Estudo e Cálculo de Grelhas Planas

Diagramas de esforcos em grelhas planas Professora Elaine Toscano Capitulo 5 Diagramas de esforcos em grelhas planas 51 Introdugao Este capitulo sera dedicado ao estudo das grelhas planas Chamase grelha plana a estrutura plana que é solicitada exclusivamente por cargas ortogonais ao plano da estrutura Para validade dessa definiao uma cargamomento concentrado deve ser interpretada como o efeito duas cargas iguais e contrarias binario que podem estar contidas no plano ortogonal a estrutura 52 Estaticidade de grelhas planas Definese grelha plana como uma estrutura plana submetida a carregamento perpendicular a seu plano Tendo em vista essa definigao supondose que o plano da grelha seja o plano xy seu equilibrio sera regido pelas trés equac6es da Estatica abaixo DF a Vv 0 Somatorio das forcas perpendiculares ao plano nulo M0 Somatério dos momentos em torno do eixo x nulo M y0 Somatd6rio dos momentos em torno do eixo y nulo Uma grelha sera entao isostatica quando houver apenas trés incégnitas a determinar Os tipos mais comuns de grelhas isostaticas sao os indicados na figura abaixo Z P q e y py Pp www 4 Yo M d a X v4 P c P Cc d Ta f a b Ve b Ve va t V t Na grelha engastada as reagdes serao 0 momento torgor o momento fletor e a reacao vertical no engaste Na grelha com 3 apoios as incégnitas serao as reacgdes verticais em cada apoio Grelhas com 4 ou mais apoios sem rétulas e grelhas engastadas com 1 ou mais apoios sao hiperestaticas Grelhas com 2 OU MenoOs apoiOs grelhas com 3 apoios colineares sao hipostaticas Ultima atualizagao em 2962007 65 Apostila de Isostática Professora Elaine Toscano d a Vb b c Ve Vc Olhando a figura acima verificase que não é possível equilibrar a estrutura Aplicada uma força em d não há como tornar nulo o momento em torno do eixo bc 53 Reações de apoio A principal diferença no cálculo de reações de apoio de grelhas e de pórticos é com relação ao somatório dos momentos Enquanto em pórticos o somatório dos momentos é calculado usando a distância de cada força ao ponto em grelhas o somatório dos momentos é função das forças e suas distâncias em relação ao eixo considerado O exercicio 2 dos itens 15 e 24 apresenta o cálculo das reações de apoio e esforços seccionais de uma grelha engastada No caso de uma grelha de 3 apoios como a da figura a seguir onde todas as barras possuem comprimento Lx na direção x e Ly na direção y podese calcular as reações de apoio da seguinte forma 0 2 1 x d b a z q L P P V V V F 0 1 2 y y d y y a b c PL V L P L V L M 0 2 3 2 2 x x a x x a b L P V L L qL M x y z P2 d q P1 Vd Vb c b a Va 54 Diagramas de esforços Conhecendo as reações de apoio passemos à determinação dos esforços solicitantes numa seção genérica S de uma grelha e ao traçado de seus respectivos diagramas Podese afirmar que numa seção genérica de uma grelha tendo em vista a natureza das cargas atuantes podem atuar três tipos de esforços seccionais esforço cortante Q momento fletor M e momento torçor T 66 Diagramas de esforços em grelhas planas Professora Elaine Toscano Da mesma forma que nos outros tipos de estruturas já vistos os esforços seccionais numa grelha são determinados para cada seção transversal considerandose todas as cargas e reações aplicadas na estrutura localizadas em um dos lados da seção considerada Além disso para traçado de diagramas também é válido o artifício de se tratar cada trecho da grelha como uma viga biapoiada desde que se apliquem em suas extremidades os esforços ali atuantes Da mesma forma que nos outros tipos de estruturas já vistos os esforços seccionais numa grelha são determinados para cada seção transversal considerandose todas as cargas e reações aplicadas na estrutura localizadas em um dos lados da seção considerada Além disso para traçado de diagramas também é válido o artifício de se tratar cada trecho da grelha como uma viga biapoiada desde que se apliquem em suas extremidades os esforços ali atuantes A figura abaixo apresenta os diagramas de esforços para a grelha de três apoios da página anterior A figura abaixo apresenta os diagramas de esforços para a grelha de três apoios da página anterior 2962007 67 Q qLx Vb Vd P1 P2 T M P2Lx2 VdP2Ly VdP2Ly P2Lx2 P2Lx2 VdP2Ly Vd VaLy qL2 x8 Va Observações importantes As convenções correspondem ao apresentado no item 23 Para o cálculo dos momentos fletores em cada barra utilizase as forças de um lado ou do outro da seção multiplicadas pela distância na direção paralela a barra Para o cálculo dos momentos torçores em cada barra utilizase as forças de um lado ou do outro da seção multiplicadas pela distância na direção perpendicular a barra Ultima atualização em Apostila de Isostatica Professora Elaine Toscano Recordando 4 Porticos x Grelhas Abaixo apresentase um resumo comparativo entre porticos planos e grelhas planas Porticos planos Grelhas planas Equacées de equilibric Equacoes de equilibrio F0 YF 0 F0 YM 0 M0 IM 0 Esforcos atuantes Esforcos atuantes Normal Nermeat Cortante Cortante Momento Fletor Momento Fletor Momenteeree Momento Torcor Calculo das reacées Calculo das reacdes 0 somatoério dos momentos é calculado usandc 0 somatério dos momentos é fungao das a distancia de cada forca ao ponte forcas e suas distancias em relacao ao considerado eixo considerado 55 Exercicios resolvidos 1 Tragar os diagramas de esforcos para a grelha engastada abaixo vy Va 10KN Max52kN IZ Zz a May6kN ec 2m 2 m 4m Esforco cortante Barra ab AKNV a direita 4kN Barra de 6kNJ a esquerda 6kN Barra ef 10kNJ a esquerda 10kN Barra gh 2kNJV a direita 2kN Barra gd 2kNJV 4 frente 2kN Barra da AKN atras 4kN 68 Diagramas de esforos em grelhas planas Professora Elaine Toscano Barra ie 2kNV 4 frente 2kN Barra ec 2kNV atras 2kN Momento fletor Barra ab Em a 4x2kNm 8kNm traao superior Em b 4x0kNm 0 Barra gh Em g 2x2kNm 4kNm traao superior Em h 2x0kNm 0 Barra ce Em e 2x3kNm 6kNm traao superior Em c 2x0kNm 0 Barra e1 Em e 2x3kNm 6kNm traao superior Emi 2x0kNm 0 Barra ad Em d 4x3kNm 12kNm trag4o superior Em a 4x0kNm 0 Barra dg Em d 2x3kNm 6kNm traao superior Em g 2x0kNm 0 Barra de Em d 442x2kNm 12kNm tracdo inferior Em e 4 2x2kNm 12kNm tragao superior Barra ef Em e 4 2x2kNm 12kNm tragao superior Em f 4 2x6 2 2x4 52kNm tracdo superior 52 4 8 12 8 4 2 12 6 6 6 6 6 6 10 12 2 4 2 4 Momento torcor Barra ab 0 Barra ce 0 Barra e1 0 Barra gh 0 Barra ad 4x2kNm 8kNm Barra dg 2x2kNm 4kNm Barra de 4x32x3 6kNm Barra ef 4x32x3 6kNm Ultima atualizagao em 2962007 69 Apostila de Isostática Professora Elaine Toscano 56 Exercícios propostos 1 Classificar as grelhas quanto à estaticidade e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as grelhas isostáticas a b c d e f g h i j l m 70 Diagramas de esforços em grelhas planas Professora Elaine Toscano n o n o 57 Respostas dos exercícios propostos 1 a isostática Q M T 2 05 05 2 2 6 2 2 6 6 b hiperestática c hipostática d hiperestática e isostática Q M T 6 05 2 12 2 4 6 6 6 6 375 225 2 2 9 15 Ultima atualização em 2962007 71 Apostila de Isostática Professora Elaine Toscano f hipostática g hipostática h hiperestática i isostática Q M T 2 12 12 12 1 2 2 1 6 6 4 4 2 3 6 1 6 5 8 j hiperestática l isostática Q M T 26 6 2 05 2 6 8 2 6 6 6 2 2 6 6 2 2 m hipostática n hipostática o hiperestática 72 Treliças isostáticas planas Professora Elaine Toscano Capítulo 6 Treliças isostáticas planas 61 Introdução Este capítulo será dedicado ao estudo das treliças isostáticas Chamase treliça a estrutura constituída exclusivamente por barras retas birrotuladas e sob carregamento aplicado apenas nas rótulas As treliças são capazes de vencer grandes vãos com um peso pequeno em relação ao que seria necessário para uma viga vencer a mesma distância No entanto as treliças funcionam baseadas em sua disposição de barras e dimensões e tendem a exigir uma altura estrutural maior Costumam ser muito adotadas em coberturas e passarelas Em geral as barras de uma treliça são finas e podem suportar pequena carga lateral Todas as cargas são portanto aplicadas às juntas e não às barras Embora as barras sejam unidas por meio de conexões pivotadas ou soldadas costumase considerar que as barras são unidas através de pinos logo as forças que atuam em cada extremidade de uma barra reduzemse a uma única força sem nenhum momento 62 Treliças planas São estruturas constituídas por barras de eixo retilíneo articuladas entre si em suas extremidades formando malhas triangulares As articulações ou juntas são chamadas de nós Como as cargas externas são aplicadas somente nos nós as barras das treliças são solicitadas apenas por forças normais Hipóteses de Cálculo 1 As barras que formam a treliça ligamse por meio de articulações sem atrito rótulas 2 As cargas e as reações são aplicadas somente nos nós da treliça 3 O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações nas extremidades 4 As barras são solicitadas somente por esforço normal Na realidade as ligações entre as barras não são rótulas perfeitas sendo esta uma simplificação de cálculo Sempre que as barras da treliça forem dispostas de modo que os eixos se cruzem em um ponto os esforços secundários são desprezíveis por exemplo a flexão que surge nas barras devido à rigidez dos nós Ultima atualização em 2962007 73 Apostila de Isostática Professora Elaine Toscano 63 Estaticidade de treliças planas Conhecendose os esforços externos ativos através das equações de equilíbrio da estática podese determinar tanto as reações nos apoios quanto as forças normais nas barras A condição necessária mas não suficiente para que uma treliça plana seja isostática é 2n b v Onde n número de nós na treliça incluindo os vínculos externos b número de barras da treliça v número total de reações dos vínculos externos b v indica o número de incógnitas do problema 2n indica o número de equações do problema O somatório de forças verticais e horizontais em cada nó deve ser nulo gerando com isso 2 equações por nó No caso de treliças espaciais utilizase 3n pois o número de equações por nó passa a ser 3 para considerar o equilíbrio das forças em 3 direções Logo a condição necessária é de que o número de equações seja igual ao número de incógnitas Exemplo Enquanto a treliça da esquerda é isostática a da direita não o é pois a malha BCFE é deformável hipostática não tendo condições de permanecer em equilíbrio a não ser sob carregamentos particulares O trecho ABED é hiperestático Assim a condição 2n b v é necessária mas não suficiente 64 Método dos nós O método mais prático e usual para a solução de treliças isostáticas é o método dos nós Consiste em determinar os esforços normais em cada barra da treliça através do somatório das forças transmitidas por cada barra a um nó específico Desta forma em cada nó teremos as equações 74 Treliças isostáticas planas Professora Elaine Toscano 2962007 75 0 Fz e 0 Fy Os passos a serem seguidos no método dos nós são resumidos abaixo 1º Começar por nós com apenas 2 incógnitas duas barras de esforço normal desconhecido ou 2 reações de apoio 2º verificar a inclinação das barras e vetores de forças correspondentes que chegam ao nó analisado 3º resolver as duas equações de equilíbrio do nó analisado para definir os esforços normais incógnitas em cada uma das duas barras 4º transmitir os vetores invertidos para as outras extremidades das duas barras 5º voltar ao 1º passo até que todas os esforços estejam definidos 65 Simplificação de treliças isostáticas Observe o nó abaixo Verificase que em um nó sem forças externas aplicadas sem vínculos externos e com três barras sendo duas delas paralelas entre si 2 e 3 a barra não paralela 1 terá esforço nulo Isso ocorre porque o somatório das forças na direção perpendicular as barras 2 e 3 deve ser nulo e a única força existente nesta direção se encontra na barra 1 As barras que atendem as condições abaixo podem ser eliminadas antes do início da resolução da treliça a pertencer a um nó sem forças externas aplicadas sem vínculos externos e com três barras sendo duas delas paralelas entre si 2 e 3 b ser a única barra não paralela as outras 2 Após a eliminação de cada barra é possível reavaliar a treliça para verificar se outras barras passaram a atender estas condições Ultima atualização em Apostila de Isostática Professora Elaine Toscano 66 Convenção de sinais O método dos nós avalia o esforço que cada barra transfere para os nós analisados desta forma os vetores representados durante a resolução correspondem as reações das barras ao esforço sofrido por elasLogo no caso de barras de treliças observase a mesma convenção de sinais adotada para tirantes e escoras Verificase que apesar das setas estarem entrando na barra o esforço normal é positivo pois as setas representam uma reação do barra às ações por ela sofridas Ou seja a barra está puxando os nós pois está sendo tracionada Desta forma em barras de treliças N N 67 Exercícios resolvidos 1 Calcular os esforços e reações de apoio para a treliça isostática abaixo Como a treliça possui apenas 3 reações de apoio podemos resolvêla de forma mais rápida partindo do cálculo das reações de apoio kN V kN V V M Mz kN V V Y kN H X A B B A n i i B A n i i A n i i 25 1 0 25 0 4 50 2 2 1 0 51 0 50 0 1 1 1 76 Treliças isostáticas planas Professora Elaine Toscano Nó A Barra 1 compressão Barra 4 compressão Nó B Barra 9 compressão Barra 8 nula Nó C Barra 3 tração Barra 2 compressão Nó F Barra 7 tração Barra 6 compressão Nó E Barra 5 Compressão Ultima atualização em 2962007 77 Apostila de Isostática Professora Elaine Toscano 68 Exercícios propostos 1 Calcular os esforços e reações de apoio para as treliças isostáticas abaixo usando qualquer método de resolução a b 78 Treliças isostáticas planas Professora Elaine Toscano c d e Ultima atualização em 2962007 79 Apostila de Isostática Professora Elaine Toscano f g h 80 Treliças isostáticas planas Professora Elaine Toscano i j l Ultima atualização em 2962007 81 Apostila de Isostática Professora Elaine Toscano 69 Respostas dos exercícios propostos a b c 82 Treliças isostáticas planas Professora Elaine Toscano d e f Ultima atualização em 2962007 83 Apostila de Isostática Professora Elaine Toscano g h i 84 Treliças isostáticas planas Professora Elaine Toscano j l Ultima atualização em 2962007 85