Teorema de Gauss e Divergência no Espaço - Conceitos e Exemplos

Conteúdo 1 O Teorema de Gauss no Espaço 3 11 Teorema de Gauss ou da Divergência 3 1 Capítulo 1 O Teorema de Gauss no Espaço O Teorema de Gauss ou da divergência relaciona a integral tripla sobre um sólido R³ com a integral sobre a superfície formada pelo bordo desse sólido Exemplo gráfico de uma superfície fechada e limitada orientada positivamente Na figura ao lado temos uma superfície S fechada e limitada que é o bordo de um sólido no W no R³ Essa superfície está orientada positivamente uma vez que o vetor normal à superfície aponta para o lado externo do sólido Exemplos canônicos de superfícies limitadas e fechadas Figura 11 x² y² z² a² Figura 12 x²a² y²b² z²c²1 11 Teorema de Gauss ou da Divergência Seja S uma superfície fechada e limitada orientada positivamente fronteira de um sólido D Se Fxyz MxyzNxyzPxyz cujas funções componentes MNP são de classe C¹ está definido em um conjunto aberto B R³ com D B então S Fnds D DivFdxdydz Observe que a integral de superfície do Teorema de Gauss pode representar o fluxo que passa através da superfície Logo temos um outro instrumento para calcular o fluxo que atravessa um superfície sobre a ação de um campo de forças Exemplos 1 Calcule a partir do Teorema de Gauss o fluxo que atravessa a superfície S orientada positivamente dada pela equação x² y² 4 com 0 z 3 fechada em cima e em baixo pelos planos z0 e z3 sob a ação do campo de forças Fxyz 4x 2y² z² Solução Roteiro Observe que a superfície é formada pelo cilindro e pelos dois discos que o fecham Nesse caso temos que SSci Sdiscoz3 Sdiscoz0 Logo por Gauss temos D DivFdD Sci FndS Sz0 FndS Sz3 FndS Observe que Sz0 FndS Sz3 FndS pois os vetores normais são 001 e 001 logo D DivFdD Sci dS Assim a primeira coisa a fazer quando se usa diretamente o Teorema de Gauss é calcular o campo escalar divergente do campo de forças Então Fxyz 4x 2y² z² DivF 44y 2z Agora montamos a integral tripla S Fds D 44y 2z dxdydz Para resolver essa integral observamos que o sólido D é limitado lateralmente por uma região cilíndrica e portanto usaremos coordenadas cilíndricas nessa superfície cilíndrica x rcost y rsent dxdydz rdzdtdr 0 t 2π 0 r 2 0 z 3 z z Assim avaliando o campo de forças nessas coordenadas temos DivF 44rsent 2z ₀² ₀²π ₀³ 44rsent 2z rdzdtdr blank ₀² ₀²π 4z 4zrsent z² ³₀rdtdr ₀² ₀²π 12 12rsent 9rdtdr ₀² 12t 12rcost 9t ₂₀ r dr ₀² 24π 18π rdr 21π r²₀² 214π 84π Assim o valor nessa superfície é de 84π Dessa forma temos que o valor do fluxo que atravessa a superfície é de 84π 2Cálculo de uma integral de Superfície via Teorema de Gauss Calcule a integral de superfície representando o fluxo que passa através de S formada por z x² y² com 0 z 1 sob a ação do campo de forças Fx y z yz² xz² x² y² Solução Para resolver esse problema vamos usar o Teorema de Gauss Para tanto temos que fechar a superfície pois esse Teorema só é possível em superfícies fechadas e limitadas Nesse caso fechamos a superfície com os discos de raio 1 para z 0 e z 1 e então S Sₚ Sz₀ Sz₁ Agora podemos usar o teorema e assim D DivFdD Sₚ FndS Sz₀ FndS Sz₁ FndS Calculando o campo escalar divergente de F temos Fx y z yz² xz² x² y² DivF 0 Logo Sₚ FndS Sz₀ FndS Sz₁ FndS 0 Sₚ FndS Sz₀ FndS Sz₁ FndS Assim basta calcular essas últimas integrais de superfície Primeiro calculamos a integral de superfície para o disco em z 0 Para calcular essa integral primeiro parametrizamos a superfície σr t x r cost y r sent 0 t 2π 0 r 1 z 0 Agora vamos calcular o vetor normal N i j k cost sent 0 r sent r cost 0 00 r Como estamos no plano z 0 o vetor normal externo é N 00 r Vamos calcular o produto interno de F avaliado em S com N encontrado acima Fσ r sent r cost 0 FN 0 Calculamos agora a integral de superfície ₀²π ₀¹ 0 r d r d t 0 Agora calculamos a integral de superfície para o disco em z 1 Para calcular essa integral primeiro parametrizamos a superfície σr t x r cost y r sent 0 t 2π 0 r 1 z 1 Agora vamos calcular o vetor normal N i j k cost sent 0 r sent r cost 0 00 r Vamos calcular o produto interno de F avaliado em S com N encontrado acima Fσ r sent r cost 1 FN r Calculamos agora a integral de superfície ₀²π ₀¹ r r d r d t ₀²π r²₂ ₀¹ d t 12 ₀²π d t π Dessa forma a integral de superfície sobre o parabolóide vale π Exercícios 11 TEOREMA DE GAUSS OU DA DIVERGÊNCIA 7 Exercícios