Lista - Momento de Inércia e o Raio de Giração - 2024-1

a) Determine por integração direta o momento de inércia e o raio de giração de uma superfície delimitada por duas curvas analíticas em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦. b)Dada uma superfície composta por três placas retangulares de dimensões iguais, configurando uma seção transversal do tipo I, como ilustrado abaixo. Com o objetivo de reforçar a resistência de uma viga que possui essa seção transversal, é necessário adicionar uma quarta placa retangular com as mesmas dimensões das anteriores, em uma posição estratégica para aumentar o momento de inércia. Com base nisso, solicita-se: i) A posição ideal para a inserção da quarta placa retangular de modo a aumentar o momento de inércia em relação ao eixo horizontal centroidal. ii) A posição ideal para a inserção da quarta placa retangular de modo a aumentar o momento de inércia em relação ao eixo vertical centroidal. Observação: A inserção da nova placa pode afetar a posição do centroide da figura composta. c) Com base na figura composta do item b, calcule os seus momentos de inércia e os raios de giração em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 utilizados naquela questão. Em seguida, determine essa mesma propriedade geométrica em relação aos seus eixos centroidais. d) Com base na figura composta do item c, calcule os seus momentos de inércia e os raios de giração em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 utilizados naquela questão. Em seguida, determine essa mesma propriedade geométrica em relação aos seus eixos centroidais. e)Usando o teorema dos eixos paralelos determine o produto de inércia de uma superfície composta por pelo menos um retângulo e um semicírculo em relação aos eixos centroidais. Observação: A figura não pode ter eixos de simetria. f) Discuta sobre o produto de inércia de figuras com pelo menos um eixo de simetria. g) Defina uma figura composta que possua apenas um centro de simetria e determine a orientação dos eixos principais e os momentos de inércia principais em relação aos eixos centroidais. Para isso, utilize: i) As equações ii) O círculo de Mohr. Observação: A figura não pode ter eixos de simetria. h) Com base na questão anterior, utilize o círculo de Mohr para calcular os valores dos momentos de inércia e do produto de inércia da figura em relação aos eixos 𝑥’ e 𝑦’ que formam um ângulo de: i) 60° (rotação horária) com eixos centroidais. ii) 75° (rotação anti-horária) com eixos centroidais. i) Defina uma figura composta formada por pelo menos um retângulo e um triângulo. Em seguida, determine a orientação dos eixos principais e os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais. Para isso, utilize: i) As equações ii) O círculo de Mohr. Observação: A figura não pode ter eixos de simetria. a) A figura adotada é a seguinte: Essa figura é delimitada pelas seguintes equações e condições: x 2≤ f (x )≤√x 0≤ x ≤1 0≤ y ≤1 A área da seção pela integral é: A=∫ f (x )dx=∫ 0 1 (√x−x 2)dx A=[ 2 3 x 3 2− x 3 3 ]0 1 =1 3 m 2 O momento de inércia em torno do eixo x é: I x=∫ x 2f (x )dx=∫ 0 1 x 2(√x−x 2)dx I x=[ 2 7 x 7 2−1 5 x 5]0 1 = 3 35 m 4 O momento de inércia em torno do eixo y é: I y=∫ y 2f ( y )dy=∫ 0 1 y 2(√ y− y 2)dy I y=[ 2 7 y 7 2−1 5 y 5]0 1 = 3 35 m 4 E por fim, os raios de giração: r x=√ I x A = √ ( 3 35) ( 1 3) =0,50709m r y=√ I y A = √ ( 3 35) ( 1 3) =0,50709m b) i) Seção ideal para aumentar momento de inercia em x: ii) Seção ideal para aumentar momento de inercia em y: c) Figura a analisar nos eixos globais: Área da seção: A=300∙10+10∙450+300∙10=10500mm 2 Momentos de inercias: I x=300∙10 3 12 +300∙10∙5 2+ 10∙450 3 12 +10∙450∙235 2+ 300∙10 3 12 +300∙10∙465 2=973,25∙10 6mm 4 I y=10∙300 3 12 +300∙10∙150 2+ 450∙10 3 12 +10∙450∙150 2+ 10∙300 3 12 +300∙10∙150 2=281,2875∙10 6mm 4 Raios de giração: r x=√ I x A =√ 973,25∙10 6 10500 =304,451mm r y=√ I y A =√ 281,2875∙10 6 10500 =163,674 mm Figura a analisar nos eixos locais: Área da seção: A=300∙10+10∙450+300∙10=10500mm 2 Centro geométrico: yCG=5∙300∙10+235∙10∙450+465∙300∙10 10500 =235mm xCG=150∙300∙10+150∙10∙450+150∙300∙10 10500 =150mm Momentos de inercias: I x=300∙10 3 12 +300∙10∙ (5−235) 2+ 10∙450 3 12 + 300∙10 3 12 +300∙10∙ (465−235) 2=393,3875∙10 6mm 4 I y=10∙300 3 12 + 450∙10 3 12 + 10∙300 3 12 =45,0375∙10 6mm 4 Raios de giração: r x=√ I x A =√ 393,3875∙10 6 10500 =193,560mm r y=√ I y A =√ 45,0375∙10 6 10500 =65,493mm d) Idêntica a questão acima? O professor deve ter bugado ao fazer a questão. É a mesma coisa. e) A figura adotada é a seguinte: Área da seção: A=30∙100+ π ∙100 2 2 =18707,95mm 2 Centro geométrico: yCG= 50∙30∙100+142,4414∙ π ∙100 2 2 18707,95 =127,6175mm xCG= 15∙30∙100+100∙ π ∙100 2 2 18707,95 =86,3694 mm Momentos de inercias: I x=30∙100 3 12 +30∙100∙ (50−127,617) 2+ π ∙100 4 8 + π ∙100 2 2 ∙ (142,4414−127,617) 2=63,2952∙10 6mm 4 I y=100∙30 3 12 +30∙100∙ (15−86,3694 ) 2+ π ∙100 4 8 + π ∙100 2 2 ∙ (100−86,3694 ) 2=57,6942∙10 6mm 4 Produto de inercia: I xy=30∙100∙ (50−127,617)∙ (15−86,3694 )+ π ∙100 2 2 ∙ (142,4414−127,617)∙ (100−86,3694 ) I xy=19,7924 ∙10 6mm 4 f) Quando a figura geométrica possui apenas um eixo de simetria, o seu produto de inercia é nulo. Pois o produto de inercia é uma medida geométrica que define a rigidez de quão assimétrico a figura é em relação aos eixos de inércias principais. Então somente em figuras totalmente assimétricas, em relação aos eixos de inércias principais, que possui produto de inércia. g) A figura adotada é a seguinte: Área da seção: A=30∙100+300∙30=12000mm 2 Centro geométrico: yCG=50∙100+115∙300∙30 12000 =98,75mm xCG=285∙100+150∙300∙30 12000 =183,75mm Momentos de inercias: I x=30∙100 3 12 +30∙100∙ (50−98,75) 2+ 300∙30 3 12 +300∙30∙ (115−98,75) 2=12,68125∙10 6mm 4 I y=100∙30 3 12 +30∙100∙ (285−183,75) 2+ 30∙300 3 12 +300∙30∙ (150−183,75) 2=108,73125∙10 6mm 4 Produto de inercia: I xy=30∙100∙ (50−98,75)∙ (285−183,75)+300∙30∙ (115−98,75)∙ (150−183,75) I xy=19,74375∙10 6mm 4 Estado de inércia: I=[ I x I xy I xy I y]=[ 12,68125 19,74375 19,74375 108,73125]mm 4 Inércias Principais: I 1= I x+I y 2 +√( I x−I y 2 ) 2 +I xy 2 =12,68125+108,73125 2 +√( 12,68125−108,73125 2 ) 2 +19,74375 2 I 1=112,631∙10 6mm 4 I 2= I x+I y 2 −√( I x−I y 2 ) 2 +I xy 2 =12,68125+108,73125 2 −√( 12,68125−108,73125 2 ) 2 +19,74375 2 I 2=8,781∙10 6mm 4 Produto de inercia máximo: I xy ,max=√( I x−I y 2 ) 2 +I xy 2 =√( 12,68125−108,73125 2 ) 2 +19,74375 2=51,925∙10 6mm 4 Círculo de Mohr: h) Inércias no plano θ=−60°: I xθ=σ x+σ y 2 + σ x−σ y 2 cos2θ+τ xy sen2θ I xθ=12,68125+108,73125 2 + 12,68125−108,73125 2 ∙cos (−120° )+19,74375∙sen (−120° ) I xθ=67,620∙10 6mm 4 I yθ=σ x+σ y 2 −σ x−σ y 2 cos2θ−τ xy sen2θ I y θ=12,68125+108,73125 2 −12,68125−108,73125 2 ∙cos (−120° )−19,74375∙sen (−120° ) I yθ=53,792∙10 6mm 4 I xyθ=−σ x−σ y 2 sen2θ+τ xycos2θ I xyθ=−12,68125−108,73125 2 ∙sen (−120° )+19,74375∙cos (−120° ) I xyθ=51,463∙10 6mm 4 Inércias no plano θ=75°: I xθ=σ x+σ y 2 + σ x−σ y 2 cos2θ+τ xy sen2θ I xθ=12,68125+108,73125 2 + 12,68125−108,73125 2 ∙cos (150° )+19,74375∙sen (150° ) I xθ=112,169∙10 6mm 4 I yθ=σ x+σ y 2 −σ x−σ y 2 cos2θ−τ xy sen2θ I yθ=12,68125+108,73125 2 −12,68125−108,73125 2 ∙cos (150° )−19,74375∙sen (150° ) I yθ=9,244 ∙10 6mm 4 I xyθ=−σ x−σ y 2 sen2θ+τ xycos2θ I xyθ=−12,68125−108,73125 2 ∙sen (150° )+19,74375∙cos (150° ) I xyθ=6,914 ∙10 6mm 4 i) A figura adotada é a seguinte: Área da seção: A=300∙30+ 90∙90 2 =13050mm 2 Centro geométrico: yCG= 15∙300∙30+60∙ 90∙90 2 13050 =28,966mm xCG= 150∙300∙30+30∙ 90∙90 2 13050 =91,034 mm Momentos de inercias: I x=300∙30 3 12 +300∙30∙ (15−28,966) 2+ 90∙90 3 36 + 90∙90 2 ∙ (60−28,966) 2=8,1535∙10 6mm 4 I y=30∙300 3 12 +300∙30∙ (150−91,034 ) 2+ 90∙90 3 36 + 90∙90 2 ∙ (30−91,034 ) 2=109,5432∙10 6mm 4 Produto de inercia: I xy=300∙30∙ (15−28,966)∙ (150−91,034 )+ 90∙90 2 ∙ (60−28,966)∙ (30−91,034 ) I xy=437,014∙10 6mm 4 Estado de inércia: I=[ I x I xy I xy I y]=[ 8,1535 437,014 437,014 109,5432]mm 4 Inércias Principais: I 1= I x+I y 2 +√( I x−I y 2 ) 2 +I xy 2 =8,1535+109,5432 2 +√( 8,1535−109,5432 2 ) 2 +437,014 2 I 1=498,793∙10 6mm 4 I 2= I x+I y 2 −√( I x−I y 2 ) 2 +I xy 2 =8,1535+109,5432 2 −√( 8,1535−109,5432 2 ) 2 +437,014 2 I 2=−381,096∙10 6mm 4 Produto de inercia máximo: I xy ,max=√( I x−I y 2 ) 2 +I xy 2 =√( 8,1535−109,5432 2 ) 2 +437,014 2=439,945∙10 6mm 4 Círculo de Mohr: σy = 109.5432 tmax = 439.945 2σp1 = 83.38 C = (58.848349999999996, 0) σ1 = 498.793 σ2 = -381.096 txy = 437.014 σx = 8.1535