Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Limites, Séries e Equações Diferenciais

1 05 Pontos Determine o limite das sequências abaixo a an n² 3n n b an 2n 8 8 n 33n 2 05 Pontos Considere a série infinita n1 to ln1 1n Verifique que lim n ln1 1n 0 Encontre um padrão para a enésima soma parcial e decida se a série é convergente 3 05 Pontos Determine se as seguintes séries são absolutamente convergentes condicionalmente convergentes ou divergentes a n1 to 1473n 1n5 b n1 to 1n1 lnnn³ 4 05 Pontos Dada a série n2 to 1n 2x 3n n lnn encontre o seu intervalo de convergência não esqueça de verificar as extremidades do intervalo encontrado Página 1 2 5 1 Ponto Considere as integrais impróprias A 1 to sen1x dx e B 1 to sen²1x dx a Mostre que as integrais podem ser escritas na forma A 0 to 1 senuu² du e B 0 to 1 sen²uu² du b Usando série de Maclaurin verifique se as integrais obtidas no item a existem Se existirem aproxime a integral definida com a precisão de 000001 6 1 Ponto Determine ao menos os quatro primeiros termos diferentes de zero da solução em série de potências do PVI y senxy 0 yπ 1 yπ 0 1 1 Ponto a Suponha que gt 0 to t fτ dτ Se Gs e Fs são as transformadas de Laplace de gt e ft respectivamente mostre que Gs Fss b Usando a Transformada de Laplace encontre a solução do PVI y 4y 5 0 to t yτdτ et y0 0 2 1 Ponto Faça o que se pede em cada item abaixo a Encontre a convolução das funções ft 2t e gt sen2t b Considere uma função f tal que Lf 2s²s²4 Determine Lf e Lf sabendo que f0 3 e f0 1 c Encontre a solução do PVI y 4y 2t y0 1 y0 0 3 1 Ponto Considere a função fx x 0 x 1 0 1 x 2 a Construa a extensão par e periódica de f em toda reta R com período 4 e calcule a série de Fourier desta extensão b Encontre o valor da série nos pontos x 0 e x 1 c Tomando x 1 calcule o valor da série m1 to 12m1² Página 1 2 4 1 Ponto a Considere a equação uxx x y uyy 0 É possível obtermos um par de equações diferenciais ordinárias ao propormos uma solução da forma uxy XxYy Se sim qualquer combinação linear de soluções é uma solução para a equação b Encontre a temperatura uxt em qualquer instante em uma barra de metal com 40 cm de comprimento insulada nos lados cujas extremidades são mantidas a 0ºC para todo t 0 e inicialmente a uma temperatura fx 0 0 x 10 50 10 x 30 0 30 x 40