Trabalho - Diagramas de Esforços e Pontos Notáveis - 2023-2

Isostática Faculdade de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil e Ambiental 1/3 Trabalho Final Problema 1 (30%) Para a estrutura representada pelo diagrama de cálculo indicado na Figura, determine • o grau de hiperestaticidade da estrutura; • as reações de apoio indicando-as no diagrama da estrutura; • o diagrama de corpo livre da barra DEF; • e trace os diagramas de esforços na barra DEF; apresente todos os cálculos indicando o grau das funções representadas nos diagramas (constante, linear, 2º ou 3º grau) e o valor e a localização dos pontos notáveis (zeros, máximos e mínimos). Problema 2 (10%) Considere a seguinte estrutura, cujos diagramas de esforço cortante (V), momento fletor (M) e esforço normal (N) se representam na Figura. Determine o diagrama de carga (ações e reações) correspondente, traçando-o no diagrama de cálculo da estrutura. 2/3 Problema 3 (10%) Considere o pórtico isostático representado na Figura, sujeito às cargas p, P1 e P2 indicadas. • Determine as reações de apoio; • Em todas as barras, trace os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores. Apresente todos os cálculos indicando o grau das funções representadas nos diagramas (constante, linear, 2º ou 3º grau) e o valor e a localização dos pontos notáveis (zeros, máximos e mínimos); • Trace a deformada aproximada de flexão aproximada. Problema 4 (20%) Considere a estrutura representada pelo diagrama de cálculo da Figura. • Determine o grau de hiperestaticidade da estrutura; • Nas barras GH, HE, EB e ED trace os diagramas de todos os esforços, apresentando todos os cálculos e indicando o grau das funções representadas nos diagramas (constante, linear, 2º ou 3º grau) e o valor e a localização dos pontos notáveis (zeros, máximos e mínimos); • A partir dos diagramas de esforços trace os diagramas de corpo livre da subestrutura GHED e do nó E, verificando o respetivo equilíbrio. 3/3 Problema 5 (20%) Para cada uma das estruturas, representadas pelo seu diagrama de projeto indicado na Figura, • Determine o grau de hiperestaticidade das estruturas; • Determine os esforços nas barras, AB na primeira estrutura e AB e CD na segunda estrutura. Problema 6 (10%) Para o arco de 3 rótulas representado pelo diagrama de projeto indicado na Figura, determine: • O grau de hiperestaticidade da estrutura; • As reações; • A equação da linha de pressão do arco. 3 ff2 C A R/2 Cálculo do grau hiperestático: - Há 3 equações de equilíbrio: ΣM=0 ΣFx=0 ΣFy=0 E=3 - Há 4 reações de apoio: R=4 - Há 1 anel: A=1 - Há 4 rótulas ligando 2 barras Rot=4 Grau de estaticidade g=[R+3.A]-[E+Rot.(2-1)] g=[4+3.1]-[3+4.1] =7-7 g=0 Estrutura Isostática Dividindo a Estrutura em 4 partes: Equações de equilíbrio na Barra IKL: ΣFx=0 Rix + Rlx #P.Ꮮ/2 =0 ΣFy=0 Riy + Rly =0 ΣMl=0 P.L/2 Ꮮ/4 + Rlx.L/2 - Rly.L/2=0 Equações de equilíbrio da Barra KMJ: ΣFx=0 Rlx - Rjx=0 ΣFy=0 Rly - Rjy=0 ΣML=0 Rjx.Ꮮ/2 + Rsy.Ꮮ/2=0 Equações de Equilíbrio da Barra FHC: ΣFx=0 Rfx=0 ΣFy=0 Rcy - Rfy=P.Ꮮ=0 ΣME=0 Rcy.Ꮮ-P.Ꮮ.Ꮮ/2=0 Equações de equilíbrio da Barra ADFB ΣFx=0 Rax + P.Ꮮ.1/2 + Rfx- Rix- Rjx=0 ΣFy=0 Rby+Rfy-pᏞ-Rly-Rjy=0 ΣMF=0 Rjx.Ꮮ + P.Ꮮ.Ꮮ/2 + Rix.Ꮮ/2 + Rly. Ꮮ + Rax.Ꮮ .. + Mᴀ + P.Ꮮ.Ꮮ/2. Ꮮ/4=0 Sistema de equações obtido: RIX + RLX = -P.L/2 RIY + RLY = 0 RLX - RLY = -P.L/4 RJX - RLX = 0 RJY - RLY = 0 RJX + RJY = 0 RFX = 0 RCY - RFY = P.L RCY = P.L/2 RAX + RFX - RIX - RJX = -3P.L/2 RIY + RFY - RIV - RJY = P.L 2.RAX + 2.RIY + RIX + RJX + 2.MA/L = -7P.L/4 Resolvendo o Sistema se obtém: RAX = -2PL ← MA = 3PL^2/2 ↗ RBY = 3PL/2 ↑ RCY = PL/2 ↑ RFX = 0 RFY = -PL/2 RIX = -3PL/8 RIY = -PL/8 RJX = -PL/8 RJY = PL/8 RLX = -PL/8 RLY = PL/8 Portanto: RAX = -2PL ← MA = 3PL^2/2 ↑ RBY = 3PL/2 ↑ RCY = PL/2 ↑ A barra DEF só pode ser analisada considerando sua decomposição: Função Singular do Momento Fletor: MXI = -M⟨ x-0⁰⟩ + R⟨ x-0ⁿ⟩ - PL⟨ x-L/2⟩ Linha Elástica: EIY'' = -M⟨ x-0⁰⟩ + R⟨ x-0ⁿ⟩ - PL⟨ x-L/2⟩ EIY' = -M⟨ x-0⁰⟩ + R⟨ x-0ⁿ⟩ - PL⟨ x-L/2⟩²/2 + C1 EIY = -Mx²/2 + R⟨ x-0ⁿ⟩/6 - PL⟨ x-L/2⟩³/6 + C1.X + C2 Condições de Contorno: ψ(0) = 0 → C1 = 0 γ(0) = 0 → C2 = 0 γ'(L) = 0 → 0 = -ML + RL^2/2 - PL/2 * L^2/4 = 0 γ(L) = 0 → 0 = -ML^2/2 + R L^3/6 - PL/6 * L^3/8 = 0 Equilíbrio: ΣF = 0 R + R - PL = 0 R = PL/2 Substituindo: 0 = -ML + PL/2 * L^2/2 - PL/8 M = PL^2/8 Portanto: Verificando se há esforço normal na barra DEF: ΣFx = 0 N + P.2L - PL/8 - 2PL = 0 N = PL/8 Diagrama de Corpo Livre da Barra DEF: Diagrama de Esforços: Normal: Constante Cortante: Constante Momento: 1º grau Análise dos Esforços Normal e Cortante: Carga necessária • As cargas impostas geram os esforços normal e cortante. - Corta zero em B - Gera compressão em BD - Gera corte em todo AB PL ► P L L - Gera corte zero em todo CD D - Gera compressão CD C ►CD L/2 gera cortes em todo ► PL C - Gera compressão em CD - gera corte máximo em C • Momento fletor gerado pelas cargas: PL . L = PL^2 -PL^2 PL^2 -PL^2 -PL PL^2 2 - - A B • A configuração atual de cargas não gera momento em A e B. • Aplicando o Princípio da Superposição para dois momentos aplicados em A e B; 2PL^2 2PL^2 PL^2 122 a Somando : P -PL -PL2 PL2 2 -PL2 + + P 2PL PL2 C PL2 PL2 + 8 L2 -2 -2 -1 -1 -1-1 PL2 2 PL2 A B 2PL2 PL2 PL2 D Ponto A : 0 + 2PL^2 = 2PL^2 Ponto B : - PL^2 + 2PL^2 = PL^2 Ponto C : -PL^2/2 + 8L^2 = PL^2/2 Ponto D : 0 + PL^2 = PL^2 • Logo o Princípio da Superposição gera o esforço fletor necessário e não altera os esforços Normal e Cortante.11 PL2 PL PL P CARGA CARGA CARGA PL2 PL REAÇÃO C REAÇÃO PL PL PL 2PL2 PL 3 ● Diagrama de Corpo Livre: 50 40 30 40 50 15 -2.5 2.5 150 2.5 2.5 15 2 2 Rax Ray Cosα = 4/5 = 0,8 Senα = 3/5 = 0,6 Rx Ry α 40 40 40 2 40 2 40 0 10 ■ RBX RDY 12 Análise de esforços da Barra 4: 10 15 — // — // — N V M 40 -40 10 . 3 / 2 = 15 -10 . 3 / 2 , 1 . 3 = -15 Juntando os Diagramas: Normal: -40 -36 -36 -40 Cortante +23 -15 +27 -27 -23 15 Momento: -25 . 2 + -27 -25 -27 -15 42,5 11,45 // -15 Desenho aproximado da deformada por flexão 4. Cálculo do grau de hiperestaticidade: - Número de equações de equilíbrio: ΣFx=0 ΣFy=0 ΣM=0 E=3 - Número de reações de apoio: RAx RAx RAy RBy R=4 - Número de anéis: A=1 - Número de Rótulas que conectam 2 barras: Rot2=2 - Número de Rótulas que conectam 3 barras: Rot3=1 Grau de hiperestaticidade: g=[R+3.A] - [E + Rot2.(2-1) + Rot3.(3-2)] g=[4+3.1] - [3 + 2.1 + 1.2] g=[4+3] - [3+2+2] g=7-7 g=0 Estrutura Isostática * Calcular as demais forças horizontais: { RAX + RCX = 0 RCX' + RDX = 0 RCX + RCX' + 36,67 = 0 RDX = -120,84 } { RAX = -157,51 kN RCX = 157,51 kN RCX' = 120,84 kN RDX = -120,84 kN } * Desenho do equilíbrio: ← 157,51 kN ↓ 20 kN ↓ → 157,51 kN 10 kN 10 kN / 10 kN/m ← |________| → 120,84 kN 26,67 kN ↘ 120,84 kN ↖ 120,84 kN 36,67 kN → 36,67 kN ↑ Juntando os Diagramas Normal -13,73 -157,51 36,67 -36,67 Cortante 120,84 50 36,67 -36,67 -36,67 Momento 100kNm -220,02 241,68kNm -146,68 -146,68 24 13,73 kN 120,84 kN 36,67 kN 157,51 kN 50 kN Diagramas da Porção DE 13,73 120,84 -13,73 V 241,68 M 120,84 .2 = 241,68 Diagrams da Porção GH 36,67 36,67 -36,67 N -36,67 V M -36,67 .4 = -146,68 22 Equilibrio de Ponto H: N V M 36,67 36,67 V + 36,67 = 0 V = -36,67 kN N - 36,67 = 0 N = 36,67 kN M + 146,68 = 0 M = -146,68 kNm Diagramas da Porção HE 36,67 146,68 36,67 N V 220,02 -146,68 -146,68 -36,67 .2 = -220,02 Diagramas da Porção EB: 157,51 50 157,51 N V -157,51 -50 M 100 50.2 = 100 23 5) a) Cálculo de Hiperestaticidade: - Número de Reações: R=3 - Número de Barras: b=13 - Número de Nós: N=8 - Grau de hiperestaticidade: g=(R+b)-2.N = (3+13)-2.8 g=16-16 g=0 Estrutura Isostática A deformação da barra AB produz rotação em C e C'. As barras AC, BC, AC' e BC' não se deformam, apenas giram. Logo, as barras AC, BC, AC' e BC' podem ser eliminadas. Corte na treliça: Equação de equilíbrio: ΣFx=0 NAB.cos45º + P=0 NAB= -P/0,707 NAB= -1,414.P b) Grau hiperestático - Número de Reações: R=3 - Número de Barras: b=21 - Número de Nós: N=12 - Cálculo do grau de hiperestaticidade: g=(R+b)-2.N g=(3+21)-2.12 g=24-24 g=0 Estrutura Isostática • Calculo das Reações: ΣME=0 RpY•L - P•L = 0 RpY = P ↑ • Corte na treliça: P Φ1 = arctg(1/2) = 26,57º Φ2 = arctg(1/2/3) = 56,31º x / (L/2) = tg Φ1 x = L/4 y / (2L/3) = tg Φ2 y = L/3 • Equações de equilíbrio: ΣME=0 N1•0,89•L/4 + N1•0,45•L/2 + N2•0,55•L/3 + N2•0,83•2L/3 + N3•L + P•L = 0 0,122•N1 + 0,22•N1 + 0,183•N2 + 0,55•N2 + N3 + P = 0 0,144•N1 + 0,173•N2 + N3 = -P ΣFx=0 N1•0,89 + N2•0,55 + P - P = 0 0,89•N1 + 0,55•N2 = 0 ΣFy=0 N1•0,45 + N2•0,83 + N3 + P = 0 0,45•N1 + 0,83•N2 + N3 = -P • Resolvendo o Sistema: { 0,144•N1 + 0,173•N2 + N3 = -P 0,89•N1 + 0,55•N2 = 0 0,45•N1 + 0,83•N2 + N3 = -P N1 = 0 N2 = 0 N3 = -P • Portanto: NCD = N3 NCD = -P compressão • Forças em C: O ↑ N2 C ↓ P ΣFx=0 N2•0,55 + N1•0,89 = 0 ΣFy=0 -N2•0,45 + N2•0,83 + P = 0 { 0,89•N1 + 0,55•N2 = 0 -0,45•N1 + 0,83•N2 = -P N1 = 0,56•P N2 = -0,90•P • Forças em B: B ↓ P ΣFy=0 N1•0,183 - P•0,90•0,183 = 0 N1 = P•0,90 ΣFx=0 NAB + P•0,90•0,55 - P + P•0,90•0,55 = 0 NAB = 0,101•P Tração Resolvendo o Sistema: Rax - Rbx = 0 Ray + Rby = PL/2 2Rbx f/L + Rby = PL/4 Rbx - Rcx = 0 Rcy - Rby = PL/2 Rcx f/L - Rcy = -PL/4 Rax = 0,167.PL²/f Rbx = 0,167.PL²/f Rcx = 0,167.PL²/f Ray = 0,1333.PL Rby = -0,1083.PL Rcy = 0,147.PL Dividindo a estrutura: P Rbx Rby Rax Rax P Rax Ray Rby Rcx Rcy Equações de equilíbrio: Rax - Rbx = 0 Ray + Rby = P.L/2 Rbx f + Rby L/2 = P.L/2.L/4 Rbx - Rcx = 0 Rcy - Ray = P.L/2 Rcx f/2 - Rcy L/2 = -P.L/2.L/4 6. Grau de hiperestatividade: Nº de Reações: Rax Ray A E Rex Rey R=4 Nº de equações: ΣFx=0 ΣFy=0 ΣM=0 E=3 Nº de rótulas que ligam duas barras: Rot2=1 Cálculo do grau hiperestático: g=[R + 3.A] - [E + Rot2.(2-1)] g=[4 + 3.0] - [3 + 1.1] g=4-4 g=0 Estrutura Isostática • Calculo da inclinação entre os apoios: α = arctg(f/2L) • Reação na direção da inclinação: H' = Rax . cos α + Ray . sen α H' = 0,167 . PL²/f . cos α + 0,333 . PL . sen α • Momento fletor em uma seção qualquer x²/(L/2)² + y²/f² = 1 Ms = Ray . x - Rax . y Ms = 0,133 . PL x - 0,167 . PL²/f . f √(1 - 4x²/L²) • Equação da Linha de Pressão: ψ(xs) = 0,1333 . PL x - 0,167 . PL² √(1 - 4x²/L²) (0,167 PL²/f . cos²(arctg(f/2L)) + 0,333 . PL . cos(arctg(f/2L)) . sen(arctg(f/2L)) )