n n1 encontre o seu intervalo de convergência 2 25 Pontos Determine a solução em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto x₀ x² y xy x² n²y 0 x₀ 0 3 25 Pontos Usando transformada de Laplace encontre a solução do PVI d²y dt² 4y 4u₂t δt π4 y0 1 y0 0 4 3 Pontos A temperatura u ux y t em uma placa bidimensional satisfaz a equação do calor bidimensional ut α² uxx uyy onde x y são pontos do interior da placa e t 0 Para encontrar uma solução para a equação acima é necessário especificar a temperatura inicial ux y 0 e as condições que devem ser satisfeitas na fronteira Quando t a influência da condição inicial decai e assim lim t utx y t 0 Portanto a temperatura se aproxima de uma distribuição de estado estacionário u ux y que satisfaz uxx uyy 0 Esta é a equação de Laplace Entre outras aplicações a equação de Laplace pode ser usada na análise dos campos eletrostáticos onde a função potencial elétrico em um Página 1 2 meio dielétrico sem cargas elétricas obedece à equação de acordo com as dimensões espaciais usando o método de separação de variáveis encontre a solução do problema abaixo uxx uyy 0 0 x π 0 y π ux 0 0 uyx π x 0 x π ux0 y 0 uxπ y 0 0 y π